b ədədinin a əsasını qoymaq üçün loqarifmi b ədədini əldə etmək üçün a ədədinin qaldırılmalı olduğu göstəricidir.

Əgər, onda.

Loqarifm - ifrat mühüm riyazi kəmiyyət, çünki loqarifmik hesablama təkcə eksponensial tənlikləri həll etməyə deyil, həm də eksponentlərlə işləməyə, eksponensial və loqarifmik funksiyaları fərqləndirməyə, onları inteqrasiya etməyə və hesablanmaq üçün daha məqbul formaya aparmağa imkan verir.

ilə təmasda

Loqarifmlərin bütün xassələri eksponensial funksiyaların xassələri ilə birbaşa bağlıdır. Məsələn, fakt bunun mənası:

Qeyd etmək lazımdır ki, konkret məsələləri həll edərkən loqarifmlərin xassələri güclərlə işləmə qaydalarından daha vacib və faydalı ola bilər.

Bəzi şəxsiyyətləri təqdim edək:

Budur əsas cəbri ifadələr:

;

.

Diqqət! yalnız x>0, x≠1, y>0 üçün mövcud ola bilər.

Təbii loqarifmlərin nə olduğu sualını anlamağa çalışaq. Riyaziyyata xüsusi maraq iki növü təmsil edir- birincinin əsası “10” rəqəminə malikdir və “onluq loqarifm” adlanır. İkincisi təbii adlanır. Natural loqarifmin əsası “e” rəqəmidir. Bu məqalədə ətraflı danışacağımız şey budur.

Təyinatlar:

• lg x - onluq;
• ln x - təbii.

Eynilikdən istifadə edərək ln e = 1 olduğunu, həmçinin lg 10=1 olduğunu görə bilərik.

Təbii loqarifm qrafiki

Nöqtə-nöqtə standart klassik metoddan istifadə edərək natural loqarifmin qrafikini quraq. İstəyirsinizsə, funksiyanı yoxlayaraq funksiyanı düzgün qurduğumuzu yoxlaya bilərsiniz. Bununla birlikdə, loqarifmanı necə düzgün hesablamağı bilmək üçün onu "əl ilə" necə qurmağı öyrənmək mantiqidir.

Funksiya: y = ln x. Qrafikin keçəcəyi nöqtələr cədvəlini yazaq:

X arqumentinin bu xüsusi dəyərlərini niyə seçdiyimizi izah edək. Hər şey şəxsiyyətə aiddir: . Təbii loqarifm üçün bu eynilik belə görünəcək:

Rahatlıq üçün beş istinad nöqtəsini götürə bilərik:

;

;

.

;

.

Beləliklə, hesablama təbii loqarifmlər kifayət qədər sadə bir işdir, üstəlik, dərəcələrlə əməliyyatların hesablamalarını asanlaşdırır, onları adi vurma.

Qrafik nöqtə-nöqtə çəkərək təxmini bir qrafik alırıq:

Təbii loqarifmin tərif sahəsi (yəni X arqumentinin bütün etibarlı dəyərləri) sıfırdan böyük olan bütün ədədlərdir.

Diqqət! Natural loqarifmin tərif sahəsinə yalnız müsbət ədədlər daxildir! Tərifin əhatə dairəsinə x=0 daxil deyil. Loqarifmin mövcudluğu şərtlərinə görə bu mümkün deyil.

Dəyərlər diapazonu (yəni y = ln x funksiyasının bütün etibarlı dəyərləri) intervaldakı bütün ədədlərdir.

Təbii log limiti

Qrafiki öyrənərkən sual yaranır - funksiya y-də necə davranır<0.

Aydındır ki, funksiyanın qrafiki y oxunu keçməyə meyllidir, lakin bunu edə bilməyəcək, çünki x-in təbii loqarifmi<0 не существует.

Təbii həddi log bu şəkildə yazmaq olar:

Loqarifmin əsasını əvəz etmək üçün düstur

Təbii loqarifmlə işləmək ixtiyari əsası olan loqarifmlə işləməkdən daha asandır. Buna görə də biz hər hansı bir loqarifmanı naturala endirməyi və ya təbii loqarifmlər vasitəsilə onu ixtiyari bazaya ifadə etməyi öyrənməyə çalışacağıq.

Loqarifmik eynilikdən başlayaq:

Onda istənilən ədəd və ya dəyişən y aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

burada x istənilən ədəddir (loqarifmin xassələrinə görə müsbət).

Bu ifadə hər iki tərəfdən loqarifmik olaraq götürülə bilər. Bunu ixtiyari z bazasından istifadə edərək edək:

Mülkiyyətdən istifadə edək (yalnız “c” əvəzinə ifadəmiz var):

Buradan universal düstur alırıq:

.

Xüsusilə, z=e olarsa, onda:

.

Biz iki natural loqarifmin nisbəti ilə bir loqarifmanı ixtiyari bazaya təmsil edə bildik.

Biz problemləri həll edirik

Təbii loqarifmləri daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə məsələnin nümunələrinə baxaq.

Problem 1. ln x = 3 tənliyini həll etmək lazımdır.

Həll: Loqarifmin tərifindən istifadə edərək: əgər , onda , alırıq:

Problem 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 tənliyini həll edin.

Həlli: Loqarifmin tərifindən istifadə edərək: əgər , onda , alırıq:

.

Yenidən loqarifmin tərifindən istifadə edək:

.

Beləliklə:

.

Cavabı təxminən hesablaya bilərsiniz və ya bu formada buraxa bilərsiniz.

Tapşırıq 3. Tənliyi həll edin.

Həll:Əvəz edək: t = ln x. Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

.

Kvadrat tənliyimiz var. Onun diskriminantını tapaq:

Statistikada və ehtimal nəzəriyyəsində loqarifmik kəmiyyətlərə çox tez-tez rast gəlinir. Bu təəccüblü deyil, çünki e sayı çox vaxt eksponensial kəmiyyətlərin artım sürətini əks etdirir.

