Riyazi gözlənti, tərifdir
Mat gözləməkdirən mühüm anlayışlardan biridir riyazi statistika və dəyərlərin paylanmasını xarakterizə edən ehtimal nəzəriyyəsi və ya ehtimallar təsadüfi dəyişən. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin orta çəkisi kimi ifadə edilir. həyata keçirilməsində geniş istifadə olunur texniki analiz, ədədi sıraların tədqiqi, davamlı və uzun proseslərin tədqiqi. Bu var əhəmiyyəti maliyyə bazarlarında alqı-satqı zamanı riskləri qiymətləndirərkən, qiymət göstəricilərini proqnozlaşdırarkən, oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur. qumar nəzəriyyəsi.
Şah mat gözləyir- bu təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, paylanması ehtimallar təsadüfi dəyişən ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.
Mat gözləməkdir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri x işarələnmişdir M(x).
Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir
Mat gözləməkdir
Mat gözləməkdir ehtimal nəzəriyyəsində, bu təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkili.
Mat gözləməkdir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının bu dəyərlərin ehtimalları ilə cəmi.
Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir
Mat gözləməkdir müəyyən bir qərardan əldə edilən orta fayda, bir şərtlə ki, belə bir qərar nəzəriyyə çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilsin böyük rəqəmlər və uzun məsafə.
Mat gözləməkdir qumar nəzəriyyəsində, hər bir mərc üçün orta hesabla spekulyatorun qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumarın dilində möhtəkirlər buna bəzən “üstünlük” deyirlər möhtəkir” (spekulyant üçün müsbət olarsa) və ya “ev kənarı” (spekulyant üçün mənfi olarsa).
Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir
Diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xüsusiyyətləri: gözlənilən dəyər, dispersiya və standart kənarlaşma. Onların xüsusiyyətləri və nümunələri.
Paylanma qanunu (paylanma funksiyası və paylanma seriyası və ya ehtimal sıxlığı) təsadüfi dəyişənin davranışını tam təsvir edir. Lakin bir sıra məsələlərdə qoyulan suala cavab vermək üçün tədqiq olunan kəmiyyətin bəzi ədədi xarakteristikalarını (məsələn, onun orta qiyməti və ondan mümkün yayınma) bilmək kifayətdir. Diskret təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.
Tərif 7.1.riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən onun mümkün dəyərlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)
Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdursa, nəticədə çıxan sıra mütləq birləşirsə.
Qeyd 1. Riyazi gözlənti bəzən adlanır çəkili orta, çünki təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir böyük rəqəmlər təcrübələr.
Qeyd 2. Riyazi gözləntinin tərifindən belə çıxır ki, onun dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün olan ən kiçik qiymətindən az deyil və ən böyükdən çox deyil.
Qeyd 3. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisidir qeyri-təsadüfi(Sabit. Daha sonra görəcəyik ki, eyni şey davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün də keçərlidir.
Nümunə 1. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın X- 10 hissədən ibarət partiyadan seçilmiş üç hissədən standart hissələrin sayı, o cümlədən 2 qüsurlu. üçün paylama seriyası tərtib edək X. Problemin vəziyyətindən belə çıxır ki X 1, 2, 3 qiymətlərini götürə bilər. Sonra
Misal 2. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təyin edin X- gerb ilk dəfə görünənə qədər atılan sikkələrin sayı. Bu kəmiyyət sonsuz sayda dəyər ala bilər (mümkün dəyərlər dəsti çoxluqdur natural ədədlər). Onun paylama seriyası formaya malikdir:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (hesablama zamanı sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın cəmi üçün düstur iki dəfə istifadə edilmişdir: , haradan ).
Riyazi gözləmənin xassələri.
1) Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:
M(FROM) = FROM.(7.2)
Sübut. nəzərə alsaq FROM yalnız bir qiymət alan diskret təsadüfi dəyişən kimi FROM ehtimalla R= 1, onda M(FROM) = FROM?1 = FROM.
2) Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər:
M(CX) = SM(X). (7.3)
Sübut. Əgər təsadüfi dəyişən X paylama seriyası ilə verilir
Sonra M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = FROM(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = SM(X).
Tərif 7.2.İki təsadüfi dəyişən çağırılır müstəqil, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digərinin hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə. Əks halda təsadüfi dəyişənlər asılı.
Tərif 7.3. zəng edək müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulu X və Y təsadüfi dəyişən XY mümkün dəyərləri bütün mümkün dəyərlərin məhsullarına bərabər olan X bütün mümkün dəyərlər üçün Y, və onlara uyğun gələn ehtimallar amillərin ehtimallarının hasillərinə bərabərdir.
3) İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Sübut. Hesablamaları sadələşdirmək üçün biz özümüzü nə vaxt vəziyyətlə məhdudlaşdırırıq X və Y yalnız iki mümkün dəyəri götürün:
Nəticədə, M(XY) = x 1 y 1 ?səh 1 g 1 + x 2 y 1 ?səh 2 g 1 + x 1 y 2 ?səh 1 g 2 + x 2 y 2 ?səh 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 səh 1 + x 2 səh 2) + + y 2 g 2 (x 1 səh 1 + x 2 səh 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 səh 1 + x 2 səh 2) = M(X)?M(Y).
Qeyd 1. Eynilə, faktorların daha çox mümkün dəyərləri üçün bu xüsusiyyəti sübut etmək olar.
Qeyd 2. 3-cü xassə riyazi induksiya üsulu ilə sübut edilən istənilən sayda müstəqil təsadüfi kəmiyyətlərin hasilinə etibarlıdır.
Tərif 7.4. müəyyən edək təsadüfi dəyişənlərin cəmi X və Y təsadüfi dəyişən kimi X + Y, onların mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin cəminə bərabərdir X hər mümkün dəyərlə Y; belə məbləğlərin ehtimalları şərtlərin ehtimallarının hasillərinə bərabərdir (asılı təsadüfi dəyişənlər üçün - bir müddətin ehtimalının ikincinin şərti ehtimalına hasilləri).
4) İki təsadüfi dəyişənin (asılı və ya müstəqil) cəminin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Sübut.
Xassə sübutunda verilmiş paylama sıraları ilə verilən təsadüfi dəyişənləri yenidən nəzərdən keçirin 3. Sonra mümkün qiymətlər X+Y var X 1 + saat 1 , X 1 + saat 2 , X 2 + saat 1 , X 2 + saat 2. Onların ehtimallarını müvafiq olaraq kimi qeyd edin R 11 , R 12 , R 21 və R 22. tapaq M(X+Y) = (x 1 + y 1)səh 11 + (x 1 + y 2)səh 12 + (x 2 + y 1)səh 21 + (x 2 + y 2)səh 22 =
= x 1 (səh 11 + səh 12) + x 2 (səh 21 + səh 22) + y 1 (səh 11 + səh 21) + y 2 (səh 12 + səh 22).
Bunu sübut edək R 11 + R 22 = R bir . Həqiqətən də hadisə X+Y dəyərləri öz üzərinə götürəcək X 1 + saat 1 və ya X 1 + saat 2 və ehtimalı olan R 11 + R 22 hadisə ilə üst-üstə düşür X = X 1 (onun ehtimalı R bir). Eynilə, sübut edilmişdir səh 21 + səh 22 = R 2 , səh 11 + səh 21 = g 1 , səh 12 + səh 22 = g 2. O deməkdir ki,
M(X+Y) = x 1 səh 1 + x 2 səh 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Şərh. 4-cü xüsusiyyət istənilən sayda təsadüfi dəyişənlərin cəminin şərtlərin gözlənilən dəyərlərinin cəminə bərabər olduğunu nəzərdə tutur.
Misal. Beş zar atarkən yuvarlanan xalların cəminin riyazi gözləntisini tapın.
Bir zar atarkən düşən xalların sayının riyazi gözləntisini tapaq:
M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Eyni ədəd hər hansı bir zərrə düşən xalların sayının riyazi gözləntisinə bərabərdir. Beləliklə, əmlakla 4 M(X)=
Dispersiya.
Təsadüfi dəyişənin davranışı haqqında təsəvvürə malik olmaq üçün onun yalnız riyazi gözləntisini bilmək kifayət deyil. İki təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin: X və Y, formanın paylama seriyası ilə verilir
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| səh | 0,5 | 0,5 |
tapaq M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. Gördüyünüz kimi, hər iki kəmiyyətin riyazi gözləntiləri bərabərdir, lakin əgər HM(X) təsadüfi dəyişənin davranışını yaxşı təsvir edir, onun ən çox ehtimal olunan dəyəri (üstəlik, qalan dəyərlər 50-dən bir qədər fərqlənir), sonra dəyərlər Yəhəmiyyətli dərəcədə kənara çıxır M(Y). Buna görə də, riyazi gözlənti ilə yanaşı, təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin ondan nə qədər kənara çıxdığını bilmək arzu edilir. Bu göstəricini xarakterizə etmək üçün dispersiyadan istifadə olunur.
Tərif 7.5.Dağılma (səpilmə) təsadüfi dəyişən onun riyazi gözləntisindən kənarlaşma kvadratının riyazi gözləntisidir:
D(X) = M (X-M(X))². (7.6)
Təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın X(seçilmişlər arasında standart hissələrin sayı) bu mühazirənin 1-ci nümunəsində. Hər bir mümkün dəyərin riyazi gözləntidən kvadrat sapmasının dəyərlərini hesablayaq:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Nəticədə,
Qeyd 1. Dispersiyanın tərifində ortanın özündən kənarlaşma deyil, onun kvadratı qiymətləndirilir. Bu, müxtəlif əlamətlərin sapmalarının bir-birini kompensasiya etməməsi üçün edilir.
Qeyd 2. Dispersiyanın tərifindən belə çıxır ki, bu kəmiyyət yalnız mənfi olmayan qiymətləri qəbul edir.
Qeyd 3. Dispersiyanı hesablamaq üçün daha əlverişli düstur var ki, onun etibarlılığı aşağıdakı teoremdə sübut olunur:
Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Sübut.
Nə istifadə etməklə M(X) sabit qiymətdir və riyazi gözləntinin xassələri ilə (7.6) düsturu formaya çeviririk:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), sübut edilməli idi.
Misal. Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyalarını hesablayaq X və Y bu bölmənin əvvəlində müzakirə olunur. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) \u003d (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Beləliklə, ikinci təsadüfi dəyişənin dispersiyası birincinin dispersiyasından bir neçə min dəfə böyükdür. Beləliklə, bu kəmiyyətlərin paylanma qanunlarını bilmədən belə, uyğun olaraq məlum dəyərlər variasiya, bunu deyə bilərik Xüçün isə öz riyazi gözləntisindən az kənara çıxır Y bu sapma çox əhəmiyyətlidir.
Dispersiya xassələri.
1) Dispersiya sabiti FROM sıfıra bərabərdir:
D (C) = 0. (7.8)
Sübut. D(C) = M((SM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Sabit əmsalı kvadrata çevirməklə dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Sübut. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) İki müstəqil təsadüfi dəyişənin cəminin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Sübut. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Nəticə 1. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyaları onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir.
Nəticə 2. Sabit və təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası təsadüfi dəyişənin dispersiyasına bərabərdir.
4) İki müstəqil təsadüfi dəyişənin fərqinin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Sübut. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Dispersiya təsadüfi kəmiyyətin ortadan kvadrat sapmasının orta qiymətini verir; sapmanın özünü qiymətləndirmək üçün standart sapma adlanan dəyərdir.
Tərif 7.6.Standart sapmaσ təsadüfi dəyişən Xçağırdı Kvadrat kök dispersiyadan:
Misal. Əvvəlki nümunədə standart sapmalar X və Y müvafiq olaraq bərabərdir
Gözlənilən dəyər- nümunələrin sayı və ya ölçmələrin sayı (bəzən testlərin sayı deyirlər) sonsuzluğa meyl etdikdə təsadüfi dəyişənin orta qiyməti (stasionar təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanması).
Sonlu sayda sınaqların birölçülü təsadüfi kəmiyyətinin arifmetik ortası adətən adlanır. gözlənti təxmini. Stasionar təsadüfi prosesin sınaqlarının sayı sonsuzluğa meyl etdikdə, riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsi riyazi gözləntiyə meyllidir.
Riyazi gözləmə ehtimal nəzəriyyəsində əsas anlayışlardan biridir).
Ensiklopedik YouTube
1 / 5
✪ Riyazi gözlənti və dispersiya - bezbotvy
✪ Ehtimal nəzəriyyəsi 15: Riyazi gözlənti
✪ Riyazi gözlənti
✪ Riyazi gözlənti və variasiya. Nəzəriyyə
✪ Ticarətdə riyazi gözlənti
Altyazılar
Tərif
Ehtimal sahəsi verilsin (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P))) və onun üzərində müəyyən edilmiş təsadüfi qiymət X (\displaystyle X). Yəni tərifinə görə, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )ölçülə bilən funksiyadır. a Lebesq inteqralı varsa X (\displaystyle X) kosmosla Ω (\displaystyle \Omega), onda riyazi gözlənti və ya orta (gözlənilən) qiymət adlanır və işarələnir. M [ X ] (\displaystyle M[X]) və ya E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).
M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limitlər _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omeqa).)Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limitlər _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
Diskret paylanmanın riyazi gözləntiləri
P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limitlər _(i=1) )^(\infty )p_(i)=1),onda birbaşa Lebeq inteqralının tərifindən belə çıxır ki
M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limitlər _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).Tam ədədin riyazi gözləntisi
P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\dörd \sum \limitlər _(j=0) )^(\infty )p_(j)=1)onda onun riyazi gözləntisi ardıcıllığın yaradan funksiyası ilə ifadə oluna bilər. ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))birinci törəmənin vahiddə qiyməti kimi: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Əgər riyazi gözlənti X (\displaystyle X) sonsuz, onda lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty ) və yazacağıq P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )
İndi generasiya funksiyasını götürək Q (s) (\displaystyle Q(lar)) paylanmanın "quyruqlarının" ardıcıllığı ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))
q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k. (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k))Bu generasiya funksiyası əvvəllər müəyyən edilmiş funksiya ilə bağlıdır P (s) (\displaystyle P(s))əmlak: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))) saat | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Buradan, orta dəyər teoreminə görə belə nəticə çıxır ki, riyazi gözlənti sadəcə olaraq bu funksiyanın vəhdətdəki qiymətinə bərabərdir:
M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))Mütləq davamlı paylanmanın riyazi gözləntisi
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limitlər _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).Təsadüfi vektorun riyazi gözləntiləri
Qoy X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\nöqtələr,X_(n))^(\üst )\kolon \Omeqa \to \mathbb ( R) ^(n)) təsadüfi vektordur. Sonra təriflə
M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\nöqtələr,M)^(\yuxarı )),yəni vektorun riyazi gözləntisi komponent üzrə müəyyən edilir.
Təsadüfi dəyişənin çevrilməsinin riyazi gözləntiləri
Qoy g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) ) təsadüfi dəyişən kimi Borel funksiyasıdır Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X)) sonlu riyazi gözləntiyə malikdir. O zaman düstur onun üçün etibarlıdır
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i , (\displaystyle M\left=\sum \limitlər _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( i))əgər X (\displaystyle X) diskret paylamaya malikdir;
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , (\displaystyle M\left=\int \limitlər _(-\infty )^(\infty )\!g(x) )f_(X)(x)\,dx,)əgər X (\displaystyle X) tamamilə davamlı paylanmaya malikdir.
Əgər paylama P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X)) təsadüfi dəyişən X (\displaystyle X)ümumi forma, sonra
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) . (\displaystyle M\left=\int \limitlər _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)Xüsusi halda nə vaxt g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), gözlənilən dəyər M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M)çağırdı k (\displaystyle k)-m təsadüfi dəyişənin momenti.
Riyazi gözləmənin ən sadə xassələri
- Ədədin riyazi gözləntisi ədədin özüdür.
- Riyazi gözlənti xəttidir, yəni
- 10 yeni doğulmuş körpə arasında oğlanların sayı.
Tamamilə aydındır ki, bu rəqəm əvvəlcədən məlum deyil və doğulan növbəti on uşaqda belə ola bilər:
Ya oğlanlar - bir və tək sadalanan variantlardan.
Və formada qalmaq üçün bir az bədən tərbiyəsi:
- uzun tullanma məsafəsi (bəzi vahidlərdə).
Bunu hətta idman ustası belə proqnozlaşdıra bilmir :)
Bununla belə, fərziyyələriniz nədir?
2) Davamlı təsadüfi dəyişən - alır hamısı bəzi sonlu və ya sonsuz diapazondan rəqəmli dəyərlər.
Qeyd : DSV və NSV abbreviaturaları tədris ədəbiyyatında məşhurdur
Əvvəlcə diskret təsadüfi dəyişəni təhlil edək, sonra - davamlı.
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu
- bu uyğunluq bu kəmiyyətin mümkün dəyərləri ilə onların ehtimalları arasında. Çox vaxt qanun cədvəldə yazılır: 
Termin olduqca yaygındır sıra
paylanması, lakin bəzi situasiyalarda birmənalı səslənir və buna görə də mən “qanun”a əməl edəcəyəm.
Və indi çox vacib məqam: təsadüfi dəyişəndən bəri mütləq qəbul edəcək dəyərlərindən biridir, sonra müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup və onların baş vermə ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:
və ya qatlanmış halda yazılıb:
Beləliklə, məsələn, bir zərbdə xalların ehtimallarının paylanması qanunu aşağıdakı formaya malikdir: 
Şərhsiz.
Siz diskret təsadüfi dəyişənin yalnız "yaxşı" tam dəyərləri qəbul edə biləcəyi təəssüratında ola bilərsiniz. Gəlin illüziyanı dağıtaq - onlar hər şey ola bilər:
Misal 1
Bəzi oyunlarda aşağıdakı pay paylama qanunu var: 
…yəqin ki, siz çoxdandır ki, belə tapşırıqları xəyal edirsiniz :) Sizə bir sirr deyim – mən də. Xüsusilə də işi bitirdikdən sonra sahə nəzəriyyəsi.
Həll: təsadüfi dəyişən üç qiymətdən yalnız birini qəbul edə bildiyi üçün müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup, bu o deməkdir ki, onların ehtimallarının cəmi birə bərabərdir: 
“Partizanı” ifşa edirik: 
– beləliklə, şərti vahidləri qazanma ehtimalı 0,4-dür.
Nəzarət: əmin olmaq üçün nə lazımdır.
Cavab verin:
Bölüşdürmə qanununun müstəqil şəkildə tərtib edilməsi lazım olduqda nadir deyil. Bu istifadə üçün ehtimalın klassik tərifi, hadisə ehtimalları üçün vurma/toplama teoremləri və digər çiplər tervera:
Misal 2
Qutuda 50 lotereya bileti var, onlardan 12-si uduşludur və onlardan 2-si hər biri 1000 rubl, qalanları isə hər biri 100 rubl qazanır. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanununu tərtib edin - qutudan təsadüfi olaraq bir bilet çəkilərsə, uduşların ölçüsü.
Həll: qeyd etdiyiniz kimi, təsadüfi dəyişənin dəyərlərini yerləşdirmək adətdir artan sıra. Buna görə də, ən kiçik uduşlardan, yəni rubldan başlayırıq.
Ümumilikdə 50 - 12 = 38 belə bilet var və buna görə klassik tərif:
təsadüfi çəkilmiş biletin qalib gəlməyəcəyi ehtimalıdır.
Qalan hallar sadədir. Rubl qazanma ehtimalı:
Yoxlama: - və bu, bu cür tapşırıqların xüsusilə xoş anıdır!
Cavab verin: tələb olunan gəlir paylama qanunu: 
Müstəqil qərar üçün aşağıdakı tapşırıq:
Misal 3
Atıcının hədəfi vurma ehtimalı . Təsadüfi dəyişən üçün paylama qanunu hazırlayın - 2 atışdan sonra vuruşların sayı.
... Onun üçün darıxdığını bilirdim :) Xatırlayırıq vurma və toplama teoremləri. Həll və cavab dərsin sonunda.
Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə təsvir edir, lakin praktikada onun yalnız bir hissəsini bilmək faydalıdır (bəzən daha faydalıdır). ədədi xüsusiyyətlər .
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri
Sadə dillə desək, bu orta gözlənilən dəyər təkrar sınaq ilə. Təsadüfi dəyişən ehtimallarla dəyərlər alsın 
müvafiq olaraq. Onda bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərdir işlərin cəmi onun bütün dəyərləri müvafiq ehtimallarla:
və ya qatlanmış formada: 
Məsələn, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini hesablayaq - zərə düşən xalların sayını:
İndi isə hipotetik oyunumuzu xatırlayaq: 
Sual yaranır: bu oyunu oynamaq hətta sərfəlidirmi? ... kimin təəssüratları var? Buna görə də "təxminən" deyə bilməzsiniz! Ancaq bu suala riyazi gözləntiləri hesablamaqla asanlıqla cavab vermək olar, əslində - çəkili orta Qazanma ehtimalları:
Beləliklə, bu oyunun riyazi gözləntisi itirmək.
Təəssüratlara etibar etməyin - nömrələrə etibar edin!
Bəli, burada ard-arda 10, hətta 20-30 dəfə qalib gəlmək olar, amma uzun müddət ərzində qaçılmaz olaraq məhv olacağıq. Və mən sizə belə oyunlar oynamağı məsləhət görməzdim :) Yaxşı, bəlkə də yalnız Əyləncə üçün.
Yuxarıda göstərilənlərin hamısından belə nəticə çıxır ki, riyazi gözlənti TƏSƏFÜF DEYİL DEYİL.
Müstəqil tədqiqat üçün yaradıcı tapşırıq:
Misal 4
Cənab X Avropa ruletini aşağıdakı sistem üzrə oynayır: o, daim qırmızıya 100 rubl mərc edir. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanununu tərtib edin - onun nəticəsi. Uduşların riyazi gözləntisini hesablayın və onu qəpiklərə yuvarlaqlaşdırın. Necə orta oyunçu hər yüz mərc üçün uduzur?
İstinad : Avropa ruletində 18 qırmızı, 18 qara və 1 yaşıl sektor ("sıfır") var. "Qırmızı" düşdüyü təqdirdə, oyunçuya ikiqat mərc ödənilir, əks halda o, kazinonun gəlirinə keçir.
Öz ehtimal cədvəllərinizi yarada biləcəyiniz bir çox başqa rulet sistemi var. Ancaq bu, heç bir paylama qanunlarına və cədvəllərinə ehtiyac duymadığımız haldır, çünki oyunçunun riyazi gözləntisinin tam olaraq eyni olacağı müəyyən edilmişdir. Yalnız sistemdən sistemə dəyişir
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar da olacaq, cavablarını görə bilərsiniz.
Riyazi gözləmə və dispersiya təsadüfi dəyişənin ən çox istifadə edilən ədədi xarakteristikalarıdır. Onlar paylanmanın ən mühüm xüsusiyyətlərini xarakterizə edirlər: onun mövqeyi və dağılma dərəcəsi. Riyazi gözlənti çox vaxt sadəcə olaraq orta hesab olunur. təsadüfi dəyişən. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası - təsadüfi dəyişənin dispersiya, dispersiya xarakteristikası onun riyazi gözləntisi ətrafında.
Təcrübənin bir çox problemlərində təsadüfi dəyişənin tam, hərtərəfli təsviri - paylanma qanunu - ya əldə edilə bilməz, ya da ümumiyyətlə lazım deyil. Bu hallarda, onlar ədədi xüsusiyyətlərdən istifadə edərək təsadüfi dəyişənin təxmini təsviri ilə məhdudlaşır.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri
Gələk riyazi gözlənti anlayışına. Hansısa maddənin kütləsi x oxunun nöqtələri arasında paylansın x1 , x 2 , ..., x n. Üstəlik, hər bir maddi nöqtənin ehtimalı ilə ona uyğun bir kütləsi var səh1 , səh 2 , ..., səh n. X oxunda kütlələri nəzərə alınmaqla bütün maddi nöqtələr sisteminin mövqeyini xarakterizə edən bir nöqtə seçmək tələb olunur. Belə bir nöqtə kimi maddi nöqtələr sisteminin kütlə mərkəzini götürmək təbiidir. Bu təsadüfi dəyişənin orta çəkisidir X, burada hər bir nöqtənin absisi xi müvafiq ehtimala bərabər “çəki” ilə daxil olur. Beləliklə əldə edilən təsadüfi dəyişənin orta qiyməti X onun riyazi gözləntisi adlanır.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və bu dəyərlərin ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Misal 1 Qazan-qazan lotereyası təşkil etdi. 1000 uduş var, onlardan 400-ü hər biri 10 rubl təşkil edir. Hər biri 300-20 rubl Hər biri 200-100 rubl. və hər biri 100 - 200 rubl. Bir bilet alan adamın orta uduşu nə qədərdir?
Həll. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubla bərabər olan uduşların ümumi məbləği 1000-ə (uduşun ümumi məbləği) bölünsə, orta uduşu tapacağıq. Sonra 50000/1000 = 50 rubl alırıq. Lakin orta qazancın hesablanması üçün ifadə də aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:
Digər tərəfdən, bu şərtlərdə uduşların məbləği 10, 20, 100 və 200 rubl dəyərlərini ala bilən təsadüfi bir dəyişəndir. ehtimalları müvafiq olaraq 0,4-ə bərabər olan; 0,3; 0,2; 0.1. Buna görə də, gözlənilən orta gəlir, ödənişlərin ölçüsünün məhsulları və onların alınması ehtimalının cəminə bərabərdir.
Misal 2 Nəşriyyat yeni kitab nəşr etmək qərarına gəlib. Kitabı 280 rubla satmağa hazırlaşır, bunun 200-ü ona, 50-si kitab mağazasına, 30-u isə müəllifə veriləcək. Cədvəldə kitabın nəşrinin dəyəri və kitabın müəyyən sayda nüsxəsinin satılma ehtimalı haqqında məlumat verilir.
Nəşriyyatçının gözlənilən mənfəətini tapın.
Həll. Təsadüfi dəyişən "mənfəət" satışdan əldə edilən gəlirlə xərclərin dəyəri arasındakı fərqə bərabərdir. Məsələn, 500 nüsxə kitab satılırsa, satışdan əldə edilən gəlir 200 * 500 = 100.000, nəşrin dəyəri isə 225.000 rubl təşkil edir. Beləliklə, nəşriyyatı 125 min rubl zərər gözləyir. Aşağıdakı cədvəl təsadüfi dəyişənin gözlənilən dəyərlərini ümumiləşdirir - mənfəət:
| Nömrə | Mənfəət xi | Ehtimal səhi | xi səh i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ümumi: | 1,00 | 25000 |
Beləliklə, nəşriyyatın qazancının riyazi gözləntisini əldə edirik:
.
Misal 3 Bir vuruşla vurmaq şansı səh= 0,2. 5-ə bərabər vuruş sayının riyazi gözləntisini təmin edən mərmilərin istehlakını müəyyənləşdirin.
Həll. İndiyə qədər istifadə etdiyimiz eyni gözləmə düsturundan ifadə edirik x- qabıq istehlakı:
.
Misal 4 Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təyin edin xüç atışla vuruşların sayı, əgər hər vuruşla vuruş ehtimalı səh = 0,4 .
İpucu: təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin ehtimalını tapın Bernoulli düsturu .
Gözləmə xüsusiyyətləri
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu sabitə bərabərdir:
Əmlak 2. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
Əmlak 5. Təsadüfi dəyişənin bütün dəyərləri varsa X eyni sayda azalma (artırma). FROM, onda onun riyazi gözləntisi eyni sayda azalacaq (artır):
Yalnız riyazi gözləntilərlə məhdudlaşa bilməyəndə
Əksər hallarda təsadüfi dəyişəni yalnız riyazi gözlənti adekvat xarakterizə edə bilməz.
Təsadüfi dəyişənlərə icazə verin X və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| Məna X | Ehtimal |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Məna Y | Ehtimal |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Bu kəmiyyətlərin riyazi gözləntiləri eynidir - sıfıra bərabərdir:
Ancaq onların paylanması fərqlidir. Təsadüfi dəyər X yalnız riyazi gözləntilərdən və təsadüfi dəyişəndən az fərqlənən dəyərləri qəbul edə bilər Y riyazi gözləntidən əhəmiyyətli dərəcədə yayınan dəyərləri qəbul edə bilər. Oxşar bir misal: orta əmək haqqı yüksək və az maaş alan işçilərin nisbətini mühakimə etməyə imkan vermir. Başqa sözlə, riyazi gözlənti ilə heç olmasa orta hesabla ondan hansı sapmaların mümkün olduğunu mühakimə etmək olmaz. Bunun üçün təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapmaq lazımdır.
Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası
dispersiya diskret təsadüfi dəyişən X onun riyazi gözləntidən yayınma kvadratının riyazi gözləntisi adlanır:
Təsadüfi dəyişənin standart sapması X onun dispersiyasının kvadrat kökünün arifmetik qiymətidir:
.
Misal 5 Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyalarını və standart kənarlaşmalarını hesablayın X və Y paylanma qanunları yuxarıdakı cədvəllərdə verilmişdir.
Həll. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri X və Y, yuxarıda tapıldığı kimi, sıfıra bərabərdir. Üçün dispersiya düsturuna görə E(X)=E(y)=0 alırıq:
Sonra təsadüfi dəyişənlərin standart kənarlaşmaları X və Y təşkil edir
.
Beləliklə, eyni riyazi gözləntilərlə, təsadüfi dəyişənin variasiyası Xçox kiçik və təsadüfi Y- əhəmiyyətli. Bu, onların paylanmasındakı fərqin nəticəsidir.
Misal 6İnvestorun 4 alternativ investisiya layihəsi var. Cədvəl bu layihələrdə gözlənilən mənfəət haqqında məlumatları müvafiq ehtimalla ümumiləşdirir.
| Layihə 1 | Layihə 2 | Layihə 3 | Layihə 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Hər bir alternativ üçün riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşma tapın.
Həll. 3-cü alternativ üçün bu kəmiyyətlərin necə hesablandığını göstərək:
Cədvəl bütün alternativlər üçün tapılan dəyərləri ümumiləşdirir.
Bütün alternativlər eyni riyazi gözləntilərə malikdir. Bu o deməkdir ki, uzunmüddətli perspektivdə hər kəs eyni gəlirə malikdir. Standart kənarlaşma risk ölçüsü kimi şərh edilə bilər - nə qədər böyükdürsə, investisiya riski də bir o qədər yüksəkdir. Çox risk istəməyən investor 1-ci layihəni seçəcək, çünki o, ən kiçik standart sapmaya (0) malikdir. İnvestor qısa müddət ərzində riskə və yüksək gəlirə üstünlük verirsə, o zaman o, ən böyük standart sapma olan layihəni - 4-cü layihəni seçəcək.
Dispersiya xassələri
Dispersiyanın xassələrini təqdim edək.
Mülk 1. Sabit bir dəyərin dispersiyası sıfırdır:
Əmlak 2. Sabit amil dispersiya işarəsindən onu kvadratlaşdırmaqla çıxarıla bilər:
.
Əmlak 3. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası bu dəyərin kvadratının riyazi gözləntisinə bərabərdir, ondan dəyərin özünün riyazi gözləntisinin kvadratı çıxarılır:
,
harada 
.
Əmlak 4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin (fərqinin) dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə (fərqinə) bərabərdir:
Misal 7 Məlumdur ki, diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki qiymət alır: −3 və 7. Bundan əlavə, riyazi gözlənti məlumdur: E(X) = 4. Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Həll. ilə işarələyin səh təsadüfi dəyişənin qiymət alması ehtimalı x1 = −3 . Sonra dəyərin ehtimalı x2 = 7 1 - olacaq səh. Riyazi gözlənti üçün tənliyi əldə edək:
E(X) = x 1 səh + x 2 (1 − səh) = −3səh + 7(1 − səh) = 4 ,
ehtimalları haradan əldə edirik: səh= 0,3 və 1 − səh = 0,7 .
Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu:
| X | −3 | 7 |
| səh | 0,3 | 0,7 |
Bu təsadüfi dəyişənin dispersiyasını dispersiyanın 3-cü xüsusiyyətindən istifadə edərək hesablayırıq:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini özünüz tapın və sonra həllinə baxın
Misal 8 Diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki qiymət alır. 0,4 ehtimalı ilə daha böyük 3 qiymətini alır. Bundan əlavə, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası məlumdur D(X) = 6. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.
Misal 9 Bir qabda 6 ağ və 4 qara top var. Qazandan 3 top alınır. Çəkilmiş toplar arasında ağ topların sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.
Həll. Təsadüfi dəyər X 0, 1, 2, 3 qiymətlərini qəbul edə bilər. Müvafiq ehtimallar aşağıdakılardan hesablana bilər. ehtimalların vurulması qaydası. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| səh | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Beləliklə, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Verilmiş təsadüfi dəyişənin dispersiyası:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyası
Davamlı təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləntinin mexaniki təfsiri eyni mənanı saxlayacaq: sıxlığı olan x oxuna davamlı olaraq paylanmış vahid kütlə üçün kütlə mərkəzi. f(x). Funksiya arqumenti olan diskret təsadüfi dəyişəndən fərqli olaraq xi ani olaraq dəyişir, davamlı təsadüfi dəyişən üçün arqument davamlı olaraq dəyişir. Lakin fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi də onun orta qiyməti ilə bağlıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapmaq üçün müəyyən inteqralları tapmaq lazımdır. . Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin sıxlıq funksiyası verilirsə, o, birbaşa inteqrana daxil olur. Əgər ehtimal paylama funksiyası verilmişdirsə, onu diferensiallaşdırmaqla sıxlıq funksiyasını tapmaq lazımdır.
Davamlı təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin arifmetik ortası onun adlanır riyazi gözlənti, və ya ilə işarələnir.