2.3. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması

vektor verilsin mürəkkəb müstəvi nömrə.

Müsbət yarımox Ox ilə vektor arasındakı bucağı φ ilə işarələyin (φ bucağı saat əqrəbinin əksinə hesablandıqda müsbət, əks halda isə mənfi hesab olunur).

Vektorun uzunluğunu r ilə işarələyin. Sonra . Biz də işarə edirik

Sıfırdan fərqli yazın kompleks ədəd z şəklində

z kompleks ədədinin triqonometrik forması adlanır. r ədədi z kompleks ədədinin modulu, φ ədədi isə bu kompleks ədədin arqumenti adlanır və Arg z ilə işarələnir.

Kompleks ədədin yazılmasının triqonometrik forması - (Euler düsturu) - kompleks ədədin yazılmasının eksponensial forması:

Kompleks z ədədinin sonsuz çoxlu arqumentləri var: əgər φ0 z ədədinin hər hansı arqumentidirsə, onda bütün qalanları düsturla tapmaq olar.

Kompleks ədəd üçün arqument və triqonometrik forma müəyyən edilmir.

Beləliklə, sıfırdan fərqli kompleks ədədin arqumenti tənliklər sisteminin istənilən həllidir:

(3)

Bərabərsizlikləri ödəyən z kompleks ədədinin arqumentinin φ qiyməti əsas qiymət adlanır və arg z ilə işarələnir.

Arqumentlər Arg z və arg z bərabərliklə əlaqələndirilir

, (4)

Formula (5) (3) sisteminin nəticəsidir, ona görə də kompleks ədədin bütün arqumentləri bərabərliyi (5) təmin edir, lakin (5) tənliyinin bütün φ həlləri z ədədinin arqumentləri deyil.

Sıfırdan fərqli kompleks ədədin arqumentinin əsas dəyəri düsturlarla tapılır:

Triqonometrik formada kompleks ədədlərin vurulması və bölünməsi üçün düsturlar aşağıdakılardır:

. (7)

Kompleks ədədi təbii gücə qaldırarkən de Moivre düsturu istifadə olunur:

Mürəkkəb ədəddən kök çıxararkən düsturdan istifadə olunur:

, (9)

burada k=0, 1, 2, …, n-1.

Məsələ 54. Hesablayın , harada .

Bu ifadənin həllini kompleks ədədin yazılmasının eksponensial formasında təqdim edək: .

Əgər , onda.

Sonra , . Buna görə də və , harada.

Cavab: , at.

Məsələ 55. Kompleks ədədləri triqonometrik formada yazın:

a) ; b) ; in); G) ; e) ; e) ; və).

Kompleks ədədin triqonometrik forması olduğu üçün:

a) Kompleks ədəddə: .

,

Buna görə də

b) , harada,

G) , harada,

e) .

və) , a , sonra .

Buna görə də

Cavab: ; 4; ; ; ; ; .

Məsələ 56. Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapın

.

qoy, .

Sonra , , .

Çünki və , , sonra, və

Buna görə də

Cavab: , harada.

Məsələ 57. Kompleks ədədin triqonometrik formasından istifadə edərək aşağıdakı hərəkətləri yerinə yetirin: .

Rəqəmləri təsəvvür edin və triqonometrik formada.

1) , harada sonra

Əsas arqumentin dəyərini tapmaq:

Dəyərləri və ifadəyə əvəz edin, alırıq

2) onda harada

Sonra

3) Hissəni tapın

k=0, 1, 2 fərz etsək, istədiyiniz kökün üç fərqli qiymətini alırıq:

Əgər, onda

əgər , onda

əgər , onda .

Cavab: :

:

: .

Məsələ 58. , , , müxtəlif kompleks ədədlər olsun və . Bunu sübut et

nömrə həqiqi müsbət ədəddir;

b) bərabərlik baş verir:

a) Bu mürəkkəb ədədləri triqonometrik formada təqdim edək:

Çünki .

Belə iddia edək. Sonra

.

Son ifadə müsbət ədəddir, çünki sinus işarələrinin altında intervaldan ədədlər var.

çünki nömrə real və müsbət. Həqiqətən, əgər a və b mürəkkəb ədədlərdirsə və həqiqi və sıfırdan böyükdürsə, onda .

Bundan başqa,

bununla da tələb olunan bərabərlik isbat edilir.

Məsələ 59. Ədədi cəbri formada yazın .

Biz ədədi triqonometrik formada təqdim edirik və sonra onun cəbri formasını tapırıq. bizdə var . üçün sistemi alırıq:

Bundan bərabərlik yaranır: .