Kompüter elmində, proqramlaşdırmada və kompüter nəzəriyyəsində, məsələn, N biti yaddaşda saxlamaq üçün loqarifmlərə tez-tez rast gəlinir.

Fraktallar və ölçülər nəzəriyyələrində loqarifmlərdən daim istifadə olunur, çünki fraktalların ölçüləri yalnız onların köməyi ilə müəyyən edilir.

Mexanika və fizikada Loqarifmlərdən istifadə olunmayan bölmə yoxdur. Barometrik paylanma, statistik termodinamikanın bütün prinsipləri, Tsiolkovski tənliyi və s. yalnız loqarifmlərdən istifadə etməklə riyazi təsvir edilə bilən proseslərdir.

Kimyada Nernst tənliklərində və redoks proseslərinin təsvirlərində loqarifmlərdən istifadə olunur.

Təəccüblüdür ki, hətta musiqidə oktavanın hissələrinin sayını öyrənmək üçün loqarifmlərdən istifadə olunur.

Natural loqarifm Funksiyası y=ln x onun xassələri

Natural loqarifmin əsas xassəsinin sübutu

e sayına əsasən: ln x = log e x.

Təbii loqarifm riyaziyyatda geniş istifadə olunur, çünki onun törəməsi ən sadə formaya malikdir: (ln x)' = 1/ x.

əsasında təriflər, natural loqarifmin əsası ədəddir e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = funksiyasının qrafiki ln x.

Natural loqarifmin qrafiki (y = funksiyaları ln x) eksponensial qrafikdən y = x düz xəttinə nisbətən güzgü əksi ilə alınır.

Təbii loqarifm x dəyişəninin müsbət qiymətləri üçün müəyyən edilir. Tərif sahəsində monoton şəkildə artır.

x-də → 0 natural loqarifmin həddi mənfi sonsuzluqdur (-∞).

x → + ∞ olduğu üçün natural loqarifmin həddi üstəgəl sonsuzluqdur (+ ∞). Böyük x üçün loqarifm olduqca yavaş artır. Müsbət göstəricisi a olan istənilən güc funksiyası x a loqarifmadan daha sürətli böyüyür.

Natural loqarifmin xassələri

Tərif sahəsi, qiymətlər toplusu, ekstremal, artım, azalma

Təbii loqarifm monoton artan funksiyadır, ona görə də onun ekstremal nöqtəsi yoxdur. Təbii loqarifmin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir.

ln x dəyərləri

ln 1 = 0

Təbii loqarifmlər üçün əsas düsturlar

Tərs funksiyanın tərifindən irəli gələn düsturlar:

Loqarifmlərin əsas xassəsi və onun nəticələri

Baza dəyişdirmə düsturu

İstənilən loqarifm əsas əvəzetmə düsturundan istifadə edərək natural loqarifmlərlə ifadə edilə bilər:

Bu düsturların sübutları “Loqarifm” bölməsində verilmişdir.

Tərs funksiya

Natural loqarifmin tərsi eksponentdir.

Əgər, onda

Əgər, onda.

Törəmə ln x

Təbii loqarifmin törəməsi:
.
X modulunun natural loqarifminin törəməsi:
.
n-ci dərəcəli törəmə:
.
Düsturların alınması > > >

İnteqral

İnteqral hissələr üzrə inteqrasiya yolu ilə hesablanır:
.
Belə ki,

Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr

Kompleks dəyişən z funksiyasını nəzərdən keçirək:
.
Kompleks dəyişəni ifadə edək z modul vasitəsilə r və mübahisə φ :
.
Loqarifmin xassələrindən istifadə edərək, əldə edirik:
.
Və ya
.
φ arqumenti unikal şəkildə müəyyən edilməyib. qoysan
, burada n tam ədəddir,
fərqli n üçün eyni ədəd olacaq.

Buna görə də, mürəkkəb dəyişənin funksiyası kimi natural loqarifm tək qiymətli funksiya deyil.

Güc seriyasının genişləndirilməsi

Genişlənmə baş verdikdə:

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

Təbii loqarifm

Natural loqarifm funksiyasının qrafiki. Funksiya artdıqca yavaş-yavaş müsbət sonsuzluğa yaxınlaşır x və zaman mənfi sonsuzluğa tez yaxınlaşır x hər hansı güc funksiyası ilə müqayisədə 0-a ("yavaş" və "sürətli") meyl edir x).

Təbii loqarifm bazanın loqarifmidir , Harada e- təqribən 2,718281 828-ə bərabər olan irrasional sabit. Təbii loqarifm adətən ln( kimi yazılır. x), log e (x) və ya bəzən sadəcə daxil olun( x), əsasdırsa e nəzərdə tutulur.

Ədədin natural loqarifmi x(kimi yazılıb ln(x)) ədədin qaldırılmalı olduğu göstəricidir e, əldə etmək x. Misal üçün, ln(7,389...) 2-yə bərabərdir, çünki e 2 =7,389... . Ədədin özünün natural loqarifmi e (ln(e)) 1-ə bərabərdir, çünki e 1 = e, və təbii loqarifm 1-dir ( ln(1)) 0-a bərabərdir, çünki e 0 = 1.

Təbii loqarifm istənilən müsbət həqiqi ədəd üçün müəyyən edilə bilər aəyri altındakı sahə kimi y = 1/x 1-dən a. Təbii loqarifmadan istifadə edən bir çox digər düsturlara uyğun gələn bu tərifin sadəliyi “təbii” adının yaranmasına səbəb olmuşdur. Bu tərif aşağıda müzakirə olunduğu kimi kompleks ədədlərə də şamil edilə bilər.

