Ana çərçivəni yudu

Uzun bir yay tətilinin sonuna doğru yavaş-yavaş ali riyaziyyata qayıtmağın və yeni bir bölmə yaratmağa başlamaq üçün təntənəli şəkildə boş Verd faylını açmağın vaxtı gəldi - . Etiraf edirəm ki, ilk sətirlər asan deyil, amma ilk addım yolun yarısıdır, ona görə də hər kəsə giriş məqaləsini diqqətlə öyrənməyi təklif edirəm, bundan sonra mövzunu mənimsəmək 2 dəfə asan olacaq! Mən heç də şişirtmirəm. ... Növbəti 1 sentyabr ərəfəsində birinci sinfi və primeri xatırlayıram .... Hərflər hecalar, hecalar sözlər, sözlər qısa cümlələr təşkil edir - Ana çərçivəni yudu. Terver və riyazi statistikanı mənimsəmək oxumağı öyrənmək qədər asandır! Bununla belə, bunun üçün əsas terminləri, anlayışları və təyinatları, habelə bu dərsin həsr olunduğu bəzi xüsusi qaydaları bilmək lazımdır.

Amma əvvəlcə, zəhmət olmasa, başlanğıc münasibətilə təbriklərimi qəbul edin (davam, tamamlama, lazım olduqda qeyd edin) tədris ili və hədiyyəni qəbul edin. Ən yaxşı hədiyyə kitabdır və bunun üçün müstəqil iş Aşağıdakı ədəbiyyatı tövsiyə edirəm:

1) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika

əfsanəvi dərslik ondan çox nəşr. O, başa düşülməsi və materialın son sadə təqdimatı ilə fərqlənir və ilk fəsillər, məncə, artıq 6-7-ci sinif şagirdləri üçün tamamilə əlçatandır.

2) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsində problemlərin həlli üçün bələdçi və riyazi statistika

Eyni Vladimir Efimoviçin Reshebnik ətraflı nümunələri və tapşırıqları ilə.

MÜTLƏQ hər iki kitabı İnternetdən endirin və ya onların kağız orijinallarını əldə edin! 60-70-ci illərin bir versiyası kömək edəcək, bu, dummies üçün daha yaxşıdır. Baxmayaraq ki, "butaforlar üçün ehtimal nəzəriyyəsi" ifadəsi olduqca gülünc səslənir, çünki demək olar ki, hər şey elementar hesab əməliyyatları ilə məhdudlaşır. Bununla belə, yerlərdə sürüşürlər törəmələri və inteqrallar, lakin bu yalnız yerlərdə olur.

Mən təqdimatın eyni aydınlığına nail olmağa çalışacağam, lakin sizi xəbərdar etməliyəm ki, mənim kursum diqqət mərkəzindədir problemin həlli və nəzəri hesablamalar minimuma endirilir. Beləliklə, əgər sizə ətraflı nəzəriyyə, teoremlərin sübutları (bəli, teoremlər!) lazımdırsa, dərsliyə müraciət edin.

İstəyənlər üçün problemləri həll etməyi öyrənin bir neçə gün ərzində yaradılmışdır Qəza kursu pdf formatında (saytın məlumatına görə). Yaxşı, indi, məsələni uzun bir qovluqda təxirə salmadan, terver və matstat öyrənməyə başlayırıq - məni izləyin!

Başlamaq üçün kifayətdir =)

Məqalələri oxuduqca, nəzərdən keçirilən növlərin əlavə problemləri ilə (ən azı qısaca) tanış olmaq faydalıdır. Səhifədə Ali riyaziyyat üçün hazır həllər həll nümunələri ilə müvafiq pdf-ki yerləşdirilmişdir. Həmçinin əhəmiyyətli yardım göstəriləcək IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(daha asan) və Çudesenkonun kolleksiyasına görə IDZ-ni həll etdi(daha çətin).

1) məbləğ iki hadisə və ondan ibarət olan hadisə adlanır və ya hadisə və ya hadisə və ya hər iki hadisə eyni vaxtda. Hadisələr olduğu halda uyğunsuz, sonuncu variant yox olur, yəni baş verə bilər və ya hadisə və ya hadisə.

Qayda daha çox terminə, məsələn, hadisəyə də aiddir baş verəcək şeydir ən azı bir hadisələrdən , a hadisələr bir-birinə uyğun gəlmirsə – o bir və tək bu məbləğdən hadisə: və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə.

Çoxlu nümunələr:

Hadisə (zar atanda 5 xal düşmür) belədir və ya 1, və ya 2, və ya 3, və ya 4, və ya 6 xal.

Hadisə (düşəcək daha yox iki xal) budur ki, 1 və ya 2xal.

Hadisə (olacaq cüt Ədəd xal) budur və ya 2 və ya 4 və ya 6 xal.

Tədbir odur ki, göyərtədən qırmızı kostyum (ürək) kartı çəkiləcək və ya qaval) və hadisə - "şəkil" çıxarılacaq (jak və ya xanım və ya kral və ya ace).

