Bölən başqa bir tam ədədi qalıq qoymadan bölən tam ədəddir. Bir neçə ədəd üçün ümumi amilləri tapa bilərsiniz, onların arasında ən böyüyü olacaq. Bir sıra faydalı xüsusiyyətlərə malik olan ən böyük ümumi böləndir.

Ən böyük ortaq bölən

A tam ədədinin bölməsi A-nın qalıqsız bölündüyü B tam ədədidir. Məsələn, 24 rəqəminin bölənləri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-dür. Hər bir ədəd özünə və birə bölünür, ona görə də bu bölənlərə məhəl qoymamaq olar. Yalnız özünə və birə bölünən ədədlər sadə ədədlər hesab olunur və bir sıra unikal xüsusiyyətlərə malikdir. Bununla belə, əksər ədədlər üçün bölənləri seçə bilərik, onlardan bəziləri ümumi olacaqdır. Məsələn, 36 rəqəmi üçün belə amillər 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 olardı. Onların əksəriyyəti yuxarıda verilmiş 24 rəqəminin amilləri ilə üst-üstə düşür, lakin onlardan ən böyüyü 12-dir. 24 və 36 cütünün gcd. Ən kiçik ümumi bölən anlayışı həmişə bir olduğu üçün mənasızdır.

gcd tapılır

GCD-ni hesablamaq üçün üç üsuldan istifadə olunur. Birincisi, başa düşülməsi ən asan, lakin eyni zamanda ən çox vaxt aparan, bir cütün bütün bölənlərinin sadə axtarışı və onlardan ən böyüyünün seçilməsidir. Məsələn, 12 və 16 GCD üçün aşağıdakı kimi tapılır:

• 12 - 2, 3, 4 və 6-nın bölənlərini yazın;
• 16 - 2, 4 və 8-ə bölənləri yazın;
• ədədlərin ortaq bölənlərini təyin edin - 2, 4;
• onlardan ən böyüyünü seçin - 4.

İkinci metodu başa düşmək daha çətindir, lakin hesablama baxımından daha səmərəlidir. Bu halda, GCD ədədləri əsas amillərə ayırmaqla tapılır. Sadə amillərə ayırmaq üçün qalıqsız ədədi ardıcıl olaraq 2, 3, 5, 7, 11, 13... sadə ədədlər seriyasından ədədlərə bölmək lazımdır.

Eyni nömrələr üçün GCD aşağıdakı sxemə uyğun olaraq hesablanır:

• 12-ni əsas amillərə ayırırıq və 2 × 2 × 3 alırıq;
• 16 - 2 × 2 × 2 × 2 qoyun;
• uyğun olmayan amilləri süzürük və 2 × 2 alırıq;
• amilləri çoxaldın və gcd = 4-ü təyin edin.

Üçüncü üsul nə qədər böyük olmasından asılı olmayaraq hər hansı bir cütün gcd-ni təyin etmək üçün ən uyğundur. Evklid alqoritmi A>B verilmiş A və B tam ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üsuludur.

Alqoritmə görə, A-nı B-yə bölmək lazımdır, nəticədə:

burada A1 tam ədəddir, C bölmənin qalan hissəsidir.

Bundan sonra B-ni qalan C-yə bölün və nəticəni B1 kimi qeyd edin. İndi A1 və B1 nömrələrinin yeni cütümüz var.

Addımları təkrarlayaq. A1-i B1-ə bölün, nəticədə A2 və C1 olur. Bundan sonra B1-i C1-ə bölün və B2-ni alın. Cn-in qalığı sıfıra bərabər olana qədər alqoritm təkrarlanır.

1729 və 1001 rəqəmlərindən istifadə edərək ona ətraflı baxaq. Prosedur aşağıdakı kimidir. Bir cütümüz var (1001, 1729). Evklid alqoritmini istifadə etmək üçün cütlükdəki ilk ədəd daha böyük olmalıdır. Alqoritmin düzgün işləməsi üçün transformasiya aparaq - kiçik rəqəmi yerində qoyub böyüyünü onların fərqi ilə əvəz edəcəyik, çünki hər iki ədəd GCD-yə bölünürsə, onların fərqi də bölünə bilər. Alırıq (1001, 728). Gəlin hesablamaları aparaq:

• (1001, 728) = (728, 273) = (273, 182) - fərqi dəfələrlə axtarmaq əvəzinə 728-in qalığını 273-ə bölərək yaza bilərsiniz.
• (273, 182) = (91, 182) = (91, 0) = 91.

Beləliklə, 1001 və 1729 cütünün gcd-si 91-dir.

