Fizika, mexanika və texniki elmlərin müxtəlif sahələrini öyrənərkən onların ədədi qiymətləri dəqiqləşdirilməklə tam təyin olunan kəmiyyətlərə rast gəlinir. Belə miqdarlar deyilir skalyar ya da bir sözlə, skalyarlar.

Skalyar kəmiyyətlər uzunluq, sahə, həcm, kütlə, bədən temperaturu və s.. Müxtəlif məsələlərdə skalyar kəmiyyətlərlə yanaşı, ədədi qiymətindən əlavə onların istiqamətini də bilmək lazım olan kəmiyyətlər var. Belə miqdarlar deyilir vektor. Vektor kəmiyyətlərinin fiziki nümunələri fəzada hərəkət edən maddi nöqtənin yerdəyişməsi, bu nöqtənin sürəti və sürətlənməsi, həmçinin ona təsir edən qüvvə ola bilər.

Vektor kəmiyyətləri vektorlardan istifadə etməklə təmsil olunur.

Vektor tərifi. Vektor müəyyən uzunluğa malik düz xəttin istiqamətlənmiş seqmentidir.

Bir vektor iki nöqtə ilə xarakterizə olunur. Bir nöqtə vektorun başlanğıc nöqtəsi, digər nöqtə vektorun son nöqtəsidir. Vektorun başlanğıcını nöqtə ilə işarə etsək A , vektorun sonu isə nöqtədir IN , onda vektorun özü işarələnir. Bir vektor, üzərində çubuq olan kiçik bir Latın hərfi ilə də işarələnə bilər (məsələn, ).

Qrafik olaraq vektor sonunda ox olan seqmentlə işarələnir.

Vektorun başlanğıcı deyilir onun tətbiq nöqtəsi.Əgər nöqtə A vektorun başlanğıcıdır , onda vektorun nöqtədə tətbiq olunduğunu söyləyəcəyik A.

Bir vektor iki kəmiyyətlə xarakterizə olunur: uzunluq və istiqamət.

Vektor uzunluğu – başlanğıc nöqtəsi A ilə son nöqtə B arasındakı məsafə. Vektorun uzunluğunun başqa bir adı vektorun moduludur. və simvolu ilə göstərilir . Vektor modulu qeyd olunur Vektor , uzunluğu 1 olan vahid vektor adlanır. Yəni vahid vektorun şərti

Uzunluğu sıfır olan vektor sıfır vektor adlanır ( ilə işarələnir). Aydındır ki, sıfır vektoru eyni başlanğıc və son nöqtələrə malikdir. Sıfır vektorunun xüsusi istiqaməti yoxdur.

Tərif kollinear vektorlar . Eyni xətt üzərində və ya paralel xətlərdə yerləşən vektorlara kollinear deyilir .

Qeyd edək ki, kollinear vektorlar müxtəlif uzunluqlara və müxtəlif istiqamətlərə malik ola bilər.

Bərabər vektorların təyini.İki vektor kolinear, eyni uzunluq və eyni istiqamətə malik olduqda bərabər deyilir.

Bu halda yazırlar:

Şərh. Vektorların bərabərliyinin tərifindən belə çıxır ki, vektor kosmosun istənilən nöqtəsində (xüsusən də müstəvidə) başlanğıcını yerləşdirməklə paralel olaraq köçürülə bilər.

Bütün sıfır vektorlar bərabər hesab olunur.

Qarşılıqlı vektorların təyini.İki vektor kolineardırsa, eyni uzunluğa malikdir, lakin əks istiqamətə malikdirsə, əks adlanır.

Bu halda yazırlar:

Başqa sözlə, vektora əks olan vektor kimi işarələnir.

m x n ölçülərinin matrisi.

Matris ölçüsü m x n m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı cədvəl şəklində yazılmış və dairəvi və ya düzbucaqlı və ya qoşa formada götürülən mn həqiqi ədədlərin və ya başqa strukturun elementlərinin (polinomlar, funksiyalar və s.) toplusudur. düz mötərizələr. Bu halda, ədədlərin özləri matris elementləri adlanır və hər bir element iki ədədlə - sətir nömrəsi və sütun nömrəsi ilə əlaqələndirilir.N ölçülü n-ə bərabər olan matris adlanır. kvadrat n-ci dərəcəli matrisa, yəni. sətirlərin sayı sütunların sayına bərabərdir. Üçbucaqlı - əsas diaqonaldan aşağıda və ya yuxarıda olan bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu kvadrat matris. diaqonal , əgər onun bütün diaqonaldan kənar elementləri sıfıra bərabərdirsə. Skalyar matris - əsas diaqonal elementləri bərabər olan diaqonal matris. Skalar matrisin xüsusi halı eynilik matrisidir. Diaqonal bütün diaqonal elementlərinin 1-ə bərabər olduğu matris deyilir subay matris və I və ya E simvolu ilə işarələnir. Bütün elementləri sıfır olan matrisə deyilir sıfır matris və O simvolu ilə işarələnir.

