Sinus - sin (x) törəməsi üçün düsturun isbatı və törəməsi təqdim olunur. Sin 2x, sinus kvadrat və kub törəmələrinin hesablanması nümunələri. n-ci dərəcəli sinusun törəməsi üçün düsturun törəməsi.

Məzmun

Həmçinin bax: Sinus və kosinus - xassələr, qrafiklər, düsturlar

X-in sinusunun x dəyişəninə görə törəmə x-in kosinusuna bərabərdir:
(sin x)' = cos x.

Sübut

Sinusun törəməsinin düsturunu əldə etmək üçün törəmənin tərifindən istifadə edəcəyik:
.

Bu həddi tapmaq üçün ifadəni məlum qanunlara, xassələrə və qaydalara endirəcək şəkildə çevirməliyik. Bunun üçün dörd xassəni bilməliyik.
1) İlk diqqətəlayiq həddin mənası:
(1) ;
2) Kosinus funksiyasının davamlılığı:
(2) ;
3) Triqonometrik düsturlar. Bizə aşağıdakı formul lazımdır:
(3) ;
4) Funksiya limitinin arifmetik xassələri:
Əgər və sonra
(4) .

Biz bu qaydaları öz limitimizə uyğun tətbiq edirik. Əvvəlcə cəbri ifadəni çeviririk
.
Bunun üçün formula tətbiq edirik
(3) .
Bizim vəziyyətimizdə
; . Sonra
;
;
;
.

İndi bir əvəzetmə edək. , . Gəlin ilk diqqətəlayiq həddi tətbiq edək (1):
.

Eyni əvəzetməni edirik və davamlılıq xassəsindən istifadə edirik (2):
.

Yuxarıda hesablanmış məhdudiyyətlər mövcud olduğundan, biz (4) mülkiyyətini tətbiq edirik:

.

Sinusun törəməsinin düsturu sübut edilmişdir.

Nümunələr

düşünün sadə nümunələr tərkibində sinus olan funksiyaların törəmələrinin tapılması. Aşağıdakı funksiyaların törəmələrini tapacağıq:
y=sin2x; y= günah2x və y= günah3x.

Misal 1

-nin törəməsini tapın günah 2x.

Əvvəlcə ən sadə hissənin törəməsini tapırıq:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Biz müraciət edirik.
.
Budur.

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Misal 2

Kvadrat sinusun törəməsini tapın:
y= günah2x.

Orijinal funksiyanı daha başa düşülən formada yenidən yazaq:
.
Ən sadə hissənin törəməsini tapın:
.
Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur tətbiq edirik.

.
Budur.

Triqonometriya düsturlarından birini tətbiq etmək olar. Sonra
.

Misal 3

Sinus kubunun törəməsini tapın:
y= günah3x.

Daha yüksək sifarişlərin törəmələri

Qeyd edək ki, törəməsi günah x birinci sıra sinus baxımından aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək ikinci dərəcəli törəməni tapaq:

.
Budur.

İndi biz fərqi görə bilərik günah x arqumentinin artmasına səbəb olur. Onda n-ci sıranın törəməsi formaya malikdir:
(5) .

Riyazi induksiya metodunu tətbiq etməklə bunu sübut edək.

Biz artıq düsturun (5) etibarlı olduğunu yoxlamışıq.

Fərz edək ki, düstur (5) -in bəzi qiyməti üçün etibarlıdır. Sübut edək ki, bundan belə nəticə çıxır ki, (5) formul - üçün etibarlıdır.

(5) düsturunu yazırıq:
.
Bu tənliyi mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq etməklə fərqləndiririk:

.
Budur.
Beləliklə, tapdıq:
.
-ı əvəz etsək, bu düstur (5) formasını alır.

Formula sübut edilmişdir.