GCD-dən istifadə

Təcrübədə ax + by = d formalı Diofant tənliklərinin həlli zamanı ən böyük ümumi bölən istifadə olunur. Əgər GCD (a, b) d-ni qalıqsız bölmürsə, onda tənlik tam ədədlərdə həll olunmur. Beləliklə, Diofant tənliyinin tam kökləri yalnız d/gcd(a, b) nisbəti tam olarsa.

Onlayn kalkulyatorumuz həm cüt, həm də istənilən ixtiyari sayda ədəd üçün ən böyük ümumi bölücünü tez tapmağa imkan verir.

Real həyat nümunələri

Məktəb tapşırığı

Arifmetik məsələ dörd ədədin gcd-nin tapılmasını tələb edir: 21, 49, 56, 343. Kalkulyatordan istifadə etməklə həll etmək üçün bizə sadəcə rəqəmlərin sayını göstərmək və müvafiq xanalara daxil etmək kifayətdir. Bundan sonra gcd (21, 49, 56, 343) = 7 cavabını alacağıq.

Diofant tənliyi

Bizə 1001 x + 1729 y = 104650 formalı Diofant tənliyi olsun. Onun tam ədədlərdə həll oluna biləcəyini yoxlamaq lazımdır. Biz artıq Evklid alqoritmindən istifadə edərək bu cüt üçün gcd-ni hesablamışıq. Hesablamaların düzgünlüyünü yoxlayaq və kalkulyatorda GCD-ni yenidən hesablayaq. Həqiqətən də, GCD (1001, 1729) = 91. Biz d / GCD (a, b) = 104650/91 = 1150 şərtindən istifadə edərək tam ədəd həllinin mümkünlüyünü yoxlayırıq. Nəticə etibarilə bu tənliyin tam kökləri var.

Nəticə

Biz məktəbdə ən böyük ortaq bölücünü öyrənirik, lakin gələcəkdə bunun nə üçün lazım olduğunu həmişə başa düşmürük. Bununla belə, GCD ədədlər nəzəriyyəsində mühüm termindir və riyaziyyatın bir çox sahələrində istifadə olunur. İstənilən sayda rəqəmin GCD-ni tapmaq üçün kalkulyatorumuzdan istifadə edin.

Lakin bir çox natural ədədlər digər natural ədədlərə də bölünür.

Misal üçün:

12 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə bölünür;

36 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə, 18-ə, 36-ya bölünür.

Ədədin tam bölündüyü ədədlər (12 üçün bunlar 1, 2, 3, 4, 6 və 12) adlanır. ədədlərin bölənləri. Natural ədədin bölməsi a- verilmiş ədədi bölən natural ədəddir a izsiz. İkidən çox bölən olan natural ədədə deyilir kompozit .

Nəzərə alın ki, 12 və 36 rəqəmlərinin ümumi faktorları var. Bu ədədlər bunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ədədlərin ən böyük böləni 12-dir. Bu iki ədədin ortaq bölməsi a Və b- bu verilmiş hər iki ədədin qalıqsız bölündüyü ədəddir a Və b.

Ümumi çoxluqlar bir neçə ədəd bu ədədlərin hər birinə bölünən ədəddir. Misal üçün, 9, 18 və 45 ədədlərinin 180-ə ortaq qatı var. Lakin 90 və 360 da onların ortaq qatlarıdır. Bütün ümumi çarpanlar arasında həmişə ən kiçiyi olur, bu halda 90-dır. Bu ədəd deyilir ən kiçikümumi çoxsaylı (CMM).

LCM həmişə təbii ədəddir ki, onun üçün təyin olunduğu ədədlərin ən böyüyündən böyük olmalıdır.

Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM). Xüsusiyyətlər.

Kommutativlik:

Assosiativlik:

Xüsusilə, əgər və kobud ədədlərdirsə, onda:

İki tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu m Və n bütün digər ümumi qatların bölənidir m Və n. Üstəlik, ümumi çoxluqlar dəsti m, n LCM-in qatlarının çoxluğu ilə üst-üstə düşür( m, n).

üçün asimptotikanı bəzi ədədi-nəzəri funksiyalar baxımından ifadə etmək olar.

Belə ki, Çebışev funksiyası. Və:

Bu, Landau funksiyasının tərifindən və xassələrindən irəli gəlir g(n).

Sadə ədədlərin paylanması qanunundan nə gəlir.

Ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması (LCM).

NOC( a, b) bir neçə yolla hesablana bilər:

1. Ən böyük ümumi bölən məlumdursa, onun LCM ilə əlaqəsindən istifadə edə bilərsiniz:

2. Hər iki ədədin sadə amillərə kanonik parçalanması məlum olsun:

Harada p 1 ,...,p k- müxtəlif sadə ədədlər və d 1 ,...,d k Və e 1 ,...,e k— qeyri-mənfi tam ədədlər (müvafiq əsas genişlənmədə deyilsə, onlar sıfır ola bilər).

Sonra NOC ( a,b) düsturla hesablanır:

Başqa sözlə, LCM parçalanması ən azı ədədlərin parçalanmalarından birinə daxil olan bütün əsas amilləri ehtiva edir. a, b, və bu çarpanın iki göstəricisindən ən böyüyü alınır.

Misal:

Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunun hesablanması iki ədədin LCM-nin bir neçə ardıcıl hesablamalarına endirilə bilər:

Qayda. Bir sıra nömrələrin LCM-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:

- ədədləri sadə amillərə ayırmaq;

- ən böyük parçalanmanı (verilənlərin ən çoxunun amillərinin məhsulu) istədiyiniz məhsulun amillərinə köçürün və sonra birinci nömrədə görünməyən və ya orada görünən digər ədədlərin parçalanmasından amillər əlavə edin. daha az dəfə;

— əsas amillərin nəticəsi verilmiş ədədlərin LCM-i olacaqdır.

İstənilən iki və ya daha çox natural ədədin öz LCM-i var. Əgər ədədlər bir-birinin çoxluğu deyilsə və ya genişlənmədə eyni amillərə malik deyilsə, onda onların LCM-i bu ədədlərin hasilinə bərabərdir.

28 (2, 2, 7) rəqəminin əsas amilləri 3 amili (21 rəqəmi) ilə tamamlanır, nəticədə alınan məhsul (84) 21 və 28-ə bölünən ən kiçik ədəd olacaqdır.

Ən böyük 30 ədədinin sadə amilləri 25 ədədinin 5 əmsalı ilə tamamlanır, nəticədə alınan hasil 150 ən böyük 30 ədədindən böyükdür və bütün verilmiş ədədlərə qalıqsız bölünür. Bu, bütün verilmiş ədədlərin qatı olan mümkün olan ən kiçik məhsuldur (150, 250, 300...).

2,3,11,37 ədədləri sadə ədədlərdir, ona görə də onların LCM-i verilmiş ədədlərin hasilinə bərabərdir.

Qayda. Sadə ədədlərin LCM-ni hesablamaq üçün bütün bu ədədləri birlikdə vurmaq lazımdır.

Başqa bir seçim:

Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) tapmaq üçün sizə lazımdır:

1) hər bir ədədi onun əsas amillərinin məhsulu kimi təmsil edin, məsələn:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) bütün əsas amillərin səlahiyyətlərini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu ədədlərin hər birinin bütün sadə bölənlərini (vurucularını) yazın;

4) bu ədədlərin bütün genişlənmələrində olan onların hər birinin ən böyük dərəcəsini seçin;

5) bu səlahiyyətləri artırın.

Misal. Rəqəmlərin LCM-ni tapın: 168, 180 və 3024.

Həll. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Bütün əsas bölənlərin ən böyük güclərini yazırıq və onları çarpırıq:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

“LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr” bölməsində başladığımız ən kiçik ümumi çoxluq haqqında söhbətə davam edək. Bu mövzuda biz üç və ya daha çox ədəd üçün LCM-ni tapmağın yollarına baxacağıq və mənfi ədədin LCM-ni necə tapmaq sualına baxacağıq.

GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması

Biz artıq ən kiçik ortaq çoxluq və ən böyük ortaq bölən arasında əlaqə qurmuşuq. İndi gəlin GCD vasitəsilə LCM-i necə təyin edəcəyimizi öyrənək. Əvvəlcə müsbət ədədlər üçün bunu necə edəcəyimizi anlayaq.

Tərif 1

LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) düsturundan istifadə edərək ən böyük ümumi bölən vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapa bilərsiniz.

Misal 1

126 və 70 rəqəmlərinin LCM-ni tapmalısınız.

Həll

a = 126, b = 70 götürək. Ən böyük ümumi bölən LCM (a, b) = a · b vasitəsilə ən kiçik ortaq çoxluğu hesablamaq üçün dəyərləri düsturla əvəz edək: GCD (a, b) .

70 və 126 rəqəmlərinin gcd-sini tapır. Bunun üçün bizə Evklid alqoritmi lazımdır: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, buna görə də GCD (126 , 70) = 14 .

LCM-i hesablayaq: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cavab: LCM(126, 70) = 630.

Misal 2

68 və 34 rəqəmlərini tapın.

Həll

Bu vəziyyətdə GCD tapmaq çətin deyil, çünki 68 34-ə bölünür. Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayaq: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cavab: LCM(68, 34) = 68.

Bu misalda a və b müsbət tam ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün qaydadan istifadə etdik: əgər birinci ədəd ikinciyə bölünürsə, həmin ədədlərin LCM-i birinci ədədə bərabər olacaqdır.

Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması

İndi isə nömrələri əsas amillərə ayırmağa əsaslanan LCM-nin tapılma üsuluna baxaq.

Tərif 2

Ən az ümumi çoxluğu tapmaq üçün bir sıra sadə addımları yerinə yetirməliyik:

• LCM-i tapmalı olduğumuz ədədlərin bütün sadə amillərinin hasilini tərtib edirik;
• biz bütün əsas amilləri onların yaranan məhsullarından xaric edirik;
• ümumi sadə amilləri aradan qaldırdıqdan sonra alınan məhsul verilmiş ədədlərin LCM-ə bərabər olacaqdır.

Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün bu üsul LCM (a, b) = a · b bərabərliyinə əsaslanır: GCD (a, b). Formula baxsanız, aydın olacaq: a və b ədədlərinin hasili bu iki ədədin parçalanmasında iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Bu halda, iki ədədin gcd-si bu iki ədədin faktorizasiyasında eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir.

Misal 3

Bizdə iki ədəd 75 və 210 var. Onları aşağıdakı kimi faktorlara ayıra bilərik: 75 = 3 5 5 Və 210 = 2 3 5 7. İki orijinal ədədin bütün amillərinin hasilini tərtib etsəniz, alırsınız: 2 3 3 5 5 5 7.

Həm 3, həm də 5 rəqəmləri üçün ümumi olan amilləri istisna etsək, aşağıdakı formanın hasilini alırıq: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu məhsul 75 və 210 nömrələri üçün LCM olacaq.

Misal 4

Rəqəmlərin LCM-ni tapın 441 Və 700 , hər iki ədədi əsas amillərə ayırın.

Həll

Şərtdə verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərini tapaq:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

İki ədəd zəncirini alırıq: 441 = 3 3 7 7 və 700 = 2 2 5 5 7.

Bu ədədlərin parçalanmasında iştirak edən bütün amillərin məhsulu aşağıdakı formada olacaq: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ümumi amilləri tapaq. Bu 7 rəqəmidir. Onu ümumi məhsuldan xaric edək: 2 2 3 3 5 5 7 7. Belə çıxır ki, MOK (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cavab: LOC(441, 700) = 44,100.

Ədədləri sadə amillərə parçalayaraq LCM-nin tapılması metodunun başqa bir düsturunu verək.

Tərif 3

Əvvəllər biz hər iki rəqəm üçün ümumi olan faktorların ümumi sayından xaric etdik. İndi biz bunu fərqli edəcəyik:

• Gəlin hər iki rəqəmi əsas amillərə ayıraq:
• birinci ədədin sadə amillərinin hasilinə ikinci ədədin çatışmayan amillərini əlavə edin;
• iki ədəddən ibarət istənilən LCM olacaq məhsulu əldə edirik.

Misal 5

Əvvəlki nümunələrdən birində LCM-i axtardığımız 75 və 210 nömrələrinə qayıdaq. Gəlin onları sadə amillərə ayıraq: 75 = 3 5 5 Və 210 = 2 3 5 7. 3, 5 və amillərinin hasilinə 5 75 ədədi çatışmayan amilləri əlavə edir 2 Və 7 nömrə 210. Biz əldə edirik: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Bu, 75 və 210 rəqəmlərinin LCM-idir.

Misal 6

84 və 648 rəqəmlərinin LCM-ni hesablamaq lazımdır.

Həll

Şərtdəki rəqəmləri sadə amillərə ayıraq: 84 = 2 2 3 7 Və 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Məhsula 2, 2, 3 və amillərini əlavə edək 7 ədəd 84 çatışmayan amillər 2, 3, 3 və
3 648 nömrə. Məhsulu alırıq 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu, 84 və 648-in ən kiçik ümumi qatıdır.

Cavab: LCM(84, 648) = 4,536.

Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması

Neçə ədədlə məşğul olmağımızdan asılı olmayaraq, hərəkətlərimizin alqoritmi həmişə eyni olacaq: ardıcıl olaraq iki ədədin LCM-ni tapacağıq. Bu hal üçün bir teorem var.

Teorem 1

Tutaq ki, bizdə tam ədədlər var a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu ədədlər ardıcıl olaraq m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesablanmaqla tapılır.

İndi teoremin konkret məsələləri həll etmək üçün necə tətbiq oluna biləcəyinə baxaq.

Misal 7

140, 9, 54 və dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını hesablamalısınız 250 .

