Diofant tənliyinin mühüm nümunəsi düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının x və y uzunluqlarını onun hipotenuzunun z uzunluğu ilə əlaqələndirən Pifaqor teoremi ilə verilmişdir:
Təbii ki, siz natural ədədlərdə bu tənliyin gözəl həllərindən birinə, yəni Pifaqor üçlüyünə rast gəldiniz. x=3, y=4, z=5. Başqa üçəmlər varmı?
Belə çıxır ki, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyü var və onların hamısı çoxdan tapılıb. Onları bu paraqrafdan öyrənəcəyiniz tanınmış düsturlarla əldə etmək olar.
Əgər birinci və ikinci dərəcəli Diofant tənlikləri artıq həll olunubsa, aparıcı riyaziyyatçıların səylərinə baxmayaraq, daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli məsələsi hələ də açıq qalır. Hal-hazırda, məsələn, Fermatın məşhur fərziyyəsi hər hansı bir tam dəyər üçün n2 tənlik
tam ədədlərdə həlli yoxdur.
Diophantine tənliklərinin müəyyən növlərini həll etmək üçün sözdə mürəkkəb ədədlər. Bu nədir? i hərfi şərti ödəyən hansısa obyekti ifadə etsin i 2 \u003d -1(aydındır ki, heç bir real ədəd bu şərti ödəmir). Formanın ifadələrini nəzərdən keçirin α+iβ, burada α və β həqiqi ədədlərdir. Bu cür ifadələr kompleks ədədlər adlanacaq, onlar üzərində toplama və vurma əməliyyatlarını, eləcə də binomiallar üzərində müəyyən etmişlər, lakin ifadənin yeganə fərqi ilə mən 2 hər yerdə -1 rəqəmini əvəz edəcəyik:
7.1. Üçünün çoxu
Bunu sübut et x0, y0, z0- Pifaqor üçlü, sonra üçqat y 0 , x 0 , z 0 Və x 0 k, y 0 k, z 0 k k təbii parametrinin istənilən qiyməti üçün də Pifaqordur.
7.2. Şəxsi düsturlar
Hər hansı təbii dəyərlər üçün yoxlayın m>n formanın üçlüyü
Pifaqorçudur. Hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, züçlükdə x və y ədədlərini yenidən yerləşdirməyə icazə versəniz, bu formada təmsil oluna bilərmi?
7.3. Təkrarlanmayan üçlüklər
Ümumi bölücü 1-dən böyük olmayan ədədlərin Pifaqor üçlüyü reduksiya olunmayan adlanacaq. Sübut edin ki, Pifaqor üçlüyü yalnız üçlükdəki ədədlərdən hər hansı ikisi ikiqat olarsa, reduksiya edilə bilməz.
7.4. Azaldılmayan üçlüklərin xassəsi
Sübut edin ki, hər hansı reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyü x, y, z-də z ədədi və x və ya y ədədlərindən dəqiq biri təkdir.
7.5. Bütün azalmaz üçlüklər
Sübut edin ki, x, y, z ədədlərinin üçlüyü, ilk iki ədədin sırasına qədər üçlü ilə üst-üstə düşərsə, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüdür. 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, harada m>n- müxtəlif paritetli natural ədədlərin koprisiyası.
7.6. Ümumi düsturlar
Tənliyin bütün həllərini sübut edin
natural ədədlərdə naməlum x və y sırasına qədər düsturlarla verilir
burada m>n və k təbii parametrlərdir (hər hansı üçlüyün təkrarlanmasının qarşısını almaq üçün coprime tipli və üstəlik müxtəlif paritetli ədədləri seçmək kifayətdir).
7.7. İlk 10 üçlük
Bütün Pifaqor üçlüyü tapın x, y, zşərti təmin edir x
7.8. Pifaqor üçlülərinin xüsusiyyətləri
Bunu istənilən Pifaqor üçlüyü üçün sübut edin x, y, z ifadələr doğrudur:
a) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 3-ə qatdır;
b) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 4-ün qatıdır;
c) x, y və ya z ədədlərindən ən azı biri 5-in qatıdır.
7.9. Kompleks ədədlərin tətbiqi
Kompleks ədədin modulu α + iβ mənfi olmayan nömrə adlanır
Hər hansı bir kompleks ədəd üçün bunu yoxlayın α + iβ Və γ + iδəmlak icra edilir
Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək sübut edin ki, istənilən iki m və n tam ədədi bərabərliyi təmin edir.
yəni tənliyin həllini verirlər
tam ədədlər (məsələ 7.5 ilə müqayisə edin).
7.10. Pifaqor olmayan üçlüklər
Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək (7.9-cu məsələyə bax) tənliyin istənilən tam həlli üçün düsturları tapın:
a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.
Həll yolları
7.1. Əgər x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, sonra y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, və k-nin istənilən təbii dəyəri üçün bizdə var
Q.E.D.
7.2. Bərabərlikdən
belə nəticəyə gəlirik ki, məsələdə göstərilən üçlük tənliyi ödəyir x 2 + y 2 = z 2 natural ədədlərdə. Ancaq hər Pifaqor üçlüyü deyil x, y, z bu formada təmsil oluna bilər; məsələn, üçlü 9, 12, 15 Pifaqordur, lakin 15 rəqəmi hər hansı iki m və n natural ədədinin kvadratlarının cəmi kimi təqdim edilə bilməz.
7.3. Pifaqor üçlüyündən hər hansı iki ədəd varsa x, y, z ortaq bölən d varsa, o da üçüncü ədədin bölməsi olacaq (beləliklə, halda x = x 1 d, y = y 1 d bizdə var z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, buradan z 2 d 2-yə, z isə d) bölünür. Buna görə də, Pifaqor üçlüyünün azaldılmaması üçün üçlüyə daxil olan hər iki ədədin ikiqat olması lazımdır,
7.4. Qeyd edək ki, x və ya y ədədlərindən biri, deyək ki, x, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyünün x, y, z təkdir, çünki əks halda x və y ədədləri müştərək olmazdı (7.3-cü məsələyə bax). Əgər digər y ədədi də təkdirsə, onda hər iki ədəd
4-ə bölündükdə 1-in qalığını və ədədi verin z 2 \u003d x 2 + y 2 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verir, yəni 2-yə bölünür, lakin 4-ə bölünmür, ola bilməz. Beləliklə, y ədədi cüt, z ədədi isə tək olmalıdır.
7.5. Pifaqor üçqat olsun x, y, z azaldılmazdır və müəyyənlik üçün x ədədi cüt, y, z ədədləri isə təkdir (bax. Məsələ 7.4). Sonra
rəqəmlər haradadır 
bütövdürlər. a və b ədədlərinin ikiqat olduğunu sübut edək. Həqiqətən, əgər onların ümumi bölənləri 1-dən böyük olsaydı, o zaman ədədlərin eyni bölənləri olardı. z = a + b, y = a - b, yəni, üçlük azaldılmaz olmayacaq (bax. Məsələ 7.3). İndi, a və b rəqəmlərini əsas amillərin hasillərinə genişləndirərək, hər hansı bir sadə amilin məhsula daxil edilməli olduğunu görürük. 4ab = x2 yalnız cüt dərəcəyə qədər və əgər a ədədinin genişlənməsinə daxil edilirsə, onda b ədədinin genişlənməsinə daxil edilmir və əksinə. Buna görə də, hər hansı bir sadə amil a və ya b ədədinin yalnız cüt dərəcəyə qədər genişlənməsinə daxil edilir, yəni bu ədədlərin özləri tam ədədlərin kvadratlarıdır. qoyaq 
onda bərabərlikləri əldə edirik
üstəlik, m>n natural parametrləri kobud (a və b ədədlərinin ümumiliyinə görə) və fərqli paritetə malikdir (tək ədədə görə). z \u003d m 2 + n 2).
İndi müxtəlif paritetli m>n natural ədədləri kobud olsun. Sonra troyka x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, Məsələ 7.2-ə görə, Pifaqorçudur. Onun azaldılmaz olduğunu sübut edək. Bunun üçün y və z ədədlərinin ortaq bölənlərinin olmadığını yoxlamaq kifayətdir (bax. Məsələ 7.3). Əslində, bu nömrələrin hər ikisi təkdir, çünki növ nömrələri fərqli paritetlərə malikdir. Əgər y və z ədədlərinin bəzi sadə ümumi bölənləri varsa (onda o, tək olmalıdır), o zaman ədədlərin hər biri və və onlarla birlikdə və m və n ədədlərinin hər biri eyni bölücüyə malikdir ki, bu da onların qarşılıqlı sadəliyinə ziddir.
