Bir çox ir rasional ədədlər adətən böyük latın hərfi ilə işarələnir Mən (\displaystyle \mathbb (I)) dolgusuz qalın şriftlə. Bu minvalla: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters slash \mathbb (Q) ), yəni irrasional ədədlər çoxluğu həqiqi və rasional ədədlər çoxluğu arasındakı fərqdir.

İrrasional ədədlərin, daha doğrusu vahid uzunluqlu seqmentlə müqayisə olunmayan seqmentlərin mövcudluğu qədim riyaziyyatçılara artıq məlum idi: onlar, məsələn, irrasionallığa ekvivalent olan kvadratın diaqonalının və tərəfinin ölçülməzliyini bilirdilər. sayının.

Ensiklopedik YouTube

• 1 / 5

  İrrasionaldır:

  İrrasionallığı sübut edən nümunələr

  2-nin kökü

  Bunun əksini deyək: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasional, yəni kəsr kimi təmsil olunur m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), harada m (\displaystyle m) tam ədəddir və n (\displaystyle n)- natural ədəd.

  Gəlin ehtimal olunan bərabərliyi kvadratlaşdıraq:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Sağ ox 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Sağ ox m^(2)=2n^(2)).

  Hekayə

  Qədimlik

  İrrasional ədədlər anlayışı eramızdan əvvəl 7-ci əsrdə, Manava (e.ə. 750-ci il - e.ə. 690-cı illər) bəzilərinin kvadrat köklərinin müəyyən edildiyi zaman hind riyaziyyatçıları tərəfindən dolayısı ilə qəbul edilmişdir. natural ədədlər, məsələn, 2 və 61, açıq şəkildə ifadə edilə bilməz [ ] .

  İrrasional ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu adətən Pifaqorçu olan Metapontuslu Hippasa (e.ə. 500-cü il) aid edilir. Pifaqorçuların dövründə, kifayət qədər kiçik və bölünməz vahid uzunluq vahidinin olduğuna inanılırdı, bu, hər hansı bir seqmentə daxil edilən tam sayda dəfədir. ] .

  Hippasusun hansı rəqəmin irrasional olduğunu sübut etdiyi barədə dəqiq məlumat yoxdur. Rəvayətə görə, o, bunu pentaqramın tərəflərinin uzunluqlarını öyrənərək tapıb. Buna görə də bunun qızıl nisbət olduğunu güman etmək ağlabatandır [ ] .

  Yunan riyaziyyatçıları bu nisbəti müqayisə olunmaz kəmiyyətlər adlandırdılar aloqlar(ifadə edilə bilməz), lakin əfsanələrə görə, Hippasa lazımi hörmət göstərilməyib. Hippasın dəniz səyahəti zamanı kəşf etdiyi və digər pifaqorçular tərəfindən "kainatdakı bütün varlıqların tam ədədlərə və onların nisbətlərinə endirilə biləcəyi doktrinasını inkar edən kainatın bir elementini yaratmaq üçün gəmidən atıldığı barədə bir əfsanə var. " Hippasın kəşfi Pifaqor riyaziyyatı üçün ciddi problem yaratdı, ədədlərin və həndəsi cisimlərin bir və ayrılmaz olması ilə bağlı bütün nəzəriyyənin əsasında yatan fərziyyəni məhv etdi.

  Bütün rasional ədədlər ümumi kəsr kimi göstərilə bilər. Bu, tam ədədlərə (məsələn, 12, -6, 0) və son onluq kəsrlərə (məsələn, 0,5; -3,8921) və sonsuz dövri onluq kəsrlərə (məsələn, 0,11(23); -3 ,(87) aiddir. )).