Həll

Qeydi təqdim edək: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) hesablamaqla başlayaq. 140 və 9 ədədlərinin GCD-sini hesablamaq üçün Evklid alqoritmini tətbiq edək: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Alırıq: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Beləliklə, m 2 = 1,260.

İndi eyni alqoritmdən istifadə edərək hesablayaq m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Hesablamalar zamanı m 3 = 3 780 alırıq.

Sadəcə m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) hesablamalıyıq. Eyni alqoritmə əməl edirik. m 4 = 94 500 alırıq.

Nümunə şərtindən dörd ədədin LCM-i 94500-dir.

Cavab: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Gördüyünüz kimi, hesablamalar sadədir, lakin kifayət qədər əmək tələb edir. Vaxta qənaət etmək üçün başqa yolla gedə bilərsiniz.

Tərif 4

Sizə aşağıdakı hərəkət alqoritmini təklif edirik:

• bütün ədədləri sadə amillərə parçalayırıq;
• birinci ədədin amillərinin hasilinə ikinci ədədin hasilindən çatışmayan amilləri əlavə edirik;
• əvvəlki mərhələdə alınan məhsula üçüncü nömrənin çatışmayan amillərini əlavə edirik və s.;
• nəticədə alınan məhsul şərtdən bütün ədədlərin ən kiçik ümumi qatı olacaqdır.

Misal 8

84, 6, 48, 7, 143 beş rəqəminin LCM-ni tapmalısınız.

Həll

Gəlin bütün beş ədədi sadə çarpanlara ayıraq: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Sadə ədədlər, yəni 7 rəqəmi sadə amillərə aid edilə bilməz. Belə ədədlər onların əsas amillərə parçalanması ilə üst-üstə düşür.

İndi 84 ədədinin 2, 2, 3 və 7 sadə amillərinin hasilini götürək və onlara ikinci ədədin çatışmayan çarpanlarını əlavə edək. 6 rəqəmini 2 və 3-ə böldük. Bu amillər artıq birinci nömrənin hasilindədir. Buna görə də biz onları buraxırıq.

Çatışmayan çarpanları əlavə etməyə davam edirik. Baş amillərinin hasilindən 2 və 2-ni aldığımız 48 rəqəminə keçək. Sonra dördüncü ədəddən 7-nin sadə amilini və beşinci ədədin 11 və 13-ün amillərini əlavə edirik. Alırıq: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Bu, ilkin beş ədədin ən kiçik ümumi çoxluğudur.

Cavab: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatının tapılması

Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün əvvəlcə bu ədədlər əks işarəli ədədlərlə əvəz edilməli, sonra isə yuxarıda göstərilən alqoritmlərdən istifadə etməklə hesablamalar aparılmalıdır.

Misal 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) və LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Əgər biz bunu qəbul etsək, belə hərəkətlərə icazə verilir a Və − a- əks nömrələr,
sonra ədədin qatlarının çoxluğu aədədin qatlarının çoxluğuna uyğun gəlir − a.

Misal 10

Mənfi ədədlərin LCM-ni hesablamaq lazımdır − 145 Və − 45 .

Həll

Nömrələri əvəz edək − 145 Və − 45 onların əks nömrələrinə 145 Və 45 . İndi alqoritmdən istifadə edərək, əvvəllər Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD-ni təyin edərək LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 hesablayırıq.

Alırıq ki, ədədlərin LCM-i - 145 və − 45 bərabərdir 1 305 .

Cavab: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

GCD-nin tapılmasının iki əsas üsulunu iki əsas yolla nəzərdən keçirək: Evklid alqoritmindən istifadə və əsas amillərə parçalanma. Gəlin iki, üç və ya daha çox ədəd üçün hər iki üsulu tətbiq edək.

GCD tapmaq üçün Evklid alqoritmi

Evklid alqoritmi iki müsbət ədədin ən böyük ümumi amilini hesablamağı asanlaşdırır. Evklid alqoritminin düsturlarını və sübutunu “Ən böyük ortaq bölən: determinant, misallar” bölməsində təqdim etdik.

Alqoritmin mahiyyəti ardıcıl olaraq qalığa bölünmə aparmaqdır, bu müddət ərzində bir sıra forma bərabərliyi əldə edilir:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Bölməni nə vaxt bitirə bilərik r k + 1 = 0, burada r k = gcd (a , b).

Misal 1

64 Və 48 .

Həll

Aşağıdakı qeydləri təqdim edək: a = 64, b = 48.

Evklid alqoritminə əsaslanaraq bölməni həyata keçirəcəyik 64 haqqında 48 .

1-i, qalanı isə 16-nı alırıq. Belə çıxır ki, q 1 = 1, r 1 = 16.