Əgər natural loqarifmanı real dəyişənin real funksiyası hesab etsək, o zaman eksponensial funksiyanın tərs funksiyası eyniliklərə gətirib çıxarır:

Bütün loqarifmlər kimi, təbii loqarifm də vurma və toplamanı xəritələşdirir:

Beləliklə, loqarifmik funksiya əlavə ilə bağlı həqiqi ədədlər qrupuna vurulan müsbət həqiqi ədədlər qrupunun izomorfizmidir və funksiya kimi təqdim edilə bilər:

Loqarifm 1-dən başqa hər hansı müsbət baza üçün müəyyən edilə bilər, yalnız deyil e, lakin digər əsaslar üçün loqarifmlər natural loqarifmdən yalnız sabit əmsala görə fərqlənir və adətən natural loqarifm baxımından müəyyən edilir. Loqarifmlər naməlumları eksponent kimi cəlb edən tənlikləri həll etmək üçün faydalıdır. Məsələn, loqarifmlərdən məlum yarımparçalanma dövrü üçün çürümə sabitini tapmaq və ya radioaktivlik məsələlərinin həllində parçalanma vaxtını tapmaq üçün istifadə olunur. Onlar riyaziyyat və tətbiqi elmlərin bir çox sahələrində mühüm rol oynayır və mürəkkəb faizlərin tapılması da daxil olmaqla bir çox problemlərin həlli üçün maliyyədə istifadə olunur.

Hekayə

Təbii loqarifmin ilk qeydini Nikolas Merkator öz əsərində etmişdir Loqarifmotexnika, 1668-ci ildə nəşr olundu, baxmayaraq ki, riyaziyyat müəllimi Con Spidell 1619-cu ildə təbii loqarifmlər cədvəlini tərtib etdi. Hiperbolanın altındakı sahəyə uyğun gəldiyi üçün əvvəllər hiperbolik loqarifm adlanırdı. Bəzən Napier loqarifmi adlanır, baxmayaraq ki, bu terminin ilkin mənası bir qədər fərqli idi.

Təyinat konvensiyaları

Təbii loqarifm adətən “ln() ilə işarələnir. x)", 10-cu bazaya loqarifm - "lg() vasitəsilə x)" və digər səbəblər adətən "log" simvolu ilə açıq şəkildə göstərilir.

Diskret riyaziyyat, kibernetika və informatika üzrə bir çox əsərlərdə müəlliflər “log( x)" loqarifmləri üçün 2-ci bazaya uyğundur, lakin bu konvensiya ümumiyyətlə qəbul edilmir və ya istifadə edilən qeydlər siyahısında, ya da (belə siyahı olmadıqda) ilk dəfə istifadə edildiyi zaman qeyd və ya şərhlə aydınlaşdırma tələb edir.

Loqarifmlərin arqumenti ətrafında mötərizələr (əgər bu, düsturun səhv oxunmasına gətirib çıxarmazsa) adətən buraxılır və loqarifmi gücə qaldırarkən eksponent birbaşa loqarifmin işarəsinə təyin edilir: ln 2 ln 3 4. x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerika sistemi

Riyaziyyatçılar, statistiklər və bəzi mühəndislər adətən təbii loqarifmanı və ya “log( x)" və ya "ln( x)", və əsas 10 loqarifmini işarələmək üçün - "log 10 ( x)».

Bəzi mühəndislər, bioloqlar və digər mütəxəssislər həmişə “ln( x)" (və ya bəzən "log e ( x)") təbii loqarifmi və "log() qeydini nəzərdə tutduqda x)" onlar log 10 deməkdir ( x).

log e"təbii" loqarifmdir, çünki avtomatik olaraq baş verir və riyaziyyatda çox tez-tez görünür. Məsələn, törəmə problemini nəzərdən keçirək loqarifmik funksiya:

Baza varsa b bərabərdir e, onda törəmə sadəcə 1/ x, və nə zaman x= 1 bu törəmə 1-ə bərabərdir. Baza olmasının başqa bir səbəbi e Loqarifmlə bağlı ən təbii cəhət ondan ibarətdir ki, o, sadə inteqral və ya Teylor seriyası baxımından olduqca sadə şəkildə müəyyən edilə bilər, digər loqarifmlər haqqında isə bunu söyləmək mümkün deyil.

Təbiiliyin əlavə əsaslandırılması nota ilə əlaqəli deyil. Məsələn, təbii loqarifmləri olan bir neçə sadə sıra var. Pietro Mengoli və Nicholas Mercator onları çağırdı logarithmus naturalis Nyuton və Leybniz diferensial və inteqral hesablamaları inkişaf etdirənə qədər bir neçə onilliklər keçdi.

Tərif

Formal olaraq ln( a) qrafiki 1/ əyrisi altındakı sahə kimi müəyyən edilə bilər. x 1-dən a, yəni inteqral olaraq:

Bu, həqiqətən loqarifmdir, çünki loqarifmin əsas xüsusiyyətini təmin edir:

Bunu aşağıdakı fərziyyə ilə nümayiş etdirmək olar:

Rəqəmsal dəyər

Ədədin natural loqarifminin ədədi dəyərini hesablamaq üçün onun Taylor seriyasının genişləndirilməsini aşağıdakı formada istifadə edə bilərsiniz:

Daha yaxşı yaxınlaşma dərəcəsi əldə etmək üçün aşağıdakı şəxsiyyətdən istifadə edə bilərsiniz:

bir şərtlə ki y = (x−1)/(x+1) və x > 0.

ln üçün( x), Harada x> 1, dəyər daha yaxındır x 1-ə, yaxınlaşma dərəcəsi daha sürətli olar. Loqarifmlə əlaqəli şəxsiyyətlər məqsədə çatmaq üçün istifadə edilə bilər:

Bu üsullar hesablayıcıların meydana çıxmasından əvvəl də istifadə olunurdu, bunun üçün ədədi cədvəllər istifadə olunurdu və yuxarıda təsvir edilənlərə bənzər manipulyasiyalar aparılırdı.

