Dərsin mövzusu: Məhsulun, nisbətin və gücün gücünə yüksəltmək
Dərsin növü: Biliyin ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi dərsi
Yaradılmış nəticələr:
Mövzu. Təbii göstəricilərlə dərəcələrin xassələrindən istifadə bacarıqlarını gücləndirin
Şəxsi. Təhsil tapşırığına uyğun olaraq hərəkətlərinizi planlaşdırmaq bacarığını inkişaf etdirin
Meta mövzu. İnkişaf cəbri reseptlərin mahiyyətini dərk etmək və təklif olunan alqoritmə uyğun hərəkət etmək bacarığı
Gözlənilən nəticələr: Şagirdlər ifadələrin mənasını hesablamaq və tərkibində göstəriciləri olan ifadələri çevirmək üçün təbii göstəriciləri olan göstəricilərin xassələrindən istifadə etməyi öyrənəcəklər.
Avadanlıq: kartlar, multimedia proyektoru, əks etdirmək üçün siqnal kartları.
Dərsin təşkilati quruluşu:
1 . Təşkilat vaxtı.
Salam, əziz uşaqlar! Sizi görməyimə çox şadam. Riyaziyyat dərsinə başlayaq
Tapşırığı yerinə yetirərkən hansı çətinliklərlə üzləşdiniz?
Refleksiya.
Hər şagirdin qarşısında üç rəngli kupalar var: qırmızı, yaşıl, mavi.
Rəngli dairələrdən istifadə edərək əhvalınızdan danışın (qırmızı– sevincli, dərsdə çoxlu yeni şeylər öyrənəcəyimə əminəm, biliyimə arxayınam.
Yaşıl -sakit; Biliyimə arxayınam.
Mavi- həyəcan verici; Özümdən əmin deyiləm).
Puassonun sözləri ilə sizi bir az da sevindirəcəyəm: “Həyatı iki şey bəzəyir: riyaziyyatla məşğul olmaq və onu öyrətmək”.
Gəlin həyatımızı bəzəək!
2. Dərsin mövzusu və məqsədinin ifadəsi.
Bu gün mövzunu öyrənməyə davam edəcəyik: "Kəmsalın və dərəcənin hasilinin eksponentasiyası",
bütün öyrənilən hərəkətləri dərəcələrlə birləşdirəcəyik,
Düşünməyi, məntiqli düşünməyi və öz nöqteyi-nəzərimizi sübut etməyi öyrənəcəyik.
3. Mövzunun qaydalarına uyğun olaraq blits-sorğu.
Gücləri eyni əsaslarla necə çoxaltmaq olar? Nümunələr verin.
Eyni əsaslarla dərəcələri necə bölmək olar?
Göstərici sıfır olan 0-a bərabər olmayan a ədədinin gücü nə qədərdir?
Bir məhsulu gücə necə qaldırmaq olar?
Bir dərəcəni gücə necə yüksəltmək olar?
4. Şifahi hesablama.
Bu sözlər kimə məxsusdur?
“İnsana təbiət qanunlarını dərk etməyə yol açan bütün elmlər arasında ən güclü, ən böyük elm riyaziyyatdır”.
/Sofya Vasilevna Kovalevskaya/
İlk qadın riyaziyyatçıdır.
Zehni hesablama tapşırıqlarını yerinə yetirərək öyrənəcəksiniz.
K – Sahəsi 49 sm-dirsə, kvadratın tərəfi neçədir 2. (7 sm)
O – Hansı ədədin kvadratı bərabərdir? ()
B – x 3 x 4 (x 7)
A - x 6 : x 2 (x 4)
L – (x 3) 3 (x 9)
E - 
(m 3
)
IN - 
(m 8
)
İLƏ - 
(m 10
)
K – (- 2) 3 (-8)
A - - 2 2 (-4)
I - 2 0 (1)
5. Öyrənilənlərin konsolidasiyası.
Məhsulu bir gücə, bir gücə gücə yüksəltmək qaydalarını təkrarladıq.
İndi praktiki tapşırıqlara diqqət yetirək.
Bir neçə nəfər qayğı göstərəcəktədqiqat. (Slayd)
Cüt işləmək.
1) Qarşılıqlı ədədlərin kvadratlarının bərabər olduğunu sübut edin.
2) Qarşılıqlı ədədlərin kublarının əks olduğunu sübut edin.
3) Kvadratın tərəfi ikiqat artırsa, onun sahəsi necə dəyişəcək; 3 dəfə; 10 dəfə; n dəfə?
4) Kənarını iki dəfə artırdıqda kubun həcmi necə dəyişəcək; 3 dəfə; 10 dəfə; n dəfə?
6. Refeksiya: əhvalını mənə göstər.
7. Fiziki məşq: “Razıyam - razı deyiləm”
Mənimlə razılaşırsınızsa, yoxsa başınızı bulayın.
1) (y 2) 3 = y 5 (yox)
2) (-3) 3 = -27 (bəli)
3) (-x) 2 = -x 2 (yox)
4) y = 1.3x funksiyasının qrafiki başlanğıcdan keçir. (Bəli)
8.