De Moivre düsturunun tətbiqi:

alırıq

Verilmiş ədədin triqonometrik forması tapılır.

İndi bu rəqəmi cəbri formada yazırıq:

.

Cavab: .

Məsələ 60. , , cəmini tapın.

Cəmi nəzərə alın

De Moivre düsturunu tətbiq edərək tapırıq

Bu cəm məxrəcli həndəsi irəliləyişin n üzvünün cəmidir və ilk üzv .

Belə bir irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik

Son ifadədə xəyali hissəni ayıraraq tapırıq

Həqiqi hissəni ayıraraq aşağıdakı düsturu da alırıq: , , .

Məsələ 61. Cəmi tapın:

a) ; b) .

Bir gücə yüksəltmək üçün Nyutonun düsturuna görə, bizdə var

De Moivre düsturuna görə tapırıq:

Alınan ifadələrin həqiqi və xəyali hissələrini bərabərləşdirərək, əldə edirik:

və .

Bu düsturlar kompakt formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:

,

, a ədədinin tam hissəsi haradadır.

Məsələ 62. Bunun üçün hamısını tapın.

Çünki , sonra düsturun tətbiqi

, Kökləri çıxarmaq üçün alırıq ,

Nəticədə, , ,

, .

Rəqəmlərə uyğun gələn nöqtələr mərkəzi (0;0) nöqtəsində olan radius 2 olan dairəyə daxil edilmiş kvadratın təpələrində yerləşir (şək. 30).

Cavab: , ,

, .

Məsələ 63. Tənliyi həll edin , .

Şərtlə; ona görə də bu tənliyin kökü yoxdur və deməli, tənliyə ekvivalentdir.

z ədədinin bu tənliyin kökü olması üçün ədədin kök olması zəruridir n-ci dərəcə 1 nömrədən.

Beləliklə, belə nəticəyə gəlirik ki, ilkin tənliyin bərabərliklərdən təyin olunan kökləri var

,

Bu minvalla,

,

yəni. ,

Cavab: .

Məsələ 64. Kompleks ədədlər çoxluğunda tənliyi həll edin.

Rəqəm bu tənliyin kökü olmadığı üçün bu tənlik üçün tənliyə ekvivalentdir

Yəni tənlik.

Bu tənliyin bütün kökləri düsturdan əldə edilir (62-ci məsələyə bax):

; ; ; ; .

Məsələ 65. Kompleks müstəvidə bərabərsizlikləri ödəyən nöqtələr toplusunu çəkin: . (45-ci məsələni həll etməyin 2-ci yolu)

Qoy .

Eyni modulları olan mürəkkəb ədədlər müstəvinin başlanğıc nöqtəsində mərkəzləşmiş dairənin üzərində yerləşən nöqtələrinə uyğundur, beləliklə bərabərsizlik başlanğıcda və radiusda ortaq mərkəzi olan dairələrlə məhdudlaşan açıq halqanın bütün nöqtələrini təmin edin və (şək. 31). Kompleks müstəvinin hansısa nöqtəsi w0 ədədinə uyğun olsun. Nömrə , modulu w0 modulundan kiçik bir modula malikdir, arqument w0 arqumentindən böyükdür. Həndəsi nöqteyi-nəzərdən, w1-ə uyğun gələn nöqtəni başlanğıcda və əmsalda mərkəzləşdirilmiş bir homoteti, həmçinin mənşəyə nisbətən saat əqrəbinin əksinə fırlanma ilə əldə etmək olar. Bu iki çevrilmənin halqanın nöqtələrinə tətbiqi nəticəsində (şəkil 31), sonuncu eyni mərkəz və radiusları 1 və 2 olan dairələrlə məhdudlaşan halqaya çevriləcək (şək. 32).

transformasiya vektorda paralel tərcümədən istifadə etməklə həyata keçirilir. Bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş halqanı göstərilən vektora köçürərək, bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş eyni ölçülü bir üzük alırıq (şəkil 22).

Təyyarənin həndəsi çevrilmələri ideyasından istifadə edən təklif olunan üsul təsvirdə yəqin ki, daha az əlverişlidir, lakin çox zərif və səmərəlidir.

Məsələ 66. Əgər tapın .

Qoy, sonra və. Orijinal bərabərlik formasını alacaq . İki mürəkkəb ədədin bərabərliyi şərtindən , , haradan , alırıq. Bu minvalla, .

z ədədini triqonometrik formada yazaq:

, harada, . De Moivre düsturuna görə tapırıq.

Cavab: - 64.

Məsələ 67. Kompleks ədəd üçün bütün kompleks ədədləri tapın ki, , və .

