Bəli, bəli: arifmetik irəliləyiş sizin üçün oyuncaq deyil :)

Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili başlıq dəlilləri mənə deyir ki, siz hələ arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Ona görə də sizi uzun-uzadı təqdimatlarla incitməyəcəyəm və birbaşa mətləbə keçəcəyəm.

Birincisi, bir neçə misal. Bir neçə ədəd dəstinə baxaq:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən bir çoxdur. İkinci halda, bitişik ədədlər arasındakı fərq artıq beşdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, köklər tamamilə var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ və $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. və bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).

Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlara arifmetik irəliləyişlər deyilir. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi ədədlər ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.

Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır əmr etdi nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Nömrələri yenidən təşkil etmək və ya dəyişdirmək mümkün deyil.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq ruhda bir şey yazsanız (1; 2; 3; 4; ...) - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, qarşıda daha bir neçə rəqəmin olduğuna işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)

Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər arta və ya azala bilər. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılması nümunələri verilmişdir:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:

Tərif. Arifmetik irəliləyişçağırdı:

1. hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə, artır;
2. əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən az olarsa, azalır.

Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:

1. Əgər $d \gt 0$ olarsa, irəliləmə artır;
2. Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
3. Nəhayət, $d=0$ halı var - bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıda verilmiş üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüyümüz kimi, hər üç halda fərq əslində mənfi oldu. İndi tərifləri az-çox başa düşdükdən sonra irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Tərəqqi şərtləri və təkrarlanma düsturu

Ardıcıllığımızın elementləri dəyişdirilə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:

\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]

Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqresiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmlə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.

Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu şərtləri düsturla əlaqələndirilir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Qısaca desək, irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün siz $n-1$-ci termini və $d$ fərqini bilməlisiniz. Bu düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrəni yalnız əvvəlkini (və əslində bütün əvvəlkiləri) bilməklə tapa bilərsiniz. Bu, çox əlverişsizdir, buna görə də hər hansı hesablamaları birinci terminə və fərqə endirən daha hiyləgər bir düstur var:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]

Yəqin ki, siz artıq bu formulla rastlaşmısınız. Onlar bunu hər cür istinad kitablarında və həll kitablarında verməyi sevirlər. İstənilən həssas riyaziyyat dərsliyində o, birincilərdən biridir.

Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.

Tapşırıq №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləməsinin fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: (8; 3; −2)

Hamısı budur! Diqqət edin: inkişafımız azalır.

Təbii ki, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - birinci termin artıq bizə məlumdur. Bununla belə, birliyi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.

Tapşırıq № 2. Arifmetik irəliləyişin yeddinci üzvü −40-a, on yeddinci üzvü isə −50-yə bərabərdirsə, onun ilk üç həddini yazın.

Həll. Problemin şərtini tanış sözlərlə yazaq:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]

Sistem işarəsini qoyuram, çünki bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi qeyd edək ki, ikinci tənlikdən birincini çıxarsaq (bizim bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]

Proqressiv fərqi tapmaq nə qədər asandır! Yalnız tapılan ədədi sistemin hər hansı bir tənliyinə əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]

İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]

Hazır! Problem həll olunur.

Cavab: (−34; −35; −36)

Proqresiyanın kəşf etdiyimiz maraqlı xüsusiyyətinə diqqət yetirin: əgər $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]

Mütləq bilməli olduğunuz sadə, lakin çox faydalı bir əmlak - onun köməyi ilə bir çox irəliləyiş problemlərinin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun bariz nümunəsi budur:

Tapşırıq №3. Arifmetik proqresiyanın beşinci üzvü 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.

Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]

Lakin şərtlə $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, buna görə də $5d=6$, ondan əldə edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: 20.4

Hamısı budur! Bizə heç bir tənlik sistemi yaratmağa və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac yox idi - hər şey bir neçə sətirdə həll olundu.

İndi problemin başqa bir növünə - irəliləyişin mənfi və müsbət şərtlərinin axtarışına baxaq. Heç kimə sirr deyil ki, irəliləyiş artarsa ​​və onun birinci termini mənfi olarsa, gec-tez onda müsbət terminlər görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.

Eyni zamanda, elementləri ardıcıl olaraq keçməklə bu anı “baş-üstə” tapmaq həmişə mümkün olmur. Çox vaxt problemlər elə yazılır ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq götürəcək - cavabı tapan kimi biz sadəcə yuxuya gedərik. Ona görə də gəlin bu problemləri daha tez həll etməyə çalışaq.

Tapşırıq № 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd var −38,5; −35,8; ...?

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.

Gəlin öyrənməyə çalışaq: nə vaxta qədər (yəni nə vaxta qədər natural ədəd$n$) şərtlərin mənfiliyi saxlanılır:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]

Sonuncu sətir bəzi izahat tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, biz yalnız ədədin tam qiymətləri ilə kifayətlənirik (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən ədəd dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16 deyil. .

Tapşırıq № 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.

Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Lakin qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyişin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək birinci və fərq vasitəsilə beşinci termini ifadə etməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]

İndi əvvəlki tapşırığa bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]

Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.

Diqqət yetirin: son tapşırıqda hər şey ciddi bərabərsizliklə nəticələndi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.

Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək ki, bu da gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)

Arifmetik orta və bərabər abzaslar

$\left(((a)_(n)) \right)$ artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirək. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Say xəttində arifmetik irəliləyişin şərtləri

Mən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari şərtləri qeyd etdim və bəzi $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.

Və qayda çox sadədir. Təkrarlanan düsturu xatırlayaq və bütün qeyd olunan şərtlər üçün onu yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]

Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]

Yaxşı, bəs nə? Və $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Sonsuza qədər davam edə bilərik, lakin məna şəkil ilə yaxşı təsvir edilmişdir

Proqressiyanın şərtləri mərkəzdən eyni məsafədə yerləşir

Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, $((a)_(n))$ qonşu ədədlər məlum olduqda tapıla bilər:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Mükəmməl bir müddəa əldə etdik: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü onun qonşu şərtlərinin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik: $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə geri çəkilə bilərik və düstur yenə də düzgün olacaq:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada bir çox məsələlər arifmetik ortadan istifadə etmək üçün xüsusi olaraq hazırlanmışdır. Bax:

Tapşırıq № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl şərtlər olduğu $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (göstərilən ardıcıllıqla).

Həll. Bu ədədlər proqresiyanın üzvləri olduğundan onlar üçün orta hesab şərti ödənilir: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Klassik çıxdı kvadrat tənlik. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.

Cavab: −3; 2.

Tapşırıq № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədlərinin arifmetik irəliləyiş əmələ gətirdiyi $$ dəyərlərini tapın (həmin ardıcıllıqla).

Həll. Yenidən orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortası ilə ifadə edək:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Yenidən kvadrat tənlik. Və yenə də iki kök var: $x=6$ və $x=1$.

Cavab: 1; 6.

Problemin həlli zamanı bəzi qəddar rəqəmlərlə qarşılaşırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir texnika var: problemi düzgün həll etdikmi?

Tutaq ki, 6 nömrəli məsələdə −3 və 2 cavabları aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizim üç ədədimiz var ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$, onlar arifmetik irəliləyiş təşkil etməlidir. $x=-3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

−54 rəqəmlərini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olundu. İstəyənlər ikinci problemi özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.

Ümumiyyətlə, son problemləri həll edərkən başqa birinə rast gəldik maraqlı fakt, bunu da xatırlamaq lazımdır:

Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birincinin və sonuncunun arifmetik ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin şərtlərinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir "tikinti" ilə məşğul olmamışdan əvvəl, artıq danışılanlardan birbaşa irəli gələn daha bir fakta diqqət yetirməliyik.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmlənməsi

Yenidən ədəd oxuna qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edək, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:

Rəqəm xəttində qeyd olunan 6 element var

Gəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $d$ vasitəsilə ifadə etməyə çalışaq. Çox sadədir:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]

İndi nəzərə alın ki, aşağıdakı məbləğlər bərabərdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sadə dillə desək, proqresiyanın cəmi $S$ sayına bərabər olan iki elementini başlanğıc kimi nəzərdən keçirsək və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə addımlamağa başlasaq (bir-birinə doğru və ya əksinə uzaqlaşmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu qrafik olaraq ən aydın şəkildə göstərmək olar:

Bərabər girintilər bərabər məbləğlər verir

Bu faktı başa düşmək bizə yuxarıda nəzərdən keçirdiklərimizdən daha yüksək səviyyəli mürəkkəblik problemlərini həll etməyə imkan verəcəkdir. Məsələn, bunlar:

Tapşırıq № 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]

Beləliklə, $d$ irəliləyiş fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \sol(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]

Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən 11-in ümumi çarpanını götürdüm. Beləliklə, istənilən hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri genişləndirsək, alırıq:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüyünüz kimi, ən yüksək terminin əmsalı 11-dir - bu müsbət rəqəmdir, ona görə də biz həqiqətən yuxarı budaqları olan bir parabola ilə məşğul oluruq:

kvadratik funksiyanın qrafiki - parabola

Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Əlbəttə ki, biz bu absissanı standart sxemdən istifadə edərək hesablaya bilərik ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin qeyd etmək daha məqsədəuyğun olardı. istədiyiniz təpənin parabolanın oxu simmetriyası üzərində yerləşdiyinə görə $((d)_(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]

Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmədim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Beləliklə, absis −66 və −6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Aşkar edilmiş nömrə bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz heç vaxt $((y)_(\min ))$ hesablamamışıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm orijinal irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq. :)

Cavab: −36

Tapşırıq № 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Həll. Prinsipcə, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarə edək:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Və əgər $x$ və $z$ rəqəmlərindən biz varıq Bu an$y$ əldə edə bilmərik, onda gedişatın ucları ilə vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayaq:

İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və indi tapdığımız $y=-\frac(1)(3)$ ədədləri arasında yerləşir. Buna görə də

Bənzər əsaslandırmadan istifadə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Onları cavabda ilkin ədədlər arasına daxil edilməli olan ardıcıllıqla yazaq.

Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tapşırıq № 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğunu bilirsinizsə, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş təşkil edən bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha da çox çətin iş, lakin əvvəlkilərlə eyni sxemə uyğun olaraq - arifmetik orta ilə həll olunur. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmin daxil edilməli olduğunu dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün fərz edək ki, hər şeyi daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda tələb olunan arifmetik irəliləyiş aşağıdakı formada göstərilə bilər:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bununla belə, qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri kənarlardakı 2 və 42 rəqəmlərindən bir-birinə doğru bir addım atılır, yəni.. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakin sonra yuxarıda yazılmış ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]

$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyişin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]

Qalan şərtləri tapmaqdır:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]

Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressivlərlə bağlı söz problemləri

Sonda bir-ikisini nisbətən nəzərdən keçirmək istərdim sadə tapşırıqlar. Bu qədər sadədir: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu problemlər çətin görünə bilər. Buna baxmayaraq, bunlar OGE-də və riyaziyyatda Vahid Dövlət İmtahanında ortaya çıxan problem növləridir, buna görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Tapşırıq № 11. Komanda yanvar ayında 62 hissə istehsal edib və hər növbəti ayda əvvəlki ayla müqayisədə 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Komanda noyabr ayında neçə hissə istehsal etdi?

Həll. Aydındır ki, aya görə sadalanan hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyişi təmsil edəcəkdir. Üstəlik:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.

Tapşırıq № 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216, sonrakı hər ay isə əvvəlki ayla müqayisədə 4 çox kitab cildləyib. Seminar dekabrda neçə kitab cildləşdirdi?

Həll. Hamısı eyni:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.

Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz olaraq növbəti dərsə keçə bilərsiniz, burada irəliləyişlərin cəminin düsturunu, eləcə də ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.

Ədəd ardıcıllığı anlayışı hər bir natural ədədin hansısa real qiymətə uyğun olduğunu nəzərdə tutur. Belə bir sıra nömrələr ya ixtiyari ola bilər, ya da müəyyən xüsusiyyətlərə malik ola bilər - irəliləyiş. Sonuncu halda, ardıcıllığın hər bir sonrakı elementi (üzvü) əvvəlkindən istifadə etməklə hesablana bilər.

Arifmetik irəliləyiş, qonşu üzvlərinin bir-birindən eyni sayda fərqləndiyi ədədi dəyərlər ardıcıllığıdır (2-cidən başlayaraq seriyanın bütün elementləri oxşar xüsusiyyətə malikdir). Bu nömrə– əvvəlki və sonrakı həddlər arasındakı fərq sabitdir və irəliləmə fərqi adlanır.

Tərəqqi fərqi: tərif

j qiymətlərindən ibarət ardıcıllığı nəzərdən keçirək A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j N natural ədədlər çoxluğuna aiddir. Arifmetik Proqressiya, tərifinə görə, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – ardıcıllığıdır. a(j-1) = d. D dəyəri bu irəliləyişin istənilən fərqidir.

d = a(j) – a(j-1).

Vurğulayın:

• Artan irəliləyiş, bu halda d > 0. Misal: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• İrəliləyişin azalması, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fərqin irəliləməsi və onun ixtiyari elementləri

Proqresiyanın 2 ixtiyari şərti məlumdursa (i-ci, k-ci), onda verilmiş ardıcıllıq üçün fərq əlaqə əsasında müəyyən edilə bilər:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, d = (a(i) – a(k))/(i-k) deməkdir.

Proqresiyanın fərqi və onun birinci müddəti

Bu ifadə yalnız ardıcıllıq elementinin sayı məlum olduğu hallarda naməlum dəyəri təyin etməyə kömək edəcəkdir.

Tərəqqi fərqi və onun cəmi

Proqresiyanın cəmi onun şərtlərinin cəmidir. Onun ilk j elementlərinin ümumi dəyərini hesablamaq üçün müvafiq düsturdan istifadə edin:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakin o vaxtdan a(j) = a(1) + d(j – 1), onda S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Arifmetik irəliləyişlə bağlı problemlər hələ qədim zamanlarda mövcud idi. Praktiki ehtiyacları olduğu üçün ortaya çıxıb həllini tələb etdilər.

Beləliklə, Qədim Misirin riyazi məzmuna malik papiruslarından biri olan Rhind papirusunda (e.ə. 19-cu əsr) belə tapşırıq var: on ölçü çörəyi on nəfər arasında bölüşdürün, bu şərtlə ki, onların hər biri arasındakı fərq səkkizdə biri olsun. ölçün.”

Qədim yunanların riyazi əsərlərində isə arifmetik irəliləyişlə bağlı nəfis teoremlər var. Beləliklə, İsgəndəriyyə Hypsicles (2-ci əsr, bir çox maraqlı məsələləri tərtib edən və Evklidin Elementlərinə on dördüncü kitabı əlavə edən) fikrini formalaşdırdı: “Arifmetik irəliləyişdə, cüt Ədədşərtləri, 2-ci yarının şərtlərinin cəmi 1-ci yarımilin şərtlərinin cəmindən hədlərin sayının 1/2 kvadratı qədər böyükdür.”

Ardıcıllıq bir ilə işarələnir. Ardıcıllığın nömrələri onun üzvləri adlanır və adətən bu üzvün seriya nömrəsini göstərən indeksləri olan hərflərlə təyin olunur (a1, a2, a3 ... oxuyun: “a 1-ci”, “a 2-ci”, “a 3-cü” və s.).

Ardıcıllıq sonsuz və ya sonlu ola bilər.

Arifmetik irəliləyiş nədir? Bununla biz irəliləyişin fərqi olan eyni d ədədi ilə əvvəlki (n) həddi əlavə etməklə əldə ediləni nəzərdə tuturuq.

Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda bu irəliləyiş artan hesab olunur.

Arifmetik irəliləyiş onun yalnız ilk bir neçə üzvü nəzərə alınarsa, sonlu adlanır. Çox sayda üzvlə bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir.

İstənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

an =kn+b, b və k isə bəzi ədədlərdir.

Əks müddəa tamamilə doğrudur: əgər ardıcıllıq oxşar düsturla verilirsə, deməli bu, aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan arifmetik irəliləyişdir:

1. Proqresiyanın hər bir termini əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdır.
2. Əksinə: əgər 2-cidən başlayaraq hər bir termin əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdırsa, yəni. şərt yerinə yetirilərsə, bu ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir. Bu bərabərlik həm də irəliləyiş əlamətidir, ona görə də onu adətən irəliləyişin xarakterik xüsusiyyəti adlandırırlar.
   Eyni şəkildə, bu xassəni əks etdirən teorem doğrudur: ardıcıllıq yalnız o halda arifmetik irəliləyişdir ki, bu bərabərlik 2-cidən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı şərti üçün doğru olsun.

Arifmetik irəliləyişin hər hansı dörd ədədi üçün xarakterik xassəni an + am = ak + al düsturu ilə ifadə etmək olar, əgər n + m = k + l (m, n, k irəliləmə ədədləridir).

Arifmetik irəliləyişdə istənilən zəruri (N-ci) termini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

Məsələn: arifmetik irəliləyişdə birinci hədd (a1) verilir və üçə bərabərdir, fərq (d) isə dördə bərabərdir. Bu irəliləyişin qırx beşinci şərtini tapmaq lazımdır. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) düsturu müəyyən etməyə imkan verir n-ci dövr onun k-ci hədlərindən hər hansı biri vasitəsilə arifmetik irəliləyiş, bu şərtlə ki, məlum olsun.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi (sonlu irəliləyişin ilk n üzvü nəzərdə tutulur) aşağıdakı kimi hesablanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1-ci müddət də məlumdursa, hesablama üçün başqa bir düstur əlverişlidir:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N hədddən ibarət arifmetik irəliləyişin cəmi aşağıdakı kimi hesablanır:

Hesablamalar üçün düsturların seçimi problemlərin şərtlərindən və ilkin məlumatlardan asılıdır.

İstənilən ədədlərin təbii sıraları, məsələn, 1,2,3,...,n,...- ən sadə misal arifmetik irəliləyiş.

Arifmetik irəliləyişlə yanaşı, öz xassələri və xüsusiyyətləri olan həndəsi irəliləyiş də var.

Hər natural ədəd üçün n real rəqəmə uyğundur a n , sonra deyirlər ki, verilir nömrə ardıcıllığı :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Beləliklə, ədəd ardıcıllığı təbii arqumentin funksiyasıdır.

Nömrə a 1 çağırdı ardıcıllığın birinci müddəti , nömrə a 2 — ardıcıllığın ikinci müddəti , nömrə a 3 — üçüncü və s. Nömrə a n çağırdı n-ci dövr ardıcıllıqlar , və natural ədəd n — onun nömrəsi .

İki qonşu üzvdən a n Və a n +1 ardıcıllıq üzvü a n +1 çağırdı sonrakı (doğru a n ), A a n — əvvəlki (doğru a n +1 ).

Ardıcıllığı müəyyən etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllığın üzvünü tapmağa imkan verən metodu təyin etməlisiniz.

Çox vaxt ardıcıllıq istifadə edərək müəyyən edilir n-ci dövr düsturları , yəni ardıcıllığın üzvünü onun nömrəsinə görə təyin etməyə imkan verən düstur.

Misal üçün,

düsturla müsbət tək ədədlər ardıcıllığı verilə bilər

a n= 2n- 1,

və dəyişmə ardıcıllığı 1 Və -1 - düstur

b n = (-1)n +1 . ◄

Ardıcıllığı müəyyən etmək olar təkrarlanan formula, yəni bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın istənilən üzvünü əvvəlki (bir və ya bir neçə) üzv vasitəsilə ifadə edən düstur.

Misal üçün,

Əgər a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Əgər a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sonra ədədi ardıcıllığın ilk yeddi üzvü aşağıdakı kimi qurulur:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ardıcıllıq ola bilər final Və sonsuz .

Ardıcıllıq deyilir son , əgər onun məhdud sayda üzvləri varsa. Ardıcıllıq deyilir sonsuz , əgər onun sonsuz sayda üzvü varsa.

Misal üçün,

ikirəqəmli natural ədədlərin ardıcıllığı:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sadə ədədlərin ardıcıllığı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Ardıcıllıq deyilir artır , əgər onun üzvlərinin hər biri, ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən böyükdürsə.

Ardıcıllıq deyilir azalan , əgər onun hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlkindən azdırsa.

Misal üçün,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - artan ardıcıllıq;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - azalan ardıcıllıq. ◄

Elementləri sayı artdıqca azalmayan və ya əksinə artmayan ardıcıllığa deyilir. monoton ardıcıllıq .

Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və azalan ardıcıllıqlardır.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlkinə bərabər olduğu, eyni nömrənin əlavə olunduğu ardıcıllıqdır.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün arifmetik irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

a n +1 = a n + d,

Harada d - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş arifmetik irəliləyişin sonrakı və əvvəlki şərtləri arasındakı fərq həmişə sabitdir:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nömrə d çağırdı arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik proqressiyanı təyin etmək üçün onun birinci həddi və fərqini göstərmək kifayətdir.

Misal üçün,

Əgər a 1 = 3, d = 4 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinci hədd ilə arifmetik irəliləyiş üçün a 1 və fərq d onun n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişin otuzuncu həddini tapın

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sonra açıq-aydın

a n=	a n-1 + a n+1
	2

İkincidən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir.

a, b və c ədədləri bəzi arifmetik proqresiyanın ardıcıl həddləridir, o halda ki, onlardan biri digər ikisinin arifmetik ortasına bərabər olsun.

Misal üçün,

a n = 2n- 7 , arifmetik irəliləyişdir.

Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Beləliklə,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Qeyd edək ki n Arifmetik irəliləyişin üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz a 1 , həm də hər hansı əvvəlki a k

a n = a k + (n- k)d.

Misal üçün,

üçün a 5 yazıla bilər

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sonra açıq-aydın

a n=	a n-k +a n+k
	2

arifmetik proqresiyanın hər hansı üzvü, ikincidən başlayaraq, bu arifmetik irəliləyişin bərabər məsafəli üzvlərinin cəminin yarısına bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, çünki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

birinci n arifmetik irəliləyişin şərtləri ekstremal həddlərin və hədlərin sayının cəminin yarısının hasilinə bərabərdir:

Buradan, xüsusilə, şərtləri cəmləmək lazımdırsa, belə çıxır

a k, a k +1 , . . . , a n,

onda əvvəlki düstur öz strukturunu saxlayır:

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Arifmetik irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər a 1 , a n, d, n VəS n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən üçünün qiymətləri verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Arifmetik irəliləyiş monoton bir ardıcıllıqdır. Burada:

• Əgər d > 0 , sonra artır;
• Əgər d < 0 , sonra azalır;
• Əgər d = 0 , onda ardıcıllıq stasionar olacaq.

Həndəsi irəliləmə

Həndəsi irəliləmə ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlki ilə eyni ədədə vurulduğu ardıcıllıqdır.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün həndəsi irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

b n +1 = b n · q,

Harada q ≠ 0 - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş həndəsi irəliləyişin sonrakı dövrünün əvvəlki birinə nisbəti sabit ədəddir:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nömrə q çağırdı həndəsi irəliləmənin məxrəci.

Həndəsi irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci həddi və məxrəcini göstərmək kifayətdir.

Misal üçün,

Əgər b 1 = 1, q = -3 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 və məxrəc q onun n Müddəti düsturla tapmaq olar:

b n = b 1 · qn -1 .

Misal üçün,

həndəsi proqresiyanın yeddinci həddi tapın 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin həndəsi ortasına (mütənasib) bərabərdir.

Bunun əksi də doğru olduğundan, aşağıdakı ifadə doğrudur:

a, b və c ədədləri bəzi həndəsi proqresiyanın ardıcıl hədləridir, o halda ki, onlardan birinin kvadratı digər ikisinin hasilinə bərabər olsun, yəni ədədlərdən biri digər ikisinin həndəsi ortası olsun.

Misal üçün,

Düsturla verilmiş ardıcıllığın olduğunu sübut edək b n= -3 2 n , həndəsi irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Beləliklə,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu, arzu olunan ifadəni sübut edir. ◄

Qeyd edək ki n Həndəsi proqresiyanın üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz b 1 , həm də hər hansı əvvəlki üzv b k , bunun üçün formuldan istifadə etmək kifayətdir

b n = b k · qn - k.

Misal üçün,

üçün b 5 yazıla bilər

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n - k· b n + k

ikincidən başlayaraq həndəsi irəliləyişin istənilən həddinin kvadratı ondan bərabər məsafədə olan bu irəliləyişin hədlərinin hasilinə bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı həndəsi irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişdə

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , çünki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinci n məxrəcli həndəsi proqresiyanın üzvləri q ≠ 0 düsturla hesablanır:

Və nə zaman q = 1 - düstura görə

S n= nb 1

Qeyd edək ki, şərtləri cəmləmək lazımdırsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

sonra formula istifadə olunur:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişdə 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Həndəsi irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər b 1 , b n, q, n Və S n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən hər hansı üçünün qiyməti verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Birinci hədd ilə həndəsi irəliləyiş üçün b 1 və məxrəc q aşağıdakılar baş verir monotonluğun xüsusiyyətləri :

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləmə artır:

b 1 > 0 Və q> 1;

b 1 < 0 Və 0 < q< 1;

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş azalır:

b 1 > 0 Və 0 < q< 1;

b 1 < 0 Və q> 1.

Əgər q< 0 , onda həndəsi irəliləyiş bir-birini əvəz edir: onun tək ədədləri olan şərtləri birinci həddi ilə eyni işarəyə, cüt ədədləri isə əks işarəyə malikdir. Aydındır ki, dəyişən həndəsi irəliləyiş monoton deyil.

Birincinin məhsulu n Həndəsi irəliləyişin şərtləri düsturla hesablana bilər:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Misal üçün,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə məxrəc modulu kiçik olan sonsuz həndəsi irəliləyiş adlanır 1 , yəni

|q| < 1 .

Nəzərə alın ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş azalan ardıcıllıq olmaya bilər. Bu vəziyyətə uyğundur

1 < q< 0 .

Belə bir məxrəclə ardıcıllıq növbələşir. Misal üçün,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmi birincilərin cəminin məhdudiyyətsiz yaxınlaşdığı ədədi adlandırın n sayının qeyri-məhdud artması ilə bir irəliləyişin üzvləri n . Bu ədəd həmişə sonludur və düsturla ifadə edilir

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Misal üçün,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik və həndəsi irəliləmələr arasında əlaqə

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər bir-biri ilə sıx bağlıdır. Gəlin yalnız iki misala baxaq.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misal üçün,

1, 3, 5, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş 2 Və

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş log aq .

Misal üçün,

2, 12, 72, . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 6 Və

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş lg 6 . ◄