Əsas triqonometrik funksiyalar - sinus, kosinus, tangens və kotangens arasındakı nisbətlər verilmişdir. triqonometrik düsturlar. Və triqonometrik funksiyalar arasında kifayət qədər çox əlaqə olduğundan, bu da triqonometrik düsturların bolluğunu izah edir. Bəzi düsturlar eyni bucağın triqonometrik funksiyalarını əlaqələndirir, digərləri - çoxlu bucağın funksiyaları, digərləri - dərəcəni azaltmağa imkan verir, dördüncü - bütün funksiyaları yarım bucağın tangensi ilə ifadə etmək və s.

Bu yazıda bütün əsasları sıra ilə sadalayacağıq triqonometrik düsturlar triqonometriya məsələlərinin böyük əksəriyyətini həll etmək üçün kifayətdir. Yadda saxlama və istifadə asanlığı üçün onları məqsədlərinə görə qruplaşdırıb cədvəllərə daxil edəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Əsas triqonometrik eyniliklər

Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasındakı əlaqəni təyin edin. Onlar sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifindən, həmçinin vahid dairə anlayışından irəli gəlir. Onlar bir triqonometrik funksiyanı digəri vasitəsilə ifadə etməyə imkan verir.

Bu triqonometriya düsturlarının ətraflı təsviri, onların əldə edilməsi və tətbiqi nümunələri üçün məqaləyə baxın.

Düsturlar

Düsturlar sinus, kosinus, tangens və kotangensin xassələrindən irəli gəlir, yəni dövrilik xassəsini əks etdirir. triqonometrik funksiyalar, simmetriya xassəsi, həmçinin verilmiş bucaqla yerdəyişmə xassəsi. Bu triqonometrik düsturlar sizə ixtiyari bucaqlarla işləməkdən sıfırdan 90 dərəcəyə qədər olan bucaqlarla işləməyə keçməyə imkan verir.

Bu düsturların əsaslandırılması, onları yadda saxlamaq üçün mnemonik qayda və onların tətbiqi nümunələri məqalədə öyrənilə bilər.

Əlavə Düsturlar

Triqonometrik əlavə düsturları iki bucağın cəmi və ya fərqinin triqonometrik funksiyalarının bu bucaqların triqonometrik funksiyaları ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu düsturlar aşağıdakı triqonometrik düsturların alınması üçün əsas kimi xidmət edir.

Düsturlar ikiqat, üçlü və s. künc

Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq (onlara çoxlu bucaq düsturları da deyilir) ikiqat, üçlü və s. triqonometrik funksiyaların necə olduğunu göstərir. bucaqlar () tək bucağın triqonometrik funksiyaları ilə ifadə edilir. Onların əldə edilməsi əlavə düsturlarına əsaslanır.

Daha ətraflı məlumat ikiqat, üçlü və s. üçün məqalə düsturlarında toplanır. bucaq.

Yarım bucaq düsturları

Yarım bucaq düsturları yarım bucağın triqonometrik funksiyalarının tam bucağın kosinusu ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu triqonometrik düsturlar ikiqat bucaq düsturlarından əmələ gəlir.

Onların nəticəsi və tətbiqi nümunələri məqalədə tapıla bilər.

Azaltma düsturları

Dərəcələri azaltmaq üçün triqonometrik düsturlar keçidi asanlaşdırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur təbii dərəcələr triqonometrik funksiyaları sinuslara və kosinuslara birinci dərəcə, lakin çoxlu bucaqlar. Başqa sözlə, onlar triqonometrik funksiyaların səlahiyyətlərini birinciyə endirməyə imkan verir.

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar

Əsas məqsəd triqonometrik funksiyalar üçün cəmi və fərq düsturları funksiyaların hasilinə keçiddən ibarətdir ki, bu da triqonometrik ifadələri sadələşdirərkən çox faydalıdır. Bu düsturlardan həlldə də geniş istifadə olunur triqonometrik tənliklər, çünki onlar sinusların və kosinusların cəmini və fərqini faktorinq etməyə imkan verir.

Sinusların, kosinusların və kosinusların hasilinin düsturları

Triqonometrik funksiyaların hasilindən cəmi və ya fərqə keçid sinusların, kosinusların və sinusların kosinuslarla hasilinin düsturları vasitəsilə həyata keçirilir.

Universal triqonometrik əvəzetmə

Triqonometriyanın əsas düsturlarının nəzərdən keçirilməsini triqonometrik funksiyaları yarım bucağın tangensi ilə ifadə edən düsturlarla tamamlayırıq. Bu əvəz deyilir universal triqonometrik əvəzetmə. Onun rahatlığı ondadır ki, bütün triqonometrik funksiyalar kökləri olmayan rasional olaraq yarım bucağın tangensi ilə ifadə olunur.

Biblioqrafiya.

• Cəbr: Proc. 9 hüceyrə üçün. orta. məktəb / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovski.- M.: Maarifləndirmə, 1990.- 272 s.: İl.- ISBN 5-09-002727-7
• Başmaqov M.İ. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 hüceyrə üçün. orta. məktəb - 3-cü nəşr. - M.: Maarifçilik, 1993. - 351 s.: xəstə. - ISBN 5-09-004617-4.
• Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorova.- 14-cü nəşr.- M.: Maarifləndirmə, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

Ağıllı tələbələrin müəllif hüquqları

Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. Saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və xarici dizayn, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan hər hansı formada təkrar istehsal edilə və ya istifadə edilə bilməz.

Triqonometriya 10-cu sinifdə cəbr kursunda öyrənilən ən vacib bölmələrdən biridir. Ona kifayət qədər səxavətli dərslər verilir. Həqiqətən, həm nəzəri, həm də praktikada triqonometriyanı düzgün başa düşmək üçün daima nəzəriyyəni gücləndirəcək və bu və ya digər işi yerinə yetirməkdə bacarıqlarınızı genişləndirməyə imkan verəcək çoxlu sayda nümunələri həll etmək lazımdır: ev tapşırığı, nəzarət, müstəqil və ya sadəcə sinif.

Video dərsin səriştəli tərtibatı var, hər şey ardıcıl və məntiqlidir. Struktur aydın, mətn yaxşı yazılmış və məktəb səviyyəsi üçün başa düşüləndir. Bu resurs "Düsturları Azaltmaq" mövzusunun öyrənilməsi prosesini daha maraqlı və təsirli etməyə kömək edəcəkdir. Vizuallaşdırma sayəsində şagirdlər düsturları daha yaxşı yadda saxlaya biləcəklər və videoyazıda danışan şəxsin sakit səsi ilə müşayiət olunduqda yadda saxlama sürəti artır.

Resursda deyilən və müzakirə olunan material mütəxəssislər tərəfindən mövzunu tam şəkildə açacaq şəkildə tərtib edilir, heç bir şey qaçırılmamalıdır. mühüm məqam. Bu, gənc müəllimlərin mütləq yerinə yetirdiyi dərs planlarını tərtib edərkən təhlükəsiz istifadə oluna biləcəyini göstərir.

Əvvəllər kosinus, sinus, arqumentlər cəminin tangensi, ikiqat arqument üçün düsturlar artıq nəzərdən keçirilirdi. Kotangens ayrıca nəzərdən keçirilmədi, çünki o, həmişə tangensin əksi kimi göstərilə bilər. Bu video, dərəcəni aşağı sala biləcəyiniz başqa bir vacib düstura baxacaq.

İlk növbədə kvadrat reduksiya düsturları alınır. Kosinus və sinusda ikinci dərəcədən xilas olmağın nə qədər asan olduğunu görürük. Məktəblilərin bu düsturların haradan gəldiyini başa düşmələri üçün növbəti addım bütün addımları ətraflı izah etməkdir. Əvvəla, triqonometriyada sinus və kosinusun kvadratının cəminin bizə bir verdiyini söyləyən əsas düsturu xatırlamağa dəyər. Bu eynilikdən ayrı-ayrılıqda həm sinusun, həm də kosinusun kvadratını çıxarmaq olar. İkiqat mübahisənin kosinusu və sinusunun düsturunu xatırlayaraq, yeni qaydaların haradan gəldiyini başa düşə bilərsiniz.

Hər hansı bir addımı yerinə yetirərkən əvvəllər öyrənilmiş materiala müraciət etdiyimiz nəzərə çarpır. Bu triqonometriyada mövzuların vacibliyini və bir-biri ilə əlaqəli olduğunu göstərir. Heç bir halda müəyyən mövzuları qaçırmamalı və yenilərinə başlamalısınız. Material anlaşılmaz olacaq, çünki müəyyən dəyərlərin və dəyişikliklərin haradan gəldiyi bilinməyəcək. Triqonometriyada çoxlu sayda düsturlar olduğundan, onsuz davam etmək mümkün deyil, onları tədricən yadda saxlamağa və yenilərini öyrənməyə dəyər. Siz həmçinin materialı praktikada möhkəmləndirməli və gələcəkdə nəzarət və semestr işlərinin yazılması zamanı faydalı olacaq yeni bacarıqlara yiyələnməlisiniz.

"Dərcənin azaldılması üçün düsturlar" video dərsi düsturları nəzərdən keçirdikdən sonra nümunələrin praktiki təhlilinə keçir, bu, artıq qeyd edildiyi kimi, çox vacibdir. Özünüz və ya müəllimlə birlikdə diqqətlə nəzərdən keçirsəniz, nümunələr aydın olacaq.

Birinci misalda müəyyən şərtlər daxilində hansısa ifadənin qiymətini tapmaq lazımdır. Onu həll edərkən kosinus dərəcəsini azaltmaq üçün formula istifadə olunur. Onu görünən etmək üçün videonun sağ tərəfində göstərilir. Beləliklə, tələbələr bunu təkrarlamaq və istifadə etmək imkanı əldə edəcəklər.

Bundan sonra natiq sinus dərəcəsini azaltmaq üçün düsturdan istifadə edən oxşar nümunənin həllini təklif edir. Onun tələbələri özləri qərar verə bilərlər. Əgər əvvəlki nümunəni başa düşsələr, bu nümunəni də idarə edə bilərlər.

Nəticədə daha çox mürəkkəb nümunə. Onu həll edərkən tangens düsturundan istifadə olunur. Natiq həlli ətraflı izah edir, bundan sonra cavab göstərilir.

Qısa müddətdə video dərslik sizə dərəcə azaltma düsturlarının nə olduğunu və onlardan praktikada necə istifadə edilməli olduğunu tam izah edəcək.

MƏTNİN ŞƏRHİ:

Azaltma düsturları

azalma düsturları adlanır.

Bu düsturları əldə edək:

cos 2 x + sin 2 x \u003d 1 düsturundan günah 2 x tapırıq:

günah 2 x \u003d 1-cos 2 x

cos 2x \u003d cos 2 x - sin 2 x düsturunda biz sin 2 x dəyərini 1- cos 2 x ilə əvəz edirik və cos 2 x - (1- cos 2 x) alırıq.

mötərizələri açarkən cos 2 x - 1+ cos 2 x alırıq

çünki cos 2 x + cos 2 x cəmi 2cos 2 x

cos 2x \u003d 2 cos 2 x - 1 alırıq.

cos 2x \u003d cos 2 x - sin 2 x \u003d cos 2 x - (1-cos 2 x) \u003d 2 cos 2 x - 1.

Buradan cos 2 x ifadə edirik

cos 2x +1 = 2 cos 2 x

cos 2 x \u003d (x kosinusunun kvadratı vahidin yarım cəminə və ikiqat arqumentin kosinusuna bərabərdir).

cos 2 x üçün ilk azalma düsturunu əldə etdik.

Eynilə, biz günah 2 x dərəcəsini azaltmaq üçün ikinci düstur alırıq:

cos 2 x + sin 2 x \u003d 1 düsturundan cos 2 x tapırıq:

cos 2 x \u003d 1 - günah 2 x

Düsturda cos 2x \u003d cos 2 x - sin 2 x, cos 2 x dəyəri:

1 - sin 2 x ilə əvəz edin

və 1 - günah 2 x - günah 2 x alın

Çünki -sin 2 x -sin 2 x -2 sin 2 x toplayır,

alırıq ki, cos 2x \u003d 1 -2 sin 2 x.

Buradan günah 2 x ifadə edirik:

vahidi əks işarə ilə hərəkət etdirin

cos 2x-1 = -2 sin 2 x

əks işarələr

1- cos 2x \u003d 2 sin 2 x

Tənliyin hər iki tərəfini 2-yə bölün:

sin 2 x \u003d (x sinusunun kvadratı vahidin yarı fərqinə və ikiqat arqumentin kosinusuna bərabərdir).

Unutmayın ki, əldə etdiyimiz düsturlar azalma düsturları adlanır.

Bu ad ona görə verilmişdir ki, hər iki eyniliyin sol tərəfində ikinci dərəcə kosinus və sinus, sağ tərəfdə isə birinci dərəcə var, yəni dərəcə azalması müşahidə olunur.

Azaltma düsturlarından istifadə edərək misalların həllini nəzərdən keçirin.

NÜMUNƏ 1. cosx \u003d - və xϵ (π;) (x-in pi-dən üç pi-dən ikiyə qədər intervala aid olduğunu) bilərək, cos hesablayın.

Azaltma düsturundan istifadə edəcəyik

kvadrat kosinus x cos 2 x \u003d, çünki alırıq:

cosx= şərti ilə - verilənləri düsturla əvəz etməklə, əldə edirik:

cos 2 = , ifadənin sağ tərəfində hesablamalar aparsaq, alırıq

cos 2 = , kvadrat kökünü alırıq, alırıq

π x şərti ilə deməli, . Bu o deməkdir ki, ikiyə bölünən x arqumenti kosinusun mənfi olduğu ikinci rübə aiddir. Buna görə cos = − .

Cavab: cos = − .

NÜMUNƏ 2. cosx= - və xϵ (π;) olduğunu bilmək.

(x pi-dən üç pi-dən ikiyə qədər intervala aiddir), günahı hesablayın.

Həll. Sin 2 x \u003d dərəcəsini azaltmaq üçün düsturdan istifadə edəcəyik

sin 2 =, çünki şərtlə cosx= -

Bizdə var: sin 2 = = , kvadrat kökünü çıxarıb alırıq

π x şərti ilə deməli, . Bu o deməkdir ki, ikiyə bölünən x arqumenti sinusun müsbət olduğu ikinci rübə aiddir. Buna görə də günah =.

Cavab: günah =.

NÜMUNƏ 3. cosx \u003d - və xϵ (π;) (x-in pi-dən üç pi-dən ikiyə qədər intervala aid olduğunu) bilərək, tg hesablayın.

Həll. Tangens x-in sinus x-in kosinus x nisbəti olduğunu bilərək, əldə edirik

1 və 2-ci misallarda biz tapdıq ki, sin = və cos = − , yəni

Triqonometrik düsturların bir sıra xassələri vardır ki, bunlardan biri də reduksiya düsturlarının istifadəsidir.Onlar dərəcəni azaltmaqla ifadələri sadələşdirməyə kömək edir.

Tərif 1

Azaltma düsturları sinus və kosinus dərəcəsini birinci dərəcəli sinus və kosinus vasitəsilə ifadə etmək prinsipi üzərində işləyir, lakin bucağın qatı. Sadələşdirmə ilə düstur hesablamalar üçün əlverişli olur və α-dan n α-a qədər olan bucağın çoxluğu artır.

Dərəcə azaldılması düsturları, onların sübutu

Aşağıda sin və cos bucağı üçün 2-dən 4-ə qədər dərəcəsini azaltmaq üçün düsturlar cədvəli verilmişdir. Onlarla tanış olduqdan sonra təyin edəcəyik ümumi formula bütün dərəcələr üçün.

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 sin α - sin 3 α 4 sin 4 = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Bu düsturlar dərəcəni azaltmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α və cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 dərəcəsini azaltmaq üçün düsturlar əmələ gələn kosinus və sinusun ikiqat bucağı üçün bir düstur var. Bərabərliklər sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 və cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 kimi təqdim olunan sinus və kosinusun kvadratına görə həll edilir.

Triqonometrik funksiyaların səlahiyyətlərini azaltmaq üçün düsturlar yarım bucağın sinus və kosinus düsturları ilə ortaq bir şeyə malikdir. .

Üçlü bucaq düsturunun tətbiqi var sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α və cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α.

Bir kubda sinus və kosinus ilə bərabərliyi həll etsək, sinus və kosinus üçün dərəcələri azaltmaq üçün düsturları alırıq:

sin 3 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 və cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4.

Triqonometrik funksiyaların dördüncü dərəcəsinin düsturları belə görünür: sin 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 və cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8.

Bu ifadələrin dərəcələrini azaltmaq üçün 2 mərhələdə hərəkət edə bilərsiniz, yəni iki dəfə aşağı salın, sonra belə görünür:

sin 4 α = (sin 2 α) 2 = (1 - cos 2 α 2) 2 = 1 - 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 - 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 \ u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8; cos 4 α = (cos 2 α) 2 = (1 + cos 2 α 2) 2 = 1 + 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Triqonometriyanın əsas düsturları əsas triqonometrik funksiyalar arasında əlaqə quran düsturlardır. Sinus, kosinus, tangens və kotangens bir çox əlaqə ilə bir-birinə bağlıdır. Aşağıda əsas triqonometrik düsturları veririk və rahatlıq üçün onları məqsədlərinə görə qruplaşdırırıq. Bu düsturlardan istifadə etməklə siz standart triqonometriya kursundan demək olar ki, istənilən problemi həll edə bilərsiniz. Dərhal qeyd edirik ki, ayrı-ayrı məqalələrin həsr olunacağı onların törəmələri deyil, yalnız düsturların özləri aşağıda verilmişdir.

Triqonometriyanın əsas identiklikləri

Triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə verir, bir funksiyanı digəri ilə ifadə etməyə imkan verir.

Triqonometrik eyniliklər

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Bu eyniliklər bilavasitə vahid çevrə, sin (sin), kosinus (cos), tangens (tg) və kotangens (ctg) təriflərindən irəli gəlir.

Düsturlar

Döküm düsturları ixtiyari və özbaşına böyük bucaqlarla işləməkdən 0 ilə 90 dərəcə arasında dəyişən bucaqlarla işləməyə imkan verir.

Düsturlar

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Azaltma düsturları triqonometrik funksiyaların dövriliyinin nəticəsidir.

Triqonometrik əlavə düsturları

Triqonometriyada əlavə düsturları bucaqların cəminin və ya fərqinin triqonometrik funksiyasını bu bucaqların triqonometrik funksiyaları ilə ifadə etməyə imkan verir.

Triqonometrik əlavə düsturları

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Əlavə düsturlarına əsasən çoxlu bucaq üçün triqonometrik düsturlar alınır.

Çoxlu bucaq düsturları: ikiqat, üçlü və s.

İki və üçlü bucaq düsturları

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t \ g 2 α u003d 2 t g α 1 - t g 2 α ilə t g 2 α \u003d t g 2 α ilə - 1 2 ilə t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d -α3 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Yarım bucaq düsturları

Triqonometriyada yarım bucaq düsturları ikiqat bucaq düsturlarının nəticəsidir və yarım bucağın əsas funksiyaları ilə bütün bucağın kosinusu arasındakı əlaqəni ifadə edir.

Yarım bucaq düsturları

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Azaltma düsturları

Azaltma düsturları

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Çox vaxt, hesablamalarda, çətin güclərlə işləmək əlverişsizdir. Dərəcə azaltma düsturları triqonometrik funksiyanın dərəcəsini ixtiyari böyükdən birinciyə endirməyə imkan verir. Budur onların ümumi görünüşü:

Azaltma düsturlarının ümumi forması

hətta n üçün

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

tək n üçün

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi

Triqonometrik funksiyaların fərqi və cəmini hasil kimi göstərmək olar. Triqonometrik tənliklərin həlli və ifadələrin sadələşdirilməsi zamanı sinusların və kosinusların fərqlərinin faktorlaşdırılmasından istifadə etmək çox rahatdır.

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Triqonometrik funksiyaların hasili

Əgər funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar onların məhsuluna keçməyə imkan verirsə, onda triqonometrik funksiyaların hasilinin düsturları əks keçidi - hasildən cəmiyə keçir. Sinusların, kosinusların və kosinusların hasilinin düsturları nəzərdən keçirilir.

Triqonometrik funksiyaların hasilinin düsturları

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (günah (α - β) + günah (α + β))

Universal triqonometrik əvəzetmə

Bütün əsas triqonometrik funksiyalar - sinus, kosinus, tangens və kotangens - yarım bucağın tangensi ilə ifadə edilə bilər.

Universal triqonometrik əvəzetmə

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 2 2 t g α 2

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Sadə dillə desək, bunlar xüsusi reseptə görə suda bişmiş tərəvəzlərdir. Mən iki ilkin komponenti (tərəvəz salatı və su) və bitmiş nəticəni - borscht hesab edəcəyəm. Həndəsi olaraq bu, bir tərəfi kahı, digər tərəfi isə suyu ifadə edən düzbucaqlı şəklində təmsil oluna bilər. Bu iki tərəfin cəmi borşu ifadə edəcəkdir. Belə bir "borscht" düzbucağının diaqonalı və sahəsi sırfdır riyazi anlayışlar və borscht reseptlərində heç vaxt istifadə edilmir.

Kahı və su riyaziyyat baxımından necə borşta çevrilir? İki seqmentin cəmi triqonometriyaya necə çevrilə bilər? Bunu başa düşmək üçün bizə xətti bucaq funksiyaları lazımdır.

Riyaziyyat dərsliklərində xətti bucaq funksiyaları haqqında heç nə tapa bilməzsiniz. Amma onlarsız riyaziyyat ola bilməz. Riyaziyyat qanunları, təbiət qanunları kimi, onların mövcud olub-olmamasını bilsək də işləyir.

Xətti bucaq funksiyaları toplama qanunlarıdır. Cəbrin həndəsəyə, həndəsə triqonometriyaya necə çevrildiyinə baxın.

Xətti bucaq funksiyaları olmadan etmək mümkündürmü? Siz edə bilərsiniz, çünki riyaziyyatçılar hələ də onlarsız idarə edirlər. Riyaziyyatçıların hiyləsi ondadır ki, onlar həmişə bizə yalnız özlərinin həll edə bildikləri problemlərdən danışırlar və həll edə bilməyəcəkləri problemləri bizə heç vaxt demirlər. Görmək. Əgər toplamanın və bir terminin nəticəsini biliriksə, digər termini tapmaq üçün çıxma əməliyyatından istifadə edirik. Hamısı. Başqa problemləri bilmirik və həll edə bilmirik. Yalnız əlavənin nəticəsini biliriksə və hər iki şərti bilmiriksə nə etməli? Bu halda əlavənin nəticəsi xətti bucaq funksiyalarından istifadə edərək iki terminə parçalanmalıdır. Bundan əlavə, bir terminin nə ola biləcəyini özümüz seçirik və xətti bucaq funksiyaları əlavənin nəticəsinin tam olaraq ehtiyacımıza uyğun olması üçün ikinci müddətin nə olması lazım olduğunu göstərir. Bu cür terminlər sonsuz sayda ola bilər. IN Gündəlik həyat cəmini parçalamadan çox yaxşı işləyirik, çıxmaq bizə kifayətdir. Amma saat elmi araşdırma təbiət qanunları, cəminin terminlərə parçalanması çox faydalı ola bilər.

Riyaziyyatçıların danışmağı sevmədiyi başqa bir əlavə qanunu (onların başqa bir hiyləsi) terminlərin eyni ölçü vahidinə malik olmasını tələb edir. Kahı, su və borsch üçün bunlar çəki, həcm, xərc və ya ölçü vahidləri ola bilər.

Şəkil riyaziyyat üçün iki fərq səviyyəsini göstərir. Birinci səviyyə göstərilən rəqəmlər sahəsindəki fərqlərdir a, b, c. Riyaziyyatçıların etdikləri budur. İkinci səviyyə, kvadrat mötərizədə göstərilən və hərflə göstərilən ölçü vahidlərinin sahəsindəki fərqlərdir. U. Bu, fiziklərin etdikləridir. Üçüncü səviyyəni - təsvir olunan obyektlərin əhatə dairəsindəki fərqləri başa düşə bilərik. Fərqli obyektlərdə eyni ölçü vahidlərinin eyni sayda ola bilər. Bunun nə qədər vacib olduğunu borsch triqonometriyasının nümunəsində görə bilərik. Fərqli obyektlərin ölçü vahidləri üçün eyni qeydlərə alt işarələr əlavə etsək, konkret obyekti hansı riyazi kəmiyyətin təsvir etdiyini və onun zamanla və ya hərəkətlərimizlə bağlı olaraq necə dəyişdiyini dəqiq deyə bilərik. məktub W Suyu hərflə qeyd edəcəm S Mən salatı hərflə qeyd edəcəm B- borş. Borş üçün xətti bucaq funksiyalarının necə görünəcəyi budur.

Suyun bir hissəsini və salatın bir hissəsini götürsək, birlikdə borşun bir porsiyası olacaq. Burada sizə borşdan bir az ara verməyi və uzaq uşaqlığınızı xatırlamağı təklif edirəm. Dovşanları və ördəkləri bir araya gətirməyi bizə necə öyrətdiklərini xatırlayırsınız? Nə qədər heyvan çıxacağını tapmaq lazım idi. Onda bizə nə öyrədildi? Bizə ədədləri ədədlərdən ayırmağı və ədədləri əlavə etməyi öyrədirdilər. Bəli, istənilən nömrə istənilən digər nömrəyə əlavə edilə bilər. Bu, müasir riyaziyyatın autizminə birbaşa yoldur - biz nəyi başa düşmürük, nə üçün aydın deyil və bunun reallıqla necə əlaqəli olduğunu çox zəif başa düşürük, çünki üç səviyyəli fərqə görə riyaziyyatçılar yalnız birində işləyirlər. Bir ölçü vahidindən digərinə keçməyi öyrənmək daha düzgün olacaq.

Dovşanları, ördəkləri və kiçik heyvanları hissə-hissə saymaq olar. bir ümumi vahid müxtəlif obyektlər üçün ölçmələr onları bir araya əlavə etməyə imkan verir. Bu problemin uşaq versiyasıdır. Yetkinlər üçün oxşar problemə baxaq. Dovşan və pul əlavə edəndə nə əldə edirsiniz? Burada iki mümkün həll yolu var.

Birinci seçim. Dovşanların bazar dəyərini müəyyənləşdiririk və onu mövcud nağd pula əlavə edirik. Sərvətimizin ümumi dəyərini pulla aldıq.

İkinci variant. Bizdə olan əskinasların sayına dovşanların sayını əlavə edə bilərsiniz. Daşınar əmlakın miqdarını hissə-hissə alacağıq.

Gördüyünüz kimi, eyni əlavə qanunu müxtəlif nəticələr əldə etməyə imkan verir. Hamısı dəqiq nəyi bilmək istədiyimizdən asılıdır.

Ancaq borşumuza qayıt. İndi xətti bucaq funksiyalarının bucağının müxtəlif dəyərləri üçün nə olacağını görə bilərik.

Bucaq sıfırdır. Salatımız var amma su yoxdur. Borş bişirə bilmirik. Borşun miqdarı da sıfırdır. Bu, heç də sıfır borşun sıfır suya bərabər olması demək deyil. Sıfır borsch də sıfır salat ola bilər (sağ bucaq).

Şəxsən mənim üçün bu, əsas riyazi sübutdur. Sıfır əlavə edildikdə nömrəni dəyişmir. Çünki yalnız bir termin olarsa və ikinci termin əskik olarsa, əlavənin özü qeyri-mümkündür. Bunu istədiyiniz kimi əlaqələndirə bilərsiniz, amma unutmayın - sıfır olan bütün riyazi əməliyyatları riyaziyyatçılar özləri icad ediblər, ona görə də məntiqinizi atıb riyaziyyatçıların icad etdiyi tərifləri axmaqcasına sıxışdırın: “sıfıra bölmək mümkün deyil”, “istənilən ədədi sıfıra vurmaq. sıfıra bərabərdir", "sıfır nöqtəsinin arxasında" və digər cəfəngiyyatlar. Sıfırın rəqəm olmadığını bir dəfə xatırlamaq kifayətdir və heç vaxt sıfırın natural ədəd olub-olmaması sualınız olmayacaq, çünki belə bir sual ümumiyyətlə bütün mənasını itirir: ədədi ədəd olmayan necə hesab etmək olar . Bu, görünməyən rəngin hansı rəngə aid edilməsini soruşmaq kimidir. Rəqəmə sıfır əlavə etmək, mövcud olmayan boya ilə rəngləmək kimidir. Quru fırçanı yelləyib hamıya deyirlər ki, “biz çəkmişik”. Amma mən bir az kənara çəkilirəm.

Bucaq sıfırdan böyükdür, lakin qırx beş dərəcədən azdır. Bizdə kahı çoxdur, amma suyu azdır. Nəticədə qalın bir borscht alırıq.

Bucaq qırx beş dərəcədir. Bizdə bərabər miqdarda su və kahı var. Bu mükəmməl borşdur (aşpazlar məni bağışlasın, sadəcə riyaziyyatdır).

Bucaq qırx beş dərəcədən böyükdür, lakin doxsan dərəcədən azdır. Bizdə çoxlu su və az kahı var. Maye borsch alın.

Düz bucaq. Suyumuz var. Bir vaxtlar kahı qeyd edən xəttdən bucağı ölçməyə davam etdiyimiz üçün kahıdan yalnız xatirələr qalır. Borş bişirə bilmirik. Borşun miqdarı sıfırdır. Belə olan halda əlinizdə olanda su için)))

Budur. Bu kimi bir şey. Burada daha uyğun olacaq başqa hekayələri də danışa bilərəm.

İki dostun ümumi işdə öz payları var idi. Onlardan birinin öldürülməsindən sonra hər şey digərinin başına keçdi.

Planetimizdə riyaziyyatın yaranması.

Bütün bu hekayələr xətti bucaq funksiyalarından istifadə edərək riyaziyyatın dilində danışılır. Başqa vaxt mən sizə bu funksiyaların riyaziyyatın strukturunda əsl yerini göstərəcəyəm. Bu arada, borşun triqonometriyasına qayıdaq və proqnozları nəzərdən keçirək.

Şənbə, 26 oktyabr 2019-cu il

haqqında maraqlı bir video izlədim Grandinin sırası Bir mənfi bir üstəgəl bir mənfi bir - Numberphile. Riyaziyyatçılar yalan danışır. Onlar mülahizələrində bərabərlik testi aparmayıblar.

Bu mənim mülahizələrimlə səsləşir.

Riyaziyyatçıların bizi aldatdığını göstərən əlamətlərə daha yaxından nəzər salaq. Riyaziyyatçılar əsaslandırmanın lap əvvəlində deyirlər ki, ardıcıllığın cəmi onun içindəki elementlərin sayının cüt olub-olmamasından ASLIDIR. Bu, OBYEKTİV TƏQDİM EDİLMİŞ Faktdır. Sonra nə olacaq?

Sonra, riyaziyyatçılar ardıcıllığı birlikdən çıxarırlar. Bu nəyə gətirib çıxarır? Bu, ardıcıllıqdakı elementlərin sayının dəyişməsinə gətirib çıxarır - cüt ədəd tək ədədə, tək ədəd isə cüt ədədə dəyişir. Axı biz ardıcıllığa birinə bərabər bir element əlavə etdik. Bütün xarici oxşarlığa baxmayaraq, transformasiyadan əvvəlki ardıcıllıq transformasiyadan sonrakı ardıcıllığa bərabər deyil. Sonsuz ardıcıllıqdan danışsaq belə, yadda saxlamalıyıq ki, tək sayda elementə malik sonsuz ardıcıllıqla, cüt sayda elementli sonsuz ardıcıllıqla bərabər deyil.

Elementlərin sayına görə fərqli iki ardıcıllıq arasına bərabər işarə qoyan riyaziyyatçılar iddia edirlər ki, ardıcıllığın cəmi ardıcıllıqdakı elementlərin sayından ASLI OLMAZ, bu da OBYEKTİV TƏQDİM EDİLMİŞ FAKTLA ziddiyyət təşkil edir. Sonsuz ardıcıllığın cəminə dair əlavə mülahizə yanlışdır, çünki o, yanlış bərabərliyə əsaslanır.

Əgər riyaziyyatçıların sübutlar zamanı mötərizələr qoyduğunu, riyazi ifadənin elementlərini yenidən təşkil etdiyini, nəyisə əlavə etdiyini və ya çıxardığını görsəniz, çox diqqətli olun, çox güman ki, sizi aldatmağa çalışırlar. Kart sehrbazları kimi, riyaziyyatçılar da sonda sizə yanlış nəticə vermək üçün ifadənin müxtəlif manipulyasiyaları ilə diqqətinizi yayındırırlar. Aldatmanın sirrini bilmədən kart hiyləsini təkrarlaya bilmirsinizsə, riyaziyyatda hər şey daha sadədir: aldatmadan heç bir şeydən şübhələnmirsiniz, ancaq bütün manipulyasiyaların təkrarlanması. riyazi ifadə bir vaxtlar əmin olduğunuz kimi başqalarını da nəticənin düzgünlüyünə inandırmağa imkan verir.

Tamaşaçıların sualı: Və sonsuzluq (S ardıcıllığında elementlərin sayı kimi) cütdür, yoxsa təkdir? Pariteti olmayan bir şeyin paritetini necə dəyişdirmək olar?

Riyaziyyatçılar üçün sonsuzluq kahinlər üçün Cənnət Krallığına bənzəyir - heç kim orada olmayıb, amma hər kəs orada hər şeyin necə işlədiyini dəqiq bilir))) Razıyam, ölümdən sonra cüt və ya tək günlər yaşamağınıza tamamilə biganə qalacaqsınız. , lakin ... Ömrünüzün əvvəlində cəmi bir gün əlavə edərək, tamamilə fərqli bir insan alacağıq: onun soyadı, adı və atasının adı tam olaraq eynidir, yalnız doğum tarixi tamamilə fərqlidir - o, bir anadan olub. səndən bir gün əvvəl.

İndi isə mətləbə))) Tutaq ki, pariteti olan sonlu ardıcıllıq sonsuzluğa gedərkən bu pariteti itirir. Onda sonsuz ardıcıllığın istənilən sonlu seqmenti də paritetini itirməlidir. Biz bunu müşahidə etmirik. Sonsuz ardıcıllıqdakı elementlərin sayının cüt və ya tək olduğunu dəqiq deyə bilməməyimiz heç də paritetin yox olması demək deyil. Paritet, əgər varsa, daha kəskin bir kartın qolunda olduğu kimi, izsiz sonsuzluğa itə bilməz. Bu iş üçün çox yaxşı bir bənzətmə var.

Heç saatda oturan kukudan saatın əqrəbinin hansı istiqamətə fırlandığını soruşmusunuzmu? Onun üçün ox "saat əqrəbi istiqamətində" dediyimiz istiqamətə əks istiqamətdə fırlanır. Paradoksal səslənə bilər, lakin fırlanma istiqaməti yalnız fırlanmanı hansı tərəfdən müşahidə etdiyimizdən asılıdır. Beləliklə, fırlanan bir təkərimiz var. Fırlanmanın hansı istiqamətdə baş verdiyini deyə bilmərik, çünki biz onu həm fırlanma müstəvisinin bir tərəfindən, həm də digər tərəfdən müşahidə edə bilərik. Biz ancaq rotasiya olduğuna şahidlik edə bilərik. Sonsuz ardıcıllığın pariteti ilə tam bənzətmə S.

İndi fırlanma müstəvisi birinci fırlanan təkərin fırlanma müstəvisinə paralel olan ikinci fırlanan təkəri əlavə edək. Bu təkərlərin hansı istiqamətdə fırlandığını hələ dəqiq deyə bilmərik, lakin hər iki təkərin eyni istiqamətdə və ya əks istiqamətdə fırlandığını tam əminliklə deyə bilərik. İki sonsuz ardıcıllığın müqayisəsi S Və 1-S, mən riyaziyyatın köməyi ilə göstərdim ki, bu ardıcıllıqlar fərqli paritetə ​​malikdir və onlar arasında bərabər işarə qoyulması səhvdir. Şəxsən mən riyaziyyata inanıram, riyaziyyatçılara inanmıram))) Yeri gəlmişkən, üçün tam anlayış sonsuz ardıcıllığın çevrilmələrinin həndəsəsinə dair anlayışı təqdim etmək lazımdır "eyni vaxt". Bunu çəkmək lazımdır.

Çərşənbə, 7 avqust 2019-cu il

Haqqında söhbəti yekunlaşdıraraq, sonsuz çoxluğu nəzərdən keçirməliyik. "Sonsuzluq" anlayışının dovşandakı boa konstriktoru kimi riyaziyyatçılara təsir etdiyini nəzərə çatdırdı. Sonsuzluğun titrəyən dəhşəti riyaziyyatçıları sağlam düşüncədən məhrum edir. Budur bir nümunə:

Orijinal mənbə yerləşir. Alpha həqiqi ədədi bildirir. Yuxarıdakı ifadələrdəki bərabər işarəsi onu göstərir ki, sonsuzluğa ədəd və ya sonsuzluq əlavə etsəniz, heç nə dəyişməyəcək, nəticə eyni sonsuzluq olacaq. Nümunə olaraq sonsuz çoxluğu götürsək natural ədədlər, nəzərdən keçirilən nümunələr aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:

Riyaziyyatçılar öz iddialarını əyani şəkildə sübut etmək üçün çoxlu müxtəlif üsullar təklif etdilər. Şəxsən mən bütün bu üsullara şamanların qavalla rəqsləri kimi baxıram. Mahiyyət etibarı ilə onların hamısı ona gəlir ki, ya otaqların bəziləri tutulmayıb və onlara yeni qonaqlar yerləşdirilib, ya da qonaqların bir qismini qonaqlara yer vermək üçün dəhlizə atıblar (çox insancasına). Bu cür qərarlara münasibətimi Sarışın haqqında fantastik hekayə şəklində təqdim etdim. Mənim fikrim nəyə əsaslanır? Sonsuz sayda ziyarətçinin köçürülməsi sonsuz vaxt tələb edir. Biz birinci qonaq otağını boşaldandan sonra qonaqlardan biri vaxtın sonuna qədər həmişə öz otağından digərinə dəhliz boyu gedəcək. Təbii ki, zaman faktorunu axmaqcasına gözardı etmək olar, amma bu, artıq “qanun axmaqlar üçün yazılmayıb” kateqoriyasından olacaq. Hamısı nə etdiyimizdən asılıdır: reallığı uyğunlaşdırmaq riyazi nəzəriyyələr və ya əksinə.

"Sonsuz otel" nədir? Sonsuzluq mehmanxanası, nə qədər otaqda olursa olsun, həmişə istənilən sayda vakansiyaya malik olan bir mehmanxanadır. Sonsuz koridorda "qonaqlar üçün" bütün otaqlar işğal edilirsə, "qonaqlar" üçün otaqları olan başqa bir sonsuz koridor var. Belə dəhlizlərin sayı sonsuz olacaq. Eyni zamanda, “sonsuz otel” sonsuz sayda Tanrıların yaratdığı sonsuz sayda kainatdakı sonsuz sayda planetlər üzərində sonsuz sayda binalarda sonsuz sayda mərtəbələrə malikdir. Riyaziyyatçılar isə bayağı məişət problemlərindən uzaqlaşa bilmirlər: Allah-Allah-Budda həmişə birdir, otel birdir, dəhliz birdir. Beləliklə, riyaziyyatçılar otel nömrələrinin seriya nömrələri ilə hoqqabazlıq etməyə çalışırlar və bizi "itələməyənləri itələməyin" mümkün olduğuna inandırırlar.

Sonsuz natural ədədlər toplusundan istifadə edərək sizə öz mülahizələrimin məntiqini nümayiş etdirəcəyəm. Əvvəlcə çox sadə bir suala cavab verməlisiniz: neçə natural ədəd dəsti mövcuddur - bir və ya çox? Bu sualın düzgün cavabı yoxdur, çünki özümüz rəqəmləri icad etdiyimiz üçün Təbiətdə rəqəmlər yoxdur. Bəli, Təbiət saymağı mükəmməl bilir, lakin bunun üçün bizə tanış olmayan digər riyazi vasitələrdən istifadə edir. Təbiətin düşündüyü kimi, sizə başqa vaxt deyəcəyəm. Rəqəmləri icad etdiyimizə görə neçə natural ədəd dəstinin mövcudluğuna özümüz qərar verəcəyik. Əsl alimə yaraşdığı üçün hər iki variantı nəzərdən keçirin.

Seçim bir. Rəfdə sakitcə yatan təbii ədədlərin tək dəsti "Bizə verilsin". Bu dəsti rəfdən götürürük. Budur, rəfdə başqa natural ədədlər qalmayıb və onları aparmağa yer yoxdur. Biz bu dəstəyə birini əlavə edə bilmərik, çünki bizdə artıq var. Əgər həqiqətən istəsən? Problem deyil. Artıq götürdüyümüz dəstdən bir ədəd götürüb rəfə qaytara bilərik. Bundan sonra, rəfdən bir vahid götürüb, qalanlara əlavə edə bilərik. Nəticədə yenə sonsuz natural ədədlər toplusunu alırıq. Bütün manipulyasiyalarımızı belə yaza bilərsiniz:

Mən çoxluğun elementlərini ətraflı sadalayaraq, cəbri yazıda və çoxluq nəzəriyyəsi qeydində əməliyyatları yazdım. Alt işarə bizim bir və yalnız natural ədədlər toplusumuz olduğunu göstərir. Belə çıxır ki, natural ədədlər çoxluğu yalnız ondan biri çıxarılıb, eynisi əlavə edildikdə dəyişməz qalacaq.

İkinci seçim. Rəfdə çoxlu müxtəlif sonsuz natural ədədlər dəstimiz var. Vurğulayıram - FƏRQLİ, praktiki olaraq fərqlənməməsinə baxmayaraq. Bu dəstlərdən birini götürürük. Sonra digər natural ədədlər çoxluğundan birini götürüb artıq götürdüyümüz çoxluğa əlavə edirik. Hətta iki natural ədəd dəsti əlavə edə bilərik. Əldə etdiyimiz budur:

"Bir" və "iki" alt işarələri bu elementlərin müxtəlif çoxluqlara aid olduğunu göstərir. Bəli, sonsuz çoxluğa birini əlavə etsəniz, nəticə də sonsuz çoxluq olacaq, lakin ilk çoxluqla eyni olmayacaq. Bir sonsuz çoxluğa başqa sonsuz çoxluq əlavə edilərsə, nəticədə ilk iki çoxluğun elementlərindən ibarət yeni sonsuz çoxluq yaranır.

Natural ədədlər toplusu ölçmə üçün hökmdar kimi saymaq üçün istifadə olunur. İndi təsəvvür edin ki, hökmdarın üzərinə bir santimetr əlavə etdiniz. Bu, artıq orijinala bərabər olmayan fərqli bir xətt olacaq.

Mənim mülahizələrimi qəbul edə və ya qəbul etməyə bilərsiniz - bu sizin öz işinizdir. Amma nə vaxtsa rastlaşsanız riyazi problemlər, riyaziyyatçıların nəsillərinin tapdaladığı yanlış düşüncə yolu ilə getdiyinizi düşünün. Axı, riyaziyyat dərsləri, ilk növbədə, bizdə sabit düşüncə stereotipi formalaşdırır və yalnız bundan sonra bizə əqli qabiliyyətlər əlavə edir (və ya əksinə, azad düşüncədən məhrum edir).

pozg.ru

Bazar günü, 4 avqust 2019-cu il

Haqqında məqaləyə postskript yazırdım və Vikipediyada bu gözəl mətni gördüm:

Biz oxuyuruq: “... zəngin nəzəri məlumat Babil riyaziyyatı vahid xarakter daşımırdı və ümumi sistemdən və sübut bazasından məhrum olan bir-birindən fərqli texnikalar toplusuna endirildi.

Heyrət! Vay! Nə qədər ağıllıyıq və başqalarının çatışmazlıqlarını nə qədər yaxşı görə bilirik. Müasir riyaziyyata eyni kontekstdə baxmağımız zəifdirmi? Yuxarıdakı mətni bir az ifadə edərək, şəxsən mən aşağıdakıları əldə etdim:

Müasir riyaziyyatın zəngin nəzəri bazası bütöv xarakter daşımır və ümumi sistemdən və sübut bazasından məhrum olan bir-birindən ayrı bölmələr toplusuna çevrilir.

Sözlərimi təsdiqləmək üçün uzağa getməyəcəm - onun riyaziyyatın bir çox digər sahələrinin dil və konvensiyalarından fərqli bir dili və konvensiyaları var. Riyaziyyatın müxtəlif sahələrində eyni adların fərqli mənaları ola bilər. Mən nəşrlərin bütün dövrünü müasir riyaziyyatın ən bariz səhvlərinə həsr etmək istəyirəm. Tezliklə görüşərik.

Şənbə, 3 avqust 2019-cu il

Çoxluğu alt çoxluqlara necə bölmək olar? Bunu etmək üçün, seçilmiş çoxluğun bəzi elementlərində mövcud olan yeni ölçü vahidini daxil etməlisiniz. Məsələni nəzərdən keçirək.

Çoxumuz olsun A dörd nəfərdən ibarətdir. Bu çoxluq "insanlar" əsasında formalaşır Gəlin bu çoxluğun elementlərini hərf vasitəsilə təyin edək. A, rəqəmi olan alt işarə bu çoxluqdakı hər bir şəxsin sıra nömrəsini göstərəcəkdir. Gəlin yeni ölçü vahidi "cinsi xüsusiyyət" təqdim edək və onu hərflə işarə edək b. Cinsi xüsusiyyətlər bütün insanlara xas olduğundan, dəstin hər bir elementini çoxaldırıq A cins üzrə b. Diqqət yetirin ki, bizim “xalq” dəstimiz indi “cinsli insanlar” dəstinə çevrilib. Bundan sonra cinsi xüsusiyyətləri kişiyə ayıra bilərik bm və qadınların bw gender xüsusiyyətləri. İndi biz riyazi filtr tətbiq edə bilərik: bu cinsi xüsusiyyətlərdən birini seçirik, hansının kişi və ya qadın olmasının fərqi yoxdur. Əgər insanda varsa, onu birə, belə bir işarə yoxdursa, sıfıra vururuq. Və sonra adi məktəb riyaziyyatını tətbiq edirik. Görün nə oldu.

