Kökün çıxarılması əməliyyatından praktikada uğurla istifadə etmək üçün bu əməliyyatın xüsusiyyətləri ilə tanış olmaq lazımdır.
Bütün xüsusiyyətlər yalnız kök işarələri altında olan dəyişənlərin mənfi olmayan dəyərləri üçün tərtib edilir və sübut edilir.

Teorem 1. İki qeyri-mənfi çipsetin hasilinin n-ci kökü (n=2, 3, 4,...) bu ədədlərin n-ci köklərinin hasilinə bərabərdir:

Şərh:

1. Teorem 1, radikal ifadənin ikidən çox qeyri-mənfi ədədin hasili olduğu hal üçün etibarlı qalır.

Teorem 2.Əgər a, və n 1-dən böyük natural ədəddir, onda bərabərlik

Qısa(qeyri-dəqiq olsa da) praktikada istifadə etmək daha rahat olan formulasiya: kəsrin kökü köklərin kəsirinə bərabərdir.

Teorem 1 m-i çoxaltmağa imkan verir yalnız eyni dərəcədə köklər , yəni. yalnız eyni eksponentli köklər.

Teorem 3. Əgər ,k natural ədəddir və n 1-dən böyük natural ədəddir, onda bərabərlik

Yəni bir kökü təbii gücə yüksəltmək üçün kök ifadəsini bu gücə yüksəltmək kifayətdir.
Bu, Teorem 1-in nəticəsidir. Həqiqətən, məsələn, k = 3 üçün alırıq

Teorem 4. Əgər ,k, n 1-dən böyük natural ədədlərdir, onda bərabərlik

Başqa sözlə, kökdən kök çıxarmaq üçün köklərin göstəricilərini çoxaltmaq kifayətdir.
Misal üçün,

Ehtiyatlı ol!Öyrəndik ki, köklər üzərində dörd əməliyyat yerinə yetirilə bilər: vurma, bölmə, eksponentasiya və kökün çıxarılması (kökdən). Bəs köklərin əlavə və çıxması haqqında nə demək olar? Heç bir şəkildə.
Məsələn, Indeed əvəzinə yaza bilməzsiniz, amma bu aydındır

Teorem 5. Əgər kökün və kök ifadəsinin göstəriciləri eyni natural ədədə vurulur və ya bölünür, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək, yəni.

Problemin həlli nümunələri

Misal 1 Hesablayın

Həll. Köklərin birinci xassəsindən (Teorem 1) istifadə edərək, əldə edirik:

Misal 2 Hesablayın
Həll. Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirin.
Köklərin ikinci xassəsindən istifadə edirik ( teorem 2 ), alırıq:

Misal 3 Hesablayın:

Həll. Cəbrdə hər hansı bir düstur, yaxşı bildiyiniz kimi, yalnız "soldan sağa" deyil, "sağdan sola" da istifadə olunur. Deməli, köklərin birinci xassəsi onun kimi göstərilə bilməsi və əksinə ifadə ilə əvəz oluna bilməsi deməkdir. Eyni şey köklərin ikinci xüsusiyyətinə də aiddir. Bunu nəzərə alaraq, hesablamaları aparaq.

Bu bölmədə edəcəyimiz bu əməliyyatın xüsusiyyətləri ilə tanış olmalıyıq.

Bütün xüsusiyyətlər yalnız kök işarələri altında olan dəyişənlərin mənfi olmayan dəyərləri üçün tərtib edilir və sübut edilir.

Sübut. Aşağıdakı qeydi təqdim edək: Mənfi olmayan x, y, z ədədləri üçün x-yz bərabərliyinin yerinə yetirildiyini sübut etməliyik.
Çünki
Deməli, Amma iki qeyri-mənfi ədədin dərəcələri bərabərdirsə və göstəriciləri bərabərdirsə, əsaslar da bərabərdir. dərəcə; deməli, x n \u003d (yz) p bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, x-yz və bunun sübutu tələb olunurdu.

Teoremin sübutunun qısa qeydini veririk.