İkinci addım bölməkdir 48 16-da 3 alırıq. Yəni q 2 = 3, A r 2 = 0. Beləliklə, 16 rəqəmi şərtdən gələn ədədlər üçün ən böyük ümumi böləndir.

Cavab: GCD (64, 48) = 16.

Misal 2

Nömrələrin GCD-si nədir? 111 Və 432 ?

Həll

bölürük 432 haqqında 111 . Evklid alqoritminə uyğun olaraq 432 = 111 · 3 + 99, 111 = 99 · 1 + 12, 99 = 12 · 8 + 3, 12 = 3 · 4 bərabərlik zəncirini alırıq.

Beləliklə, ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir 111 Və 432 - bu 3.

Cavab: GCD (111, 432) = 3.

Misal 3

661 və 113 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapın.

Həll

Nömrələri ardıcıl olaraq bölmək və GCD əldə edək (661 , 113) = 1 . Bu o deməkdir ki, 661 və 113 nisbətən sadə ədədlərdir. Sadə ədədlər cədvəlinə müraciət etsək, hesablamaya başlamazdan əvvəl bunu anlaya bilərik.

Cavab: GCD (661, 113) = 1.

Nömrələri əsas amillərə ayırmaqla GCD-nin tapılması

Faktorlara ayırma üsulu ilə iki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün bu iki ədədi faktorlara ayırmaqla əldə edilən və onlar üçün ümumi olan bütün sadə amilləri vurmaq lazımdır.

Misal 4

220 və 600 ədədlərini sadə amillərə ayırsaq, iki məhsul alırıq: 220 = 2 2 5 11 Və 600 = 2 2 2 3 5 5. Bu iki məhsulda ümumi amillər 2, 2 və 5-dir. Bu o deməkdir ki, GCD (220, 600) = 2 2 5 = 20.

Misal 5

Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapın 72 Və 96 .

Həll

Ədədlərin bütün sadə amillərini tapın 72 Və 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

İki ədəd üçün ümumi sadə amillər 2, 2, 2 və 3-dür. Bu o deməkdir ki, GCD (72, 96) = 2 2 2 3 = 24.

Cavab: GCD (72, 96) = 24.

İki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq qaydası ən böyük ortaq bölənin xassələrinə əsaslanır, ona görə gcd (m a 1, m b 1) = m gcd (a 1, b 1), burada m istənilən müsbət tam ədəddir. .

Üç və ya daha çox ədədin gcd-nin tapılması

GCD-ni tapmalı olduğumuz nömrələrin sayından asılı olmayaraq, iki ədədin GCD-ni ardıcıl olaraq tapmaqdan ibarət olan eyni alqoritmə əməl edəcəyik. Bu alqoritm aşağıdakı teoremin tətbiqinə əsaslanır: Bir neçə ədədin GCD a 1 , a 2 , … , a k sayına bərabərdir dk, gcd-nin ardıcıl hesablanması ilə tapılır (a 1 , a 2) = d 2, GCD (d 2 , a 3) = d 3 , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

Misal 6

78, 294, 570 və dörd ədədinin ən böyük ortaq bölənini tapın 36 .

Həll

Qeydi təqdim edək: a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

78 və 294 rəqəmlərinin gcd-sini tapmaqla başlayaq: d 2 = GCD (78 , 294) = 6 .

İndi d 3 = GCD (d 2 , a 3) = GCD (6, 570) tapmağa başlayaq. Evklid alqoritminə görə 570 = 6 95. Bu o deməkdir ki d 3 = GCD (6 , 570) = 6 .

Tapaq d 4 = GCD (d 3 , a 4) = GCD (6, 36). 36 6-ya qalıqsız bölünür. Bu, bizə imkan verir d 4 = GCD (6 , 36) = 6 .

d4 = 6, yəni GCD (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Cavab:

İndi bu və daha çox rəqəmlər üçün GCD hesablanmasının başqa bir yoluna baxaq. Ədədlərin bütün ümumi sadə amillərini vurmaqla gcd-ni tapa bilərik.

Misal 7

78, 294, 570 və rəqəmlərinin GCD-ni hesablayın 36 .

Həll

Bu ədədləri sadə amillərə bölək: 78 = 2 3 13, 294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3.

Bütün dörd ədəd üçün ümumi sadə amillər 2 və 3 rəqəmləri olacaqdır.

Belə çıxır ki, GCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Cavab: GCD (78, 294, 570, 36) = 6.

Mənfi ədədlərin GCD-nin tapılması

Mənfi ədədlərlə məşğul olmalıyıqsa, o zaman bu ədədlərin modullarından ən böyük ortaq bölən tapmaq üçün istifadə edə bilərik. Biz əks işarəli ədədlərin xassəsini bilməklə bunu edə bilərik: ədədlər n Və -n eyni bölücülərə malikdir.