  Lakin sonsuz qeyri-dövri ondalıklar adi kəsr kimi təqdim edilə bilməz. Onlar budur irrasional ədədlər(yəni məntiqsiz). Belə bir ədədə misal olaraq, təxminən 3.14-ə bərabər olan π-dir. Bununla belə, bunun tam olaraq nəyə bərabər olduğunu müəyyən etmək mümkün deyil, çünki 4 rəqəmindən sonra təkrarlanan dövrləri ayırd etmək mümkün olmayan sonsuz sayda başqa nömrələr var. Eyni zamanda, π ədədini dəqiq ifadə etmək mümkün olmasa da, onun spesifikliyi var həndəsi məna. π ədədi hər hansı dairənin uzunluğunun onun diametrinin uzunluğuna nisbətidir. Beləliklə, rasional ədədlər kimi irrasional ədədlər də təbiətdə mövcuddur.

  İrrasional ədədlərin başqa bir nümunəsi müsbət ədədlərin kvadrat kökləridir. Bəzi ədədlərdən kök çıxarmaq rasional, digərlərindən isə irrasional qiymətlər verir. Məsələn, √4 = 2, yəni 4-ün kökü rasional ədəddir. Lakin √2, √5, √7 və bir çox başqaları irrasional ədədlərlə nəticələnir, yəni onlar yalnız müəyyən onluq yerlərə yuvarlaqlaşdırılan təxmini ilə çıxarıla bilər. Bu halda fraksiya dövri olmayan alınır. Yəni bu rəqəmlərin kökünün nədən ibarət olduğunu dəqiq və dəqiq söyləmək mümkün deyil.

  Beləliklə, √5 2 ilə 3 arasında bir ədəddir, çünki √4 = 2 və √9 = 3. Həmçinin belə nəticəyə gələ bilərik ki, √5 3-dən 2-yə yaxındır, çünki √4 √9-dan √5-ə yaxındır. √5. Həqiqətən, √5 ≈ 2,23 və ya √5 ≈ 2,24.

  İrrasional ədədlər digər hesablamalarda da əldə edilir (yalnız kökləri çıxararkən deyil), onlar mənfi olur.

  İrrasional ədədlərə münasibətdə deyə bilərik ki, belə bir ədədlə ifadə olunan uzunluğu ölçmək üçün hansı vahid seqmenti götürsək də, onu qəti şəkildə ölçə bilmərik.

  Arifmetik əməliyyatlarda rasionallarla yanaşı irrasional ədədlər də iştirak edə bilər. Eyni zamanda bir sıra qanunauyğunluqlar da var. Məsələn, arifmetik əməliyyatda yalnız rasional ədədlər iştirak edirsə, nəticə həmişə rasional ədəd olur. Əgər əməliyyatda yalnız irrasionallar iştirak edirsə, o zaman rasional və ya irrasional ədədin çıxacağını birmənalı demək mümkün deyil.

  Məsələn, iki irrasional ədədi √2 * √2 çarparsanız, 2 alırsınız - bu rasional ədəddir. Digər tərəfdən, √2 * √3 = √6 irrasional ədəddir.

  Arifmetik əməliyyat rasional və irrasional ədədi əhatə edirsə, onda irrasional nəticə alınacaq. Məsələn, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4.

  Niyə √17 - 4 irrasional ədəddir? Təsəvvür edin ki, rasional x ədədi alırsınız. Onda √17 = x + 4. Lakin x + 4 rasional ədəddir, çünki biz x-in rasional olduğunu qəbul etmişdik. 4 rəqəmi də rasionaldır, ona görə də x + 4 rasionaldır. Lakin rasional ədəd irrasional √17-ə bərabər ola bilməz. Buna görə də √17 - 4-ün rasional nəticə verməsi fərziyyəsi düzgün deyil. Arifmetik əməliyyatın nəticəsi irrasional olacaq.

  Lakin bu qaydanın bir istisnası var. Əgər irrasional ədədi 0-a vursaq, 0 rasional ədədi alırıq.

  irrasional ədəd- bu real rəqəm, rasional olmayan, yəni kəsr kimi göstərilə bilməz, burada tam ədədlər, . İrrasional ədəd sonsuz, təkrar olunmayan onluq hissə kimi təqdim edilə bilər.

  İrrasional ədədlər toplusu adətən kölgəsiz qalın hərflə böyük Latın hərfi ilə işarələnir. Beləliklə: , yəni. irrasional ədədlər toplusudur həqiqi və rasional ədədlər çoxluqlarının fərqi.

