Antiderivativ və inteqral

1. Antiderivativ. F (x) funksiyası X intervalında f (x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır, əgər X-dən hər hansı bir x üçün F "(x) \u003d f (x) bərabərliyi olarsa.

T.7.13 (F(x) X intervalında f(x) funksiyası üçün antitörəmədirsə, f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var və bütün bu əks törəmələr F (x) + С formasına malikdir, burada С ixtiyari sabitdir (antiderivativin əsas xassəsidir).

2. Antiderivativlər cədvəli. Antitörəmə tapmağın diferensiasiyaya tərs əməliyyat olduğunu nəzərə alaraq və törəmələr cədvəlindən başlayaraq aşağıdakı antitörəmələr cədvəlini əldə edirik (sadəlik üçün cədvəldə F antitörəmələrinin ümumi forması deyil, F(x) bir antitörəmə göstərilir) (x) + C):

	antitörəmə		antitörəmə

antiderivativ və loqarifmik funksiya

Loqarifmik funksiya, eksponensial funksiyaya tərs funksiya. L. f. işarələnmişdir

onun x arqumentinin qiymətinə uyğun gələn y qiyməti x ədədinin natural loqarifmi adlanır. Tərifinə görə (1) əlaqəsi ekvivalentdir

(e həmyaşıd olmayan nömrədir). İstənilən real y üçün ey > 0 olduğundan, L. f. yalnız x > 0 üçün müəyyən edilir. Daha ümumi mənada L. f. funksiyasını çağırın

antitörəmə dərəcəli inteqral loqarifm

burada a > 0 (a? 1) loqarifmlərin ixtiyari əsasıdır. Bununla belə, riyazi analizdə InX funksiyası xüsusi əhəmiyyət kəsb edir; logaX funksiyası ona düsturla endirilir:

burada M = 1/a. L. f. - əsas elementar funksiyalardan biri; onun qrafiki (şək. 1) loqarifmik adlanır. L. f-nin əsas xassələri. eksponensial funksiyanın və loqarifmlərin müvafiq xassələrindən əməl edin; məsələn, L. f. funksional tənliyi ödəyir

Üçün - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Bir çox inteqral L. f. ilə ifadə edilir; misal üçün

L. f. hesablamalarda və onun tətbiqlərində tez-tez rast gəlinir.

L. f. 17-ci əsrin riyaziyyatçılarına yaxşı məlum idi. L. f. tərəfindən ifadə edilən dəyişənlər arasındakı əlaqə ilk dəfə olaraq J. Napier (1614) tərəfindən nəzərdən keçirilmişdir. O, paralel düz xətlər boyunca hərəkət edən iki nöqtədən istifadə edərək ədədlər və onların loqarifmləri arasındakı əlaqəni təqdim etdi (şək. 2). Onlardan biri (Y) C-dən başlayaraq bərabər şəkildə, digəri (X) A-dan başlayaraq B-dən uzaqlığına mütənasib sürətlə hərəkət edir. Əgər SU = y, XB = x qoysaq, onda uyğun olaraq bu tərif,

dx/dy = - kx, haradan.

L. f. üstündə mürəkkəb müstəvi z arqumentinin bütün dəyərləri üçün müəyyən edilmiş çoxqiymətli (sonsuz qiymətli) funksiyadırmı? 0 Lnz ilə işarələnir. Bu funksiyanın birmənalı qolu kimi müəyyən edilir

Inz \u003d In?z? + i arg z,

burada arg z z kompleks ədədinin arqumentidir, L. f-nin əsas qiyməti adlanır. bizdə var

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

L. f-nin bütün dəyərləri. mənfi üçün: real z var mürəkkəb ədədlər. L. f-nin ilk qənaətbəxş nəzəriyyəsi. kompleks müstəvidə tərifdən çıxış edən L. Eyler (1749) tərəfindən verilmişdir

Loqarifmlərin inteqralları

Parçalar üzrə inteqrasiya. Həll nümunələri

Həll.

Misal üçün.

İnteqralı hesablayın:

İnteqralın xassələrinin tətbiqi (xətti), ᴛ.ᴇ. , cədvəl inteqrala endirsək, bunu alırıq

Yenə salam. Bu gün dərsimizdə hissələrə görə inteqrasiya etməyi öyrənəcəyik. Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu ϶ᴛᴏ inteqral hesablamasının təməl daşlarından biridir. Testdə, imtahanda tələbəyə demək olar ki, həmişə aşağıdakı növ inteqralları həll etmək təklif olunur: ən sadə inteqral (məqaləyə baxQeyri-müəyyən inteqral. Həll nümunələri ) və ya dəyişəni dəyişdirmək üçün inteqral (məqaləyə baxQeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu ) və ya inteqral yalnız hissələr üzrə inteqrasiya üsulu.

Həmişə olduğu kimi, əlində olmalıdır: İnteqrallar cədvəli və Törəmə cədvəli. Əgər sizdə hələ də bunlar yoxdursa, lütfən saytımın anbarını ziyarət edin: Riyazi düsturlar və masalar. Mən təkrarlamaqdan yorulmayacağam - hər şeyi çap etmək daha yaxşıdır. Mən bütün materialı ardıcıl, sadə və əlçatan bir şəkildə təqdim etməyə çalışacağam, hissələr üzrə inteqrasiyada heç bir xüsusi çətinlik yoxdur.

Parçalar üzrə inteqrasiya hansı problemi həll edir? Parçalarla inteqrasiya üsulu çox həll edir mühüm vəzifə, bu, cədvəldə olmayan bəzi funksiyaları inteqrasiya etməyə imkan verir, iş funksiyaları və bəzi hallarda - və özəl. Xatırladığımız kimi, rahat bir düstur yoxdur: . Ancaq bu var: - şəxsən hissələrə görə inteqrasiya düsturu. Bilirəm, bilirəm, sən təksən - onunla bütün dərsi işləyəcəyik (onsuz da daha asandır).

Və dərhal studiyada siyahı. Aşağıdakı növ inteqrallar hissələrə görə alınır:

1) , - loqarifm, loqarifmin bəzi çoxhədli ilə vurulması.