Birgə tədbirlərlə bağlı vəziyyət bir az daha maraqlıdır:

Tədbir odur ki, göyərtədən bir klub çəkiləcək və ya yeddi və ya yeddi klub Yuxarıdakı tərifə əsasən, heç olmasa bir şey- və ya hər hansı bir klub və ya hər hansı yeddi və ya onların "keçidləri" - yeddi klub. Bu hadisənin 12 elementar nəticəyə (9 klub kartı + 3 qalan yeddilik) uyğun olduğunu hesablamaq asandır.

Hadisə sabah saat 12.00 Ümumilikdə ortaq hadisələrdən EN AZ BİRİ, yəni:

- və ya yalnız yağış / yalnız ildırım / yalnız günəş olacaq;
- və ya yalnız bir cüt hadisə gələcək (yağış + tufan / yağış + günəş / tufan + günəş);
– və ya hər üç hadisə eyni anda görünəcək.

Yəni, tədbirə 7 mümkün nəticə daxildir.

Hadisələr cəbrinin ikinci sütunu:

2) iş iki hadisə adlandırır və bu hadisələrin birgə görünməsindən ibarət olan hadisəni adlandırır, başqa sözlə, çoxalma müəyyən şəraitdə gələcək deməkdir. və hadisə, və hadisə. Bənzər bir ifadə daha çox sayda hadisələr üçün doğrudur, məsələn, iş müəyyən şərtlər altında, və hadisə, və hadisə, və hadisə,…, və hadisə.

İki sikkənin atıldığı bir sınaq nəzərdən keçirək və aşağıdakı hadisələr:

- başlar 1-ci sikkəyə düşəcək;
- 1-ci sikkə quyruq yerə düşəcək;
- 2-ci sikkə baş verəcək;
- 2-ci sikkə quyruqdan çıxacaq.

Sonra:
və 2-də) qartal düşəcək;
- hadisə ondan ibarətdir ki, hər iki sikkədə (1-ci və 2-də) quyruqlar düşəcək;
– hadisə ondadır ki, 1-ci sikkə baş verəcək və 2-ci sikkə quyruqlarında;
- hadisə 1-ci sikkə quyruq qədər gələcək və 2-ci sikkədə qartal.

Hadisələri görmək asandır uyğunsuz (məsələn, eyni anda 2 baş və 2 quyruğu düşə bilmədiyi üçün) və forma tam qrup (nəzərə alındığından hamısı iki sikkə atmağın mümkün nəticələri). Bu hadisələri ümumiləşdirək: . Bu girişi necə şərh etmək olar? Çox sadə - vurma məntiqi əlaqə deməkdir Və, və əlavə edir YA. Beləliklə, məbləği başa düşülən insan dilində oxumaq asandır: “iki qartal düşəcək və ya iki quyruq və ya 1-ci sikkənin üzərində başlar və 2-ci quyruqda və ya 1-ci sikkənin üzərində başlar və 2-ci sikkədə qartal »

Bu bir nümunə idi bir testdə bir neçə obyekt iştirak edir, bu halda iki sikkə. Təcrübədə tez-tez istifadə olunan başqa bir sxemdir təkrar testlər məsələn, eyni zər 3 dəfə dalbadal atılanda. Nümayiş olaraq aşağıdakı hadisələri nəzərdən keçirin:

- 1-ci atışda 4 xal düşəcək;
- 2-ci rulonda 5 xal düşəcək;
- 3-cü atışda 6 xal düşəcək.

Sonra hadisə 1-ci rulonda 4 xalın düşəcəyindən ibarətdir və 2-ci rulonda 5 xal düşəcək və 3-cü rulonda 6 xal düşəcək. Aydındır ki, zərb halında, sikkə atdığımızdan daha çox birləşmələr (nəticələr) olacaq.

... Başa düşürəm, bəlkə də çox yaxşı başa düşmürlər maraqlı nümunələr, lakin bunlar tapşırıqlarda tez-tez rast gəlinən və qarşısını almaq mümkün olmayan şeylərdir. Sikkə, qəlib və kart göyərtəsindən əlavə, rəngarəng topları olan qablar, hədəfə atəş edən bir neçə anonim adam və bəzi detalları daim üyüdən yorulmaz işçi =)

Hadisə ehtimalı

Hadisə ehtimalı ehtimal nəzəriyyəsində mərkəzi anlayışdır. ...Ölümcül məntiqli bir şey, amma haradansa başlamaq lazım idi =) Onun tərifinə bir neçə yanaşma var:

;
Ehtimalın həndəsi tərifi ;
Ehtimalın statistik tərifi .

Bu yazıda mən təhsil tapşırıqlarında ən çox istifadə olunan ehtimalların klassik tərifinə diqqət yetirəcəyəm.

Qeyd. Bəzi hadisənin baş vermə ehtimalı böyük latın hərfi ilə işarələnir və hadisənin özü bir növ arqument rolunu oynayaraq mötərizədə götürülür. Misal üçün:

Həmçinin, ehtimalı təmsil etmək üçün kiçik hərf geniş istifadə olunur. Xüsusilə, hadisələrin ağır təyinatlarından və onların ehtimallarından imtina etmək olar aşağıdakı üslubun lehinə:

sikkənin atılmasının başlarla nəticələnməsi ehtimalıdır;
- zər atmaq nəticəsində 5 xalın düşmə ehtimalı;
göyərtədən klub kostyumunun kartının çəkilmə ehtimalıdır.