A matrisinin ədədə vurulması λ (simvol: λ A) matrisin qurulmasından ibarətdir B, elementləri matrisin hər bir elementini vurmaqla əldə edilir A bu ədədlə, yəni matrisin hər bir elementi B bərabərdir

Matrislərin ədədə vurulmasının xassələri

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Matris əlavəsi A + B matrisin tapılması əməliyyatıdır C, bütün elementləri bütün uyğun matrisin elementlərinin cüt cəminə bərabərdir A Və B, yəni matrisin hər bir elementi C bərabərdir

Matris əlavəsinin xassələri

5.kommutativlik) a+b=b+a

6. assosiativlik.

7.sıfır matrisli əlavə;

8. əks matrisin mövcudluğu (eyni şey, lakin hər nömrədən əvvəl hər yerdə mənfi cəhətlər var)

Matrisin vurulması - matris hesablama əməliyyatı var C, elementləri birinci amilin müvafiq cərgəsində və ikincinin sütununda olan elementlərin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Matrisdəki sütunların sayı A matrisdəki sətirlərin sayına uyğun olmalıdır B. Əgər matris Aölçüsü var, B- , sonra onların məhsulunun ölçüsü AB = C var .

Matris vurulmasının xassələri

1.assosiativlik (yuxarıya bax)

2. məhsul kommutativ deyil;

3.məhsul eynilik matrisi ilə vurulma halında kommutativdir;

4. bölüşdürmə qanununun ədalətliliyi; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Birinci və n-ci dərəcəli kvadrat matrisin təyinedicisi

Matrisin determinantı kvadrat matrisin elementlərinin polinomudur (yəni sətir və sütunların sayı bərabər olan biri)

Birinci cərgədə genişləndirmə yolu ilə təyin

Birinci dərəcəli matris üçün təyinedici bu matrisin yeganə elementidir:

Determinantların matrisi üçün müəyyən edilir

Matris üçün determinant rekursiv olaraq təyin olunur:

, elementə əlavə minor haradadır a 1j. Bu formula deyilir xəttin genişlənməsi.

Xüsusilə, matrisin determinantını hesablamaq üçün düstur:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Determinantların xassələri

İstənilən sətirə (sütun) başqa cərgələrin (sütunların) xətti kombinasiyasını əlavə edərkən determinant dəyişmir.

§ Əgər matrisin iki cərgəsi (sütunları) üst-üstə düşürsə, onda onun təyinedicisi sıfıra bərabərdir.

§ Əgər matrisin iki (və ya bir neçə) sətri (sütunları) xətti asılıdırsa, onda onun təyinedicisi sıfıra bərabərdir.

§ Əgər matrisin iki cərgəsini (sütununu) yenidən düzürsünüzsə, onda onun təyinedicisi (-1) ilə vurulur.

§ Müəyyənedicinin işarəsindən istənilən silsilənin elementlərinin ümumi amili çıxarıla bilər.

§ Əgər matrisin ən azı bir cərgəsi (sütun) sıfırdırsa, determinant sıfıra bərabərdir.

§ İstənilən cərgənin bütün elementlərinin cəbri tamamlamalarına görə hasillərinin cəmi müəyyənediciyə bərabərdir.

§ Paralel silsilənin müvafiq elementlərinin cəbri tamamlamaları ilə istənilən sıranın bütün elementlərinin hasillərinin cəmi sıfıra bərabərdir.

§ Eyni düzülüşlü kvadrat matrislərin hasilinin təyinedicisi onların təyinedicilərinin hasilinə bərabərdir (həmçinin Binet-Koşi düsturuna bax).

§ İndeks qeydindən istifadə edərək, 3x3 matrisin determinantını Levi-Civita simvolundan istifadə etməklə təyin etmək olar:

Tərs matris.

Tərs matris - belə bir matris A−1, vurulduqda orijinal matris Aşəxsiyyət matrisi ilə nəticələnir E:

Şərti varlıq:

Kvadrat matris yalnız və yalnız qeyri-tək olmadıqda, yəni determinantı sıfıra bərabər olduqda tərs olur. Kvadrat olmayan matrislər və tək matrislər üçün tərs matrislər yoxdur.

Tapmaq üçün düstur

Əgər matris tərsdirsə, onda tərs matrisi tapmaq üçün aşağıdakı üsullardan birini istifadə edə bilərsiniz:

a) Cəbri əlavələr matrisindən istifadə etməklə

C T- cəbri əlavələrin köçürülmüş matrisi;

Nəticə matris A−1 və tərsi olacaq. Alqoritmin mürəkkəbliyi O det determinantının hesablanması alqoritminin mürəkkəbliyindən asılıdır və O(n²)·O det-ə bərabərdir.

Başqa sözlə, tərs matris ilkin matrisin determinantına bölünən və ilkin matrisin elementlərinin cəbri əlavələrinin (kiçik tutduğu fəzanın gücünə (-1) vurulur) köçürülmüş matrisa vurulmasına bərabərdir.