  İrrasional ədədlərin mövcudluğu haqqında, daha doğrusu vahid uzunluqlu seqmentlə müqayisə olunmayan seqmentlər artıq qədim riyaziyyatçılara məlum idi: onlar, məsələn, diaqonalın və kvadratın kənarının ölçülməzliyini bilirdilər ki, bu da ədədin irrasionallığına bərabərdir.

  Xüsusiyyətlər

  • İstənilən həqiqi ədəd sonsuz onluq kəsr kimi yazıla bilər, irrasional ədədlər isə yalnız dövri olmayan sonsuz onluq kəsr kimi yazılır.
  • İrrasional ədədlər aşağı sinifdə ən böyük, yuxarı sinifdə isə ən kiçik sayı olmayan rasional ədədlər toplusunda Dedekind kəsiklərini təyin edir.
  • Hər real transsendental ədəd irrasionaldır.
  • Hər bir irrasional ədəd ya cəbri, ya da transsendentaldır.
  • İrrasional ədədlər çoxluğu həqiqi xəttin hər yerində sıxdır: istənilən iki ədəd arasında irrasional ədəd var.
  • İrrasional ədədlər çoxluğundakı sıra həqiqi transsendental ədədlər çoxluğundakı sıraya izomorfdur.
  • İrrasional ədədlər çoxluğu saysızdır, ikinci kateqoriya çoxluğudur.

  Nümunələr

  İrrasional ədədlər - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

  İrrasionaldır:

  İrrasionallığı sübut edən nümunələr

  2-nin kökü

  Bunun əksini fərz edək: rasionaldır, yəni azalmayan kəsr kimi göstərilir, burada tam ədəddir və natural ədəddir. Gəlin ehtimal olunan bərabərliyi kvadratlaşdıraq:

  .

  Buradan belə nəticə çıxır ki, hətta, ona görə də, hətta və . Qoy bütövlükdə. Sonra

  Buna görə də, hətta, buna görə də, hətta və . Biz əldə etdik və cütdür ki, bu da kəsrin azalmazlığına ziddir. Beləliklə, ilkin fərziyyə səhv idi və irrasional bir rəqəmdir.

  3 ədədinin ikili loqarifmi

  Bunun əksini fərz edin: rasionaldır, yəni kəsr kimi təmsil olunur, burada və tam ədədlərdir. , və müsbət qəbul edilə bilər. Sonra

  Amma aydındır, qəribədir. Bir ziddiyyət alırıq.

  e

  Hekayə

  İrrasional ədədlər anlayışı eramızdan əvvəl 7-ci əsrdə, Manava (e.ə. 750-ci il - e.ə. 690-cı illər) bəzi natural ədədlərin, məsələn, 2 və 61-in kvadrat köklərinin açıq şəkildə ifadə edilə bilməyəcəyini aşkar etdikdə hind riyaziyyatçıları tərəfindən dolayı qəbul edilmişdir.

  İrrasional ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu adətən pentaqramın tərəflərinin uzunluqlarını öyrənməklə bu sübutu tapan Pifaqorlu Metapontuslu Hippasa (e.ə. 500-cü il) aid edilir. Pifaqorçuların dövründə kifayət qədər kiçik və bölünməz vahid uzunluq vahidinin olduğuna inanılırdı ki, bu da hər hansı bir seqmentə daxil edilmiş tam sayda dəfədir. Bununla belə, Hippasus iddia edirdi ki, vahid uzunluq vahidi yoxdur, çünki onun mövcudluğu fərziyyəsi ziddiyyətə gətirib çıxarır. O göstərdi ki, əgər ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası vahid seqmentlərin tam sayını ehtiva edirsə, onda bu ədəd eyni zamanda həm cüt, həm də tək olmalıdır. Sübut belə görünürdü:

  • Hipotenuzanın uzunluğunun ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın ayağının uzunluğuna nisbəti belə ifadə edilə bilər. a:b, harada a və b mümkün olan ən kiçik kimi seçilir.
  • Pifaqor teoreminə görə: a² = 2 b².
  • Çünki a² hətta, a cüt olmalıdır (çünki tək ədədin kvadratı tək olardı).
  • Çünki a:b azalmaz b qəribə olmalıdır.
  • Çünki a hətta, işarələmək a = 2y.
  • Sonra a² = 4 y² = 2 b².
  • b² = 2 y², buna görə də b bərabərdir, onda b hətta.
  • Bununla belə, sübut edilmişdir b qəribə. Ziddiyyət.