Bu seçim praktiki problemlərin həllində populyardır, çünki həll girişini əhəmiyyətli dərəcədə azaltmağa imkan verir. Birinci halda olduğu kimi, burada da “danışan” alt və üst yazılardan istifadə etmək rahatdır.

Yuxarıda yazdığım nömrələr haqqında hər kəs çoxdan təxmin edirdi və indi onların necə olduğunu öyrənəcəyik:

Ehtimalın klassik tərifi:

Bəzi testlərdə hadisənin baş vermə ehtimalı nisbətdir, burada:

hamısının ümumi sayıdır eyni dərəcədə mümkündür, ibtidai Bu testin nəticələri hansı formadadır hadisələrin tam qrupu;

- məbləğ ibtidai nəticələr əlverişli hadisə.

Sikkə atıldıqda ya başlar, ya da quyruqlar çıxa bilər - bu hadisələr meydana gəlir tam qrup, beləliklə, nəticələrin ümumi sayı; onların hər biri isə ibtidai və eyni dərəcədə mümkündür. Tədbirə nəticə (rəhbərlər) tərəfindən üstünlük verilir. Ehtimalların klassik tərifinə görə: .

Eynilə, zərfin yuvarlanması nəticəsində tam bir qrup təşkil edən elementar bərabər mümkün nəticələr meydana çıxa bilər və hadisə bir nəticə ilə (beş yuvarlanan) üstünlük təşkil edir. Buna görə də: .BUNU QƏBUL EDİLMİR (baxmayaraq ki, ağlınızda faizləri müəyyən etmək qadağan deyil).

Bir vahidin fraksiyalarından istifadə etmək adətdir, və açıq-aydın, ehtimal daxilində dəyişə bilər. Üstəlik, əgər , onda hadisədir qeyri-mümkün, əgər - orijinal, və əgər , onda biz danışırıq təsadüfi hadisə.

! Əgər hər hansı bir problemin həlli zamanı başqa ehtimal dəyəri əldə edirsinizsə - xəta axtarın!

Ehtimalın tərifinə klassik yanaşmada həddindən artıq qiymətlər (sıfır və bir) eyni əsaslandırma ilə əldə edilir. 10 qırmızı top olan qabdan təsadüfi olaraq 1 top çəkilsin. Aşağıdakı hadisələri nəzərdən keçirin:

tək sınaqda gözlənilməz hadisə baş verməyəcək.

Buna görə də, bu hadisənin ehtimalı, məsələn, 0,00000001 olarsa, lotereyada Jackpot qazanmayacaqsınız. Bəli, bəli, bu sizsiniz - müəyyən bir dövriyyədə olan yeganə biletlə. Ancaq daha çox bilet və daha çox tiraj sizə çox kömək etməyəcək. ...Bu barədə başqalarına danışanda, demək olar ki, həmişə cavab eşidirəm: “amma kimsə qalib gəlir”. Yaxşı, onda gəlin aşağıdakı eksperimenti edək: lütfən, bu gün və ya sabah istənilən lotereya biletini alın (gecikməyin!). Əgər qalib gəlsəniz ... yaxşı, ən azı 10 kilo rubldan çox, abunəni dayandırdığınızdan əmin olun - bunun niyə baş verdiyini izah edəcəyəm. Faiz üçün, əlbəttə =) =)

Amma kədərlənməyə ehtiyac yoxdur, çünki bunun əksi prinsipi var: əgər hansısa hadisənin baş vermə ehtimalı birliyə çox yaxındırsa, o zaman tək bir sınaqda demək olar ki, müəyyən Baş verəcək. Buna görə də, paraşütlə tullanmadan əvvəl qorxma, əksinə - gülümsə! Axı hər iki paraşütün sıradan çıxması üçün tamamilə ağlasığmaz və fantastik hallar yaranmalıdır.

Bütün bunlar şeir olsa da, çünki hadisənin məzmunundan asılı olaraq birinci prinsip şən, ikincisi isə kədərli ola bilər; hətta hər ikisi paraleldir.

Yəqin ki, indilik dərsdə kifayətdir Ehtimalın klassik tərifi üçün tapşırıqlar düsturdan maksimumu sıxacağıq. Bu məqalənin son hissəsində biz bir mühüm teoremi nəzərdən keçiririk:

Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir. Kobud desək, əgər hadisələr tam qrup təşkil edərsə, onda 100% ehtimalla onlardan biri baş verəcək. Ən sadə halda, əks hadisələr tam bir qrup təşkil edir, məsələn:

- sikkə atılması nəticəsində qartal düşəcək;
- sikkə atmaq nəticəsində quyruqlar töküləcək.

Teoremə görə:

Aydındır ki, bu hadisələrin ehtimalı eynidir və ehtimalları da eynidir. .

