Fərqləndirən zaman göstəricidir güc funksiyası və ya çətin kəsr ifadələri üçün loqarifmik törəmədən istifadə etmək rahatdır. Bu yazıda ətraflı həllər ilə onun tətbiqi nümunələrinə baxacağıq.
Əlavə təqdimat törəmələr cədvəlindən istifadə etmək bacarığını, diferensiasiya qaydalarını və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur haqqında bilikləri nəzərdə tutur.
Loqarifmik törəmə üçün düsturun törəməsi.
Əvvəlcə e bazasına loqarifmləri götürürük, loqarifmin xassələrindən istifadə edərək funksiyanın formasını sadələşdiririk və sonra üstüörtülü şəkildə göstərilən funksiyanın törəməsini tapırıq: 
Məsələn, x eksponensial güc funksiyasının x gücünə törəməsini tapaq.
Loqarifmlərin götürülməsi verir. Loqarifmin xassələrinə görə. Bərabərliyin hər iki tərəfini fərqləndirmək nəticəyə gətirib çıxarır: 
Cavab: 
.
Eyni nümunəni loqarifmik törəmədən istifadə etmədən də həll etmək olar. Siz bəzi transformasiyaları həyata keçirə və eksponensial güc funksiyasını diferensiallaşdırmaqdan törəməni tapmağa keçə bilərsiniz mürəkkəb funksiya:
Misal.
Funksiyanın törəməsini tapın 
.
Həll.
Bu nümunədə funksiya 
kəsrdir və onun törəməsi diferensiasiya qaydalarından istifadə etməklə tapıla bilər. Ancaq ifadənin çətinliyinə görə bu, bir çox transformasiya tələb edəcəkdir. Belə hallarda loqarifmik törəmə düsturundan istifadə etmək daha məqsədəuyğundur 
. Niyə? İndi başa düşəcəksən.
Əvvəlcə onu tapaq. Dönüşümlərdə loqarifmin xassələrindən (kəsirin loqarifmi) istifadə edəcəyik fərqə bərabərdir loqarifmlər və məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir və loqarifm işarəsi altındakı ifadənin dərəcəsi loqarifmin qarşısında bir əmsal kimi götürülə bilər): 
Bu çevrilmələr bizi kifayət qədər sadə bir ifadəyə apardı, onun törəməsini tapmaq asandır: 
Alınan nəticəni loqarifmik törəmə üçün düsturla əvəz edirik və cavabı alırıq:
Materialı birləşdirmək üçün ətraflı izahat vermədən daha bir neçə nümunə verəcəyik.
Misal.
Eksponensial güc funksiyasının törəməsini tapın 
Qoy
(1)
x dəyişəninin diferensiallanan funksiyasıdır. Birincisi, biz bunu y-nin müsbət qiymətlər qəbul etdiyi x dəyərlər toplusunda nəzərdən keçirəcəyik: . Aşağıda, əldə edilən bütün nəticələrin mənfi dəyərlər üçün də tətbiq olunduğunu göstərəcəyik.
Bəzi hallarda (1) funksiyasının törəməsini tapmaq üçün onu qabaqcadan loqarifm etmək rahatdır.
,
və sonra törəməni hesablayın. Sonra mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına uyğun olaraq,
.
Buradan
(2)
.
Funksiyanın loqarifminin törəməsi loqarifmik törəmə adlanır:
.
y = funksiyasının loqarifmik törəməsi f(x) bu funksiyanın natural loqarifminin törəməsidir: (ln f(x))'.
Mənfi y qiymətləri halı
İndi dəyişənin həm müsbət, həm də mənfi qiymətləri qəbul edə biləcəyi halı nəzərdən keçirin. Bu halda modulun loqarifmini götürün və onun törəməsini tapın:
.
Buradan
(3)
.
Yəni, ümumi halda, funksiyanın modulunun loqarifminin törəməsini tapmaq lazımdır.
(2) və (3) bəndlərini müqayisə etdikdə:
.