7.6. Məsələ 7.1 və 7.2-də tərtib edilmiş müddəalara görə, bu düsturlar yalnız Pifaqor üçlüyünü müəyyən edir. Digər tərəfdən, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, zən böyük ümumi bölən k ilə kiçildikdən sonra x və y ədədləri cütü azalmaz hala gəlir (7.3-cü məsələyə bax) və buna görə də, məsələ 7.5-də təsvir olunan formada x və y ədədlərinin sırasına qədər təmsil oluna bilər. Buna görə də, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü parametrlərin bəzi dəyərləri üçün göstərilən düsturlarla verilir.
7.7. Bərabərsizlikdən z və 7.6-cı məsələnin düsturlarından istifadə edərək təxmini əldə edirik m 2 yəni. m≤5. fərz edirik m = 2, n = 1 Və k = 1, 2, 3, 4, 5,üçəmlər alırıq 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. fərz edirik m=3, n=2 Və k = 1, 2,üçəmlər alırıq 5, 12, 13; 10, 24, 26. fərz edirik m = 4, n = 1, 3 Və k = 1,üçəmlər alırıq 8, 15, 17; 7, 24, 25. Nəhayət, fərz edirik m=5, n=2 Və k = 1,üç alırıq 20, 21, 29.
“Rayon Təhsil Mərkəzi”
Metodik inkişaf
Həlldə Pifaqor üçlüyündən istifadə
həndəsi məsələlər və triqonometrik tapşırıqlar İSTİFADƏ edin
Kaluqa, 2016
I Giriş
Pifaqor teoremi həndəsənin əsas və hətta demək olar ki, ən mühüm teoremlərindən biridir. Onun əhəmiyyəti ondadır ki, həndəsə teoremlərinin əksəriyyəti ondan və ya onun köməyi ilə çıxarıla bilər. Pifaqor teoremi həm də diqqətəlayiqdir ki, özlüyündə heç də aydın deyil. Məsələn, ikitərəfli üçbucağın xassələri birbaşa rəsmdə görünə bilər. Düzgün üçbucağa necə baxsanız da, onun tərəfləri arasında belə sadə bir nisbət olduğunu heç vaxt görə bilməzsiniz: a2+b2=c2. Lakin onun adını daşıyan teoremi kəşf edən Pifaqor deyildi. Daha əvvəl də məlum idi, lakin bəlkə də yalnız ölçmələrdən əldə edilən bir fakt kimi. Ehtimal ki, Pifaqor bunu bilirdi, lakin sübut tapdı.
Sonsuz sayda natural ədədlər var a, b, c, əlaqəni təmin edir a2+b2=c2.. Onlara Pifaqor ədədləri deyilir. Pifaqor teoreminə görə, belə ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqları kimi xidmət edə bilər - biz onları Pifaqor üçbucaqları adlandıracağıq.
Məqsəd: məktəb riyaziyyat kursunun problemlərinin həlli üçün Pifaqor üçlüyünün istifadəsinin mümkünlüyünü və effektivliyini öyrənmək, İSTİFADƏ tapşırıqları.
İşin məqsədinə əsasən, aşağıdakılar tapşırıqlar:
Pifaqor üçlüyünün tarixini və təsnifatını öyrənmək. Məktəb dərsliklərində mövcud olan və imtahanın nəzarət-ölçü materiallarında olan Pifaqor üçlüyü ilə tapşırıqları təhlil edin. Problemlərin həlli üçün Pifaqor üçlüyü və onların xassələrindən istifadənin effektivliyini qiymətləndirin.
Tədqiqat obyekti: Pifaqor üçlükləri.
Tədqiqat mövzusu: Pifaqor üçlüyünün istifadə olunduğu triqonometriya və həndəsə məktəb kursunun tapşırıqları.
Tədqiqatın aktuallığı. Pifaqor üçlüyü həndəsə və triqonometriyada tez-tez istifadə olunur, onları bilmək hesablamalardakı səhvləri aradan qaldıracaq və vaxta qənaət edəcəkdir.
II. Əsas hissə. Pifaqor üçlüyü ilə problemlərin həlli.
2.1.Pifaqor ədədlərinin üçlük cədvəli (Perelmana görə)
Pifaqor nömrələri formaya malikdir a= m n, , burada m və n bəzi ümumi tək ədədlərdir.
Pifaqor nömrələri bir sıra maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir:
"Ayaqlardan" biri üçə çox olmalıdır.
"Ayaqlardan" biri dördün qatı olmalıdır.
Pifaqor rəqəmlərindən biri beşə çox olmalıdır.
"Əyləncəli cəbr" kitabında ümumi faktorları olmayan yüzə qədər rəqəmlərdən ibarət Pifaqor üçlüyü cədvəli var.
32+42=52 |
||
52+122=132 |
||
72+242=252 |
||
92+402=412 |
||
112+602=612 |
||
132+842=852 |
||
152+82=172 |
||
212 +202=292 |
||
332+562=652 |
||
392+802=892 |
||
352+122=372 |
||
452+282=532 |
||
552+482=732 |
||
652+722=972 |
||
632+162=652 |
||
772+362=852 |
2.2. Şustrovun Pifaqor üçlüklərinin təsnifatı.
Şustrov aşağıdakı nümunəni kəşf etdi: əgər bütün Pifaqor üçbucaqları qruplara bölünürsə, onda aşağıdakı düsturlar tək ayaq x, hətta y və hipotenuza z üçün etibarlıdır:
x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, burada N ailənin sayı, n isə ailədəki üçbucağın sıra nömrəsidir.
Düsturda N və n yerinə hər hansı müsbət tam ədədləri birdən başlayaraq əvəz etməklə, bütün əsas Pifaqor üçlüklərini, həmçinin müəyyən bir növün qatlarını əldə edə bilərsiniz. Hər bir ailə üçün bütün Pifaqor üçlüyünün cədvəlini hazırlaya bilərsiniz.
2.3. Planimetriya tapşırıqları
Gəlin həndəsə üzrə müxtəlif dərsliklərdən olan problemləri nəzərdən keçirək və bu tapşırıqlarda Pifaqor üçlüyünə nə qədər tez-tez rast gəlindiyini öyrənək. Pifaqor üçlüyü cədvəlində üçüncü elementi tapmaq üçün əhəmiyyətsiz problemlər nəzərdən keçirilməyəcək, baxmayaraq ki, onlar dərsliklərdə də var. Məlumatı natural ədədlərlə ifadə olunmayan bir məsələnin həllini Pifaqor üçlüyünə necə endirəcəyimizi göstərək.
7-9-cu siniflər üçün həndəsə dərsliyindən tapşırıqları nəzərdən keçirin.
№ 000. Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu tapın Amma=, b=.
Həll. Ayaqların uzunluqlarını 7-yə vurun, Pifaqor üçlüsünün 3 və 4-dən iki elementi alırıq. Çatışmayan element 5-dir, onu 7-yə bölürük. Cavab.
№ 000. ABCD düzbucağında CD=1,5, AC=2,5 olarsa, BC tapın.
https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" eni="240" hündürlük="139 src=">
Həll. ACD düzbucağını həll edək. Uzunluqları 2-yə vururuq, Pifaqor üçlüyü 3 və 5-dən iki element alırıq, çatışmayan element 4-dür, onu 2-yə bölürük. Cavab: 2.
Növbəti ədədi həll edərkən nisbəti yoxlayın a2+b2=c2 tamamilə isteğe bağlıdır, Pifaqor ədədlərindən və onların xassələrindən istifadə etmək kifayətdir.
№ 000. Üçbucağın düzbucaqlı olub-olmadığını öyrənin, əgər tərəfləri rəqəmlərlə ifadə edilirsə:
a) 6,8,10 (Pifaqor üçlüyü 3,4.5) - bəli;
Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarından biri 4-ə bölünməlidir. Cavab: yox.
c) 9,12,15 (Pifaqor üçlüyü 3,4.5) - bəli;
d) 10,24,26 (Pifaqor üçlüyü 5,12.13) - bəli;
Pifaqor rəqəmlərindən biri beşə çox olmalıdır. Cavab: yox.
g) 15, 20, 25 (Pifaqor üçlü 3,4.5) - bəli.
Bu bölmədəki otuz doqquz tapşırıqdan (Pifaqor teoremi) iyirmi ikisi Pifaqor nömrələri və onların xassələri haqqında biliklərdən istifadə etməklə şifahi şəkildə həll edilir.
000 nömrəli problemi nəzərdən keçirin ("Əlavə tapşırıqlar" bölməsindən):
AB=5 sm, BC=13 sm, CD=9 sm, DA=15 sm, AC=12 sm olduğu ABCD dördbucağının sahəsini tapın.