3 · () 2 – 0,5 2
a) -1; b) - 1 
; 1-də 
; d) 1 
2) ifadəni sadələşdirin: 
a) m 10; b) m 4 ; c) m 2; d) m 8.
3) Hesablayın: 
A) 3; b) 9; c) : d)
4) Şəxsiyyəti əldə etmək üçün (*) yerinə hansı ifadəni əvəz etmək lazımdır:
X 8 : (*) = x 4
A) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12
Slayd testinin yoxlanılması:
9. Gəlin "Səhv tapın!"
1) 15 : a 3 = a 5
2) –z · z 5 · z 0 = - z 6 - düz
3) 
=
4)(y 4 y) 2 = y 10 - doğrudur
Səhv tapşırıqları yazın və onları düzgün həll edin.
10. Dərsin xülasəsi.
Dərsdə nə öyrəndiniz?
11. D/z
№ 458, 457 (slayd)
S.V haqqında hesabatlar. Kovalevskaya.
12. Refeksiya.
Dərsdən çıxanda necə hiss etdiyinizi mənə göstərin?
Slayd: Uğurlar!
FI:Müstəqil iş. (test)
1) İfadənin mənasını tapın:
3· () 2 – 0,5 2
a) -1; b) - 1 ; 1-də ; d) 1
2) ifadəni sadələşdirin:
a) m 10; b) m 4 ; c) m 2; d) m 8.
3) Hesablayın:
a) 3; b) 9; c) : d)
4) Şəxsiyyəti əldə etmək üçün (*) yerinə hansı ifadəni əvəz etmək lazımdır:
x 8 : (*) = x 4
a) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12
Sinif:
Müstəqil iş. (test)
1) İfadənin mənasını tapın:
3· () 2 – 0,5 2
a) -1; b) - 1 ; 1-də ; d) 1
2) ifadəni sadələşdirin:
Səkkizinci gücə məhəl qoymasaq, burada nə görürük? 7-ci sinif proqramını xatırlayaq. Yaxşı, xatırlayırsan? Bu, qısaldılmış vurmanın, yəni kvadratların fərqinin düsturudur! Biz əldə edirik:
Gəlin məxrəcə diqqətlə baxaq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin ardıcıllığı səhvdir. Əgər onlar geri çəkilsəydi, qayda tətbiq oluna bilərdi.
Amma bunu necə etmək olar? Məlum oldu ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.
Sehrli şəkildə terminlər yerini dəyişdi. Bu “fenomen” bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: mötərizədəki işarələri asanlıqla dəyişə bilərik.
Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: bütün əlamətlər eyni anda dəyişir!
Nümunəyə qayıdaq:
Və yenə formula:
Bütöv natural ədədlər, onların əksləri (yəni " " işarəsi ilə götürülən) və ədədi adlandırırıq.
müsbət tam ədəd, və təbiidən fərqlənmir, onda hər şey əvvəlki hissədə olduğu kimi görünür.
İndi gəlin yeni hallara baxaq. bərabər göstərici ilə başlayaq.
Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir:
Həmişə olduğu kimi, gəlin özümüzdən soruşaq: niyə belədir?
Baza ilə müəyyən dərəcəni nəzərdən keçirək. Məsələn, götürün və çarpın:
Beləliklə, rəqəmi vurduq və olduğu kimi eyni şeyi aldıq - . Heç bir şey dəyişməməsi üçün hansı rəqəmə vurmaq lazımdır? Düzdü, davam. deməkdir.
Eyni şeyi ixtiyari bir nömrə ilə edə bilərik:
Qaydanı təkrarlayaq:
Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir.
Ancaq bir çox qaydaların istisnaları var. Və burada da var - bu bir nömrədir (əsas kimi).
Bir tərəfdən istənilən dərəcəyə bərabər olmalıdır - sıfırı özünə nə qədər vursan da, yenə də sıfır alacaqsan, bu aydındır. Ancaq digər tərəfdən, sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd kimi, bərabər olmalıdır. Bəs bu nə dərəcədə doğrudur? Riyaziyyatçılar işə qarışmamağa qərar verdilər və sıfırı sıfıra yüksəltməkdən imtina etdilər. Yəni, indi biz nəinki sıfıra bölmək, hətta onu sıfır dərəcəsinə qaldıra bilmərik.
Gəlin davam edək. Natural ədədlər və ədədlərlə yanaşı, tam ədədlərə mənfi ədədlər də daxildir. Mənfi gücün nə olduğunu başa düşmək üçün son dəfəki kimi edək: bəzi normal ədədi eyni ədədlə mənfi gücə çarpın:
Buradan axtardığınızı ifadə etmək asandır:
İndi nəticədə yaranan qaydanı ixtiyari dərəcədə genişləndirək:
Beləliklə, bir qayda tərtib edək:
Mənfi qüvvəyə malik olan ədəd, müsbət qüvvəyə malik eyni ədədin əksidir. Amma eyni zamanda Baza null ola bilməz:(çünki bölmək mümkün deyil).
Ümumiləşdirək:
I. İfadə halda müəyyən edilməyib. Əgər, onda.
II. Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd birə bərabərdir: .