  Yunan riyaziyyatçıları bu nisbəti müqayisə olunmaz kəmiyyətlər adlandırdılar aloqlar(ifadə edilə bilməz), lakin əfsanələrə görə, Hippasa lazımi hörmət göstərilməyib. Hippasın dəniz səyahəti zamanı kəşf etdiyi və digər pifaqorçular tərəfindən "kainatdakı bütün varlıqların tam ədədlərə və onların nisbətlərinə endirilə biləcəyi doktrinasını inkar edən kainatın bir elementini yaratmaq üçün gəmidən atıldığı barədə bir əfsanə var. " Hippasın kəşfi Pifaqor riyaziyyatı üçün ciddi problem yaratdı, ədədlərin və həndəsi cisimlərin bir və ayrılmaz olması ilə bağlı bütün nəzəriyyənin əsasında yatan fərziyyəni məhv etdi.

  Ədədləri, xüsusən də natural ədədləri dərk etmək ən qədim riyazi “bacarıq”lardan biridir. Bir çox sivilizasiyalar, hətta müasirlər də təbiəti təsvir etməkdə böyük əhəmiyyət kəsb etdiyinə görə rəqəmlərə bəzi mistik xüsusiyyətlər aid edirdilər. Baxmayaraq ki müasir elm riyaziyyat isə bu “sehrli” xassələri təsdiq etmir, ədədlər nəzəriyyəsinin əhəmiyyəti danılmazdır.

  Tarixən bir çox natural ədədlər meydana çıxdı, sonra çox keçmədən onlara fraksiyalar və müsbət irrasional ədədlər əlavə edildi. Həqiqi ədədlər çoxluğunun bu alt çoxluqlarından sonra sıfır və mənfi ədədlər təqdim edilmişdir. Sonuncu çoxluq, mürəkkəb ədədlər çoxluğu yalnız müasir elmin inkişafı ilə meydana çıxdı.

  Müasir riyaziyyatda rəqəmlər tarixi ardıcıllıqla deyil, ona olduqca yaxın olsa da, təqdim olunur.

  Natural ədədlər $\mathbb(N)$

  Natural ədədlər çoxluğu çox vaxt $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ kimi işarələnir və $\mathbb(N)_0$ işarəsi vermək üçün çox vaxt sıfırla doldurulur.

  $\mathbb(N)$ əlavə (+) və vurma ($\cdot$) əməliyyatlarını \mathbb(N)$-da istənilən $a,b,c\ üçün aşağıdakı xassələrlə müəyyən edir:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ çoxluğu toplama və vurma altında bağlanır.
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ kommutativlik
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ assosiativliyi
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ paylanması
  5. $a\cdot 1=a$ vurma üçün neytral elementdir

  $\mathbb(N)$ çoxluğu toplama üçün deyil, vurma üçün neytral elementdən ibarət olduğundan, bu çoxluğa sıfırın əlavə edilməsi əlavə üçün neytral elementin daxil olmasını təmin edir.

