Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Rad e. Funksiya. Qrafik. Xüsusiyyətlər"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

11-ci sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
9-11-ci siniflər üçün "Triqonometriya" interaktiv dərs vəsaiti
10-11-ci siniflər üçün interaktiv dərslik "Loqarifmlər"

Uşaqlar, bu gün biz xüsusi nömrəni öyrənəcəyik. "Yetkinlər" riyaziyyatında ayrı bir yer tutur və bir çox diqqətəlayiq xüsusiyyətlərə malikdir, bəzilərini nəzərdən keçirəcəyik.

Gəlin $y=a^x$ eksponensial funksiyalarına qayıdaq, burada $a>1$. Fərqli əsaslar üçün çoxlu müxtəlif funksiya qrafikləri qura bilərik.
Lakin qeyd etmək lazımdır ki:

• bütün funksiyalar (0;1) nöqtəsindən keçir,
• $x→-∞$ üçün qrafik üfüqi asimptota malikdir $y=0$,
• bütün funksiyalar artır və aşağıya doğru qabarıq olur,
• və həm də davamlıdır, bu da öz növbəsində onların diferensiallaşdığını bildirir.

Əgər funksiyalar hər yerdə diferensiallana bilirsə, onda biz onlara hər nöqtədə tangens qura bilərik. Bütün funksiyalar (0;1) nöqtəsindən keçirsə, bu, xüsusi maraq doğurur. Ardıcıl bir neçə tangens quraq.

$y=2^x$ funksiyasını nəzərdən keçirin və ona tangens qurun.
Qrafiklərimizi diqqətlə tərtib etməklə, tangensin yamacının 35° olduğunu görə bilərik.
İndi $y=3^x$ funksiyasının qrafikini və tangensini də quraq:
Bu dəfə tangensin bucağı təxminən 48°-dir. Ümumiyyətlə, qeyd etmək lazımdır: eksponensial funksiyanın bazası nə qədər böyükdürsə, meyl bucağı da bir o qədər böyükdür.
45° meyl bucağı olan tangens xüsusi maraq doğurur. (0;1) nöqtəsində belə bir tangens hansı eksponensial funksiyanın qrafikinə çəkilə bilər?
Eksponensial funksiyanın əsası 2-dən böyük, lakin 3-dən kiçik olmalıdır, çünki tələb olunan tangens bucağı $y=2^x$ və $y=3^x$ funksiyaları arasında əldə edilir. Belə bir nömrə tapıldı və olduqca unikal olduğu ortaya çıxdı.

(0;1) nöqtəsindən keçən tangensin meyl bucağının 45°-ə bərabər olduğu eksponensial funksiya adətən işarə olunur: $y=e^x$ .
Funksiyamızın əsasını təşkil edir irrasional ədəd. Riyaziyyatçılar bu ədədin təxmini qiymətini çıxarıblar $e=2,7182818284590…$.
Məktəb riyaziyyatı kursunda ondalığa qədər yuvarlaqlaşdırmaq adətdir, yəni $e=2,7$.
$y=e^x$ funksiyasının qrafikini və bu qrafikə bir tangensi quraq.
Bizim funksiyamız eksponensial adlanır.
$y=e^x$ funksiyasının xassələri.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Nə cüt, nə də tək deyil.
3. Tərifin bütün sahəsi üzrə artır.
4. Yuxarıdan məhdud deyil, aşağıdan məhduddur.
5. Ən böyük dəyər yox, minimum dəyər yoxdur.
6. Davamlı.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Qabarıq aşağı.
Ali riyaziyyatda sübut olunur ki, eksponensial funksiya hər yerdə diferensiallana bilir və onun törəməsi funksiyanın özünə bərabərdir: $(e^x)"=e^x$.
Bizim funksiyamız riyaziyyatın bir çox sahələrində (riyazi analizdə, ehtimal nəzəriyyəsində, proqramlaşdırmada) geniş istifadə olunur və bir çox real obyektlər bu rəqəmlə əlaqələndirilir.