4. Sistem xətti tənliklər. Sistem həlli. Sistemin uyğunluğu və uyğunsuzluğu. n dəyişənli n xətti tənliklər sisteminin həlli üçün matris üsulu. Krammer teoremi.

Sistem m ilə xətti tənliklər n naməlum(və ya, xətti sistem) xətti cəbrdə formanın tənliklər sistemidir

(1)

Budur x 1 , x 2 , …, x n- müəyyən edilməli olan naməlumlar. a 11 , a 12 , …, a mn- sistem əmsalları - və b 1 , b 2 , … b m- azad üzvlər - məlum hesab edilir. Əmsal indeksləri ( a ij) sistemlər tənlik nömrələrini ( i) və naməlum ( j), müvafiq olaraq bu əmsalın dayandığı.

Sistem (1) çağırılır homojen, əgər onun bütün sərbəst şərtləri sıfıra bərabərdirsə ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), əks halda - heterojen.

Sistem (1) çağırılır kvadrat, əgər nömrə mədədinə bərabər olan tənliklər n naməlum.

Həll sistemlər (1) - dəst n nömrələri c 1 , c 2 , …, c n, hər birinin əvəzlənməsi c iəvəzinə x i sistemə (1) bütün tənliklərini eyniliyə çevirir.

Sistem (1) çağırılır birgə, ən azı bir həlli varsa və birgə olmayan, əgər onun tək bir həlli yoxdursa.

(1) tipli birgə sistemin bir və ya bir neçə həlli ola bilər.

Həll yolları c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) və c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) (1) formasının birgə sistemləri deyilir müxtəlif bərabərliklərdən ən azı biri pozulduqda:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Matris forması

Xətti tənliklər sistemi matris şəklində aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Ax = B.

Sağdakı A matrisinə sərbəst şərtlər sütunu əlavə edilərsə, nəticədə yaranan matris uzadılmış adlanır.

Birbaşa üsullar

Kramer üsulu (Kramer qaydası)- əsas matrisin sıfırdan fərqli təyinedicisi olan xətti cəbri tənliklərin kvadratik sistemlərinin həlli üsulu (və belə tənliklər üçün unikal həll var). Bu metodu icad edən Qabriel Kramerin (1704-1752) şərəfinə adlandırılmışdır.

Metodun təsviri

Sistem üçün n ilə xətti tənliklər n naməlum (ixtiyari bir sahədə)

sistem matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olan Δ ilə həll şəklində yazılır

(sistem matrisinin i-ci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz olunur).
Başqa bir formada Kramer qaydası aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: istənilən c 1, c 2, ..., c əmsalları üçün aşağıdakı bərabərlik təmin edilir:

Bu formada Kramer düsturu Δ-nin sıfırdan fərqli olduğu fərziyyəsi olmadan etibarlıdır; sistemin əmsallarının inteqral halqanın elementləri olmasına belə ehtiyac yoxdur (sistemin müəyyənedicisi hətta əmsalda sıfır bölən də ola bilər). üzük). Biz də güman edə bilərik ki, ya dəstlər b 1 ,b 2 ,...,b n Və x 1 ,x 2 ,...,x n, və ya dəst c 1 ,c 2 ,...,c n sistemin əmsal halqasının elementlərindən deyil, bu halqanın üstündəki hansısa moduldan ibarətdir.

5. K-ci dərəcəli kiçik. Matris dərəcəsi. Matrislərin elementar çevrilmələri. Xətti tənliklər sistemi üçün uyğunluq şərtləri haqqında Kroneker-Kapelli teoremi. Xətti tənliklər sistemi üçün dəyişənlərin aradan qaldırılması (Qauss) üsulu.

Kiçik matrislər A nizamın kvadrat matrisinin təyinedicisidir k(buna bu minorun sırası da deyilir), elementləri matrisdə görünən A nömrələrlə sətirlərin və rəqəmlərlə sütunların kəsişməsində.

Rütbə matris sətir (sütun) sistemi A ilə m xətlər və n sütunlar sıfırdan fərqli sətirlərin (sütunların) maksimum sayıdır.

Bir neçə cərgə (sütun) xətti müstəqil deyilir, əgər onlardan heç biri digərləri ilə xətti şəkildə ifadə edilə bilmirsə. Sətir sisteminin rütbəsi həmişə sütun sisteminin rütbəsinə bərabərdir və bu ədəd matrisin rütbəsi adlanır.

Kroneker - Kapelli teoremi (xətti cəbri tənliklər sistemi üçün ardıcıllıq meyarı) -

Xətti cəbri tənliklər sistemi o zaman uyğundur ki, onun əsas matrisinin rütbəsi genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinə (sərbəst şərtlərlə) bərabər olsun və dərəcə ədədə bərabərdirsə, sistemin unikal həlli olsun. naməlumların sayı və rütbəsi naməlumların sayından az olarsa sonsuz sayda həllər.

Gauss üsulu - xətti cəbri tənliklər sisteminin (SLAE) həlli üçün klassik üsul. Bu, elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, tənliklər sistemi bütün digər dəyişənlərin sonuncudan başlayaraq ardıcıl olaraq tapıldığı pilləli (və ya üçbucaqlı) formanın ekvivalent sisteminə endirildikdə dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur. sayı) dəyişənləri.

6. İstiqamətləndirilmiş seqment və vektor. Əsas anlayışlar vektor cəbri. Vektorların cəmi və vektor və ədədin hasili. Vektorların koordinasiyası üçün şərt. Vektorlar üzərində xətti əməliyyatların xassələri.

Vektorlar üzərində əməliyyatlar

Əlavə

Həndəsi vektorların əlavə edilməsi əməliyyatı vəziyyətdən və nəzərə alınan vektorların növündən asılı olaraq müxtəlif yollarla müəyyən edilə bilər:

İki vektor u, v və onların cəminin vektoru

Üçbucaq qaydası. İki vektor əlavə etmək üçün və üçbucaq qaydasına görə, bu vektorların hər ikisi özlərinə paralel köçürülür ki, onlardan birinin başlanğıcı digərinin sonu ilə üst-üstə düşsün. Sonra cəm vektoru yaranan üçbucağın üçüncü tərəfi ilə verilir və onun başlanğıcı birinci vektorun başlanğıcı ilə, sonu isə ikinci vektorun sonu ilə üst-üstə düşür.

Paraleloqram qaydası. İki vektor əlavə etmək üçün və paraleloqram qaydasına uyğun olaraq, bu vektorların hər ikisi mənşəyi üst-üstə düşməsi üçün özlərinə paralel köçürülür. Sonra cəmi vektor ümumi mənşəyindən başlayaraq onların üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalı ilə verilir.

Və cəmi vektorun modulu (uzunluğu). kosinus teoremi ilə müəyyən edilir, burada birinin başlanğıcı digərinin sonu ilə üst-üstə düşdüyü zaman vektorlar arasındakı bucaqdır. Formula indi də istifadə olunur - bir nöqtədən çıxan vektorlar arasındakı bucaq.

Vektor rəsm

Vektor rəsm vektorla vektor aşağıdakı tələblərə cavab verən vektordur:

C vektorunun xassələri

§ vektorun uzunluğu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı φ bucağın sinusuna bərabərdir.

§ vektor və vektorlarının hər birinə ortoqonaldır

§ C vektorunun istiqaməti Buravçik qaydası ilə müəyyən edilir

Vektor məhsulunun xüsusiyyətləri:

1. Faktorları yenidən təşkil edərkən vektor məhsulu işarəni dəyişir (antikommutativlik), yəni.

2. Vektor hasilinin skalyar əmsala münasibətdə birləşdirici xassə vardır, yəni

3. Vektor məhsulu paylama xassəsinə malikdir:

Müstəvidə və kosmosda əsas və koordinat sistemi. Baza görə vektorun parçalanması. Müstəvidə və fəzada ortonormal əsas və düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi. Müstəvidə və fəzada vektor və nöqtənin koordinatları. Koordinat oxları üzərində vektorun proyeksiyaları.

Əsas (qədim yunan βασις, əsas) - vektor fəzasında elə vektorlar toplusu ki, bu fəzadakı istənilən vektor bu dəstdən vektorların xətti kombinasiyası kimi unikal şəkildə təmsil oluna bilsin - əsas vektorlar.

Vahid olmaq üçün bazis vektorlarının hər birinin uzunluğunu (norma) seçmək çox vaxt rahatdır, belə bir baza adlanır. normallaşdırılıb.

Kosmosun xüsusi (hər hansı) vektorunun əsas vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilməsi (əsasən vektorların ədədi əmsallarla cəmi), məsələn

və ya cəm işarəsindən istifadə edərək Σ:

çağırdı bu vektorun bu əsas üzərində genişlənməsi.

Müstəvidə və fəzada vektor və nöqtənin koordinatları.

A nöqtəsinin x oxu koordinatı mütləq qiymətində OAx seqmentinin uzunluğuna bərabər olan ədəddir: A nöqtəsi müsbət x oxunda yerləşirsə müsbət, mənfi yarımox üzərindədirsə mənfi.

Vahid vektor və ya vahid vektor uzunluğu birinə bərabər olan və istənilən koordinat oxu boyunca yönəlmiş vektordur.

Sonra vektor proyeksiyası l oxundakı AB vektorun sonu və başlanğıcının bu oxa proyeksiyalarının koordinatları arasındakı x1 – x2 fərqidir.

8.Vektorun uzunluğu və istiqamət kosinusları, istiqamət kosinusları arasındakı əlaqə. Orth vektoru. Koordinatlar vektorların cəmi, vektor və ədədin məhsuludur.

Vektor uzunluğu düsturla müəyyən edilir

Vektorun istiqaməti onun Ox, Oy, Oz koordinat oxları ilə yaratdığı α, β, γ bucaqları ilə müəyyən edilir. Bu açıların kosinusları (sözdə istiqamət kosinuslar vektoru ) düsturlarla hesablanır:

Vahid vektoru və ya ort (normallaşdırılmış vektor fəzasının vahid vektoru) norması (uzunluğu) birə bərabər olan vektordur.