Ehtimalların bərabərliyinə görə eyni dərəcədə ehtimal olunan hadisələr çox vaxt adlanır bərabər ehtimal . Və budur, sərxoşluq dərəcəsini təyin etmək üçün dil bükməsi çıxdı =)

Zər nümunəsi: hadisələr əksdir, belə ki .

Baxılan teorem ona görə rahatdır ki, əks hadisənin baş vermə ehtimalını tez tapmağa imkan verir. Beləliklə, əgər beşin düşmə ehtimalını bilirsinizsə, onun düşməyəcəyi ehtimalını hesablamaq asandır:

Bu, beş elementar nəticənin ehtimallarını ümumiləşdirməkdən daha asandır. Elementar nəticələr üçün, yeri gəlmişkən, bu teorem də etibarlıdır:
. Məsələn, atıcının hədəfi vurma ehtimalı varsa, onun qaçırma ehtimalı.

! Ehtimal nəzəriyyəsində hərflərdən hər hansı başqa məqsədlə istifadə etmək arzuolunmazdır.

Bilik günü şərəfinə soruşmayacağam ev tapşırığı=), lakin aşağıdakı suallara cavab verə bilməyiniz çox vacibdir:

Hansı növ hadisələr var?
– Hadisənin şans və bərabər ehtimalı nədir?
– Hadisələrin uyğunluğu/uyğunsuzluğu anlayışını necə başa düşürsünüz?
– Tam hadisələr qrupu, əks hadisələr nədir?
Hadisələrin toplanması və çoxaldılması nə deməkdir?
– Ehtimalın klassik tərifinin mahiyyəti nədir?
– Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimalları üçün toplama teoremi nə üçün faydalıdır?

Xeyr, heç bir şeyi sıxışdırmağa ehtiyac yoxdur, bunlar yalnız ehtimal nəzəriyyəsinin əsaslarıdır - başınıza olduqca tez uyğunlaşacaq bir növ primer. Və bunun mümkün qədər tez baş verməsi üçün dərsləri oxumağı təklif edirəm

GİRİŞ

Çox şeylər bizim üçün anlaşılmazdır, ona görə deyil ki, anlayışlarımız zəifdir;
lakin bu şeylər bizim anlayışlarımızın dairəsinə daxil olmadığı üçün.
Kozma Prutkov

Orta ixtisas təhsili müəssisələrində riyaziyyatın öyrənilməsinin əsas məqsədi tələbələrə riyaziyyatdan bu və ya digər dərəcədə istifadə edən digər proqram fənlərini öyrənmək, praktiki hesablamalar aparmaq bacarığını formalaşdırmaq və inkişaf etdirmək üçün zəruri olan bir sıra riyazi bilik və bacarıqlar verməkdir. məntiqi təfəkkür.

Bu yazıda, proqram və Orta Peşə Təhsilinin Dövlət Təhsil Standartları (Rusiya Federasiyası Təhsil Nazirliyi. M) ilə nəzərdə tutulmuş "Ehtimal nəzəriyyəsinin və riyazi statistikanın əsasları" riyaziyyat bölməsinin bütün əsas anlayışları ardıcıl olaraq təqdim olunur. ., 2002), əsas teoremlər tərtib edilmişdir, əksəriyyəti sübut edilməmişdir. Əsas vəzifələr və onların həlli üsulları və bu üsulların praktiki problemlərin həllinə tətbiqi texnologiyaları nəzərdən keçirilir. Təqdimat ətraflı şərhlər və çoxsaylı misallarla müşayiət olunur.

Metodik göstərişlərdən öyrənilən materialla ilkin tanışlıq, mühazirələrin qeydləri aparılarkən, dərsə hazırlıq üçün istifadə oluna bilər. praktiki təliməldə edilmiş bilik, bacarıq və bacarıqları möhkəmləndirmək. Bundan əlavə, dərslik əvvəllər öyrənilənləri yaddaşda tez bərpa etməyə imkan verən istinad vasitəsi kimi bakalavr tələbələri üçün faydalı olacaqdır.

İşin sonunda şagirdlərin özünə nəzarət rejimində yerinə yetirə biləcəyi nümunələr və tapşırıqlar verilir.

Metodik göstərişlər qiyabi tələbələr üçün nəzərdə tutulub gündəlik formaöyrənmək.

ƏSAS KONSEPSİYALAR

Ehtimal nəzəriyyəsi kütləvi təsadüfi hadisələrin obyektiv qanunauyğunluqlarını öyrənir. O, müşahidələrin nəticələrinin toplanması, təsviri və emalı üsullarının işlənib hazırlanması ilə məşğul olan riyazi statistika üçün nəzəri əsasdır. Müşahidələr vasitəsilə (testlər, təcrübələr), yəni. sözün geniş mənasında təcrübə, real dünyanın hadisələri haqqında bilik var.

Onun içində praktiki fəaliyyətlər tez-tez nəticəsini proqnozlaşdırmaq mümkün olmayan, nəticəsi təsadüfdən asılı olan hadisələrlə qarşılaşırıq.

Təsadüfi bir hadisə, baş verənlərin sayının sınaqların sayına nisbəti ilə xarakterizə edilə bilər, hər birində, bütün sınaqların eyni şərtlərində baş verə bilər və ya baş verə bilməz.

Ehtimal nəzəriyyəsi riyaziyyatın təsadüfi hadisələrin (hadisələrin) öyrənildiyi və onların kütləvi şəkildə təkrarlanması zamanı qanunauyğunluqların aşkar edildiyi bir sahəsidir.

Riyazi statistika elmi əsaslandırılmış nəticələr əldə etmək və qərarlar qəbul etmək üçün statistik məlumatların toplanması, sistemləşdirilməsi, emalı və istifadəsi üsullarını öyrənən riyaziyyatın bir sahəsidir.

Eyni zamanda, statistik məlumatlar dedikdə, öyrənilən obyektlərin bizi maraqlandıran xüsusiyyətlərinin kəmiyyət xüsusiyyətlərini ifadə edən rəqəmlər toplusu başa düşülür. Statistik məlumatlar xüsusi hazırlanmış təcrübə və müşahidələr nəticəsində əldə edilir.

Statistik məlumatlar öz mahiyyətinə görə bir çox təsadüfi amillərdən asılıdır, ona görə də riyazi statistika onun nəzəri əsası olan ehtimal nəzəriyyəsi ilə sıx bağlıdır.

I. Ehtimal. TOPMA VƏ EHMALLARIN VARMA TEOREMƏLƏRİ

1.1. Kombinatorikanın əsas anlayışları

Riyaziyyatın kombinatorika adlanan bölməsində çoxluqların nəzərdən keçirilməsi və bu çoxluqların elementlərinin müxtəlif kombinasiyalarının tərtibi ilə bağlı bəzi məsələlər həll olunur. Məsələn, 10 müxtəlif ədəd 0, 1, 2, 3,:, 9 götürsək və onların kombinasiyalarını düzəltsək, fərqli ədədlər alacağıq, məsələn, 143, 431, 5671, 1207, 43 və s.

Bu birləşmələrin bəzilərinin yalnız rəqəmlərin sırasına görə (məsələn, 143 və 431), digərlərinin onlara daxil olan rəqəmlərə görə (məsələn, 5671 və 1207), digərlərinin isə rəqəmlərin sayına görə fərqləndiyini görürük ( məsələn, 143 və 43).

Beləliklə, əldə edilən birləşmələr müxtəlif şərtləri ödəyir.

Kompilyasiya qaydalarından asılı olaraq üç növ birləşməni ayırd etmək olar: dəyişdirmələr, yerləşdirmələr, birləşmələr.

Əvvəlcə konsepsiya ilə tanış olaq faktorial.

hamının məhsulu natural ədədlər 1-dən n daxil olmaqla adlanır n-faktorial və yaz.

Hesablayın: a) ; b) ; in).

Həll. a) .

b) eləcə də , onda siz onu mötərizədə çıxara bilərsiniz

Sonra alırıq

in) .

Permütasyonlar.

Bir-birindən yalnız elementlərin sırasına görə fərqlənən n elementin birləşməsinə permutasiya deyilir.

Permutasiyalar simvolla qeyd olunur P n , burada n hər bir dəyişmədəki elementlərin sayıdır. ( R- fransız sözünün ilk hərfi dəyişdirmə- dəyişdirmə).

Düsturdan istifadə edərək dəyişdirmələrin sayını hesablamaq olar

və ya faktorial ilə:

Bunu xatırlayaq 0!=1 və 1!=1.

Nümunə 2. Bir rəfə altı müxtəlif kitabı neçə yolla düzmək olar?

Həll. İstədiyiniz yolların sayı 6 elementin dəyişdirilməsinin sayına bərabərdir, yəni.

Yaşayış yerləri.

Yerləşdirmələr m elementləri n hər birində ya elementlərin özləri (ən azı bir), ya da yerləşmə sırası ilə bir-birindən fərqlənən belə birləşmələr adlanır.

Yerlər simvolu ilə işarələnir, burada m bütün mövcud elementlərin sayı, n hər kombinasiyadakı elementlərin sayıdır. ( AMMA- fransız sözünün ilk hərfi tənzimləmə, “yerləşdirmək, nizama salmaq” deməkdir).

Eyni zamanda güman edilir ki nm.

Düsturdan istifadə edərək yerləşdirmələrin sayını hesablamaq olar

,

olanlar. -dən bütün mümkün yerləşdirmələrin sayı m tərəfindən elementlər n məhsula bərabərdir n daha böyük olan ardıcıl tam ədədlər m.

Bu düsturu faktorial formada yazırıq:

Nümunə 3. Beş ərizəçi üçün müxtəlif profilli sanatoriyaya üç vauçerin paylanması üçün neçə variant hazırlana bilər?

Həll. İstədiyiniz sayda seçim 5 elementin 3 elementin yerləşdirilməsinin sayına bərabərdir, yəni.

.

Kombinasiyalar.

