The metodik material yalnız istinad üçündür və geniş mövzulara aiddir. Məqalədə əsas elementar funksiyaların qrafiklərinin icmalı verilir və ən vacib məsələ nəzərdən keçirilir - qrafiki necə düzgün və TEZ qurmaq olar. Əsas elementar funksiyaların qrafiklərini bilmədən ali riyaziyyatı öyrənmək zamanı çətin olacaq, ona görə də parabola, hiperbol, sinus, kosinus və s.-nin qrafiklərinin necə göründüyünü xatırlamaq və bəzilərini yadda saxlamaq çox vacibdir. funksiyaların mənaları haqqında. Əsas funksiyaların bəzi xüsusiyyətləri haqqında da danışacağıq.

Mən materialların tamlığına və elmi əsaslılığına iddia etmirəm; vurğu, ilk növbədə, təcrübəyə - o şeylərə veriləcək. insan hər addımda, ali riyaziyyatın istənilən mövzusunda hərfi mənada qarşılaşır. Butaforlar üçün qrafiklər? Belə demək olar.

Oxucuların çoxsaylı müraciətlərinə görə kliklənən məzmun cədvəli:

Bundan əlavə, mövzu ilə bağlı ultra qısa konspekt var
- ALTI səhifəni öyrənməklə 16 növ diaqramı mənimsəyin!

Ciddi, altı, hətta mən də təəccübləndim. Bu xülasə təkmilləşdirilmiş qrafiklərdən ibarətdir və nominal ödənişlə mövcuddur; demo versiyasına baxmaq olar. Qrafiklərin həmişə əlində olması üçün faylı çap etmək rahatdır. Layihəni dəstəklədiyiniz üçün təşəkkür edirik!

Və dərhal başlayaq:

Koordinat oxlarını necə düzgün qurmaq olar?

Təcrübədə testlər demək olar ki, həmişə tələbələr tərəfindən kvadrat şəklində düzülmüş ayrı-ayrı dəftərlərdə tamamlanır. Niyə damalı işarələrə ehtiyacınız var? Axı, iş, prinsipcə, A4 vərəqlərində edilə bilər. Və qəfəs yalnız təsvirlərin yüksək keyfiyyətli və dəqiq dizaynı üçün lazımdır.

Funksiya qrafikinin istənilən rəsmini koordinat oxlarından başlayır.

Rəsmlər iki ölçülü və ya üç ölçülü ola bilər.

Əvvəlcə iki ölçülü işi nəzərdən keçirək Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemi:

1) Koordinat oxlarını çəkin. ox deyilir x oxu , və oxdur y oxu . Biz həmişə onları çəkməyə çalışırıq səliqəli və əyri deyil. Oxlar da Papa Karlonun saqqalına bənzəməməlidir.

2) Baltaları böyük "X" və "Y" hərfləri ilə imzalayırıq. Baltaları etiketləməyi unutmayın.

3) Ölçüsü oxlar boyunca təyin edin: sıfır və iki birlik çəkin. Rəsm çəkərkən ən rahat və tez-tez istifadə olunan miqyas: 1 vahid = 2 hüceyrə (solda rəsm) - mümkünsə, ona yapışın. Bununla belə, vaxtaşırı rəsm dəftər vərəqinə uyğun gəlmir - sonra miqyasını azaldırıq: 1 vahid = 1 hüceyrə (sağda rəsm). Nadir haldır, lakin belə olur ki, rəsmin miqyasını daha da azaltmaq (və ya artırmaq) lazımdır.

“Pulemyot”a ehtiyac yoxdur...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Çünki koordinat müstəvisi Dekartın abidəsi deyil, tələbə də göyərçin deyil. qoyduq sıfır Və oxlar boyunca iki vahid. Bəzən əvəzinə vahidlər üçün digər dəyərləri, məsələn, absis oxunda "iki" və ordinat oxundakı "üç"ü "qeyd etmək" rahatdır - və bu sistem (0, 2 və 3) koordinatlar şəbəkəsini də unikal şəkildə təyin edəcəkdir.

Çizimi qurmazdan əvvəl rəsmin təxmin edilən ölçülərini qiymətləndirmək daha yaxşıdır. Beləliklə, məsələn, əgər tapşırıq təpələri olan üçbucaq çəkməyi tələb edirsə , , , onda 1 vahid = 2 xananın məşhur miqyasının işləməyəcəyi tamamilə aydındır. Niyə? Nöqtəyə baxaq - burada on beş santimetr aşağı ölçməli olacaqsınız və açıq-aydın, rəsm bir notebook vərəqinə sığmayacaq (və ya çətinliklə uyğunlaşmayacaq). Buna görə dərhal daha kiçik bir miqyas seçirik: 1 vahid = 1 hüceyrə.

Yeri gəlmişkən, təxminən santimetr və notebook hüceyrələri. 30 notebook hüceyrəsinin 15 santimetr olması doğrudurmu? Əylənmək üçün dəftərinizdə xətkeşlə 15 santimetr ölçün. SSRİ-də bu, bəlkə də doğru idi... Maraqlıdır ki, bu eyni santimetrləri üfüqi və şaquli olaraq ölçsəniz, nəticələr (xanalarda) fərqli olacaq! Düzünü desək, müasir noutbuklar damalı deyil, düzbucaqlıdır. Bu cəfəngiyat kimi görünə bilər, lakin belə vəziyyətlərdə, məsələn, kompas ilə bir dairə çəkmək çox əlverişsizdir. Düzünü desəm, belə məqamlarda siz yerli avtomobil sənayesini, düşən təyyarələri və ya partlayan elektrik stansiyalarını demirəm, istehsalatda xakerlik üçün düşərgələrə göndərilən yoldaş Stalinin nə qədər düzgün olduğunu düşünməyə başlayırsınız.

Keyfiyyətdən danışsaq və ya dəftərxana ləvazimatları haqqında qısa tövsiyə. Bu gün satışda olan noutbukların çoxu, ən azı, tam axmaqdır. Nəmlənmələri səbəbiylə, həm də gel qələmlərdən deyil, həm də tüklü qələmlərdən! Onlar kağız üzərində pula qənaət edirlər. Qeydiyyat üçün testlər Arxangelsk Selüloz və Kağız Fabrikindən (18 vərəq, grid) və ya "Pyaterochka" dan noutbuklardan istifadə etməyi məsləhət görürəm, baxmayaraq ki, daha bahalıdır. Bir gel qələm seçmək məsləhətdir, hətta ən ucuz Çin gel doldurma kağızı ləkələyən və ya cırlayan bir ballpoint qələmdən daha yaxşıdır. Yadımda qalan yeganə “rəqabətli” diyircəkli qələm Erich Krause idi. O, aydın, gözəl və ardıcıl yazır - istər tam nüvə ilə, istərsə də demək olar ki, boş.

əlavə olaraq: Məqalədə analitik həndəsə gözü ilə düzbucaqlı koordinat sisteminin görünüşünə toxunulur. Vektorların xətti (qeyri) asılılığı. Vektorların əsasları, koordinat rübləri haqqında ətraflı məlumatı dərsin ikinci abzasında tapmaq olar Xətti bərabərsizliklər.

3D qutu

Burada demək olar ki, eynidir.

1) Koordinat oxlarını çəkin. Standart: ox tətbiq olunur – yuxarıya doğru yönəldilmiş, ox – sağa, ox – aşağıya doğru sola yönəldilmişdir ciddi şəkildə 45 dərəcə bir açı ilə.

2) Baltaları etiketləyin.

3) Baltalar boyunca şkalayı təyin edin. Ox boyunca miqyas digər oxlar boyunca olan miqyasdan iki dəfə kiçikdir. Həm də qeyd edin ki, düzgün rəsmdə ox boyunca qeyri-standart bir "çentik" istifadə etdim (bu ehtimal yuxarıda qeyd olunub). Mənim fikrimcə, bu, daha dəqiq, daha sürətli və estetik cəhətdən daha xoşdur - mikroskop altında hüceyrənin ortasını axtarmağa və koordinatların mənşəyinə yaxın bir vahidi "heykəltəraş etməyə" ehtiyac yoxdur.

3D rəsm çəkərkən yenə miqyaslılığa üstünlük verin
1 vahid = 2 hüceyrə (solda rəsm).

