İrrasional ədədlər çoxluğu adətən böyük Latın hərfi ilə işarələnir Mən (\displaystyle \mathbb (I)) dolgusuz qalın şriftlə. Bu minvalla: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters slash \mathbb (Q) ), yəni irrasional ədədlər çoxluğu həqiqi və rasional ədədlər çoxluğu arasındakı fərqdir.
İrrasional ədədlərin, daha doğrusu vahid uzunluqlu seqmentlə müqayisə olunmayan seqmentlərin mövcudluğu qədim riyaziyyatçılara artıq məlum idi: onlar, məsələn, irrasionallığa ekvivalent olan kvadratın diaqonalının və tərəfinin ölçülməzliyini bilirdilər. sayının.
Ensiklopedik YouTube
-
1 / 5
İrrasionaldır:
İrrasionallığı sübut edən nümunələr
2-nin kökü
Bunun əksini deyək: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasional, yəni kəsr kimi təmsil olunur m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), harada m (\displaystyle m) tam ədəddir və n (\displaystyle n)- natural ədəd.
Gəlin ehtimal olunan bərabərliyi kvadratlaşdıraq:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Sağ ox 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Sağ ox m^(2)=2n^(2)).Hekayə
Qədimlik
İrrasional ədədlər anlayışı eramızdan əvvəl 7-ci əsrdə, Manava (e.ə. 750-ci il - e.ə. 690-cı illər) bəzilərinin kvadrat köklərinin müəyyən edildiyi zaman hind riyaziyyatçıları tərəfindən dolayısı ilə qəbul edilmişdir. natural ədədlər, məsələn, 2 və 61, açıq şəkildə ifadə edilə bilməz [ ] .
İrrasional ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu adətən Pifaqorçu olan Metapontuslu Hippasa (e.ə. 500-cü il) aid edilir. Pifaqorçuların dövründə, kifayət qədər kiçik və bölünməz vahid uzunluq vahidinin olduğuna inanılırdı, bu, hər hansı bir seqmentə daxil edilən tam sayda dəfədir. ] .
Hippasusun hansı rəqəmin irrasional olduğunu sübut etdiyi barədə dəqiq məlumat yoxdur. Rəvayətə görə, o, bunu pentaqramın tərəflərinin uzunluqlarını öyrənərək tapıb. Buna görə də bunun qızıl nisbət olduğunu güman etmək ağlabatandır [ ] .
Yunan riyaziyyatçıları bu nisbəti müqayisə olunmaz kəmiyyətlər adlandırdılar aloqlar(ifadə edilə bilməz), lakin əfsanələrə görə, Hippasa lazımi hörmət göstərilməyib. Hippasın dəniz səyahəti zamanı kəşf etdiyi və digər pifaqorçular tərəfindən "kainatdakı bütün varlıqların tam ədədlərə və onların nisbətlərinə endirilə biləcəyi doktrinasını inkar edən kainatın bir elementini yaratmaq üçün gəmidən atıldığı barədə bir əfsanə var. " Hippasın kəşfi Pifaqor riyaziyyatı üçün ciddi problem yaratdı, ədədlərin və həndəsi cisimlərin bir və ayrılmaz olması ilə bağlı bütün nəzəriyyənin əsasında yatan fərziyyəni məhv etdi.
Və köklərini ondan götürdülər Latın sözü"səbəb" mənasını verən "nisbət". Hərfi tərcüməyə əsasən:
- Rasional ədəd "ağlabatan ədəddir".
- İrrasional rəqəm müvafiq olaraq “əsassız rəqəmdir”.
Rasional ədəd haqqında ümumi anlayış
Rasional ədəd aşağıdakı kimi yazıla bilən ədəddir:
- Adi müsbət kəsr.
- Mənfi adi kəsir.
- Rəqəm olaraq sıfır (0).
Başqa sözlə, aşağıdakı təriflər rasional ədədə uyğun olacaq:
- İstənilən natural ədəd rasionaldır, çünki istənilən natural ədədi adi kəsr kimi göstərmək olar.
- İstənilən tam ədəd, o cümlədən sıfır rəqəmi, çünki istənilən tam ədəd həm müsbət adi kəsr, həm mənfi adi kəsr, həm də sıfır ədədi kimi yazıla bilər.
- İstənilən adi kəsr və burada onun müsbət və ya mənfi olmasının fərqi yoxdur, həm də rasional ədədin tərifinə birbaşa yanaşır.