Yüksək dəqiqlik

Çoxlu sayda dəqiq rəqəmlərlə təbii loqarifmanı hesablamaq üçün Teylor seriyası effektiv deyil, çünki onun yaxınlaşması yavaşdır. Alternativ sırası daha tez birləşən eksponensial funksiyaya çevrilmək üçün Nyuton metodundan istifadə etməkdir.

Çox üçün bir alternativ yüksək dəqiqlik hesablama düsturdur:

Harada M 1 və 4/s arifmetik-həndəsi ortasını bildirir və

m belə seçilmişdir səh dəqiqlik göstəriciləri əldə edilir. (Əksər hallarda m üçün 8 qiyməti kifayətdir.) Əslində, bu üsuldan istifadə edilərsə, eksponensial funksiyanı səmərəli hesablamaq üçün Nyutonun natural loqarifminin tərsi tətbiq oluna bilər. (ln 2 və pi sabitləri məlum olan sürətlə yaxınlaşan seriyalardan hər hansı istifadə edərək istənilən dəqiqliyə qədər əvvəlcədən hesablana bilər.)

Hesablama mürəkkəbliyi

Natural loqarifmlərin hesablama mürəkkəbliyi (arifmetik-həndəsi ortadan istifadə etməklə) O( M(n)ln n). Budur n natural loqarifmin qiymətləndirilməli olduğu dəqiqlik rəqəmlərinin sayıdır və M(n) ikinin vurulmasının hesablama mürəkkəbliyidir n-rəqəmli nömrələr.

Davamlı fraksiyalar

Loqarifmanı təmsil etmək üçün sadə davamlı kəsrlər olmasa da, bir neçə ümumiləşdirilmiş davamlı fraksiyalardan istifadə edilə bilər, o cümlədən:

Kompleks loqarifmlər

Eksponensial funksiya formanın kompleks sayını verən funksiyaya qədər genişləndirilə bilər e x istənilən ixtiyari kompleks ədəd üçün x, bu halda kompleksi olan sonsuz sıra x. Bu eksponensial funksiya adi loqarifmlərin əksər xassələrinə malik olacaq mürəkkəb loqarifm yaratmaq üçün tərsinə çevrilə bilər. Bununla belə, iki çətinlik var: yoxdur x, hansı üçün e x= 0 və belə çıxır ki e 2πi = 1 = e 0 . Multiplikativlik xassəsi mürəkkəb eksponensial funksiya üçün etibarlı olduğu üçün e z = e z+2nπi bütün komplekslər üçün z və bütöv n.

Loqarifmi bütün kompleks müstəvidə müəyyən etmək mümkün deyil və buna görə də çoxqiymətlidir - istənilən mürəkkəb loqarifmi 2-yə istənilən tam ədədi əlavə etməklə "ekvivalent" loqarifmlə əvəz etmək olar. πi. Mürəkkəb loqarifm yalnız bir dilimdə tək qiymətli ola bilər mürəkkəb müstəvi. Məsələn, ln i = 1/2 πi və ya 5/2 πi və ya −3/2 πi və s., və baxmayaraq ki i 4 = 1.4 log i 2 kimi müəyyən edilə bilər πi, və ya 10 πi və ya −6 πi, və s.

həmçinin bax

• John Napier - loqarifmlərin ixtiraçısı

Qeydlər

1. Fiziki kimya üçün riyaziyyat. - 3-cü. - Akademik Mətbuat, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, 9-cu səhifədən çıxarış
2. JJO"Connor və EF Robertson Nömrə e. MacTutor Riyaziyyat Tarixi arxivi (Sentyabr 2001). 12 fevral 2012-ci il tarixində orijinaldan arxivləşdirilib.
3. Cajori Florian Riyaziyyat tarixi, 5-ci nəşr. - AMS Kitabevi, 1991. - S. 152. -

Loqarifm verilmiş nömrə başqa bir ədədin qaldırılmalı olduğu eksponent adlanır, çağırılır əsas bu nömrəni almaq üçün loqarifm. Məsələn, 100-ün əsas 10 loqarifmi 2-dir. Başqa sözlə, 100-ü almaq üçün 10-un kvadratı olmalıdır (10 2 = 100). Əgər n- verilmiş nömrə, b- əsas və l– loqarifm, onda b l = n. Nömrə nəsas antiloqarifm də deyilir b nömrələri l. Məsələn, 2-dən 10-a əsaslanan antiloqarifm 100-ə bərabərdir. Bu əlaqələr jurnalı şəklində yazıla bilər. b n = l və antilog b l = n.

Loqarifmlərin əsas xüsusiyyətləri:

Birdən başqa istənilən müsbət ədəd loqarifmlər üçün əsas ola bilər, lakin təəssüf ki, belə çıxır ki, əgər b Və n rasional ədədlərdir, onda nadir hallarda belə rasional ədəd olur l, Nə b l = n. Bununla belə, müəyyən etmək mümkündür irrasional ədəd l məsələn, 10 l= 2; bu irrasional rəqəmdir l istənilən tələb olunan dəqiqliklə təqribi hesablana bilər rasional ədədlər. Belə çıxır ki, verilən nümunədə l təqribən 0,3010-a bərabərdir və 2-nin əsas 10 loqarifminin bu yaxınlaşmasını onluq loqarifmlərin dörd rəqəmli cədvəllərində tapmaq olar. Əsas 10 loqarifm (və ya 10 əsas loqarifm) hesablamalarda o qədər çox istifadə olunur ki, onlar adlanır. adi siravi loqarifmlər və log2 = 0.3010 və ya log2 = 0.3010 kimi yazılır, loqarifmin əsasının açıq göstəricisi buraxılır. Baza loqarifmlər e, təxminən 2.71828-ə bərabər olan transsendental ədəd adlanır təbii loqarifmlər. Onlara əsasən riyazi analiz və onun müxtəlif elmlərə tətbiqi ilə bağlı əsərlərdə rast gəlinir. Təbii loqarifmlər də əsası açıq şəkildə göstərmədən, lakin ln xüsusi qeydindən istifadə etməklə yazılır: məsələn, ln2 = 0,6931, çünki e 0,6931 = 2.

