Eksponensial güc funksiyalarını və ya çətin kəsr ifadələrini fərqləndirərkən loqarifmik törəmədən istifadə etmək rahatdır. Bu yazıda ətraflı həllər ilə onun tətbiqi nümunələrinə baxacağıq.

Əlavə təqdimat törəmələr cədvəlindən istifadə etmək bacarığını, diferensiasiya qaydalarını və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur haqqında bilikləri nəzərdə tutur.

Loqarifmik törəmə üçün düsturun törəməsi.

Əvvəlcə e bazasına loqarifmləri götürürük, loqarifmin xassələrindən istifadə edərək funksiyanın formasını sadələşdiririk və sonra üstüörtülü şəkildə göstərilən funksiyanın törəməsini tapırıq:

Məsələn, x eksponensial güc funksiyasının x gücünə törəməsini tapaq.

Loqarifmlərin götürülməsi verir. Loqarifmin xassələrinə görə. Bərabərliyin hər iki tərəfini fərqləndirmək nəticəyə gətirib çıxarır:

Cavab: .

Eyni nümunəni loqarifmik törəmədən istifadə etmədən də həll etmək olar. Siz bəzi transformasiyaları həyata keçirə və eksponensial güc funksiyasını diferensiallaşdırmaqdan törəməni tapmağa keçə bilərsiniz mürəkkəb funksiya:

Misal.

Funksiyanın törəməsini tapın .

Həll.

Bu nümunədə funksiya kəsrdir və onun törəməsi diferensiasiya qaydalarından istifadə etməklə tapıla bilər. Ancaq ifadənin çətinliyinə görə bu, bir çox transformasiya tələb edəcəkdir. Belə hallarda loqarifmik törəmə düsturundan istifadə etmək daha məqsədəuyğundur . Niyə? İndi başa düşəcəksən.

Əvvəlcə onu tapaq. Dönüşümlərdə loqarifmin xassələrindən (kəsirin loqarifmi) istifadə edəcəyik fərqə bərabərdir loqarifmlər və məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir və loqarifm işarəsi altındakı ifadənin dərəcəsi loqarifmin qarşısında bir əmsal kimi götürülə bilər):

Bu çevrilmələr bizi kifayət qədər sadə bir ifadəyə apardı, onun törəməsini tapmaq asandır:

Alınan nəticəni loqarifmik törəmə üçün düsturla əvəz edirik və cavabı alırıq:

Materialı birləşdirmək üçün ətraflı izahat vermədən daha bir neçə nümunə verəcəyik.

Misal.

Eksponensial güc funksiyasının törəməsini tapın

Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı

Eksponensiyanın diferensiallaşdırılması və loqarifmik funksiya

Tərtib edən:

riyaziyyat müəllimi, Bələdiyyə Təhsil Müəssisəsi 203 saylı KhEC tam orta məktəb

Novosibirsk şəhəri

Vidutova T.V.

Nömrə e. Funksiya y = e x, onun xassələri, qrafiki, diferensiasiyası

1. Müxtəlif əsaslar üçün qrafiklər quraq: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2-ci seçim) (1-ci seçim) " width="640"

Eksponensial funksiyanı nəzərdən keçirək y = a x, burada a 1-dir.

Müxtəlif bazalar üçün tikəcəyik A qrafika:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(Seçim 2)

(1 seçim)

1) Bütün qrafiklər (0; 1) nöqtəsindən keçir;

2) Bütün qrafiklərin üfüqi asimptotası var y = 0

saat X  ∞;

3) Hamısı qabarıq şəkildə aşağıya baxır;

4) Onların hamısının bütün nöqtələrində tangensləri var.

Funksiyanın qrafikinə tangens çəkək y=2 x nöqtədə X= 0 və ox ilə tangensin yaratdığı bucağı ölçün X

Qrafiklərə toxunanların dəqiq konstruksiyalarından istifadə edərək, əgər əsas olduğunu görə bilərsiniz A eksponensial funksiya y = a x baza tədricən 2-dən 10-a qədər artır, sonra nöqtədəki funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq X= 0 və x oxu tədricən 35'-dən 66,5'-ə qədər artır.

Buna görə də bir səbəb var A, bunun üçün müvafiq bucaq 45'dir. Və mənası budur A 2 ilə 3 arasında bağlanır, çünki saat A= 2 bucaq 35'dir, ilə A= 3, 48-ə bərabərdir.

Riyazi analiz zamanı bu təməlin mövcud olduğu sübut edilir, adətən hərflə işarələnir. e.

Bunu müəyyən etdi e – irrasional ədəd, yəni sonsuz qeyri-dövri onluq kəsri təmsil edir:

e = 2,7182818284590… ;

Praktikada adətən belə güman edilir e ≈ 2,7.

Funksiya qrafiki və xassələri y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) artır;

4) yuxarıdan məhdud deyil, aşağıdan məhduddur

5) nə ən böyüyü, nə də kiçiyi yoxdur

dəyərlər;

6) davamlı;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) aşağı qabarıq;

9) diferensiallaşan.

Funksiya y = e x çağırdı eksponent .

Riyazi analiz zamanı sübut edilmişdir ki, funksiya y = e x istənilən nöqtədə törəmə var X :

(e x ) = e x

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4е -4x-1

Misal 1 . x=1 nöqtəsindəki funksiyanın qrafikinə bir tangens çəkin.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = məsələn

Cavab:

Misal 2 .

x = 3.

Misal 3 .

Ekstremum funksiyasını yoxlayın

x=0 və x=-2

X= -2 – maksimum nöqtə

X= 0 – minimum nöqtə

Əgər loqarifmin əsası ədəddirsə e, sonra deyirlər ki, verilir təbii loqarifm . Təbii loqarifmlər üçün xüsusi qeydlər tətbiq edilmişdir ln (l – loqarifm, n – natural).

y = ln x funksiyasının qrafiki və xassələri

y = funksiyasının xassələri lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nə cüt, nə də tək deyil;

3) (0; + ∞) artır;

4) məhdud deyil;

5) nə böyük, nə də ən kiçik qiymətlərə malikdir;

6) davamlı;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) qabarıq üst;

9) diferensiallaşan.

0 differensiasiya düsturu "width="640" etibarlıdır

Riyazi analiz zamanı sübut olunur ki, istənilən qiymət üçün x0 fərqləndirmə düsturu etibarlıdır

Misal 4:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini hesablayın x = -1.

Misal üçün:

İnternet resursları:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Dərsin mövzusu: “Göstərici və loqarifmik funksiyaların diferensasiyası. UNT tapşırıqlarında eksponensial funksiyanın əks törəməsi”

Hədəf : tələbələrin “Göstərici və loqarifmik funksiyaların diferensasiyası” mövzusunda nəzəri bilikləri tətbiq etmək bacarıqlarını inkişaf etdirmək. Eksponensial funksiyanın antitörəməsi” UNT məsələlərinin həlli üçün.

Tapşırıqlar

Təhsil: tələbələrin nəzəri biliklərini sistemləşdirmək, bu mövzuda problem həll etmək bacarıqlarını möhkəmləndirmək.

Təhsil: yaddaşı, müşahidəni inkişaf etdirmək, məntiqi təfəkkür, tələbələrin riyazi nitqi, diqqəti, özünə hörmət və özünə nəzarət bacarıqları.

Təhsil: töhfə:

tələbələrdə öyrənməyə məsuliyyətli münasibət formalaşdırmaq;

riyaziyyata davamlı marağın inkişafı;

müsbət yaradır daxili motivasiya riyaziyyat öyrənmək.

Tədris metodları: şifahi, vizual, praktiki.

İş formaları: fərdi, frontal, cüt-cüt.

Dərslər zamanı

Epiqraf: “Ağıl təkcə bilikdə deyil, həm də biliyi praktikada tətbiq etmək bacarığındadır” Aristotel (slayd 2)

I. Təşkilat vaxtı.

II. Krossvordun həlli. (slayd 3-21)

17-ci əsr fransız riyaziyyatçısı Pierre Fermat bu xətti "Nöqtənin kiçik bir qonşuluğunda əyriyə ən yaxın olan düz xətt" olaraq təyin etdi.

Tangens

y = log düsturu ilə verilən funksiya a x.

Loqarifmik

y = düsturu ilə verilən funksiya A X.

Göstərici

Riyaziyyatda bu anlayış hərəkət sürətini tapmaq üçün istifadə olunur. maddi nöqtə və verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalı.

törəmə

I intervaldan istənilən nöqtə üçün F"(x) =f(x) şərti ödənilirsə, f(x) funksiyası üçün F(x) funksiyası necə adlanır.

Antiderivativ

X-nin hər bir elementinin Y-nin tək elementi ilə əlaqəli olduğu X və Y arasındakı əlaqənin adı nədir.

yerdəyişmə törəməsi

Sürət

y = e x düsturu ilə verilən funksiya.