Kombinasiyalar bütün mümkün birləşmələrdir m tərəfindən elementlər n, bir-birindən ən azı bir elementlə fərqlənən (burada m və n- natural ədədlər və n m).

-dən birləşmələrin sayı m tərəfindən elementlər n işarələnir ( FROM- fransız sözünün ilk hərfi birləşmə- birləşmə).

Ümumiyyətlə, sayı m tərəfindən elementlər n olan yerləşdirmələrin sayına bərabərdir m tərəfindən elementlər n-dən permutasiyaların sayına bölünür n elementlər:

Yerləşdirmə və dəyişdirmə nömrələri üçün faktorial düsturlardan istifadə edərək, əldə edirik:

Nümunə 4. 25 nəfərlik komandada müəyyən bir sahədə işləmək üçün dörd nəfəri ayırmaq lazımdır. Bunu neçə yolla etmək olar?

Həll. Seçilmiş dörd nəfərin sırası əhəmiyyət kəsb etmədiyi üçün bu, yollarla edilə bilər.

Birinci düsturla tapırıq

.

Bundan əlavə, problemləri həll edərkən birləşmələrin əsas xüsusiyyətlərini ifadə edən aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

(tərifinə görə və güman edilir);

.

1.2. Kombinator məsələlərin həlli

Tapşırıq 1. Fakültədə 16 fənn tədris olunur. Bazar ertəsi, cədvələ 3 fənni daxil etməlisiniz. Bunu neçə yolla etmək olar?

Həll. Hər biri 3 elementdən ibarət 16 elementin yerləşdirilməsi olduğu kimi, 16 elementdən üç elementi planlaşdırmağın bir çox yolu var.

Tapşırıq 2. 15 obyektdən 10 obyekt seçilməlidir. Bunu neçə yolla etmək olar?

Tapşırıq 3. Yarışda dörd komanda iştirak etdi. Onların arasında oturacaq bölgüsü üçün neçə variant mümkündür?

.

Məsələ 4. 80 əsgər və 3 zabit olarsa, üç əsgər və bir zabitdən ibarət patrul neçə yolla təşkil edilə bilər?

Həll. Patrulda olan əsgər seçilə bilər

yollar, zabit yolları. Hər hansı bir zabit hər bir əsgər komandası ilə gedə bildiyi üçün yalnız yollar var.

Tapşırıq 5. Məlum olub-olmadığını tapın.

ildən, biz alırıq

,

,

Kombinasiyanın tərifindən belə çıxır ki, . Bu. .

1.3. Təsadüfi hadisə anlayışı. Hadisə növləri. Hadisə ehtimalı

Müəyyən şərtlər toplusunda həyata keçirilən, bir neçə fərqli nəticəsi olan hər hansı hərəkət, hadisə, müşahidə adlanır. test.

Bu hərəkətin və ya müşahidənin nəticəsi deyilir hadisə .

Əgər verilmiş şəraitdə hadisə baş verə bilərsə və ya baş verə bilməzsə, o zaman çağırılır təsadüfi . Bir hadisənin mütləq baş verməli olduğu halda, o, çağırılır orijinal , və bu, şübhəsiz ki, baş verə bilməyəcəyi halda, - qeyri-mümkün.

Hadisələr adlanır uyğunsuz əgər hər dəfə onlardan yalnız biri görünə bilsə.

Hadisələr adlanır birgə əgər verilmiş şəraitdə bu hadisələrdən birinin baş verməsi digərinin eyni sınaqda baş verməsini istisna etmirsə.

Hadisələr adlanır əks , əgər sınaq şərtləri altında onlar onun yeganə nəticələri olmaqla, uyğun gəlmirsə.

Hadisələr adətən latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarələnir: A B C D, : .

A 1 , A 2 , A 3 , : , A n hadisələrinin tam sistemi, verilmiş sınaq üçün ən azı birinin baş verməsi məcburi olan uyğun olmayan hadisələr toplusudur.

Tam sistem iki uyğun olmayan hadisədən ibarətdirsə, belə hadisələr əks adlanır və A və ilə işarələnir.

Misal. Bir qutuda 30 nömrəli top var. Aşağıdakı hadisələrdən hansının qeyri-mümkün, qəti, əks olduğunu müəyyən edin:

nömrəli top aldı (AMMA);

cüt nömrəli top çəkin (AT);

tək nömrəli bir top çəkdi (FROM);

nömrəsiz bir top aldım (D).

Onlardan hansı tam qrup təşkil edir?

Həll . AMMA- müəyyən hadisə; D- qeyri-mümkün hadisə;

və FROM- əks hadisələr.

Hadisələrin tam qrupudur AMMA və D, V və FROM.

Hadisənin baş vermə ehtimalı təsadüfi hadisənin baş verməsinin obyektiv mümkünlüyünün ölçüsü kimi qəbul edilir.

1.4. Ehtimalın klassik tərifi

Hadisənin baş verməsinin obyektiv mümkünlüyünün ölçüsünün ifadəsi olan ədədə deyilir. ehtimal bu hadisə və simvolu ilə işarələnir P(A).

Tərif. Hadisənin baş vermə ehtimalı AMMA verilmiş hadisənin baş verməsini təmin edən nəticələrin sayının m nisbətidir AMMA, nömrəyə n bütün nəticələr (uyğun olmayan, unikal və eyni dərəcədə mümkün), yəni. .

Buna görə də, bir hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq üçün, testin müxtəlif nəticələrini nəzərdən keçirdikdən sonra, bütün mümkün uyğun olmayan nəticələri hesablamaq lazımdır. n, m bizi maraqlandıran nəticələrin sayını seçin və nisbəti hesablayın müçün n.

Bu tərifdən aşağıdakı xüsusiyyətlər gəlir:

Hər hansı bir sınaq ehtimalı birdən çox olmayan mənfi olmayan bir ədəddir.

Həqiqətən, arzu olunan hadisələrin sayı m daxilindədir. Hər iki hissənin bölünməsi n, alırıq

2. Müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalı birə bərabərdir, çünki .

3. Qeyri-mümkün hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır, çünki .

Məsələ 1. Lotereyada 1000 biletdən 200 qalib var. Bir bilet təsadüfi olaraq çəkilir. Bu biletin qazanma ehtimalı nədir?

Həll. Müxtəlif nəticələrin ümumi sayı n=1000. Uduşa üstünlük verən nəticələrin sayı m=200-dür. Formula görə alırıq

.

Tapşırıq 2. 18 hissədən ibarət partiyada 4 qüsurlu var. 5 ədəd təsadüfi seçilir. Bu 5 hissədən ikisinin qüsurlu olması ehtimalını tapın.

Həll. Bütün bərabər mümkün müstəqil nəticələrin sayı n 18-dən 5-ə qədər olan birləşmələrin sayına bərabərdir, yəni.

A hadisəsinə üstünlük verən m sayını hesablayaq. Təsadüfi seçilmiş 5 hissə arasında 3 yüksək keyfiyyətli və 2 qüsurlu hissə olmalıdır. Mövcud 4 qüsurlu hissədən iki qüsurlu hissəni seçmək yollarının sayı 4-dən 2-yə qədər olan birləşmələrin sayına bərabərdir:

14 mövcud keyfiyyətli hissədən üç keyfiyyətli hissəni seçmək yollarının sayı bərabərdir

.

Keyfiyyətli hissələrin hər hansı bir qrupu qüsurlu hissələrin hər hansı bir qrupu ilə birləşdirilə bilər, buna görə birləşmələrin ümumi sayı m edir

A hadisəsinin arzu olunan ehtimalı bu hadisəyə üstünlük verən nəticələrin sayının m-nin bərabər mümkün olan bütün müstəqil nəticələrin n sayına nisbətinə bərabərdir:

.

Sonlu sayda hadisələrin cəmi, onlardan ən azı birinin baş verməsindən ibarət hadisədir.

İki hadisənin cəmi A + B simvolu və cəmi ilə işarələnir n hadisələrin simvolu A 1 +A 2 + : +A n .

Ehtimalların toplanması teoremi.

Uyğun olmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. A 1 , А 2 , : , А n hadisəsi tam sistem təşkil edirsə, bu hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir.

Nəticə 2. Əks hadisələrin ehtimallarının cəmi və birə bərabərdir.

.

Məsələ 1. 100 lotereya bileti var. Məlumdur ki, 5 bilet 20 000 rubl, 10 - 15 000 rubl, 15 - 10 000 rubl, 25 - 2 000 rubl uduş qazanır. və qalanı üçün heç nə. Alınan biletin ən azı 10.000 rubl mükafat alması ehtimalını tapın.

Həll. A, B və C, alınan biletə 20.000, 15.000 və 10.000 rubla bərabər mükafatın düşməsindən ibarət hadisələr olsun. A, B və C hadisələri bir-birinə uyğun gəlmir, deməli

Tapşırıq 2. Aktivdir qiyabi texniki məktəbə riyaziyyatdan testlər şəhərlərdən gəlir A, B və FROM. Şəhərdən nəzarət işinin alınması ehtimalı AMMAşəhərdən 0,6-ya bərabərdir AT- 0,1. Növbəti ehtimalı tapın testşəhərdən gələcək FROM.

İki hadisə arasında əlaqənin ən sadə nümunəsi hadisələrdən birinin baş verməsi mütləq digərinin baş verməsinə səbəb olduqda və ya əksinə, birinin baş verməsi digərinin baş vermə ehtimalını istisna edən səbəb əlaqəsidir.

Bəzi hadisələrin digərlərindən asılılığını xarakterizə etmək üçün konsepsiya təqdim olunur şərti ehtimal.

Tərif. Qoy AMMA və AT- eyni testin iki təsadüfi hadisəsi. Sonra hadisənin şərti ehtimalı AMMA yaxud B hadisəsinin baş verməsi şərti ilə A hadisəsinin baş vermə ehtimalı ədəd adlanır.

Şərti ehtimalı ifadə edərək düsturu alırıq

, .

Tapşırıq 1. Bir oğlan uşağı olan ailədə ikinci oğlanın doğulması ehtimalını hesablayın.