- Qarışıq ədəd, sonlu onluq kəsr və ya sonsuz dövri kəsr də tərifə daxil edilə bilər.
Rasional ədədlərin nümunələri
Rasional ədədlərin nümunələrini nəzərdən keçirin:
- Natural ədədlər - "4", "202", "200".
- Tam ədədlər - "-36", "0", "42".
- Adi fraksiyalar.
Yuxarıdakı misallardan aydın olur ki rasional ədədlər həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Təbii ki, həm də rasional ədəd olan 0 (sıfır) rəqəmi eyni zamanda müsbət və ya mənfi ədəd kateqoriyasına aid deyil.
Ona görə də xatırlatmaq istərdim ümumi təhsil proqramı aşağıdakı tərifdən istifadə edərək: "Rasional ədədlər" x / y kəsr kimi yazıla bilən ədədlərdir, burada x (numerator) tam, y (məxrəc) isə natural ədəddir.
İrrasional ədədin ümumi anlayışı və tərifi
"Rasional ədədlər"lə yanaşı, "irrasional ədədlər" deyilənləri də bilirik. Bu rəqəmləri qısaca müəyyənləşdirməyə çalışaq.
Hətta qədim riyaziyyatçılar kvadratın kənarları boyunca diaqonalını hesablamaq istəyən irrasional ədədin varlığını öyrəndilər.
Rasional ədədlərin tərifinə əsaslanaraq, məntiqi zəncir qura və irrasional ədədi təyin edə bilərsiniz.
Beləliklə, əslində rasional olmayan həqiqi ədədlər, elementar olaraq, irrasional ədədlərdir.
İrrasional ədədləri ifadə edən onluq kəsrlər dövri və sonsuz deyil.
İrrasional ədədlərin nümunələri
Aydınlıq üçün irrasional ədədin kiçik bir nümunəsini nəzərdən keçirək. Artıq başa düşdüyümüz kimi, sonsuz onluq qeyri-dövri kəsrlərə irrasional deyilir, məsələn:
- Rəqəm "-5.020020002 ... (ikilərin bir, iki, üç və s. sıfır ardıcıllığı ilə ayrıldığı aydın görünür)
- Rəqəm “7.040044000444... (burada aydın olur ki, zəncirdə dördlərin sayı və sıfırların sayı hər dəfə bir artır).
- Hər kəs Pi sayını bilir (3.1415 ...). Bəli, bəli - bu da məntiqsizdir.
Ümumiyyətlə, bütün həqiqi ədədlər həm rasional, həm də irrasionaldır. Sadə dillə desək, irrasional ədəd x/y adi kəsr kimi təqdim edilə bilməz.
Ümumi nəticə və ədədlər arasında qısa müqayisə
Hər bir ədədi ayrıca nəzərdən keçirdik, rasional ədədlə irrasional ədəd arasındakı fərq qalır:
- İrrasional ədəd kvadrat kök alındıqda, dairəni diametrə bölərkən və s.
- Rasional ədəd adi kəsri təmsil edir.
Məqaləmizi bir neçə təriflə yekunlaşdırırıq:
- Rasional ədəd üzərində yerinə yetirilən hesab əməliyyatı 0-a (sıfır) bölməkdən əlavə, son nəticədə rasional ədədə də səbəb olacaqdır.
- İrrasional ədəd üzərində hesab əməliyyatı apararkən son nəticə həm rasional, həm də irrasional qiymətə səbəb ola bilər.
- Hər iki ədəd arifmetik əməliyyatda iştirak edərsə (sıfıra bölmə və ya vurma istisna olmaqla), nəticə bizə irrasional ədəd verəcəkdir.
İrrasional ədəd sonsuz qeyri-dövri kəsr kimi təqdim edilə bilər. İrrasional ədədlər çoxluğu $I$ ilə işarələnir və ona bərabərdir: $I=R / Q$ .
Misal üçün. İrrasional ədədlər bunlardır:
İrrasional ədədlər üzərində əməliyyatlar
İrrasional ədədlər çoxluğunda dörd əsas arifmetik əməliyyat tətbiq oluna bilər: toplama, çıxma, vurma və bölmə; lakin sadalanan əməliyyatların heç biri üçün irrasional ədədlər çoxluğu qapanma xüsusiyyətinə malik deyil. Məsələn, iki irrasional ədədin cəmi rasional ədəd ola bilər.
Misal üçün. İki irrasional ədədin cəmini tapın $0.1010010001 \ldots$ və $0.0101101110 \ldots$ . Bu nömrələrdən birincisi müvafiq olaraq bir sıfır, iki sıfır, üç sıfır və s. ilə ayrılan birlər ardıcıllığı ilə, ikincisi - sıfırlar ardıcıllığı ilə formalaşır, bunların arasında bir, iki bir, üç və s. yerləşdirilir:
$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Beləliklə, verilmiş iki irrasional ədədin cəmi $\frac(1)(9)$ ədədidir ki, bu da rasionaldır.
Misal
Məşq edin.$\sqrt(3)$ ədədinin irrasional olduğunu sübut edin.
Sübut. Biz ziddiyyətlə sübut üsulundan istifadə edəcəyik. Tutaq ki, $\sqrt(3)$ rasional ədəddir, yəni $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ kəsr kimi göstərilə bilər, burada $m$ və $n$ natural ədədləri müqayisə edin.
Biz bərabərliyin hər iki tərəfini kvadrat edirik, alırıq
$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Sol sağ ox 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
3$\cdot n^(2)$ ədədi 3-ə bölünür. Buna görə də $m^(2)$ və deməli, $m$ 3-ə bölünür. $m=3 \cdot k$ qoysaq, $3 \cdot bərabərliyi əldə edilir. n^ (2)=m^(2)$ kimi yazıla bilər
$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Sol sağarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Sol sağarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Son bərabərlikdən belə çıxır ki, $n^(2)$ və $n$ 3-ə bölünür, ona görə də $\frac(m)(n)$ kəsri 3-ə endirilə bilər. Lakin fərziyyə ilə $\ kəsri frac(m)( n)$ azalmazdır. Nəticədə ortaya çıxan ziddiyyət sübut edir ki, $\sqrt(3)$ ədədi $\frac(m)(n)$ kəsr kimi təqdim edilə bilməz və buna görə də irrasionaldır.
Q.E.D.
Hansı rəqəmlər irrasionaldır? irrasional ədəd rasional real ədəd deyil, yəni. kəsr kimi (iki tam ədədin nisbəti kimi) təmsil oluna bilməz, burada m tam ədəddir, n- natural ədəd. irrasional ədəd sonsuz qeyri-dövri onluq kəsr kimi göstərilə bilər.
irrasional ədəd dəqiq ola bilməz. Yalnız 3.333333 formatında... Misal üçün, Kvadrat kök iki - irrasional ədəddir.
İrrasional ədəd nədir? İrrasional ədəd(rasional olanlardan fərqli olaraq) sonsuz onluq qeyri-dövri kəsr adlanır.
Çoxlu irrasional rəqəmlər tez-tez kölgəsiz qalın hərflə böyük Latın hərfi ilə işarələnir. ki.:
Bunlar. irrasional ədədlər çoxluğu həqiqi və rasional ədədlər çoxluğu arasındakı fərqdir.
İrrasional ədədlərin xassələri.
- 2 qeyri-mənfi irrasional ədədin cəmi rasional ədəd ola bilər.
- İrrasional ədədlər rasional ədədlər toplusunda, aşağı sinifdə olmayan Dedekind bölmələrini təyin edin böyük rəqəm, yuxarıda isə ondan kiçik yoxdur.
- Hər real transsendental ədəd irrasional ədəddir.
- Bütün irrasional ədədlər ya cəbri, ya da transsendentdir.
- İrrasional ədədlər çoxluğu say xəttində hər yerdə sıxdır: hər bir cüt ədəd arasında bir irrasional ədəd var.
- İrrasional ədədlər çoxluğundakı sıra həqiqi transsendental ədədlər çoxluğundakı sıraya izomorfdur.
- İrrasional ədədlər çoxluğu sonsuzdur, 2-ci kateqoriya çoxluğudur.
- Rasional ədədlər üzərində hər bir hesab əməliyyatının nəticəsi (0-a bölmədən başqa) rasional ədəddir. İrrasional ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatların nəticəsi rasional və ya irrasional ədəd ola bilər.
- Rasional və irrasional ədədin cəmi həmişə irrasional ədəd olacaqdır.
