Faktorizasiya. Kvadrat trinomial. Kvadrat üçhəcmli düsturun çarpanlara ayrılması

ev » Müharibələrarası dövr Faktorizasiya. Kvadrat trinomial. Kvadrat üçhəcmli düsturun çarpanlara ayrılması

Plan - dərsin xülasəsi (MBOU "Chernomorskaya orta məktəb№2"

Müəllimin adı

Ponomarenko Vladislav Vadimoviç

Mövzu

Cəbr

Dərsin tarixi

19.09.2018

№ dərs

Sinif

Dərs mövzusu

(KTP-yə görə)

"Kvadrat trinomialın amillərə parçalanması"

məqsəd təyini

- təhsil: tələbələrə kvadrat üçhəcmini faktorlara ayırmağı öyrətmək, misallar həll edərkən kvadrat üçhəcmli faktorlara ayırma alqoritmini tətbiq etməyi öyrətmək, kvadrat üçhəcmli faktorlara ayırmaq üçün alqoritmdən istifadə edən GIA verilənlər bazasında tapşırıqları nəzərdən keçirmək.

- inkişaf edir: məktəblilərdə problemləri formalaşdırmaq, onların həlli yollarını təklif etmək bacarığını inkişaf etdirmək, məktəblilərin idrak obyektində əsas şeyi vurğulamaq bacarıqlarının inkişafına kömək etmək.

- təhsil: tələbələrə birgə fəaliyyətin dəyərini dərk etməyə kömək etmək, uşaqların özünü idarə etmək, özünü qiymətləndirmək və təhsil fəaliyyətini korreksiya etmək bacarıqlarının inkişafına kömək etmək.

Dərs növü

yeni biliklərin öyrənilməsi və ilkin konsolidasiyası.

Avadanlıq:

multimedia proyektoru, ekranı, kompüteri, didaktik material, dərsliklər, dəftərlər, təqdimatdərsə

Dərslər zamanı

1. Təşkilat vaxtı: müəllim şagirdləri salamlayır, dərsə hazırlığı yoxlayır.

Tələbələri həvəsləndirir:

Bu gün birgə fəaliyyət dərsində biz Poyanın sözlərini təsdiq edəcəyik (Slayd 1). ("Həll etdiyiniz problem çox təvazökar ola bilər, lakin bu sizin marağınıza meydan oxuyursa və onu özünüz həll edirsinizsə, onda siz edə bilərsiniz. zehnin gərginliyini açmağa və qələbə sevincindən həzz almağa aparan təcrübə.” Poya qapısı.)

Poya haqqında mesaj (Slayd 2)

Mən sizin marağınıza meydan oxumaq istəyirəm. GİA-nın tapşırığını nəzərdən keçirin. Funksiyanı tərtib edin .

Qələbə sevincini yaşayıb bu tapşırığı yerinə yetirə bilərikmi? (problemli vəziyyət).

Bu problemi necə həll etmək olar?

- Bu problemi həll etmək üçün fəaliyyət planını tərtib edin.

Dərs planını düzəldir, müstəqil iş prinsipini şərh edir.

Müstəqil iş(Sinifə müstəqil işin mətni olan vərəqələr paylayın) (Əlavə 1)

Müstəqil iş

Çoxaltmaq:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Fraksiyanı azaldın:

SlaydÖzünü yoxlamaq üçün cavablarla.

Sinif üçün sual:

Çoxhədli faktorlara ayırmaq üçün hansı üsullardan istifadə etmisiniz?

Bütün çoxhədliləri faktorlara ayıra bildinizmi?

Bütün fraksiyaları azaltmaq olarmı?

Problem 2:Slayd

Polinomu necə faktorlara ayırmaq olar

2 x 2 – 7 x – 4?

Kəsiri necə azaltmaq olar?

Frontal sorğu:

Polinomlar nədir

2 x 2 – 7 x– 4 vəx 2 – 5 x +6?

Kvadrat trinomial təyin edin.

Kvadrat trinomial haqqında nə bilirik?

Onun köklərini necə tapmaq olar?

Köklərin sayını nə müəyyənləşdirir?