Bütün bu qaydalar nə üçündür? Qaydalar pozulmaq üçün edilir. Mən indi bunu edəcəm. Fakt budur ki, məqalənin sonrakı rəsmləri mənim tərəfimdən Excel-də hazırlanacaq və koordinat oxları nöqteyi-nəzərdən səhv görünəcək. düzgün dizayn. Mən bütün qrafikləri əl ilə çəkə bilərdim, lakin Excel onları daha dəqiq çəkmək istəmədiyi üçün onları çəkmək əslində qorxuludur.

Elementar funksiyaların qrafikləri və əsas xassələri

Xətti funksiya tənliklə verilir. Xətti funksiyaların qrafiki belədir birbaşa. Düz xətt qurmaq üçün iki nöqtəni bilmək kifayətdir.

Misal 1

Funksiyanın qrafikini qurun. Gəlin iki nöqtə tapaq. Nöqtələrdən biri kimi sıfırı seçmək sərfəlidir.

Əgər, onda

Başqa bir məqamı götürək, məsələn, 1.

Əgər, onda

Tapşırıqları yerinə yetirərkən, nöqtələrin koordinatları ümumiyyətlə cədvəldə ümumiləşdirilir:

Və dəyərlər özləri şifahi və ya qaralamada, kalkulyatorda hesablanır.

İki nöqtə tapıldı, gəlin rəsm çəkək:

Rəsm hazırlayarkən biz həmişə qrafikaya imza atırıq.

Xüsusi halları xatırlamaq faydalı olardı xətti funksiya:

İmzaları necə qoyduğuma diqqət yetirin, rəsmin öyrənilməsi zamanı imzalar uyğunsuzluğa yol verməməlidir. Bu halda, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin yanında və ya qrafiklərin arasında sağ altda imza qoymaq son dərəcə arzuolunmaz idi.

1) () formasının xətti funksiyasına düz mütənasiblik deyilir. Misal üçün, . Düz mütənasiblik qrafiki həmişə başlanğıcdan keçir. Beləliklə, düz xəttin qurulması sadələşdirilmişdir - yalnız bir nöqtə tapmaq kifayətdir.

2) Formanın tənliyi oxa paralel düz xətti təyin edir, xüsusən də oxun özü tənliklə verilir. Funksiyanın qrafiki heç bir nöqtə tapılmadan dərhal qurulur. Yəni, giriş aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: "x-in istənilən dəyəri üçün y həmişə -4-ə bərabərdir."

3) Formanın tənliyi oxa paralel düz xətti təyin edir, xüsusən də oxun özü tənliklə verilir. Funksiyanın qrafiki də dərhal qurulur. Giriş aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: "x həmişə y-nin istənilən dəyəri üçün 1-ə bərabərdir."

Bəziləri soruşacaq ki, niyə 6-cı sinfi xatırlayırsınız?! Bu belədir, bəlkə də belədir, amma təcrübə illəri ərzində mən və ya kimi bir qrafik qurmaq tapşırığından çaş-baş qalan onlarla yaxşı tələbə ilə tanış oldum.

Düz xəttin qurulması rəsmlər çəkərkən ən çox görülən hərəkətdir.

Düz xətt analitik həndəsə kursunda ətraflı müzakirə olunur və maraqlananlar məqaləyə müraciət edə bilərlər. Müstəvidə düz xəttin tənliyi.

Kvadrat, kub funksiyanın qrafiki, çoxhədlinin qrafiki

Parabola. Kvadrat funksiyanın qrafiki () parabolanı təmsil edir. Məşhur hadisəyə nəzər salaq:

Funksiyanın bəzi xassələrini xatırlayaq.

Beləliklə, tənliyimizin həlli: – məhz bu nöqtədə parabolanın təpə nöqtəsi yerləşir. Bunun niyə belə olduğunu törəmə haqqında nəzəri məqalədə və funksiyanın ekstremalları haqqında dərsdə tapmaq olar. Bu vaxt uyğun “Y” dəyərini hesablayaq:

Beləliklə, təpə nöqtədədir

İndi biz parabolanın simmetriyasından həyasızcasına istifadə edərkən başqa nöqtələri tapırıq. Qeyd etmək lazımdır ki, funksiyası – hətta deyil, lakin buna baxmayaraq, heç kim parabolanın simmetriyasını ləğv etmədi.

Qalan xalları hansı ardıcıllıqla tapmaq, məncə, yekun cədvəldən aydın olacaq:

Bu tikinti alqoritmini məcazi mənada Anfisa Çexova ilə "makik" və ya "irəli-geri" prinsipi adlandırmaq olar.

Gəlin rəsm çəkək:

Tədqiq olunan qrafiklərdən başqa bir faydalı xüsusiyyət ağla gəlir:

Kvadrat funksiya üçün () aşağıdakı doğrudur:

Əgər , onda parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldilmişdir.

Əgər , onda parabolanın budaqları aşağı istiqamətlənmişdir.

Əyri haqqında dərin bilikləri Hiperbola və parabola dərsində əldə etmək olar.

Funksiya ilə kub parabola verilir. Budur məktəbdən tanış olan rəsm:

Funksiyanın əsas xüsusiyyətlərini sadalayaq

Funksiya qrafiki

Parabolanın qollarından birini təmsil edir. Gəlin rəsm çəkək:

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Bu vəziyyətdə ox olur şaquli asimptot -də hiperbolanın qrafiki üçün.

Əgər çertyoj tərtib edərkən qrafikin asimptota ilə kəsişməsinə diqqətsizliklə icazə versəniz, bu BÜTÜN səhv olardı.

Həm də birtərəfli məhdudiyyətlər hiperbolanın olduğunu söyləyir yuxarıdan məhdudlaşmır Və aşağıdan məhdudlaşmır.

Funksiyanı sonsuzluqda nəzərdən keçirək: , yəni ox boyunca sola (və ya sağa) sonsuzluğa hərəkət etməyə başlasaq, o zaman “oyunlar” nizamlı addımda olacaq. sonsuz yaxın sıfıra yaxınlaşır və müvafiq olaraq hiperbolanın budaqları sonsuz yaxın oxa yaxınlaşın.

Beləliklə, ox üfüqi asimptot funksiyanın qrafiki üçün, əgər “x” artı və ya mənfi sonsuzluğa meyllidirsə.

Funksiya budur qəribə, və deməli, hiperbola mənşəyə görə simmetrikdir. Bu fakt rəsmdən aydın görünür, əlavə olaraq analitik olaraq asanlıqla yoxlanılır: .

() formasının funksiyasının qrafiki hiperbolanın iki qolunu təmsil edir.

Əgər , onda hiperbola birinci və üçüncü koordinat rüblərində yerləşir(yuxarıdakı şəkilə baxın).

Əgər , onda hiperbola ikinci və dördüncü koordinat rüblərində yerləşir.

Hiperbolanın yerləşməsinin göstərilən nümunəsini qrafiklərin həndəsi çevrilmələri nöqteyi-nəzərindən təhlil etmək asandır.

Misal 3

Hiperbolanın sağ qolunu qurun

Nöqtəli tikinti metodundan istifadə edirik və dəyərləri bütövlükdə bölünməsi üçün seçmək faydalıdır:

Gəlin rəsm çəkək:

Hiperbolanın sol qolunu qurmaq çətin olmayacaq, burada funksiyanın qəribəliyi kömək edəcək. Kobud şəkildə desək, nöqtəli tikinti cədvəlində zehni olaraq hər nömrəyə bir mənfi əlavə edirik, müvafiq nöqtələri qoyuruq və ikinci budağı çəkirik.

Nəzərdən keçirilən xətt haqqında ətraflı həndəsi məlumatı Hiperbola və parabola məqaləsində tapmaq olar.

Eksponensial funksiyanın qrafiki

Bu bölmədə mən dərhal eksponensial funksiyanı nəzərdən keçirəcəyəm, çünki ali riyaziyyatın problemlərində 95% hallarda eksponensial görünür.

Xatırladıram ki, bu irrasional ədəd: , bu, əslində mərasimsiz quracağım bir qrafik qurarkən tələb olunacaq. Yəqin ki, üç nöqtə kifayətdir:

Funksiyanın qrafikini hələlik tək qoyaq, daha sonra bu haqda daha ətraflı danışaq.