Qeydlər:

1. Teorem 1, radikal ifadənin ikidən çox qeyri-mənfi ədədin hasili olduğu hal üçün etibarlı qalır.
2. Teorem 1-i “əgər...onda” konstruksiyasından istifadə etməklə tərtib etmək olar (riyaziyyatda teoremlər üçün adət olduğu kimi).Müvafiq düsturu verək: əgər a və b mənfi olmayan ədədlərdirsə, onda bərabərlik doğrudur.Biz formula edəcəyik. aşağıdakı teoremi məhz bu şəkildə.

Praktikada istifadə etmək daha rahat olan qısa (qeyri-dəqiq olsa da) formula: kökü fraksiyalar köklərin hissəsinə bərabərdir.

Sübut. Teorem 2-nin sübutunun qısa qeydini veririk və siz Teorem 1-in isbatında verilən şərhlərə bənzər müvafiq şərhlər verməyə çalışırsınız.

Əlbəttə, SİZ fikir verdiniz ki, n-ci köklərin sübut edilmiş iki xassələri 8-ci sinif cəbri kursundan sizə məlum olan kvadrat köklərin xassələrinin ümumiləşdirilməsidir. Və əgər n-ci köklərin başqa xassələri olmasaydı, onda hər şey sadə olardı (və çox maraqlı deyil). Əslində, bu paraqrafda müzakirə edəcəyimiz bir neçə başqa maraqlı və vacib xüsusiyyət var. Ancaq əvvəlcə 1 və 2-ci teoremlərin istifadəsinə dair bəzi nümunələrə baxaq.

Misal 1 Hesablayın
Həll. Köklərin birinci xassəsindən (Teorem 1) istifadə edərək, əldə edirik:

Qeyd 3.Əlbətdə ki, bu nümunəni fərqli şəkildə həll edə bilərsiniz, xüsusən də əlinizdə bir mikrokalkulyator varsa: 125, 64 və 27 rəqəmlərini çoxaltın və nəticədə alınan məhsuldan kub kökünü çıxarın. Amma görürsən, təklif olunan həll yolu “daha ​​ağıllıdır”.
Misal 2 Hesablayın
Həll. Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirin.
Köklərin ikinci xassəsindən (Teorem 2) istifadə edərək əldə edirik:

Misal 3 Hesablayın:
Həll. Cəbrdə hər hansı bir düstur, yaxşı bildiyiniz kimi, yalnız "soldan sağa" deyil, "sağdan sola" da istifadə olunur. Deməli, köklərin birinci xassəsi onun kimi göstərilə bilməsi və əksinə ifadə ilə əvəz oluna bilməsi deməkdir. Eyni şey köklərin ikinci xüsusiyyətinə də aiddir. Bunu nəzərə alaraq, hesablamaları aparaq:

Misal 4 Fəaliyyətləri yerinə yetirin:
Həll, a) Bizdə:
b) 1-ci teorem yalnız eyni dərəcədə kökləri çoxaltmağa imkan verir, yəni. yalnız eyni eksponentli köklər. Burada a ədədindən 2-ci dərəcənin kökünü eyni ədədin 3-cü dərəcəli kökünə vurmaq da təklif olunur. Bunu necə edəcəyik, hələ bilmirik. Bu problemə daha sonra qayıdacağıq.
Radikalların xüsusiyyətlərini öyrənməyə davam edək.

Yəni bir kökü təbii gücə yüksəltmək üçün kök ifadəsini bu gücə yüksəltmək kifayətdir.
Bu, Teorem 1-in nəticəsidir. Həqiqətən, məsələn, k = 3 üçün alırıq

Başqa sözlə, kökdən kök çıxarmaq üçün köklərin göstəricilərini çoxaltmaq kifayətdir.
Misal üçün,
Sübut. Teorem 2-də olduğu kimi, biz sübutun qısa qeydini veririk və siz Teorem 1-in isbatında verilən şərhlərə bənzər müvafiq şərhləri özünüz etməyə cəhd edə bilərsiniz.

Qeyd 4. Nəfəs alaq. Sübut edilmiş teoremlərdən nə öyrəndik? Öyrəndik ki, köklər üzərində dörd əməliyyat yerinə yetirilə bilər: vurma, bölmə, eksponentasiya və kökün çıxarılması (kökdən). Bəs köklərin əlavə və çıxması haqqında nə demək olar? Heç bir şəkildə. Biz bu barədə hələ 8-ci sinifdə kvadrat kökün çıxarılması əməliyyatı haqqında danışmışdıq.