Vəzifə nisbəti yoxlamaqdır a2+b2=c2 və verilmiş dördbucağın iki düzbucaqlı üçbucaqdan ibarət olduğunu sübut edin (tərs teorem). Pifaqor üçlüyü haqqında biliklər: 3, 4, 5 və 5, 12, 13, hesablamalara ehtiyacı aradan qaldırır.
7-9-cu siniflər üçün həndəsə dərsliyindən bir neçə məsələnin həlli yollarını verək.
Məsələ 156 (h). Düzbucaqlı üçbucağın ayaqları 9 və 40-dır. Hipotenuzaya çəkilmiş medianı tapın.
Həll . Hipotenuzaya çəkilmiş median onun yarısına bərabərdir. Pifaqor üçlüyü 9.40 və 41. Buna görə də median 20.5-dir.
Məsələ 156 (i). Üçbucağın tərəfləri bunlardır: Amma= 13 sm, b= 20 sm və hündürlüyü hс = 12 sm Baza tapın -dan.
Tapşırıq (KİM İSTİFADƏSİ). BH hündürlüyü 12 olarsa və məlumdursa, ABC iti üçbucağına daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın. günah A=,günah C \u003d sol "\u003e 
Həll. Düzbucaqlı ∆ ASC həll edirik: sin A=, BH=12, deməli AB=13,AK=5 (Pifaqor üçlüyü 5,12,13). Düzbucaqlı ∆ BCH həll edin: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pifaqor dili) üçqat 3,4,5).Radius r === düsturu ilə tapılır 4. Cavab.4.
2.4. Triqonometriyada Pifaqor üçlüyü
Əsas triqonometrik eynilik Pifaqor teoreminin xüsusi halıdır: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Buna görə də, bəzi triqonometrik tapşırıqlar Pifaqor üçlüklərindən istifadə etməklə asanlıqla şifahi şəkildə həll olunur.
Bir funksiyanın verilmiş dəyərindən digər triqonometrik funksiyaların qiymətlərini tapmaq tələb olunan məsələlər kvadrat kök almadan və kvadratlaşdırmadan həll edilə bilər. Məktəb cəbr dərsliyində (10-11) Mordkoviçdə (No 000-No 000) bu tipli bütün tapşırıqlar yalnız bir neçə Pifaqor üçlüyünü bilməklə şifahi şəkildə həll edilə bilər: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . İki problemin həlli yollarını nəzərdən keçirək.
№ 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.
Həll. Pifaqor üçlüyü: 3, 4, 5. Buna görə də, cos t = -3/5; tg t = -4/3,
№ 000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.
Həll. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pifaqor üçlüyü 5,12,13. İşarələri nəzərə alaraq, biz sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12 alırıq.
3. İmtahanın nəzarət-ölçü materialları
a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)
b) günah (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)
c) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)
d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)
e) 4/3 tq (π–arksin (–3/5))= 4/3 tq (π+arksin 3/5)= 4/3 tq arcsin 3/5=4/3 3/4=1
e) bərabərliyin etibarlılığını yoxlayın:
arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.
Həll. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2
arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65
günah (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)
sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65
4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65
III. Nəticə
Həndəsi məsələlərdə çox vaxt düzbucaqlı üçbucaqları, bəzən bir neçə dəfə həll etmək lazımdır. Məktəb dərsliklərinin və İSTİFADƏ materiallarının tapşırıqlarını təhlil etdikdən sonra belə nəticəyə gəlmək olar ki, üçlülər əsasən istifadə olunur: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; yadda saxlamaq asan olan. Bəzi triqonometrik tapşırıqları həll edərkən triqonometrik düsturlardan və çoxlu sayda hesablamalardan istifadə edərək klassik həll vaxt tələb edir və Pifaqor üçlüyü haqqında biliklər hesablamalardakı səhvləri aradan qaldıracaq və imtahanda daha çətin məsələlərin həllinə vaxta qənaət edəcəkdir.
Biblioqrafik siyahı
1. Cəbr və analizin başlanğıcları. 10-11 siniflər. Saat 2-də 2-ci hissə. Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı / [və başqaları]; red. . - 8-ci nəşr, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : xəstə.
2. Perelman cəbri. - D.: VAP, 1994. - 200 s.
3. Roqanovski: Proc. 7-9 hüceyrə üçün. dərinliyi ilə riyaziyyat ümumi təhsilin öyrənilməsi. məktəb rus dilindən dil. öyrənmək, - 3-cü nəşr. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: xəstə.
4. Riyaziyyat: Tarix, metodologiya, didaktika üzrə oxucu. / Komp. . - M.: URAO nəşriyyatı, 2001. - 384 s.
5. «Məktəbdə riyaziyyat» jurnalı, 1965-ci il.
6. İmtahanın nəzarət-ölçü materialları.
7. Həndəsə, 7-9: Proc. təhsil müəssisələri üçün / və s. - 13-cü nəşr - M .: Təhsil, 2003. – 384 səh. : xəstə.
8. Həndəsə: Proc. 10-11 hüceyrə üçün. orta məktəb / və s. - 2-ci nəşr. - M .: Təhsil, 1993, - 207 s.: xəstə.
Perelman cəbri. - D.: VAP, 1994. - 200 s.
“Məktəbdə riyaziyyat” jurnalı, 1965-ci il.
Həndəsə, 7-9: Proc. təhsil müəssisələri üçün / və s. - 13-cü nəşr - M .: Təhsil, 2003. – 384 səh. : xəstə.
Roganovski: Proc. 7-9 hüceyrə üçün. dərinliyi ilə riyaziyyat ümumi təhsilin öyrənilməsi. məktəb rus dilindən dil. öyrənmək, - 3-cü nəşr. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: xəstə.
Cəbr və analizin başlanğıcı. 10-11 siniflər. Saat 2-də 2-ci hissə. Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı / [və başqaları]; red. . - 8-ci nəşr, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : xəstə, s.18.
Xüsusiyyətlər
Tənlikdən bəri x 2 + y 2 = z 2 çoxaldıqda homojen olur x , y Və z eyni nömrə üçün başqa bir Pifaqor üçlüyü alırsınız. Pifaqor üçlüyü adlanır primitiv, bu yolla əldə edilə bilməzsə, yəni - nisbətən sadə ədədlər.
Nümunələr
Bəzi Pifaqor üçlüyü (maksimum sayının artan sırası ilə sıralanır, primitiv olanlar vurğulanır):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Tarix
Pifaqor üçlüyü çox uzun müddətdir məlumdur. Qədim Mesopotamiya qəbir daşlarının memarlığında tərəfləri 9, 12 və 15 qulac olan iki düzbucaqlıdan ibarət ikitərəfli üçbucağa rast gəlinir. Firon Snefrunun (e.ə. XXI əsr) piramidaları tərəfləri 20, 21 və 29, həmçinin 18, 24 və 30 onlarla Misir qulacları olan üçbucaqlardan istifadə edilərək tikilmişdir.
X Ümumrusiya Tətbiqi və Sənaye Riyaziyyatı Simpoziumu. Sankt-Peterburq, 19 may 2009-cu il
Hesabat: Diofant tənliklərinin həlli alqoritmi.
Məqalədə Diofant tənliklərinin öyrənilməsi metodu nəzərdən keçirilir və bu üsulla həll olunan həllər təqdim olunur: - Fermatın böyük teoremi; - Pifaqor üçlüyü axtarışı və s. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html
Bağlantılar
- E. A. Gorin Pifaqor üçlüyündə sadə ədədlərin səlahiyyətləri // Riyazi təhsil. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.
Wikimedia Fondu. 2010.