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Funksiya qrafikləri və s. prinsipcə eyni görünür.

Deməliyəm ki, ikinci hal praktikada daha az baş verir, lakin olur, ona görə də bu məqaləyə daxil etməyi zəruri hesab etdim.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki

ilə funksiyanı nəzərdən keçirək təbii loqarifm.
Nöqtə-nöqtəli rəsm çəkək:

Loqarifmin nə olduğunu unutmusunuzsa, məktəb dərsliklərinə müraciət edin.

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Domen:

Dəyərlər diapazonu: .

Funksiya yuxarıdan məhdud deyil: , yavaş da olsa, loqarifmin budağı sonsuzluğa qədər uzanır.
Sağda sıfıra yaxın funksiyanın davranışını araşdıraq: . Beləliklə, ox şaquli asimptot funksiyanın qrafiki üçün “x” sağdan sıfıra meyllidir.

Loqarifmin tipik dəyərini bilmək və yadda saxlamaq vacibdir: .

Prinsipcə, bazaya olan loqarifmin qrafiki eyni görünür: , , (10-cu bazaya onluq loqarifm) və s. Üstəlik, baza nə qədər böyük olsa, qrafik bir o qədər düz olacaqdır.

Biz işi nəzərdən keçirməyəcəyik; axırıncı dəfə belə bir əsasla qrafik qurduğumu xatırlamıram. Və loqarifm ali riyaziyyat problemlərində çox nadir qonaq kimi görünür.

Bu paraqrafın sonunda daha bir faktı deyəcəyəm: Eksponensial funksiya və loqarifmik funksiya– bunlar iki qarşılıqlı tərs funksiyadır. Loqarifmin qrafikinə diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, bu eyni eksponentdir, sadəcə olaraq bir az fərqli yerdədir.

Triqonometrik funksiyaların qrafikləri

Məktəbdə triqonometrik əzab haradan başlayır? Sağ. Sinusdan

Funksiyanın qrafikini çəkək

Bu xətt adlanır sinusoid.

Nəzərinizə çatdırım ki, “pi” irrasional ədəddir: , triqonometriyada isə gözlərinizi qamaşdırır.

Funksiyanın əsas xüsusiyyətləri:

Bu funksiyadır dövri dövrü ilə. Bunun mənası nədi? Seqmentə baxaq. Onun solunda və sağında qrafikin eyni parçası sonsuz təkrarlanır.

Domen: , yəni hər hansı “x” dəyəri üçün sinus dəyəri var.

Dəyərlər diapazonu: . Funksiya budur məhduddur: , yəni bütün "oyunlar" ciddi şəkildə seqmentdə oturur.
Bu baş vermir: daha doğrusu, olur, lakin bu tənliklərin həlli yoxdur.

1. Kəsr xətti funksiya və onun qrafiki

P(x) və Q(x) çoxhədli olduğu y = P(x) / Q(x) formalı funksiya kəsr rasional funksiya adlanır.

Konsepsiya ilə rasional ədədlər yəqin ki, siz artıq bir-birinizi tanıyırsınız. Eynilə rasional funksiyalar iki çoxhədlinin bölünməsi kimi təqdim oluna bilən funksiyalardır.

Əgər kəsr rasional funksiya iki xətti funksiyanın bölünməsidirsə - birinci dərəcəli polinomlar, yəni. formanın funksiyası

y = (ax + b) / (cx + d), onda kəsr xətti adlanır.

Qeyd edək ki, y = (ax + b) / (cx + d) funksiyasında c ≠ 0 (əks halda funksiya xətti y = ax/d + b/d olur) və a/c ≠ b/d (əks halda funksiya sabitdir). X = -d/c istisna olmaqla, bütün real ədədlər üçün xətti kəsr funksiyası müəyyən edilir. Kəsr xətti funksiyaların qrafikləri bildiyiniz y = 1/x qrafikindən formaca fərqlənmir. y = 1/x funksiyasının qrafiki olan əyriyə deyilir hiperbola. Mütləq dəyərdə x-in qeyri-məhdud artması ilə y = 1/x funksiyası mütləq qiymətdə qeyri-məhdud şəkildə azalır və qrafikin hər iki qolu absisə yaxınlaşır: sağ tərəf yuxarıdan, sol tərəf isə aşağıdan yaxınlaşır. Hiperbolanın budaqlarının yaxınlaşdığı xətlər onun adlanır asimptotlar.

Misal 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Həll.

Bütün hissəni seçək: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

İndi asanlıqla görmək olar ki, bu funksiyanın qrafiki y = 1/x funksiyasının qrafikindən aşağıdakı çevrilmələrlə alınır: 3 vahid seqment sağa sürüşərək, Oy oxu boyunca 7 dəfə uzanaraq və 2 dəfə sürüşdürün. vahid seqmentləri yuxarıya doğru.

İstənilən kəsr y = (ax + b) / (cx + d) “tam hissəni” vurğulayaraq oxşar şəkildə yazıla bilər. Nəticə etibarilə, bütün kəsr xətti funksiyaların qrafikləri hiperbolalardır, koordinat oxları boyunca müxtəlif yollarla yerdəyişmiş və Oy oxu boyunca uzanmışlar.

İstənilən ixtiyari kəsr-xətti funksiyanın qrafikini qurmaq üçün bu funksiyanı təyin edən kəsri çevirmək qətiyyən lazım deyil. Qrafikin hiperbola olduğunu bildiyimiz üçün onun budaqlarının yaxınlaşdığı düz xətləri - x = -d/c və y = a/c hiperbolanın asimptotlarını tapmaq kifayət edəcəkdir.

Misal 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiyasının qrafikinin asimptotlarını tapın.

Həll.

Funksiya müəyyən edilməyib, x = -1. Bu o deməkdir ki, x = -1 düz xətti şaquli asimptot rolunu oynayır. Üfüqi asimptotu tapmaq üçün x arqumenti mütləq dəyərdə artdıqda y(x) funksiyasının qiymətlərinin nəyə yaxınlaşdığını öyrənək.

Bunu etmək üçün kəsrin payını və məxrəcini x-ə bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğu üçün kəsr 3/2-yə meyl edəcək. Bu o deməkdir ki, üfüqi asimptot y = 3/2 düz xəttdir.

Misal 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

Kəsirin “bütün hissəsini” seçək:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

İndi asanlıqla görmək olar ki, bu funksiyanın qrafiki y = 1/x funksiyasının qrafikindən aşağıdakı çevrilmələrlə alınır: 1 vahid sola sürüşmə, Ox-a nisbətən simmetrik ekran və sürüşmə: Oy oxu boyunca 2 vahid seqment yuxarı.

Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymətlər diapazonu E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Oxlarla kəsişmə nöqtələri: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Funksiya tərif sahəsinin hər intervalında artır.

Cavab: Şəkil 1.

2. Kəsrə rasional funksiya

y = P(x) / Q(x) formasının kəsr rasional funksiyasını nəzərdən keçirək, burada P(x) və Q(x) birincidən yüksək dərəcə çoxhədlidir.

Belə rasional funksiyaların nümunələri:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) və ya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Əgər y = P(x) / Q(x) funksiyası birincidən yüksək olan iki çoxhədlinin bölünməsini ifadə edirsə, onda onun qrafiki, bir qayda olaraq, daha mürəkkəb olacaq və bəzən onu dəqiq qurmaq çətin ola bilər. , bütün detalları ilə. Bununla belə, yuxarıda təqdim etdiyimiz üsullara bənzər üsullardan istifadə etmək çox vaxt kifayətdir.

Kəsrə uyğun kəsr olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Aydındır ki, kəsr rasional funksiyasının qrafiki elementar kəsrlərin qrafiklərinin cəmi kimi əldə edilə bilər.

Kəsr rasional funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi

Kəsr rasional funksiyanın qrafiklərinin qurulmasının bir neçə üsulunu nəzərdən keçirək.

Misal 4.

y = 1/x 2 funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

y = 1/x 2 qrafikini qurmaq üçün y = x 2 funksiyasının qrafikindən istifadə edirik və qrafikləri “bölmək” texnikasından istifadə edirik.

Sahəsi D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Dəyərlər diapazonu E(y) = (0; +∞).

Baltalarla kəsişmə nöqtələri yoxdur. Funksiya bərabərdir. (-∞; 0) intervalından bütün x üçün artır, x üçün 0-dan +∞-ə qədər azalır.

Cavab: Şəkil 2.

Misal 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

Sahəsi D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada faktorlara ayırma, azaltma və xətti funksiyaya endirmə texnikasından istifadə etdik.

Cavab: Şəkil 3.

Misal 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiyasının qrafikini çəkin.

Həll.

Tərif dairəsi D(y) = R-dir. Funksiya cüt olduğundan, qrafik ordinata görə simmetrikdir. Qrafik qurmazdan əvvəl gəlin bütün hissəni vurğulayaraq ifadəni yenidən çevirək:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Qeyd edək ki, fraksiyalı rasional funksiyanın düsturunda tam hissənin təcrid edilməsi qrafiklərin qurulması zamanı əsaslardan biridir.

Əgər x → ±∞, onda y → 1, yəni. y = 1 düz xətti üfüqi asimptotdur.

Cavab: Şəkil 4.

Misal 7.

y = x/(x 2 + 1) funksiyasını nəzərdən keçirək və onun ən böyük qiymətini dəqiq tapmağa çalışaq, yəni. ən çox yüksək nöqtə qrafikin sağ yarısı. Bu qrafiki dəqiq qurmaq üçün bugünkü bilik kifayət deyil. Aydındır ki, əyrimiz çox yüksək "yüksəyə" bilməz, çünki məxrəc tez bir zamanda payı “ötməyə” başlayır. Gəlin görək funksiyanın qiyməti 1-ə bərabər ola bilərmi. Bunun üçün x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tənliyini həll etməliyik. Bu tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Bu o deməkdir ki, bizim fərziyyəmiz yanlışdır. Ən çox tapmaq üçün böyük əhəmiyyət kəsb edir funksiyası üçün A = x/(x 2 + 1) tənliyinin hansı ən böyük A-da həlli olacağını tapmaq lazımdır. İlkin tənliyi kvadratla əvəz edək: Аx 2 – x + А = 0. Bu tənliyin 1 – 4А 2 ≥ 0 olduqda həlli var. Buradan tapırıq. ən yüksək dəyər A = 1/2.

Cavab: Şəkil 5, max y(x) = ½.

Hələ suallarınız var? Funksiyaların qrafikini necə çəkməyi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

y = x p güc funksiyasının təyini sahəsində aşağıdakı düsturlar mövcuddur:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Güc funksiyalarının xassələri və onların qrafikləri

Eksponenti sıfıra bərabər olan güc funksiyası, p = 0

Əgər y = x p güc funksiyasının eksponenti sıfıra bərabərdirsə, p = 0, onda güc funksiyası bütün x ≠ 0 üçün müəyyən edilir və birə bərabər sabitdir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Təbii tək eksponentli güc funksiyası, p = n = 1, 3, 5, ...

Təbii tək göstəricisi n = 1, 3, 5, ... olan y = x p = x n güc funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu göstəricini aşağıdakı formada da yazmaq olar: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, ... mənfi olmayan tam ədəddir. Aşağıda belə funksiyaların xassələri və qrafikləri verilmişdir.

N = 1, 3, 5, ... eksponentinin müxtəlif qiymətləri üçün təbii tək eksponentli y = x n güc funksiyasının qrafiki.

Domen: -∞ < x < ∞
Çoxlu mənalar: -∞ < y < ∞
Paritet: tək, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton şəkildə artır
Ekstremallar: Yox
qabarıq:
-∞-də< x < 0 выпукла вверх
0-da< x < ∞ выпукла вниз
Bükülmə nöqtələri: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Limitlər:
;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1-də,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0-da, y(0) = 0 n = 0-da
x = 1, y(1) = 1 n = 1 üçün
Əks funksiya:
n = 1 üçün funksiya onun tərsidir: x = y
n ≠ 1 üçün tərs funksiya n dərəcəsinin köküdür:

Təbii cüt eksponentli güc funksiyası, p = n = 2, 4, 6, ...

Təbii cüt göstəricisi n = 2, 4, 6, ... olan y = x p = x n güc funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu göstəricini aşağıdakı formada da yazmaq olar: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... - təbii. Bu cür funksiyaların xassələri və qrafikləri aşağıda verilmişdir.

N = 2, 4, 6, ... eksponentinin müxtəlif qiymətləri üçün təbii cüt eksponentli y = x n güc funksiyasının qrafiki.

Domen: -∞ < x < ∞
Çoxlu mənalar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: cüt, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 üçün monoton şəkildə azalır
x ≥ 0 üçün monoton şəkildə artır
Ekstremallar: minimum, x = 0, y = 0
qabarıq: aşağı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Limitlər:
;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1-də, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0-da, y(0) = 0 n = 0-da
x = 1, y(1) = 1 n = 1 üçün
Əks funksiya:
n = 2 üçün, Kvadrat kök:
n ≠ 2 üçün, n dərəcənin kökü:

Mənfi tam eksponentli güc funksiyası, p = n = -1, -2, -3, ...

Tam mənfi göstəricisi n = -1, -2, -3, ... olan y = x p = x n güc funksiyasını nəzərdən keçirək. Əgər n = -k qoysaq, burada k = 1, 2, 3, ... natural ədəddir, onda onu aşağıdakı kimi göstərmək olar:

N = -1, -2, -3, ... eksponentinin müxtəlif qiymətləri üçün mənfi tam eksponentli y = x n güc funksiyasının qrafiki.

Tək eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tək mənfi göstəricisi n = -1, -3, -5, ... olan y = x n funksiyasının xassələri verilmişdir.

Domen: x ≠ 0
Çoxlu mənalar: y ≠ 0
Paritet: tək, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton şəkildə azalır
Ekstremallar: Yox
qabarıq:
x-də< 0 : выпукла вверх
x > 0 üçün: aşağıya doğru qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: Yox
İşarə:
x-də< 0, y < 0
x > 0, y > 0 üçün
Limitlər:
; ; ;
Şəxsi dəyərlər:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 üçün
Əks funksiya:
n = -1 olduqda,
n< -2 ,

Cüt eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda cüt mənfi göstəricisi n = -2, -4, -6, ... olan y = x n funksiyasının xassələri verilmişdir.

Domen: x ≠ 0
Çoxlu mənalar: y > 0
Paritet: cüt, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-də< 0 : монотонно возрастает
x > 0 üçün: monoton şəkildə azalır
Ekstremallar: Yox
qabarıq: aşağı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: Yox
İşarə: y > 0
Limitlər:
; ; ;
Şəxsi dəyərlər:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 üçün
Əks funksiya:
n = -2-də,
n< -2 ,

Rasional (kəsir) göstərici ilə güc funksiyası

Rasional (kəsr) eksponentli y = x p güc funksiyasını nəzərdən keçirək, burada n tam, m > 1 natural ədəddir. Üstəlik, n, m yoxdur ümumi bölənlər.

Kəsr göstəricisinin məxrəci təkdir

Kəsr göstəricisinin məxrəci tək olsun: m = 3, 5, 7, ... . Bu halda, x p güc funksiyası x arqumentinin həm müsbət, həm də mənfi qiymətləri üçün müəyyən edilir. Göstərici p müəyyən həddə olduqda belə güc funksiyalarının xassələrini nəzərdən keçirək.

p-dəyəri mənfi, s< 0

Rasional göstərici (tək məxrəcli m = 3, 5, 7, ...) sıfırdan kiçik olsun: .

Eksponentin müxtəlif qiymətləri üçün rasional mənfi eksponentli güc funksiyalarının qrafikləri, burada m = 3, 5, 7, ... - təkdir.

Tək say, n = -1, -3, -5, ...

y = x p güc funksiyasının xassələrini rasional mənfi göstərici ilə təqdim edirik, burada n = -1, -3, -5, ... tək mənfi tam ədəddir, m = 3, 5, 7 ... tək təbii tam ədəd.

Domen: x ≠ 0
Çoxlu mənalar: y ≠ 0
Paritet: tək, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton şəkildə azalır
Ekstremallar: Yox
qabarıq:
x-də< 0 : выпукла вверх
x > 0 üçün: aşağıya doğru qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: Yox
İşarə:
x-də< 0, y < 0
x > 0, y > 0 üçün
Limitlər:
; ; ;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1-də, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1, y(1) = 1 n = 1 üçün
Əks funksiya:

Cüt say, n = -2, -4, -6, ...