Misal.
$x=2$ nöqtəsində $y=e^x$ funksiyasının qrafikinin tangensini tapın.
Həll.
Tangens tənliyi düsturla təsvir edilir: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Tələb olunan dəyərləri ardıcıl olaraq tapaq:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Cavab: $y=e^2*x-e^2$

Misal.
$y=e^(3x-15)$ funksiyasının $x=5$ nöqtəsində törəməsinin qiymətini tapın.
Həll.
$y=f(kx+m)$ şəklində olan funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını xatırlayaq.
$y"=k*f"(kx+m)$.
Bizim vəziyyətimizdə $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
Törəməni tapaq:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
Cavab: 3.

Misal.
Ekstrema üçün $y=x^3*e^x$ funksiyasını araşdırın.
Həll.
$y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+ funksiyamızın törəməsini tapın. x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Törəmə istənilən x üçün mövcud olduğu üçün funksiyanın kritik nöqtələri yoxdur.
Törəməni 0-a bərabərləşdirərək iki kök alırıq: $x_1=0$ və $x_2=-3$.
Nöqtələrimizi rəqəm xəttində qeyd edək:

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar

1. $y=e^(2x)$ funksiyasının qrafikinin $х=2$ nöqtəsindəki tangensini tapın.
2. $y=e^(4x-36)$ funksiyasının törəməsinin $х=9$ nöqtəsində qiymətini tapın.
3. Ekstrema üçün $y=x^4*e^(2x)$ funksiyasını araşdırın. Mövzu: Eksponensial funksiyanın törəməsi. Nömrə .

Didaktik məqsəd: e sayı haqqında təsəvvür yaratmaq, funksiyanın diferensiallığını sübut etmək istənilən nöqtədə , funksiyanın diferensiallaşdırılması . Təbii loqarifmanı təyin edin.

İnkişaf məqsədi: fərdi kompüterdən istifadə edərək hesablamaları tez və düzgün aparmaq bacarığını inkişaf etdirmək.

təhsil məqsədi: yeni məlumatları düzgün qavramaq və aktiv şəkildə yadda saxlamaq qabiliyyətinin formalaşmasını davam etdirmək ən vacib keyfiyyətdir gələcək mütəxəssis.

Əyani vəsaitlər: plakatlar.

Təqdimat: fərdi iş üçün tapşırıq kartları. Avadanlıqlar: müəllim kompüteri, multimedia proyektoru, ekran. Motivasiya koqnitiv fəaliyyət tələbələr. e rəqəminin və natural loqarifmin əhəmiyyətini vurğulayaraq, riyaziyyat kursunda, eləcə də ümumi texniki və xüsusi fənlərdə loqarifmlərin hansı mühüm rol oynadığını söyləmək.

Dərslər zamanı.

I. Təşkilati məqam.

II. Yeni materialın izahı.

1) Eksponensial funksiyanın qrafikləri.

3) Nömrə .

4) Nömrələrin hesablanması .

5) Eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturu.

6) Təbii loqarifmin hesablanmasıXanımexcel.

7) Eksponensial funksiyanın əks törəməsi.

8) 3 rəqəmi .

III. Nümunələrin həlli.

IV. Dərs nəticələri.

v. Ev tapşırığı.

İzah. Eksponensial funksiyanın qrafikləri hamar xətlər (yəni fasiləsiz) kimi təsvir edilmişdir ki, onlara hər nöqtədə bir tangens çəkilə bilər. Amma absis olan bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangensin olması x-də diferensiallana bilənə bərabərdir 0 . Buna görə də, onun tərif sahəsinin bütün nöqtələrində diferensiallaşdığını güman etmək təbiidir. y \u003d a funksiyasının bir neçə qrafikini çəkək X y=2 üçün X , y=3 X , y=2,3 X (Əlavə №1)

Onlara bir nöqtədə absis ilə toxunanları çəkin . Qrafiklərdə olan tangenslər fərqlidir. Onların hər birinin absis oxuna meyl bucaqlarını ölçürük və əmin edirik ki, bu tangenslərin meyl bucaqları təxminən 35°...51°-ə bərabərdir, yəni. a-da artımla M (0; 1) nöqtəsində qrafikin meyli tədricən artır.tg35 ilətg51.