Yəni, loqarifmik törəmənin hesablanmasının formal nəticəsi modulu götürüb-götürməməyimizdən asılı deyil. Odur ki, loqarifmik törəməni hesablayarkən, funksiyanın hansı işarəyə malik olmasından narahat olmaq lazım deyil.
Bu vəziyyət kompleks ədədlərdən istifadə etməklə aydınlaşdırıla bilər. Bəzi x dəyərləri üçün mənfi olsun: . Yalnız həqiqi ədədləri nəzərə alsaq, funksiya qeyri-müəyyəndir. Ancaq nəzərə alsaq mürəkkəb ədədlər, onda aşağıdakıları alırıq:
.
Yəni funksiyalar və kompleks sabitlə fərqlənir:
.
Sabitin törəməsi sıfır olduğundan
.
Loqarifmik törəmənin xassəsi
Belə bir mülahizədən belə çıxır ki funksiyanı ixtiyari sabitə vursanız, loqarifmik törəmə dəyişməyəcək :
.
Həqiqətən, istifadə loqarifmin xassələri, düsturlar törəmə məbləğ Və sabitin törəməsi, bizdə:
.
Loqarifmik törəmənin tətbiqi
İlkin funksiyanın gücün hasilindən və ya eksponensial funksiyalardan ibarət olduğu hallarda loqarifmik törəmədən istifadə etmək rahatdır. Bu halda loqarifm əməliyyatı funksiyaların hasilini onların cəminə çevirir. Bu, törəmənin hesablanmasını asanlaşdırır.
Misal 1
Funksiyanın törəməsini tapın:
.
Həll
Orijinal funksiyanı loqarifm edək:
.
x dəyişəninə görə diferensiallayaq.
Törəmələr cədvəlində biz tapırıq:
.
Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik.
;
;
;
;
(A1.1) .
Çoxaldın:
.
Beləliklə, loqarifmik törəməni tapdıq:
.
Buradan orijinal funksiyanın törəməsini tapırıq:
.
Qeyd
Yalnız həqiqi ədədlərdən istifadə etmək istəyiriksə, onda orijinal funksiyanın modulunun loqarifmini götürməliyik:
.
Sonra
;
.
Və biz (A1.1) düsturu əldə etdik. Ona görə də nəticə dəyişməyib.
Cavab verin
Misal 2
Loqarifmik törəmədən istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapın
.
Həll
Loqarifmləri götürək:
(A2.1) .
x dəyişəninə görə fərqləndirin:
;
;
;
;
;
.
Çoxaldın:
.
Buradan loqarifmik törəməni alırıq:
.
Orijinal funksiyanın törəməsi:
.
Qeyd
Burada orijinal funksiya mənfi deyil: . -də müəyyən edilir. Əgər arqumentin mənfi qiymətləri üçün loqarifmin müəyyən edilə biləcəyini düşünməsək, (A2.1) düsturu aşağıdakı kimi yazılmalıdır:
.
Çünki
Və
,
bu son nəticəyə təsir etməyəcək.
Cavab verin
Misal 3
Törəməni tapın
.
Həll
Fərqləndirməni loqarifmik törəmə ilə həyata keçiririk. Bunu nəzərə alaraq loqarifmi götürək:
(A3.1) .
Fərqləndirməklə loqarifmik törəməni əldə edirik.
;
;
;
(A3.2) .
O vaxtdan bəri
.
Qeyd
Hesablamaları arqumentin mənfi dəyərləri üçün loqarifmin müəyyən edilə biləcəyini güman etmədən aparaq. Bunu etmək üçün orijinal funksiyanın modulunun loqarifmini götürün:
.
Onda (A3.1) əvəzinə bizdə:
;
.
(A3.2) ilə müqayisə etdikdə nəticənin dəyişmədiyini görürük.
Dərsin mövzusu: “Göstəricilərin diferensasiyası və loqarifmik funksiya. Antiderivativ eksponensial funksiya» UNT tapşırıqlarında
Hədəf : tələbələrin “Göstərici və loqarifmik funksiyaların diferensasiyası” mövzusunda nəzəri bilikləri tətbiq etmək bacarıqlarını inkişaf etdirmək. Eksponensial funksiyanın antitörəməsi” UNT məsələlərinin həlli üçün.