Rasional mənfi göstəricili y = x p güc funksiyasının xassələri, burada n = -2, -4, -6, ... cüt mənfi tam, m = 3, 5, 7 ... tək təbii tam ədəddir. .

Domen: x ≠ 0
Çoxlu mənalar: y > 0
Paritet: cüt, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-də< 0 : монотонно возрастает
x > 0 üçün: monoton şəkildə azalır
Ekstremallar: Yox
qabarıq: aşağı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: Yox
İşarə: y > 0
Limitlər:
; ; ;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1, y(-1) = (-1) n = 1-də
x = 1, y(1) = 1 n = 1 üçün
Əks funksiya:

P-dəyəri müsbətdir, birdən kiçik, 0< p < 1

Rasional eksponentli güc funksiyasının qrafiki (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tək say, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: -∞ < x < +∞
Çoxlu mənalar: -∞ < y < +∞
Paritet: tək, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton şəkildə artır
Ekstremallar: Yox
qabarıq:
x-də< 0 : выпукла вниз
x > 0 üçün: qabarıq yuxarı
Bükülmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
İşarə:
x-də< 0, y < 0
x > 0, y > 0 üçün
Limitlər:
;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1, y(-1) = -1-də
x = 0, y(0) = 0-da
x = 1, y(1) = 1 üçün
Əks funksiya:

Cüt say, n = 2, 4, 6, ...

Rasional göstəricisi 0 daxilində olan y = x p güc funksiyasının xassələri təqdim olunur< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: -∞ < x < +∞
Çoxlu mənalar: 0 ≤ y< +∞
Paritet: cüt, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-də< 0 : монотонно убывает
x > 0 üçün: monoton şəkildə artır
Ekstremallar: minimum x = 0, y = 0-da
qabarıq: x ≠ 0 üçün yuxarı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
İşarə: x ≠ 0, y > 0 üçün
Limitlər:
;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1, y(-1) = 1-də
x = 0, y(0) = 0-da
x = 1, y(1) = 1 üçün
Əks funksiya:

p indeksi birdən böyükdür, p > 1

Eksponentin müxtəlif qiymətləri üçün rasional eksponentli güc funksiyasının qrafiki (p > 1), burada m = 3, 5, 7, ... - təkdir.

Tək say, n = 5, 7, 9, ...

Rasional göstəricisi birdən böyük olan y = x p güc funksiyasının xassələri: . Burada n = 5, 7, 9, ... - tək təbii, m = 3, 5, 7 ... - tək təbii.

Domen: -∞ < x < ∞
Çoxlu mənalar: -∞ < y < ∞
Paritet: tək, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton şəkildə artır
Ekstremallar: Yox
qabarıq:
-∞-də< x < 0 выпукла вверх
0-da< x < ∞ выпукла вниз
Bükülmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Limitlər:
;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1, y(-1) = -1-də
x = 0, y(0) = 0-da
x = 1, y(1) = 1 üçün
Əks funksiya:

Cüt say, n = 4, 6, 8, ...

Rasional göstəricisi birdən böyük olan y = x p güc funksiyasının xassələri: . Burada n = 4, 6, 8, ... - hətta təbii, m = 3, 5, 7 ... - tək təbii.

Domen: -∞ < x < ∞
Çoxlu mənalar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: cüt, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-də< 0 монотонно убывает
x > 0 üçün monoton şəkildə artır
Ekstremallar: minimum x = 0, y = 0-da
qabarıq: aşağı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Limitlər:
;
Şəxsi dəyərlər:
x = -1, y(-1) = 1-də
x = 0, y(0) = 0-da
x = 1, y(1) = 1 üçün
Əks funksiya:

Kəsr göstəricisinin məxrəci cütdür

Kəsr göstəricisinin məxrəci cüt olsun: m = 2, 4, 6, ... . Bu halda, arqumentin mənfi dəyərləri üçün güc funksiyası x p müəyyən edilmir. Onun xassələri irrasional eksponentli güc funksiyasının xassələri ilə üst-üstə düşür (növbəti hissəyə baxın).

İrrasional eksponentli güc funksiyası

İrrasional p göstəricisi olan y = x p güc funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu cür funksiyaların xassələri yuxarıda müzakirə edilənlərdən fərqlənir ki, onlar x arqumentinin mənfi qiymətləri üçün müəyyən edilmir. Arqumentin müsbət qiymətləri üçün xassələr yalnız p eksponentinin qiymətindən asılıdır və p-nin tam, rasional və ya irrasional olmasından asılı deyildir.

p eksponentinin müxtəlif qiymətləri üçün y = x p.

Mənfi eksponent p ilə güc funksiyası< 0

Domen: x > 0
Çoxlu mənalar: y > 0
Monoton: monoton şəkildə azalır
qabarıq: aşağı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: Yox
Limitlər: ;
Şəxsi məna: x = 1 üçün y(1) = 1 p = 1

Müsbət göstərici p > 0 olan güc funksiyası

Göstərici bir 0-dan azdır< p < 1

Domen: x ≥ 0
Çoxlu mənalar: y ≥ 0
Monoton: monoton şəkildə artır
qabarıq: yuxarıya doğru qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Limitlər:
Şəxsi dəyərlər: x = 0 üçün y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 üçün y(1) = 1 p = 1

Göstərici bir p > 1-dən böyükdür

Domen: x ≥ 0
Çoxlu mənalar: y ≥ 0
Monoton: monoton şəkildə artır
qabarıq: aşağı qabarıq
Bükülmə nöqtələri: Yox
Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: x = 0, y = 0
Limitlər:
Şəxsi dəyərlər: x = 0 üçün y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 üçün y(1) = 1 p = 1

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

Həmçinin bax:

Koordinat oxundakı seqmentin uzunluğu düsturla müəyyən edilir:

Koordinat müstəvisindəki seqmentin uzunluğu düsturla tapılır:

Üçölçülü koordinat sistemində seqmentin uzunluğunu tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:

Seqmentin ortasının koordinatları (koordinat oxu üçün yalnız birinci düstur istifadə olunur, koordinat müstəvisi üçün - ilk iki düstur, üçölçülü koordinat sistemi üçün - hər üç düstur) düsturlardan istifadə etməklə hesablanır:

Funksiya– bu formanın uyğunluğudur y= f(x) dəyişən kəmiyyətlər arasında, buna görə hər bir dəyişən kəmiyyətin dəyəri nəzərə alınır x(arqument və ya müstəqil dəyişən) başqa bir dəyişənin müəyyən dəyərinə uyğundur, y(asılı dəyişən, bəzən bu dəyər sadəcə olaraq funksiyanın qiyməti adlanır). Qeyd edək ki, funksiya bir arqument dəyərini qəbul edir X asılı dəyişənin yalnız bir qiyməti uyğun ola bilər saat. Ancaq eyni dəyər saat müxtəlif ilə əldə etmək olar X.

Funksiya Domeni– bunlar müstəqil dəyişənin bütün dəyərləridir (funksiya arqumenti, adətən bu X), bunun üçün funksiya müəyyən edilir, yəni. onun mənası mövcuddur. Tərif sahəsi göstərilir D(y). Ümumiyyətlə, siz bu konsepsiya ilə artıq tanışsınız. Funksiyanın tərif sahəsinə icazə verilən dəyərlər sahəsi və ya çoxdan tapa bildiyiniz VA deyilir.

Funksiya diapazonu verilmiş funksiyanın asılı dəyişəninin bütün mümkün qiymətləridir. Təyin edilmişdir E(saat).

Funksiya artır interval üzrə harada daha yüksək dəyər arqument funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğundur. Funksiya azalır arqumentin daha böyük dəyərinin funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğun gəldiyi intervalda.

Funksiyanın sabit işarəsinin intervalları- bunlar asılı dəyişənin müsbət və ya mənfi işarəsini saxladığı müstəqil dəyişənin intervallarıdır.

Funksiya sıfırları– bunlar funksiyanın dəyərinin sıfıra bərabər olduğu arqumentin qiymətləridir. Bu nöqtələrdə funksiya qrafiki absis oxunu (OX oxu) kəsir. Çox vaxt funksiyanın sıfırlarını tapmaq zərurəti sadəcə olaraq tənliyi həll etmək ehtiyacı deməkdir. Həm də tez-tez işarənin sabitlik intervallarını tapmaq ehtiyacı bərabərsizliyi sadəcə həll etmək ehtiyacı deməkdir.

