Sifariş verə bilərsiniz ətraflı həlli sənin vəzifən!!!

Triqonometrik funksiyanın işarəsi altında naməlum olan bərabərliyə (`sin x, cos x, tg x` və ya `ctg x`) triqonometrik tənlik deyilir və biz onların düsturlarını daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, həqiqi ədədlər arasında heç bir həll yolu yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

O, həmçinin istənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll variantına malikdir.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

• onu ən sadəyə çevirmək üçün istifadə etmək;
• köklər və cədvəllər üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək nəticədə sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarını nəzərdən keçirək.

cəbri üsul.

Bu üsulda dəyişənin dəyişdirilməsi və onun bərabərliyə əvəz edilməsi həyata keçirilir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bütün bərabərlik şərtlərini sola köçürün: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə gətirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. `tg x` üçün tənliklər alırıq: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullarla həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ hissələrini `cos^2 x \ne 0`-ə bölməklə, əldə edirik:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. `tg x=t` əvəzini təqdim edək, nəticədə `t^2 + t - 2=0`. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım küncə keçin

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. İkiqat bucaq düsturlarını tətbiq etməklə nəticə belə olur: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 - 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, biz hər iki hissəni `sqrt (a^2+b^2)` ilə bölürük:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni kvadratlarının cəmi 1, modulu isə ən çoxu 1-dir. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , sonra:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı misala daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Tənliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)`-ə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarələyin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı-rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar, saylarında və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Tənliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə alırıq:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfır ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabərləşdirin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Tədqiqat 10-cu sinifdə başlayır, imtahan üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını xatırlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaq!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və nəticə çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.

Çoxlarını həll edərkən riyaziyyat problemləri , xüsusilə 10-cu sinifdən əvvəl baş verənlər, məqsədə aparacaq həyata keçirilən hərəkətlərin sırası aydın şəkildə müəyyən edilir. Bu cür vəzifələrə, məsələn, xətti və daxildir kvadrat tənliklər, xətti və kvadrat bərabərsizliklər, kəsr tənlikləri və kvadrata endirən tənliklər. Qeyd olunan vəzifələrin hər birinin uğurlu həlli prinsipi belədir: hansı növ tapşırığın həll olunduğunu müəyyən etmək, istənilən nəticəyə gətirib çıxaracaq zəruri hərəkət ardıcıllığını xatırlamaq lazımdır, yəni. cavab verin və bu addımları izləyin.

Aydındır ki, müəyyən bir problemin həllində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, həll olunan tənliyin növünün nə qədər düzgün təyin olunduğundan, onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığının nə qədər düzgün əks olunduğundan asılıdır. Təbii ki, bu halda eyni çevrilmələri və hesablamaları yerinə yetirmək bacarığına malik olmaq lazımdır.

ilə fərqli bir vəziyyət yaranır triqonometrik tənliklər. Tənliyin triqonometrik olduğunu müəyyən etmək çətin deyil. Düzgün cavaba səbəb olacaq hərəkətlərin ardıcıllığını təyin edərkən çətinliklər yaranır.

Tənliyin görünüşü ilə onun növünü müəyyən etmək bəzən çətindir. Tənliyin növünü bilmədən bir neçə onlarla triqonometrik düsturdan düzgün birini seçmək demək olar ki, mümkün deyil.

Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün cəhd etməliyik:

1. tənliyə daxil olan bütün funksiyaları “eyni bucaqlara” gətirin;
2. tənliyi “eyni funksiyalara” gətirin;
3. tənliyin sol tərəfini faktorlara ayırın və s.

düşünün triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsulları.

I. Ən sadə triqonometrik tənliklərə endirmə

Həll sxemi

Addım 1. Triqonometrik funksiyanı məlum komponentlərlə ifadə edin.

Addım 2 Düsturlardan istifadə edərək funksiya arqumentini tapın:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Addım 3 Naməlum dəyişən tapın.