2-dən böyük və 3-dən kiçik bir ədəd var ki, eksponensial funksiya y=a olsun X 0 nöqtəsində 1-ə bərabər törəmə var.Bu funksiyanın əsası adətən e hərfi ilə işarələnir.e ədədi irrasionaldır və buna görə də sonsuz kimi yazılır. onluq kəsr

e ≈ 2,7182818284…

Kompüterin köməyi ilə e rəqəminin 2 mindən çox onluq yerləri tapıldı.Birinci rəqəmlər 2,718288182459045~2,7-dir.

Funksiya tez-tez eksponent kimi istinad edilir. Ortaya çıxan rəqəm ali riyaziyyatda, eləcə də məşhur 3.14 rəqəmində böyük rol oynayır. Eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düstur.

Teorem 1. Funksiya .

Sübut. Funksiya artımının tapılması

saat .

Törəmə tərifinə görə , yəni. hər hansı üçün .

Bunu sübut et tək başına.

Misal.

Tərif verirəm: Təbii loqarifm əsas loqarifmdir :

Teorem 2. Eksponensial funksiya tərif sahəsinin hər bir nöqtəsində diferensiallaşır və .

Nümunələr. , . Funksiyaların törəmələrini tapın.

Təbii loqarifmin hesablanmasıXanımexcel.

Misal. Funksiyanın tədqiqi artırmaq (azalmaq) və ekstremum etmək və onun qrafikini çəkmək.

Çünki hər hansı üçün , onda işarə işarə ilə üst-üstə düşür . Nəticədə üstündə , - artır

üstündə , - azalır.

Qrafiki çəkmək üçün proqramdan istifadə edirik.Xanımexcel.

Eksponensial funksiyanın əks törəməsi.

Teorem 3. Funksiya üçün antitörəmə üstündəRfunksiyadır . Sübut:

Nümunələr:

a) ,

b) ,

in) , .

d) fiqurun sahəsini hesablayın, xətlərlə məhdudlaşır , , , .

e-nin dəyəri.

Qəbul edilmiş nömrə riyaziyyat, fizika, astronomiya, biologiya və digər elmlərdə böyük rol oynayır. Bunlardan bəziləri:

Bu şərəflidir

Çox kömək edir

Bunu sizə və mənə aydınlaşdırın

Tolstoyun doğum ili L.N. 2.71828

Eyler düsturu.

Leonhard Euler (1707-1783) 18-ci əsrin məşhur riyaziyyatçısı. Eyler, sürtünmə qüvvəsinin ipin yığın ətrafında dövrə sayından asılılığını təyin etdi.

, - səylərimizin yönəldiyi qüvvə ; e;

İp və svay arasında sürtünmə əmsalı, - dolama bucağı, yəni. iplə bağlanmış qövsün uzunluğunun həmin qövsün radiusuna nisbəti. Gündəlik həyatda biz özümüzdən şübhələnmədən çox vaxt Euler düsturunun bizə göstərdiyi üstünlüklərdən istifadə edirik.

node nədir? Bu, rulon üzərində iplə sarılır. Necə daha çox nömrə ipin dönmələri, sürtünmə bir o qədər çox olar. Sürtünmənin artırılması qaydası belədir ki, arifmetik irəliləyişdə dövrlərin sayını artırmaqla sürtünmə həndəsi irəliləyişdə artır.