Misal 8

Mənfi tam ədədlərin gcd-sini tapın − 231 Və − 140 .

Həll

Hesablamaları aparmaq üçün şərtdə verilmiş ədədlərin modullarını götürürük. Bunlar 231 və 140 rəqəmləri olacaq. Qısaca yazaq: GCD (− 231 , − 140) = GCD (231, 140) . İndi biz iki ədədin sadə amillərini tapmaq üçün Evklid alqoritmini tətbiq edirik: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 1 + 49; 91 = 49 · 1 + 42; 49 = 42 1 + 7 və 42 = 7 6. GCD (231, 140) = 7 alırıq .

Və GCD-dən bəri (− 231 , − 140) = GCD (231 , 140) , sonra ədədlərin gcd − 231 Və − 140 bərabərdir 7 .

Cavab: GCD (− 231, − 140) = 7.

Misal 9

Üç ədədin gcd-sini təyin edin - 585, 81 və − 189 .

Həll

Yuxarıdakı siyahıdakı mənfi ədədləri onların mütləq qiymətləri ilə əvəz edək, GCD alırıq (− 585 , 81 , − 189) = GCD (585 , 81 , 189) . Sonra bütün bu rəqəmləri əsas amillərə ayırırıq: 585 = 3 3 5 13, 81 = 3 3 3 3 və 189 = 3 3 3 7. Üç ədəd üçün ümumi olanlar 3 və 3-ün əsas amilləridir. Belə çıxır ki, GCD (585, 81, 189) = GCD (− 585, 81, − 189) = 9.

Cavab: GCD (− 585, 81, − 189) = 9.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Xülasə üçün açar sözlər:Tam ədədlər. Natural ədədlər üzərində arifmetik əməllər. Natural ədədlərin bölünmə qabiliyyəti. Baş və mürəkkəb ədədlər. Təbii ədədi sadə amillərə ayırmaq. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11-ə bölünmə əlamətləri. Ən böyük ortaq bölən (GCD), həmçinin ən kiçik ortaq çoxluq (LCD). Qalan ilə bölmə.

Tam ədədlər- bunlar obyektləri saymaq üçün istifadə olunan nömrələrdir - 1, 2, 3, 4 , ... Amma rəqəm 0 təbii deyil!

Natural ədədlər çoxluğu ilə işarələnir N. Qeyd "3 ∈ N"üç rəqəminin natural ədədlər çoxluğuna aid olduğunu bildirir və qeyd "0 ∉ N" sıfır rəqəminin bu çoxluğa aid olmadığını bildirir.

Onluq say sistemi- mövqe radix say sistemi 10 .

Natural ədədlər üzərində arifmetik əməllər

Natural ədədlər üçün aşağıdakı hərəkətlər müəyyən edilir: toplama, çıxma, vurma, bölmə, eksponentasiya, kök çıxarma. İlk dörd hərəkətdir hesab.

Onda a, b və c natural ədədlər olsun

1. ƏLAVƏ. Müddəa + Müddəa = Cəm

Əlavənin xüsusiyyətləri
1. Kommunikativ a + b = b + a.
2. Bağlayıcı a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ÇIXARIN. Minuend - Subtrahend = Fərq

Çıxarmanın xassələri
1. a - (b + c) = a - b - c rəqəmindən cəmini çıxmaq.
2. Cəmindən ədədi çıxmaq (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. VURMA. Çarpan * Çarpan = Məhsul

Vurmanın xassələri
1. Kommunikativ a*b = b*a.
2. Bağlayıcı a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Paylanma (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. BÖLÜM. Dividend: Bölən = Hissə

Bölmənin xüsusiyyətləri
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Sıfıra bölmək olmaz!
3. 0: a= 0.

Prosedur

1. İlk növbədə, mötərizədə olan hərəkətlər.
2. Sonra vurma, bölmə.
3. Və yalnız sonunda toplama və çıxma.

Natural ədədlərin bölünmə qabiliyyəti. Baş və mürəkkəb ədədlər.

Natural ədədin bölməsi A olan natural ədəddir A qalıqsız bölünür. Nömrə 1 istənilən natural ədədin bölənidir.

Natural ədəd deyilir sadə, yalnız varsa iki bölən: bir və ədədin özü. Məsələn, 2, 3, 11, 23 ədədləri sadə ədədlərdir.

İkidən çox bölən olan ədədə deyilir kompozit. Məsələn, 4, 8, 15, 27 ədədləri mürəkkəb ədədlərdir.