III. Mənfi qüvvəyə sıfıra bərabər olmayan ədəd eyni ədədin müsbət dərəcəsinə tərsidir: .
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar:
Yaxşı, həmişəki kimi, nümunələr müstəqil qərar:
Müstəqil həll üçün problemlərin təhlili:
Bilirəm, bilirəm, rəqəmlər qorxuludur, amma Vahid Dövlət İmtahanında hər şeyə hazır olmalısan! Bu misalları həll edin və ya həll edə bilmədiyiniz halda həll yollarını təhlil edin və imtahanda onların öhdəsindən asanlıqla gəlməyi öyrənəcəksiniz!
Gəlin eksponent kimi “uyğun” ədədlərin diapazonunu genişləndirməyə davam edək.
İndi düşünək rasional ədədlər. Hansı ədədlərə rasional deyilir?
Cavab: kəsr kimi göstərilə bilən hər şey, burada və tam ədədlərdir və.
Bunun nə olduğunu başa düşmək üçün "kəsir dərəcə", kəsri nəzərə alın:
Tənliyin hər iki tərəfini gücə qaldıraq:
İndi haqqında qaydanı xatırlayaq "dərəcədən dərəcəyə":
Bir güc əldə etmək üçün hansı rəqəmi artırmaq lazımdır?
Bu düstur ci dərəcəli kökün tərifidir.
Nəzərinizə çatdırım: ədədin () ci gücünün kökü bir gücə qaldırıldıqda ona bərabər olan ədəddir.
Yəni, ci gücün kökü bir gücə yüksəltmənin tərs əməliyyatıdır: .
Belə çıxır ki. Aydındır ki, bu xüsusi işi genişləndirmək olar: .
İndi rəqəmi əlavə edirik: bu nədir? Cavabı gücdən-güc qaydasından istifadə etməklə əldə etmək asandır:
Amma əsas hər hansı bir rəqəm ola bilərmi? Axı bütün rəqəmlərdən kök çıxarmaq olmaz.
Heç biri!
Qaydanı xatırlayaq: cüt gücə qaldırılan hər hansı bir ədəd müsbət ədəddir. Yəni mənfi ədədlərdən hətta kök çıxarmaq mümkün deyil!
Bu o deməkdir ki, belə ədədlər cüt məxrəcli kəsr dərəcəsinə qaldırıla bilməz, yəni ifadənin mənası yoxdur.
Bəs ifadə?
Ancaq burada bir problem yaranır.
Nömrə digər, azaldıla bilən fraksiyalar şəklində təmsil oluna bilər, məsələn, və ya.
Və məlum olur ki, o, mövcuddur, lakin yoxdur, lakin bunlar eyni sayda iki fərqli qeyddir.
Və ya başqa bir misal: bir dəfə, sonra yaza bilərsiniz. Amma göstəricini başqa cür yazsaq, yenə bəlaya düşəcəyik: (yəni tamam başqa nəticə əldə etdik!).
Bu cür paradoksların qarşısını almaq üçün düşünürük yalnız kəsr göstəricisi olan müsbət əsas göstərici.
Beləliklə əgər:
- — natural ədəd;
- - tam;
Nümunələr:
Rasional eksponentlər ifadələri köklərlə çevirmək üçün çox faydalıdır, məsələn:
Təcrübə üçün 5 nümunə
Təlim üçün 5 nümunənin təhlili
1. Dərəcələrin adi xüsusiyyətlərini unutma:
2.. Burada dərəcələr cədvəlini öyrənməyi unutduğumuzu xatırlayırıq:
hər şeydən sonra - bu və ya. Həll avtomatik olaraq tapılır: .
Yaxşı, indi ən çətin hissəsi gəlir. İndi biz bunu anlayacağıq irrasional göstərici ilə dərəcə.
Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri istisna olmaqla, rasional göstəricisi olan dərəcə ilə eynidir.
Axı, tərifinə görə irrasional ədədlər- bunlar kəsr kimi göstərilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni irrasional ədədlər rasionallardan başqa bütün həqiqi ədədlərdir).
Təbii, tam və rasional eksponentlərlə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaratdıq.
Məsələn, təbii göstəricili dərəcə özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir;
...nömrəni sıfırın gücünə qədər- bu, sanki bir dəfə özünə vurulan bir ədəddir, yəni onlar hələ onu çoxaltmağa başlamamışlar, yəni rəqəmin özü də hələ görünməyib - buna görə də nəticə yalnız müəyyən bir "boş nömrə" dir. , yəni nömrə;
...mənfi tam dərəcə- sanki hansısa “əks proses” baş verib, yəni ədəd öz-özünə vurulmayıb, bölünüb.
Yeri gəlmişkən, elmdə mürəkkəb göstəricili dərəcədən tez-tez istifadə olunur, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil.
Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq.
GEDƏCƏYİNİZƏ ƏMİN OLDUĞUZ HARƏ! (belə misalları həll etməyi öyrənsəniz :))
Misal üçün:
Özünüz üçün qərar verin:
Həlllərin təhlili:
1. Gücü gücə yüksəltmək üçün adi qayda ilə başlayaq:
İndi göstəriciyə baxın. O sizə heç nəyi xatırlatmır? Kvadratların fərqinin qısaldılmış vurulması düsturunu xatırlayaq:
Bu halda,
Belə çıxır ki:
Cavab: .