Dərzi şüursuz olaraq düyməni tikərkən eyni vəziyyətdən istifadə edir. Dikişlə tutulan materialın sahəsi ətrafında ipi dəfələrlə dolayır və sonra onu qırır, yalnız iplik güclüdürsə, düymə çıxmaz. Burada artıq bizə tanış olan qayda tətbiq olunur: arifmetik irəliləyişdə ipin dövrlərinin sayının artması ilə həndəsi irəliləyişdə tikiş gücü artır. Sürtünmə olmasaydı, biz düymələrdən istifadə edə bilməzdik: iplər öz ağırlığı altında açılacaq və düymələr yerə yıxılacaqdı. , - Lüdviq Boltsman (1844-1906), tarazlığa meylli bütün fiziki proseslərin istiqamətini ən çox ehtimal olunan vəziyyət kimi müəyyən edən təbiətin əsas qanununu kəşf edən avstriyalı fizik. -entropiya, yəni. tarazlığa çatan sistemin ölçüsü, -sistemin vəziyyətinin ehtimalı.

Dərs nəticələri. Ev tapşırığı: No538, No542

Ərizə №1

Cədvəlin ilk düsturunu çıxararkən, bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin tərifindən çıxış edəcəyik. hara aparaq x- istənilən real rəqəm, yəni, x– funksiyanın təyini sahəsindən istənilən ədəd . Funksiya artımının arqument artımına nisbətinin limitini -də yazaq:

Qeyd etmək lazımdır ki, həddin işarəsi altında sıfırın qeyri-müəyyənliyi sıfıra bölünməsi olmayan bir ifadə alınır, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər deyil, dəqiq sıfır var. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır.

Bu minvalla, sabit funksiyanın törəməsibütün tərif sahəsi üzrə sıfıra bərabərdir.

Güc funksiyasının törəməsi.

Güc funksiyasının törəməsinin düsturu formaya malikdir , eksponent olduğu yerdə səh istənilən real rəqəmdir.

Əvvəlcə təbii göstəricinin, yəni üçün düsturunu sübut edək p = 1, 2, 3, ...

Törəmə tərifindən istifadə edəcəyik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini yazaq:

Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyutonun binom düsturuna müraciət edirik:

Nəticədə,

Bu, təbii eksponent üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut edir.

Eksponensial funksiyanın törəməsi.

Tərifə əsasən törəmə düsturunu əldə edirik:

Qeyri-müəyyənliyə gəldi. Onu genişləndirmək üçün yeni dəyişən təqdim edirik və . Sonra . Sonuncu keçiddə loqarifmin yeni bazasına keçid üçün düsturdan istifadə etdik.

Orijinal limitdə bir əvəzetmə yerinə yetirək:

İkinci gözəl həddi xatırlasaq, eksponensial funksiyanın törəməsi üçün formulaya gəlirik:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi.

Hamı üçün loqarifmik funksiyanın törəməsinin düsturunu sübut edək xəhatə dairəsindən və bütün etibarlı əsas dəyərlərdən a loqarifm. Törəmə tərifinə görə bizdə:

Diqqət etdiyiniz kimi, sübutda loqarifmin xassələrindən istifadə etməklə çevrilmələr aparılmışdır. Bərabərlik ikinci diqqətəlayiq limitə görə etibarlıdır.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri üçün düsturlar əldə etmək üçün bəzi triqonometriya düsturlarını, eləcə də ilk diqqətəlayiq həddi xatırlamalı olacağıq.

Sinus funksiyası üçün törəmənin tərifinə görə, biz var .

Sinusların fərqi üçün düsturdan istifadə edirik:

İlk əlamətdar həddə keçmək qalır:

Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x var cos x.

Kosinus törəməsinin düsturu tam eyni şəkildə isbat edilir.

Buna görə də funksiyanın törəməsi cos x var – sin x.

Tangens və kotangens üçün törəmələr cədvəli üçün düsturların alınması sübut edilmiş diferensiallaşdırma qaydalarından (kəsirin törəməsi) istifadə edilməklə həyata keçiriləcəkdir.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri.

Diferensiasiya qaydaları və törəmələr cədvəlindən eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturu hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangensin törəmələri üçün düsturlar əldə etməyə imkan verir.

Tərs funksiyanın törəməsi.

Təqdimatda çaşqınlıq olmasın deyə, aşağı indeksdə diferensiasiyanın həyata keçirildiyi funksiyanın arqumentini qeyd edək, yəni funksiyanın törəməsidir. f(x) haqqında x.

İndi formalaşdırırıq tərs funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası.

Qoy funksiyalar y = f(x) və x = g(y) qarşılıqlı tərs, intervallarda müəyyən edilmiş və müvafiq olaraq. Əgər bir nöqtədə funksiyanın sonlu sıfırdan fərqli törəməsi varsa f(x), onda nöqtədə tərs funksiyanın sonlu törəməsi mövcuddur g(y), və . Başqa bir girişdə .

Bu qayda hər kəs üçün yenidən formalaşdırıla bilər x intervaldan , sonra alırıq .

Bu düsturların etibarlılığını yoxlayaq.

Natural loqarifm üçün tərs funksiyanı tapaq (burada y funksiyadır və x- mübahisə). üçün bu tənliyin həlli x, alırıq (burada x funksiyadır və y onun arqumenti). Yəni, və qarşılıqlı tərs funksiyalar.

Törəmələr cədvəlindən bunu görürük və .

Əmin olaq ki, tərs funksiyanın törəmələrini tapmaq üçün düsturlar bizi eyni nəticələrə gətirib çıxarır:

Göstəricinin törəməsi eksponentin özünə bərabərdir (e-nin x-in gücünə törəməsi e-nin x-in gücünə bərabərdir):
(1) (e x )′ = e x.

Əsası a dərəcəsi olan eksponensial funksiyanın törəməsi funksiyanın özünə bərabərdir və a-nın natural loqarifmi ilə vurulur:
(2) .

Göstəricinin x-in gücünə e-nin törəməsi üçün düsturun törəməsi

Eksponent, eksponent bazası aşağıdakı həd olan e ədədinə bərabər olan eksponensial funksiyadır:
.
Burada həm natural, həm də həqiqi ədəd ola bilər. Sonra eksponentin törəməsi üçün düstur (1) alırıq.

Göstəricinin törəməsi üçün düsturun törəməsi

X-in gücünə e eksponentini nəzərdən keçirək:
y = e x .
Bu funksiya hamı üçün müəyyən edilmişdir. Onun x-ə nisbətdə törəməsini tapaq. Tərifə görə törəmə aşağıdakı hədddir:
(3) .

Gəlin bu ifadəni məlum riyazi xassələrə və qaydalara endirmək üçün çevirək. Bunun üçün bizə aşağıdakı faktlar lazımdır:
AMMA) Eksponent xassə:
(4) ;
B) Loqarifm xassələri:
(5) ;
AT) Fasiləsiz funksiya üçün loqarifmin davamlılığı və limitlərin xassəsi:
(6) .
Burada limiti olan bəzi funksiyalar var və bu limit müsbətdir.
G)İkinci gözəl həddin mənası:
(7) .

Biz bu faktları öz limitimizə tətbiq edirik (3). Əmlakdan istifadə edirik (4):
;
.

Gəlin əvəzetmə edək. Sonra ; .
Göstəricinin davamlılığına görə,
.
Buna görə də, ,. Nəticədə alırıq:
.

Gəlin əvəzetmə edək. Sonra . , . Və bizdə:
.

Loqarifmin (5) xassəsini tətbiq edirik:
. Sonra
.

Mülkiyyəti tətbiq edək (6). Müsbət hədd olduğundan və loqarifm davamlı olduğundan, onda:
.
Burada ikinci əlamətdar həddi də istifadə etdik (7). Sonra
.

Beləliklə, eksponentin törəməsi üçün (1) düsturu əldə etdik.

Eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düsturun törəməsi

İndi a dərəcəsi olan eksponensial funksiyanın törəməsi üçün (2) düsturunu alırıq. Biz buna inanırıq və . Sonra eksponensial funksiya
(8)
Hər kəs üçün müəyyən edilmişdir.

(8) düsturunu çevirək. Bunun üçün eksponensial funksiyanın və loqarifmin xassələrindən istifadə edirik.
;
.
Beləliklə, (8) düsturu aşağıdakı formaya çevirdik:
.

e-nin x-in gücünə yüksək tərtibli törəmələri

İndi daha yüksək dərəcəli törəmələri tapaq. Əvvəlcə eksponentə baxaq:
(14) .
(1) .