Funksiya y = f(x) adlandırılır hətta X

Bu o deməkdir ki, hər hansı bir şəxs üçün əks mənalar arqument, cüt funksiyanın dəyərləri bərabərdir. Cüt funksiyanın qrafiki həmişə op-ampın ordinat oxuna nisbətən simmetrik olur.

Funksiya y = f(x) adlandırılır qəribə, simmetrik çoxluqda və hər hansı bir üçün müəyyən edilirsə X Tərif sahəsindən bərabərlik aşağıdakılara malikdir:

Bu o deməkdir ki, arqumentin hər hansı əks dəyərləri üçün tək funksiyanın dəyərləri də əksdir. Tək funksiyanın qrafiki həmişə mənşəyə görə simmetrikdir.

Cüt və tək funksiyaların köklərinin cəmi (x oxunun OX kəsişmə nöqtələri) həmişə sıfıra bərabərdir, çünki hər müsbət kök üçün X mənfi kökə malikdir - X.

Qeyd etmək vacibdir: bəzi funksiyaların cüt və ya tək olması lazım deyil. Nə cüt, nə də tək olmayan bir çox funksiya var. Belə funksiyalar adlanır ümumi funksiyalar, və onlar üçün yuxarıda verilmiş bərabərliklərin və ya xassələrin heç biri təmin edilmir.

Xətti funksiya düsturla verilə bilən funksiyadır:

Xətti funksiyanın qrafiki düz xəttdir və ümumi halda belə görünür (məsələn, k> 0, bu halda funksiya artır; münasibət üçün k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Kvadrat funksiyanın qrafiki (Parabola)

Parabolanın qrafiki kvadrat funksiya ilə verilir:

Kvadrat funksiya, hər hansı digər funksiya kimi, OX oxunu onun kökləri olan nöqtələrdə kəsir: ( x 1 ; 0) və ( x 2 ; 0). Köklər yoxdursa, onda kvadrat funksiya OX oxunu kəsmir; yalnız bir kök varsa, bu nöqtədə ( x 0 ; 0) kvadrat funksiya yalnız OX oxuna toxunur, lakin onu kəsmir. Kvadrat funksiya həmişə OY oxunu koordinatları olan nöqtədə kəsir: (0; c). Kvadrat funksiyanın (parabola) qrafiki belə görünə bilər (şəkildə bütün mümkün parabola növlərini tükənməyən nümunələr göstərilir):

Burada:

• əmsalı olarsa a> 0, funksiyada y = balta 2 + bx + c, onda parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldilir;
• əgər a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə hesablamaq olar. X üstləri (səh- yuxarıdakı şəkillərdə) parabolalar (və ya kvadrat üçbucağın ən böyük və ya ən kiçik qiymətə çatdığı nöqtə):

İgrek üstləri (q- yuxarıdakı rəqəmlərdə) parabolalar və ya parabolanın budaqları aşağıya doğru yönəldildikdə maksimum ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), dəyər kvadrat üçbucaqlı:

Digər funksiyaların qrafikləri

Güc funksiyası

Güc funksiyalarının qrafiklərinə bəzi nümunələr:

Tərs mütənasibdir düsturla verilmiş funksiyadır:

Nömrənin işarəsindən asılı olaraq k Tərs mütənasib asılılıq qrafikinin iki əsas variantı ola bilər:

Asimptot funksiyanın qrafikinin sonsuz yaxınlaşdığı, lakin kəsişməyən xəttdir. Yuxarıdakı şəkildə göstərilən tərs mütənasiblik qrafikləri üçün asimptotlar funksiyanın qrafikinin sonsuz yaxınlaşdığı, lakin onları kəsmədiyi koordinat oxlarıdır.

Eksponensial funksiya baza ilə A düsturla verilmiş funksiyadır:

a Eksponensial funksiyanın qrafikinin iki əsas variantı ola bilər (biz də nümunələr veririk, aşağıya baxın):

Loqarifmik funksiya düsturla verilmiş funksiyadır:

Sayın birdən çox və ya az olmasından asılı olaraq a cədvəli loqarifmik funksiya iki əsas variant ola bilər:

Funksiya qrafiki y = |x| göstərildiyi kimi:

Dövri (triqonometrik) funksiyaların qrafikləri

Funksiya saat = f(x) adlanır dövri, əgər belə sıfırdan fərqli bir ədəd varsa T, Nə f(x + T) = f(x), hər kəs üçün X funksiyanın sahəsindən f(x). Əgər funksiyası f(x) dövri ilə dövridir T, sonra funksiya:

Harada: A, k, b sabit ədədlərdir və k sıfıra bərabər deyil, həm də dövrlə dövri T 1, düsturla müəyyən edilir:

Dövri funksiyaların əksər nümunələri triqonometrik funksiyalardır. Budur əsas qrafiklər triqonometrik funksiyalar. Aşağıdakı şəkildə funksiyanın qrafikinin bir hissəsi göstərilir y= günah x(bütün qrafik qeyri-müəyyən müddətə sola və sağa davam edir), funksiyanın qrafiki y= günah xçağırdı sinusoid:

Funksiya qrafiki y= cos xçağırdı kosinus. Bu qrafik aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Sinus qrafiki OX oxu boyunca sola və sağa qeyri-müəyyən müddətə davam etdiyi üçün:

Funksiya qrafiki y= tq xçağırdı tangentoid. Bu qrafik aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Digər dövri funksiyaların qrafikləri kimi, bu qrafik də OX oxu boyunca sola və sağa qeyri-müəyyən müddətə təkrarlanır.

Və nəhayət, funksiyanın qrafiki y=ctg xçağırdı kotangentoid. Bu qrafik aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Digər dövri və triqonometrik funksiyaların qrafikləri kimi, bu qrafik də OX oxu boyunca sola və sağa qeyri-müəyyən müddətə təkrarlanır.

• Geri
• İrəli

Fizika və riyaziyyatdan KT-yə necə uğurla hazırlaşmaq olar?

Fizika və riyaziyyat üzrə KT-yə uğurla hazırlaşmaq üçün digər məsələlərlə yanaşı, üç ən vacib şərti yerinə yetirmək lazımdır:

1. Bu saytda bütün mövzuları öyrənin və tədris materiallarında verilmiş bütün testləri və tapşırıqları yerinə yetirin. Bunu etmək üçün heç bir şeyə ehtiyacınız yoxdur, yəni: hər gün üç-dörd saatı fizika və riyaziyyatdan KT-yə hazırlaşmağa, nəzəriyyəni öyrənməyə və problemləri həll etməyə həsr edin. Fakt budur ki, KT yalnız fizika və ya riyaziyyatı bilmək kifayət olmayan bir imtahandır, həm də müxtəlif mövzularda və müxtəlif mürəkkəblikdə çoxlu sayda problemi tez və uğursuz həll etməyi bacarmalısınız. Sonuncunu ancaq minlərlə problemi həll etməklə öyrənmək olar.
2. Fizikada bütün düstur və qanunları, riyaziyyatda isə düstur və üsulları öyrənin. Əslində bunu etmək də çox sadədir, fizikada cəmi 200-ə yaxın zəruri düstur var, riyaziyyatda isə bir az daha az. Bu fənlərin hər birində əsas mürəkkəblik səviyyəsinin problemlərinin həlli üçün onlarla standart üsullar mövcuddur ki, onlar da öyrənilə bilər və beləliklə, tamamilə avtomatik və KT-nin əksəriyyətini lazımi anda həll etməkdə çətinlik çəkmədən. Bundan sonra yalnız ən çətin tapşırıqlar barədə düşünməli olacaqsınız.
3. Fizika və riyaziyyat üzrə sınaq imtahanının hər üç mərhələsində iştirak edin. Hər iki varianta qərar vermək üçün hər RT-yə iki dəfə baş çəkmək olar. Yenə də KT-də, problemləri tez və səmərəli həll etmək bacarığı, düstur və üsulları bilməklə yanaşı, həm də vaxtı düzgün planlaşdırmağı, qüvvələri bölüşdürməyi və ən əsası cavab formasını düzgün doldurmağı bacarmalısınız. cavabların və problemlərin nömrələrini və ya öz soyadınızı qarışdırmaq. Həmçinin, RT zamanı DT-də hazırlıqsız adama çox qeyri-adi görünə bilən problemlərdə sual vermək üslubuna alışmaq vacibdir.