2. Göstəricilərdə kəsrləri eyni formaya endiririk: ya hər iki onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq:
Cavab: 16
3. Xüsusi bir şey yoxdur, biz dərəcələrin adi xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:
ƏTRAFLI SƏVİYYƏ
Dərəcənin təyini
Dərəcə formasının ifadəsidir: , burada:
- — dərəcə bazası;
- - eksponent.
Təbii göstərici ilə dərəcə (n = 1, 2, 3,...)
Nömrəni artırın təbii dərəcə n ədədi özünə vurmaq deməkdir:
Tam eksponentli dərəcə (0, ±1, ±2,...)
Göstərici olarsa müsbət tam ədəd nömrə:
Tikinti sıfır dərəcəyə qədər:
İfadə qeyri-müəyyəndir, çünki bir tərəfdən istənilən dərəcədə bu, digər tərəfdən isə ci dərəcəyə qədər istənilən ədəd budur.
Göstərici olarsa mənfi tam ədəd nömrə:
(çünki bölmək mümkün deyil).
Bir daha sıfırlar haqqında: halda ifadə müəyyən edilməyib. Əgər, onda.
Nümunələr:
Rasional göstərici ilə güc
- - natural ədəd;
- - tam;
Nümunələr:
Dərəcələrin xüsusiyyətləri
Problemləri həll etməyi asanlaşdırmaq üçün başa düşməyə çalışaq: bu xüsusiyyətlər haradan gəldi? Gəlin onları sübut edək.
Baxaq: nədir və nədir?
A-prior:
Beləliklə, bu ifadənin sağ tərəfində aşağıdakı məhsulu alırıq:
Ancaq tərifinə görə, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür, yəni:
Q.E.D.
Misal : İfadəni sadələşdirin.
Həll : .
Misal : İfadəni sadələşdirin.
Həll : Bizim qaydada qeyd etmək vacibdir Mütləq eyni səbəblər olmalıdır. Buna görə səlahiyyətləri baza ilə birləşdiririk, lakin bu, ayrı bir amil olaraq qalır:
Başqa bir vacib qeyd: bu qayda - yalnız səlahiyyətlərin məhsulu üçün!
Heç bir halda bunu yaza bilməzsən.
Əvvəlki xüsusiyyətdə olduğu kimi, dərəcə tərifinə müraciət edək:
Gəlin bu işi belə qruplaşdıraq:
Belə çıxır ki, ifadə özünə dəfələrlə vurulur, yəni tərifə görə, bu ədədin ci dərəcəsidir:
Əslində bunu "indikatorun mötərizədən çıxarılması" adlandırmaq olar. Amma siz bunu heç vaxt bütövlükdə edə bilməzsiniz: !
Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlayaq: neçə dəfə yazmaq istədik? Amma bu, axırda doğru deyil.
Mənfi baza ilə güc.
Bu nöqtəyə qədər yalnız bunun necə olması lazım olduğunu müzakirə etdik indeks dərəcə. Bəs əsas nə olmalıdır? səlahiyyətlərində təbii göstərici əsas ola bilər istənilən nömrə .
Həqiqətən, istənilən ədədi bir-birimizə vura bilərik, istər müsbət, istər mənfi, istərsə də hətta. Gəlin düşünək, hansı işarələrin ("" və ya "") müsbət və mənfi ədədlərin dərəcələri olacaq?
Məsələn, rəqəm müsbətdir, yoxsa mənfi? A? ?
Birincisi ilə hər şey aydındır: nə qədər müsbət ədədi bir-birimizə vursaq da, nəticə müsbət olacaq.
Ancaq mənfi olanlar bir az daha maraqlıdır. 6-cı sinifdən sadə qaydanı xatırlayırıq: “minusa minus artı verir”. Yəni, ya. Ancaq () ilə vursaq - alarıq.
Və s. ad infinitum: hər sonrakı vurma ilə işarə dəyişəcək. Aşağıdakıları formalaşdıra bilərik sadə qaydalar:
- hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
- Mənfi rəqəm, tikilmişdir qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
- İstənilən dərəcədə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
- Sıfırdan istənilən güc sıfıra bərabərdir.
Aşağıdakı ifadələrin hansı işarəyə malik olacağını özünüz müəyyənləşdirin:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
idarə etdin? Cavabları təqdim edirik:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
İlk dörd nümunədə ümid edirəm ki, hər şey aydındır? Biz sadəcə bazaya və eksponentə baxırıq və müvafiq qayda tətbiq edirik.
Nümunə 5) hər şey göründüyü qədər qorxulu deyil: nəticədə bazanın nəyə bərabər olmasının əhəmiyyəti yoxdur - dərəcə bərabərdir, yəni nəticə həmişə müsbət olacaqdır. Yaxşı, baza sıfır olduqda istisna olmaqla. Baza bərabər deyil, elə deyilmi? Aydındır ki, yox, çünki (çünki).