Bölünmə testi işləyir bir neçə ədəd: əgər amillərdən ən azı biri müəyyən ədədə bölünürsə, hasil də bu ədədə bölünür. iş 24 15 77 bölünür 12 , bu ədədin çarpanından bəri 24 bölünür 12 .

Cəm üçün bölünmə testi (fərq)ədədlər: hər bir müddət müəyyən bir ədədə bölünürsə, bütün cəmi bu ədədə bölünür. Əgər a: b Və c: b, Bu (a + c): b. Və əgər a: b, A c ilə bölünmür b, Bu a+cədədə bölünmür b.

Əgər a: c Və c:b, Bu a: b. 72: 24 və 24: 12 olduğuna əsaslanaraq, 72: 12 olduğu qənaətinə gəlirik.

Ədədin sadə ədədlərin güclərinin hasili kimi təqdim edilməsi deyilir ədədi əsas amillərə ayırmaq.

Arifmetikanın əsas teoremi: istənilən natural ədəd (istisna 1 ) və ya sadə, ya da yalnız bir şəkildə faktorlara bölünə bilər.

Ədədi sadə amillərə parçalayanda bölünmə əlamətlərindən istifadə edilir və “sütun” qeydindən istifadə olunur.Bu zaman bölən şaquli xəttin sağında yerləşir və bölgü divident altında yazılır.

Məsələn, tapşırıq: ədədi əsas amillərə ayırın 330 . Həll:

Bölünmə əlamətləri 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 və 11.

bölünmə əlamətləri var 6, 15, 45 s., yəni məhsulu faktorlara bölünə bilən ədədlərə 2, 3, 5, 9 Və 10 .

Ən böyük ortaq bölən

Verilmiş iki natural ədədin hər birinin bölünə biləcəyi ən böyük natural ədəd adlanır ən böyük ortaq bölən bu nömrələr ( GCD). Məsələn, GCD (10; 25) = 5; və GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

İki natural ədədin ən böyük ortaq bölanı bərabərdirsə 1 , sonra bu nömrələr çağırılır qarşılıqlı əsas.

Ən böyük ortaq bölənin tapılması alqoritmi(NOD)

GCD tez-tez problemlərdə istifadə olunur. Məsələn, bir sinifdə şagirdlər arasında 155 dəftər və 62 qələm bərabər bölündü. Bu sinifdə neçə şagird var?

Həll: Bu sinifdəki şagirdlərin sayını tapmaq 155 və 62 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmaqla nəticələnir, çünki dəftərlər və qələmlər bərabər bölünürdü. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Cavab: Sinifdə 31 şagird.

Ən kiçik ümumi çoxluq

Natural ədədin qatları A bölünən natural ədəddir A izsiz. Məsələn, nömrə 8 qatları var: 8, 16, 24, 32 , ... İstənilən natural ədəd var sonsuz sayda qatlar.

Ən kiçik ümumi çoxluq(LCM) bu ədədlərin çoxluğu olan ən kiçik natural ədəddir.

Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün alqoritm ( NOC):

LCM də tez-tez problemlərdə istifadə olunur. Məsələn, iki velosipedçi eyni vaxtda velosiped yolu ilə eyni istiqamətdə hərəkətə keçdi. Biri 1 dəqiqəyə, digəri isə 45 saniyəyə dairə çəkir. Hərəkət başladıqdan sonra minimum neçə dəqiqədən sonra başlanğıcda görüşəcəklər?

Həll: Onların başlanğıcda yenidən görüşəcəkləri dəqiqələrin sayı bölünməlidir 1 dəq, həmçinin üzərində 45 s. 1 dəqiqə = 60 s. Yəni LCM-i tapmaq lazımdır (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
MOK (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Nəticə budur ki, velosipedçilər startda 180 s = 3 dəqiqə sonra qarşılaşacaqlar.

Cavab: 3 dəq.

Qalan ilə bölmə

Natural ədəddirsə A natural ədədə bölünmür b, onda edə bilərsiniz qalıq ilə bölmə. Bu halda, nəticədə əmsal deyilir natamam. Bərabərlik ədalətlidir:

a = b n + r,

Harada A- bölünən, b- bölücü, n- natamam hissə, r- qalıq. Məsələn, divident bərabər olsun 243 , bölücü - 4 , Sonra 243: 4 = 60 (qalan 3). Yəni a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, onda 243 = 60 4 + 3 .

Bölünən ədədlər 2 qalıqsız deyilir hətta: a = 2n, n ∈ N.

Qalan nömrələrə zəng edilir qəribə: b = 2n + 1, n ∈ N.

Bu mövzunun xülasəsidir "Tam ədədlər. Bölünmə əlamətləri". Davam etmək üçün növbəti addımları seçin:

• Növbəti xülasəyə keçin: