Riyaziyyatdan vahid dövlət imtahanının profil səviyyəsinə hazırlıq. Triqonometriya üzrə faydalı materiallar, böyük nəzəri video mühazirələr, problemlərin video təhlili və əvvəlki illərdən tapşırıqların seçimi.
Faydalı materiallar
Video kolleksiyalar və onlayn kurslar
Triqonometrik düsturlar
Triqonometrik düsturların həndəsi təsviri
Qövs funksiyaları. Ən sadə triqonometrik tənliklər
Triqonometrik tənliklər
- Problemin həlli üçün zəruri nəzəriyyə.
- a) $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. - a) $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right]$. - $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$ tənliyini həll edin.
- a) $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. - a) $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$ tənliyini həll edin.
- $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$ tənliyini həll edin.
- $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right)$.- a) $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. - a) $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -2\pi \sağ]$.
Tapşırıqların video təhlili
b) Bu tənliyin $\left[ \sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(20)\right]$.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -3\pi\sağ]$.
b) Bu tənliyin $\left[ -\sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(30)\right]$.
a) $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right)$.
a) $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[\dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; 4\pi\sağ]$.
b) Bu tənliyin $\left[\log_5 2 intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \log_5 20 \right]$.
a) $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[- \dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right]$.
a) $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[\dfrac(3\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; 3\pi\sağ]$.
a) $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) tənliyini həll edin. + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Bu tənliyin $\left[\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.
a) $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$.
Əvvəlki illərdən tapşırıqların seçimi
- a) $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -3\pi\sağ]$. (USE-2018. Erkən dalğa) - a) $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(30)\right]$. (USE-2018. Erkən dalğa, ehtiyat gün) - a) $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -2\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 3\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -2\pi \sağ]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$ tənliyini həll edin.
- a) $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(5\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; 4\pi\sağ]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; 5\pi\sağ]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right]$. (USE-2018. Əsas dalğa) - a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
b) Bu tənliyin $\left[ \pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)- a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -2\pi \sağ]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -3\pi\sağ]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(20)\right]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa) - a) $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa) - a) $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa) - a) $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa) - a) $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa) - a) $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, erkən dalğa) - a) $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa, ehtiyat gün) - a) $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa) - a) $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa) - a) $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, erkən dalğa) - a) $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, erkən dalğa) - a) $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, erkən dalğa) - a) $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa) - a) $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ - \pi;\ 0\right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa) - a) $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa) - a) $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa) - a) $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, erkən dalğa) - a) $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2015, erkən dalğa) - a) $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(5\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \4\pi\sağ]$. (USE-2014, əsas dalğa) - a) $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \3\pi\sağ]$. (USE-2014, əsas dalğa) - a) $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \ -\dfrac(3\pi)(2)\sağ]$. (USE-2014, əsas dalğa) - a) $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \6\pi\sağ]$. (USE-2014, erkən dalğa) - a) $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \ -\dfrac(5\pi)(2)\sağ]$. (USE-2013, əsas dalğa) - a) $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -5\pi seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \ - \dfrac(7\pi)(2)\sağ]$. (USE-2012, ikinci dalğa)
Sifariş verə bilərsiniz ətraflı həlli sənin vəzifən!!!
İşarənin altında naməlum olan bərabərlik triqonometrik funksiya(`sin x, cos x, tg x` və ya `ctg x`), triqonometrik tənlik adlanır və daha sonra nəzərdən keçirəcəyimiz onların düsturlarıdır.
Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.
1. `sin x=a` tənliyi.
`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.
`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.
Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. `cos x=a` tənliyi
`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, həqiqi ədədlər arasında heç bir həll yolu yoxdur.
`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.
Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar. 
3. `tg x=a` tənliyi
İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.
Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. `ctg x=a` tənliyi
O, həmçinin istənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll variantına malikdir.
Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar
Sinus üçün: 
Kosinus üçün: 
Tangens və kotangens üçün: 
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:
Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları
İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:
- onu ən sadəyə çevirmək üçün istifadə etmək;
- köklər və cədvəllər üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək nəticədə sadə tənliyi həll edin.
Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarını nəzərdən keçirək.
cəbri üsul.
Bu üsulda dəyişənin dəyişdirilməsi və bərabərliyə əvəz edilməsi həyata keçirilir.
Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,
kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizasiya.
Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.
Həll. Bütün bərabərlik şərtlərini sola köçürün: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Homojen tənliyə endirmə
Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə gətirməlisiniz:
`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).
Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. `tg x` üçün tənliklər alırıq: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullarla həll edilməlidir.
Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ hissələrini `cos^2 x \ne 0`-ə bölməklə, əldə edirik:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. `tg x=t` əvəzini təqdim edək, nəticədə `t^2 + t - 2=0`. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.
Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.
Yarım küncə keçin
Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Həll. İkiqat bucaq düsturlarını tətbiq etməklə nəticə belə olur: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tq^2 x/2 - 11 tq x/2 +6=0`
Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Köməkçi bucağın tətbiqi
`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, biz hər iki hissəni `sqrt (a^2+b^2)` ilə bölürük:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni kvadratlarının cəmi 1, modulu isə ən çoxu 1-dir. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , sonra:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Aşağıdakı misala daha yaxından nəzər salaq:
Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.
Həll. Tənliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)`-ə bölsək, alırıq:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarələyin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Fraksiyalı-rasional triqonometrik tənliklər
Bunlar, saylarında və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.
Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Həll. Tənliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə alırıq:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Məxrəcin sıfır ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.
Kəsirin payını sıfıra bərabərləşdirin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.
Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Tədqiqat 10-cu sinifdə başlayır, həmişə imtahan üçün tapşırıqlar var, buna görə də bütün düsturları yadda saxlamağa çalışın. triqonometrik tənliklər- onlar mütləq lazımlı olacaqlar!
Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və nəticə çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.
a) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 tənliyini həll edin.
b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].
Həllini göstərinHəll
a) Mötərizələri açıb bütün şərtləri sola köçürdükdə 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 tənliyini alırıq. \cos x \neq 0, 2 \sin x termininin 2 tg x \cos x ilə əvəz oluna biləcəyini nəzərə alsaq, tənliyi əldə edirik. 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0, qruplaşdırmaqla (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 formasına endirilə bilər.
1) 1-tgx=0, tanx = 1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
b)Ədədi dairənin köməyi ilə intervala aid kökləri seçirik \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Cavab verin
a) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.
Vəziyyət
a) Tənliyi həll edin (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.
b) Bu tənliyin intervala aid olan köklərini göstərin \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;
Həllini göstərinHəll
a) ODZ: \begin(hallar) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(hallar)
ODZ-dəki orijinal tənlik tənliklər toplusuna bərabərdir
\left[\!\!\begin(massiv)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(massiv)\sağ.
Birinci tənliyi həll edək. Bunu etmək üçün biz əvəz edəcəyik \cos 4x=t, t \in [-1; bir]. Sonra \sin^24x=1-t^2. Biz əldə edirik:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; bir].
\cos4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
İkinci tənliyi həll edək.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Vahid dairəsindən istifadə edərək ODZ-ni təmin edən həllər tapırıq.
"+" işarəsi tg x>0 olan 1-ci və 3-cü rübləri qeyd edir.
Alırıq: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) intervala aid olan kökləri tapaq \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].
.png)
x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).
Cavab verin
a) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).
Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. Profil səviyyəsi". Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.
Vəziyyət
a) Tənliyi həll edin: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
b) Aralığa aid bütün kökləri göstərin \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\sağ].
Həllini göstərinHəll
a)Çünki \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, sonra \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, deməli, verilmiş tənlik \cos^2x=\cos ^22x tənliyinə ekvivalentdir ki, bu da öz növbəsində \cos^2x-\cos ^2 2x=0 tənliyinə ekvivalentdir.