Digər lüğətlərdə "Pifaqor üçlüyü" nün nə olduğuna baxın:
Riyaziyyatda Pifaqor ədədləri (Pifaqor üçlüyü) Pifaqor əlaqəsini təmin edən üç tam ədəddən ibarət tənzimləmədir: x2 + y2 = z2. Mündəricat 1 Xüsusiyyətlər ... Vikipediya
Yan uzunluqları bu ədədlərə mütənasib (və ya bərabər) olan üçbucağın düzbucaqlı olması üçün natural ədədlərin üçqatları, məs. ədədlərin üçlüyü: 3, 4, 5... Böyük ensiklopedik lüğət
Yan uzunluqları bu ədədlərə mütənasib (və ya bərabər) olan üçbucağın düzbucaqlı olması üçün natural ədədlərin üçqatları. Teoremə görə, Pifaqor teoreminin tərsi (bax Pifaqor teoremi), bunun üçün kifayətdir ki, onlar ... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası
x2+y 2=z2 tənliyini ödəyən x, y, z müsbət tam ədədlərinin üçqatları. Bu tənliyin bütün həlləri və deməli, bütün P. p. x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 düsturları ilə ifadə edilir, burada a, b ixtiyari müsbət tam ədədlərdir (a>b). P. h ... Riyaziyyat ensiklopediyası
Təbii ədədlərin üçqatları elədir ki, tərəflərinin uzunluqları bu ədədlərə mütənasib (və ya bərabər) olan üçbucaq, məsələn, düzbucaqlı olsun. ədədlərin üçlüyü: 3, 4, 5... Təbiət elmi. ensiklopedik lüğət
Yan uzunluqları bu ədədlərə mütənasib (və ya bərabər) olan üçbucağın düzbucaqlı olması üçün natural ədədlərin üçqatları, məsələn, üçlü ədədlər: 3, 4, 5. * * * PİFAQOR ƏQDƏLƏRİ PİFAQOR ƏDDLƏRİ, natural ədədlərin üçqatları belə. ki ...... ensiklopedik lüğət
Riyaziyyatda Pifaqor üçlüyü, Pifaqor əlaqəsini təmin edən üç natural ədəddən ibarət tənzimləmədir: Bu halda Pifaqor üçlüyünü təşkil edən ədədlərə Pifaqor ədədləri deyilir. Mündəricat 1 Primitiv üçlüklər ... Vikipediya
Pifaqor teoremi düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biridir. Mündəricat 1 ... Vikipediya
Pifaqor teoremi düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biridir. Mündəricat 1 Bəyanatlar 2 Sübutlar ... Vikipediya
Bu, P-nin tam ədəd funksiyası (məsələn, tam əmsallı polinom) olduğu və dəyişənlərin tam ədədlər aldığı forma tənliyidir. Qədim yunan riyaziyyatçısı Diofantın şərəfinə adlandırılmışdır. Mündəricat 1 Nümunələr ... Vikipediya
Çervyak Vitali
Yüklə:
Önizləmə:
Məktəblilərin elmi layihələri müsabiqəsi
“Evrika” regional elmi-praktik konfransı çərçivəsində
Kuban tələbələrinin Kiçik Elmlər Akademiyası
Pifaqor ədədlərinin öyrənilməsi
Riyaziyyat bölməsi.
Çervyak Vitaliy Gennadieviç, 9-cu sinif
MOBU SOSH №14
Korenovski rayonu
İncəsənət. Zhuravskaya
Elmi məsləhətçi:
Manko Galina Vasilievna
Riyaziyyat müəllimi
MOBU SOSH №14
Korenovsk 2011
Çervyak Vitali Gennadieviç
Pifaqor nömrələri
Annotasiya.
Tədqiqat mövzusu:Pifaqor nömrələri
Tədqiqat məqsədləri:
Tədqiqat məqsədləri:
- Riyazi qabiliyyətlərin müəyyən edilməsi və inkişafı;
- Mövzu üzrə riyazi təsvirin genişləndirilməsi;
- Mövzuya davamlı marağın formalaşdırılması;
- Müstəqil işin kommunikativ və ümumi təhsil bacarıqlarının inkişafı, müzakirə aparmaq, mübahisə etmək və s.;
- Analitik və məntiqi təfəkkürün formalaşması və inkişafı;
Tədqiqat üsulları:
- İnternet resurslarından istifadə;
- İstinad ədəbiyyatına giriş;
- Eksperimentin aparılması;
Çıxış:
- Bu işdən həndəsə dərsində əlavə material kimi, riyaziyyatdan seçmə kursların və ya seçmə kursların aparılmasında, həmçinin riyaziyyatdan sinifdənkənar işlərdə istifadə oluna bilər;
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
- Giriş…………………………………………………………………3
- Əsas hissə
2.1 Tarixi səhifə…………………………………………………4
2.2 Cüt və tək ayaqların sübutu ...................................................... .........5-6
2.3 Tapmaq üçün nümunənin çıxarılması
Pifaqor nömrələri…………………………………………………………7
2.4 Pifaqor ədədlərinin xassələri ……………………………………………… 8
3. Nəticə……………………………………………………………………9
4. İstifadə olunan mənbələrin və ədəbiyyatların siyahısı…………………… 10
Tətbiqlər ................................................... ................................................... . .....on bir
Əlavə I…………………………………………………………………11
Əlavə II………………………………………………………………..13
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Giriş
Pifaqor və onun həyatı haqqında beşinci sinifdə riyaziyyat dərsində eşitdim və “Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir” ifadəsi ilə maraqlandım. Pifaqor teoremini öyrənərkən Pifaqor ədədləri ilə maraqlandım.tədqiqatın məqsədi: Pifaqor teoremi və "Pifaqor ədədləri" haqqında daha çox məlumat əldə edin.
Mövzunun aktuallığı. Pifaqor teoreminin və Pifaqor üçlüyünün dəyəri uzun əsrlər boyu dünyanın bir çox alimləri tərəfindən sübut edilmişdir. Mənim işimdə müzakirə olunacaq məsələ olduqca sadə görünür, çünki o, hamının bildiyi riyazi müddəaya - Pifaqor teoreminə əsaslanır: istənilən düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza üzərində qurulmuş kvadrat, yuxarıdakı kvadratların üzərində qurulmuş kvadratların cəminə bərabərdir. ayaqları. İndi x, y, z natural ədədlərinin üçqatları, bunun üçün x 2 + y 2 = z 2 , adətən adlanırPifaqor üçlüyü. Belə çıxır ki, Pifaqor üçlüyü Babildə artıq məlum idi. Tədricən Yunan riyaziyyatçıları da onları tapdılar.
Bu işin məqsədi
- Pifaqor nömrələrini araşdırın;
- Pifaqor nömrələrinin necə əldə edildiyini anlayın;
- Pifaqor nömrələrinin hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu öyrənin;
- Pifaqor nömrələrindən istifadə edərək yerdə eksperimental olaraq perpendikulyar xətlər qurmaq;
İşin məqsədinə uyğun olaraq, bir sıra aşağıdakılar tapşırıqlar:
1. Pifaqor teoreminin tarixinin daha dərindən öyrənilməsi;
2. Pifaqor üçlüyünün universal xassələrinin təhlili.
3. Pifaqor üçlüyünün praktik tətbiqinin təhlili.
Tədqiqat obyekti: Pifaqor üçlüyü.
Tədqiqat mövzusu: riyaziyyat.
Tədqiqat üsulları: - İnternet resurslarından istifadə; - İstinad ədəbiyyatına müraciət; - Eksperimentin aparılması;
Nəzəri əhəmiyyəti:elmdə Pifaqor üçlüyünün kəşfinin oynadığı rol; Pifaqorun kəşfinin insan həyatında praktik tətbiqi.
Tətbiq olunan dəyərtədqiqat ədəbi mənbələrin təhlilindən və faktların sistemləşdirilməsindən ibarətdir.
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Pifaqor rəqəmlərinin tarixindən.
- Qədim Çin:
Chu-pei riyaziyyat kitabı:[ 2]
"Düz bucaq onun tərkib hissələrinə parçalanırsa, əsas 3 və hündürlüyü 4 olduqda, onun tərəflərinin uclarını birləşdirən xətt 5 olacaqdır."
- Qədim Misir: [2]
Cantor (ən böyük alman riyaziyyat tarixçisi) bərabərliyə inanır 3² + 4² = 5² Misirlilərə eramızdan əvvəl 2300-cü ildə məlum idi. e., padşahın dövründə Amenemhat (Berlin Muzeyinin Papirus 6619-a əsasən). Kantorun fikrincə harpedonaptlar, və ya tərəfləri 3 olan düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edərək düz bucaqlar quran "ip gərginlikləri"; 4 və 5.
- Babilistan: [ 3 ]
“Fales, Pifaqor və Pifaqorçular kimi ilk yunan riyaziyyatçılarının xidmətləri riyaziyyatın kəşfi deyil, onun sistemləşdirilməsi və əsaslandırılmasıdır. Onların əlində qeyri-müəyyən fikirlərə əsaslanan hesablama reseptləri dəqiq bir elmə çevrilmişdir.
- Pifaqor teoreminin tarixi:,
Bu teorem Pifaqorun adı ilə bağlı olsa da, ondan çox əvvəl məlum idi.
Babil mətnlərində o, Pifaqordan 1200 il əvvəl baş verir.
Görünür, onun sübutunu ilk tapan o olub. Bununla bağlı aşağıdakı qeyd edilib: “... düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın ayaqlara uyğun olduğunu aşkar etdikdə, buğda xəmirindən hazırlanmış öküzü qurban verdi”.