Misal 6) artıq o qədər də sadə deyil. Burada hansının daha az olduğunu tapmaq lazımdır: yoxsa? Bunu xatırlasaq, aydın olar ki, baza sıfırdan azdır. Yəni 2-ci qaydanı tətbiq edirik: nəticə mənfi olacaq.
Və yenə dərəcə tərifindən istifadə edirik:
Hər şey həmişəki kimidir - dərəcələrin tərifini yazırıq və onları bir-birinə bölürük, cütlərə bölürük və alırıq:
Son qaydaya baxmadan əvvəl bir neçə nümunəni həll edək.
İfadələri hesablayın:
Həll yolları :
Səkkizinci gücə məhəl qoymasaq, burada nə görürük? 7-ci sinif proqramını xatırlayaq. Yaxşı, xatırlayırsan? Bu, qısaldılmış vurmanın, yəni kvadratların fərqinin düsturudur!
Biz əldə edirik:
Gəlin məxrəcə diqqətlə baxaq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin ardıcıllığı səhvdir. Əgər onlar dəyişdirilsəydi, 3-cü qayda tətbiq oluna bilərdi.Bəs necə? Məlum oldu ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.
Onu çoxaltsan, heç nə dəyişmir, elə deyilmi? Amma indi belə çıxır:
Sehrli şəkildə terminlər yerini dəyişdi. Bu “fenomen” bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: mötərizədəki işarələri asanlıqla dəyişə bilərik. Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: Bütün işarələr eyni anda dəyişir! Sevmədiyimiz yalnız bir mənfi cəhəti dəyişdirməklə onu əvəz edə bilməzsiniz!
Nümunəyə qayıdaq:
Və yenə formula:
Beləliklə, indi son qayda:
Bunu necə sübut edəcəyik? Əlbəttə, həmişəki kimi: dərəcə anlayışını genişləndirək və onu sadələşdirək:
Yaxşı, indi mötərizələri açaq. Cəmi neçə hərf var? çarpanlarla dəfə - bu sizə nəyi xatırladır? Bu, əməliyyatın tərifindən başqa bir şey deyil vurma: Orada ancaq çarpanlar var idi. Yəni, bu, tərifinə görə, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür:
Misal:
İrrasional göstərici ilə dərəcə
Orta səviyyə üçün dərəcələr haqqında məlumatlara əlavə olaraq, dərəcəni irrasional eksponentlə təhlil edəcəyik. Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri, istisna olmaqla, rasional eksponentli dərəcə ilə eynidir - axırda, tərifinə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi göstərilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni , irrasional ədədlər rasional ədədlərdən başqa bütün həqiqi ədədlərdir).
Təbii, tam və rasional eksponentlərlə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaratdıq. Məsələn, təbii göstəricili dərəcə özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir; sıfır dərəcəsinə qədər bir ədəd, sanki, bir dəfə özünə vurulan bir ədəddir, yəni onlar hələ onu çoxaltmağa başlamamışlar, bu o deməkdir ki, nömrənin özü hələ görünməyib - buna görə də nəticə yalnız müəyyəndir “boş nömrə”, yəni nömrə; tam mənfi eksponentli bir dərəcə - sanki hansısa "əks proses" baş verdi, yəni nömrə öz-özünə vurulmadı, ancaq bölündü.
İrrasional göstərici ilə dərəcəni təsəvvür etmək son dərəcə çətindir (4 ölçülü fəzanı təsəvvür etmək çətin olduğu kimi). Bu, riyaziyyatçıların dərəcə anlayışını bütün ədədlər məkanına genişləndirmək üçün yaratdıqları sırf riyazi obyektdir.
Yeri gəlmişkən, elmdə mürəkkəb göstəricili dərəcədən tez-tez istifadə olunur, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil. Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq.
Əgər irrasional eksponent görsək nə edəcəyik? Ondan qurtulmaq üçün əlimizdən gələni edirik! :)
Misal üçün:
Özünüz üçün qərar verin:
| 1) | 2) | 3) |
Cavablar:
- Kvadratlar düsturunun fərqini xatırlayaq. Cavab: .
- Kəsrləri eyni formaya endiririk: ya hər iki onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq: .
- Xüsusi bir şey yoxdur, dərəcələrin adi xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:
BÖLMƏNİN XÜLASƏSİ VƏ ƏSAS FORMULLAR
Dərəcə formasının ifadəsi adlanır: , burada:
Tam eksponentli dərəcə
eksponenti natural ədəd olan dərəcə (yəni tam və müsbət).
Rasional göstərici ilə güc
dərəcə, eksponenti mənfi və kəsr ədədlərdir.
İrrasional göstərici ilə dərəcə
eksponenti sonsuz onluq kəsr və ya kök olan dərəcə.
Dərəcələrin xüsusiyyətləri
Dərəcələrin xüsusiyyətləri.
- Mənfi rəqəm yüksəldi hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
- Mənfi rəqəm yüksəldi qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
- İstənilən dərəcədə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
- Sıfır istənilən gücə bərabərdir.
- Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd bərabərdir.
İNDİ SÖZ SƏNDƏDİR...