Bu üç bəndin müvəffəqiyyətlə, çalışqan və məsuliyyətli şəkildə həyata keçirilməsi, eləcə də son məşq testlərinin məsuliyyətlə öyrənilməsi sizə KT-də mükəmməl nəticə göstərməyə, bacardıqlarınızın maksimumunu göstərməyə imkan verəcəkdir.

Səhv tapdınız?

Bir səhv tapdığınızı düşünürsünüzsə tədris materialları, onda zəhmət olmasa bu barədə yazın e-poçt(). Məktubda mövzunu (fizika və ya riyaziyyat), mövzunun və ya testin adını və ya nömrəsini, problemin nömrəsini və ya mətndə (səhifədə) sizin fikrinizcə səhv olan yeri göstərin. Həmçinin şübhəli səhvin nə olduğunu təsvir edin. Məktubunuz diqqətdən kənarda qalmayacaq, səhv ya düzəldiləcək, ya da niyə səhv olmadığı sizə izah ediləcək.

Əvvəlcə funksiyanın domenini tapmağa çalışın:

idarə etdin? Gəlin cavabları müqayisə edək:

Hər şey düzdür? Əla!

İndi funksiyanın dəyər diapazonunu tapmağa çalışaq:

Tapıldı? Gəlin müqayisə edək:

Anladım? Əla!

Yenidən qrafiklərlə işləyək, yalnız indi bir az daha mürəkkəbdir - həm funksiyanın tərif sahəsini, həm də funksiyanın dəyər diapazonunu tapın.

Bir funksiyanın həm domenini, həm də diapazonunu necə tapmaq olar (qabaqcıl)

Budur, baş verənlər:

Düşünürəm ki, siz qrafikləri anladınız. İndi düsturlara uyğun olaraq funksiyanın tərif sahəsini tapmağa çalışaq (bunu necə edəcəyinizi bilmirsinizsə, haqqında bölməni oxuyun):

idarə etdin? yoxlayaq cavablar:

1. , çünki radikal ifadə sıfırdan böyük və ya bərabər olmalıdır.
2. , çünki siz sıfıra bölmək olmaz və radikal ifadə mənfi ola bilməz.
3. , ildən, müvafiq olaraq, hamı üçün.
4. , çünki siz sıfıra bölmək olmaz.

Bununla belə, hələ cavabsız qalan bir məqamımız var...

Mən tərifi bir daha təkrarlayaraq vurğulayacağam:

Siz fərq etdiniz? “Tək” sözü bizim tərifimizin çox, çox vacib elementidir. Bunu sizə barmaqlarımla izah etməyə çalışacağam.

Tutaq ki, düz xətt ilə müəyyən edilmiş funksiyamız var. . Biz bu dəyəri “qaydamıza” əvəz edirik və onu əldə edirik. Bir dəyər bir dəyərə uyğundur. Hətta fərqli dəyərlər cədvəlini yarada və özümüz görmək üçün bu funksiyanın qrafikini çəkə bilərik.

“Bax! - deyirsən, ““ iki dəfə olur!” Bəlkə parabola funksiya deyil? Xeyr, elədir!

“ ” işarəsinin iki dəfə görünməsi parabolanı qeyri-müəyyənlikdə ittiham etmək üçün əsas deyil!

Fakt budur ki, hesablama apararkən bir oyun aldıq. Və hesablama apararkən bir oyun aldıq. Deməli, düzgündür, parabola bir funksiyadır. Qrafikə baxın:

Anladım? Yoxdursa, buyurun həyat nümunəsi riyaziyyatdan çox uzaq!

Tutaq ki, sənədləri təqdim edərkən görüşən bir qrup abituriyentimiz var ki, onların hər biri söhbətində harada yaşadığını deyib:

Razılaşın, bir şəhərdə bir neçə oğlanın yaşaması olduqca mümkündür, lakin bir insanın eyni vaxtda bir neçə şəhərdə yaşaması mümkün deyil. Bu, bizim "parabolanın" məntiqi təsvirinə bənzəyir - Bir neçə fərqli X eyni oyuna uyğun gəlir.

İndi asılılığın funksiya olmadığı bir nümunə ilə çıxış edək. Deyək ki, həmin uşaqlar bizə hansı ixtisaslara müraciət etdiklərini söylədilər:

Burada tamamilə fərqli bir vəziyyət var: bir şəxs asanlıqla bir və ya bir neçə istiqamət üzrə sənədləri təqdim edə bilər. Yəni bir element dəstlər korrespondensiyaya salınır bir neçə elementçoxluq. müvafiq olaraq, bu funksiya deyil.

Gəlin biliklərinizi praktikada yoxlayaq.

Şəkillərdən funksiyanın nə olduğunu və nəyin olmadığını müəyyən edin:

Anladım? Və budur cavablar:

• Funksiya - B, E.
• Funksiya deyil - A, B, D, D.

Soruşursan niyə? Bəli, bunun səbəbi:

Bütün şəkillərdə istisna olmaqla IN) Və E) Biri üçün bir neçə var!

Əminəm ki, indi bir funksiyanı qeyri-funksiyadan asanlıqla ayırd edə, arqumentin nə olduğunu və asılı dəyişənin nə olduğunu söyləyə, həmçinin bir arqumentin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu və funksiyanın təyini diapazonunu təyin edə bilərsiniz. . Gəlin növbəti hissəyə keçək - funksiyanı necə təyin etmək olar?

Funksiyanı təyin etmək üsulları

Sizcə sözlər nə deməkdir? "funksiya təyin et"? Düzdü, bu, bu halda hansı funksiyadan danışdığımızı hamıya izah etmək deməkdir. Üstəlik bunu elə izah edin ki, hamı sizi düzgün başa düşsün və sizin izahatınıza əsasən insanların çəkdiyi funksiya qrafikləri eyni olsun.

Bunu necə edə bilərəm? Bir funksiyanı necə təyin etmək olar? Bu məqalədə artıq bir dəfədən çox istifadə edilmiş ən sadə üsuldur düsturdan istifadə etməklə. Bir düstur yazırıq və onun içinə bir dəyər qoyaraq dəyəri hesablayırıq. Və xatırladığınız kimi, düstur bir qanundur, bir qaydadır ki, X-in necə Y-yə çevrilməsi bizə və başqa bir insana aydın olur.

Adətən, onlar məhz belə edirlər - tapşırıqlarda biz düsturlarla müəyyən edilmiş hazır funksiyaları görürük, lakin hər kəsin unutduğu funksiyanı təyin etməyin başqa yolları var və buna görə də "bir funksiyanı başqa necə təyin edə bilərsiniz?" maneələr. Gəlin hər şeyi qaydasında anlayaq və analitik metoddan başlayaq.

Funksiyanı təyin etməyin analitik üsulu

Analitik metod düsturdan istifadə edərək funksiyanı təyin etməkdir. Bu, ən universal, hərtərəfli və birmənalı üsuldur. Bir düsturunuz varsa, onda siz funksiya haqqında tamamilə hər şeyi bilirsiniz - ondan qiymətlər cədvəli yarada, qrafik qura, funksiyanın harada artdığını və harada azaldığını təyin edə bilərsiniz, ümumiyyətlə, onu öyrənə bilərsiniz. tam.

Funksiyanı nəzərdən keçirək. Fərq nədir?

"Bunun mənası nədi?" – soruşursan. İndi izah edəcəyəm.

Nəzərinizə çatdırım ki, qeydlərdə mötərizədə olan ifadə arqument adlanır. Və bu arqument hər hansı bir ifadə ola bilər, mütləq sadə deyil. Müvafiq olaraq, arqument (mötərizədəki ifadə) nə olursa olsun, ifadənin yerinə onu yazacağıq.

Bizim nümunəmizdə bu belə görünəcək:

İmtahanda olacaq funksiyanı təyin etməyin analitik üsulu ilə bağlı başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirək.

ifadəsinin qiymətini tapın.

