Müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasının təhlilinə həsr olunmuş əvvəlki bölmədə əyri xətti trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün bir sıra düsturlar əldə etdik:

S (G) = ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-mənfi funksiya üçün y = f (x) seqmentində [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-pozitiv funksiya üçün y = f (x) seqmentində [ a ; b].

Bu düsturlar nisbətən sadə məsələlərin həlli üçün tətbiq edilir. Əslində, biz tez-tez daha mürəkkəb formalarla işləmək məcburiyyətindəyik. Bununla əlaqədar olaraq, bu bölməni açıq formada funksiyalarla məhdudlaşdırılan rəqəmlərin sahəsini hesablamaq üçün alqoritmlərin təhlilinə həsr edəcəyik, yəni. y = f(x) və ya x = g(y) kimi.

teorem

[ a seqmentində y = f 1 (x) və y = f 2 (x) funksiyaları təyin olunsun və kəsilməz olsun; b ] , və [ a dan istənilən x qiyməti üçün f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Sonra x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) və y \u003d f 2 (x) xətləri ilə məhdudlaşan bir rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Bənzər bir düstur y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) və x \u003d g 2 (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi üçün də tətbiq olunacaq: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Sübut

Düsturun etibarlı olacağı üç halı təhlil edəcəyik.

Birinci halda, ərazinin əlavə xüsusiyyətini nəzərə alaraq, orijinal G fiqurunun və əyrixətli trapezoid G 1-in sahələrinin cəmi G 2 fiqurunun sahəsinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki

Buna görə də S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Müəyyən inteqralın üçüncü xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi həyata keçirə bilərik.

İkinci halda bərabərlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

Hər iki funksiya qeyri-pozitiv olarsa, alarıq: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

y = f 1 (x) və y = f 2 (x) O x oxunu kəsdiyi zaman ümumi halın nəzərdən keçirilməsinə keçək.

Biz kəsişmə nöqtələrini x i , i = 1 , 2 , kimi işarələyəcəyik. . . , n - 1. Bu nöqtələr seqmenti [ a ; b ] n hissəyə x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Nəticədə,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Müəyyən inteqralın beşinci xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi edə bilərik.

Qrafikdə ümumi vəziyyəti təsvir edək.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x düsturu sübut edilmiş hesab edilə bilər.

İndi y \u003d f (x) və x \u003d g (y) xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmlərin sahəsinin hesablanması nümunələrinin təhlilinə keçək.

Nümunələrdən hər hansı birini nəzərdən keçirərək, qrafikin qurulması ilə başlayacağıq. Şəkil bizə mürəkkəb formaları daha sadə formaların birləşmələri kimi təqdim etməyə imkan verəcək. Əgər siz onların üzərində qrafiklər və rəqəmlər çəkməkdə çətinlik çəkirsinizsə, siz əsas elementar funksiyalar, funksiyaların qrafiklərinin həndəsi çevrilməsi, həmçinin funksiyanı araşdırarkən qrafiklər bölməsini öyrənə bilərsiniz.

Misal 1

Parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 və y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d düz xətləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini təyin etmək lazımdır. 1, x \u003d 4.

Həll

Qrafikdə xətləri Dekart koordinat sistemində çəkək.

İnterval üzrə [ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolunun qrafiki y = - 1 3 x - 1 2 düz xəttindən yuxarıda yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, cavab almaq üçün əvvəllər əldə edilmiş düsturdan, həmçinin Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralın hesablanması metodundan istifadə edirik:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cavab: S (G) = 13

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 2

y = x + 2, y = x, x = 7 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Bu halda, x oxuna paralel yalnız bir düz xəttimiz var. Bu x = 7-dir. Bu, ikinci inteqrasiya həddini özümüz tapmağımızı tələb edir.

Qrafik quraq və üzərinə məsələnin şərtində verilmiş xətləri qoyaq.

Gözümüzün qarşısında bir qrafikə sahib olmaqla, inteqrasiyanın aşağı həddinin y \u003d x düz xətti və yarı parabola y \u003d x + 2 ilə qrafikin kəsişmə nöqtəsinin absisi olacağını asanlıqla müəyyən edə bilərik. Absisləri tapmaq üçün bərabərliklərdən istifadə edirik:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Belə çıxır ki, kəsişmə nöqtəsinin absisi x = 2-dir.