  Bu iki əməliyyata əlavə olaraq $\mathbb(N)$ dəstində "kiçik" ($) münasibətləri

  1. $a b$ trixotomiya
  2. əgər $a\leq b$ və $b\leq a$, onda $a=b$ antisimmetriyadır
  3. əgər $a\leq b$ və $b\leq c$, onda $a\leq c$ keçidlidir
  4. əgər $a\leq b$, onda $a+c\leq b+c$
  5. əgər $a\leq b$, onda $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Tam ədədlər $\mathbb(Z)$

  Tam ədəd nümunələri:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  $a$ və $b$ məlum natural ədədlər, $x$ isə naməlum natural ədəd olan $a+x=b$ tənliyinin həlli yeni əməliyyatın - çıxma(-) əməliyyatının tətbiqini tələb edir. Bu tənliyi ödəyən $x$ natural ədədi varsa, $x=b-a$. Bununla belə, bu xüsusi tənliyin $\mathbb(N)$ çoxluğunda həlli mütləq deyil, ona görə də praktiki mülahizələr natural ədədlər çoxluğunu belə bir tənliyə həllər daxil edəcək şəkildə genişləndirməyi tələb edir. Bu, tam ədədlər toplusunun tətbiqinə gətirib çıxarır: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  $\mathbb(N)\alt çoxluq \mathbb(Z)$ olduğundan, əvvəllər təqdim edilmiş $+$ və $\cdot$ əməliyyatlarının və $ 1 münasibətinin olduğunu güman etmək məntiqlidir. $0+a=a+0=a$ əlavələr üçün neytral element var
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ üçün $-a$ əksi var
  

  5. Əmlak:
  5. əgər $0\leq a$ və $0\leq b$, onda $0\leq a\cdot b$

  $\mathbb(Z) $ çoxluğu da çıxma əməliyyatında bağlanır, yəni $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Rasional ədədlər $\mathbb(Q)$

  Rasional ədədlərin nümunələri:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  İndi $a\cdot x=b$ formasının tənliklərini nəzərdən keçirək, burada $a$ və $b$ məlum tam ədədlər, $x$ isə naməlumdur. Həllin mümkün olması üçün bölmə əməliyyatını ($:$) tətbiq etmək lazımdır və həll $x=b:a$, yəni $x=\frac(b)(a)$ olur. Yenə problem yaranır ki, $x$ həmişə $\mathbb(Z)$-a aid deyil, ona görə də tam ədədlər çoxluğu genişləndirilməlidir. Beləliklə, $\frac(p)(q)$ elementləri olan $\mathbb(Q)$ rasional ədədlər çoxluğunu təqdim edirik, burada $p\in \mathbb(Z)$ və $q\in \mathbb(N) $. $\mathbb(Z)$ çoxluğu hər bir elementin $q=1$ olduğu alt çoxluqdur, buna görə də $\mathbb(Z)\alt çoxluq \mathbb(Q)$ və toplama və vurma əməliyyatları da bu çoxluğa uyğun olaraq tətbiq edilir. $\mathbb(Q)$ dəstində yuxarıda göstərilən bütün xassələri qoruyan aşağıdakı qaydalara:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Bölmə belə daxil edilir:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  $\mathbb(Q)$ çoxluğunda $a\cdot x=b$ tənliyinin hər $a\neq 0$ üçün unikal həlli var (sıfıra bölmə müəyyən edilməyib). Bu o deməkdir ki, $\frac(1)(a)$ və ya $a^(-1)$ tərs element var:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\mövcud \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  $\mathbb(Q)$ dəstinin sırası bu şəkildə genişləndirilə bilər:
  $\frac(p_1)(q_1)

  $\mathbb(Q)$ çoxluğunun bir mühüm xüsusiyyəti var: istənilən iki rasional ədəd arasında sonsuz sayda başqa rasional ədədlər var, ona görə də natural və tam ədədlər çoxluğundan fərqli olaraq, iki qonşu rasional ədəd yoxdur.

  İrrasional ədədlər $\mathbb(I)$

  İrrasional ədədlərə misallar:
  $\sqrt(2) \təxminən 1,41422135...$
  $\pi \təxminən 3,1415926535...$