Məqaləni necə bəyənirsiniz? Bəyənmədiyinizi şərhlərdə aşağıda yazın.
Dərəcə xüsusiyyətlərindən istifadə təcrübəniz haqqında bizə məlumat verin.
Bəlkə suallarınız var. Və ya təkliflər.
Şərhlərdə yazın.
Və imtahanlarınızda uğurlar!
Göstərici vurma ilə sıx əlaqəli bir əməliyyatdır; bu əməliyyat ədədi təkrar-təkrar özünə vurmağın nəticəsidir. Onu düsturla təmsil edək: a1 * a2 * … * an = an.
Məsələn, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Ümumiyyətlə, eksponentasiya tez-tez riyaziyyat və fizikada müxtəlif düsturlarda istifadə olunur. Bu funksiya dörd əsas funksiyadan daha çox elmi məqsəd daşıyır: Toplama, Çıxarma, Vurma, Bölmə.
Nömrəni gücə yüksəltmək
Nömrəni gücə yüksəltmək mürəkkəb bir əməliyyat deyil. Bu, vurma və toplama arasındakı əlaqəyə bənzər şəkildə vurma ilə bağlıdır. An notasiyası bir-birinə vurulan “a” ədədlərinin n-ci sayının qısa qeydidir.
Ən çox eksponentasiyanı nəzərdən keçirin sadə nümunələr, mürəkkəb olanlara keçin.
Məsələn, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Dördün kvadratı (ikinci gücə görə) on altıya bərabərdir. 4 * 4 vurmağı başa düşmürsənsə, vurma haqqında məqaləmizi oxuyun.
Başqa bir misala baxaq: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Beş kub (üçüncü gücə) yüz iyirmi beşə bərabərdir.
Başqa bir misal: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Doqquz kub yeddi yüz iyirmi doqquza bərabərdir.
Göstərici düsturları
Gücü düzgün yüksəltmək üçün aşağıda verilmiş düsturları yadda saxlamaq və bilmək lazımdır. Bunda əlavə təbii bir şey yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşək və sonra onlar nəinki yadda qalacaq, həm də asan görünəcəklər.
Monomialın gücə yüksəldilməsi
Monomial nədir? Bu, istənilən miqdarda ədədlərin və dəyişənlərin məhsuludur. Məsələn, iki monomialdır. Və bu məqalə məhz belə monomialların səlahiyyətlərə yüksəldilməsi haqqındadır.
Göstərici düsturlarından istifadə edərək monomialın eksponentasiyasını hesablamaq çətin olmayacaq.
Misal üçün, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Əgər monomial bir gücə yüksəldilirsə, monomialın hər bir komponenti bir gücə qaldırılır.
Artıq bir gücə sahib olan bir dəyişəni yüksəltməklə, güclər çoxalır. Məsələn, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Mənfi gücə yüksəltmək
Mənfi qüvvə ədədin əksidir. Qarşılıqlı rəqəm nədir? İstənilən X ədədinin əksi 1/X-dir. Yəni X-1=1/X. Mənfi dərəcənin mahiyyəti budur.
Məsələni nəzərdən keçirin (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Niyə belədir? Dərəcədə mənfi olduğu üçün sadəcə olaraq bu ifadəni məxrəcə köçürür, sonra üçüncü dərəcəyə qaldırırıq. Sadə, elə deyilmi?
Fraksiya gücünə yüksəltmək
Məsələni konkret misalla nəzərdən keçirərək başlayaq. 43/2. 3/2 dərəcəsi nə deməkdir? 3 – say, ədədi (bu halda 4) kuba qaldırmaq deməkdir. 2 rəqəmi məxrəcdir; ədədin ikinci kökünün çıxarılmasıdır (bu halda 4).
Sonra 43 = 2^3 = 8-in kvadrat kökünü alırıq. Cavab: 8.
Deməli, kəsr dərəcəsinin məxrəci 3 və ya 4 və ya sonsuza qədər istənilən ədəd ola bilər və bu rəqəm dərəcəni müəyyən edir. kvadrat kök, verilmiş nömrədən çıxarılmışdır. Təbii ki, məxrəc sıfır ola bilməz.
Kökü bir gücə yüksəltmək
Kök kökün özünün dərəcəsinə bərabər bir dərəcəyə qaldırılsa, cavab radikal bir ifadə olacaqdır. Məsələn, (√x)2 = x. Və beləliklə, hər halda, kökün dərəcəsi və kökün yüksəldilməsi dərəcəsi bərabərdir.
Əgər (√x)^4. Sonra (√x)^4=x^2. Həllini yoxlamaq üçün ifadəni kəsr qüvvəsi olan ifadəyə çeviririk. Kök kvadrat olduğundan məxrəc 2-dir. Və kök dördüncü dərəcəyə qaldırılarsa, say 4-dür. 4/2=2 alırıq. Cavab: x = 2.
Hər halda, ən yaxşı seçim sadəcə ifadəni kəsr gücü ilə ifadəyə çevirməkdir. Əgər kəsr ləğv etmirsə, verilmiş ədədin kökünün təcrid edilməməsi şərti ilə cavab budur.