2) , bəzi çoxhədli ilə vurulan eksponensial funksiyadır. Bu kimi inteqrallar da daxildir eksponensial funksiya, çoxhədli ilə vurulur, amma praktikada 97 faizdir, inteqralın altında gözəl bir hərf ʼʼеʼʼ parıldayır. ... məqalə lirik bir şeyə çevrilir, oh hə ... yaz gəldi.

3) , bəzi çoxhədli ilə vurulan triqonometrik funksiyalardır.

4) , tərs triqonometrik funksiyalardır (ʼʼtağlarʼʼ), ʼʼtağlarʼʼ, bəzi çoxhədli ilə vurulur.

Həmçinin, bəzi fraksiyalar hissə-hissə götürülür, müvafiq nümunələri də ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Misal 1

Qeyri-müəyyən inteqral tapın.

Klassik. Zaman zaman bu inteqral cədvəllərdə tapıla bilər, lakin hazır cavabdan istifadə etmək arzuolunmazdır, çünki müəllimin yazda beriberi var və o, çox danlayacaq. Çünki nəzərdən keçirilən inteqral heç bir halda cədvəlli deyil - hissələrə bölünür. Qərar veririk:

Aralıq izahatlar üçün həlli dayandırırıq.

Parçalar üzrə inteqrasiya üçün düsturdan istifadə edirik:

Loqarifmlərin inteqralları - anlayışı və növləri. "Loqarifmlərin inteqralları" kateqoriyasının təsnifatı və xüsusiyyətləri 2017, 2018.

Kompleks inteqrallar

Bu məqalə qeyri-müəyyən inteqrallar mövzusunu tamamlayır və bura mənim kifayət qədər çətin hesab etdiyim inteqrallar daxildir. Dərs daha çətin nümunələrin saytda təhlil edilməsini arzulayan ziyarətçilərin təkrar xahişi ilə yaradılmışdır.

Güman edilir ki, bu mətnin oxucusu yaxşı hazırlanmışdır və inteqrasiyanın əsas üsullarını necə tətbiq edəcəyini bilir. Dummies və inteqrallara çox arxayın olmayan insanlar ilk dərsə müraciət etməlidirlər - Qeyri-müəyyən inteqral. Həll nümunələri burada mövzunu demək olar ki, sıfırdan öyrənə bilərsiniz. Daha təcrübəli tələbələr mənim məqalələrimdə hələ rast gəlinməyən inteqrasiya üsulları və üsulları ilə tanış ola bilərlər.

Hansı inteqrallar nəzərə alınacaq?

Birincisi, həlli üçün ardıcıl olaraq istifadə etdiyimiz kökləri olan inteqralları nəzərdən keçiririk dəyişən əvəzetmə və hissələri ilə inteqrasiya. Yəni bir misalda iki üsul bir anda birləşdirilir. Və daha çox.

Sonra maraqlı və orijinalla tanış olacağıq inteqralı özünə endirmə üsulu. O qədər də az inteqral bu şəkildə həll olunmur.

Proqramın üçüncü nömrəsi əvvəlki məqalələrdə kassa aparatının yanından keçən mürəkkəb fraksiyaların inteqralları olacaqdır.

Dördüncüsü, triqonometrik funksiyalardan əlavə inteqrallar təhlil ediləcək. Xüsusilə, çox vaxt aparan universal triqonometrik əvəzləmədən qaçan üsullar var.

(2) İnteqralda payı məxrəcə görə həddə bölürük.

(3) Qeyri-müəyyən inteqralın xətti xüsusiyyətindən istifadə edirik. Sonuncu inteqralda dərhal funksiyanı diferensialın işarəsi altına gətirin.

(4) Qalan inteqralları götürürük. Qeyd edək ki, loqarifmdə moduldan deyil, mötərizədə istifadə edə bilərsiniz, çünki .

(5) "te" birbaşa əvəzindən ifadə edərək tərs əvəzləmə həyata keçiririk:

Mazoşist tələbələr cavabı fərqləndirə və mənim etdiyim kimi orijinal inteqrandı əldə edə bilərlər. Yox, yox, yoxlamağı düzgün mənada etdim =)

Gördüyünüz kimi, həll prosesində hətta ikidən çox həll metodundan istifadə edilməli idi, buna görə də belə inteqrallarla məşğul olmaq üçün ən az təcrübə deyil, inamlı inteqrasiya bacarıqları lazımdır.

Praktikada, əlbəttə ki, kvadrat kök daha çox yayılmışdır, burada üç nümunə var müstəqil həll:

Misal 2

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Misal 3

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Misal 4

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu nümunələr eyni tiplidir, buna görə də məqalənin sonundakı tam həll yalnız 2-ci Nümunə üçün, 3-4 Nümunələr üçün - bir cavab olacaq. Qərarların əvvəlində hansı əvəzedicinin istifadə ediləcəyi, məncə, göz qabağındadır. Niyə eyni tipli nümunələri seçdim? Çox vaxt onların rollarında rast gəlinir. Daha tez-tez, bəlkə də, belə bir şey .

Ancaq həmişə deyil, qövsün tangensi, sinus, kosinus, eksponent və digər funksiyaların altında bir kök olduqda xətti funksiya, eyni anda bir neçə üsul tətbiq etmək lazımdır. Bir sıra hallarda, "asanlıqla çıxmaq" mümkündür, yəni dəyişdirildikdən dərhal sonra elementar olaraq qəbul edilən sadə bir inteqral alınır. Yuxarıda təklif olunan tapşırıqlardan ən asanı Nümunə 4-dür, burada əvəz edildikdən sonra nisbətən sadə inteqral alınır.

İnteqralı özünə endirmə üsulu

Ağıllı və gözəl üsul. Bu janrın klassiklərinə nəzər salaq:

Misal 5

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Kökün altında kvadrat binomial var və bu nümunəni birləşdirməyə çalışarkən, çaynik saatlarla əziyyət çəkə bilər. Belə bir inteqral hissələr tərəfindən alınır və özünə azalır. Prinsipcə, çətin deyil. Bilsən necə.

Nəzərə alınan inteqralı latın hərfi ilə işarə edək və həllinə başlayaq:

Parçalara görə inteqrasiya:

(1) İnteqrandı müddətli bölməyə hazırlayırıq.

(2) Biz inteqral termini terminə bölürük. Bəlkə də hamı başa düşmür, daha ətraflı yazacam:

(3) Qeyri-müəyyən inteqralın xətti xüsusiyyətindən istifadə edirik.