Əminəm ki, əvvəlcə belə bir ifadə görəndə qorxdunuz, amma bunda tamamilə qorxulu bir şey yoxdur!

Hər şey əvvəlki misaldakı kimidir: arqument (mötərizədəki ifadə) nə olursa olsun, biz onu ifadənin yerinə yazacağıq. Məsələn, bir funksiya üçün.

Bizim nümunəmizdə nə etmək lazımdır? Bunun əvəzinə yazmalısınız və əvəzinə -:

nəticədə ifadəni qısaltın:

Hamısı budur!

Müstəqil iş

İndi aşağıdakı ifadələrin mənasını özünüz tapmağa çalışın:

1. , Əgər
2. , Əgər

idarə etdin? Cavablarımızı müqayisə edək: Biz funksiyanın formaya malik olmasına öyrəşmişik

Hətta nümunələrimizdə biz funksiyanı məhz bu şəkildə müəyyən edirik, lakin analitik olaraq, məsələn, funksiyanı gizli formada təyin etmək mümkündür.

Bu funksiyanı özünüz qurmağa çalışın.

idarə etdin?

Mən onu belə qurdum.

Nəhayət hansı tənliyi əldə etdik?

Doğru! Xətti, yəni qrafik düz xətt olacaq. Hansı nöqtələrin xəttimizə aid olduğunu müəyyən etmək üçün cədvəl yaradaq:

Söhbət məhz bundan gedirdi... Biri bir neçəsinə uyğun gəlir.

Baş verənləri çəkməyə çalışaq:

Əldə etdiyimiz funksiya varmı?

Düzdü, yox! Niyə? Bu suala bir rəsm köməyi ilə cavab verməyə çalışın. Nə aldınız?

"Çünki bir dəyər bir neçə dəyərə uyğundur!"

Bundan hansı nəticə çıxara bilərik?

Düzdür, funksiya həmişə açıq şəkildə ifadə edilə bilməz və funksiya kimi “gizlənən” həmişə funksiya deyil!

Funksiyanı təyin etmək üçün cədvəl üsulu

Adından da göründüyü kimi, bu üsul sadə bir işarədir. Hə hə. Sizin və mənim artıq düzəltdiyimiz kimi. Misal üçün:

Burada dərhal bir nümunə gördün - Y X-dən üç dəfə böyükdür. İndi isə “çox diqqətlə düşünmək” tapşırığı: sizcə, cədvəl şəklində verilmiş funksiya funksiyaya bərabərdirmi?

Uzun müddət danışmayaq, amma çəkək!

Belə ki. Divar kağızı ilə göstərilən funksiyanı aşağıdakı yollarla çəkirik:

Fərqi görürsən? Hər şey qeyd olunan nöqtələrə aid deyil! Daha yaxından baxın:

İndi görmüsən? Funksiyanı cədvəl şəklində təyin etdikdə, qrafikdə yalnız cədvəldə olan nöqtələri göstəririk və xətt (bizim vəziyyətimizdə olduğu kimi) yalnız onlardan keçir. Bir funksiyanı analitik olaraq təyin etdikdə istənilən nöqtələri götürə bilərik və funksiyamız onlarla məhdudlaşmır. Bu özəllikdir. Unutma!

Funksiyanın qurulmasının qrafik üsulu

Funksiyanı qurmağın qrafik üsulu daha az rahat deyil. Biz funksiyamızı çəkirik və başqa bir maraqlı şəxs müəyyən x-də y-nin nəyə bərabər olduğunu tapa bilər və s. Qrafik və analitik üsullar ən çox yayılmışlar arasındadır.

Bununla belə, burada əvvəldən nə haqqında danışdığımızı xatırlamaq lazımdır - koordinat sistemində çəkilmiş hər bir "burma" funksiya deyil! Sən xatırlayırsan? Hər halda, funksiyanın nə olduğunun tərifini buraya köçürəcəyəm:

Bir qayda olaraq, insanlar adətən müzakirə etdiyimiz funksiyanı dəqiqləşdirməyin üç yolunu adlandırırlar - analitik (düsturdan istifadə etməklə), cədvəl və qrafik, funksiyanın şifahi şəkildə təsvir oluna biləcəyini tamamilə unudurlar. Bunun kimi? Bəli, çox sadə!

Funksiyanın şifahi təsviri

Bir funksiyanı şifahi olaraq necə təsvir etmək olar? Ən son nümunəmizi götürək - . Bu funksiyanı "x-in hər bir real dəyəri onun üçqat dəyərinə uyğundur" kimi təsvir etmək olar. Hamısı budur. Mürəkkəb bir şey yoxdur. Siz, əlbəttə ki, etiraz edəcəksiniz - “belə var mürəkkəb funksiyalarşifahi olaraq soruşmaq mümkün deyil!” Bəli, belələri var, lakin elə funksiyalar var ki, onları şifahi şəkildə təsvir etmək düsturla müəyyən etməkdən daha asandır. Məsələn: "x-in hər bir təbii dəyəri onun təşkil etdiyi rəqəmlər arasındakı fərqə uyğundur, minuend isə ədədin qeydində olan ən böyük rəqəm kimi qəbul edilir." İndi funksiyanın şifahi təsvirinin praktikada necə həyata keçirildiyinə baxaq:

Ən yüksək rəqəm verilmiş nömrə- , müvafiq olaraq, minuenddir, onda:

Funksiyaların əsas növləri

İndi keçək ən maraqlı hissəyə - gəlin məktəb və kollec riyaziyyatı kursunda işlədiyiniz/işlədiyiniz və işləyəcəyiniz əsas funksiya növlərinə baxaq, yəni onlarla tanış olaq, belə deyək. , və onlara qısa təsvir verin. Müvafiq bölmədə hər bir funksiya haqqında ətraflı oxuyun.

Xətti funksiya

Həqiqi ədədlərin olduğu formanın funksiyası.

Bu funksiyanın qrafiki düz xəttdir, ona görə də xətti funksiyanın qurulması iki nöqtənin koordinatlarını tapmağa gəlir.

Düz xəttin koordinat müstəvisində mövqeyi bucaq əmsalından asılıdır.

Funksiyanın əhatə dairəsi (aka etibarlı arqument dəyərlərinin əhatə dairəsi) .

Dəyərlər diapazonu - .

Kvadrat funksiya

Formanın funksiyası, harada

Funksiyanın qrafiki paraboladır; parabolanın budaqları aşağı, budaqları yuxarı yönəldildikdə.

Kvadrat funksiyanın bir çox xassələri diskriminantın qiymətindən asılıdır. Diskriminant düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Parabolanın qiymətə və əmsala nisbətən koordinat müstəvisindəki mövqeyi şəkildə göstərilmişdir:

Domen

Dəyərlər diapazonu verilmiş funksiyanın ekstremumundan (parabolanın təpə nöqtəsi) və əmsalından (parabolanın budaqlarının istiqaməti) asılıdır.

Tərs mütənasiblik

Düsturla verilən funksiya, burada

Ədəd tərs mütənasiblik əmsalı adlanır. Dəyərdən asılı olaraq hiperbolanın budaqları müxtəlif kvadratlardadır:

Domen - .

Dəyərlər diapazonu - .

XÜLASƏ VƏ ƏSAS FORMULLAR

1. Funksiya çoxluğun hər bir elementinin çoxluğun tək elementi ilə əlaqələndirilməsi qaydasıdır.

• - bu, funksiyanı, yəni bir dəyişənin digərindən asılılığını bildirən düsturdur;
• - dəyişən dəyər və ya arqument;
• - asılı kəmiyyət - arqument dəyişdikdə, yəni bir kəmiyyətin digərindən asılılığını əks etdirən hər hansı konkret düstura görə dəyişir.

2. Etibarlı arqument dəyərləri, və ya funksiyanın sahəsi, funksiyanın mənalı olduğu imkanlarla əlaqəli olan şeydir.

3. Funksiya diapazonu- məqbul dəyərləri nəzərə alaraq qəbul etdiyi dəyərlər budur.

4. Funksiyanı təyin etməyin 4 yolu var:

• analitik (düsturlardan istifadə etməklə);
• cədvəlli;
• qrafik
• şifahi təsvir.

5. Əsas funksiya növləri:

• : , burada, həqiqi ədədlərdir;
• : , Harada;
• : , Harada.