- İrrasional ədədlərin cəmi rasional ədəd ola bilər. Misal üçün, qoy x məntiqsiz, onda y=x*(-1) həm də irrasional; x+y=0, və nömrə 0 rasional (məsələn, hər hansı 7 dərəcəsinin kökünü əlavə etsək və yeddi dərəcənin kökünü çıxarsaq, 0 rasional rəqəmi alırıq).
İrrasional ədədlər, nümunələr.
γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ
Mücərrəddən riyazi anlayışlar bəzən o qədər təcridlə nəfəs alır ki, istər-istəməz fikir yaranır: “Bütün bunlar nə üçündür?”. Ancaq ilk təəssüratlara baxmayaraq, bütün teoremlər, hesab əməliyyatları, funksiyalar və s. - təcili ehtiyacları ödəmək arzusundan başqa bir şey deyil. Bunu müxtəlif dəstlərin görünüşü nümunəsində xüsusilə aydın görmək olar.
Hər şey natural ədədlərin meydana çıxması ilə başladı. İndi kiminsə bunun necə olduğunu dəqiq cavablandıra bilməsi çətin olsa da, amma çox güman ki, elmlər kraliçasının ayaqları mağaranın bir yerindən böyüyür. Burada dərilərin, daşların və qəbilələrin sayını təhlil edən bir insanın çoxlu "saymalı sayı" var. Və bu onun üçün kifayət idi. Təbii ki, müəyyən vaxta qədər.
Sonra dəriləri və daşları bölmək və götürmək lazım idi. Beləliklə, arifmetik əməliyyatlara və onlarla birlikdə rasional olanlara ehtiyac var idi, bunlar m / n növünün bir hissəsi kimi müəyyən edilə bilər, burada, məsələn, m dərilərin sayıdır, n - qəbilələrin sayıdır.
Deyəsən, artıq kəşf edilmiş riyazi aparat həyatdan həzz almaq üçün kifayətdir. Ancaq tezliklə məlum oldu ki, nəticənin tam olmayan bir şey olmadığı, hətta bir kəsr də olmadığı hallar var! Və həqiqətən də, ikinin kvadrat kökünü pay və məxrəcdən istifadə etməklə başqa cür ifadə etmək olmaz. Yaxud, məsələn, qədim yunan alimi Arximed tərəfindən kəşf edilən məşhur Pi rəqəmi də rasional deyil. Və zaman keçdikcə belə kəşflər o qədər çox oldu ki, "rasionallaşdırma" üçün uyğun olmayan bütün rəqəmlər birləşdirildi və irrasional adlandırıldı.
Xüsusiyyətlər
Daha əvvəl nəzərdən keçirilən çoxluqlar riyaziyyatın fundamental anlayışlar toplusuna aiddir. Bu o deməkdir ki, onlar daha sadə riyazi obyektlər vasitəsilə müəyyən edilə bilməz. Ancaq bu, kateqoriyaların (yunan "bəyanatlarından") və ya postulatların köməyi ilə edilə bilər. Bu vəziyyətdə, bu dəstlərin xüsusiyyətlərini təyin etmək ən yaxşısı idi.
o İrrasional ədədlər rasional ədədlər çoxluğundakı Dedekind bölmələrini müəyyən edir ki, onların aşağısında ən böyük, yuxarıda isə ən kiçik sayı yoxdur.
o Hər transsendental ədəd irrasionaldır.
o Hər bir irrasional ədəd ya cəbr, ya da transsendentaldır.
o İrrasional ədədlər çoxluğu həqiqi xəttin hər yerində sıxdır: istənilən iki ədəd arasında irrasional ədəd var.
o İrrasional ədədlər çoxluğu saysızdır, ikinci Baer kateqoriyasının çoxluğudur.
o Bu çoxluq sıralanır, yəni hər iki müxtəlif a və b rasional ədədi üçün onlardan hansının digərindən kiçik olduğunu göstərmək olar.
o Hər iki fərqli rasional ədəd arasında ən azı daha bir rasional ədəd və buna görə də sonsuz sayda rasional ədəd vardır.o İstənilən iki rasional ədəd üzərində arifmetik əməliyyatlar (toplama, çıxma, vurma və bölmə) həmişə mümkündür və müəyyən rasional ədədlə nəticələnir. İstisna sıfıra bölməkdir, bu qeyri-mümkündür.
o Hər bir rasional ədəd kimi təmsil oluna bilər onluq kəsr(sonlu və ya sonsuz dövri).