Məsələn, Indeed əvəzinə yaza bilməzsiniz, Amma aydındır ki, Ehtiyatlı olun!
Köklərin bəlkə də ən maraqlı xüsusiyyəti növbəti teoremdə müzakirə olunacaq xüsusiyyətdir. Bu xüsusiyyətin xüsusi əhəmiyyətini nəzərə alaraq, biz 5-ci Teoremin tərtibini bir az “yumşaq” və onun isbatını daha başa düşülən etmək üçün bu bölmədə işlənmiş müəyyən tərtibat və sübut üslubunu pozmaq azadlığını qəbul edirik.

Misal üçün:

(kök və kök ifadəsinin göstəriciləri 4-ə bölünür);

(kök və kök ifadəsinin göstəriciləri 3-ə bölünür);

(kök və radikal ifadənin göstəriciləri 2-yə vuruldu).

Sübut. Hərflə isbat olunacaq bərabərliyin sol tərəfini işarə edək Sonra kökün tərifi ilə bərabərlik

y hərfi ilə sübut edilən şəxsiyyətin sağ tərəfini işarələyin:

Sonra kökün tərifi ilə bərabərlik

Son bərabərliyin hər iki hissəsini eyni p gücünə qaldıraq; alırıq:

Beləliklə ((1) və (2) bərabərliklərinə baxın),

Bu iki bərabərliyi müqayisə edərək belə nəticəyə gəlirik ki, x np = y np və deməli, isbat edilməli olan x = y.
Sübut edilmiş teorem 5-ci nümunəni həll edərkən yuxarıda qarşılaşdığımız problemi həll etməyə imkan verəcək, burada müxtəlif eksponentlərlə köklərin vurulması tələb olunurdu:

Adətən belə hallarda belə mübahisə edirlər.
1) İfadədəki 5-ci teoremə görə həm kök indeksini (yəni 2 rəqəmini), həm də kök ifadənin indeksini (yəni 1 rəqəmini) eyni natural ədədə vurmaq mümkündür. Bundan istifadə edərək hər iki göstəricini 3-ə vururuq; alırıq:
2) 5-ci teoremə görə, ifadədə həm kök indeksini (yəni 3 rəqəmini), həm də kök ifadənin indeksini (yəni 1 rəqəmini) eyni natural ədədə vurmaq mümkündür. Bundan istifadə edərək hər iki göstəricini 2-yə vururuq; alırıq:

3) Eyni 6-cı dərəcəli kökləri əldə etdiyimiz üçün onları çoxalda bilərik:

Qeyd 5. Bu paraqrafda müzakirə etdiyimiz köklərin bütün xassələrinin yalnız dəyişənlərin yalnız mənfi olmayan qiymətlər qəbul etdiyi halda nəzərdən keçirildiyini unutmusunuz? Niyə belə bir məhdudiyyət qoymalı oldunuz? Çünki mənfi ədədin n-ci kökü həmişə məna kəsb etmir – o, yalnız n-in tək qiymətləri üçün müəyyən edilir. mənfi radikal ifadələr.

A.G. Мордкович cəbr 10 sinif

Dərsin məzmunu dərsin xülasəsi dəstək çərçivə dərs təqdimatı sürətləndirici üsullar interaktiv texnologiyalar Təcrübə edin tapşırıqlar və məşğələlər özünü yoxlama seminarları, təlimlər, keyslər, kvestlər ev tapşırıqlarının müzakirəsi suallar tələbələrin ritorik sualları İllüstrasiyalar audio, video kliplər və multimedia fotoşəkillər, şəkillər qrafikası, cədvəllər, yumor sxemləri, lətifələr, zarafatlar, komikslər, məsəllər, məsəllər, krossvordlar, sitatlar Əlavələr referatlar məqalələr maraqlanan beşiklər üçün fişlər dərsliklər əsas və əlavə terminlər lüğəti digər Dərsliklərin və dərslərin təkmilləşdirilməsidərslikdəki səhvlərin düzəldilməsi dərslikdəki fraqmentin yenilənməsi dərsdə innovasiya elementləri köhnəlmiş biliklərin yeniləri ilə əvəz edilməsi Yalnız müəllimlər üçün mükəmməl dərslər il üçün təqvim planı müzakirə proqramının metodik tövsiyələri İnteqrasiya edilmiş Dərslər