(4) Sonuncu inteqralı ("uzun" loqarifmi) götürürük.

İndi həllin ən başlanğıcına baxaq:

Və sonluq üçün:

Nə olub? Manipulyasiyalarımız nəticəsində inteqral öz-özünə azaldı!

Başlanğıc və sonu bərabərləşdirin:

İşarə dəyişikliyi ilə sol tərəfə keçirik:

Və ikiliyi sağ tərəfə yıxırıq. Nəticə olaraq:

Sabit, dəqiq desək, əvvəllər əlavə edilməli idi, amma sonunda əlavə etdim. Burada şiddətin nə olduğunu oxumağı tövsiyə edirəm:

Qeyd: Daha ciddi şəkildə Son mərhələ həll belə görünür:

Bu minvalla:

Sabiti ilə yenidən adlandırmaq olar. Niyə adını dəyişdirə bilərsiniz? Çünki hələ də lazımdır hər hansı dəyərlər və bu mənada sabitlər arasında heç bir fərq yoxdur.
Nəticə olaraq:

Daimi adının dəyişdirilməsi ilə bənzər bir hiylə geniş istifadə olunur diferensial tənliklər. Və orada mən sərt olacağam. Və burada bu cür azadlıqlara yalnız sizi lazımsız şeylərlə qarışdırmamaq və inteqrasiya metodunun özünə diqqət yetirmək üçün icazə verilir.

Misal 6

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Müstəqil həll üçün başqa tipik inteqral. Tam həll və dərsin sonunda cavab. Əvvəlki nümunənin cavabı ilə fərq olacaq!

Əgər altında kvadrat kök yerləşir kvadrat trinomial, onda həll hər halda iki təhlil edilmiş nümunəyə qədər azalır.

Məsələn, inteqralı nəzərdən keçirək . Sizə lazım olan hər şey əvvəlcədən etməkdir tam kvadrat seçin:
.
Sonra, "heç bir nəticə vermədən" idarə edən xətti dəyişdirmə aparılır:
, nəticədə inteqral alınır. Tanış bir şey, elə deyilmi?

Və ya bu misal, kvadrat binomial ilə:
Tam kvadratın seçilməsi:
Və xətti əvəz etdikdən sonra inteqralı alırıq, bu da artıq nəzərdən keçirilən alqoritmlə həll olunur.

İnteqralı özünə necə azaltmağın daha iki tipik nümunəsini nəzərdən keçirin:
eksponentin sinusuna vurulan inteqraldır;
eksponentin kosinusu ilə vurulan inteqralıdır.

Hissələr üzrə sadalanan inteqrallarda siz artıq iki dəfə inteqrasiya etməli olacaqsınız:

Misal 7

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

İnteqral sinusla vurulan eksponatdır.

Biz hissələrə görə iki dəfə inteqrasiya edirik və inteqralı özünə azaldır:

Hissələr üzrə ikiqat inteqrasiya nəticəsində inteqral özünə endirilir. Həllin başlanğıcını və sonunu bərabərləşdirin:

İşarə dəyişikliyi ilə sol tərəfə keçirik və inteqralımızı ifadə edirik:

Hazır. Yolda, sağ tərəfi daramaq arzu edilir, yəni. eksponenti mötərizədən çıxarın və sinus və kosinusu mötərizədə “gözəl” ardıcıllıqla yerləşdirin.

İndi nümunənin əvvəlinə, daha doğrusu, hissələr üzrə inteqrasiyaya qayıdaq:

Çünki biz sərgi iştirakçısını təyin etmişik. Sual yaranır ki, göstərici həmişə ilə işarələnməlidir? Lazım deyil. Əslində, nəzərdən keçirilən inteqralda əsaslı olaraq fərq etməz, nəyi ifadə etmək lazımdır, biri başqa yolla gedə bilər:

Bu niyə mümkündür? Göstərici özünə çevrildiyi üçün (diferensiasiya və inteqrasiya zamanı), sinus və kosinus qarşılıqlı olaraq bir-birinə çevrilir (yenə də həm diferensiallaşdıqda, həm də inteqrasiya edərkən).

Yəni triqonometrik funksiyanı da işarələmək olar. Ancaq nəzərdən keçirilən nümunədə bu, daha az rasionaldır, çünki fraksiyalar görünəcəkdir. İstəyirsinizsə, bu nümunəni ikinci şəkildə həll etməyə cəhd edə bilərsiniz, cavablar eyni olmalıdır.

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Qərar verməzdən əvvəl düşünün, bu halda eksponensial və ya triqonometrik funksiyanı təyin etmək daha sərfəlidir? Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Və əlbəttə ki, bu dərsdəki cavabların əksəriyyətini fərqləndirmə yolu ilə yoxlamaq kifayət qədər asan olduğunu unutmayın!

Nümunələr ən çətin hesab edilmədi. Praktikada inteqrallara daha çox rast gəlinir, burada sabit həm eksponentdə, həm də triqonometrik funksiyanın arqumentində olur, məsələn: . Bir çox insanlar belə bir inteqralda çaşqın olmaq məcburiyyətində qalacaqlar və mən özüm də tez-tez çaşqın oluram. Fakt budur ki, həlldə fraksiyaların görünmə ehtimalı yüksəkdir və diqqətsizlik səbəbindən bir şeyi itirmək çox asandır. Bundan əlavə, işarələrdə səhv olma ehtimalı yüksəkdir, nəzərə alın ki, eksponentdə mənfi işarə var və bu, əlavə çətinlik yaradır.

Son mərhələdə tez-tez belə bir şey ortaya çıxır:

Həllin sonunda belə, son dərəcə diqqətli olmalı və fraksiyalarla düzgün məşğul olmalısınız:

Mürəkkəb fraksiyaların inteqrasiyası

Biz yavaş-yavaş dərsin ekvatoruna yaxınlaşırıq və fraksiyaların inteqrallarını nəzərdən keçirməyə başlayırıq. Yenə də hamısı super mürəkkəb deyil, sadəcə bu və ya digər səbəbdən nümunələr digər məqalələrdə bir az “mövzudan kənar” idi.

Köklər mövzusunun davamı

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Kökün altındakı məxrəcdə "x" şəklində "əlavə" kökünün xaricində kvadrat üçhəcmli üstəgəl var. Bu formanın inteqralı standart əvəzetmədən istifadə etməklə həll edilir.

Qərar veririk:

Burada dəyişdirmə sadədir:

Əvəz olunduqdan sonra həyata nəzər salın:

(1) Əvəz etdikdən sonra kök altındakı şərtləri ümumi məxrəcə endiririk.
(2) Kökün altından çıxarırıq.
(3) Say və məxrəci ilə azaldırıq. Eyni zamanda, kökün altında, şərtləri uyğun bir sıra ilə yenidən düzəltdim. Müəyyən təcrübə ilə, şərh edilən hərəkətləri şifahi olaraq yerinə yetirməklə (1), (2) addımları atlaya bilərsiniz.
(4) Nəticə inteqral, dərsdən xatırladığınız kimi Bəzi fraksiyaların inteqrasiyası, həll olunur tam kvadrat seçim üsulu. Tam kvadrat seçin.
(5) İnteqrasiya yolu ilə biz adi “uzun” loqarifm alırıq.
(6) Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk. Əgər əvvəlcə , sonra geri: .
(7) Son hərəkət nəticənin bərbərinə yönəldilmişdir: kök altında biz yenidən terminləri ortaq məxrəcə gətiririk və onları kökün altından çıxarırıq.

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Burada tək x-ə sabit əlavə olunur və əvəzetmə demək olar ki, eynidir:

Əlavə edilməli olan yeganə şey, əvəzdən "x" ifadə etməkdir:

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Bəzən belə inteqralda kökün altında kvadrat binom ola bilər, bu, həllin həllini dəyişmir, hətta daha sadə olacaqdır. Fərqi hiss edin:

Misal 11

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Misal 12

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Dərsin sonunda qısa həllər və cavablar. Qeyd etmək lazımdır ki, Nümunə 11 dəqiqdir binom inteqral, onun həlli üsulu dərsdə nəzərdən keçirilmişdir İrrasional funksiyaların inteqralları.

2-ci dərəcəli ayrılmaz çoxhədlinin dərəcəyə inteqralı

(məxrəcdə çoxhədli)

Daha nadir, lakin buna baxmayaraq, inteqralın praktiki nümunələrdə rast gəlinən forması.

Misal 13

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Ancaq 13 nömrəli şanslı nümunəyə qayıdaq (düzünü desəm, təxmin etmədim). Bu inteqral həm də necə həll edəcəyinizi bilmirsinizsə, çox əziyyət çəkə biləcəyiniz kateqoriyadandır.

Həll süni çevrilmə ilə başlayır:

Düşünürəm ki, hər kəs payı məxrəcə görə terminə bölməyi artıq başa düşür.

Yaranan inteqral hissələrə bölünür:

Formanın inteqralı üçün (- natural ədəd) əldə edilmişdir təkrarlanan aşağı düstur:
, harada aşağı dərəcəli inteqraldır.

Həll olunmuş inteqral üçün bu düsturun etibarlılığını yoxlayaq.
Bu halda: , , düsturundan istifadə edirik:

Gördüyünüz kimi, cavablar eynidir.

Misal 14

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Nümunə həlli yuxarıdakı düsturdan ardıcıl olaraq iki dəfə istifadə edir.

Əgər dərəcə altındadır parçalanmayan kvadrat trinomial, sonra tam kvadratı çıxarmaqla həll binomiala endirilir, məsələn:

Numeratorda əlavə çoxhədli olarsa necə? Bu zaman qeyri-müəyyən əmsallar üsulundan istifadə edilir və inteqral kəsrlərin cəminə genişləndirilir. Amma mənim təcrübəmdə belə bir nümunə heç görüşməmişəm, buna görə də məqalədə bu işi atladım Kəsr-rasional funksiyanın inteqralları, indi keçəcəyəm. Belə bir inteqral hələ də baş verərsə, dərsliyə baxın - orada hər şey sadədir. Görüş ehtimalı sıfıra yaxın olan materialın (hətta sadə) daxil edilməsini məqsədəuyğun hesab etmirəm.

Mürəkkəb triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası

Əksər nümunələr üçün "çətin" sifəti yenə də əsasən şərtlidir. Tangens və kotangentlərdən başlayaq yüksək dərəcələr. Tangensi və kotangensi həll etmək üçün istifadə olunan üsullar baxımından demək olar ki, eynidir, ona görə də tangens haqqında daha çox danışacağam, yəni inteqralın həlli üçün nümayiş etdirilən üsul kotangens üçün də keçərlidir.

Yuxarıdakı dərsdə biz baxdıq universal triqonometrik əvəzetmə-dən müəyyən növ inteqralları həll etmək triqonometrik funksiyalar. Universal triqonometrik əvəzetmənin dezavantajı ondan ibarətdir ki, onun tətbiqi çox vaxt çətin hesablamalar aparan çətin inteqrallara gətirib çıxarır. Və bəzi hallarda universal triqonometrik əvəzetmədən qaçınmaq olar!

Başqa bir kanonik nümunəni nəzərdən keçirək, sinusla bölünən vəhdət inteqralı:

Misal 17

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Burada universal triqonometrik əvəzetmədən istifadə edib cavab ala bilərsiniz, lakin daha rasional bir yol var. Mən hər addım üçün şərhlərlə tam bir həll təqdim edəcəyəm:

(1) İstifadə edin triqonometrik düstur ikiqat bucağın sinüsü.
(2) Süni çevrilmə həyata keçiririk: Məxrəcdə bölüb vururuq.
(3) Məxrəcdəki məlum düstura görə kəsri tangensə çeviririk.
(4) Funksiyanı diferensialın işarəsi altına gətiririk.
(5) İnteqral alırıq.

Cütləşdirmək sadə nümunələr müstəqil həll üçün:

Misal 18

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

İpucu: İlk addım azalma düsturundan istifadə etməkdir və əvvəlki nümunəyə bənzər hərəkətləri diqqətlə yerinə yetirin.

Misal 19

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Yaxşı, bu çox sadə bir nümunədir.

Dərsin sonunda həllər və cavabları tamamlayın.

Düşünürəm ki, indi heç kimin inteqrallarla problemi olmayacaq:
və s.

Metodun arxasında hansı fikir dayanır? İdeya çevrilmələrdən, triqonometrik düsturlardan yalnız tangensləri və inteqraldakı tangensin törəməsini təşkil etmək üçün istifadə etməkdir. Yəni, əvəz etməkdən danışırıq: . 17-19 Nümunələrdə biz əslində bu əvəzetmədən istifadə etdik, lakin inteqrallar o qədər sadə idi ki, bu, ekvivalent hərəkətlə - funksiyanı diferensial işarənin altına gətirməklə yerinə yetirildi.

Oxşar mülahizələri, artıq qeyd etdiyim kimi, kotangent üçün də aparmaq olar.

Yuxarıdakı əvəzetmənin tətbiqi üçün rəsmi şərt də var:

Kosinus və sinusun güclərinin cəmi mənfi tam ədəddir Cüt Ədəd , misal üçün:

inteqral, tam mənfi HƏFTƏ ədəd üçün.

! Qeyd : əgər inteqralda YALNIZ sinus və ya YALNIZ kosinus varsa, onda inteqral hətta mənfi tək dərəcə ilə də qəbul edilir (ən sadə hallar Nümunə № 17, 18-dir).

Bu qayda üçün bir neçə daha mənalı tapşırığı nəzərdən keçirin:

Misal 20

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Sinus və kosinus dərəcələrinin cəmi: 2 - 6 \u003d -4 - mənfi tam ədəd EVEN ədədi, yəni inteqral tangenslərə və onun törəməsinə endirilə bilər:

(1) Məxrəci çevirək.
(2) Məlum düstura görə, biz əldə edirik.
(3) Məxrəci çevirək.
(4) Düsturdan istifadə edirik .
(5) Funksiyanı diferensial işarənin altına gətiririk.
(6) Biz əvəzetməni həyata keçiririk. Daha təcrübəli tələbələr dəyişdirməni həyata keçirməyə bilər, lakin yenə də tangensi bir hərflə əvəz etmək daha yaxşıdır - çaşqınlıq riski daha azdır.

Misal 21

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir.

Dayan, çempionat mərhələləri başlayır =)

Tez-tez inteqralda bir "hodgepodge" var:

Misal 22

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu inteqral əvvəlcə bir tangens ehtiva edir və bu, dərhal artıq tanış bir düşüncəni təklif edir:

Süni çevrilməni ən başlanğıcda və qalan addımları şərhsiz tərk edəcəyəm, çünki hər şey yuxarıda deyilmişdir.

Müstəqil bir həll üçün bir neçə yaradıcı nümunə:

Misal 23

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Misal 24

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bəli, onlarda, əlbəttə ki, sinusun, kosinusun dərəcələrini aşağı sala bilərsiniz, universal triqonometrik əvəzetmədən istifadə edə bilərsiniz, lakin həll tangens vasitəsilə çəkilərsə, daha səmərəli və daha qısa olacaqdır. Dərsin sonunda tam həll və cavablar

Antiderivativlər cədvəli ("inteqrallar"). İnteqrallar cədvəli. Cədvəl deyil müəyyən inteqrallar. (Sadə inteqrallar və parametrli inteqrallar). Hissələr üzrə inteqrasiya üçün düsturlar. Nyuton-Leybnits düsturu.

Antiderivativlər cədvəli ("inteqrallar"). Cədvəl qeyri-müəyyən inteqrallar. (Sadə inteqrallar və parametrli inteqrallar).
Güc funksiyası inteqralı.	Güc funksiyası inteqralı.
Diferensial işarənin altına x qoysanız, güc funksiyasının inteqralına enən inteqral.
	Eksponensial inteqral, burada a sabit ədəddir.
Mürəkkəb eksponensial funksiyanın inteqralı.	Eksponensial funksiyanın inteqralı.
Natural loqarifmə bərabər olan inteqral.	İnteqral: "Uzun loqarifm".
	İnteqral: "Uzun loqarifm".
İnteqral: "Yüksək loqarifm".	Nümeratordakı x-in diferensialın işarəsi altına gətirildiyi inteqral (işarənin altındakı sabiti həm toplamaq, həm də çıxmaq olar) nəticədə natural loqarifmə bərabər olan inteqrala bənzəyir.
İnteqral: "Yüksək loqarifm".
Kosinus inteqral.	Sinus inteqral.
Tangensə bərabər inteqral.	Kotangensə bərabər olan inteqral.
İnteqral həm arksine, həm də arksine bərabərdir
Həm tərs sinusa, həm də tərs kosinusa bərabər olan inteqral.	Həm qövs tangensinə, həm də qövs kotangensinə bərabər olan inteqral.
İnteqral kosekantına bərabərdir.	İnteqral sekanta bərabərdir.
Arksekantına bərabər olan inteqral.	Qövs kosekantına bərabər olan inteqral.
Arksekantına bərabər olan inteqral.	Arksekantına bərabər olan inteqral.
Hiperbolik sinusa bərabər olan inteqral.	Hiperbolik kosinusa bərabər olan inteqral.
Hiperbolik sinusa bərabər olan inteqral, burada sinhx ingilis dilində hiperbolik sinusdur.	Hiperbolik kosinusa bərabər olan inteqral, burada sinhx İngilis versiyasında hiperbolik sinusdur.
Hiperbolik tangensə bərabər olan inteqral.	Hiperbolik kotangensə bərabər olan inteqral.
Hiperbolik sekanta bərabər olan inteqral.	Hiperbolik kosekantına bərabər olan inteqral.

Hissələr üzrə inteqrasiya üçün düsturlar. İnteqrasiya qaydaları.

Hissələr üzrə inteqrasiya üçün düsturlar. Nyuton-Leybnits düsturu.İnteqrasiya qaydaları.
Məhsulun (funksiyanın) sabitlə inteqrasiyası:
Funksiyaların cəminin inteqrasiyası:
qeyri-müəyyən inteqrallar:
Hissələr formuluna görə inteqrasiya müəyyən inteqrallar:
Nyuton-Leybnits düsturu müəyyən inteqrallar:	Burada F(a),F(b) müvafiq olaraq b və a nöqtələrində antiderivativlərin qiymətləridir.