Tapşırıqlar
Təhsil: tələbələrin nəzəri biliklərini sistemləşdirmək, bu mövzuda problem həll etmək bacarıqlarını möhkəmləndirmək.
Təhsil: yaddaşı, müşahidəni inkişaf etdirmək, məntiqi təfəkkür, tələbələrin riyazi nitqi, diqqəti, özünə hörmət və özünə nəzarət bacarıqları.
Təhsil: töhfə:
tələbələrdə öyrənməyə məsuliyyətli münasibət formalaşdırmaq;
riyaziyyata davamlı marağın inkişafı;
müsbət yaradır daxili motivasiya riyaziyyat öyrənmək.
Tədris metodları: şifahi, vizual, praktiki.
İş formaları: fərdi, frontal, cüt-cüt.
Dərslər zamanı
Epiqraf: “Ağıl təkcə bilikdə deyil, həm də biliyi praktikada tətbiq etmək bacarığındadır” Aristotel (slayd 2)
I. Təşkilat vaxtı.
II. Krossvordun həlli. (slayd 3-21)
17-ci əsr fransız riyaziyyatçısı Pierre Fermat bu xətti "Nöqtənin kiçik bir qonşuluğunda əyriyə ən yaxın olan düz xətt" olaraq təyin etdi.
Tangens
y = log düsturu ilə verilən funksiya a x.
Loqarifmik
y = düsturu ilə verilən funksiya A X.
Göstərici
Riyaziyyatda bu anlayış hərəkət sürətini tapmaq üçün istifadə olunur. maddi nöqtə və verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalı.
törəmə
I intervaldan istənilən nöqtə üçün F"(x) =f(x) şərti ödənilirsə, f(x) funksiyası üçün F(x) funksiyası necə adlanır.
Antiderivativ
X-nin hər bir elementinin Y-nin tək elementi ilə əlaqəli olduğu X və Y arasındakı əlaqənin adı nədir.
yerdəyişmə törəməsi
Sürət
y = e x düsturu ilə verilən funksiya.
Sərgi iştirakçısı
Əgər f(x) funksiyası f(x)=g(t(x)) şəklində təqdim edilə bilərsə, bu funksiya... adlanır.
III. Riyazi diktə (slayd 22)
1. Göstərici funksiyanın törəməsinin düsturunu yazın. ( A x)" = A x ln a
2. Eksponensialın törəməsinin düsturunu yazın. (e x)" = e x
3. Natural loqarifmin törəməsinin düsturunu yazın. (ln x)"=
4. Loqarifmik funksiyanın törəməsinin düsturunu yazın. (log a x)"= 
5. f(x) = funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını yazın A X. F(x)= 
6. f(x) =, x≠0 funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını yazın. F(x)=ln|x|+C
İşinizi yoxlayın (cavablar 23-cü slaydda).
IV. UNT problemlərinin həlli (simulyator)
A) Lövhədə və dəftərdə №1,2,3,6,10,36 (slayd 24)
B) Cütlərlə iş № 19,28 (simulyator) (slayd 25-26)
V. 1. Səhvləri tapın: (slayd 27)
1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х
2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17
3) f(x)=log 5
(7x+1), f "(x)= 
4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)= 
.
VI. Tələbə təqdimatı.
Epiqraf: “Bilik elə qiymətli bir şeydir ki, onu heç bir mənbədən əldə etmək ayıb deyil” Tomas Aquinas (slayd 28)
VII. Ev tapşırığı No 19,20 s.116
VIII. Test (ehtiyat tapşırığı) (slayd 29-32)
IX. Dərsin xülasəsi.
“Əgər böyük bir həyata qatılmaq istəyirsinizsə, fürsətiniz olduğu müddətdə başınızı riyaziyyatla doldurun. Sonra o, ömrün boyu sənə böyük köməklik göstərəcək” M. Kalinin (slayd 33)
Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı
Eksponensial və loqarifmik funksiyaların diferensiallaşdırılması
Tərtib edən:
riyaziyyat müəllimi, Bələdiyyə Təhsil Müəssisəsi 203 saylı KhEC tam orta məktəb
Novosibirsk şəhəri
Vidutova T.V.
Nömrə e. Funksiya y = e x, onun xassələri, qrafiki, diferensiasiyası
1. Müxtəlif əsaslar üçün qrafiklər quraq: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2-ci seçim) (1-ci seçim) " width="640" Eksponensial funksiyanı nəzərdən keçirək y = a x, burada a 1-dir.
Müxtəlif bazalar üçün tikəcəyik A qrafika:
1. y=2 x
3. y=10 x
2. y=3 x
(Seçim 2)
(1 seçim)
1) Bütün qrafiklər (0; 1) nöqtəsindən keçir;
2) Bütün qrafiklərin üfüqi asimptotası var y = 0
saat X ∞;
3) Hamısı qabarıq şəkildə aşağıya baxır;
4) Onların hamısının bütün nöqtələrində tangensləri var.
Funksiyanın qrafikinə tangens çəkək y=2 x nöqtədə X= 0 və ox ilə tangensin yaratdığı bucağı ölçün X
Qrafiklərə toxunanların dəqiq konstruksiyalarından istifadə edərək, əgər əsas olduğunu görə bilərsiniz A eksponensial funksiya y = a x baza tədricən 2-dən 10-a qədər artır, sonra nöqtədəki funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq X= 0 və x oxu tədricən 35'-dən 66,5'-ə qədər artır.
Buna görə də bir səbəb var A, bunun üçün müvafiq bucaq 45'dir. Və mənası budur A 2 ilə 3 arasında bağlanır, çünki saat A= 2 bucaq 35'dir, ilə A= 3, 48-ə bərabərdir.
Riyazi analiz zamanı bu təməlin mövcud olduğu sübut edilir, adətən hərflə işarələnir. e.
Bunu müəyyən etdi e – irrasional ədəd, yəni sonsuz qeyri-dövri onluq kəsri təmsil edir:
e = 2,7182818284590… ;
Praktikada adətən belə güman edilir e ≈ 2,7.
Funksiya qrafiki və xassələri y = e x :
1) D(f) = (- ∞; + ∞);
3) artır;
4) yuxarıdan məhdud deyil, aşağıdan məhduddur
5) nə ən böyüyü, nə də kiçiyi yoxdur
dəyərlər;
6) davamlı;
7) E(f) = (0; + ∞);
8) aşağı qabarıq;
9) diferensiallaşan.
Funksiya y = e x çağırdı eksponent .
Riyazi analiz zamanı sübut edilmişdir ki, funksiya y = e x istənilən nöqtədə törəmə var X :
(e x ) = e x
(e 5x )" = 5e 5x
(e x-3 )" = e x-3
(e -4x+1 )" = -4е -4x-1
Misal 1 . x=1 nöqtəsindəki funksiyanın qrafikinə bir tangens çəkin.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = məsələn
Cavab:
Misal 2 .
x = 3.
Misal 3 .
Ekstremum funksiyasını yoxlayın
x=0 və x=-2
X= -2 – maksimum nöqtə
X= 0 – minimum nöqtə
Əgər loqarifmin əsası ədəddirsə e, sonra deyirlər ki, verilir təbii loqarifm . üçün təbii loqarifmlər xüsusi təyinat təqdim edildi ln (l – loqarifm, n – natural).
y = ln x funksiyasının qrafiki və xassələri
y = funksiyasının xassələri lnx:
1) D(f) = (0; + ∞);
2) nə cüt, nə də tək deyil;
3) (0; + ∞) artır;
4) məhdud deyil;
5) nə böyük, nə də ən kiçik qiymətlərə malikdir;
6) davamlı;
7) E(f) = (- ∞; + ∞);
8) qabarıq üst;
9) diferensiallaşan.
0 differensiasiya düsturu "width="640" etibarlıdır Riyazi analiz zamanı sübut olunur ki, istənilən qiymət üçün x0 fərqləndirmə düsturu etibarlıdır
Misal 4:
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini hesablayın x = -1.
Misal üçün:
İnternet resursları:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html