Verilmiş bir (normallaşdırılmış vektor) ilə kollinear vahid vektor düsturla müəyyən edilir

Vahid vektorları tez-tez əsas vektorlar kimi seçilir, çünki bu, hesablamaları asanlaşdırır. Belə əsaslar deyilir normallaşdırılıb. Əgər bu vektorlar da ortoqonaldırsa, belə əsas ortonormal bazis adlanır.

Koordinatlar kollinear

Koordinatlar bərabərdir

Koordinatlar cəmi vektoru iki vektor münasibətləri təmin edir:

Koordinatlar kollinear vektorlar əlaqəni təmin edir:

Koordinatlar bərabərdir vektorlar münasibətləri təmin edir:

Cəm vektoru iki vektor:

Bir neçə vektorun cəmi:

Vektor və ədədin hasili:

Vektorların çarpaz məhsulu. Çarpaz məhsulun həndəsi tətbiqləri. Vektorların kollinearlığı şərti. Qarışıq məhsulun cəbri xassələri. Faktorların koordinatları vasitəsilə vektor hasilinin ifadə edilməsi.

Vektorun çarpaz məhsulu və b vektoru c vektoru adlanır, hansı ki:

1. a və b vektorlarına perpendikulyar, yəni c^a və c^b;

2. Rəqəm olaraq uzunluğa malikdir sahəsinə bərabərdir tərəflər kimi a və b vektorları üzərində qurulmuş paraleloqram (bax. Şəkil 17), yəni.

3. a, b və c vektorları sağ əlli üçlük əmələ gətirir.

Həndəsi Tətbiqlər:

Vektorların kollinearlığının qurulması

Paraleloqramın və üçbucağın sahəsinin tapılması

Vektorların vektor məhsulunun tərifinə görə A və b |a xb | =|a| * |b |oxumaq, yəni S cütləri = |a x b |. Və buna görə də DS =1/2|a x b |.

Bir nöqtəyə görə qüvvənin momentinin təyini

Fizikadan məlumdur ki qüvvə anı F nöqtəyə nisbətən HAQQINDA vektor deyilir M, hansı nöqtədən keçir HAQQINDA Və:

1) nöqtələrdən keçən müstəviyə perpendikulyar O, A, B;

2) ədədi olaraq bir qola düşən qüvvənin hasilinə bərabərdir

3) OA və A B vektorları ilə sağ üçlük əmələ gətirir.

Beləliklə, M = OA x F.

Xətti fırlanma sürətinin tapılması

ilə fırlanan sərt cismin M nöqtəsinin v sürəti bucaq sürəti sabit ox ətrafında w Eylerin v =w xr düsturu ilə müəyyən edilir, burada r =OM, burada O oxun hansısa sabit nöqtəsidir (bax. Şəkil 21).

Vektorların kollinearlığı şərti - sıfırdan fərqli vektorla vektorun kollinearlığının zəruri və kafi şərti bərabərliyi təmin edən ədədin mövcudluğudur.

Qarışıq məhsulun cəbri xassələri

Faktorlar dairəvi şəkildə yenidən düzüldükdə vektorların qarışıq hasilatı dəyişmir və modulunu saxlamaqla, iki amil dəyişdirildikdə işarəni əksinə dəyişir.

Qarışıq məhsulun içərisindəki vektor vurma işarəsi " " onun hər hansı amilləri arasında yerləşdirilə bilər.

Qarışıq məhsul hər hansı faktoruna görə paylayıcıdır: (məsələn) əgər , onda

Çarpaz hasilin koordinatlarla ifadə edilməsi

düzgün koordinat sistemi

sol koordinat sistemi

12.Vektorların qarışıq məhsulu. Həndəsi məna qarışıq hasil, vektorların müqayisəlilik şərti. Qarışıq məhsulun cəbri xassələri. Qarışıq məhsulun amillərin koordinatları vasitəsilə ifadə edilməsi.

Qarışıq Düzenli vektor üçlüyünün hasili (a,b,c) birinci vektorun skalyar hasilidir, ikinci vektorun ve üçüncü vektor hasilidir.

Vektor məhsulunun cəbri xassələri

Antikommutativlik

Skalara vurma ilə bağlı assosiativlik

Əlavə ilə paylanma

Yakobi şəxsiyyəti. R3-də işləyir və R7-də qırılır

Bazis vektorlarının vektor məhsulları təriflə tapılır

Nəticə

burada həm xəttin istiqamət vektorunun, həm də xəttə aid nöqtənin koordinatlarının koordinatlarıdır.

Müstəvidə xəttin normal vektoru. Verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi. Düz xəttin ümumi tənliyi. Bucaq əmsalı olan düz xəttin tənlikləri. Qarşılıqlı tənzimləmə bir təyyarədə iki xətt

Normal xəttin vektoru bu xəttə perpendikulyar sıfırdan fərqli hər hansı vektordur.

- verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Axe + Wu + C = 0- xəttin ümumi tənliyi.

y=kx+b şəklində olan xətt tənliyi

çağırdı yamaclı düz xəttin tənliyi, k əmsalı isə bu xəttin mailliyi adlanır.

Teorem. Yamacı y=kx+b olan düz xəttin tənliyində

Bucaq əmsalı k düz xəttin absis oxuna meyl bucağının tangensinə bərabərdir:

Qarşılıqlı tənzimləmə:

– Oksi koordinat müstəvisində iki xəttin ümumi tənlikləri. Sonra

1) əgər , onda xətlər üst-üstə düşür;

2) əgər , onda düz və paralel;

3) əgər , onda xətlər kəsişir.

Sübut . Şərt verilmiş xətlərin normal vektorlarının kollinearlığına ekvivalentdir:

Buna görə də, əgər , onda düz xətlər kəsişmək.

Əgər , onda , , və xəttin tənliyi formanı alır:

Və ya , yəni. düz uyğun. Qeyd edək ki, mütənasiblik əmsalı , əks halda ümumi tənliyin bütün əmsalları sıfıra bərabər olacaq, bu mümkün deyil.

Xətlər üst-üstə düşmürsə və kəsişmirsə, iş qalır, yəni. düz paralel.

Seqmentlərdə xəttin tənliyi

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С≠0 olarsa, onda –С-ə böldükdə alarıq: və ya , burada

Əmsalların həndəsi mənası odur ki, əmsal A xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b– düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Xəttin normal tənliyi

Ax + By + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi adlanan bir ədədə bölünürsə normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki, μ ? İLƏ< 0.

p başlanğıcdan düz xəttə endirilən perpendikulyarın uzunluğu, φ isə bu perpendikulyarın Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaqdır.

C Qeyd etmək lazımdır ki, hər bir xətt seqmentlərdə, məsələn, oxlara paralel və ya başlanğıc nöqtəsindən keçən xətlər tənliyi ilə təmsil oluna bilməz.

17. Ellips. Ellipsin kanonik tənliyi. Həndəsi xassələri və ellipsin qurulması. Xüsusi şərtlər.

Ellips - nöqtələrin yeri M Evklid müstəvisi, bunun üçün verilmiş iki nöqtəyə olan məsafələrin cəmidir F 1 və F 2 (fokus adlanır) sabitdir və ocaqlar arasındakı məsafədən böyükdür, yəni | F 1 M | + | F 2 M | = 2a, və | F 1 F 2 | < 2a.

Kanonik tənlik

İstənilən ellips üçün Kartezian koordinat sistemi tapa bilərsiniz ki, ellips tənliklə (ellipsin kanonik tənliyi) təsvir edilsin:

O, oxları koordinat oxları ilə üst-üstə düşən başlanğıcda mərkəzləşmiş ellipsi təsvir edir.

Tikinti: 1) Kompasdan istifadə

2) İki hiylə və uzanan ip

3) Ellipsoqraf (Elipsoqraf iki perpendikulyar yiv və ya bələdçi boyunca hərəkət edə bilən iki sürgüdən ibarətdir. Sürgülər menteşələr vasitəsilə çubuğa bərkidilir və çubuq boyunca bir-birindən müəyyən məsafədə yerləşir. Sürgülər irəli və geriyə doğru - hər biri öz yivi boyunca, - və çubuqun ucu müstəvidə bir ellipsi təsvir edir. a və b ellipsin yarım oxları çubuğun ucundan sürgülərdəki menteşələrə qədər olan məsafələri təmsil edir. a və b məsafələri dəyişdirilə bilər və bununla da təsvir olunan ellipsin formasını və ölçülərini dəyişdirə bilərsiniz)

Eksantriklik ellipsin uzanmasını xarakterizə edir. Eksentriklik sıfıra nə qədər yaxındırsa, ellips bir o qədər çox çevrəyə bənzəyir və əksinə, ekssentriklik birliyə nə qədər yaxındırsa, bir o qədər uzanır.

Fokus parametri

Kanonik tənlik

18.Hiperbola. Hiperbolanın kanonik tənlikləri. Hiperbolanın həndəsi xassələri və qurulması. Xüsusi şərtlər

Hiperbola(qədim yunan ὑπερβολή, qədim yunan dilindən βαλειν - “atmaq”, ὑπερ - “üstü”) - nöqtələrin yeri M Məsafələr fərqinin mütləq dəyəri olan Evklid müstəvisi M iki seçilmiş nöqtəyə qədər F 1 və F 2 (fokus adlanır) daim. Daha dəqiq,

Üstəlik | F 1 F 2 | > 2a > 0.

Nisbətlər

Yuxarıda müəyyən edilmiş hiperbolaların xüsusiyyətləri üçün onlar aşağıdakı əlaqələrə tabe olurlar

2. Hiperbolanın direktriksləri ikiqat qalınlıqlı xətlərlə göstərilir və göstərilir D 1 və D 2. Eksantriklik ε nöqtə məsafələrinin nisbətinə bərabərdir P fokusun və müvafiq direktrisin hiperbolunda (yaşıl rənglə göstərilir). Hiperbolanın təpələri ± kimi təyin olunur a. Hiperbola parametrləri aşağıdakıları ifadə edir:

a- mərkəzdən məsafə C təpələrin hər birinə
b- təpələrin hər birindən asimptotlara düşən perpendikulyarın uzunluğu
c- mərkəzdən məsafə C fokusların hər hansı birinə, F 1 və F 2 ,
θ asimptotların hər birinin yaratdığı bucaq və təpələr arasında çəkilmiş oxdur.

Xüsusiyyətlər

§ Hiperbolanın üzərində yerləşən hər hansı bir nöqtə üçün bu nöqtədən fokusa olan məsafələrin eyni nöqtədən direktrisa qədər olan məsafəyə nisbəti sabit qiymətdir.

§ Hiperbolanın real və xəyali oxlar ətrafında güzgü simmetriyası, həmçinin hiperbolanın mərkəzi ətrafında 180° bucaqla fırlananda fırlanma simmetriyası var.

§ Hər bir hiperbolanın var konjugat hiperbola, bunun üçün həqiqi və xəyali oxlar yerlərini dəyişir, lakin asimptotlar eyni qalır. Bu dəyişdirmə ilə uyğundur a Və b hiperbolanı təsvir edən bir düsturda bir-birinin üstündə. Qohumluq hiperbolası orijinal hiperbolanın 90° bucaqla fırlanmasının nəticəsi deyil; hər iki hiperbolanın forması fərqlidir.

19. Parabola. Parabolanın kanonik tənliyi. Parabolanın həndəsi xassələri və qurulması. Xüsusi şərtlər.

Parabola - verilmiş xəttdən (parabolanın direktrisası adlanır) və verilmiş nöqtədən (parabolanın fokusu adlanır) bərabər məsafədə yerləşən nöqtələrin həndəsi yeri.

Düzbucaqlı koordinat sistemində parabolanın kanonik tənliyi:

(və ya baltaları dəyişdirsəniz).

Xüsusiyyətlər

§ 1 Parabola ikinci dərəcəli əyridir.

§ 2Adlanan simmetriya oxuna malikdir parabolanın oxu. Ox fokusdan keçir və direktrisə perpendikulyardır.

§ 3Optik xüsusiyyət. Onun fokusunda parabolada əks olunan parabolanın oxuna paralel şüalar şüası toplanır. Və əksinə, fokusda yerləşən mənbədən gələn işıq parabola ilə öz oxuna paralel şüalar şüasına əks olunur.

§ 4Parabola üçün fokus nöqtədədir (0,25; 0).

Parabola üçün fokus (0; f) nöqtəsindədir.

§ 5 Əgər parabolanın fokusu tangensə nisbətən əks olunarsa, onda onun təsviri direktriksdə yerləşəcəkdir.

§ 6 Parabola xəttin antipoderidir.

§ Bütün parabolalar oxşardır. Fokus və direktrix arasındakı məsafə miqyası müəyyən edir.

§ 7 Parabola simmetriya oxu ətrafında fırlananda elliptik paraboloid alınır.

Parabolanın istiqaməti

Fokus radiusu

20.Normal müstəvi vektoru. Verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi verilmiş vektora perpendikulyardır. Ümumi müstəvi tənliyi, ümumi müstəvi tənliyinin xüsusi halı. Təyyarənin vektor tənliyi. İki təyyarənin nisbi mövqeyi.

Təyyarə- həndəsənin əsas anlayışlarından biri. Həndəsənin sistemli təqdimatında müstəvi anlayışı adətən ilkin anlayışlardan biri kimi götürülür ki, bu da həndəsənin aksiomları ilə dolayı yolla müəyyən edilir.

Nöqtə və normal vektor üzrə müstəvi tənliyi
Vektor şəklində

Koordinatlarda

Təyyarələr arasındakı bucaq

Ümumi müstəvi tənliyinin xüsusi halları.

Fizikada təbiət qanunlarını düzgün göstərmək üçün müvafiq riyazi alətlər tələb olunur.

Həndəsə və fizikada həm ədədi dəyəri, həm də istiqaməti ilə xarakterizə olunan kəmiyyətlər var.

Onları istiqamətlənmiş seqmentlər və ya kimi təsvir etmək məsləhətdir vektorlar.

ilə təmasda

Belə kəmiyyətlərin başlanğıcı (nöqtə ilə göstərilir) və oxla göstərilən sonu var. Seqmentin uzunluğuna (uzunluq) deyilir.

• sürət;
• sürətlənmə;
• nəbz;
• güc;
• an;
• güc;
• hərəkət;
• sahənin gücü və s.

Təyyarə koordinatları

A (x1,y1) nöqtəsindən B (x2,y2) nöqtəsinə istiqamətlənmiş müstəvidə seqment təyin edək. Onun a (a1, a2) koordinatları a1=x2-x1, a2=y2-y1 ədədləridir.