Törəmə cədvəli. Cədvəl törəmələri. Məhsulun törəməsi. Şəxsi törəmə. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Əgər x müstəqil dəyişəndirsə, onda:

Törəmə cədvəli. Cədvəl törəmələri. "cədvəl törəməsi" - bəli, təəssüf ki, İnternetdə belə axtarılır
	Güc funksiyasının törəməsi
	Göstəricinin törəməsi
Mürəkkəb eksponensial funksiyanın törəməsi	Eksponensial funksiyanın törəməsi
Loqarifmik funksiyanın törəməsi	Təbii loqarifmin törəməsi
	Funksiyanın natural loqarifminin törəməsi
Sinus törəməsi	kosinus törəməsi
Kosekant törəməsi	Sekant törəməsi
Arksin törəməsi	Qövs kosinus törəməsi
Arksin törəməsi	Qövs kosinus törəməsi
Tangens törəməsi	Kotangent törəməsi
Qövs tangens törəməsi	Tərs tangensin törəməsi
Qövs tangens törəməsi	Tərs tangensin törəməsi
Arksekant törəməsi	Qövs kosekantının törəməsi
Arksekant törəməsi	Qövs kosekantının törəməsi
törəmə hiperbolik sinus İngilis versiyasında hiperbolik sinusun törəməsi	Hiperbolik kosinus törəməsi İngilis versiyasında hiperbolik kosinusun törəməsi
Hiperbolik tangensin törəməsi	Hiperbolik kotangensin törəməsi
Hiperbolik sekantın törəməsi	Hiperbolik kosekantın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları. Məhsulun törəməsi. Şəxsi törəmə. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
Məhsulun (funksiyanın) sabitlə törəməsi:
Cəmin törəməsi (funksiyalar):
Məhsulun (funksiyaların) törəməsi:
Bölmənin törəməsi (funksiyaların):
Kompleks funksiyanın törəməsi:

Loqarifmlərin xassələri. Loqarifmlərin əsas düsturları. Onluq (lg) və natural loqarifmlər (ln).

Əsas loqarifmik eynilik
a b formasının istənilən funksiyasının necə eksponensial edilə biləcəyini göstərək. e x formalı funksiya eksponensial adlandığından, onda
a b formasının istənilən funksiyası onluğun gücü kimi göstərilə bilər

Natural loqarifm ln (loqarifm əsası e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor seriyası. Taylor seriyasında funksiyanın genişləndirilməsi.

Ən çox belə çıxır praktiki olaraq baş verir riyazi funksiyalar dəyişənin səlahiyyətlərini artan qaydada ehtiva edən dərəcə sıraları şəklində müəyyən nöqtənin yaxınlığında istənilən dəqiqliklə təmsil oluna bilər. Məsələn, x=1 nöqtəsinin yaxınlığında:

Sətirlərdən istifadə edərkən çağırılır taylor sıraları, məsələn, cəbri, triqonometrik və eksponensial funksiyaları ehtiva edən qarışıq funksiyalar sırf cəbr funksiyaları kimi ifadə edilə bilər. Serialların köməyi ilə diferensiasiya və inteqrasiya çox vaxt tez həyata keçirilə bilər.

a nöqtəsinin yaxınlığındakı Teylor seriyası aşağıdakı formalara malikdir:

1) , burada f(x) x=a-da bütün tərtiblərin törəmələri olan funksiyadır. R n - Teylor silsiləsində qalıq termin ifadəsi ilə müəyyən edilir

2)

sıranın k-ci əmsalı (x k-da) düsturla müəyyən edilir

3) Taylor seriyasının xüsusi nümunəsi Maclaurin seriyasıdır (=McLaren) (parçalanma a=0 nöqtəsi ətrafında baş verir)

a=0 üçün

silsilənin üzvləri düsturla müəyyən edilir

Taylor seriyasının tətbiqi şərtləri.

1. f(x) funksiyasının (-R;R) intervalında Teylor seriyasında genişlənməsi üçün bunun üçün Teylor düsturunda (Maclaurin (=McLaren)) qalan bəndin olması zəruri və kifayətdir. funksiya müəyyən edilmiş intervalda (-R;R) k →∞-də sıfıra meyl edir.

2. Yaxınlığında Teylor silsiləsi quracağımız nöqtədə bu funksiya üçün törəmələrin olması zəruridir.

Taylor seriyasının xassələri.

Əgər f analitik funksiyadırsa, onda onun f-nin oblastının istənilən a nöqtəsindəki Teylor seriyası a-nın hansısa qonşuluğunda f-ə yaxınlaşır.

Sonsuz diferensiallana bilən funksiyalar var ki, onların Teylor sıraları yaxınlaşır, lakin a-nın hər hansı qonşuluğundakı funksiyadan fərqlənir. Misal üçün:

Teylor seriyası təqribi hesablamada istifadə olunur (təxmini - elmi metod, bəzi obyektlərin başqaları ilə əvəz edilməsindən ibarət olan, bu və ya digər mənada orijinala yaxın, lakin daha sadə) funksiyaların çoxhədlilərlə. Xüsusilə, qeyri-xətti sistemin tədqiqi xətti sistemin təhlili ilə əvəz olunduğu qapalı qeyri-xətti sistemlərin təxmini təsviri üsullarından biri olan linearizasiya ((linearis-dən - xətti), orijinalına ekvivalent mənada. .) tənliklərin Teylor seriyasına genişlənməsi və birinci dərəcəli yuxarıdakı bütün şərtlərin kəsilməsi ilə baş verir.

Beləliklə, demək olar ki, hər hansı bir funksiya verilmiş dəqiqliklə çoxhədli kimi təqdim edilə bilər.

Maklaurin seriyasında (=McLaren, Taylor 0 nöqtəsinin yaxınlığında) və 1-ci bəndin yaxınlığında Taylorda güc funksiyalarının bəzi ümumi genişlənməsinə nümunələr. Taylor və MacLaren seriyalarında əsas funksiyaların genişləndirilməsinin ilk şərtləri.

Maclaurin seriyasında güc funksiyalarının bəzi ümumi genişləndirilməsinə dair nümunələr (= MacLaren, Taylor 0 nöqtəsinin yaxınlığında)

1-ci bənd ətrafında bəzi ümumi Taylor seriyasının genişləndirilməsinə nümunələr

Parçalar üzrə inteqrasiya. Həll nümunələri

Yenə salam. Bu gün dərsimizdə hissələrə görə inteqrasiya etməyi öyrənəcəyik. Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu inteqral hesablamanın təməl daşlarından biridir. Testdə, imtahanda tələbəyə demək olar ki, həmişə aşağıdakı növ inteqralları həll etmək təklif olunur: ən sadə inteqral (məqaləyə bax) və ya dəyişəni dəyişdirmək üçün inteqral (məqaləyə bax) və ya inteqral yalnız hissələr üzrə inteqrasiya üsulu.

Həmişə olduğu kimi, əlində olmalıdır: İnteqrallar cədvəli və Törəmə cədvəli. Əgər hələ də bunlar yoxdursa, lütfən saytımın anbarına baş çəkin: Riyazi düsturlar və cədvəllər. Mən təkrarlamaqdan yorulmayacağam - hər şeyi çap etmək daha yaxşıdır. Mən bütün materialı ardıcıl, sadə və əlçatan bir şəkildə təqdim etməyə çalışacağam, hissələr üzrə inteqrasiyada heç bir xüsusi çətinlik yoxdur.

Parçalar üzrə inteqrasiya hansı problemi həll edir? Hissələr üzrə inteqrasiya üsulu çox vacib bir problemi həll edir, o, cədvəldə olmayan bəzi funksiyaları inteqrasiya etməyə imkan verir, iş funksiyaları və bəzi hallarda - və özəl. Xatırladığımız kimi, rahat bir formula yoxdur: . Ancaq bu var: şəxsən hissələr üzrə inteqrasiya üçün düsturdur. Bilirəm, bilirəm, sən təksən - onunla bütün dərsi işləyəcəyik (onsuz da daha asandır).

Və dərhal studiyada siyahı. Aşağıdakı növ inteqrallar hissələrə görə alınır:

1) , , - loqarifm, loqarifmin bəzi çoxhədli ilə vurulması.

2) ,bəzi çoxhədli ilə vurulan eksponensial funksiyadır. Buraya həm də polinomla vurulan eksponensial funksiya kimi inteqrallar daxildir, lakin praktikada bu, 97 faiz təşkil edir, inteqralın altında gözəl “e” hərfi görünür. ... məqalə lirik bir şeyə çevrilir, oh hə ... yaz gəldi.

3) , , bəzi çoxhədli ilə vurulan triqonometrik funksiyalardır.

4) , - bəzi çoxhədli ilə vurulan tərs triqonometrik funksiyalar (“tağlar”), “tağlar”.

Həmçinin, bəzi fraksiyalar hissə-hissə götürülür, müvafiq nümunələri də ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Loqarifmlərin inteqralları

Misal 1

Klassik. Zaman zaman bu inteqral cədvəllərdə tapıla bilər, lakin hazır cavabdan istifadə etmək arzuolunmazdır, çünki müəllimin yazda beriberi var və o, çox danlayacaq. Çünki nəzərdən keçirilən inteqral heç bir halda cədvəlli deyil - hissələrə bölünür. Qərar veririk:

Aralıq izahatlar üçün həlli dayandırırıq.

Parçalar üzrə inteqrasiya üçün düsturdan istifadə edirik:

Formula soldan sağa tətbiq olunur

Sol tərəfə baxırıq:. Aydındır ki, bizim nümunəmizdə (və nəzərdən keçirəcəyimiz bütün digər nümunələrdə) nəyisə , nəyisə isə ilə işarələmək lazımdır.

Baxılan tip inteqrallarda biz həmişə loqarifmi işarə edirik.

Texniki olaraq, həllin dizaynı aşağıdakı kimi həyata keçirilir, sütunda yazırıq:

Yəni, loqarifmi qeyd etdik və - qalan hissəsi inteqral.

Növbəti addım: diferensial tapın:

Diferensial demək olar ki, törəmə ilə eynidir, biz onu necə tapmaq barədə əvvəlki dərslərdə artıq danışmışıq.

İndi funksiyanı tapırıq. Funksiyanı tapmaq üçün inteqrasiya etmək lazımdır sağ tərəf aşağı bərabərlik:

İndi həllimizi açırıq və düsturun sağ tərəfini qururuq: .
Yeri gəlmişkən, burada bir neçə qeydlə yekun həll nümunəsi var:

Məhsuldakı yeganə an, mən dərhal yenidən təşkil etdim və logarifmadan əvvəl çarpanı yazmaq adət olduğu üçün.

Gördüyünüz kimi, hissə-hissə inteqrasiya düsturunun tətbiqi həllimizi iki sadə inteqrala qədər azaldır.

Nəzərə alın ki, bəzi hallarda dərhal sonra düsturun tətbiqi, sadələşdirmə mütləq qalan inteqral altında həyata keçirilir - nəzərdən keçirilən nümunədə inteqrandı "x" ilə azaltdıq.

Gəlin yoxlayaq. Bunu etmək üçün cavabın törəməsini götürməlisiniz:

Orijinal inteqral alınır, bu da inteqralın düzgün həll edildiyini bildirir.

Doğrulama zamanı məhsulun fərqləndirilməsi qaydasından istifadə etdik: . Və bu təsadüfi deyil.

Hissələr formuluna görə inteqrasiya və formula Bunlar bir-birinə əks olan iki qaydadır.

Misal 2

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

İnteqral loqarifmin və çoxhədlinin hasilidir.
Biz qərar veririk.

Qaydanın tətbiqi qaydasını bir daha ətraflı təsvir edəcəyəm, gələcəkdə nümunələr daha qısa şəkildə tərtib ediləcək və onu özünüz həll etməkdə çətinlik çəkirsinizsə, dərsin ilk iki nümunəsinə qayıtmalısınız. .

Artıq qeyd edildiyi kimi, loqarifmi təyin etmək lazımdır (onun bir dərəcədə olmasının əhəmiyyəti yoxdur). işarə edirik qalan hissəsi inteqral.

Bir sütunda yazırıq:

Əvvəlcə diferensial tapırıq:

Burada mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edirik . Təsadüfi deyil ki, mövzunun elə ilk dərsində Qeyri-müəyyən inteqral. Həll nümunələri Diqqətimi ona yönəltdim ki, inteqralları mənimsəmək üçün törəmələrə “əlini almaq” lazımdır. Törəmələr bir dəfədən çox üzləşməli olacaqlar.