Bu bilikləri bilmək üçün lazım olanlarla müqayisə edin və dərsin mövzusunu formalaşdırın. (Bundan sonra ekranda dərsin mövzusu göstərilir)Slayd

Dərsin məqsədini təyin edinSlayd

Gəlin son nəticəni görəkSlayd

Sinifə sual:Bu problemi necə həll etmək olar?

Sinif qruplarda işləyir.

Qruplar üçün tapşırıq:

mündəricatda istədiyiniz səhifəni tapın, əlində karandaşla 4-cü bəndi oxuyun, əsas fikri vurğulayın, istənilən kvadrat trinomialın faktorlara bölünə biləcəyi alqoritm tərtib edin.

Tapşırığın sinif tərəfindən yerinə yetirilməsini yoxlamaq (ön iş):

Nədir əsas fikir nöqtə 4?Slayd(ekranda kvadrat trinomialın faktorlara bölünməsi düsturu).

ekranda alqoritm.Slayd

1. Kvadrat üçhəcmini sıfıra bərabərləşdirin.

2. Diskriminantı tapın.

3. Kvadrat üçhəmin köklərini tapın.

4. Düsturda tapılan kökləri əvəz edin.

5. Lazım gələrsə, mötərizədə aparıcı əmsalı daxil edin.

Başqa biriaz problem : əgər D=0 olarsa, kvadrat üçhəcmini faktorlara ayırmaq olarmı və əgər belədirsə, necə?

(Tədqiqat işi qruplarda).

Slayd(ekranda:

Əgər D = 0 olarsa, onda
.

Kvadrat üçbucağın kökləri yoxdursa,

onda faktorlarla hesablana bilməz.)

Müstəqil işdə tapşırığa qayıdaq. İndi kvadrat trinomialları faktorlara ayıra bilərikmi?2 x 2 – 7 x– 4 vəx 2 – 5 x +6?

Sinif müstəqil işləyir, çoxalır, zəif şagirdlərlə fərdi işləyirəm.

Slayd(həll ilə)Qarşılıqlı yoxlama

Kəsiri azalda bilərikmi?

Kəsri azaldın, güclü şagirdi lövhəyə çağırıram.

Gəlin tapşırığa qayıdaqGIA-dan. İndi funksiyanın qrafikini çəkə bilərik?

Bu funksiyanın qrafiki nədir?

Dəftərinizdə funksiyanın qrafikini çəkin.

Test (ilemüstəqil iş)Əlavə 2

Özünü yoxlama və özünü qiymətləndirməŞagirdlərə vərəqələr (Əlavə 3) verilmişdir ki, orada onların cavablarını yazmaq lazımdır. Onlar qiymətləndirmə meyarlarını təqdim edirlər.

Qiymətləndirmə meyarı:

3 tapşırıq - qiymətləndirmə "4"

4 tapşırıq - qiymət "5"

Refleks:(slayd)

1. Bu gün dərsdə öyrəndim ...

2. Bu gün dərsdə təkrar etdim ...

3. Mən düzəltdim...

4. Bəyəndim...

5. Dərsdəki fəaliyyətə görə özümə qiymət verdim ...

6. Hansı iş növləri çətinliklərə səbəb oldu və təkrar tələb olunur ...

7. Nəzərdə tutulan nəticəyə nail olduqmu?

Slayd: Dərs üçün təşəkkür edirik!

Qoşma 1

Müstəqil iş

Çoxaltmaq:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Fraksiyanı azaldın:

Əlavə 2

Test

1 seçim

faktorizasiya?

x 2 - 8x+ 7;

x 2 - 8x+ 16 ;

x 2 - 8x+ 9;

x 2 - 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Cavab:_________ .

Fraksiyanı azaldın:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

başqa cavab.

Test

Seçim 2

Hansı kvadrat üçhəcmli p ola bilməzfaktorizasiya?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 -8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Bərabərlik əldə etmək üçün ellipsisin yerinə hansı çoxhədli əvəz edilməlidir:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Cavab:_________ .

Fraksiyanı azaldın:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

başqa cavab.

Əlavə 3

Cavabları yazın.

Qiymətləndirmə meyarı:

Düzgün yerinə yetirildi: tapşırıq 2 - qiymət "3"

3 tapşırıq - qiymətləndirmə "4"

4 tapşırıq - qiymət "5"

Tapşırıq nömrəsi 1

Tapşırıq nömrəsi 2

Tapşırıq nömrəsi 3

1 seçim

Seçim 2

Dünya çox sayda rəqəmə qərq olub. İstənilən hesablamalar onların köməyi ilə baş verir.