Həmçinin bax:

törəmə

Riyazi funksiyanın törəməsinin hesablanması (diferensiasiya) ali riyaziyyatın həllində çox ümumi işdir. Sadə (elementar) riyazi funksiyalar üçün bu, kifayət qədər sadə məsələdir, çünki elementar funksiyalar üçün törəmələrin cədvəlləri çoxdan tərtib edilib və asanlıqla əldə edilə bilər. Bununla belə, mürəkkəb riyazi funksiyanın törəməsinin tapılması əhəmiyyətsiz bir iş deyil və çox vaxt əhəmiyyətli səy və vaxt tələb edir.

Törəmə onlayn tapın

Onlayn xidmətimiz mənasız uzun hesablamalardan qurtulmağa imkan verir və törəməni onlayn tapın bir anda. Üstəlik, saytda yerləşən xidmətimizdən istifadə etməklə www.site, hesablaya bilərsiniz törəmə onlayn həm elementar funksiyadan, həm də analitik həlli olmayan çox mürəkkəb funksiyadan. Saytımızın digərləri ilə müqayisədə əsas üstünlükləri bunlardır: 1) törəmənin hesablanması üçün riyazi funksiyanın daxil edilməsi üsuluna ciddi tələblər yoxdur (məsələn, sin x funksiyasına daxil olarkən onu sin x və ya sin kimi daxil edə bilərsiniz. (x) və ya sin [x] və s.) d.); 2) törəmənin onlayn hesablanması rejimdə dərhal baş verir onlayn və mütləq pulsuzdur; 3) funksiyanın törəməsini tapmağa imkan veririk istənilən sifariş, törəmənin sırasını dəyişdirmək çox asan və başa düşüləndir; 4) demək olar ki, hər hansı bir riyazi funksiyanın törəməsini onlayn, hətta çox mürəkkəb, digər xidmətlər üçün əlçatmaz tapmaq imkanı veririk. Verilən cavab həmişə dəqiqdir və səhvləri ehtiva edə bilməz.

Bizim serverimizdən istifadə etmək sizə 1) törəməni sizin üçün onlayn hesablamağa imkan verəcək, sizi uzun və yorucu hesablamalardan xilas edərək səhv və ya yazı xətası edə bilərsiniz; 2) riyazi funksiyanın törəməsini özünüz hesablayırsınızsa, onda biz sizə nəticəni xidmətimizin hesablamaları ilə müqayisə etmək və həllin düzgün olduğundan əmin olmaq və ya gizli xəta tapmaq imkanı veririk; 3) sadə funksiyaların törəmə cədvəllərindən istifadə etmək əvəzinə xidmətimizdən istifadə edin, burada istədiyiniz funksiyanı tapmaq üçün çox vaxt vaxt lazımdır.

Sizdən tələb olunan hər şey törəməni onlayn tapın bizim xidmətdən istifadə etməkdir

Mövzunu öyrənərkən rahatlıq və aydınlıq üçün xülasə cədvəlini təqdim edirik.

Sabity=C Güc funksiyası y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponensial funksiyay = x (a x)" = a x ln a Xüsusilə, nə vaxta = ebizdə var y = e x (e x)" = e x
loqarifmik funksiya (log a x) " = 1 x ln a Xüsusilə, nə vaxta = ebizdə var y = log x (ln x)" = 1 x	Triqonometrik funksiyalar (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Tərs triqonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperbolik funksiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Göstərilən cədvəlin düsturlarının necə alındığını təhlil edək və ya başqa sözlə, hər bir funksiya növü üçün törəmələr üçün düsturların alınmasını sübut edəcəyik.

Sabitin törəməsi

Sübut 1

Bu düsturu əldə etmək üçün bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin tərifini əsas götürürük. Biz x 0 = x istifadə edirik, burada x istənilən həqiqi ədədin qiymətini alır və ya başqa sözlə, x f (x) = C funksiyasının oblastından istənilən ədəddir. Funksiya artımının arqumentin artımına nisbətinin limitini ∆ x → 0 kimi yazaq:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Nəzərə alın ki, 0 ∆ x ifadəsi limit işarəsinin altına düşür. Bu, "sıfırın sıfıra bölünməsi" qeyri-müəyyənliyi deyil, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər deyil, sıfır var. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır.

Deməli, f (x) = C sabit funksiyasının törəməsi bütün tərif oblastı üzrə sıfıra bərabərdir.

Misal 1

Verilmiş sabit funksiyalar:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Həll

Verilmiş şərtləri təsvir edək. Birinci funksiyada 3 natural ədədinin törəməsini görürük. Aşağıdakı nümunədə törəməni götürməlisiniz a, harada a- istənilən real rəqəm. Üçüncü nümunə bizə törəməni verir irrasional ədəd dörd. 13 7 22 , dördüncü - sıfırın törəməsi (sıfır tam ədəddir). Nəhayət, beşinci halda rasional kəsrin törəməsi var - 8 7 .

Cavab: verilmiş funksiyaların törəmələri istənilən real üçün sıfırdır x(bütün tərif sahəsi üzrə)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Güc funksiyasının törəməsi

Güc funksiyasına və onun törəməsinin formasına müraciət edirik: (x p) " = p x p - 1, burada eksponent səh istənilən real rəqəmdir.

Sübut 2

Düsturun isbatını eksponent olduqda təqdim edirik natural ədəd: p = 1 , 2 , 3 , …

Yenə də törəmənin tərifinə etibar edirik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin limitini yazaq:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyutonun binom düsturundan istifadə edirik:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Bu minvalla:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Beləliklə, eksponent natural ədəd olduqda güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut etdik.

Sübut 3

Nə vaxt iş üçün sübut vermək p- sıfırdan başqa istənilən həqiqi ədəd üçün loqarifmik törəmədən istifadə edirik (burada loqarifmik funksiyanın törəməsi ilə fərqi başa düşməliyik). Daha dolğun anlayışa malik olmaq üçün loqarifmik funksiyanın törəməsini öyrənmək və əlavə olaraq gizli verilmiş funksiyanın törəməsi və mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə məşğul olmaq məqsədəuyğundur.

İki halı nəzərdən keçirin: nə vaxt x müsbət və nə vaxt x mənfi olurlar.

Beləliklə, x > 0. Sonra: x p > 0 . y \u003d x p bərabərliyinin loqarifmini e əsasına götürürük və loqarifmin xassəsini tətbiq edirik:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Bu mərhələdə gizli müəyyən edilmiş funksiya əldə edilmişdir. Onun törəməsini müəyyən edək:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

İndi biz nə vaxt vəziyyətə baxırıq x- mənfi rəqəm.

Əgər göstərici səh var cüt Ədəd, onda güc funksiyası da x üçün müəyyən edilir< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sonra xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Əgər a səh tək ədəddir, onda güc funksiyası x üçün müəyyən edilir< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Son keçid mümkündür, çünki əgər səh onda tək rəqəmdir p - 1 ya cüt ədəd, ya da sıfır (p = 1 üçün), buna görə də mənfi üçün x(- x) p - 1 = x p - 1 bərabərliyi doğrudur.

Beləliklə, biz istənilən real p üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut etdik.

Misal 2

Verilmiş funksiyalar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Onların törəmələrini təyin edin.

Həll

Verilmiş funksiyaların bir hissəsini dərəcənin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq cədvəl formasına çeviririk y = x p , sonra isə düsturdan istifadə edirik:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Eksponensial funksiyanın törəməsi

Sübut 4

Tərifə əsaslanaraq törəmə üçün düstur çıxarırıq:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Bizdə qeyri-müəyyənlik var. Onu genişləndirmək üçün yeni z = a ∆ x - 1 dəyişənini yazırıq (z → 0 kimi ∆ x → 0). Bu halda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Sonuncu keçid üçün loqarifmin yeni bazasına keçid formulundan istifadə edilir.

Orijinal limitdə bir əvəzetmə yerinə yetirək:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z) + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

İkinci əlamətdar həddi xatırlayın və sonra törəmə üçün düstur alırıq eksponensial funksiya:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Misal 3

Eksponensial funksiyalar verilir:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Biz onların törəmələrini tapmalıyıq.

Həll

Eksponensial funksiyanın törəməsi və loqarifmin xassələri üçün düsturdan istifadə edirik:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Sübut 5

İstənilən üçün loqarifmik funksiyanın törəməsi üçün düsturun isbatını təqdim edirik x tərif sahəsində və loqarifmin a əsasının hər hansı etibarlı dəyərləri. Törəmə tərifinə əsasən, əldə edirik:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Göstərilən bərabərlik zəncirindən görünür ki, çevrilmələr loqarifm xassəsi əsasında qurulmuşdur. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e bərabərliyi ikinci əlamətdar həddə uyğun olaraq doğrudur.

Misal 4

Loqarifmik funksiyalar verilir:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Onların törəmələrini hesablamaq lazımdır.

Həll

Alınan düsturu tətbiq edək:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Beləliklə, törəmə təbii loqarifm bölünən vahiddir x.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri

Sübut 6

Bəzilərini istifadə edirik triqonometrik düsturlar və triqonometrik funksiyanın törəməsi üçün düsturun alınması üçün ilk diqqətəlayiq həddi.

Sinus funksiyasının törəməsinin tərifinə görə alırıq:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinusların fərqi düsturu bizə aşağıdakı hərəkətləri yerinə yetirməyə imkan verəcəkdir:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Nəhayət, ilk gözəl limitdən istifadə edirik:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x olacaq cos x.

Kosinus törəməsinin düsturunu da eyni şəkildə sübut edəcəyik:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Bunlar. cos x funksiyasının törəməsi olacaq – günah x.

Diferensiasiya qaydalarına əsasən tangens və kotangensin törəmələri üçün düsturlar əldə edirik:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri

Tərs funksiyaların törəməsi bölməsində arksinus, arkkosinus, arktangens və arktangens törəmələri üçün düsturların isbatı haqqında geniş məlumat verilir, ona görə də biz burada materialı təkrar etməyəcəyik.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri

Sübut 7

Diferensiasiya qaydasından və eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturundan istifadə edərək hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangensin törəmələri üçün düsturlar əldə edə bilərik:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Cədvəlin ilk düsturunu çıxararkən, bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin tərifindən çıxış edəcəyik. hara aparaq x- istənilən real rəqəm, yəni, x– funksiyanın təyini sahəsindən istənilən ədəd . Funksiya artımının arqument artımına nisbətinin limitini -də yazaq:

Qeyd etmək lazımdır ki, həddin işarəsi altında sıfırın qeyri-müəyyənliyi sıfıra bölünməsi olmayan bir ifadə alınır, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər deyil, dəqiq sıfır var. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır.

Bu minvalla, sabit funksiyanın törəməsibütün tərif sahəsi üzrə sıfıra bərabərdir.

Güc funksiyasının törəməsi.

Güc funksiyasının törəməsinin düsturu formaya malikdir , eksponent olduğu yerdə səh istənilən real rəqəmdir.

Əvvəlcə təbii göstəricinin, yəni üçün düsturunu sübut edək p = 1, 2, 3, ...

Törəmə tərifindən istifadə edəcəyik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini yazaq:

Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyutonun binom düsturuna müraciət edirik:

Nəticədə,

Bu, təbii eksponent üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut edir.

Eksponensial funksiyanın törəməsi.

Tərifə əsasən törəmə düsturunu əldə edirik:

Qeyri-müəyyənliyə gəldi. Onu genişləndirmək üçün yeni dəyişən təqdim edirik və . Sonra . Sonuncu keçiddə loqarifmin yeni bazasına keçid üçün düsturdan istifadə etdik.

Orijinal limitdə bir əvəzetmə yerinə yetirək:

İkinci gözəl həddi xatırlasaq, eksponensial funksiyanın törəməsi üçün formulaya gəlirik:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi.

Hamı üçün loqarifmik funksiyanın törəməsinin düsturunu sübut edək xəhatə dairəsindən və bütün etibarlı əsas dəyərlərdən a loqarifm. Törəmə tərifinə görə bizdə:

Diqqət etdiyiniz kimi, sübutda loqarifmin xassələrindən istifadə etməklə çevrilmələr aparılmışdır. Bərabərlik ikinci diqqətəlayiq limitə görə etibarlıdır.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri üçün düsturlar əldə etmək üçün bəzi triqonometriya düsturlarını, eləcə də ilk diqqətəlayiq həddi xatırlamalı olacağıq.

Sinus funksiyası üçün törəmənin tərifinə görə, biz var .

Sinusların fərqi üçün düsturdan istifadə edirik:

İlk əlamətdar həddə keçmək qalır:

Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x var cos x.

Kosinus törəməsinin düsturu tam eyni şəkildə isbat edilir.

Buna görə də funksiyanın törəməsi cos x var – sin x.

Tangens və kotangens üçün törəmələr cədvəli üçün düsturların alınması sübut edilmiş diferensiallaşdırma qaydalarından (kəsirin törəməsi) istifadə edilməklə həyata keçiriləcəkdir.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri.

Diferensiasiya qaydaları və törəmələr cədvəlindən eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturu hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangensin törəmələri üçün düsturlar əldə etməyə imkan verir.

Tərs funksiyanın törəməsi.

Təqdimatda çaşqınlıq olmasın deyə, aşağı indeksdə diferensiasiyanın həyata keçirildiyi funksiyanın arqumentini qeyd edək, yəni funksiyanın törəməsidir. f(x) haqqında x.

İndi formalaşdırırıq tərs funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası.

Qoy funksiyalar y = f(x) və x = g(y) qarşılıqlı tərs, intervallarda müəyyən edilmiş və müvafiq olaraq. Əgər bir nöqtədə funksiyanın sonlu sıfırdan fərqli törəməsi varsa f(x), onda nöqtədə tərs funksiyanın sonlu törəməsi mövcuddur g(y), və . Başqa bir girişdə .

Bu qayda hər kəs üçün yenidən formalaşdırıla bilər x intervaldan , sonra alırıq .

Bu düsturların etibarlılığını yoxlayaq.

Natural loqarifm üçün tərs funksiyanı tapaq (burada y funksiyadır və x- mübahisə). üçün bu tənliyin həlli x, alırıq (burada x funksiyadır və y onun arqumenti). Yəni, və qarşılıqlı tərs funksiyalar.

Törəmələr cədvəlindən bunu görürük və .

Əmin olaq ki, tərs funksiyanın törəmələrini tapmaq üçün düsturlar bizi eyni nəticələrə gətirib çıxarır:

Gördüyünüz kimi, törəmələr cədvəlində olduğu kimi eyni nəticələr əldə etdik.

İndi tərs törəmələr üçün düsturları sübut etmək üçün biliyə sahibik triqonometrik funksiyalar.

Arksinusun törəməsi ilə başlayaq.

. Sonra tərs funksiyanın törəməsi üçün düsturla əldə edirik

Qalır transformasiyanı həyata keçirmək.

Arksinüs diapazonu interval olduğundan , sonra (əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri bölməsinə baxın). Ona görə də nəzərə almırıq.

Nəticədə, . Arksinusun törəməsinin təyini sahəsi intervaldır (-1; 1) .

Arkkosin üçün hər şey eyni şəkildə edilir:

Qövs tangensinin törəməsini tapın.

Çünki tərs funksiyadır .

Nəticə ifadəsini sadələşdirmək üçün qövs tangensini qövs kosinusu vasitəsilə ifadə edirik.

Qoy arctanx = z, sonra

Nəticədə,

Eynilə, tərs tangensin törəməsi tapılır: