Əsas triqonometriya düsturları əsas triqonometrik funksiyalar arasında əlaqə quran düsturlardır. Sinus, kosinus, tangens və kotangens bir çox əlaqə ilə bir-birinə bağlıdır. Aşağıda əsaslar var triqonometrik düsturlar, və rahatlıq üçün onları məqsədə görə qruplaşdıracağıq. Bu düsturlardan istifadə edərək standart triqonometriya kursundan demək olar ki, istənilən problemi həll edə bilərsiniz. Dərhal qeyd edək ki, aşağıda ayrı-ayrı məqalələrdə müzakirə ediləcək nəticə deyil, yalnız düsturların özləri var.

Triqonometriyanın əsas identiklikləri

Triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqəni təmin edərək, bir funksiyanı digəri ilə ifadə etməyə imkan verir.

Triqonometrik eyniliklər

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Bu eyniliklər bilavasitə vahid çevrə, sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg) və kotangentin (ctg) təriflərindən irəli gəlir.

Azaltma düsturları

Azaltma düsturları ixtiyari və ixtiyari böyük bucaqlarla işləməkdən 0 ilə 90 dərəcə arasında dəyişən bucaqlarla işləməyə imkan verir.

Azaltma düsturları

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Azaltma düsturları dövriliyin nəticəsidir triqonometrik funksiyalar.

Triqonometrik əlavə düsturları

Triqonometriyada əlavə düsturları bucaqların cəminin və ya fərqinin triqonometrik funksiyasını bu bucaqların triqonometrik funksiyaları baxımından ifadə etməyə imkan verir.

Triqonometrik əlavə düsturları

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Əlavə düsturlarına əsasən çoxlu bucaqlar üçün triqonometrik düsturlar alınır.

Çox bucaq üçün düsturlar: ikiqat, üçlü və s.

İki və üçlü bucaq düsturları

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α t g 2 α ilə = t g 2 α - 1 2 · t g α sin 3 ilə α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Yarım bucaq düsturları

Triqonometriyada yarımbucaqlı düsturlar ikibucaqlı düsturların nəticəsidir və yarımbucağın əsas funksiyaları ilə tam bucağın kosinusu arasındakı əlaqəni ifadə edir.

Yarım bucaq düsturları

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Dərəcə azaldılması düsturları

Dərəcə azaldılması düsturları

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Hesablamalar apararkən çətin güclərlə işləmək çox vaxt əlverişsizdir. Dərəcə azaltma düsturları triqonometrik funksiyanın dərəcəsini ixtiyari böyükdən birinciyə endirməyə imkan verir. Budur onların ümumi görünüşü:

Dərəcə azaltma düsturlarının ümumi görünüşü

hətta n üçün

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

tək n üçün

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi

Triqonometrik funksiyaların fərqi və cəmini hasil kimi göstərmək olar. Sinusların və kosinusların fərqlərinin faktorinqindən həll edərkən istifadə etmək çox rahatdır triqonometrik tənliklər və ifadələrin sadələşdirilməsi.

Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Triqonometrik funksiyaların hasili

Əgər funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar onların hasilinə getməyə imkan verirsə, triqonometrik funksiyaların hasilinin düsturları əks keçidi - hasildən cəmiyə keçir. Sinusların, kosinusların və kosinusların hasilinin düsturları nəzərdən keçirilir.

Triqonometrik funksiyaların hasilinin düsturları

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Universal triqonometrik əvəzetmə

Bütün əsas triqonometrik funksiyalar - sinus, kosinus, tangens və kotangens - yarım bucağın tangensi ilə ifadə edilə bilər.

Universal triqonometrik əvəzetmə

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 2 2 t g α 2

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Triqonometriyanın əsas düsturları. 1 nömrəli dərs

Triqonometriyada istifadə olunan düsturların sayı kifayət qədər çoxdur (“düsturlar” dedikdə biz tərifləri (məsələn, tgx=sinx/cosx) deyil, sin2x=2sinxcosx kimi eyni bərabərlikləri nəzərdə tuturuq). Bu düsturların bolluğunda naviqasiyanı asanlaşdırmaq və tələbələri mənasız sıxışdırmalarla yormamaq üçün onların arasında ən vaciblərini vurğulamaq lazımdır. Onlardan bir neçəsi var - yalnız üçü. Qalanların hamısı bu üç düsturdan irəli gəlir. Bu, cəmi və fərqin sinus və kosinusu üçün əsas triqonometrik eynilik və düsturlardır:

Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Bu üç düsturdan mütləq sinus və kosinusun bütün xassələri (dövrilik, dövr dəyəri, sinusun qiyməti 30 0 = π/6=1/2 və s.) Bu baxımdan, məktəb kurikulumuÇoxlu formal olaraq lazımsız, lazımsız məlumatlar istifadə olunur. Beləliklə, "1-3" düsturları triqonometrik səltənətin hökmdarlarıdır. Nəticə düsturlara keçək:

1) Çox bucaqların sinusları və kosinusları

x=y dəyərini (2) və (3) ilə əvəz etsək, alarıq:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

Biz belə nəticə çıxardıq ki, sin0=0; cos0=1, sinus və kosinusun həndəsi şərhinə müraciət etmədən. Eynilə, "2-3" düsturlarını iki dəfə tətbiq etməklə, biz sin3x üçün ifadələr əldə edə bilərik; cos3x; sin4x; cos4x və s.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

Şagirdlər üçün tapşırıq: cos3x üçün oxşar ifadələr əldə edin; sin4x; cos4x

2) Dərəcə azaldılması düsturları

Çox bucaqlı kosinus və sinuslar baxımından sinus və kosinusun səlahiyyətlərini ifadə edərək tərs məsələni həll edin.

Məsələn: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, deməli: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, deməli: sin 2 x=1/2-cos2x/2

Bu formulalar çox tez-tez istifadə olunur. Onları daha yaxşı başa düşmək üçün sizə onların sol və sağ tərəflərinin qrafiklərini çəkməyi məsləhət görürəm. Kosinus və sinus kvadratlarının qrafikləri “y=1/2” düz xəttinin qrafiki ətrafında “sarılır” (bu, cos 2 x və sin 2 x-in bir çox dövrlər üzrə orta qiymətidir). Bu zaman salınma tezliyi orijinalla müqayisədə ikiqat artır (cos 2 x sin 2 x funksiyalarının müddəti 2π /2=π-ə bərabərdir), rəqslərin amplitudası isə iki dəfə azalır (cos2x-dən əvvəl 1/2 əmsalı) .

Məsələ: Günahı 3 x ifadə edin; cos 3 x; günah 4 x ; cos 4 x çox bucaqlı kosinuslar və sinuslar vasitəsilə.

3) Azaltma düsturları

Triqonometrik funksiyaların dövriliyindən istifadə edərək, onların dəyərlərini triqonometrik dairənin istənilən rübündə birinci rübdəki qiymətlərdən hesablamağa imkan verir. Azaltma düsturları “əsas” düsturların (2-3) çox xüsusi hallarıdır.Məsələn: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

Beləliklə, Cos(x+ π/2) =sinx

Tapşırıq: sin(x+ π/2) üçün azalma düsturlarını çıxarın; cos(x+ 3 π/2)

4) Kosinus və sinusun cəmini və ya fərqini məhsula və əksinə çevirən düsturlar.

İki bucağın cəminin və fərqinin sinusunun düsturunu yazaq:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

Bu bərabərliklərin sol və sağ tərəflərini əlavə edək:

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Oxşar şərtlər ləğv edilir, buna görə də:

Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

a) (*) sağdan sola oxuduqda alırıq:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

İki bucağın sinuslarının hasili cəminin sinuslarının cəminin yarısına və bu bucaqların fərqinə bərabərdir.

b) (*) soldan sağa oxuyarkən işarələmək rahatdır:

x-y = c. Buradan tapacağıq X Və saat vasitəsilə R Və ilə, bu iki bərabərliyin sol və sağ tərəflərini toplamaq və çıxmaq:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, (x+y) və (x-y) əvəzinə (*) ilə əvəzlənən yeni dəyişənlər R Və ilə, hasil vasitəsilə sinusların cəmini təsəvvür edək:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Beləliklə, cəminin sinusu və bucaqlar fərqi üçün əsas düsturun birbaşa nəticəsi iki yeni əlaqə (4) və (5) olur.

c) indi (1) və (2) bərabərliklərinin sol və sağ tərəflərini toplamaq əvəzinə, onları bir-birindən çıxacağıq:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

Bu şəxsiyyəti sağdan sola oxumaq (4) bənzər bir düstura gətirib çıxarır ki, bu da maraqsız olur, çünki biz artıq sinus və kosinusun məhsullarını sinusların cəminə necə parçalayacağımızı bilirik (bax (4)). Soldan sağa oxumaq (6) sinusların fərqini məhsula endirən bir düstur verir:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Beləliklə, bir fundamental eynilik sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, biz üç yeni (4), (5), (7) əldə etdik.

Başqa bir fundamental şəxsiyyət cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny ilə görülən oxşar iş dörd yenisinə gətirib çıxarır:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Tapşırıq: sinus və kosinusun cəmini məhsula çevirin:

Sinx + rahat =? Həll yolu: düsturu çıxarmamağa çalışsanız, ancaq triqonometrik düsturların bəzi cədvəlindəki cavaba dərhal baxsanız, hazır nəticə tapa bilməyəcəksiniz. Şagirdlər başa düşməlidirlər ki, sinx + rahat = ... üçün başqa bir düstur yadda saxlamağa və cədvələ daxil etməyə ehtiyac yoxdur, çünki hər hansı bir kosinus sinus kimi təqdim edilə bilər və əksinə, azalma düsturlarından istifadə etməklə, məsələn: sinx = cos ( π/2 – x), rahat = sin (π/2 – y). Buna görə də: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.