Nəzərinizə çatdırırıq ki, in ümumi nümunəçertyojda y = x + 2 , y = x xətləri (2 ; 2) nöqtəsində kəsişir, ona görə də belə ətraflı hesablamalar lazımsız görünə bilər. Biz burada belə ətraflı həlli təqdim etdik, çünki daha mürəkkəb hallarda həll o qədər də aydın olmaya bilər. Bu o deməkdir ki, xətlərin kəsişməsinin koordinatlarını həmişə analitik şəkildə hesablamaq daha yaxşıdır.

İnterval üzrə [ 2 ; 7 ] y = x funksiyasının qrafiki y = x + 2 funksiyasının qrafikindən yuxarıda yerləşir. Sahəni hesablamaq üçün formula tətbiq edin:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cavab: S (G) = 59 6

Misal 3

y \u003d 1 x və y \u003d - x 2 + 4 x - 2 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə xətlər çəkək.

Gəlin inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyən edək. Bunun üçün 1 x və - x 2 + 4 x - 2 ifadələrini bərabərləşdirməklə xətlərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin edirik. X sıfıra bərabər olmamaq şərti ilə, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 bərabərliyi tam əmsallarla üçüncü dərəcəli - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 tənliyinə ekvivalent olur. . Bu cür tənliklərin həlli üçün alqoritmin yaddaşını “Kubik tənliklərin həlli” bölməsinə istinad edərək təzələyə bilərsiniz.

Bu tənliyin kökü x = 1-dir: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadəsini x - 1 binomuna bölsək, alırıq: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Qalan kökləri x 2 - 3 x - 1 = 0 tənliyindən tapa bilərik:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Biz x ∈ 1 intervalını tapdıq; 3 + 13 2 , burada G mavi xəttin üstündə və qırmızı xəttin altındadır. Bu, formanın sahəsini təyin etməyə kömək edir:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cavab: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Misal 4

y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 və x oxu ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Bütün sətirləri qrafikə qoyaq. y = - log 2 x + 1 funksiyasının qrafikini x oxu ətrafında simmetrik yerləşdirib bir vahid yuxarı aparsaq, y = log 2 x qrafikindən ala bilərik. X oxunun tənliyi y \u003d 0.

Xətlərin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.

Şəkildən göründüyü kimi, y \u003d x 3 və y \u003d 0 funksiyalarının qrafikləri (0; 0) nöqtəsində kəsişir. Bunun səbəbi, x \u003d 0, x 3 \u003d 0 tənliyinin yeganə həqiqi köküdür.

x = 2 tənliyin yeganə köküdür - log 2 x + 1 = 0 , ona görə də y = - log 2 x + 1 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (2 ; 0) nöqtəsində kəsişir.

x = 1 x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin yeganə köküdür. Bu baxımdan, y \u003d x 3 və y \u003d - log 2 x + 1 funksiyalarının qrafikləri (1; 1) nöqtəsində kəsişir. Son ifadə aydın olmaya bilər, lakin x 3 \u003d - log 2 x + 1 tənliyində birdən çox kök ola bilməz, çünki y \u003d x 3 funksiyası ciddi şəkildə artır və y \u003d - log 2 x funksiyası + 1 ciddi şəkildə azalır.

Növbəti addım bir neçə variantı əhatə edir.

Seçim nömrəsi 1

G rəqəmini absis oxundan yuxarıda yerləşən iki əyrixətti trapezoidin cəmi kimi təqdim edə bilərik, onlardan birincisi x ∈ 0 seqmentində orta xəttdən aşağıda yerləşir; 1, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı xəttin altındadır; 2. Bu o deməkdir ki, sahə S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -ə bərabər olacaqdır.

Seçim nömrəsi 2

G rəqəmi iki fiqurun fərqi kimi göstərilə bilər, birincisi x oxunun üstündə və x ∈ 0 seqmentində mavi xəttin altında yerləşir; 2, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı və mavi xətlər arasındadır; 2. Bu bizə belə ərazini tapmağa imkan verir:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu halda, sahəni tapmaq üçün S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y şəklində bir düsturdan istifadə etməli olacaqsınız. Əslində, formanı birləşdirən xətlər y arqumentinin funksiyaları kimi təqdim edilə bilər.

y = x 3 və - log 2 x + 1 tənliklərini x-ə münasibətdə həll edək:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Lazım olan sahəni alırıq:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cavab: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Misal 5

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 xətləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə y = x funksiyası ilə verilən qırmızı xətt ilə bir xətt çəkin. y = - 1 2 x + 4 xəttini mavi rənglə çəkin və y = 2 3 x - 3 xəttini qara rənglə qeyd edin.

Kəsişmə nöqtələrinə diqqət yetirin.

y = x və y = - 1 2 x + 4 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapın:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i tənliyinin həlli x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tənliyinin həllidir ⇒ (4 ; 2) kəsişmə nöqtəsi i y = x və y = - 1 2 x + 4

y = x və y = 2 3 x - 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsini tapın:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Yoxlayın: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 tənliyinin həllidir ⇒ (9; 3) nöqtəsi və kəsişməsi y = x və y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 tənliyin həlli deyil

y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini tapın:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) kəsişmə nöqtəsi y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3

Metod №1

İstədiyiniz fiqurun sahəsini fərdi fiqurların sahələrinin cəmi kimi təqdim edirik.

Sonra rəqəmin sahəsi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metod № 2

Orijinal fiqurun sahəsi digər iki rəqəmin cəmi kimi göstərilə bilər.

Sonra x üçün xətt tənliyini həll edirik və yalnız bundan sonra rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur tətbiq edirik.

y = x ⇒ x = y 2 qırmızı xətt y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qara xətt y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Beləliklə, ərazi belədir:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüyünüz kimi, dəyərlər uyğun gəlir.

Cavab: S (G) = 11 3

Nəticələr

Verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapmaq üçün müstəvidə xətlər çəkməli, onların kəsişmə nöqtələrini tapmalı və sahəni tapmaq üçün düstur tətbiq etməliyik. Bu bölmədə biz tapşırıqlar üçün ən ümumi variantları nəzərdən keçirdik.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Həndəsi sahə- bu fiqurun ölçüsünü göstərən həndəsi fiqurun ədədi xarakteristikası (bu fiqurun qapalı konturu ilə məhdudlaşan səthin hissəsi). Sahənin ölçüsü onda olan kvadrat vahidlərin sayı ilə ifadə edilir.

Üçbucaq sahəsi düsturları

1. Yan və hündürlük üçün üçbucaq sahəsi düsturu
   Üçbucağın sahəsiüçbucağın bir tərəfinin uzunluğunun və bu tərəfə çəkilmiş hündürlüyün uzunluğunun hasilinin yarısına bərabərdir.
   
2. Üçbucağın sahəsi üçün düstur üç tərəfi və əhatə olunmuş dairənin radiusu verilmişdir
   
3. Üçbucağın sahəsi üçün düstur üç tərəfi və bir dairənin radiusu verilmişdir
   Üçbucağın sahəsiüçbucağın yarım perimetri ilə daxili çevrənin radiusunun hasilinə bərabərdir.
   
burada S üçbucağın sahəsidir,
- üçbucağın tərəflərinin uzunluqları,
- üçbucağın hündürlüyü,
- tərəflər arasındakı bucaq və,
- yazılmış dairənin radiusu,
R - məhdud dairənin radiusu,

Kvadrat sahə düsturları

1. Bir tərəfin uzunluğu verilən kvadratın sahəsi üçün düstur
   kvadrat sahə onun yan uzunluğunun kvadratına bərabərdir.
2. Diaqonalın uzunluğu nəzərə alınmaqla kvadratın sahəsi üçün düstur
   kvadrat sahə onun diaqonalının uzunluğunun kvadratının yarısına bərabərdir.
   

   S=	1	2
   	2

burada S kvadratın sahəsidir,
kvadratın tərəfinin uzunluğu,
kvadratın diaqonalının uzunluğudur.

Düzbucaqlı sahə düsturu

Düzbucaqlı sahə onun iki bitişik tərəfinin uzunluqlarının hasilinə bərabərdir

burada S düzbucağın sahəsidir,
düzbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarıdır.

Paraleloqramın sahəsi üçün düsturlar

1. Yan uzunluğu və hündürlüyü üçün paraleloqram sahə düsturu
   Paraleloqram sahəsi
2. Paraleloqramın sahəsi üçün düstur iki tərəfi və onların arasındakı bucaq verilmişdir
   Paraleloqram sahəsi tərəflərinin uzunluqlarının hasilinin onların arasındakı bucağın sinusuna bərabərdir.
   

   a b sinα

burada S paraleloqramın sahəsidir,
paraleloqramın tərəflərinin uzunluqlarıdır,
paraleloqramın hündürlüyü,
paraleloqramın tərəfləri arasındakı bucaqdır.

Rombun sahəsi üçün düsturlar

1. Yan uzunluğu və hündürlüyü verilmiş romb sahəsi düsturu
   Romb sahəsi onun tərəfinin uzunluğu ilə bu tərəfə endirilən hündürlüyün uzunluğunun hasilinə bərabərdir.
2. Rombun sahəsi üçün düstur, tərəfin uzunluğu və bucağı ilə verilir
   Romb sahəsi onun tərəfinin uzunluğunun kvadratının və rombun tərəfləri arasındakı bucağın sinusunun hasilinə bərabərdir.
3. Diaqonallarının uzunluqlarından bir rombun sahəsi üçün düstur
   Romb sahəsi onun diaqonallarının uzunluqlarının hasilinin yarısına bərabərdir.
burada S rombun sahəsidir,
- rombun tərəfinin uzunluğu,
- rombun hündürlüyünün uzunluğu,
- rombun tərəfləri arasındakı bucaq,
1, 2 - diaqonalların uzunluqları.

Trapesiya sahəsinin düsturları

1. Trapesiya üçün Heron düsturu

   Burada S trapezoidin sahəsidir,
   - trapezoidin əsaslarının uzunluğu;
   - trapezoidin tərəflərinin uzunluğu,
   

Həndəsə problemlərini həll etmək üçün üçbucağın sahəsi və ya paraleloqramın sahəsi kimi düsturları, həmçinin danışacağımız sadə fəndləri bilməlisiniz.

Əvvəlcə fiqurların sahələri üçün düsturları öyrənək. Biz onları xüsusi olaraq rahat bir cədvəldə topladıq. Çap edin, öyrənin və tətbiq edin!

Əlbəttə ki, bütün həndəsə düsturları cədvəlimizdə yoxdur. Məsələn, ikinci hissədə həndəsə və stereometriyadan məsələləri həll etmək profil imtahanı riyaziyyatda üçbucağın sahəsi üçün başqa düsturlardan da istifadə olunur. Onlar haqqında sizə mütləq məlumat verəcəyik.

Bəs trapezoidin və ya üçbucağın sahəsini deyil, hansısa mürəkkəb fiqurun sahəsini tapmaq lazımdırsa nə etməli? Universal yollar var! Biz onları FIPI tapşırıq bankından nümunələrdən istifadə edərək göstərəcəyik.

1. Qeyri-standart fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Məsələn, ixtiyari dördbucaqlı? Sadə bir texnika - gəlin bu rəqəmi hamımızın bildiyimizə bölək və onun sahəsini bu fiqurların sahələrinin cəmi kimi tapaq.

Bu dördbucaqlını üfüqi bir xətt ilə ümumi əsası -ə bərabər olan iki üçbucağa bölün. Bu üçbucaqların hündürlükləri və . Onda dördbucağın sahəsi iki üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir: .

Cavab: .

2. Bəzi hallarda, rəqəmin sahəsi hər hansı bir sahənin fərqi kimi təqdim edilə bilər.

Bu üçbucağın əsasının və hündürlüyünün nəyə bərabər olduğunu hesablamaq o qədər də asan deyil! Amma deyə bilərik ki, onun sahəsi bir tərəfi olan kvadratın üç düzbucaqlı üçbucağın sahələri arasındakı fərqə bərabərdir. Şəkildə onları görürsən? Alırıq: .

Cavab: .

3. Bəzən tapşırıqda bütün fiqurun deyil, onun hissəsinin sahəsini tapmaq lazımdır. Adətən biz sektorun sahəsi - dairənin bir hissəsi haqqında danışırıq. Qövs uzunluğu bərabər olan radius dairəsinin sektorunun sahəsini tapın. .

Bu şəkildə bir dairənin bir hissəsini görürük. Bütün dairənin sahəsi bərabərdir, çünki . Dairənin hansı hissəsinin təsvir olunduğunu tapmaq qalır. Çünki bütün dairənin uzunluğu (ci ildən) və bu sektorun qövsünün uzunluğudur , buna görə də qövsün uzunluğu bütün çevrənin uzunluğundan bir neçə dəfə azdır. Bu qövsün dayandığı bucaq da tam çevrədən (yəni dərəcələrdən) dəfələrlə kiçikdir. Bu o deməkdir ki, sektorun sahəsi bütün dairənin sahəsindən bir neçə dəfə az olacaq.