İnsanlar sonrakı həyatlarında aldatmamaq üçün rəqəmləri öyrənirlər. Təhsil almaq və öz büdcənizi hesablamaq üçün çoxlu vaxt sərf etmək lazımdır.

ilə təmasda

Riyaziyyat həyatda böyük rol oynayan dəqiq bir elmdir. Məktəbdə uşaqlar nömrələri öyrənirlər, sonra isə onların üzərində hərəkətlər edirlər.

Rəqəmlər üzərində hərəkətlər tamamilə fərqlidir: çarpma, genişləndirmə, əlavə və s. Riyaziyyatın öyrənilməsində sadə düsturlarla yanaşı daha mürəkkəb hərəkətlərdən də istifadə olunur. Hər hansı bir dəyərin məlum olduğu çox sayda düstur var.

Məktəbdə cəbr yaranan kimi şagirdin həyatına sadələşdirmə düsturları əlavə olunur. İki naməlum ədəd olduqda tənliklər var, ancaq tapın sadə şəkildə işləməyəcək. Trinomial, köməyi ilə üç monomialın birləşməsidir sadə üsulçıxma və əlavələr. Trinomial Vyeta teoremi və diskriminantdan istifadə etməklə həll edilir.

Kvadrat üçhəmin faktorlara bölünməsi düsturu

Nümunənin iki düzgün və sadə həlli var:

diskriminant;
Vyeta teoremi.

Kvadrat trinomialın naməlum kvadratı, eləcə də kvadratı olmayan ədədi var. Problemin həlli üçün ilk variant Vieta düsturundan istifadə edir. Sadə bir düsturdurəgər naməlumdan əvvəl gələn rəqəmlər minimum dəyər olacaq.

Ədədin naməlumun qarşısında olduğu digər tənliklər üçün tənlik diskriminant vasitəsilə həll edilməlidir. Bu daha mürəkkəb bir həlldir, lakin diskriminant Vyeta teoremindən daha çox istifadə olunur.

İlkin olaraq, tənliyin bütün dəyişənlərini tapmaq üçün misalı 0-a qaldırmaq lazımdır. Nümunənin həlli yoxlanıla və rəqəmlərin düzgün düzəldildiyini öyrənmək olar.

Diskriminant

1. Tənliyi 0-a bərabərləşdirmək lazımdır.

2. X-dən əvvəlki hər bir ədəd a, b, c rəqəmləri adlanacaq. Birinci x kvadratından əvvəl heç bir ədəd olmadığı üçün 1-ə bərabərdir.

3. İndi tənliyin həlli diskriminant vasitəsilə başlayır:

4. İndi diskriminantı tapdıq və iki x tapdıq. Fərq ondadır ki, bir halda b-dən əvvəl artı, digərində isə mənfi olacaq:

5. İki ədədi həll etməklə -2 və -1 oldu. Orijinal tənlik altında əvəz edin:

6. Bu nümunədə iki düzgün variant var. Hər iki həll düzgündürsə, onların hər biri doğrudur.

Daha mürəkkəb tənliklər də diskriminant vasitəsilə həll edilir. Ancaq diskriminantın qiyməti 0-dan kiçikdirsə, nümunə səhvdir. Axtarışda diskriminant həmişə kökün altındadır və mənfi qiymət kökdə ola bilməz.

Vyeta teoremi

O, asan məsələləri həll etmək üçün istifadə olunur, burada birinci x-dən əvvəl bir ədəd yoxdur, yəni a=1. Seçim uyğun gəlirsə, onda hesablama Vyeta teoremi ilə aparılır.

Hər hansı trinomial həll etmək üçün tənliyi 0-a qaldırmaq lazımdır. Diskriminant və Vyeta teoremi üçün ilk addımlar eynidir.

2. İndi iki üsul arasında fərqlər var. Vyeta teoremi təkcə “quru” hesablamadan deyil, həm də məntiq və intuisiyadan istifadə edir. Hər nömrənin öz a, b, c hərfi var. Teorem iki ədədin cəmi və hasilindən istifadə edir.