  İstənilən iki rasional ədəd arasında sonsuz sayda başqa rasional ədədlər olduğundan, rasional ədədlər çoxluğunun o qədər sıx olduğu qənaətinə gəlmək asandır ki, onu daha da genişləndirməyə ehtiyac yoxdur. Hətta bir dəfə Pifaqor belə bir səhvə yol vermişdi. Lakin onun müasirləri rasional ədədlər çoxluğunda $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) tənliyinin həllərini öyrənərkən bu qənaəti artıq təkzib etmişdilər. Belə bir tənliyi həll etmək üçün kvadrat kök anlayışını təqdim etmək lazımdır və sonra bu tənliyin həlli $x=\sqrt(2)$ formasına malikdir. $x^2=a$ tipli tənlik, burada $a$ məlum rasional ədəd və $x$ naməlumdur, həmişə rasional ədədlər çoxluğunda həlli olmur və yenə də ehtiyac yaranır. dəsti genişləndirmək üçün. İrrasional ədədlər toplusu yaranır və $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... kimi ədədlər bu çoxluğa aiddir.

  Həqiqi ədədlər $\mathbb(R)$

  Rasional və irrasional ədədlər çoxluğunun birliyi həqiqi ədədlər çoxluğudur. $\mathbb(Q)\alt çoxluq \mathbb(R)$ olduğundan, təqdim edilən hesab əməliyyatları və əlaqələrin yeni çoxluqda öz xassələrini saxladığını güman etmək yenə məntiqlidir. Bunun formal sübutu çox çətindir, ona görə də arifmetik əməllərin və həqiqi ədədlər çoxluğu üzrə əlaqələrin yuxarıda qeyd olunan xassələri aksioma kimi təqdim edilir. Cəbrdə belə obyekt sahə adlanır, ona görə də həqiqi ədədlər çoxluğuna nizamlı sahə deyilir.

  Həqiqi ədədlər çoxluğunun tərifinin tam olması üçün $\mathbb(Q)$ və $\mathbb(R)$ çoxluqlarını fərqləndirən əlavə aksioma daxil etmək lazımdır. Fərz edək ki, $S$ həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluğudur. $b\in \mathbb(R)$ elementi $S$-ın yuxarı həddi adlanır, əgər $\forall x\in S$ $x\leq b$-nı təmin edir. Sonra $S$ dəstinin yuxarıdan məhdud olduğu deyilir. $S$ dəstinin ən kiçik yuxarı həddi supremum adlanır və $\sup S$ ilə işarələnir. Aşağı hədd, aşağıda məhdudlaşdırılmış çoxluq və sonsuz $\inf S$ anlayışları oxşar şəkildə təqdim olunur. İndi itkin aksioma aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:

  Həqiqi ədədlər çoxluğunun yuxarı alt çoxluğundan yuxarıdan məhdud olmayan və məhdud olan hər hansı bir yuxarıya malikdir.
  Həmçinin yuxarıda müəyyən edilmiş həqiqi ədədlər sahəsinin unikal olduğunu sübut etmək olar.

  Kompleks ədədlər$\mathbb(C)$

  Kompleks ədədlərə nümunələr:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ burada $i = \sqrt(-1)$ və ya $i^2 = -1$

  Mürəkkəb ədədlər toplusu həqiqi ədədlərin bütün sıralı cütləridir, yəni $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, onların üzərində toplama və çarpma aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Mürəkkəb ədədlərin yazılmasının bir neçə yolu var, bunlardan ən çox yayılmışı $z=a+ib$-dır, burada $(a,b)$ cüt həqiqi ədəddir və $i=(0,1)$ ədədidir. xəyali vahid adlanır.

  $i^2=-1$ olduğunu göstərmək asandır. $\mathbb(R)$ dəstinin $\mathbb(C)$ çoxluğuna uzadılması bizə müəyyən etməyə imkan verir. Kvadrat kök-dan mənfi ədədlər, mürəkkəb ədədlər çoxluğunun tətbiqinə səbəb oldu. Həmçinin göstərmək asandır ki, $\mathbb(C)$ çoxluğunun $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ kimi verilmiş alt çoxluğu hamını qane edir. həqiqi ədədlər üçün aksiomalar, deməli, $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ və ya $R\alt çoxluq\mathbb(C)$.