Modul Pifaqor teoremi ilə hesablanır:

Sıfır vektorunun başlanğıcı sonu ilə üst-üstə düşür. Koordinatları və uzunluğu 0-dır.

Vektor cəmi

Mövcüd olmaq məbləği hesablamaq üçün bir neçə qaydalar

• üçbucaq qaydası;
• çoxbucaqlı qaydası;
• paraleloqram qaydası.

Vektorların əlavə edilməsi qaydası dinamika və mexanika problemlərindən istifadə etməklə izah edilə bilər. Nöqtə cisminə təsir edən qüvvələr və cismin fəzada ardıcıl hərəkətləri nümunəsindən istifadə edərək üçbucaq qaydasına uyğun vektorların əlavə edilməsini nəzərdən keçirək.

Tutaq ki, cisim əvvəlcə A nöqtəsindən B nöqtəsinə, sonra isə B nöqtəsindən C nöqtəsinə hərəkət edir. Son yerdəyişmə başlanğıc A nöqtəsindən C son nöqtəsinə yönəlmiş seqmentdir.

İki hərəkətin nəticəsi və ya onların cəmi s = s1+ s2. Bu üsul adlanır üçbucaq qaydası.

Oklar bir-birinin ardınca zəncirlə düzülür, lazım olduqda paralel köçürmə həyata keçirilir. Ümumi seqment ardıcıllığı bağlayır. Onun başlanğıcı birincinin başlanğıcı ilə, sonu sonuncunun sonu ilə üst-üstə düşür. Xarici dərsliklərdə bu üsulçağırdı "quyruq-baş".

c = a + b nəticəsinin koordinatları c (a1+ b1, a2+ b2) terminlərinin müvafiq koordinatlarının cəminə bərabərdir.

Paralel (kollinear) vektorların cəmi də üçbucaq qaydası ilə müəyyən edilir.

İki orijinal seqment bir-birinə perpendikulyardırsa, onların əlavə edilməsinin nəticəsi onların üzərində qurulmuş düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasıdır. Cəminin uzunluğu Pifaqor teoremi ilə hesablanır.

Nümunələr:

• Üfüqi istiqamətdə atılan cismin sürəti perpendikulyar sərbəst düşmənin sürətlənməsi.
• Uniforma ilə fırlanma hərəkəti cismin xətti sürəti mərkəzdənqaçma sürətinə perpendikulyardır.

Üç və ya daha çox vektorun əlavə edilməsi uyğun olaraq istehsal edir çoxbucaqlı qayda, "quyruq-baş"

F1 və F2 qüvvələrinin nöqtəli cismə tətbiq edildiyini fərz edək.

Təcrübə sübut edir ki, bu qüvvələrin birləşmiş təsiri onların üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalı boyunca yönəlmiş bir qüvvənin təsirinə bərabərdir. Bu nəticə qüvvəsi onların F = F1 + F 2 cəminə bərabərdir. Yuxarıdakı toplama üsulu deyilir paraleloqram qaydası.

Bu vəziyyətdə uzunluq düsturla hesablanır

Burada θ tərəflər arasındakı bucaqdır.

Üçbucaq və paraleloqram qaydaları bir-birini əvəz edir. Fizikada paraleloqram qaydası daha çox istifadə olunur, çünki qüvvələrin, sürətlərin və təcillərin istiqamətli böyüklükləri adətən bir nöqtəli cismə tətbiq edilir. Üç ölçülü koordinat sistemində paralelepiped qaydası tətbiq olunur.

Cəbrin elementləri

1. Əlavə ikili əməliyyatdır: bir anda yalnız bir cüt əlavə edilə bilər.
2. Kommutativlik: şərtlərin yenidən yerləşdirilməsinin cəmi a + b = b + a dəyişmir. Bu, paraleloqram qaydasından aydın olur: diaqonal həmişə eynidir.
3. assosiativlik: ixtiyari sayda vektorların cəmi onların əlavə edilmə qaydasından (a + b) + c = a + (b + c) asılı deyil.
4. Sıfır vektoru ilə cəmləmə nə istiqaməti, nə də uzunluğu dəyişmir: a +0= a .
5. Hər bir vektor üçün var əks. Onların cəmi a +(-a)=0 sıfıra bərabərdir və uzunluqları eynidir.

Skayarla vurma

Skalara vurmanın nəticəsi vektordur.

Məhsulun koordinatları orijinalın müvafiq koordinatlarını skalyarla vurmaqla əldə edilir.

Skaler artı və ya mənfi işarəsi olan, birdən böyük və ya kiçik olan ədədi dəyərdir.

Fizikada skalyar kəmiyyətlərin nümunələri:

• çəki;
• vaxt;
• doldurmaq;
• uzunluq;
• kvadrat;
• həcm;
• sıxlıq;
• temperatur;
• enerji.

Misal:

İş qüvvə və yerdəyişmənin skalyar məhsuludur A = Fs.