Çarpma, azalma və yenidən təşkildən sonra iki alt çoxluq əldə etdik: kişi alt çoxluq bm və qadınların bir hissəsi bw. Təxminən eyni şəkildə riyaziyyatçılar çoxluq nəzəriyyəsini praktikada tətbiq etdikdə mülahizə yürütürlər. Lakin onlar bizə təfərrüatlara girməyə imkan vermirlər, əksinə, yekun nəticəni verirlər – “bir çox insan bir çox kişi və qadın alt dəstəsindən ibarətdir”. Təbii ki, sizdə sual yarana bilər ki, yuxarıdakı çevrilmələrdə riyaziyyat nə dərəcədə düzgün tətbiq olunur? Sizi əmin etməyə cəsarət edirəm ki, əslində çevrilmələr düzgün aparılır, bunun üçün hesabın, Boole cəbrinin və riyaziyyatın digər bölmələrinin riyazi əsaslandırılmasını bilmək kifayətdir. Bu nədir? Başqa vaxt bu barədə sizə məlumat verəcəyəm.

Supersetlərə gəldikdə, bu iki çoxluğun elementlərində mövcud olan ölçü vahidini seçməklə iki çoxluğu bir supersetdə birləşdirmək mümkündür.

Gördüyünüz kimi, ölçü vahidləri və ümumi riyaziyyat çoxluqlar nəzəriyyəsini keçmişdə qaldı. Çoxluq nəzəriyyəsi ilə hər şeyin yaxşı olmadığının əlaməti, riyaziyyatçıların çoxluqlar nəzəriyyəsi üçün öz dilləri və qeydləri ilə çıxış etmələridir. Bir vaxtlar şamanların etdiklərini riyaziyyatçılar etdilər. Yalnız şamanlar öz “biliklərini” “düzgün” tətbiq etməyi bilirlər. Bu "biliyi" bizə öyrədirlər.

Sonda sizə riyaziyyatçıların necə manipulyasiya etdiklərini göstərmək istəyirəm
Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Axilles bu məsafəni qət etdiyi müddətdə tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünəcək və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.

Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyalarını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... hazırda müzakirələr davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməyib ... məsələnin öyrənilməsinə riyazi analiz, çoxluqlar nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar cəlb edilib. ; onların heç biri problemin hamı tərəfindən qəbul edilmiş həlli olmadı..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nə olduğunu heç kim başa düşmür.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən Zenon öz aporiyasında dəyərdən keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid sabitlərin yerinə tətbiq etməyi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərinin tətbiqi üçün riyazi aparat ya hələ işlənib hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizin tətbiqi bizi tələyə salır. Biz, təfəkkür ətaləti ilə, qarşılıqlı zamanın sabit vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda zamanın tam dayanmasına oxşayır. Zaman dayansa, Axilles daha tısbağanı ötüb keçə bilməz.

Adət etdiyimiz məntiqi döndərsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, o zaman “Axilles sonsuz sürətlə tısbağanı keçəcək” demək düzgün olardı.

Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı dəyərlərə keçməyin. Zenon dili ilə desək, belə görünür:

Axillesə min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Növbəti vaxt intervalında, birinciyə bərabər, Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.

Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Amma bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin keçilməzliyi haqqında dediyi fikir Zenonun “Axilles və tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Bu problemi hələ öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuza qədər axtarmaq lazımdır böyük rəqəmlər, lakin ölçü vahidlərində.

Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası da uçan oxdan bəhs edir:

Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə sükunətdədir.

Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində dayandığını aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət faktını müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən müxtəlif vaxtlarda çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin məsafəni müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilməz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır fərqli nöqtələr zamanın bir nöqtəsində boşluq, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən etmək mümkün deyil (təbii ki, hesablamalar üçün əlavə məlumatlar hələ də lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir). Xüsusilə qeyd etmək istədiyim odur ki, iki zaman nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtə iki fərqli şeydir, çünki kəşfiyyat üçün fərqli imkanlar təmin edirlər.
Prosesi bir nümunə ilə göstərəcəyəm. Biz "bir pimple qırmızı bərk" seçirik - bu, bizim "bütündür". Eyni zamanda görürük ki, bunlar kamanlı, kamansız da var. Bundan sonra biz "bütün" bir hissəsini seçirik və "yay ilə" bir dəst təşkil edirik. Şamanlar öz set nəzəriyyəsini reallığa bağlayaraq özlərini belə qidalandırırlar.

İndi bir az hiylə edək. Gəlin "yaylı pimple içində bərk" götürək və qırmızı elementləri seçərək bu "bütün" rəngləri birləşdirək. Çoxlu "qırmızı" aldıq. İndi çətin bir sual: alınan "yaylı" və "qırmızı" dəstlər eyni dəstdir, yoxsa iki fərqli dəst? Cavabı yalnız şamanlar bilir. Daha doğrusu, özləri heç nə bilmirlər, amma necə deyərlər, elə də olsun.

Bu sadə nümunə göstərir ki, çoxluq nəzəriyyəsi reallığa gəldikdə tamamilə faydasızdır. sirri nədir? Biz "yaylı qırmızı bərk pimply" dəsti yaratdıq. Formalaşma dörd müxtəlif ölçü vahidinə görə baş verdi: rəng (qırmızı), möhkəmlik (bərk), pürüzlülük (bir qabarda), bəzəklər (yay ilə). Yalnız ölçü vahidlərinin toplusu real obyektləri riyaziyyat dilində adekvat təsvir etməyə imkan verir.. Budur, necə görünür.

Fərqli indeksləri olan "a" hərfi müxtəlif ölçü vahidlərini bildirir. Mötərizədə ölçü vahidləri vurğulanır, buna görə ilkin mərhələdə "bütün" ayrılır. Dəsti formalaşdıran ölçü vahidi mötərizələrdən çıxarılır. Son sətir yekun nəticəni - dəstin elementini göstərir. Göründüyü kimi, çoxluq yaratmaq üçün vahidlərdən istifadə etsək, nəticə bizim hərəkətlərimizin ardıcıllığından asılı deyil. Bu da riyaziyyatdır, şamanların qaflı rəqsləri deyil. Şamanlar "aydınlıq" ilə mübahisə edərək eyni nəticəyə "intuitiv" gələ bilərlər, çünki ölçü vahidləri onların "elmi" arsenalına daxil edilmir.

Ölçü vahidlərinin köməyi ilə birini qırmaq və ya bir neçə dəsti bir supersetdə birləşdirmək çox asandır. Bu prosesin cəbrinə daha yaxından nəzər salaq.