  $\mathbb(C)$ çoxluğunun toplama və vurma əməliyyatlarına görə cəbri quruluşu aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
  1. toplama və vurmanın kommutativliyi
  2. toplama və vurmanın assosiativliyi
  3. $0+i0$ - əlavə üçün neytral element
  4. $1+i0$ - vurma üçün neytral element
  5. vurma toplamaya görə paylayıcıdır
  6. Həm toplama, həm də vurma üçün tək tərs element var.

  İrrasional ədədlər hansılardır? Onlar niyə belə adlanır? Onlar harada istifadə olunur və onlar nədir? Çox az adam bu suallara tərəddüd etmədən cavab verə bilər. Ancaq əslində onlara cavablar olduqca sadədir, baxmayaraq ki, hər kəs onlara ehtiyac duymur və çox nadir hallarda.

  Mahiyyət və təyinat

  İrrasional ədədlər sonsuz qeyri-dövridir Bu anlayışın təqdim edilməsi zərurəti onunla əlaqədardır ki, yeni yaranan məsələlərin həlli üçün əvvəllər mövcud olan həqiqi və ya həqiqi, tam, natural və rasional ədədlər anlayışları artıq kifayət etmirdi. Məsələn, 2-nin kvadratının nə olduğunu hesablamaq üçün təkrar olunmayan sonsuz onluqlardan istifadə etməlisiniz. Bundan əlavə, ən sadə tənliklərin çoxunun da irrasional ədəd anlayışını təqdim etmədən həlli yoxdur.

  Bu çoxluq I kimi işarələnir. Və artıq aydın olduğu kimi, bu dəyərlər sadə bir kəsr kimi göstərilə bilməz, onun payında tam ədəd, məxrəcdə isə -

  İlk dəfə bu və ya digər şəkildə hind riyaziyyatçıları bu hadisə ilə 7-ci əsrdə, bəzi kəmiyyətlərin kvadrat köklərinin açıq şəkildə göstərilə bilməyəcəyi aşkar edildikdə qarşılaşdılar. Və bu cür ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın öyrənilməsi prosesində bunu edən Pifaqor Hippasına aiddir. Bu toplunun öyrənilməsinə bizim eradan əvvəl yaşamış bəzi digər alimlər də ciddi töhfə vermişlər. İrrasional ədədlər anlayışının tətbiqi mövcud olanların yenidən nəzərdən keçirilməsinə səbəb oldu riyazi sistem, buna görə də onlar çox vacibdir.

  adının mənşəyi

  Əgər latın dilində nisbət "fraksiya", "nisbət"dirsə, onda "ir" prefiksi
  bu sözü verir əks məna. Beləliklə, bu ədədlərin çoxluğunun adı göstərir ki, onlar tam və ya kəsrlə əlaqələndirilə bilməz, onların ayrıca yeri var. Bu, onların təbiətindən irəli gəlir.

  Ümumi təsnifatda yer

  İrrasional ədədlər rasionallarla yanaşı, öz növbəsində mürəkkəb olan həqiqi və ya həqiqi ədədlər qrupuna aiddir. Heç bir alt çoxluq yoxdur, lakin aşağıda müzakirə ediləcək cəbri və transsendental növlər var.

  

  Xüsusiyyətlər

  İrrasional ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğunun bir hissəsi olduğundan onların hesabda öyrənilən bütün xassələri (bunlara əsas cəbr qanunları da deyilir) aiddir.

  a + b = b + a (kommutativlik);

  (a + b) + c = a + (b + c) (assosiativlik);

  a + (-a) = 0 (əks ədədin mövcudluğu);

  ab = ba (yer dəyişdirmə qanunu);

  (ab)c = a(bc) (paylayıcılıq);

  a(b+c) = ab + ac (paylayıcı qanun);

  a x 1/a = 1 (əks ədədin mövcudluğu);

  Müqayisə də uyğun olaraq həyata keçirilir ümumi nümunələr və prinsiplər:

  Əgər a > b və b > c olarsa, onda a > c (münasibətin keçidi) və. və s.

  Əlbəttə ki, bütün irrasional ədədlər əsas hesabdan istifadə etməklə çevrilə bilər. Bunun üçün xüsusi qaydalar yoxdur.