Kompleks ədədi gücə yüksəltmək
Kompleks ədəd nədir? Kompleks nömrə– a + b * i düsturuna malik ifadə; a, b həqiqi ədədlərdir. i kvadratı alındıqda -1 rəqəmini verən bir ədəddir.
Bir nümunəyə baxaq. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Tez və düzgün şəkildə əlavə etməyi, çıxmağı, çoxaltmağı, bölməyi, kvadrat ədədləri və hətta kökləri çıxarmağı öyrənmək üçün "Mental hesabı DEYİL, zehni arifmetikanı sürətləndirin" kursuna yazın. 30 gün ərzində siz hesab əməliyyatlarını sadələşdirmək üçün asan fəndlərdən istifadə etməyi öyrənəcəksiniz. Hər dərsdə yeni texnikalar, aydın nümunələr və faydalı tapşırıqlar var.
Online eksponentasiya
Kalkulyatorumuzdan istifadə edərək rəqəmin bir gücə yüksəlməsini hesablaya bilərsiniz:
Göstərici 7 sinif
Məktəblilər gücə yalnız yeddinci sinifdə yüksəlməyə başlayırlar.
Göstərici vurma ilə sıx əlaqəli bir əməliyyatdır; bu əməliyyat ədədi təkrar-təkrar özünə vurmağın nəticəsidir. Onu düsturla təmsil edək: a1 * a2 * … * an=an.
Misal üçün, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Həll üçün nümunələr:
Eksponentasiya təqdimatı
Səlahiyyətlərin artırılması haqqında təqdimat yeddinci siniflər üçün. Təqdimat bəzi aydın olmayan məqamlara aydınlıq gətirə bilər, lakin məqaləmiz sayəsində bu məqamlar yəqin ki, aydınlaşdırılmayacaq.
Alt xətt
Riyaziyyatı daha yaxşı başa düşmək üçün aysberqin yalnız ucuna baxdıq - kursumuza yazın: Mental hesabın sürətləndirilməsi - Mental arifmetika DEYİL.
Kursdan siz nəinki sadələşdirilmiş və tez vurma, toplama, vurma, bölmə və faizlərin hesablanması üçün onlarla üsul öyrənəcəksiniz, həm də onları xüsusi tapşırıqlarda və öyrədici oyunlarda məşq edəcəksiniz! Mental hesab da çox diqqət və konsentrasiya tələb edir ki, onlar maraqlı məsələlərin həlli zamanı fəal şəkildə öyrədilir.
Nömrənin gücü haqqında söhbətə davam edərək gücün dəyərini necə tapmaq lazım olduğunu anlamaq məntiqlidir. Bu proses adlanır eksponentasiya. Bu yazıda eksponentasiyanın necə həyata keçirildiyini öyrənəcəyik, eyni zamanda bütün mümkün eksponentlərə - təbii, tam, rasional və irrasionallara toxunacağıq. Və ənənəyə görə, rəqəmlərin müxtəlif güclərə qaldırılmasına dair nümunələrin həllərini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
"Güclənmə" nə deməkdir?
Gəlin eksponentasiya deyilən şeyi izah etməklə başlayaq. Budur müvafiq tərif.
Tərif.
Eksponentasiya- bu ədədin gücünün dəyərini tapmaqdır.
Beləliklə, r göstəricisi olan a ədədinin gücünün qiymətini tapmaq və a ədədini r dərəcəsinə qaldırmaq eyni şeydir. Məsələn, tapşırıq "gücünün (0.5) 5-in dəyərini hesablayın"dırsa, o zaman onu aşağıdakı kimi yenidən tərtib etmək olar: "0.5 sayını 5-ə qaldırın."
İndi birbaşa eksponentasiyanın həyata keçirildiyi qaydalara keçə bilərsiniz.
Nömrəni təbii gücə yüksəltmək
Təcrübədə bərabərliyə əsaslanan adətən şəklində tətbiq edilir. Yəni, a ədədini m/n kəsr gücünə qaldırarkən əvvəlcə a ədədinin n-ci kökü götürülür, bundan sonra alınan nəticə m-lik tam ədədə qaldırılır.
Gəlin kəsr gücünə yüksəltmə nümunələrinə həll yollarına baxaq.
Misal.
Dərəcənin dəyərini hesablayın.
Həll.
İki həll yolu göstərəcəyik.
Birinci yol. Fraksiya göstəricisi olan dərəcənin tərifi ilə. Kök işarəsi altında dərəcənin dəyərini hesablayırıq və sonra çıxarırıq kub kökü: 
.
İkinci yol. Kəsrə eksponentli dərəcənin tərifi ilə və köklərin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur: 
. İndi kökü çıxarırıq 
, nəhayət, onu tam ədədə qaldırırıq 
.
Şübhəsiz ki, kəsr gücünə yüksəldilməsinin əldə edilən nəticələri üst-üstə düşür.
Cavab:
Qeyd edək ki, kəsr göstəricisi kimi yazıla bilər onluq və ya qarışıq ədəd, bu hallarda müvafiq adi kəsr ilə əvəz edilməli və sonra bir gücə qaldırılmalıdır.
Misal.
Hesablayın (44.89) 2.5.
Həll.
Göstəricini adi kəsr şəklində yazaq (lazım olduqda məqaləyə baxın): 
. İndi kəsr gücünə yüksəltmə həyata keçiririk: 
Cavab:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Onu da qeyd etmək lazımdır ki, rəqəmləri rasional güclərə çatdırmaq kifayət qədər zəhmət tələb edən bir prosesdir (xüsusilə kəsr eksponentinin pay və məxrəcində kifayət qədər böyük ədədlər olduqda) adətən kompüter texnologiyasından istifadə etməklə həyata keçirilir.
Bu fikri yekunlaşdırmaq üçün gəlin sıfır rəqəmini kəsr dərəcəsinə yüksəltmək üzərində dayanaq. Formanın sıfırın kəsr gücünə aşağıdakı mənanı verdik: bizdə olduqda 
, və sıfırdan m/n gücü müəyyən edilmir. Beləliklə, sıfırdan kəsrin müsbət gücü sıfırdır, məsələn, 
. Kəsirin mənfi qüvvəsində isə sıfırın mənası yoxdur, məsələn, 0 -4.3 ifadələrinin mənası yoxdur.
Məntiqsiz bir gücə yüksəltmək
Bəzən irrasional göstəricisi olan ədədin gücünün qiymətini tapmaq lazım gəlir. Bu halda praktiki məqsədlər üçün adətən müəyyən işarəyə qədər dəqiqlik dərəcəsinin qiymətini əldə etmək kifayətdir. Dərhal qeyd edək ki, praktikada bu dəyər elektron kompüterlərdən istifadə etməklə hesablanır, çünki onu irrasional gücə əl ilə qaldırmaq çoxlu sayda çətin hesablamalar tələb edir. Ancaq yenə də hərəkətlərin mahiyyətini ümumi şəkildə təsvir edəcəyik.
İrrasional göstəricisi olan a ədədinin gücünün təxmini qiymətini əldə etmək üçün eksponentin bəzi onluq təqribi rəqəmləri götürülür və gücün qiyməti hesablanır. Bu dəyər irrasional eksponentli a ədədinin gücünün təxmini qiymətidir. Başlanğıcda ədədin ondalıq yaxınlaşması nə qədər dəqiq alınsa, sonda dərəcənin dəyəri bir o qədər dəqiq alınacaq.
Nümunə olaraq 2 1,174367 gücünün təxmini qiymətini hesablayaq... . İrrasional eksponentin aşağıdakı onluq yaxınlaşmasını götürək: . İndi 2-ni 1.17 rasional gücə qaldırırıq (biz əvvəlki paraqrafda bu prosesin mahiyyətini təsvir etdik), 2 1.17 ≈2.250116 alırıq. Beləliklə, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Məsələn, irrasional eksponentin daha dəqiq ondalıq yaxınlaşmasını götürsək, ilkin eksponentin daha dəqiq qiymətini alırıq: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Biblioqrafiya.
- Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat dərsliyi 5-ci sinif. təhsil müəssisələri.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 7-ci sinif üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 8-ci sinif üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 9-cu sinif üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
- Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik).
Dərəcə formulları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.
Nömrə c edir n- ədədin gücü a Nə vaxt:
Dərəcələrlə əməliyyatlar.
1. Eyni baza ilə dərəcələri vurmaqla onların göstəriciləri əlavə edilir:
a m·a n = a m + n .
2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır:
3. Məhsulun gücü 2 və ya daha çox amillər bu amillərin səlahiyyətlərinin hasilinə bərabərdir:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Kəsirin dərəcəsi divident və bölən dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:
(a/b) n = a n /b n .
5. Gücü bir gücə yüksəltməklə, eksponentlər vurulur:
(a m) n = a m n .
Yuxarıdakı hər bir düstur soldan sağa və əksinə istiqamətlərdə doğrudur.
Misal üçün. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Köklərlə əməliyyatlar.
1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:
2. Nisbətin kökü divident və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:
3. Bir qüdrətə kök qaldırarkən radikal rəqəmi bu gücə yüksəltmək kifayətdir:
4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n inci güc radikal bir rəqəmdir, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:
5. Kökün dərəcəsini azaltsanız n eyni zamanda kökü çıxarın n- radikal ədədin ci gücü, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:
Mənfi eksponentli dərəcə. Müsbət olmayan (tam) eksponentli müəyyən bir ədədin gücü, qeyri-müsbət eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir:
Düstur a m:a n =a m - nüçün istifadə oluna bilməz m> n, həm də ilə m< n.
Misal üçün. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Formula üçün a m:a n =a m - n zaman ədalətli oldu m=n, sıfır dərəcəsinin olması tələb olunur.
Sıfır indeksi olan dərəcə. Sıfır göstəricisi ilə sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədin gücü birə bərabərdir.
Misal üçün. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Kəsrə göstərici ilə dərəcə. Həqiqi rəqəmi artırmaq üçün A dərəcəyə qədər m/n, kökü çıxarmaq lazımdır n ci dərəcə m-bu ədədin gücü A.