Unutma! b rəqəmi həmişə əks işarə ilə əlavə olunur və c rəqəmi dəyişməz qalır!

Nümunədə məlumat dəyərlərini əvəz etmək , alırıq:

3. Məntiq üsulundan istifadə edərək, ən uyğun ədədləri əvəz edirik. Bütün mümkün həll yollarını nəzərdən keçirin:

Rəqəmlər 1 və 2-dir. Əlavə etdikdə 3-ü alırıq, amma çoxalsaq, 4-ü almırıq. Uyğun deyil.
Dəyər 2 və -2. Çoxaldıqda -4 olacaq, amma əlavə etdikdə 0 çıxır. Uyğun deyil.
4 və -1 rəqəmləri. Çarpma mənfi dəyərdən ibarət olduğundan, bu rəqəmlərdən birinin mənfi olacağını bildirir. Əlavə və vurma üçün uyğundur. Düzgün seçim.

4. Yalnız yoxlamaq, nömrələri yerləşdirmək və seçilmiş variantın düzgün olub olmadığını görmək qalır.

5. Onlayn yoxlama sayəsində biz öyrəndik ki, -1 nümunənin şərti ilə uyğun gəlmir, bu da səhv həll olduğunu göstərir.

Nümunədə mənfi qiymət əlavə edərkən rəqəmi mötərizədə yazmalısınız.

Riyaziyyatda həmişə olacaq sadə tapşırıqlar və kompleks. Elmin özünə müxtəlif problemlər, teoremlər və düsturlar daxildir. Bilikləri başa düşsəniz və düzgün tətbiq etsəniz, hesablamalarla bağlı hər hansı bir çətinlik əhəmiyyətsiz olacaqdır.

Riyaziyyatın daimi yaddaşa ehtiyacı yoxdur. Həll yolunu başa düşməyi və bir neçə formul öyrənməyi öyrənməlisiniz. Tədricən, tərəfindən məntiqi nəticələr, oxşar məsələləri, tənlikləri həll edə bilərsiniz. Belə bir elm ilk baxışda çox çətin görünə bilər, amma rəqəmlər və tapşırıqlar dünyasına qərq olsa, o zaman baxış yaxşılığa doğru kəskin şəkildə dəyişəcək.

Texniki ixtisaslar həmişə dünyada ən çox axtarılan olaraq qalır. İndi dünyada müasir texnologiyalar Riyaziyyat istənilən sahənin əvəzsiz atributuna çevrilib. Riyaziyyatın faydalı xüsusiyyətlərini həmişə yadda saxlamaq lazımdır.

Mötərizədə trinomialın parçalanması

Adi yollarla həll etməklə yanaşı, başqa biri də var - mötərizədə parçalanma. Vyeta düsturu ilə istifadə olunur.

1. Tənliyi 0-a bərabərləşdirin.

balta 2 + bx+ c= 0

2. Tənliyin kökləri eyni qalır, lakin onlar artıq sıfır əvəzinə mötərizənin genişləndirilməsi düsturlarından istifadə edirlər.

balta 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Həlli x=-1, x=3

Bu dərsdə kvadrat üçhəcmlilərin xətti amillərə necə parçalanacağını öyrənəcəyik. Bunun üçün Vyeta teoremini və onun tərsini xatırlatmaq lazımdır. Bu bacarıq bizə kvadrat trinomialları xətti amillərə tez və rahat şəkildə parçalamağa kömək edəcək, həmçinin ifadələrdən ibarət fraksiyaların azaldılmasını sadələşdirəcəkdir.

Beləliklə, kvadrat tənliyə qayıdaq, burada.

Sol tərəfdə olanımız kvadrat trinomial adlanır.

Teorem doğrudur: Kvadrat trinomialın kökləridirsə, eynilik doğrudur

Aparıcı əmsal haradadır, tənliyin kökləridir.

Beləliklə, kvadrat tənliyimiz var - köklərin olduğu kvadrat trinomial kvadrat tənlik kvadrat trinomialın kökləri də adlanır. Buna görə də, əgər kvadrat üçhəmin kökləri varsa, onda bu üçbucaq xətti amillərə parçalanır.

Sübut:

Bu faktın sübutu əvvəlki dərslərdə nəzərdən keçirdiyimiz Vyeta teoremindən istifadə etməklə həyata keçirilir.

Vyeta teoreminin bizə nə dediyini xatırlayaq:

Kvadrat trinomialın kökləri varsa, onda .

Bu teorem aşağıdakı təsdiqi nəzərdə tutur ki, .

Görürük ki, Vyeta teoreminə görə, yəni bu dəyərləri yuxarıdakı düsturla əvəz etdikdə aşağıdakı ifadəni alırıq.

Q.E.D.

Yada salaq ki, biz teoremi sübut etdik ki, kvadrat üçhəmin kökləridirsə, onda parçalanma etibarlıdır.

İndi Vyeta teoremindən istifadə edərək kökləri seçdiyimiz kvadrat tənlik nümunəsini xatırlayaq. Bu faktdan sübut edilmiş teorem sayəsində aşağıdakı bərabərliyi əldə edə bilərik:

İndi sadəcə mötərizələri genişləndirməklə bu faktın düzgünlüyünü yoxlayaq:

Görürük ki, biz düzgün çarpanlara ayırmışıq və hər hansı üçhəcmli, əgər kökləri varsa, bu teoremə görə düstura görə xətti amillərə bölünə bilər.

Bununla belə, hər hansı bir tənlik üçün belə bir faktorizasiyanın mümkün olub olmadığını yoxlayaq:

Məsələn, tənliyi götürək. Əvvəlcə diskriminantın işarəsini yoxlayaq

Və xatırlayırıq ki, öyrəndiyimiz teoremi yerinə yetirmək üçün D 0-dan böyük olmalıdır, ona görə də bu halda öyrənilən teoremə görə faktorlara ayırmaq mümkün deyil.

Buna görə də biz yeni bir teorem tərtib edirik: əgər kvadrat üçhəmin kökləri yoxdursa, o zaman xətti amillərə parçalana bilməz.

Beləliklə, biz Vyeta teoremini, kvadrat trinomialın xətti amillərə parçalanma imkanını nəzərdən keçirdik və indi bir neçə məsələni həll edəcəyik.

Tapşırıq №1

Bu qrupda biz əslində qoyulan problemin tərsinə həll edəcəyik. Bizdə bir tənlik var idi və biz onun köklərini faktorlara parçalayaraq tapdıq. Burada əksini edəcəyik. Tutaq ki, kvadrat tənliyin kökləri var

Tərs məsələ belədir: kvadrat tənlik yazın ki, onun kökləri olsun.

Bu problemi həll etməyin 2 yolu var.

Tənliyin kökləri olduğu üçün kökləri ədədlər verilmiş kvadrat tənlikdir. İndi mötərizələri açıb yoxlayaq:

Bu, hər hansı kvadrat tənliyin ən çoxu iki kökə malik olduğu üçün verilmiş köklərlə başqa heç bir kökü olmayan kvadrat tənliyi yaratmağımızın ilk yolu idi.

Bu üsul istifadəni əhatə edir tərs teorem Vyeta.

Əgər tənliyin kökləridirsə, onda onlar şərti ödəyirlər ki.

Aşağı salınmış kvadrat tənlik üçün , , yəni bu halda və .

Beləliklə, verilmiş kökləri olan kvadrat tənlik yaratdıq.

Tapşırıq №2

Fraksiyanı azaltmaq lazımdır.

Bizdə sayda üçhəcmli, məxrəcdə üçbucaq var və üçbucaqlar faktorlara bölünə də, olmaya da bilər. Əgər həm pay, həm də məxrəc faktorlara bölünürsə, onda onların arasında azaldıla bilən bərabər amillər ola bilər.

İlk növbədə, payı faktorlara ayırmaq lazımdır.

Əvvəlcə bu tənliyin faktorlara bölünə biləcəyini yoxlamaq, diskriminantı tapmaq lazımdır. Çünki , onda işarə hasildən asılıdır ( 0-dan kiçik olmalıdır), bu misalda , yəni verilmiş tənliyin kökləri var.

Həll etmək üçün Vieta teoremindən istifadə edirik:

Bu vəziyyətdə, köklərlə məşğul olduğumuz üçün, sadəcə kökləri götürmək olduqca çətin olacaq. Amma görürük ki, əmsallar tarazlaşdırılıb, yəni ki, qəbul etsək və bu qiyməti tənliyə əvəz etsək, aşağıdakı sistem alınır: yəni 5-5=0. Beləliklə, biz bu kvadrat tənliyin köklərindən birini seçmişik.

Artıq məlum olanı tənliklər sisteminə əvəz etməklə ikinci kök axtaracağıq, məsələn, , yəni. .

Beləliklə, kvadrat tənliyin hər iki kökünü tapdıq və onların dəyərlərini faktorlarla orijinal tənliyə əvəz edə bilərik:

İlkin problemi xatırlayın, kəsri azaltmaq lazım idi.

Gəlin məsələni say əvəzinə əvəz etməklə həll etməyə çalışaq.

Unutmamaq lazımdır ki, bu halda məxrəc 0-a bərabər ola bilməz, yəni.

Əgər bu şərtlər yerinə yetirilirsə, onda biz orijinal kəsri formaya salmışıq.

Tapşırıq №3 (parametrli tapşırıq)

Parametrin hansı dəyərlərində kvadrat tənliyin köklərinin cəmidir

Bu tənliyin kökləri varsa, o zaman , sual nə vaxtdır.

Kvadrat trinomialın faktorlaşdırılması C3 məsələsindən və ya C5 parametri ilə bağlı məsələdən bərabərsizlikləri həll edərkən faydalı ola bilər. Həmçinin, Vyeta teoremini bilsəniz, bir çox B13 söz problemi daha sürətli həll olunacaq.

Bu teorem, təbii ki, ilk keçdiyi 8-ci sinif mövqeyindən də nəzərdən keçirilə bilər. Ancaq bizim vəzifəmiz imtahana yaxşı hazırlaşmaq və imtahan tapşırıqlarını mümkün qədər səmərəli şəkildə həll etməyi öyrənməkdir. Buna görə də, bu dərsdə yanaşma məktəbdəkindən bir qədər fərqlidir.

Vyeta teoreminə görə tənliyin kökləri üçün düsturçoxlarını bilirik (və ya heç olmasa görmüşəm):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

burada `a, b` və `c` kvadrat üçhəcmli `ax^2+bx+c` əmsallarıdır.

Teoremdən asanlıqla istifadə etməyi öyrənmək üçün onun haradan gəldiyini anlayaq (bu şəkildə yadda saxlamaq həqiqətən asan olacaq).

`ax^2+ bx+ c = 0` tənliyini əldə edək. Əlavə rahatlıq üçün onu `a`-a bölürük və `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` alırıq. Belə bir tənlik azaldılmış kvadrat tənlik adlanır.

Əhəmiyyətli dərs nöqtələri: kökləri olan istənilən kvadrat çoxhədli mötərizələrə parçalana bilər. Tutaq ki, bizimki `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` kimi göstərilə bilər, burada `k` və `l` - bəzi sabitlər.

Mötərizənin necə açıldığını görək:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Beləliklə, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Bu klassik təfsirdən bir qədər fərqlidir Vyeta teoremləri- onda biz tənliyin köklərini axtarırıq. şərtləri axtarmağı təklif edirəm mötərizə genişlənmələri- buna görə də düsturdan mənfi cəhətləri xatırlamağa ehtiyac yoxdur (`x_1+x_2 = -\frac(b)(a)` deməkdir). Cəmi orta əmsala, məhsul isə sərbəst müddətə bərabər olan iki belə ədədi seçmək kifayətdir.

Əgər tənliyin həllinə ehtiyacımız varsa, o zaman aydındır: köklər `x=-k` və ya `x=-l` (bu hallarda mötərizələrdən biri sıfıra təyin olunduğundan, bu o deməkdir ki, bütün ifadə sıfıra bərabər olsun).

Məsələn, mən alqoritmi göstərəcəyəm, kvadrat polinomu mötərizələrə necə parçalamaq olar.

Bir misal. Kvadrat trinomialın faktorinqi üçün alqoritm

Bizdə olan yol `x^2+5x+4` kvadrat trinomialdır.

O, azaldılır (`x^2` əmsalı birinə bərabərdir). Onun kökləri var. (Əmin olmaq üçün diskriminantı təxmin edə və onun sıfırdan böyük olduğuna əmin ola bilərsiniz.)

Əlavə addımlar (bütün təlim tapşırıqlarını yerinə yetirməklə öyrənilməlidir):

Aşağıdakı qeydi edin: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Nöqtələr yerinə boş yer buraxın, biz ora uyğun rəqəmlər və işarələr əlavə edəcəyik.
Hamısına baxın mümkün variantlar'4' rəqəmini iki ədədin hasilinə necə parçalaya bilərsiniz. Tənliyin kökləri üçün "namizəd" cütlərini alırıq: `2, 2` və `1, 4`.
Hansı cütdən orta əmsalı ala biləcəyinizi təxmin edin. Aydındır ki, '1, 4'dür.
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ yazın.
Növbəti addım daxil edilmiş nömrələrin qarşısında işarələr qoymaqdır.
Mötərizədə olan rəqəmlərin qarşısında hansı işarələrin olması lazım olduğunu necə başa düşmək və əbədi xatırlamaq olar? Onları genişləndirməyə çalışın (mötərizələr). Birinci gücə `x`-dən əvvəlki əmsal `(± 4 ± 1)` olacaq (hələ işarələri bilmirik - seçmək lazımdır) və o, `5`-ə bərabər olmalıdır. Aydındır ki, burada iki müsbət cəhət olacaq $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Bu əməliyyatı bir neçə dəfə edin (salam təlim tapşırıqları!) Və daha çox problemlər bu heç vaxt olmayacaq.

Əgər `x^2+5x+4` tənliyini həll etmək lazımdırsa, indi onun həlli çətin deyil. Onun kökləri `-4, -1`-dir.

İkinci misal. Fərqli işarəli əmsallı kvadrat üçhəmin faktorlaşdırılması

`x^2-x-2=0` tənliyini həll etməliyik. Əlbətdə ki, diskriminant müsbətdir.

Alqoritmə əməl edirik.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2-nin yalnız bir tam faktorizasiyası var: `2 · 1`.
Nöqtəni atlayırıq - seçmək üçün heç bir şey yoxdur.
$$x^2-x-2=(x \dörd 2) (x \dörd 1).$$
Rəqəmlərimizin hasili mənfidir (`-2` sərbəst termindir), bu o deməkdir ki, onlardan biri mənfi, digəri isə müsbət olacaqdır.
Onların cəmi `-1` (`x` əmsalı) bərabər olduğundan, `2` mənfi olacaq (intuitiv izahat - iki iki ədəddən böyükdür, daha güclü şəkildə "çəkəcək" mənfi tərəfi). $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) alırıq.$$

Üçüncü misal. Kvadrat trinomialın faktorlaşdırılması

`x^2+5x -84 = 0` tənliyi.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84-ün tam ədədlərə bölünməsi: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Bizə ədədlərin fərqinin (və ya cəminin) 5 olması lazım olduğundan, `7, 12` cütü bunu edəcək.
$$x+ 5x-84=(x\dörd 12) (x \dörd 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Ümid, bu kvadrat trinomialın mötərizələrə parçalanması aydın.

Əgər tənliyin həllinə ehtiyacınız varsa, o zaman budur: `12, -7`.

Təlim üçün tapşırıqlar

Burada asan olan bir neçə nümunə var Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll edilir.(Riyaziyyatdan götürülmüş nümunələr, 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Məqalə yazıldıqdan bir neçə il sonra 150 parçalanma tapşırığından ibarət toplu ortaya çıxdı kvadrat polinom Vyeta teoremi ilə.

Bəyənin və şərhlərdə suallar verin!

Beləliklə, kvadrat tənliyə qayıdaq, burada.

Sol tərəfdə olanımız kvadrat trinomial adlanır.

Teorem doğrudur: Kvadrat trinomialın kökləridirsə, eynilik doğrudur

Aparıcı əmsal haradadır, tənliyin kökləridir.

Deməli, bizdə kvadrat tənlik - kvadrat üçhəcmli var, burada kvadrat tənliyin kökləri kvadrat üçhəmin kökləri də adlanır. Buna görə də, əgər kvadrat üçhəmin kökləri varsa, onda bu üçbucaq xətti amillərə parçalanır.