Amma \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) və
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, beləliklə tənlik olur
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Sonra ya 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, ya da 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Birinci tənliyin həlli kvadrat tənlik\cos x ilə əlaqədar olaraq alırıq:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Buna görə də, ya \cos x=1, ya da \cosx=-\frac12.Əgər \cos x=1, onda x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Əgər \cosx=-\frac12, sonra x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Eynilə, ikinci tənliyi həll edərək, ya \cos x=-1, ya da alırıq \cosx=\frac12.Əgər \cos x=-1, onda köklər x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Əgər a \cosx=\frac12, sonra x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Əldə edilən həlləri birləşdirək:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
b) Verilmiş intervala düşən kökləri ədəd dairəsindən istifadə edərək seçirik.
Biz əldə edirik: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.
Cavab verin
a) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. profil səviyyəsi. Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.
Vəziyyət
a) Tənliyi həll edin 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
b) Bu tənliyin intervala aid olan köklərini göstərin \sol(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\sağ).
Həllini göstərinHəll
a) 1. Azaltma düsturuna əsasən, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\sağ) =tgx. Tənliyin domeni x dəyərləri olacaq ki, \cos x \neq 0 və tg x \neq -1 olsun. İki bucaqlı kosinus düsturundan istifadə edərək tənliyi çeviririk 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Tənliyi alırıq: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).
qeyd et ki \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), beləliklə tənlik belə olur: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Buradan \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.
2. Azaltma düsturu və kosinusların cəmi düsturundan istifadə edərək \sin x+\cos x-i çevirin: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\sağ), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\sağ)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\sağ) = \ frac65.
Buradan \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. O deməkdir ki, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
və ya x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Buna görə də x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
və ya x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Tapılan x dəyərləri tərif sahəsinə aiddir.
b)Əvvəlcə k=0 və t=0-da tənliyin köklərinin hara düşdüyünü öyrənək. Bunlar müvafiq olaraq rəqəmlər olacaq a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 və b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Köməkçi bərabərsizliyi sübut edək:
\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Həqiqətən, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Onu da qeyd edin \left(\frac(3\sqrt 2)5\sağ) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, deməkdir \frac(3\sqrt 2)5<1.
2. Bərabərsizliklərdən (1) arkkosinin xassəsinə görə alırıq:
arccos 1 0 Buradan \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 Eynilə, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 k=-1 və t=-1 ilə a-2\pi və b-2\pi tənliyinin köklərini alırıq. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Harada -2\pi 2\pi k və t-nin digər qiymətləri üçün tənliyin kökləri verilmiş intervala aid deyil. Doğrudan da, k\geqslant 1 və t\geqslant 1 olarsa, köklər 2\pi-dən böyükdür. Əgər k\leqslant -2 və t\leqslant -2 olarsa, köklər azdır. -\frac(7\pi )2. a) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. profil səviyyəsi. Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova. a) Tənliyi həll edin \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). b) Bu tənliyin intervala aid olan bütün köklərini tapın; a) Tənliyi çevirək: \cosx=-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2 \sin x)=0, \cosx=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; 1+2\sinx=0, \sinx=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. b) Vahid dairədən istifadə edərək seqmentə aid kökləri tapırıq. Göstərilən interval bir ədəddən ibarətdir \frac\pi 2. a) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; b) \frac\pi 2. Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. profil səviyyəsi. Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova. O deməkdir ki, \sin x \neq 1. Tənliyin hər iki tərəfini faktora bölün (\sinx-1), sıfırdan fərqlidir. tənliyi alırıq \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), və ya tənlik 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Sol tərəfdə azalma düsturunu və sağ tərəfdə azalma düsturunu tətbiq edərək tənliyi əldə edirik. 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Bu əvəzetmədən istifadə edən tənlikdir \cosx=t, harada -1 \leqslant t \leqslant 1 kvadrata endir: 2t^2+t-1=0, kimin kökləri t_1=-1 və t_2=\frac12. x dəyişəninə qayıdaraq, alırıq \cos x = \frac12 və ya \cosx=-1, harada x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. b) Bərabərsizlikləri həll edin 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\ frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \sol [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\sağ]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Aralığa aid tam ədədlər yoxdur \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\sağ]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Bu bərabərsizlik k=-1, onda x=-\pi ilə ödənilir. a) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z; b) -\pi .Cavab verin
Vəziyyət
Həll
Cavab verin
Vəziyyət
ODZ-yə daxil deyil. Cavab verin