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Pifaqor ədədlərinin öyrənilməsi.
- Hər üçbucaq, tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqələndirilir, məşhur Pifaqor teoreminə görə, düzbucaqlıdır, çünki
3 2 + 4 2 = 5 2.
- 3,4 və 5 rəqəmlərindən əlavə, məlum olduğu kimi, əlaqəni təmin edən a, b və c müsbət tam ədədlərinin sonsuz çoxluğu var.
- 2-də A 2 + = c 2.
- Bu nömrələr adlanırPifaqor nömrələri
Pifaqor üçlüyü çox uzun müddətdir məlumdur. Qədim Meşə Potam məzar daşlarının memarlığında tərəfləri 9, 12 və 15 qulac olan iki düzbucaqlıdan ibarət ikitərəfli üçbucaq var. Firon Snefrunun (e.ə. XXI əsr) piramidaları tərəfləri 20, 21 və 29, həmçinin 18, 24 və 30 onlarla Misir qulacları olan üçbucaqlardan istifadə edilərək tikilmişdir.[ 1 ]
Ayaqları 3, 4 və hipotenuzası 5 olan düzbucaqlı üçbucağa Misir üçbucağı deyilir. Bu üçbucağın sahəsi mükəmməl 6 rəqəminə bərabərdir. Perimetri 12-yə bərabərdir - bu, xoşbəxtlik və firavanlıq simvolu hesab edilən bir rəqəmdir.
Düyünlərlə 12 bərabər hissəyə bölünmüş ipin köməyi ilə qədim misirlilər düz üçbucaq və düz bucaq düzəldirlər. Torpaq tədqiqatçıları tərəfindən yerə perpendikulyar xətlər çəkmək üçün istifadə olunan rahat və çox dəqiq bir üsul. Bir şnur və üç dirək götürmək lazımdır, şnur üçbucaq şəklində yerləşdirilir ki, bir tərəfi 3 hissədən, ikincisi 4 paydan, sonuncusu isə beş belə paydan ibarətdir. Şnurun düz bucağın olduğu üçbucaqda yerləşəcək.
Misir piramidalarını inşa edənlərin min illər əvvəl istifadə etdiyi bu qədim üsul, Pifaqor teoreminə görə tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqəli olan hər üçbucağın düzbucaqlı olması faktına əsaslanır.
Evklid, Pifaqor, Diofant və bir çox başqaları Pifaqor üçlüyünü tapmaqla məşğul idilər.[ 1]
Aydındır ki, əgər (x, y, z ) hər hansı bir təbii üçün Pifaqor üçlüyüdür k üçlü (kx, ky, kz ) həm də Pifaqor üçlüyü olacaq. Xüsusilə (6, 8, 10), (9, 12, 15) və s. Pifaqor üçlüyüdür.
Rəqəmlər artdıqca, Pifaqor üçlüyü daha nadir olur və tapmaq çətinləşir. Pifaqorçular tapma üsulunu icad etdilər
belə üçlüklər və ondan istifadə edərək, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyünün olduğunu sübut etdi.
Ümumi bölənləri 1-dən böyük olmayan üçlüklərə sadə üçlüklər deyilir.
Pifaqor üçlüyünün bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.[ 1]
Pifaqor teoreminə görə, bu ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın uzunluqları kimi xidmət edə bilər; buna görə də a və b “ayaqlar”, c isə “hipotenuz” adlanır.
Aydındır ki, a, b, c Pifaqor ədədlərinin üçlüyüdürsə, p-nin tam amil olduğu pa, p, pc Pifaqor ədədləridir.
Bunun əksi də doğrudur!
Buna görə də, biz əvvəlcə yalnız üçlü ikiqat Pifaqor ədədlərini öyrənəcəyik (qalanları onlardan p tam əmsalı ilə vurulmaqla əldə edilir).
Göstərək ki, belə a, b, c üçlüklərinin hər birində “ayaqlardan” biri cüt, digəri isə tək olmalıdır. Gəlin “əksinə” mübahisə edək. Hər iki "ayaq" a və b cütdürsə, a sayı cüt olacaqdır 2-də 2 + , və deməli, hipotenuza. Amma bu, a, b və c ədədlərinin ortaq amillərə malik olmaması ilə ziddiyyət təşkil edir, çünki üç cüt ədədin ümumi əmsalı 2-dir. Beləliklə, a və b “ayaqlarından” ən azı biri təkdir.
Daha bir ehtimal qalır: hər iki "ayaq" tək, "hipotenuz" isə cütdür. Bunun ola bilməyəcəyini sübut etmək asandır, çünki "ayaqlar" 2 x + 1 və 2y + 1 formasına malikdirsə, onda onların kvadratlarının cəmi bərabərdir.
4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2) + y) +2, yəni. 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verən ədəddir. Bu arada istənilən cüt ədədin kvadratı 4-ə qalıqsız bölünməlidir.
Deməli, iki tək ədədin kvadratlarının cəmi cüt ədədin kvadratı ola bilməz; başqa sözlə desək, üç ədədimiz Pifaqor deyil.
ÇIXIŞ:
Beləliklə, "ayaq" dan a, birinə cüt, digəri isə tək. Beləliklə, a sayı 2-də 2 + tək, bu o deməkdir ki, “hipotenuza” c.
Pifaqor müasir simvolizmdə belə yazıla bilən düsturlar tapdı: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, burada n tam ədəddir.
Bu rəqəmlər Pifaqor üçlüyüdür.
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Pifaqor ədədlərini tapmaq üçün nümunənin çıxarılması.
Aşağıdakı Pifaqor üçlüləri bunlardır:
- 3, 4, 5; 9+16=25.
- 5, 12, 13; 25+144=225.
- 7, 24, 25; 49+576=625.
- 8, 15, 17; 64+225=289.
- 9, 40, 41; 81+1600=1681.
- 12, 35, 37; 144+1225=1369.
- 20, 21, 29; 400+441=881
Asanlıqla görmək olar ki, Pifaqor üçlüyünün hər bir ədədini 2, 3, 4, 5 və s.-ə vurduqda aşağıdakı üçlükləri alırıq.
- 6, 8, 10;
- 9,12,15.
- 12, 16, 20;
- 15, 20, 25;
- 10, 24, 26;
- 18, 24, 30;
- 16, 30, 34;
- 21, 28, 35;
- 15, 36, 39;
- 24, 32, 40;
- 14, 48, 50;
- 30, 40, 50 və s.
Onlar da Pifaqor rəqəmləridir/
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Pifaqor ədədlərinin xassələri.
- Pifaqor nömrələrini nəzərdən keçirərkən bir sıra xüsusiyyətlər gördüm:
- 1) Pifaqor rəqəmlərindən biri üçə qat olmalıdır;
- 2) Onlardan başqa biri dördün qatı olmalıdır;
- 3) Pifaqor rəqəmlərinin üçüncüsü isə beşə qat olmalıdır;
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Nəticə.
Həndəsə digər elmlər kimi praktika ehtiyaclarından yaranmışdır. "Həndəsə" sözünün özü - yunanca, tərcümədə "ölçmə" deməkdir.
İnsanlar torpağı ölçmək ehtiyacı ilə çox erkən qarşılaşdılar. Artıq eramızdan əvvəl 3-4 min ildir. Çinin çayları olan Nil, Fərat və Dəclə vadilərindəki hər bir məhsuldar torpaq parçası insanların həyatı üçün əhəmiyyətli idi. Bunun üçün müəyyən həndəsi və arifmetik bilik ehtiyatı tələb olunurdu.
Tədricən insanlar daha mürəkkəb həndəsi fiqurların xüsusiyyətlərini ölçməyə və öyrənməyə başladılar.
Həm Misirdə, həm də Babildə nəhəng məbədlər tikildi, onların tikintisi yalnız ilkin hesablamalar əsasında həyata keçirilə bilərdi. Su kəmərləri də tikilmişdir. Bütün bunlar təsvirlər və hesablamalar tələb edirdi. Bu vaxta qədər Pifaqor teoreminin xüsusi halları yaxşı məlum idi, onlar artıq bilirdilər ki, tərəfləri x, y, z olan üçbucaqları götürsək, burada x, y, z elə tam ədədlərdir ki, x 2 + y 2 = z 2 , onda bu üçbucaqlar düzbucaqlı olacaq.
Bütün bu biliklər insan həyatının bir çox sahələrində bilavasitə tətbiq olunurdu.
Beləliklə, indiyə qədər antik dövrün alimi və filosofu Pifaqorun böyük kəşfi həyatımızda birbaşa tətbiq tapır.
Evlərin, yolların, kosmik gəmilərin, avtomobillərin, dəzgahların, neft kəmərlərinin, təyyarələrin, tunellərin, metroların və daha çox şeylərin tikintisi. Pifaqor üçlüləri gündəlik həyatda bizi əhatə edən bir çox şeyin dizaynında birbaşa tətbiq tapırlar.
Alimlərin ağlı isə Pifaqor teoreminin sübutlarının yeni versiyalarını axtarmağa davam edir.
- IN İşim nəticəsində mən bacardım:
- 1. Pifaqor, onun həyatı, Pifaqor qardaşlığı haqqında daha çox məlumat əldə edin.
- 2. Pifaqor teoreminin tarixi ilə tanış olun.
- 3. Pifaqor ədədləri, onların xassələri haqqında məlumat əldə edin, onları tapmağı öyrənin və praktikada tətbiq edin.
Çervyak Vitali Gennadieviç
Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 nömrəli orta məktəb, 9-cu sinif
Pifaqor nömrələri
Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna
Ədəbiyyat.
- Əyləncəli cəbr. MƏN VƏ. Perelman (s.117-120)
- www.garshin.ru
- image.yandex.ru
4. Anosov D.V. Riyaziyyata və ondan bir şeyə baxış. – M.: MTsNMO, 2003.
5. Uşaq ensiklopediyası. - M .: RSFSR Pedaqoji Elmlər Akademiyasının Nəşriyyatı, 1959.
6. Stepanova L.L. Elementar ədədlər nəzəriyyəsinin seçilmiş fəsilləri. – M.: Prometey, 2001.
7. V. Sierpinski Pifaqor üçbucaqları. - M.: Üçpdqız, 1959. S.111
Araşdırmanın gedişi Tarixi səhifə; Pifaqor teoremi; Sübut edin ki, “ayaqlardan” biri cüt, digəri tək olmalıdır; Pifaqor ədədlərinin tapılması üçün nümunənin çıxarılması; Pifaqor ədədlərinin xassələrini üzə çıxarmaq;
Giriş Beşinci sinifdə riyaziyyat dərsində Pifaqor və onun həyatı haqqında eşitdim və “Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir” ifadəsi ilə maraqlandım. Pifaqor teoremini öyrənərkən Pifaqor ədədləri ilə maraqlandım. Tədqiqatın məqsədini təyin etdim: Pifaqor teoremi və "Pifaqor ədədləri" haqqında daha çox öyrənmək.
Həqiqət əbədi olacaq, zəif insan onu nə tez biləcək! İndi də Pifaqor Vernin teoremi, onun uzaq çağında olduğu kimi
Pifaqor rəqəmlərinin tarixindən. Qədim Çin Riyaziyyat kitabı Çu-pei: "Əgər düz bucaq onun tərkib hissələrinə parçalanırsa, əsası 3 və hündürlüyü 4 olduqda onun tərəflərinin uclarını birləşdirən xətt 5 olacaq."
Qədim misirlilər arasında Pifaqor rəqəmləri Kantor (ən böyük alman riyaziyyat tarixçisi) hesab edir ki, 3 ² + 4 ² = 5² bərabərliyi eramızdan əvvəl 2300-cü ildə misirlilərə məlum idi. e., Kral Amenemhatın dövründə (Berlin Muzeyinin 6619 papirusuna görə). Kantorun fikrincə, harpedonaptlar və ya "stringerlər" tərəfləri 3 olan düz üçbucaqlardan istifadə edərək düzgün bucaqlar qurdular; 4 və 5.
Babildə Pifaqor teoremi “Fales, Pifaqor və Pifaqorçular kimi ilk yunan riyaziyyatçılarının xidmətləri riyaziyyatın kəşfi deyil, onun sistemləşdirilməsi və əsaslandırılmasıdır. Onların əlində qeyri-müəyyən fikirlərə əsaslanan hesablama reseptləri dəqiq bir elmə çevrilmişdir.
Hər üçbucaq, tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqələndirilir, məşhur Pifaqor teoreminə görə, düzbucaqlıdır, çünki 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. 3,4 və 5 rəqəmlərinə əlavə olaraq, , bildiyiniz kimi, A 2 + in 2 \u003d c 2 münasibətini təmin edən sonsuz a , in və c müsbət tam ədədlər toplusu. Bu ədədlərə Pifaqor ədədləri deyilir.
Pifaqor teoreminə görə, bu ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın uzunluqları kimi xidmət edə bilər; buna görə də a və b “ayaqlar”, c isə “hipotenuz” adlanır. Aydındır ki, a, b, c Pifaqor ədədlərinin üçlüyüdürsə, p-nin tam amil olduğu pa, p, pc Pifaqor ədədləridir. Bunun əksi də doğrudur! Buna görə də, biz əvvəlcə yalnız üçlü ikiqat Pifaqor ədədlərini öyrənəcəyik (qalanları onlardan p tam əmsalı ilə çarpılmaqla əldə edilir)
Çıxış! Deməli, a və b ədədlərindən biri cüt, digəri təkdir, yəni üçüncü ədəd də təkdir.
Aşağıdakı Pifaqor üçlükləri bunlardır: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841
Asanlıqla görmək olar ki, Pifaqor üçlüyünün hər bir ədədini 2, 3, 4, 5 və s.-ə vurduqda aşağıdakı üçlükləri alırıq. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 və s. Onlar da Pifaqor nömrələridir
Pifaqor ədədlərinin xassələri Pifaqor ədədlərini nəzərdən keçirərkən bir sıra xassələri gördüm: 1) Pifaqor ədədlərindən biri üçə qat olmalıdır; 2) onlardan biri dördün qatı olmalıdır; 3) Pifaqor rəqəmlərindən digəri isə beşə qat olmalıdır;
Pifaqor ədədlərinin praktik tətbiqi
Nəticə: İşim nəticəsində 1. Pifaqor, onun həyatı, Pifaqor qardaşlığı haqqında daha çox məlumat əldə edə bildim. 2. Pifaqor teoreminin tarixi ilə tanış olun. 3. Pifaqor ədədləri, onların xassələri haqqında məlumat əldə edin, onları tapmağı öyrənin. Eksperimental-eksperimental olaraq Pifaqor ədədlərindən istifadə edərək düzgün bucağı kənara qoyun.
» Uorvik Universitetinin riyaziyyat üzrə əməkdar professoru, tanınmış elmi populyarlaşdıran İan Stüart, rəqəmlərin bəşər tarixindəki roluna və dövrümüzdə onların öyrənilməsinin aktuallığına həsr etmişdir.
Pifaqor hipotenuzası
Pifaqor üçbucaqlarının düz bucağı və tam tərəfləri var. Onlardan ən sadəində ən uzun tərəfin uzunluğu 5, qalanları 3 və 4-dür. Ümumilikdə 5 müntəzəm polihedra var. Beşinci dərəcəli tənliyi beşinci dərəcəli köklərlə - və ya hər hansı digər köklərlə həll etmək olmaz. Müstəvidə və üçölçülü məkanda qəfəslər beş loblu fırlanma simmetriyasına malik deyildir, buna görə də kristallarda belə simmetriyalar da yoxdur. Bununla belə, onlar dördölçülü məkanda qəfəslərdə və kvazikristal kimi tanınan maraqlı strukturlarda ola bilərlər.
Ən kiçik Pifaqor üçlüyünün hipotenuzası
Pifaqor teoremində deyilir ki, düzbucaqlı üçbucağın ən uzun tərəfi (məşhur hipotenuz) bu üçbucağın digər iki tərəfi ilə çox sadə və gözəl şəkildə əlaqələndirilir: hipotenuzanın kvadratı digərinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. iki tərəf.
Ənənəvi olaraq biz bu teoremi Pifaqorun adı ilə çağırırıq, lakin əslində onun tarixi olduqca qeyri-müəyyəndir. Gil lövhələr onu deməyə əsas verir ki, qədim babillilər Pifaqor teoremini Pifaqorun özündən çox əvvəl bilirdilər; Kəşf edənin şöhrətini ona tərəfdarları kainatın ədədi nümunələrə əsaslandığına inanan Pifaqorçuların riyazi kultu gətirdi. Qədim müəlliflər Pifaqorçulara - buna görə də Pifaqora - müxtəlif riyazi teoremləri aid edirdilər, lakin əslində Pifaqorun özünün hansı riyaziyyatla məşğul olması barədə heç bir məlumatımız yoxdur. Pifaqorçuların Pifaqor teoremini sübut edə bildiklərini və ya sadəcə olaraq bunun doğru olduğuna inandıqlarını belə bilmirik. Və ya daha çox ehtimal ki, onların həqiqəti haqqında inandırıcı məlumatlar var idi, buna baxmayaraq bu gün sübut hesab etdiyimiz şey üçün kifayət etməzdi.
Pifaqorun sübutu
Pifaqor teoreminin ilk məlum sübutu Evklidin Elementlərində tapılıb. Bu, Viktoriya məktəblilərinin dərhal "Pifaqor şalvarları" kimi tanıyacaqları bir rəsmdən istifadə etməklə kifayət qədər mürəkkəb bir sübutdur; rəsm həqiqətən ipdə quruyan alt paltarına bənzəyir. Sözün əsl mənasında yüzlərlə başqa dəlil məlumdur ki, onların əksəriyyəti iddianı daha bariz edir.
// Düyü. 33. Pifaqor şalvarları
Ən sadə sübutlardan biri bir növ riyazi tapmacadır. İstənilən düzbucaqlı üçbucağı götürün, ondan dörd nüsxə çıxarın və kvadratın içərisinə yığın. Bir döşəmə ilə hipotenuzda bir kvadrat görürük; digəri ilə - üçbucağın digər iki tərəfindəki kvadratlar. Aydındır ki, hər iki halda sahələr bərabərdir.
// Düyü. 34. Sol: hipotenuzda kvadrat (üstəgəl dörd üçbucaq). Sağ: digər iki tərəfdəki kvadratların cəmi (üstəgəl eyni dörd üçbucaq). İndi üçbucaqları aradan qaldırın
Perigalin parçalanması başqa bir tapmaca parçasıdır.
// Düyü. 35. Periqalın parçalanması
Təyyarədə kvadratların yığılmasından istifadə edərək teoremin sübutu da var. Bəlkə də Pifaqorçular və ya onların naməlum sələfləri bu teoremi belə kəşf ediblər. Əgər əyri kvadratın digər iki kvadratla necə üst-üstə düşdüyünə baxsanız, böyük kvadratı parçalara ayırıb, sonra onları iki kiçik kvadrata necə birləşdirəcəyinizi görə bilərsiniz. Siz həmçinin tərəfləri cəlb olunan üç kvadratın ölçülərini verən düzbucaqlı üçbucaqları görə bilərsiniz.
// Düyü. 36. Səki ilə sübut
Triqonometriyada oxşar üçbucaqlardan istifadə edən maraqlı sübutlar var. Ən azı əlli müxtəlif dəlil məlumdur.
Pifaqor üçlüyü
Ədədlər nəzəriyyəsində Pifaqor teoremi səmərəli ideyanın mənbəyi oldu: cəbri tənliklərin tam həllərini tapmaq. Pifaqor üçlüyü a, b və c tam ədədlərinin çoxluğudur
Həndəsi olaraq belə üçlük tam tərəfləri olan düzbucaqlı üçbucağı təyin edir.
Pifaqor üçlüyünün ən kiçik hipotenuzası 5-dir.
Bu üçbucağın digər iki tərəfi 3 və 4-dür. Burada
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Növbəti ən böyük hipotenuz 10-dur, çünki
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Ancaq bu, ikiqat tərəfləri olan eyni üçbucaqdır. Növbəti ən böyük və həqiqətən fərqli hipotenuz 13-dür, bunun üçün
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Evklid bilirdi ki, Pifaqor üçlüyünün sonsuz sayda müxtəlif variasiyaları var və o, hamısını tapmaq üçün bir düstur adlandırdı. Daha sonra İsgəndəriyyəli Diophantus, Evklid ilə eyni olan sadə bir resept təklif etdi.
İstənilən iki natural ədəd götürün və hesablayın:
onların ikiqat məhsulu;
onların kvadratlarının fərqi;
onların kvadratlarının cəmi.
Yaranan üç ədəd Pifaqor üçbucağının tərəfləri olacaq.
Məsələn, 2 və 1 rəqəmlərini götürün. Hesablayın:
ikiqat məhsul: 2 × 2 × 1 = 4;
kvadratların fərqi: 22 - 12 = 3;
kvadratların cəmi: 22 + 12 = 5,
və məşhur 3-4-5 üçbucağını əldə etdik. Əvəzində 3 və 2 rəqəmlərini götürsək, alırıq:
ikiqat məhsul: 2 × 3 × 2 = 12;
kvadratların fərqi: 32 - 22 = 5;
kvadratların cəmi: 32 + 22 = 13,
və növbəti məşhur üçbucağı alırıq 5 - 12 - 13. Gəlin 42 və 23 rəqəmlərini götürüb əldə etməyə çalışaq:
ikiqat məhsul: 2 × 42 × 23 = 1932;
kvadratların fərqi: 422 - 232 = 1235;
kvadratların cəmi: 422 + 232 = 2293,
1235-1932-2293 üçbucağı haqqında heç kim eşitməmişdir.
Ancaq bu nömrələr də işləyir:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Diophantine qaydasında artıq işarə edilmiş başqa bir xüsusiyyət var: üç rəqəm aldıqdan sonra başqa bir ixtiyari nömrə götürə və hamısını ona vura bilərik. Beləliklə, 3-4-5 üçbucağı bütün tərəfləri 2-yə vurmaqla 6-8-10 üçbucağına və ya hər şeyi 5-ə vurmaqla 15-20-25 üçbucağına çevrilə bilər.
Cəbrin dilinə keçsək, qayda aşağıdakı formanı alır: u, v və k natural ədədlər olsun. Sonra tərəfləri olan düzbucaqlı üçbucaq
2kuv və k (u2 - v2) hipotenuza malikdir
Əsas ideyanı təqdim etməyin başqa yolları da var, lakin onların hamısı yuxarıda təsvir edilən birinə çevrilir. Bu üsul bütün Pifaqor üçlüyü əldə etməyə imkan verir.
Adi çoxüzlülər
Tam beş müntəzəm çoxüzlü var. Müntəzəm çoxüzlü (və ya çoxüzlü) sonlu sayda düz üzləri olan üçölçülü fiqurdur. Fasetlər bir-biri ilə kənar adlanan xətlər üzərində birləşir; kənarları təpə adlanan nöqtələrdə birləşir.
Evklid "Prinsipləri"nin kulminasiya nöqtəsi yalnız beş nizamlı çoxüzlülərin, yəni hər üzün düzgün çoxbucaqlı (bərabər tərəflər, bərabər bucaqlar), bütün üzlərin eyni olduğu və bütün təpələrin əhatə olunduğu çoxüzlülərin ola biləcəyinə sübutdur. bərabər sayda bərabər aralıqlı üzlərlə. Budur beş müntəzəm çoxüzlülər:
dörd üçbucaqlı üzü, dörd təpəsi və altı kənarı olan tetraedr;
kub və ya altıbucaqlı, 6 kvadrat üzü, 8 təpəsi və 12 kənarı;
8 üçbucaqlı üzü, 6 təpəsi və 12 kənarı olan oktaedr;
12 beşbucaqlı üzü, 20 təpəsi və 30 kənarı olan dodekaedr;
20 üçbucaqlı üzü, 12 təpəsi və 30 kənarı olan ikosahedr.
// Düyü. 37. Beş müntəzəm çoxüzlü
Təbiətdə müntəzəm çoxüzlülərə də rast gəlmək olar. 1904-cü ildə Ernst Hekkel radiolariyalılar kimi tanınan kiçik orqanizmlərin rəsmlərini nəşr etdi; onların çoxu eyni beş müntəzəm çoxüzlüyə bənzəyir. Ola bilsin ki, o, təbiəti bir az korrektə edib və rəsmlər konkret canlıların formasını tam əks etdirmir. İlk üç struktur kristallarda da müşahidə olunur. Kristallarda dodekaedr və ikosahedron tapa bilməzsiniz, baxmayaraq ki, nizamsız dodekaedrlər və ikosahedronlar bəzən orada rast gəlinir. Həqiqi dodekaedrlər kvazikristal kimi meydana gələ bilər, hər cəhətdən kristallara bənzəyir, ancaq atomlarının dövri qəfəs əmələ gətirməməsi istisna olmaqla.
// Düyü. 38. Hekelin rəsmləri: müntəzəm çoxüzlülər şəklində radiolarlar
// Düyü. 39. Müntəzəm Polihedranın inkişafı
Əvvəlcə bir-biri ilə əlaqəli üzlər dəstini kəsərək kağızdan müntəzəm çoxüzlülərin modellərini hazırlamaq maraqlı ola bilər - buna çoxüzlü süpürmə deyilir; tarama kənarları boyunca qatlanır və müvafiq kənarlar bir-birinə yapışdırılır. Şəkildə göstərildiyi kimi, hər bir belə cütün kənarlarından birinə yapışqan üçün əlavə bir sahə əlavə etmək faydalıdır. 39. Belə bir platforma yoxdursa, yapışan lentdən istifadə edə bilərsiniz.
Beşinci dərəcəli tənlik
5-ci dərəcəli tənliklərin həlli üçün cəbri düstur yoxdur.
Ümumiyyətlə, beşinci dərəcəli tənlik belə görünür:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Məsələ belə bir tənliyi həll etmək üçün bir düstur tapmaqdır (onun beşə qədər həlli ola bilər). Kvadrat və kub tənlikləri, eləcə də dördüncü dərəcəli tənliklərlə işləmə təcrübəsi onu göstərir ki, belə bir düstur beşinci dərəcəli tənliklər üçün də mövcud olmalıdır və nəzəri olaraq beşinci, üçüncü və ikinci dərəcəli köklər olmalıdır. içində görünür. Yenə də əminliklə güman etmək olar ki, belə bir düstur, əgər varsa, çox, çox mürəkkəb olacaq.
Bu fərziyyə sonda yanlış çıxdı. Həqiqətən də belə bir düstur yoxdur; ən azı toplama, çıxma, vurma və bölmədən istifadə edərək, kök götürməklə qurulan a, b, c, d, e və f əmsallarından ibarət düstur yoxdur. Beləliklə, 5 rəqəmində çox xüsusi bir şey var. Beşin bu qeyri-adi davranışının səbəbləri çox dərindir və onları anlamaq üçün çox vaxt lazım idi.
Problemin ilk əlaməti o idi ki, riyaziyyatçılar belə bir düstur tapmaq üçün nə qədər çalışsalar da, nə qədər ağıllı olsalar da, həmişə uğursuzluğa düçar olmuşlar. Bir müddətdir ki, hər kəs səbəblərin formulun inanılmaz mürəkkəbliyində olduğuna inanırdı. Heç kimin bu cəbri düzgün başa düşə bilməyəcəyinə inanılırdı. Lakin zaman keçdikcə bəzi riyaziyyatçılar belə bir formulun hətta mövcud olduğuna şübhə etməyə başladılar və 1823-cü ildə Niels Hendrik Abel bunun əksini sübut edə bildi. Belə bir formula yoxdur. Qısa müddətdən sonra Evariste Qalua bu və ya digər dərəcədə - 5-ci, 6-cı, 7-ci, ümumiyyətlə hər hansı bir tənliyin bu cür düsturdan istifadə edərək həll edilə biləcəyini müəyyən etmək üçün bir yol tapdı.
Bütün bunlardan nəticə sadədir: 5 rəqəmi xüsusidir. 1, 2, 3 və 4-ün dərəcələri üçün cəbri tənlikləri (n-nin müxtəlif qiymətləri üçün n-ci köklərdən istifadə etməklə) həll edə bilərsiniz, lakin 5-in dərəcələri üçün deyil. Bu, aşkar nümunənin bitdiyi yerdir.
5-dən böyük güc tənliklərinin daha pis davranması heç kəsi təəccübləndirmir; xüsusən də eyni çətinlik onlarla bağlıdır: onların həlli üçün ümumi düsturlar yoxdur. Bu o demək deyil ki, tənliklərin həlli yoxdur; bu o demək deyil ki, bu həllərin çox dəqiq ədədi qiymətlərini tapmaq mümkün deyil. Bu, ənənəvi cəbr alətlərinin məhdudiyyətləri haqqındadır. Bu, xətkeş və kompasla bucağı üçə bölməyin mümkünsüzlüyünü xatırladır. Cavab var, lakin sadalanan üsullar kifayət deyil və bunun nə olduğunu müəyyən etməyə imkan vermir.
Kristaloqrafik məhdudiyyət
İki və üç ölçülü kristallarda 5 şüa fırlanma simmetriyası yoxdur.
Kristaldakı atomlar bir qəfəs, yəni bir neçə müstəqil istiqamətdə dövri olaraq təkrarlanan bir quruluş meydana gətirir. Məsələn, divar kağızı üzərində nümunə rulonun uzunluğu boyunca təkrarlanır; əlavə olaraq, adətən üfüqi istiqamətdə, bəzən bir divar kağızı parçasından digərinə keçidlə təkrarlanır. Əslində, divar kağızı iki ölçülü bir kristaldır.
Təyyarədə 17 növ divar kağızı naxışları var (17-ci fəslə baxın). Onlar simmetriya növlərinə görə, yəni naxışı ilkin vəziyyətində tam olaraq öz üzərində olması üçün sərt şəkildə dəyişdirmə üsullarında fərqlənirlər. Simmetriya növlərinə, xüsusən də fırlanma simmetriyasının müxtəlif variantları daxildir, burada naxış müəyyən bir nöqtə ətrafında - simmetriya mərkəzi ətrafında müəyyən bir açı ilə fırlanmalıdır.
Fırlanma simmetriyasının qaydası, şəklin bütün detallarının orijinal vəziyyətinə qayıtması üçün bədəni tam dairəyə neçə dəfə döndərə biləcəyinizdir. Məsələn, 90° fırlanma 4-cü dərəcəli fırlanma simmetriyasıdır*. Kristal qəfəsdə fırlanma simmetriyasının mümkün növlərinin siyahısı yenidən 5 rəqəminin qeyri-adiliyinə işarə edir: orada yoxdur. 2-ci, 3-cü, 4-cü və 6-cı dərəcəli fırlanma simmetriyasına malik variantlar var, lakin heç bir divar kağızı nümunəsində 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyası yoxdur. Kristallarda 6-dan çox fırlanma simmetriyası da yoxdur, lakin ardıcıllığın ilk pozulması hələ də 5 nömrəsində baş verir.
Eyni şey üçölçülü məkanda kristalloqrafik sistemlərlə də baş verir. Burada qəfəs üç müstəqil istiqamətdə təkrarlanır. 219 müxtəlif simmetriya növü var və ya naxışın güzgüdəki əksini onun ayrıca variantı hesab etsək 230 - üstəlik, bu halda güzgü simmetriyası yoxdur. Yenə 2, 3, 4 və 6-cı sıraların fırlanma simmetriyaları müşahidə edilir, lakin 5 deyil. Bu fakt kristalloqrafik məhdudiyyət adlanır.
Dördölçülü fəzada 5-ci dərəcəli simmetriyaya malik qəfəslər mövcuddur; ümumiyyətlə, kifayət qədər yüksək ölçülü qəfəslər üçün fırlanma simmetriyasının əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı bir qaydası mümkündür.
// Düyü. 40. Süfrə duzunun kristal qəfəsi. Tünd toplar natrium atomlarını, açıq toplar isə xlor atomlarını təmsil edir.
Kvazikristallar
2D və 3D qəfəslərdə 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyası mümkün olmasa da, kvazikristal kimi tanınan bir qədər daha az nizamlı strukturlarda mövcud ola bilər. Keplerin eskizlərindən istifadə edərək, Rocer Penrose daha ümumi tipli beşqat simmetriyaya malik düz sistemləri kəşf etdi. Onlara kvazikristallar deyilir.
Təbiətdə kvazikristallar mövcuddur. 1984-cü ildə Daniel Shechtman kəşf etdi ki, alüminium və manqan ərintisi kvazi-kristallar əmələ gətirə bilər; Əvvəlcə kristalloqraflar onun mesajını bir qədər şübhə ilə qarşıladılar, lakin sonradan kəşf təsdiqləndi və 2011-ci ildə Şextman kimya üzrə Nobel mükafatına layiq görüldü. 2009-cu ildə Luka Bindinin rəhbərlik etdiyi alimlər qrupu Rusiyanın Koryak dağlarından olan mineralda - alüminium, mis və dəmir birləşməsində kvazi-kristallar aşkar ediblər. Bu gün bu mineral ikosahedrit adlanır. Mineraldakı müxtəlif oksigen izotoplarının miqdarını kütlə spektrometri ilə ölçən alimlər bu mineralın Yer kürəsində yaranmadığını göstəriblər. O, təxminən 4,5 milyard il əvvəl, Günəş sisteminin yeni yarandığı bir vaxtda yaranıb və vaxtının çox hissəsini asteroid qurşağında, günəşin orbitində keçirib, hansısa narahatlıq orbitini dəyişib nəhayət onu Yerə gətirənə qədər.
// Düyü. 41. Sol: dəqiq beşqat simmetriyaya malik iki kvazi-kristal qəfəsdən biri. Sağda: İkosaedral alüminium-palladium-manqan kvazikristalının atom modeli