Sərgi iştirakçısı

Əgər f(x) funksiyası f(x)=g(t(x)) şəklində təqdim edilə bilərsə, bu funksiya... adlanır.

III. Riyazi diktə (slayd 22)

1. Göstərici funksiyanın törəməsinin düsturunu yazın. ( A x)" = A x ln a

2. Eksponensialın törəməsinin düsturunu yazın. (e x)" = e x

3. Törəmə düsturunu yazın təbii loqarifm. (ln x)"=

4. Loqarifmik funksiyanın törəməsinin düsturunu yazın. (log a x)"=

5. f(x) = funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını yazın A X. F(x)=

6. f(x) =, x≠0 funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını yazın. F(x)=ln|x|+C

İşinizi yoxlayın (cavablar 23-cü slaydda).

IV. UNT problemlərinin həlli (simulyator)

A) Lövhədə və dəftərdə №1,2,3,6,10,36 (slayd 24)

B) Cütlərlə iş № 19,28 (simulyator) (slayd 25-26)

V. 1. Səhvləri tapın: (slayd 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Tələbə təqdimatı.

Epiqraf: “Bilik elə qiymətli bir şeydir ki, onu heç bir mənbədən əldə etmək ayıb deyil” Tomas Aquinas (slayd 28)

VII. Ev tapşırığı No 19,20 s.116

VIII. Test (ehtiyat tapşırığı) (slayd 29-32)

IX. Dərsin xülasəsi.

“Əgər böyük bir həyata qatılmaq istəyirsinizsə, fürsətiniz olduğu müddətdə başınızı riyaziyyatla doldurun. Sonra o, ömrün boyu sənə böyük köməklik göstərəcək” M. Kalinin (slayd 33)

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların diferensiallaşdırılması

1. Ədəd e.Funksiya y = e x, onun xassələri, qrafiki, diferensiasiyası

Bir eksponensial hesab edək funksiyası y=a x, burada a > 1. Müxtəlif a əsasları üçün müxtəlif qrafiklər alırıq (şək. 232-234), lakin siz onların hamısının (0; 1) nöqtəsindən keçdiyini görə bilərsiniz, onların hamısının üfüqi asimptotası var y = 0-da, onların hamısı qabarıq şəkildə aşağıya baxır və nəhayət, hamısının bütün nöqtələrində tangensləri var. Məsələn, bir teğet çəkək qrafika x = 0 nöqtəsində y=2x funksiyası (şək. 232). Dəqiq konstruksiyalar və ölçmələr aparsanız, bu tangensin x oxu ilə 35° (təxminən) bucaq əmələ gətirdiyinə əmin ola bilərsiniz.

İndi y = 3 x funksiyasının qrafikinə eyni zamanda x = 0 nöqtəsində tangens çəkək (şək. 233). Burada tangens və x oxu arasındakı bucaq daha böyük olacaq - 48 °. Və eksponensial funksiya üçün y = 10 x oxşardır
vəziyyətdə biz 66,5° bucaq alırıq (şək. 234).

Deməli, y=ax eksponensial funksiyasının a əsası tədricən 2-dən 10-a qədər artırsa, x=0 nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan ilə x oxu arasındakı bucaq tədricən 35°-dən 66,5-ə qədər artır. °. Müvafiq bucağın 45° olduğu a əsasının olduğunu güman etmək məntiqlidir. Bu əsas 2 və 3 rəqəmlərinin arasına daxil edilməlidir, çünki y-2x funksiyası üçün bizi maraqlandıran bucaq 45°-dən az olan 35°, y=3 x funksiyası üçün isə 48°-ə bərabərdir. , bu artıq 45 ° -dən bir qədər çoxdur. Bizi maraqlandıran əsas adətən e hərfi ilə işarələnir.Müəyyən edilmişdir ki, e rəqəmi irrasionaldır, yəni. qeyri-dövri sonsuz ondalığı təmsil edir kəsir:

e = 2,7182818284590...;

praktikada adətən e=2.7 qəbul edilir.

Şərh(çox ciddi deyil). Aydındır ki, L.N. Tolstoyun e rəqəmi ilə heç bir əlaqəsi yoxdur, lakin e rəqəmini yazarkən qeyd edin ki, 1828 rəqəmi ardıcıl olaraq iki dəfə - L.N.-nin anadan olduğu il təkrarlanır. Tolstoy.

y=e x funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 235. Bu, digər eksponensiallardan (başqa əsaslarla eksponensial funksiyaların qrafikləri) x=0 nöqtəsində qrafa toxunan ilə x oxu arasındakı bucağın 45° olması ilə fərqlənən eksponensialdır.

y = e x funksiyasının xassələri:

1)
2) nə cüt, nə də tək deyil;
3) artır;
4) yuxarıdan məhdud olmayan, aşağıdan məhdudlaşdırılan;
5) nə böyük, nə də ən kiçik qiymətlərə malikdir;
6) davamlı;
7)
8) aşağı qabarıq;
9) diferensiallaşan.

§ 45-ə qayıdın, a > 1 üçün y = a x eksponensial funksiyasının xassələrinin siyahısına baxın. Siz eyni xassələri 1-8 (bu olduqca təbiidir) və doqquzuncu xassə ilə əlaqəli tapacaqsınız.
biz o zaman funksiyanın diferensiallığını qeyd etməmişdik. İndi bunu müzakirə edək.

y-ex törəməsinin tapılması üçün düstur çıxaraq. Bu halda, § 32-də hazırladığımız və bir neçə dəfə uğurla istifadə edilən adi alqoritmdən istifadə etməyəcəyik. Bu alqoritmdə son mərhələ həddi hesablamalıyıq və hədlər nəzəriyyəsi haqqında məlumatımız hələ də çox, çox məhduddur. Buna görə də, xüsusilə eksponensial funksiyanın qrafikinə bir tangensin mövcudluğu faktını nəzərə alaraq həndəsi binalara etibar edəcəyik (buna görə də yuxarıdakı xüsusiyyətlər siyahısında doqquzuncu xassəni belə inamla yazdıq). - y = e x) funksiyasının diferensiallığı.

1. Qeyd edək ki, f(x) =ex olduğu y = f(x) funksiyası üçün artıq x =0 nöqtəsində törəmənin qiymətini bilirik: f / = tan45°=1.

2. y=g(x) funksiyasını təqdim edək, burada g(x) -f(x-a), yəni. g(x)-ex" a. Şəkil 236 y = g(x) funksiyasının qrafikini göstərir: y - fx) funksiyasının qrafikindən x oxu boyunca |a| şkala vahidləri ilə yerdəyişmə yolu ilə alınır. y = g (x) funksiyasının qrafikinə toxunan x-a nöqtəsi x -0 nöqtəsində y = f(x) funksiyasının qrafikinin tangensinə paraleldir (bax. Şəkil 236), bu o deməkdir ki, o, x oxu ilə 45° bucaq əmələ gətirir. İstifadə həndəsi məna törəmə, yaza bilərik ki, g(a) =tg45°;=1.

3. y = f(x) funksiyasına qayıdaq. Bizdə:

4. Münasibətin istənilən qiyməti üçün etibarlı olduğunu müəyyən etdik. A hərfinin yerinə, əlbəttə ki, x hərfindən istifadə edə bilərsiniz; sonra alırıq

Bu düsturdan müvafiq inteqrasiya düsturunu alırıq:

A.G. Мордкович cəbr 10 sinif

Riyaziyyatda təqvim-tematik planlaşdırma, video riyaziyyatdan online, Məktəbdə riyaziyyat download

Dərsin məzmunu dərs qeydləri dəstəkləyən çərçivə dərsi təqdimatı sürətləndirmə üsulları interaktiv texnologiyalar Təcrübə edin tapşırıqlar və məşğələlər özünü sınamaq seminarları, təlimlər, keyslər, kvestlər ev tapşırığının müzakirəsi suallar tələbələrin ritorik sualları İllüstrasiyalar audio, video kliplər və multimedia fotoşəkillər, şəkillər, qrafika, cədvəllər, diaqramlar, yumor, lətifələr, zarafatlar, komikslər, məsəllər, kəlamlar, krossvordlar, sitatlar Əlavələr referatlar məqalələr maraqlı beşiklər üçün fəndlər dərsliklər əsas və əlavə terminlər lüğəti digər Dərsliklərin və dərslərin təkmilləşdirilməsidərslikdəki səhvlərin düzəldilməsi dərslikdəki fraqmentin, dərsdə yenilik elementlərinin yenilənməsi, köhnəlmiş biliklərin yeniləri ilə əvəz edilməsi Yalnız müəllimlər üçün mükəmməl dərslər təqvim planı bir il üçün müzakirə proqramının metodik tövsiyələri İnteqrasiya edilmiş Dərslər