Ədədi triqonometrik formada təqdim edək:

. Beləliklə, . Aldığımız bir ədəd üçün hər ikisinə bərabər ola bilər.

Birinci halda , ikincidə

.

Cavab: , .

Məsələ 68. Elə ədədlərin cəmini tapın ki, . Bu nömrələrdən birini göstərin.

Qeyd edək ki, artıq məsələnin tərtibindən belə başa düşmək olar ki, tənliyin köklərinin cəmini köklərin özləri hesablamadan tapmaq olar. Həqiqətən, tənliyin köklərinin cəmi əmsalıdır, əks işarə ilə qəbul edilir (ümumiləşdirilmiş Vyeta teoremi), yəni.

Şagirdlər, məktəb sənədləri, bu konsepsiyanın assimilyasiya dərəcəsi haqqında nəticə çıxarırlar. Riyazi təfəkkürün xüsusiyyətləri və kompleks ədəd anlayışının formalaşması prosesinin tədqiqini ümumiləşdirin. Metodların təsviri. Diaqnostik: I mərhələ. Müsahibə 10-cu sinifdə cəbr və həndəsə fənlərini tədris edən riyaziyyat müəllimi ilə aparılmışdır. Söhbət bir müddət keçəndən sonra oldu...

Rezonans” (!)), bura həm də öz davranışının qiymətləndirilməsi daxildir. 4. Vəziyyəti dərk etməsinə (şübhələrə) tənqidi qiymət verilməsi. 5. Nəhayət, tövsiyələrdən istifadə. hüquqi psixologiya(vəkil tərəfindən həyata keçirilən peşə hərəkətlərinin psixoloji aspektlərinin nəzərə alınması - peşəkar və psixoloji hazırlıq). İndi hüquqi faktların psixoloji təhlilinə nəzər salın. ...

Triqonometrik əvəzetmə riyaziyyatı və hazırlanmış tədris metodikasının effektivliyinin yoxlanılması. İşin mərhələləri: 1. Riyaziyyatın dərindən tədrisi ilə keçirilən siniflərdə şagirdlərlə “Cəbri məsələlərin həlli üçün triqonometrik əvəzetmənin tətbiqi” mövzusunda fakultativ kursun işlənməsi. 2. Hazırlanmış fakultativ kursun keçirilməsi. 3. Diaqnostik nəzarətin aparılması...

Koqnitiv tapşırıqlar yalnız mövcud tədris vasitələrini tamamlamaq üçün nəzərdə tutulub və bütün ənənəvi vasitə və elementlərlə uyğun birləşmədə olmalıdır. təhsil prosesi. fərq təlim məqsədləri humanitar elmlərin tədrisində dəqiqdən, dən riyaziyyat problemləri yalnız ondan ibarətdir ki, tarixi məsələlərdə düsturlar, sərt alqoritmlər və s. yoxdur ki, bu da onların həllini çətinləşdirir. ...

KOMPLEKS NÖMRƏLƏR XI

§ 256. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması

Kompleks ədəd olsun a + bi vektoruna uyğun gəlir OA> koordinatları ilə ( a, b ) (bax şək. 332).

Bu vektorun uzunluğunu ilə işarələyin r , və ox ilə etdiyi bucaq X , vasitəsilə φ . Sinus və kosinusun tərifinə görə:

a / r = cos φ , b / r = günah φ .

Buna görə də a = r cos φ , b = r günah φ . Ancaq bu vəziyyətdə kompleks nömrə a + bi kimi yazmaq olar:

a + bi = r cos φ + ir günah φ = r (cos φ + i günah φ ).

Bildiyiniz kimi, istənilən vektorun uzunluğunun kvadratı onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. Buna görə də r 2 = a 2 + b 2, haradan r = √a 2 + b 2

Belə ki, istənilən kompleks ədəd a + bi kimi təmsil oluna bilər :

a + bi = r (cos φ + i günah φ ), (1)

harada r = √a 2 + b 2 və bucaq φ şərtlə müəyyən edilir:

Mürəkkəb ədədlərin yazılmasının bu forması deyilir triqonometrik.

Nömrə r düsturda (1) deyilir modul, və bucaq φ - arqument, kompleks ədəd a + bi .

Əgər mürəkkəb ədəddirsə a + bi sıfıra bərabər deyil, onda onun modulu müsbətdir; əgər a + bi = 0, onda a = b = 0 və sonra r = 0.

Hər hansı bir kompleks ədədin modulu unikal şəkildə müəyyən edilir.

Əgər mürəkkəb ədəddirsə a + bi sıfıra bərabər deyilsə, onun arqumenti (2) düsturları ilə müəyyən edilir. mütləq 2-yə çoxlu bucaq qədər π . Əgər a + bi = 0, onda a = b = 0. Bu halda r = 0. (1) düsturundan bunu arqument kimi başa düşmək asandır φ bu halda, hər hansı bir açı seçə bilərsiniz: axırda hər hansı bir üçün φ

0 (cos φ + i günah φ ) = 0.

Buna görə də sıfır arqumenti müəyyən edilməyib.

Kompleks ədəd modulu r bəzən | işarə edir z |, və arg arqumenti z . Kompleks ədədlərin triqonometrik formada göstərilməsinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal. bir. 1 + i .

Gəlin modulu tapaq r və mübahisə φ bu nömrə.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Buna görə də günah φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , haradandır φ = π / 4 + 2nπ .

Bu minvalla,

1 + i = √ 2 ,

harada P - istənilən tam ədəd. Adətən, kompleks ədədin arqumentinin sonsuz dəyər dəstindən 0 ilə 2 arasında olan biri seçilir. π . Bu halda, bu dəyər π / dörd. Buna görə də

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i günah π / 4)

Misal 2 Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın √ 3 - i . Bizdə:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2 , günah φ = - 1 / 2

Deməli, 2-ə bölünən bucağa qədər π , φ = 11 / 6 π ; Nəticədə,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i günah 11/6 π ).

Misal 3 Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın i .

kompleks ədəd i vektoruna uyğun gəlir OA> oxun A nöqtəsində bitir saat ordinat 1 ilə (şək. 333). Belə vektorun uzunluğu 1-ə bərabərdir və onun absis oxu ilə yaratdığı bucaq bərabərdir. π / 2. Buna görə də

i = cos π / 2 + i günah π / 2 .

Misal 4 3 kompleks nömrəsini triqonometrik formada yazın.

Kompleks sayı 3 vektora uyğundur OA > X absis 3 (şək. 334).

Belə vektorun uzunluğu 3, x oxu ilə etdiyi bucaq isə 0-dır

3 = 3 (cos 0 + i günah 0),

Misal 5-5 kompleks ədədini triqonometrik formada yazın.

Kompleks sayı -5 vektora uyğundur OA> ox nöqtəsində bitir X absis ilə -5 (şək. 335). Belə vektorun uzunluğu 5, x oxu ilə etdiyi bucaqdır π . Buna görə də

5 = 5 (cos π + i günah π ).

Məşqlər

2047. Bu mürəkkəb ədədləri onların modullarını və arqumentlərini təyin edərək triqonometrik formada yazın:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Modulları r və φ arqumentləri şərtləri ödəyən kompleks ədədləri təmsil edən nöqtələr çoxluqlarını müstəvidə göstərin:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ədədlər eyni zamanda kompleks ədədin modulu ola bilərmi? r və - r ?

2050. Kompleks ədədin arqumenti eyni zamanda bucaq ola bilərmi φ və - φ ?

Bu kompleks ədədləri modullarını və arqumentlərini təyin edərək triqonometrik formada təqdim edin:

2051*. 1 + cos α + i günah α . 2054*. 2(20° - i günah 20°).

2052*. günah φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i günah 15°).

3.1. Qütb koordinatları

Tez-tez təyyarədə istifadə olunur qütb koordinat sistemi . O nöqtəsi verilirsə, müəyyən edilir, çağırılır dirək, və dirəkdən çıxan bir şüa (bizim üçün bu oxdur Ox) qütb oxudur. M nöqtəsinin mövqeyi iki rəqəmlə müəyyən edilir: radius (və ya radius vektoru) və qütb oxu ilə vektor arasındakı bucaq φ .φ bucağı adlanır qütb bucağı; radyanla ölçülür və qütb oxundan saat yönünün əksinə sayılır.

Nöqtənin qütb koordinat sistemindəki mövqeyi sıralı ədədlər cütü (r; φ) ilə verilir. Qütbdə r = 0 və φ müəyyən edilməyib. Bütün digər məqamlar üçün r > 0 və φ 2π-nin qatına qədər müəyyən edilir. Bu halda (r; φ) və (r 1 ; φ 1) ədəd cütlərinə eyni nöqtə təyin edilir, əgər .

Düzbucaqlı koordinat sistemi üçün xOy Nöqtənin Kartezian koordinatları onun qütb koordinatları ilə asanlıqla aşağıdakı kimi ifadə edilir:

3.2. Kompleks ədədin həndəsi şərhi

Müstəvidə Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemini nəzərdən keçirək xOy.

İstənilən kompleks ədəd z=(a, b) koordinatları olan müstəvi nöqtəsi təyin edilir. x, y), harada koordinat x = a, yəni. kompleks ədədin həqiqi hissəsi, y = bi koordinatı isə xəyali hissədir.

Nöqtələri kompleks ədədlər olan müstəvi kompleks müstəvidir.

Şəkildə kompleks ədəd z = (a, b) uyğunluluq nöqtəsi M(x, y).

Məşq edin.Koordinat müstəvisində kompleks ədədlər çəkin:

3.3. Kompleks ədədin triqonometrik forması

Müstəvidəki kompleks ədədin bir nöqtənin koordinatları var M(x; y). Burada:

Kompleks ədədin yazılması - kompleks ədədin triqonometrik forması.

r sayı çağırılır modul kompleks ədəd z və işarə olunur. Modul mənfi olmayan həqiqi ədəddir. üçün .

Modul yalnız və yalnız o halda sıfırdır z = 0, yəni. a=b=0.

φ rəqəmi çağırılır arqument z və işarələnmişdir. z arqumenti qütb koordinat sistemindəki qütb bucağı kimi birmənalı şəkildə müəyyən edilir, yəni 2π-in qatına qədər.

Sonra qəbul edirik: , burada φ arqumentin ən kiçik qiymətidir. Aydındır ki

.

Mövzunun daha dərindən öyrənilməsi ilə köməkçi arqument φ* təqdim edilir ki,

Misal 1. Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapın.

Həll. 1) modulu nəzərdən keçiririk: ;

2) φ axtarır: ;

3) triqonometrik forma:

Misal 2 Kompleks ədədin cəbri formasını tapın .

Burada triqonometrik funksiyaların qiymətlərini əvəz etmək və ifadəni çevirmək kifayətdir:

Misal 3 Kompleks ədədin modulunu və arqumentini tapın;

1) ;

2) ; φ - 4 rübdə:

3.4. Triqonometrik formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar

· Toplama və çıxma cəbri formada mürəkkəb ədədlərlə yerinə yetirmək daha rahatdır:

· Vurma- sadə ilə triqonometrik çevrilmələr olduğunu göstərmək olar çarpan zaman ədədlərin modulları vurulur və arqumentlər əlavə olunur: ;

Mühazirə

Kompleks ədədin triqonometrik forması

Plan

1.Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri.

2.triqonometrik qeyd mürəkkəb ədədlər.

3. Triqonometrik formada kompleks ədədlər üzərində əməllər.

Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri.

a) Mürəkkəb ədədlər aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq müstəvi nöqtələri ilə təmsil olunur: a + bi = M ( a ; b ) (şək. 1).

Şəkil 1

b) Kompleks ədədi nöqtədən başlayan vektor kimi təqdim etmək olarO və verilmiş nöqtədə bitir (şək. 2).

Şəkil 2

Nümunə 7. Kompleks ədədləri təmsil edən qrafik nöqtələri:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (şək. 3).

Şəkil 3

Kompleks ədədlərin triqonometrik qeydləri.

Kompleks nömrəz = a + bi radius - vektordan istifadə etməklə təyin edilə bilər koordinatları ilə( a ; b ) (Şəkil 4).

Şəkil 4

Tərif . Vektor uzunluğu kompleks ədədi təmsil edirz , bu ədədin modulu adlanır və işarələnir və yar .

İstənilən kompleks ədəd üçünz onun modulur = | z | düsturla unikal şəkildə müəyyən edilir .

Tərif . Həqiqi oxun müsbət istiqaməti ilə vektor arasındakı bucağın qiyməti mürəkkəb ədədi təmsil edən bu mürəkkəb ədədin arqumenti adlanır və işarələnirAMMA rg z və yaφ .

Kompleks ədəd arqumentiz = 0 müəyyən edilməmişdir. Kompleks ədəd arqumentiz≠ 0 çoxqiymətli kəmiyyətdir və terminə qədər müəyyən edilir2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , haradaarg z - intervala daxil edilmiş arqumentin əsas dəyəri(-π; π] , yəni-π < arg z ≤ π (bəzən arqumentin əsas qiyməti kimi intervala aid olan qiymət götürülür .

Bu düstur üçünr =1 tez-tez De Moivre düsturu kimi istinad edilir:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Misal 11 Hesablayın(1 + i ) 100 .

Kompleks ədəd yazaq1 + i triqonometrik formada.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + günah edirəm )] 100 = ( ) 100 (cos 100+ günah edirəm 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Çıxarma kvadrat kök mürəkkəb ədəddən.

Kompleks ədədin kvadrat kökünü çıxararkəna + bi iki halımız var:

əgərb > haqqında , sonra ;