Misal.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Həll.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cavab: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Dəyişən əvəzetmə

Həll sxemi

Addım 1. Tənliyi triqonometrik funksiyalardan birinə görə cəbri formaya gətirin.

Addım 2 Yaranan funksiyanı t dəyişəni ilə işarələyin (lazım olduqda, t-yə məhdudiyyətlər tətbiq edin).

Addım 3 Yaranan cəbr tənliyini yazın və həll edin.

Addım 4Əks əvəzetmə edin.

Addım 5Ən sadə triqonometrik tənliyi həll edin.

Misal.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Həll.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Qoy sin (x/2) = t, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 və ya e = -3/2 |t| şərtini ödəmir ≤ 1.

4) günah (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cavab: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Tənlik sırasının azaldılması üsulu

Həll sxemi

Addım 1. Gücün azaldılması düsturlarından istifadə edərək bu tənliyi xətti ilə əvəz edin:

günah 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Addım 2 I və II üsullardan istifadə edərək yaranan tənliyi həll edin.

Misal.

cos2x + cos2x = 5/4.

Həll.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cavab: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen tənliklər

Həll sxemi

Addım 1. Bu tənliyi formaya gətirin

a) sin x + b cos x = 0 (birinci dərəcəli homojen tənlik)

və ya mənzərəyə

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Addım 2 Tənliyin hər iki tərəfini bölün

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

və tg x üçün tənliyi alın:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Addım 3 Məlum üsullardan istifadə edərək tənliyi həll edin.

Misal.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Həll.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) O zaman tg x = t olsun

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 və ya t = -4, deməli

tg x = 1 və ya tg x = -4.

Birinci tənlikdən x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cavab: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Triqonometrik düsturlardan istifadə edərək tənliyin çevrilməsi üsulu

Həll sxemi

Addım 1. Hər növdən istifadə triqonometrik düsturlar, bu tənliyi I, II, III, IV üsullarla həll olunan tənliyə gətirin.

Addım 2 Alınan tənliyi məlum üsullardan istifadə edərək həll edin.

Misal.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Həll.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 və ya 2cos x + 1 = 0;

Birinci tənlikdən 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən cos x = -1/2.

Bizdə x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci tənlikdən x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Nəticədə, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cavab: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Triqonometrik tənlikləri həll etmək bacarığı və bacarıqları çox yüksəkdir vacibdir, onların inkişafı həm şagirddən, həm də müəllimdən xeyli səy tələb edir.

Stereometriyanın, fizikanın və s.bir çox məsələləri triqonometrik tənliklərin həlli ilə bağlıdır.Belə məsələlərin həlli prosesi, sanki, triqonometriyanın elementlərinin öyrənilməsi zamanı əldə edilən bir çox bilik və bacarıqları ehtiva edir.

Riyaziyyatın tədrisi və ümumilikdə şəxsiyyətin inkişafı prosesində triqonometrik tənliklər mühüm yer tutur.

Hər hansı bir sualınız var? Triqonometrik tənlikləri necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün - qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Diferensiallaşdırılmış kreditin nəzəri məsələlərinin qısa xülasəsi

1-ci kurs tələbələri üçün

İxtisaslar 23.02.03 "Avtomobillərə texniki qulluq və təmir"

tənlik. Tənliyin kökü. "tənliyi həll etmək" nə deməkdir?

Tənlik dəyişəni ehtiva edən bərabərlikdir.

Tənliyin kökü dəyişənin elə qiymətidir ki, onu tənliyə əvəz etdikdə onu həqiqi ədədi bərabərliyə çevirir.

Tənliyin həlli onun bütün köklərini tapmaq və ya heç bir kök olmadığını sübut etmək deməkdir.

Tənliklər sistemi iki və ya daha çox naməlum olan iki və ya daha çox tənliklər toplusudur; üstəlik, tənliklərdən birinin həlli eyni zamanda bütün digərlərinin həllidir.

Tənliklərin növləri və onların həlli: xətti, kvadratik.

Xətti tənliklər formalı tənliklərdir: ax + b = 0, burada a və b bəzi sabitlərdir. a sıfıra bərabər deyilsə, tənliyin bir kökü var: x \u003d - b: a. Əgər a sıfır, b isə sıfırdırsa, ax + b = 0 tənliyinin kökü istənilən ədəddir. Əgər a sıfırdırsa və b sıfır deyilsə, ax + b = 0 tənliyinin kökü yoxdur.

Xətti tənliklərin həlli yolları

1) eyni çevrilmələr

2) qrafik üsul.

Kvadrat tənlik formanın tənliyidir balta 2 + bx + c= 0, burada əmsallar a, b və c- ixtiyari ədədlər və ≠ 0.

Kvadrat tənlik olsun balta 2 + bx + c= 0. Onda diskriminant ədəddir D = b 2 − 4ac.

1. Əgər D < 0, корней нет;

2. Əgər D= 0, tam olaraq bir kök var;

3. Əgər D> 0, iki kök olacaq.

Diskriminant D > 0 olarsa, kökləri aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar: Kvadrat tənliyin kökləri. İndi həll yoluna keçək. Əgər diskriminant D> 0, kökləri düsturlarla tapmaq olar:

Sadə triqonometrik tənliklərin həlli

cos x = a tənliyinin həllinin ümumi görünüşü, burada | a | ≤ 1, düsturla müəyyən edilir:

x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (tam ədədlər), üçün | a | > 1 cos x = a tənliyinin həqiqi ədədlər arasında həlli yoxdur.

sin x = a tənliyinin həllinin ümumi görünüşü, burada | a | ≤ 1, düsturla müəyyən edilir:

x = (- 1)k arcsin(a) + πk, k ∈ Z (tam ədədlər), üçün | a | > 1 sin x = a tənliyinin həqiqi ədədlər arasında həlli yoxdur.

tg x = a tənliyinin həllinin ümumi forması düsturla müəyyən edilir:

x = arctan(a) + πk, k ∈ Z (tam ədədlər).

ctg x = a tənliyinin həllinin ümumi forması düsturla müəyyən edilir:

x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (tam ədədlər).

Xətti triqonometrik tənliklərin həlli

Xətti triqonometrik tənliklər k*f(x) + b = 0 formasına malikdir, burada f(x) – triqonometrik funksiya, k və b isə həqiqi ədədlərdir.

Tənliyi həll etmək üçün eyni çevrilmələrlə ən sadə formaya gətirilir

Xətti - birləşmiş triqonometrik tənliklərin həlli

Xətti birləşmiş triqonometrik tənliklər f(kx + b) = a formasına malikdir, burada f(x) triqonometrik funksiya, a, k və b həqiqi ədədlərdir.

Onun tənliyini həll etmək üçün yeni y = kx + b dəyişəni təqdim edilir. Nəticədə ən sadə triqonometrik tənlik y üçün həll edilir və tərs əvəzetmə aparılır.

Azaltma düsturlarından istifadə edərək triqonometrik tənliklərin həlli

Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək triqonometrik tənliklərin həlli

Ən sadə olmayan triqonometrik tənlikləri həll edərkən eyni çevrilmələr aşağıdakı düsturlara əsasən aparılır:

Kvadrat triqonometrik tənliklərin həlli

Kvadrata endirilən tənliklərin fərqli xüsusiyyətləri:

Tənlik bir arqumentin triqonometrik funksiyalarını ehtiva edir və ya onlar asanlıqla bir arqumentə endirilir.

Tənlikdə yalnız bir triqonometrik funksiya var və ya bütün funksiyalar birinə endirilə bilər.

Həll alqoritmi:

Əvəzetmə davam edir.

İfadə çevrilir.

Notation təqdim olunur (məsələn, sinx = y).

Kvadrat tənlik həll olunur.

Göstərilən kəmiyyətin qiyməti əvəz olunur və triqonometrik tənlik həll edilir

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

1C-dən 10-cu sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında təlimatlar və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. Kosmosda tikinti üçün interaktiv tapşırıqlar
Proqram mühiti "1C: Riyazi konstruktor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Triqonometrik tənliklər hansılardır?

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün iki əsas üsul.
4. Bircins triqonometrik tənliklər.
5. Nümunələr.

Triqonometrik tənliklər nədir?

Uşaqlar, biz artıq arksinusu, arkkosinusu, arktangensi və arktangensi öyrənmişik. İndi isə ümumi olaraq triqonometrik tənliklərə nəzər salaq.

Triqonometrik tənliklər - dəyişənin triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənliklər.

Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli formasını təkrarlayırıq:

1) |а|≤ 1 olarsa, cos(x) = a tənliyinin həlli var:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 olarsa, sin(x) = a tənliyinin həlli var:

3) Əgər |a| > 1, onda sin(x) = a və cos(x) = a tənliyinin həlli yoxdur 4) tg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arcctg(a)+ πk

Bütün düsturlar üçün k tam ədəddir

Ən sadə triqonometrik tənliklər formaya malikdir: Т(kx+m)=a, T- istənilən triqonometrik funksiya.

Misal.

Tənlikləri həll edin: a) sin(3x)= √3/2

Həll:

A) 3x=t işarəsi verək, onda tənliyimizi yenidən aşağıdakı formada yazacağıq:

Bu tənliyin həlli belə olacaq: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Dəyərlər cədvəlindən alırıq: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Dəyişənimizə qayıdaq: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Onda x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cavab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n tam ədəddir. (-1)^n - n-in gücünə mənfi bir.

Triqonometrik tənliklərin daha çox nümunələri.

Tənlikləri həll edin: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Həll:

A) Bu dəfə biz dərhal tənliyin köklərinin hesablanmasına keçəcəyik:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Onda x/5= πk => x=5πk

Cavab: x=5πk, burada k tam ədəddir.

B) Bu formada yazırıq: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Biz bilirik ki: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cavab: x=2π/9 + πk/3, burada k tam ədəddir.

Tənlikləri həll edin: cos(4x)= √2/2. Və seqmentdəki bütün kökləri tapın.

Həll:

Tənliyimizi ümumi formada həll edək: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

İndi seqmentimizə hansı köklərin düşdüyünü görək. k üçün k=0, x= π/16 üçün verilmiş seqmentdəyik.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 olduqda yenidən vurdular.
k=2 üçün x= π/16+ π=17π/16, lakin burada biz vurmadıq, yəni böyük k üçün də vurmayacağıq.

Cavab: x= π/16, x= 9π/16

İki əsas həll üsulu.

Ən sadə triqonometrik tənlikləri nəzərdən keçirdik, lakin daha mürəkkəb olanlar var. Onları həll etmək üçün yeni dəyişənin tətbiqi metodundan və faktorizasiya metodundan istifadə olunur. Nümunələrə baxaq.

tənliyi həll edək:

Həll:
Tənliyimizi həll etmək üçün yeni bir dəyişən təqdim etmək üsulundan istifadə edirik, qeyd olunur: t=tg(x).

Əvəzetmə nəticəsində biz əldə edirik: t 2 + 2t -1 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapın: t=-1 və t=1/3

Onda tg(x)=-1 və tg(x)=1/3, ən sadə triqonometrik tənliyi əldə etdik, onun köklərini tapaq.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Cavab: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Tənliyin həlli nümunəsi

Tənlikləri həll edin: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Həll:

Gəlin eynilikdən istifadə edək: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Tənliyimiz belə olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) əvəzini təqdim edək: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tənliyimizin həlli köklərdir: t=2 və t=-1/2

Onda cos(x)=2 və cos(x)=-1/2.

Çünki kosinus birdən böyük dəyərlər qəbul edə bilməz, onda cos(x)=2-nin kökü yoxdur.

cos(x)=-1/2 üçün: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cavab: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen triqonometrik tənliklər.

Tərif: a sin(x)+b cos(x) şəklində olan tənliyə birinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər deyilir.

Formanın tənlikləri

ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər.

Birinci dərəcəli homojen triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu cos(x)-a bölürük: Sıfıra bərabərdirsə, kosinusla bölmək mümkün deyil, bunun belə olmadığına əmin olaq:
Qoy cos(x)=0, onda asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakin sinus və kosinus eyni vaxtda sıfıra bərabər deyil, biz bir ziddiyyət əldə etdik, ona görə də təhlükəsiz şəkildə bölmək olar. sıfırla.

Tənliyi həll edin:
Misal: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Həll:

Ümumi faktoru çıxarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sonra iki tənliyi həll etməliyik:

cos(x)=0 və cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk üçün Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 tənliyini nəzərdən keçirək tənliyimizi cos(x)-a bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cavab: x= π/2 + πk və x= -π/4+πk

İkinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?
Uşaqlar, həmişə bu qaydalara əməl edin!

1. Baxın a əmsalı nəyə bərabərdir, əgər a \u003d 0 olarsa, onda bizim tənliyimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) formasını alacaq, bunun həllinə misal əvvəlki bənddə verilmişdir. sürüşdürün

2. Əgər a≠0 olarsa, onda tənliyin hər iki hissəsini kvadrat kosinusa bölmək lazımdır, alırıq:

t=tg(x) dəyişəninin dəyişməsini edirik və tənliyi əldə edirik:

Nümunə №: 3-ü həll edin

Tənliyi həll edin:
Həll:

Tənliyin hər iki tərəfini kosinus kvadratına bölün:

t=tg(x) dəyişəninin dəyişməsini edirik: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapın: t=-3 və t=1

Onda: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cavab: x=-arctg(3) + πk və x= π/4+ πk

Nümunə №: 4-ü həll edin

Tənliyi həll edin:

Həll:
İfadəmizi çevirək:

Belə tənlikləri həll edə bilərik: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Cavab: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Nümunə №:5-i həll edin

Tənliyi həll edin:

Həll:
İfadəmizi çevirək:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 əvəzini təqdim edirik

Kvadrat tənliyimizin həlli köklər olacaq: t=-2 və t=1/2

Onda alırıq: tg(2x)=-2 və tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Cavab: x=-arctg(2)/2 + πk/2 və x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar.

1) Tənliyi həll edin

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Tənlikləri həll edin: sin(3x)= √3/2. Və [π/2 seqmentindəki bütün kökləri tapın; π].

3) Tənliyi həll edin: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tənliyi həll edin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tənliyi həll edin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tənliyi həll edin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər siz maraqlanırsınızsa bu iş zəhmət olmasa tam versiyanı yükləyin.

Dərsin məqsəd və vəzifələri.

• Maarifləndirici:
  • təkrar: ən sadə triqonometrik tənliklərin tərifi və həlli üsulları; kvadrat tənliyin tərifi, diskriminant düsturu və kvadrat tənliyin kökləri
  • haqqında biliklər qurmaq əlamətlər və kvadratik tənliklərə endirilən triqonometrik tənliklərin həlli üsulları.
  • bacarmalıdır: triqonometrik tənliklərdən kvadrata endirilən triqonometrik tənlikləri ayırd etməyi və onları həll etməyi.
• Maarifləndirici:
  • inkişaf məntiqi təfəkkür tələbələr, yaddaş, diqqət, nitq; əsas şeyi əsaslandırmaq və vurğulamaq bacarığı; bilikləri müstəqil əldə etmək və praktikada tətbiq etmək bacarığı, özünə nəzarət və qarşılıqlı nəzarət bacarıqlarını inkişaf etdirmək.
• Maarifləndirici:
  • sinif yoldaşlarına hörmət, müstəqillik, məsuliyyət, estetik zövq, dəqiqlik, riyaziyyata maraq tərbiyə etmək.

Avadanlıq: multimedia proyektoru, ekran, özünüqiymətləndirmə vərəqi.

Təşkilati ünsiyyət formaları: frontal, qrup, fərdi.

Dərs növü: yeni biliklərin mənimsənilməsi.

Təhsil texnologiyaları:İKT, dizayn.

Dərs planı.

1. Təşkilati məqam, tələbələrin işinə motivasiyanın formalaşması.
2. Mövzunun tərtibi, dərsin məqsədi.
3. Biliklərin yenilənməsi və tələbələrin yeni materialın aktiv və şüurlu mənimsənilməsinə hazırlanması.
4. Yeni biliklərin və fəaliyyət üsullarının mənimsənilməsi mərhələsi.
5. Aktiv istirahət və aktivləşmə mərhələsi.
6. Öyrənilənin başa düşülməsinin ilkin yoxlanılması mərhələsi.
7. Düşünmə və qiymətləndirmə mərhələsi. Dərsi yekunlaşdırmaq.
8. Şagirdlərə ev tapşırığı haqqında məlumat vermək, onu necə yerinə yetirmək barədə göstəriş vermək mərhələsi.

Hazırlıq işləri

Sinifdəki şagirdlər əvvəlcədən qruplara bölünməlidir. Şagirdlərin qruplara bölünməsi prinsipi, müəllimin müstəqil seçim etmək hüququ var.
Seçimlərdən biri müxtəlif riyazi hazırlıq səviyyələrinə malik tələbələrin daxil olacağı qruplardır: “əsas”dan “qabaqcıl”a.
Hər bir qrup əvvəlcə triqonometrik tənliklərin növlərindən birinin həlli alqoritmini öyrənmək tapşırığını alır (müəllim tərəfindən təklif olunan və müstəqil tapılan məlumat mənbələrindən istifadə etməklə). Hər qrupun üzvləri öz işlərinin nəticələrini “Triqonometrik tənliklər” mövzusundakı dərslərdən birində təqdim edirlər. Təklif olunan materialın həcmindən və mürəkkəbliyindən asılı olaraq, 1-2 qrup işlərinin nəticələrini təqdim edərək bir dərsdə danışmağa vaxt tapa bilər.
Kvadratlara endirilən triqonometrik tənliklərin həllindən bəhs edən dərsi diqqətinizə çatdırırıq.

Gerçəklik evindən riyaziyyat meşəsinə girmək asandır, ancaq bir neçəsi geri qayıda bilir.

H. Steinhaus

İnsan nə qədər insana çevrilirsə, yeniyə doğru sonsuz və sarsılmaz bir hərəkətdən başqa bir şeyə o qədər az razı olar.

Pierre Charden

DƏRSLƏR zamanı

1. Təşkilati məqam, tələbələrin iş motivasiyasının formalaşması ( 3 dəq.)

salamlar. Qabaqcılların aradan qaldırılması, tələbələrin dərsə hazırlığının yoxlanılması. Sonra hər bir tələbəyə qiymətləndirmə vərəqi verilir. Müəllim qiymətləndirmə vərəqinin doldurulma qaydalarını qısa şəkildə şərh edir və 1-3 sətirin doldurulmasını təklif edir. Qoşma 1 .
Şagirdlərin diqqətinin təşkili: müəllim tələbələrə Pierre Charden-dən sitat gətirir, sözlərin mənasını necə başa düşdüklərini izah etməyi təklif edir (2-3 nəfəri dinləyə bilərsiniz), sözləri dərsin şüarı etməyi təklif edir və təəccüblənir: onların müəllifinin kim olduğunu bilin. Qısa tarixə istinad(Slayd 3).

*Təqdimatlardan istifadə üçün təlimatlar – Əlavə 2 .

2. Dərsin mövzusunun, məqsədlərinin formalaşdırılması(2-3 dəq.).

Müəllim əvvəlki dərsin mövzusunu tərtib etməyi xahiş edir (Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli). Tələbələrdən soruşun ki, onlar triqonometrik tənliklərin başqa növlərinin olduğunu düşünürlərmi? (Bəli. Əgər “sadə”lər varsa, daha mürəkkəbləri də var, əks halda triqonometrik tənliklərin yeganə növüdürsə, “ən sadə” terminini təqdim etməyə ehtiyac yoxdur). Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, bugünkü dərsin mövzusunu tərtib etməyi təklif edir (Kompleks / digər / müxtəlif növ triqonometrik tənliklərin həlli).
Mövzunu tənzimlədikdən sonra tələbələri dəftərlərinə yazmağa dəvət edir: dərsin tarixini, “ Sinif işi”və dərsin mövzusu“ Müxtəlif növ triqonometrik tənliklərin həlli: kvadrata enən tənliklər ”.
Stolda tələbələrin hər birində alma və flomaster üçün şablonlar var. Mövzu artıq tərtib edilmiş qarşıdan gələn dərsdən gözləntilərinizi "almalar" üzərinə yazmaq təklif olunur. Bundan sonra, bütün alma şablonları, məsələn, ağac təsviri ilə əvvəlcədən hazırlanmış bir afişaya yapışan lentlə əlavə olunur. “Gözləntilər ağacı” ortaya çıxır.

Bu və ya digər gözləntilərə çatdıqca, müvafiq alma yetişmiş hesab edilə və səbətə yığıla bilər. Bu aktiv öyrənmə metodundan istifadə etməklə şagirdin sinifdə irəliləyişini izləmək üçün vizual üsuldur.

Başqa bir seçim mümkündür: müəllim sinif şagirdlərinin qarşısına qum saatı qoyur və mövzusu artıq formalaşmış dərsdə nə öyrənmək istədikləri sualına cavab verməyi təklif edir (1-2 variant kifayətdir).

3. Biliklərin yenilənməsi və tələbələri yeni materialı fəal və şüurlu mənimsəməyə hazırlamaq (10 dəq.).

Müəllim. Herbert Spenser deyib ki, əgər insanın biliyi pozulmuş vəziyyətdədirsə, onda nə qədər çox olsa, düşüncəsi bir o qədər pozulur. Bu məşhur ingilis filosofunun məsləhətinə əməl edək (şəxsiyyətin ümumi inkişafı üçün məlumat - qısa tarixi məlumat. (Slayd 5) Yeni materialın öyrənilməsinə keçməzdən əvvəl Triqonometriya bölməsindən bildiklərimizi xatırlayaq.

Ön iş(şifahi)

– Triqonometrik tənliyin tərifini verin.
Triqonometrik tənliyin neçə kökü ola bilər?
Ən sadə triqonometrik tənliklər hansılardır?
Ən sadə triqonometrik tənliyi həll etmək nə deməkdir?
Triqonometrik tənliklərin həllinin hansı üsullarını bilirsiniz? (2 seçim: düsturlar; vahid dairə).

a) Cədvəli doldurun:

b) Tənlikləri vahid dairələrdə təqdim olunan həlləri ilə uyğunlaşdırın (şərhlə)

Müstəqil iş (Əlavə 3 )

Ən sadə triqonometrik tənlikləri həll etmək bacarığı üçün sonrakı qarşılıqlı yoxlama / özünü yoxlama (cavabların düzgünlüyü təqdimatdan istifadə etməklə yoxlanılır). Nümayiş edilmişdir (Slayd 12). Lazım gələrsə, bəzi tənliklərin həlli qısa şəkildə şərh edilir.

4. Yeni biliklərin və fəaliyyət üsullarının mənimsənilməsi mərhələsi(15 dəqiqə).

Sinif şagirdləri əvvəllər qruplara bölünürdülər, onların hər biri müstəqil olaraq müəllimin tövsiyə etdiyi materialdan istifadə edərək, triqonometrik tənliklərin növlərindən birini müstəqil olaraq tapırdılar.
İşin nəticələri müəyyən bir tövsiyə / alqoritm / həll sxemi şəklində Power Point təqdimatı formatında tərtib edilmişdir. Müəllim, lazım gələrsə, qruplarda tələbələrə məsləhət verir və onların işinin son məhsulunu əvvəlcədən yoxlayır.
Dərsdə bu və ya digər həll üsulunun nəticələrini təqdim etmək üçün qrupun nümayəndələrindən biri seçilir, dərsdə qalanlar bu tip triqonometrik tənliyin həlli ilə bağlı yaranan suallara cavab verməyə kömək edir. Şagirdlər qrupda işlərinin qiymətləndirilməsi meyarları ilə əvvəlcədən tanış olurlar.

Vaxtı bölüşməliyəm
siyasət və tənliklər arasında.
Ancaq tənliklər, mənim fikrimcə, daha vacibdir.
Siyasət yalnız bu an üçün mövcuddur,
və tənliklər əbədi olaraq mövcud olacaq.

Tapşırığı qrup şəklində yerinə yetirmək üçün mümkün variantlar. (Slayd 14-18)

1 qrup. Kvadratlara endirilmiş triqonometrik tənliklərin həlli.

Kvadrata endirilən tənliklərin fərqli xüsusiyyətləri:

1. Tənlik bir arqumentin triqonometrik funksiyalarını ehtiva edir və ya onlar asanlıqla bir arqumentə endirilir.
2. Tənlikdə yalnız bir triqonometrik funksiya var və ya bütün funksiyalar birinə endirilə bilər.

Həll alqoritmi:

– Aşağıdakı şəxsiyyətlər istifadə olunur; onların köməyi ilə bir triqonometrik funksiyanı digəri ilə ifadə etmək lazımdır:

- Əvəzetmə gedir.
– İfadə çevrilir.
– Təyinat daxil edin (məsələn, günah x = y).
- Kvadrat tənliyin həlli.
- Göstərilən kəmiyyətin qiyməti əvəz edilir və triqonometrik tənlik həll edilir.

Misal 1

6cos 2 x + 5 sin x - 7 = 0.

Həll.

Misal 2

Misal 3

5. Aktiv relaksasiya və aktivləşmə mərhələsi(2 dəqiqə).

6. Öyrənilənin başa düşülməsinin ilkin yoxlanılması mərhələsi(8 dəq.)

Müstəqil iş(Əlavə 5 )

İş fərqləndirilir, tapşırıqların hər bir mürəkkəbliyi iki versiyada təqdim olunur.
I səviyyə - "3", II səviyyə - "4", III səviyyə - tam düzgün həll olduqda "5". Növbəti dərs üçün iş müəllim tərəfindən yoxlanılacaq, dərsə qiymətlər qoyulacaq.

7. Düşünmə və qiymətləndirmə mərhələsi. Dərsi yekunlaşdırmaq(2 dəqiqə).

Özünüqiymətləndirmə vərəqinin 6.7-ci bəndini doldurun - Qoşma 1 .

8. Şagirdlərin ev tapşırıqları haqqında məlumatlandırılması mərhələsi, onun icrasına dair brifinq (2 dəq.).

Fərqləndirilmiş (hər bir tələbəyə ayrıca vərəqlərdə paylanır) - Əlavə 6

Biblioqrafiya:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E. Metodik qutu. - Petrozavodsk: PetroPress, 2002. - 12 s.