Sinif: 5

Məncə, müəllimin vəzifəsi təkcə öyrətmək deyil, inkişaf etdirməkdir koqnitiv maraq tələbədə. Ona görə də imkan olduqda dərsin mövzularını praktiki tapşırıqlarla əlaqələndirirəm.

Dərsdə tələbələr müəllimin rəhbərliyi altında "mürəkkəb rəqəmin" sahəsini tapmaq üçün problemlərin həlli üçün bir plan tərtib edir (təmir smetalarının hesablanması üçün), tapmaq üçün problemlərin həlli bacarıqlarını birləşdirir. sahə; diqqətin inkişafı, tədqiqat fəaliyyəti, fəaliyyətin, müstəqilliyin tərbiyəsi var.

Cütlərlə işləmək biliyə sahib olanlarla onu əldə edənlər arasında ünsiyyət vəziyyəti yaradır; belə işlərin əsasını fənn üzrə təlimin keyfiyyətinin yüksəldilməsi təşkil edir. Tədris prosesinə marağın inkişafına və tədris materialının daha dərindən mənimsənilməsinə kömək edir.

Dərs təkcə tələbələrin biliklərini sistemləşdirmir, həm də yaradıcı, analitik qabiliyyətlərin inkişafına kömək edir. Dərsdə praktiki məzmunlu tapşırıqlardan istifadə aktuallığını göstərməyə imkan verir riyazi bilik gündəlik həyatda.

Dərsin Məqsədləri:

Təhsil:

• düzbucaqlı, düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar haqqında biliklərin möhkəmləndirilməsi;
• "mürəkkəb" rəqəmin sahəsinin hesablanması üçün tapşırıqların təhlili və onların həyata keçirilməsi üsulları;
• bilik, bacarıq, bacarıqları yoxlamaq üçün tapşırıqların müstəqil icrası.

İnkişaf edir:

• əqli və tədqiqat fəaliyyətinin metodlarının işlənib hazırlanması;
• dinləmək və qərarın gedişatını izah etmək bacarığını inkişaf etdirmək.

Təhsil:

• tələbələri tərbiyə işi vərdişlərinə öyrətmək;
• şifahi və yazılı riyazi nitq mədəniyyətini tərbiyə etmək;
• sinifdə dostluq və qruplarda işləmək bacarığını inkişaf etdirmək.

Dərs növü: birləşdirilmiş.

Avadanlıq:

• Riyaziyyat: 5 hüceyrə üçün dərslik. ümumi təhsil qurumlar / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: Mnemozina, 2010.
• Mürəkkəb bir fiqurun sahəsini hesablamaq üçün rəqəmləri olan tələbə qrupları üçün kartlar.
• Rəsm alətləri.

Dərs planı:

1. Təşkilat vaxtı.
2. Bilik yeniləməsi.
   a) Nəzəri suallar (test).
   b) Problemin ifadəsi.
3. Yeni material öyrəndi.
   a) problemin həlli yolunun tapılması;
   b) problemin həlli.
4. Materialın bərkidilməsi.
   a) problemlərin kollektiv həlli;
   Fizkultminutka.
   b) müstəqil iş.
5. Ev tapşırığı.
6. Dərsin xülasəsi. Refleksiya.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

Gəlin dərsə bu həvəsləndirici sözlərlə başlayaq:

Riyaziyyat, dostlar,
Mütləq hər kəsə lazımdır.
Sinifdə çox çalışın
Və uğur sizi gözləyir!

II. Bilik yeniləməsi.

a) Siqnal kartları ilə frontal iş (hər tələbənin 1, 2, 3, 4 nömrələri olan kartları var; test sualına cavab verərkən tələbə düzgün cavabın nömrəsi olan kartı qaldırır).

1. Kvadrat santimetr belədir:

1. tərəfi 1 sm olan kvadratın sahəsi;
2. tərəfi 1 sm olan kvadrat;
3. perimetri 1 sm olan kvadrat.

2. Şəkildə göstərilən fiqurun sahəsi:

1. 8 dm;
2. 8 dm 2;
3. 15 dm 2.

3. Bərabər fiqurların bərabər perimetrləri və bərabər sahələri olduğu doğrudurmu?

4. Düzbucaqlının sahəsi düsturla müəyyən edilir:

1. S = a 2;
2. S = 2 (a + b);
3. S = a b.

5. Şəkildə göstərilən fiqurun sahəsi:

1. 12 sm;
2. 8 sm;
3. 16 sm

b) (Problemin formalaşdırılması). Bir tapşırıq. 1 m 2 üçün 200 q boya istifadə edilərsə, aşağıdakı formaya malik olan döşəməni rəngləmək üçün nə qədər boya lazımdır (şəklə baxın?

III. Yeni materialın öyrənilməsi.

Son problemi həll etmək üçün nələri bilməliyik? ("Mürəkkəb fiqur" kimi görünən döşəmənin sahəsini tapın.)

Şagirdlər dərsin mövzusunu və məqsədlərini formalaşdırır (lazım olduqda müəllim kömək edir).

Bir düzbucaqlı düşünün A B C D. Gəlin orada bir xətt çəkək KPMN düzbucaqlını qırmaqla A B C D iki hissəyə: ABNMPK və KPMNCD.

Sahəsi nədir A B C D? (15 sm 2)

Şəklin sahəsi nədir ABMNPK? (7 sm 2)

Şəklin sahəsi nədir KPMNCD? (8 sm 2)

Nəticələri təhlil edin. (15==7+8)

Nəticə? (Bütün fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir.

S = S 1 + S 2

Problemimizi həll etmək üçün bu əmlakdan necə istifadə edə bilərik? (Mürəkkəb fiquru hissələrə bölək, hissələrin sahələrini, sonra isə bütün fiqurun sahəsini tapaq.)

S 1 \u003d 7 2 \u003d 14 (m 2)
S 2 \u003d (7 - 4) (8 - 2 - 3) \u003d 3 3 \u003d 9 (m 2)
S 3 \u003d 7 3 \u003d 21 (m 2)
S \u003d S 1 + S 2 + S 3 \u003d 14 + 9 + 21 \u003d 44 (m 2)

Gəlin makiyaj edək "mürəkkəb rəqəm" sahəsini tapmaq üçün problemlərin həlli üçün plan:

1. Biz rəqəmi sadə rəqəmlərə bölürük.
2. Sadə fiqurların sahəsini tapmaq.

a) Tapşırıq 1. Aşağıdakı ölçülərdə bir platforma qoymaq üçün neçə plitə tələb olunacaq:

S = S 1 + S 2
S 1 \u003d (60 - 30) 20 \u003d 600 (dm 2)
S 2 \u003d 30 50 \u003d 1500 (dm 2)
S \u003d 600 + 1500 \u003d 2100 (dm 2)

Həll etməyin başqa yolu varmı? (Təklif olunan variantları nəzərdən keçiririk.)

Cavab: 2100 dm 2.

Tapşırıq 2. (kollektiv qərar lövhədə və dəftərlərdə.) Aşağıdakı formaya malik bir otağı təmir etmək üçün nə qədər m 2 linoleum lazımdır:

S = S 1 + S 2
S 1 \u003d 3 2 \u003d 6 (m 2)
S 2 \u003d ((5 - 3) 2): 2 \u003d 2 (m 2)
S \u003d 6 + 2 \u003d 8 (m 2)

Cavab: 8 m 2.

Fizkultminutka.

İndi, uşaqlar, qalxın.
Tez əllərini qaldırdılar.
Yan tərəfə, irəliyə, geriyə.
Sağa, sola çevrildi.
Sakitcə oturduq, işə qayıtdıq.

b) Müstəqil iş (təhsil) .

Şagirdlər qruplara bölünür (5-8 nömrəlilər daha güclüdür). Hər qrup bir təmir komandasıdır.

Komandalar üçün tapşırıq: 1 m 2 üçün 200 q boya tələb olunarsa, kartda göstərilən rəqəmin formasına malik olan döşəmənin rənglənməsi üçün nə qədər boya lazım olduğunu müəyyənləşdirin.

Bu rəqəmi dəftərinizdə qurursunuz və bütün məlumatları yazaraq tapşırığa davam edirsiniz. Siz həll yolunu müzakirə edə bilərsiniz (ancaq yalnız öz qrupunuzda!). Əgər qrup tapşırığın öhdəsindən tez gəlirsə, o zaman əlavə tapşırıq alacaq (müstəqil işin yoxlanılmasından sonra).

Qruplar üçün tapşırıqlar:

V. Ev tapşırığı.

bənd 18, № 718, № 749.

Əlavə tapşırıq. Yay bağının plan-sxemi (Sankt-Peterburq). Onun sahəsini hesablayın.

VI. Dərs nəticələri.

Refleksiya. Sözə davam edin:

• Bu gün bildim...
• Maraqlı idi…
• Çətin idi…
• İndi mən edə bilərəm…
• Mənə ömürlük dərs oldu...

Fiqurun sahəsini necə tapmaq olar?

Yalnız sadə həllər üçün deyil, müxtəlif fiqurların sahələrini bilmək və hesablamağı bacarmaq lazımdır həndəsi məsələlər. Binaların təmiri üçün smeta tərtib edərkən və ya yoxlayarkən, lazımi istehlak materiallarının miqdarını hesablayarkən bu məlumat olmadan edə bilməzsiniz. Buna görə də, müxtəlif fiqurların sahələrini necə tapacağımızı anlayaq.

Təyyarənin qapalı kontur daxilində qapalı hissəsinə bu təyyarənin sahəsi deyilir. Sahə ona daxil edilmiş kvadrat vahidlərin sayı ilə ifadə edilir.

Əsas həndəsi fiqurların sahəsini hesablamaq üçün düzgün düsturdan istifadə etməlisiniz.

Üçbucağın sahəsi

Təyinatlar:

1. Əgər h, a məlumdursa, onda istədiyiniz üçbucağın sahəsi tərəfin uzunluqları və bu tərəfə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü məhsulu kimi müəyyən edilir, yarıya bölünür: S = (a h) / 2
2. Əgər a, b, c məlumdursa, o zaman istənilən sahə Heron düsturu ilə hesablanır: üçbucağın perimetrinin yarısının hasilindən alınan kvadrat kök və üçbucağın perimetrinin yarısı ilə hər tərəfinin üç fərqi: S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Əgər a, b, γ məlumdursa, onda üçbucağın sahəsi 2 tərəfin məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir və bu tərəflər arasındakı bucağın sinusunun dəyərinə vurulur: S=(a b sin γ)/2
4. Əgər a, b, c, R məlumdursa, onda tələb olunan sahə üçbucağın bütün tərəflərinin uzunluqlarının hasilini dairənin dörd radiusuna bölmək kimi müəyyən edilir: S=(a b c)/4R
5. Əgər p, r məlumdursa, onda üçbucağın istənilən sahəsi perimetrin yarısını içinə yazılmış dairənin radiusuna vurmaqla müəyyən edilir: S = p r

kvadrat sahə

Təyinatlar:

1. Əgər tərəfi məlumdursa, bu rəqəmin sahəsi onun tərəfinin uzunluğunun kvadratı kimi müəyyən edilir: S=a 2
2. Əgər d məlumdursa, onda kvadrat sahəsi onun diaqonalının uzunluğunun kvadratının yarısı kimi müəyyən edilir: S=d 2 /2

Düzbucaqlı sahə

Təyinatlar:

• S - müəyyən edilmiş sahə,
• a, b düzbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarıdır.

1. Əgər a, b məlumdursa, onda bu düzbucağın sahəsi onun iki tərəfinin uzunluqlarının hasili ilə müəyyən edilir: S=a b
2. Əgər tərəflərin uzunluqları məlum deyilsə, onda düzbucaqlının sahəsi üçbucaqlara bölünməlidir. Bu halda, düzbucaqlının sahəsi onu təşkil edən üçbucaqların sahələrinin cəmi kimi müəyyən edilir.

Paraleloqram sahəsi

Təyinatlar:

• S - istədiyiniz sahə,
• a, b - yan uzunluqlar,
• h - verilmiş paraleloqramın hündürlüyünün uzunluğu,
• d1, d2 - iki diaqonalın uzunluqları,
• α - tərəflər arasındakı bucaq,
• γ diaqonallar arasındakı bucaqdır.

1. Əgər a, h məlumdursa, onda tərəfin uzunluqlarını və bu tərəfə endirilən hündürlüyünü çarparaq istənilən sahə müəyyən edilir: S = a h
2. Əgər a, b, α məlumdursa, onda paraleloqramın sahəsi paraleloqramın tərəflərinin uzunluqlarını və bu tərəflər arasındakı bucağın sinusunun qiymətini vurmaqla müəyyən edilir: S=a b sin α
3. Əgər d 1 , d 2 , γ məlumdursa, onda paraleloqramın sahəsi diaqonalların uzunluqlarının hasili ilə bu diaqonallar arasındakı bucağın sinusunun qiymətinin yarısı kimi müəyyən edilir: S=(d 1 d 2 sinγ)/2

Romb sahəsi

Təyinatlar:

• S - istədiyiniz sahə,
• a - yan uzunluğu,
• h - hündürlük uzunluğu,
• α iki tərəf arasındakı kiçik bucaqdır,
• d1, d2 iki diaqonalın uzunluqlarıdır.

1. a, h məlumdursa, rombun sahəsi tərəfin uzunluğunu bu tərəfə endirilən hündürlüyün uzunluğuna vurmaqla müəyyən edilir: S = a h
2. Əgər a, α məlumdursa, o zaman rombun sahəsi yan uzunluğunun kvadratını tərəflər arasındakı bucağın sinusuna vurmaqla müəyyən edilir: S=a 2 sin α
3. Əgər d 1 və d 2 məlumdursa, onda istədiyiniz sahə rombun diaqonallarının uzunluqlarının məhsulunun yarısı kimi müəyyən edilir: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Trapesiya sahəsi

Təyinatlar:

1. Əgər a, b, c, d məlumdursa, onda tələb olunan sahə düsturla müəyyən edilir: S= (a+b) /2 *√ .
2. Məlum a, b, h ilə istənilən sahə əsasların cəminin yarısı ilə trapezoidin hündürlüyünün məhsulu kimi müəyyən edilir: S=(a+b)/2 h

Konveks dördbucağın sahəsi

Təyinatlar:

1. Əgər d 1 , d 2 , α məlumdursa, onda qabarıq dördbucaqlının sahəsi dördbucaqlının diaqonallarının bu diaqonallar arasındakı bucağın sinusuna vurulan hasilinin yarısı kimi müəyyən edilir: S=(d 1 d 2 günah α)/2
2. Məlum p, r ilə qabarıq dördbucağın sahəsi dördbucaqlının yarımperimetrinin və bu dördbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunun məhsulu kimi müəyyən edilir: S=p r
3. Əgər a, b, c, d, θ məlumdursa, onda qabarıq dördbucaqlının sahəsi yarımperimetr fərqinin məhsullarının kvadrat kökü ilə hər tərəfin uzunluğundan iki tərəfin uzunluqlarının hasili ilə müəyyən edilir. bütün tərəflər və iki əks bucağın cəminin yarısının kosinusunun kvadratı: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) /2)

Bir dairənin sahəsi

Təyinatlar:

Əgər r məlumdursa, o zaman istənilən sahə π ədədinin və radiusun kvadratının hasili kimi müəyyən edilir: S=π r 2

Əgər d məlumdursa, onda dairənin sahəsi dördə bölünən π ədədinin diametrinin kvadratının məhsulu kimi müəyyən edilir: S=(π d 2)/4

Mürəkkəb fiqurun sahəsi

Kompleks sadə həndəsi formalara bölünə bilər. Kompleks fiqurun sahəsi komponent sahələrinin cəmi və ya fərqi kimi müəyyən edilir. Məsələn, bir üzük düşünün.

Təyinat:

• S üzük sahəsidir,
• R, r müvafiq olaraq xarici dairənin və daxili dairənin radiuslarıdır,
• D, d müvafiq olaraq xarici dairənin və daxili dairənin diametrləridir.

Üzüyün sahəsini tapmaq üçün daha böyük dairənin sahəsindən sahəni çıxarın. daha kiçik dairə. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Beləliklə, əgər R və r məlumdursa, onda üzük sahəsi xarici və daxili dairələrin radiuslarının kvadratları arasındakı fərq kimi müəyyən edilir, pi nömrəsinə vurulur: S=π(R 2 -r 2 ).

D və d məlumdursa, onda üzük sahəsi xarici və daxili dairələrin diametrlərinin kvadratlarındakı fərqin dörddə biri kimi müəyyən edilir, pi nömrəsinə vurulur: S \u003d (1/4) (D 2 - d 2) π.

Yamaq sahəsi

Tutaq ki, bir kvadratın (A) içərisində başqa (B) (kiçik) var və biz "A" və "B" fiqurları arasında doldurulmuş bir boşluq tapmalıyıq. "çərçivə" deyək kiçik kvadrat. Bunun üçün:

1. "A" rəqəminin sahəsini tapın (kvadratın sahəsini tapmaq üçün düsturla hesablanır).
2. Eynilə, biz "B" rəqəminin sahəsini tapırıq.
3. "A" sahəsindən "B" sahəsini çıxarın. Beləliklə, kölgəli fiqurun sahəsini əldə edirik.

İndi müxtəlif formaların sahələrini necə tapacağınızı bilirsiniz.