İndi funksiyanı tapırıq, bunun üçün inteqrasiya edirik sağ tərəf aşağı bərabərlik:

İnteqrasiya üçün ən sadə cədvəl formulunu tətbiq etdik

İndi formula tətbiq etməyə hazırsınız . Onu "ulduz" ilə açırıq və həlli sağ tərəfə uyğun olaraq "dizayn edirik":

İnteqral altında yenə loqarifmdə çoxhədli var! Buna görə də həll yenidən kəsilir və hissələr üzrə inteqrasiya qaydası ikinci dəfə tətbiq edilir. Unutmayın ki, oxşar vəziyyətlərdə loqarifm həmişə işarələnir.

olsa yaxşı olardı indiki anən sadə inteqralları və törəmələri şifahi olaraq tapa bilərsiniz.

(1) İşarələrdə çaşqınlıq etməyin! Çox tez-tez burada bir minus itirilir, mənfinin də tətbiq olunduğunu qeyd edin hamıya mötərizə , və bu mötərizələri düzgün açmaq lazımdır.

(2) Mötərizələri genişləndirin. Sonuncu inteqralı sadələşdiririk.

(3) Sonuncu inteqralı alırıq.

(4) Cavabın “daranması”.

Hissələr üzrə inteqrasiya qaydasını iki dəfə (hətta üç dəfə) tətbiq etmək zərurəti qeyri-adi deyil.

İndi müstəqil həll üçün bir neçə nümunə:

Misal 3

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Bu misal dəyişən metodunun dəyişdirilməsi (və ya diferensial işarəsi altında cəmlənməsi) ilə həll edilir! Və niyə olmasın - onu hissələrə ayırmağa cəhd edə bilərsiniz, gülməli bir şey alırsınız.

Misal 4

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Lakin bu inteqral hissələrlə inteqral edilir (vəd edilmiş kəsr).

Bunlar dərsin sonunda özünü həll etmək üçün nümunələr, həllər və cavablardır.

Görünür, 3,4-cü misallarda inteqrallar oxşardır, lakin həll üsulları fərqlidir! Bu, inteqralların mənimsənilməsində əsas çətinlikdir - əgər inteqralın həlli üçün səhv üsul seçsəniz, onda əsl tapmacada olduğu kimi, onunla saatlarla skripka edə bilərsiniz. Buna görə də, müxtəlif inteqralları nə qədər çox həll etsəniz, bir o qədər yaxşı, test və imtahan bir o qədər asan olacaq. Bundan əlavə, ikinci ildə diferensial tənliklər olacaq və inteqralların və törəmələrin həllində təcrübə olmadan orada heç bir iş yoxdur.

Loqarifmlərlə, bəlkə də kifayət qədər çoxdur. Bir qəlyanaltı üçün, texnoloji tələbələrin qadın döşlərini logarifmlər adlandırdıqlarını da xatırlaya bilərəm =). Yeri gəlmişkən, əsas elementar funksiyaların qrafiklərini əzbər bilmək faydalıdır: sinus, kosinus, qövs tangensi, eksponent, üçüncü, dördüncü dərəcəli polinomlar və s. Xeyr, əlbəttə ki, qlobusda prezervativ
Mən çəkməyəcəyəm, amma indi bölmədən çox şey xatırlayacaqsınız Qrafiklər və funksiyalar =).

Göstəricinin inteqralları çoxhədli ilə vurulur

Ümumi qayda:

Misal 5

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Tanış alqoritmdən istifadə edərək hissələrə görə inteqrasiya edirik:

İnteqralla bağlı hər hansı bir çətinlik varsa, məqaləyə qayıtmalısınız Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu.

Ediləcək yeganə şey cavabı "daramaq"dır:

Ancaq hesablama texnikanız çox yaxşı deyilsə, cavab olaraq ən sərfəli variantı buraxın. və ya hətta

Yəni sonuncu inteqral götürüldükdə nümunə həll olunmuş sayılır. Səhv olmayacaq, müəllimin cavabı sadələşdirməyi xahiş edə biləcəyi başqa bir məsələdir.

Misal 6

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Bu inteqral hissələrlə iki dəfə inteqrasiya olunur. İşarələrə xüsusi diqqət yetirilməlidir - onlarda çaşqın olmaq asandır, biz bunu da xatırlayırıq - mürəkkəb bir funksiya.

Sərgi iştirakçısı haqqında daha çox deyiləsi yoxdur. Yalnız onu əlavə edə bilərəm ki, eksponent və natural loqarifm qarşılıqlı tərs funksiyalardır, bu mənə ali riyaziyyatın əyləncəli qrafikləri mövzusundadır =) Dayan, dayan, narahat olma, mühazirəçi ayıqdır.

Çoxhədli ilə vurulan triqonometrik funksiyaların inteqralları

Ümumi qayda: həmişə çoxhədli üçün dayanır

Misal 7

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Parçalara görə inteqrasiya:

Hmmm... və şərh etmək üçün heç bir şey yoxdur.

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu, öz əlinizlə həll etmək üçün bir nümunədir

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Kəsrə aid başqa bir nümunə. Əvvəlki iki misalda olduğu kimi, çoxhədli ilə işarələnir.

Parçalara görə inteqrasiya:

İnteqralı tapmaqda hər hansı bir çətinlik və ya anlaşılmazlığınız varsa, dərsdə iştirak etməyi məsləhət görürəm Triqonometrik funksiyaların inteqralları.

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir.

İpucu: hissələrlə inteqrasiya metodundan istifadə etməzdən əvvəl iki triqonometrik funksiyanın məhsulunu bir funksiyaya çevirən bəzi triqonometrik düsturları tətbiq etməlisiniz. Düsturdan hissələr üzrə inteqrasiya metodunun tətbiqi zamanı da istifadə oluna bilər, çünki bu, hər kəs üçün daha əlverişlidir.

Bəlkə də hamısı bu paraqrafdadır. Nədənsə fizika-riyaziyyat kafedrasının himninin “Və dalğadan sonra sinus qrafiki dalğası absis oxu boyunca uzanır” sətrini xatırladım.

Tərs triqonometrik funksiyaların inteqralları.
Çoxhədli ilə vurulan tərs triqonometrik funksiyaların inteqralları

Ümumi qayda: həmişə tərs triqonometrik funksiyanı ifadə edir.

Xatırladıram ki, tərs triqonometrik funksiyalara arksinüs, arkkosinus, arktangens və arkkotangent daxildir. Qısalıq üçün onları “tağlar” adlandıracağam.