  

  Bundan əlavə, Arximed aksiomunun hərəkəti irrasional ədədlərə qədər uzanır. Burada deyilir ki, hər hansı iki a və b kəmiyyəti üçün a-nı kifayət qədər dəfə götürməklə b-ni ötmək olar.

  İstifadəsi

  Adi həyatda onlarla tez-tez məşğul olmamağınıza baxmayaraq, irrasional ədədləri saymaq olmaz. Onların çoxu var, amma demək olar ki, görünməzdir. Bizi hər yerdə irrasional rəqəmlər əhatə edir. Hamıya tanış olan nümunələr pi, 3.1415926... və ya e, mahiyyətcə əsasdır. təbii loqarifm, 2.718281828... Cəbr, triqonometriya və həndəsədə onlardan hər zaman istifadə etməlisən. Yeri gəlmişkən, "qızıl bölmə"nin məşhur mənası, yəni həm böyük hissənin kiçikə nisbəti, həm də əksinə, həm də

  

  bu dəstəyə aiddir. Daha az tanınan "gümüş" də.

  Say xəttində onlar çox sıx yerləşirlər ki, rasional olanlar çoxluğuna aid hər hansı iki kəmiyyət arasında irrasional olan mütləq baş verəcək.

  Hələ çox var həll olunmamış məsələlər bu dəstlə əlaqələndirilir. Bir ədədin irrasionallığının ölçüsü və normallığı kimi meyarlar var. Riyaziyyatçılar bu və ya digər qrupa aid olduqları üçün ən əhəmiyyətli nümunələri araşdırmağa davam edirlər. Məsələn, hesab edilir ki, e normal ədəddir, yəni onun daxilində müxtəlif rəqəmlərin görünmə ehtimalı eynidir. Pi-yə gəlincə, bununla bağlı araşdırmalar hələ də davam edir. İrrasionallıq ölçüsü müəyyən bir ədədin rasional ədədlərlə nə qədər yaxınlaşdırıla biləcəyini göstərən dəyərdir.

  Cəbri və transsendental

  Artıq qeyd edildiyi kimi, irrasional ədədlər şərti olaraq cəbri və transsendental bölünür. Şərti olaraq, ciddi şəkildə desək, bu təsnifat C çoxluğunu bölmək üçün istifadə olunur.

  Bu təyinat altında gizlənir mürəkkəb ədədlər, bunlara real və ya real daxildir.

  Beləliklə, cəbri qiymət eyni olaraq sıfıra bərabər olmayan çoxhədlinin kökü olan qiymətdir. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü bu kateqoriyaya aid olacaq, çünki o, x 2 - 2 = 0 tənliyinin həllidir.

  Bu şərti təmin etməyən bütün digər real ədədlər transsendental adlanır. Bu müxtəlifliyə ən məşhur və artıq qeyd olunan nümunələr də daxildir - pi sayı və təbii loqarifmin əsası e.

  

  Maraqlıdır ki, nə biri, nə də ikincisi ilkin olaraq riyaziyyatçılar tərəfindən bu qabiliyyətdə çıxarılmamışdır, onların irrasionallığı və transsendensliyi kəşflərindən illər sonra sübuta yetirilmişdir. Pi üçün sübut 1882-ci ildə verildi və 1894-cü ildə sadələşdirildi və bu, dairənin kvadratlaşdırılması problemi ilə bağlı 2500 illik mübahisəyə son qoydu. Hələ də tam başa düşülməyib, ona görə də müasir riyaziyyatçıların üzərində işləmək üçün bir şey var. Yeri gəlmişkən, bu dəyərin ilk kifayət qədər dəqiq hesablanması Arximed tərəfindən aparılmışdır. Ondan əvvəl bütün hesablamalar çox təxmini idi.

  e (Euler və ya Napier nömrəsi) üçün onun transsendensiyasının sübutu 1873-cü ildə tapıldı. Loqarifmik tənliklərin həllində istifadə olunur.

  Digər misallara hər hansı cəbri sıfır olmayan qiymətlər üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri daxildir.