Adi loqarifmlərin cədvəllərindən istifadə.

Ədədin müntəzəm loqarifmi, verilmiş ədədi əldə etmək üçün 10-un yüksəldilməli olduğu göstəricidir. 10 0 = 1, 10 1 = 10 və 10 2 = 100 olduğundan, biz dərhal həmin log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 və s. tam ədədlərin səlahiyyətlərinin artırılması üçün 10. Eynilə, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 və buna görə də log0,1 = –1, log0,01 = –2 və s. bütün mənfi tam dərəcələr üçün 10. Qalan ədədlərin adi loqarifmləri 10-un ən yaxın tam ədədlərinin loqarifmləri arasına daxil edilmişdir; log2 0 ilə 1 arasında, log20 1 ilə 2 arasında, log0.2 isə -1 ilə 0 arasında olmalıdır. Beləliklə, loqarifm tam ədəd və iki hissədən ibarətdir. onluq, 0 və 1 arasındadır. Tam hissəyə deyilir xarakterik loqarifmdir və ədədin özü ilə müəyyən edilir, kəsr hissəsi deyilir mantis və cədvəllərdən tapmaq olar. Həmçinin, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2-nin loqarifmi 0.3010-dur, ona görə də log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. Eynilə log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Çıxarmadan sonra log0.2 = – 0.6990 alırıq. Lakin log0.2-ni 0.3010 – 1 və ya 9.3010 – 10 kimi təqdim etmək daha rahatdır; formalaşdırmaq olar və ümumi qayda: verilmiş ədəddən 10-un qüvvəsinə vurmaqla alınan bütün ədədlər eyni mantissə malikdir, verilmiş ədədin mantissinə bərabərdir. Əksər cədvəllər 1-dən 10-a qədər olan nömrələrin mantislarını göstərir, çünki bütün digər nömrələrin mantislarını cədvəldə verilmişlərdən əldə etmək olar.

Əksər cədvəllər dörd və ya beş onluq yerləri olan loqarifmlər verir, baxmayaraq ki, yeddi rəqəmli cədvəllər və daha çox onluq yerləri olan cədvəllər var. Bu cür cədvəllərdən istifadə etməyi öyrənməyin ən asan yolu nümunələrdir. log3.59-u tapmaq üçün ilk növbədə qeyd edək ki, 3.59 rəqəmi 10 0 ilə 10 1 arasındadır, ona görə də onun xarakteristikası 0-dır. Cədvəldə 35 rəqəmini (solda) tapırıq və cərgə boyu sətirlə hərəkət edirik. yuxarıda 9 rəqəmi olan sütun; bu sütunla 35-ci sətrin kəsişməsi 5551-dir, ona görə də log3.59 = 0.5551. Dörd əhəmiyyətli rəqəmi olan bir ədədin mantissini tapmaq üçün interpolyasiyadan istifadə etməlisiniz. Bəzi cədvəllərdə interpolyasiya cədvəllərin hər səhifəsinin sağ tərəfindəki son doqquz sütunda verilmiş nisbətlərlə asanlaşdırılır. İndi log736.4; 736.4 rəqəmi 10 2 ilə 10 3 arasında yerləşir, buna görə də onun loqarifminin xarakteristikası 2-dir. Cədvəldə solunda 73 və sütun 6 olan sətir tapırıq. Bu sətirlə bu sütunun kəsişməsində 8669 rəqəmi. Xətti hissələr arasında biz 4-cü sütunu tapırıq 73-cü sətirlə 4-cü sütunun kəsişməsində 2 rəqəmi var. 8669-a 2 əlavə edərək mantisanı alırıq - 8671-ə bərabərdir. Beləliklə, log736.4 = 2.8671.

Təbii loqarifmlər.

Natural loqarifmlərin cədvəlləri və xassələri adi loqarifmlərin cədvəlləri və xassələri ilə oxşardır. Hər ikisi arasındakı əsas fərq ondadır ki, natural loqarifmin tam hissəsi onluq nöqtənin yerini təyin etmək üçün əhəmiyyətli deyil və buna görə də mantis ilə xarakteristikanın fərqi xüsusi rol oynamır. 5.432 ədədlərinin natural loqarifmləri; 54.32 və 543.2 müvafiq olaraq 1.6923-ə bərabərdir; 3.9949 və 6.2975. Bu loqarifmlər arasındakı əlaqə onların arasındakı fərqləri nəzərə alsaq aydın olar: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; sonuncu rəqəm 10 rəqəminin natural loqarifmindən başqa bir şey deyil (belə yazılmışdır: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; son rəqəm 2mln10-dur. Amma 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432. Beləliklə, verilmiş ədədin natural loqarifmi ilə aədədin hasillərinə bərabər olan ədədlərin natural loqarifmlərini tapa bilərsiniz a istənilən dərəcə üçün n rəqəmlər 10 əgər ln a ln10 ilə vurulan əlavə edin n, yəni. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Məsələn, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Buna görə də, natural loqarifmlərin cədvəlləri, adi loqarifmlərin cədvəlləri kimi, adətən yalnız 1-dən 10-a qədər olan ədədlərin loqarifmlərini ehtiva edir. Natural loqarifmlər sistemində antiloqarifmlərdən danışmaq olar, lakin daha çox eksponensial funksiyadan və ya göstəricidən danışırlar. Əgər x= log y, Bu y = e x, Və y göstəricisi adlanır x(tipografik rahatlıq üçün tez-tez yazırlar y= eks x). Göstərici ədədin antiloqarifmi rolunu oynayır x.