(14) funksiyasının törəməsinin (14) funksiyasının özünə bərabər olduğunu görürük. (1) diferensiallaşdıraraq, ikinci və üçüncü dərəcəli törəmələri əldə edirik:
;
.

Bu, n-ci dərəcəli törəmənin də orijinal funksiyaya bərabər olduğunu göstərir:
.

Eksponensial funksiyanın daha yüksək dərəcəli törəmələri

İndi əsası a dərəcəsi olan eksponensial funksiyanı nəzərdən keçirin:
.
Onun ilk sifariş törəməsini tapdıq:
(15) .

Fərqləndirərək (15) ikinci və üçüncü dərəcəli törəmələri alırıq:
;
.

Biz görürük ki, hər bir diferensiallaşma orijinal funksiyanın -ə vurulmasına gətirib çıxarır. Beləliklə, n-ci törəmə aşağıdakı formaya malikdir:
.

Eksponensial funksiyanın qrafiki bükülmələri olmayan əyri hamar xəttdir, onun keçdiyi hər bir nöqtədə bir tangens çəkilə bilər. Ehtimal etmək məntiqlidir ki, əgər bir tangens çəkmək mümkündürsə, o zaman funksiya onun tərif sahəsinin hər bir nöqtəsində diferensiallaşacaq.

Eyni koordinat oxlarında y \u003d x a funksiyasının bir neçə qrafikini göstərək, a \u003d 2 üçün; a = 2.3; a = 3; a = 3.4.

Koordinatları (0;1) olan nöqtədə. Bu tangenslərin yamac bucaqları müvafiq olaraq təxminən 35, 40, 48 və 51 dərəcə olacaqdır. 2-dən 3-ə qədər olan intervalda tangensin meyl bucağının 45 dərəcə olacağı bir sıra olduğunu düşünmək məntiqlidir.

Bu ifadənin dəqiq tərtibini verək: e hərfi ilə işarələnən 2-dən böyük və 3-dən kiçik elə bir ədəd var ki, 0 nöqtəsində y = e x eksponensial funksiyasının 1-ə bərabər törəməsi var. Yəni: (e ∆x -1) / ∆x sıfıra meyl etdiyi kimi ∆x 1-ə meyl edir.

Verilmiş nömrə e irrasionaldır və sonsuz qeyri-dövri onluq kəsr kimi yazılır:

e = 2,7182818284…

e ədədi müsbət və sıfır olmadığı üçün e əsasının loqarifmi var. Bu loqarifmə deyilir təbii loqarifm . İşarələnmiş ln(x) = log e (x).

Eksponensial funksiyanın törəməsi

Teorem: e x funksiyası öz oblastının hər bir nöqtəsində diferensiallanır və (e x)’ = e x .

a x eksponensial funksiyası onun tərif sahəsinin hər bir nöqtəsində diferensiallanır və üstəlik (a x)’ = (a x)*ln(a).
Bu teoremin nəticəsi, eksponensial funksiyanın təyin dairəsinin istənilən nöqtəsində davamlı olması faktıdır.

Nümunə: y = 2 x funksiyasının törəməsini tapın.

Eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düstura görə alırıq:

(2x)' = (2x)*ln(2).

Cavab: (2x)*ln(2).

Eksponensial funksiyanın əks törəməsi

Həqiqi ədədlər çoxluğunda verilmiş a x eksponensial funksiyası üçün əks törəmə (a x)/(ln(a)) funksiyası olacaqdır.
ln(a) bəzi sabitdir, onda (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x istənilən x üçün. Bu teoremi sübut etdik.

Antiderivativ eksponensial funksiyanın tapılması nümunəsinə nəzər salın.

Nümunə: f(x) = 5 x funksiyasının əks törəməsini tapın. Yuxarıdakı düsturdan və antiderivativlərin tapılması qaydalarından istifadə edək. Alırıq: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.