Onluq və natural loqarifmlər cədvəllərindən istifadə edərək, 10-dan başqa istənilən bazada loqarifm cədvəlləri yarada bilərsiniz. e. Əgər log b a = x, Bu b x = a, və buna görə də daxil olun c b x=log c a və ya x log c b=log c a, və ya x=log c a/log c b=log b a. Buna görə də, əsas loqarifm cədvəlindən bu inversiya düsturundan istifadə edin c loqarifm cədvəllərini istənilən başqa bazada qura bilərsiniz b. çarpan 1/log c bçağırdı keçid modulu bazadan c bazaya b. Heç bir şey, məsələn, inversiya düsturundan istifadə etməyə və ya bir loqarifm sistemindən digərinə keçidə, adi loqarifmlər cədvəlindən təbii loqarifmləri tapmağa və ya tərs keçid etməyə mane olmur. Məsələn, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Adi loqarifm əldə etmək üçün verilmiş ədədin natural loqarifmini vurmaq lazım olan 0,4343 ədədi adi loqarifmlər sisteminə keçid moduludur.

Xüsusi masalar.

Loqarifmlər əvvəlcə icad edilmişdir ki, onların xassələrindən istifadə edərək log ab=log a+ log b və qeyd edin a/b=log a– log b, məhsulları cəmlərə və əmsalları fərqlərə çevirin. Başqa sözlə, əgər log a və qeyd edin b məlumdur, onda toplama və çıxmadan istifadə edərək məhsulun loqarifmini və hissəni asanlıqla tapa bilərik. Astronomiyada isə tez-tez log dəyərləri verilir a və qeyd edin b log tapmaq lazımdır( a + b) və ya log( a – b). Əlbəttə ki, əvvəlcə loqarifm cədvəllərindən tapmaq olar a Və b, sonra göstərilən əlavə və ya çıxma əməliyyatını yerinə yetirin və yenidən cədvəllərə istinad edərək tələb olunan loqarifmləri tapın, lakin belə bir prosedur cədvəllərə üç dəfə müraciət etməyi tələb edəcəkdir. Z. Leonelli 1802-ci ildə sözdə cədvəlləri nəşr etdi. Qauss loqarifmləri– cəmlərin və fərqlərin əlavə edilməsi üçün loqarifmlər – bu, cədvəllərə bir girişlə məhdudlaşmağa imkan verdi.

1624-cü ildə İ.Kepler mütənasib loqarifmlərin cədvəllərini təklif etdi, yəni. ədədlərin loqarifmləri a/x, Harada a– müəyyən müsbət sabit dəyər. Bu cədvəllərdən ilk növbədə astronomlar və naviqatorlar istifadə edirlər.

Mütənasib loqarifmlər a= 1 çağırılır koloqarifmlər və məhsullar və əmsallarla məşğul olmaq lazım olduqda hesablamalarda istifadə olunur. Ədədin koloqarifmi n qarşılıqlı ədədin loqarifminə bərabərdir; olanlar. koloq n= log1/ n= – qeyd n. log2 = 0,3010 olarsa, o zaman colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Koloqarifmlərdən istifadənin üstünlüyü ondan ibarətdir ki, kimi ifadələrin loqarifminin qiymətini hesablayarkən pq/r müsbət onluqların üçlü cəmi səh+ log q+koloq r qarışıq cəmi və fərq jurnalından daha asan tapmaq olar səh+ log q– log r.

Hekayə.

Hər hansı bir loqarifm sisteminin əsasını təşkil edən prinsip çox uzun müddətdir ki, məlumdur və onu qədim Babil riyaziyyatına (təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci il) aid etmək olar. O günlərdə mürəkkəb faizləri hesablamaq üçün tam ədədlərin müsbət tam güclərinin cədvəl qiymətləri arasında interpolyasiya istifadə olunurdu. Çox sonra, Arximed (e.ə. 287-212) o vaxtlar məlum olan Kainatı tam doldurmaq üçün tələb olunan qum dənələrinin sayının yuxarı həddini tapmaq üçün 108 gücündən istifadə etdi. Arximed, loqarifmlərin effektivliyinin əsasını təşkil edən eksponentlərin xassəsinə diqqət çəkdi: güclərin hasili eksponentlərin cəminə uyğundur. Orta əsrlərin sonu və müasir dövrün əvvəllərində riyaziyyatçılar getdikcə həndəsi və arifmetik irəliləyişlər arasındakı əlaqəyə müraciət etməyə başladılar. M. Ştifel öz essesində Tam Arifmetika(1544) 2 rəqəminin müsbət və mənfi səlahiyyətlərinin cədvəlini verdi:

Stiefel qeyd etdi ki, birinci cərgədəki iki ədədin cəmi (əsas cərgəsi) alt sətirdəki iki uyğun ədədin hasilinə uyğun olan iki ədədin eksponentinə bərabərdir. Bu cədvəllə əlaqədar olaraq, Stiefel dördə bərabər dörd qayda tərtib etdi müasir qaydalar eksponentlər üzərində əməliyyatlar və ya loqarifmlər üzərində əməliyyatlar üçün dörd qayda: yuxarı sətirdəki cəmi aşağı sətirdəki hasilə uyğun gəlir; yuxarı sətirdəki çıxma aşağı sətirdəki bölməyə uyğundur; üst sətirdəki vurma alt sətirdəki eksponentasiyaya uyğundur; üst xətt üzrə bölmə alt xəttdə köklənməyə uyğundur.

Göründüyü kimi, Stiefelin qaydalarına oxşar qaydalar C.Naperi öz işində ilk loqarifm sistemini formal olaraq tətbiq etməyə vadar etdi. Loqarifmlərin heyrətamiz cədvəlinin təsviri, 1614-cü ildə nəşr olundu. Lakin Napierin düşüncələri məhsulların məbləğlərə çevrilməsi problemi ilə məşğul idi, o vaxtdan bəri, əsərinin nəşrindən on ildən çox əvvəl, Napier Danimarkadan Tycho Brahe Rəsədxanasında köməkçilərinin bir üsula sahib olduğu xəbərini aldı. məhsulları məbləğlərə çevirmək mümkündür. Napierin aldığı mesajda qeyd olunan üsul istifadəyə əsaslanırdı triqonometrik düsturlar növü

buna görə də Naperin cədvəlləri əsasən loqarifmlərdən ibarət idi triqonometrik funksiyalar. Baza anlayışı Napierin təklif etdiyi tərifə açıq şəkildə daxil edilməsə də, onun sistemində loqarifmlər sisteminin bazasına ekvivalent rolu (1 – 10 –7)ґ10 7, təxminən 1/-ə bərabər olan rəqəm oynamışdır. e.

Naperdən asılı olmayaraq və demək olar ki, onunla eyni vaxtda, növünə görə olduqca oxşar olan loqarifmlər sistemi icad edilmiş və 1620-ci ildə nəşr olunan Praqada J. Bürgi tərəfindən nəşr edilmişdir. Arifmetik və həndəsi irəliləyiş cədvəlləri. Bunlar bazaya (1 + 10 –4) ґ10 4 olan antiloqarifmlər cədvəlləri idi, bu rəqəmin kifayət qədər yaxşı yaxınlaşmasıdır. e.

Naper sistemində 10 7 rəqəminin loqarifmi sıfır qəbul edilmiş və ədədlər azaldıqca loqarifmlər də artmışdır. G. Briggs (1561-1631) Nepierə səfər edəndə hər ikisi razılaşdılar ki, 10 rəqəmini əsas kimi istifadə etmək və birin loqarifmini sıfır hesab etmək daha əlverişlidir. Sonra ədədlər artdıqca onların loqarifmləri də artacaqdı. Beləliklə, Briqqsin öz işində dərc etdiyi cədvəli müasir onluq loqarifmlər sistemini əldə etdik Loqarifmik arifmetika(1620). Baza loqarifmlər e, tam olaraq Naper tərəfindən təqdim olunanlar olmasa da, çox vaxt Naper's adlanır. "Xarakterik" və "mantis" terminləri Briggs tərəfindən təklif edilmişdir.

İlk loqarifmlər, tarixi səbəblərə görə, 1/ rəqəmlərinə yaxınlaşmalardan istifadə edirdilər. e Və e. Bir qədər sonra, təbii loqarifmlər ideyası hiperbolanın altında olan sahələrin öyrənilməsi ilə əlaqələndirilməyə başladı. xy= 1 (Şəkil 1). 17-ci əsrdə göstərildi ki, bu əyri ilə hüdudlanan sahə, oxu x və ordinatlar x= 1 və x = a(şək. 1-də bu sahə daha qalın və seyrək nöqtələrlə örtülmüşdür) -də artır arifmetik irəliləyiş, Nə vaxt a eksponent olaraq artır. Göstəricilər və loqarifmlərlə əməliyyatlar qaydalarında məhz bu asılılıq yaranır. Bu, Naper loqarifmlərinin "hiperbolik loqarifmlər" adlandırılmasına səbəb oldu.

Loqarifmik funksiya.

Loqarifmlərə yalnız hesablama vasitəsi kimi baxıldığı bir vaxt var idi, lakin 18-ci əsrdə əsasən Eylerin işi sayəsində loqarifmik funksiya anlayışı formalaşdı. Belə bir funksiyanın qrafiki y= log x, ordinatları arifmetik irəliləyişdə artarkən, absislər həndəsi irəliləyişdə artır, Şəkil 1-də təqdim olunur. 2, A. Tərs və ya eksponensial funksiyanın qrafiki y = e x ordinatları həndəsi irəliləyişdə artan və absisləri arifmetik irəliləyişdə artan Şəkil 1-də müvafiq olaraq təqdim olunur. 2, b. (Əyrilər y=log x Və y = 10x formasına görə döngələrə bənzəyir y= log x Və y = e x.) Loqarifmik funksiyanın alternativ tərifləri də təklif edilmişdir, məs.

kpi; və eynilə -1 ədədinin natural loqarifmləridir mürəkkəb ədədlər növləri (2 k + 1)pi, Harada k- tam ədəd. Oxşar ifadələr ümumi loqarifmlər və ya digər loqarifm sistemləri üçün də doğrudur. Bundan əlavə, loqarifmlərin tərifi kompleks ədədlərin kompleks loqarifmlərini daxil etmək üçün Eylerin eyniliklərindən istifadə edərək ümumiləşdirilə bilər.

Loqarifmik funksiyanın alternativ tərifi funksional analizlə təmin edilir. Əgər f(x) – həqiqi ədədin davamlı funksiyası x, aşağıdakı üç xüsusiyyətə malikdir: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Yəni f(x) ədədin loqarifmi kimi müəyyən edilir xəsasən b. Bu tərif bu məqalənin əvvəlində verilmiş təriflə müqayisədə bir sıra üstünlüklərə malikdir.

Proqramlar.

Loqarifmlər əvvəlcə yalnız hesablamaları sadələşdirmək üçün istifadə edilmişdir və bu proqram hələ də onların ən vaciblərindən biridir. Məhsulların, əmsalların, səlahiyyətlərin və köklərin hesablanması yalnız dərc edilmiş loqarifm cədvəllərinin geniş mövcudluğu ilə deyil, həm də sözdə istifadə etməklə asanlaşdırılır. sürüşmə qaydası - iş prinsipi loqarifmlərin xassələrinə əsaslanan hesablama aləti. Hökmdar logarifmik tərəzi ilə təchiz edilmişdir, yəni. 1 nömrədən istənilən nömrəyə qədər olan məsafə x loga bərabər seçildi x; Bir miqyasın digərinə nisbətən dəyişdirilməsi ilə loqarifmlərin cəmi və ya fərqini çəkmək olar ki, bu da miqyasdan müvafiq ədədlərin məhsullarını və ya hissələrini birbaşa oxumağa imkan verir. Rəqəmlərin loqarifmik formada təqdim edilməsinin üstünlüklərindən də yararlana bilərsiniz. qrafiklərin tərtibi üçün loqarifmik kağız (hər iki koordinat oxunda üzərində loqarifmik şkala çap olunmuş kağız). Funksiya formanın güc qanununu ödəyirsə y = kxn, onda onun loqarifmik qrafiki düz xətt kimi görünür, çünki log y=log k + n log x– loga görə xətti tənlik y və qeyd edin x. Əksinə, əgər hansısa funksional asılılığın loqarifmik qrafiki düz xəttə bənzəyirsə, onda bu asılılıq güclüdür. Yarım log kağızı (burada y oxunun loqarifmik miqyaslı və x oxunun vahid miqyaslı olduğu) eksponensial funksiyaları müəyyən etmək lazım olduqda faydalıdır. Formanın tənlikləri y = kb rx populyasiya, radioaktiv materialın miqdarı və ya bank balansı kimi miqdar mövcud olana mütənasib sürətlə azaldıqda və ya artdıqda baş verir. Bu anəhalinin sayı, radioaktiv maddə və ya pul. Əgər belə bir asılılıq yarımloqarifmik kağız üzərində qurularsa, qrafik düz xətt kimi görünəcəkdir.

Loqarifmik funksiya təbii formaların geniş çeşidi ilə əlaqədar yaranır. Günəbaxan çiçəklərindəki çiçəklər loqarifmik spiral şəklində düzülmüş, mollyuska qabıqları bükülmüşdür. Nautilus, dağ qoyunlarının buynuzları və tutuquşu dimdiyi. Bütün bu təbii formalar loqarifmik spiral kimi tanınan əyriyə nümunə ola bilər, çünki qütb koordinat sistemində onun tənliyi r = ae bq, və ya ln r= log a + bq. Belə bir əyri, qütbdən olan məsafə həndəsi irəliləyişdə, radius vektoru ilə təsvir olunan bucaq isə arifmetik irəliləyişdə artırılan hərəkət nöqtəsi ilə təsvir olunur. Belə bir əyrinin və deməli, loqarifmik funksiyanın hər yerdə olması onun ekssentrik kameranın konturu və işığa doğru uçan bəzi həşəratların trayektoriyası kimi uzaq və tamamilə fərqli sahələrdə baş verməsi ilə yaxşı izah olunur.

Natural loqarifm anlayışını təqdim etməzdən əvvəl $e$ sabit ədədi anlayışını nəzərdən keçirək.

Nömrə $e$

Tərif 1

Nömrə $e$ transsendental ədəd olan və $e\təqribən 2,718281828459045\ldots$-a bərabər olan riyazi sabitdir.

Tərif 2

Transsendent tam əmsallı çoxhədlinin kökü olmayan ədəddir.

Qeyd 1

Sonuncu formula təsvir edir ikinci gözəl hədd.

e sayı da adlanır Eyler nömrələri, və bəzən Napier nömrələri.

Qeyd 2

$e$ rəqəminin ilk rəqəmlərini yadda saxlamaq üçün aşağıdakı ifadə tez-tez istifadə olunur: "$2$, $7$, iki dəfə Lev Tolstoy". Təbii ki, ondan istifadə edə bilmək üçün onu xatırlamaq lazımdır ki, Lev Tolstoy 1828$-da anadan olub.Məhz bu rəqəmlər $2$ tam hissəsindən sonra $e$ ədədinin qiymətində iki dəfə təkrarlanır və ondalık hissə $7$.

Biz təbii loqarifmanı öyrənərkən $e$ ədədi anlayışını nəzərə almağa başladıq, çünki o, adətən $\log_(e)⁡a$ loqarifminin əsasında yerləşir. təbii və onu $\ln ⁡a$ şəklində yazın.

Təbii loqarifm

Çox vaxt hesablamalarda loqarifmlərdən istifadə olunur ki, onların əsası $е$ ədədidir.

Tərif 4

Əsası $e$ olan loqarifm adlanır təbii.

Bunlar. natural loqarifmi $\log_(e)⁡a$ kimi qeyd etmək olar, lakin riyaziyyatda $\ln ⁡a$ qeydindən istifadə etmək adi haldır.

Natural loqarifmin xassələri

Çünki hər hansı birliyin əsasının loqarifmi $0$-a bərabərdir, onda birliyin natural loqarifmi $0$-a bərabərdir:

$е$ ədədinin natural loqarifmi birinə bərabərdir:

İki ədədin hasilinin natural loqarifmi bu ədədlərin natural loqarifmlərinin cəminə bərabərdir:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

İki ədədin bölünməsinin natural loqarifmi bu ədədlərin natural loqarifmlərinin fərqinə bərabərdir:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Ədədin dərəcəsinin natural loqarifmi eksponentin hasili ilə subloqarifmik ədədin natural loqarifmi kimi təqdim edilə bilər:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Misal 1

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$ ifadəsini sadələşdirin.

Həll.

Birinci loqarifmə hasil loqarifminin xassəsini pay və məxrəcin ikinci loqarifminə isə güc loqarifminin xassəsini tətbiq edək:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Mötərizələri açıb oxşar şərtləri təqdim edək, həmçinin $\ln ⁡e=1$ xassəsini tətbiq edək:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Cavab verin: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Misal 2

$\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ ifadəsinin qiymətini tapın.

Həll.

Loqarifmlərin cəmi üçün formula tətbiq edək:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Cavab verin: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Misal 3

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$ loqarifmik ifadəsinin qiymətini hesablayın.

Həll.

Gücün loqarifminin xassəsini tətbiq edək:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 dollar.

Cavab verin: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Misal 4

$\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$ loqarifmik ifadəsini sadələşdirin.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Birinci loqarifmə hissənin loqarifminin xassəsini tətbiq edirik:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Mötərizələri açıb oxşar terminləri təqdim edək:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Cavab verin: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.