Həll. Hadisə olsun AMMA ailədə iki oğlan olmasından və hadisədən ibarətdir AT- o bir oğlan.

Bütün mümkün nəticələri nəzərdən keçirin: oğlan və oğlan; oğlan və qız; qız və oğlan; qız və qız.

Sonra , və düsturla tapırıq

.

Hadisə AMMAçağırdı müstəqil tədbirdən AT hadisənin baş verməsi halında AT hadisənin baş vermə ehtimalına heç bir təsiri yoxdur AMMA.

Ehtimalların vurma teoremi

İki müstəqil hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

Ümumilikdə müstəqil olan bir neçə hadisənin baş vermə ehtimalı düsturla hesablanır

Məsələ 2. Birinci qabda 6 qara və 4 ağ top, ikinci qabda 5 qara və 7 ağ top var. Hər qabdan bir top çəkilir. Hər iki topun ağ olması ehtimalı nədir?

A və AT hadisə var AB. Nəticədə,

b) Əgər birinci element işləyirsə, onda hadisə baş verir (hadisənin əksi AMMA- bu elementin uğursuzluğu); ikinci element işləyirsə - hadisə AT. Hadisələrin ehtimallarını tapın və:

Sonra hər iki elementin işləyəcəyindən ibarət olan hadisədir və buna görə də,

“Ehtimal nəzəriyyəsi” anlayışı ilə qarşılaşan bir çoxları bunun hədsiz, çox mürəkkəb bir şey olduğunu düşünərək qorxurlar. Amma əslində hər şey o qədər də faciəli deyil. Bu gün ehtimal nəzəriyyəsinin əsas konsepsiyasını nəzərdən keçirəcəyik, konkret nümunələrdən istifadə edərək problemlərin həllini öyrənəcəyik.

Elm

Riyaziyyatın “ehtimal nəzəriyyəsi” kimi bir sahəsi nəyi öyrənir? O, nümunələri və böyüklükləri qeyd edir. Elm adamları ilk dəfə bu məsələ ilə hələ on səkkizinci əsrdə, qumar oyunlarını öyrənərkən maraqlandılar. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışı hadisədir. Bu, təcrübə və ya müşahidə ilə müəyyən edilən hər hansı bir faktdır. Bəs təcrübə nədir? Ehtimal nəzəriyyəsinin başqa bir əsas anlayışı. Bu o deməkdir ki, şəraitin bu tərkibi təsadüfi deyil, müəyyən bir məqsəd üçün yaradılmışdır. Müşahidəyə gəlincə, burada tədqiqatçı özü eksperimentdə iştirak etmir, sadəcə olaraq bu hadisələrin şahididir, baş verənlərə heç bir şəkildə təsir göstərmir.

İnkişaflar

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışının hadisə olduğunu öyrəndik, lakin təsnifatı nəzərə almadıq. Onların hamısı aşağıdakı kateqoriyalara aiddir:

• Etibarlı.
• Mümkün deyil.
• Təsadüfi.

Təcrübə zamanı nə cür hadisələr müşahidə olunarsa və ya yaransa da, hamısı bu təsnifata tabedir. Növlərin hər biri ilə ayrıca tanış olmağı təklif edirik.

Etibarlı Hadisə

Bu, lazımi tədbirlər toplusunun görüldüyü bir vəziyyətdir. Mahiyyəti daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misal vermək daha yaxşıdır. Fizika, kimya, iqtisadiyyat və ali riyaziyyat bu qanuna tabedir. Ehtimal nəzəriyyəsi müəyyən bir hadisə kimi vacib bir anlayışı ehtiva edir. Budur bəzi nümunələr:

• Biz işləyirik və əmək haqqı şəklində mükafat alırıq.
• İmtahanları yaxşı keçdik, müsabiqədən keçdik, bunun üçün qəbul şəklində mükafat alırıq. Təhsil müəssisəsi.
• Biz banka pul qoymuşuq, lazım gəlsə, geri alacağıq.

Bu cür hadisələr etibarlıdır. Əgər biz bütün lazımi şərtləri yerinə yetirmişiksə, o zaman gözlənilən nəticəni mütləq alacağıq.

Mümkün olmayan hadisələr

İndi ehtimal nəzəriyyəsinin elementlərini nəzərdən keçiririk. Növbəti növ hadisənin, yəni qeyri-mümkün olanın izahına keçməyi təklif edirik. Başlamaq üçün ən vacib qaydanı şərtləndirəcəyik - qeyri-mümkün bir hadisənin ehtimalı sıfırdır.

Problemləri həll edərkən bu formuladan kənara çıxmaq mümkün deyil. Aydınlaşdırmaq üçün belə hadisələrə nümunələr:

• Su artı on temperaturda dondu (bu mümkün deyil).
• Elektrik enerjisinin olmaması istehsala heç bir təsir göstərmir (əvvəlki nümunədə olduğu kimi qeyri-mümkündür).

Daha çox nümunələr verilməməlidir, çünki yuxarıda təsvir edilənlər bu kateqoriyanın mahiyyətini çox aydın şəkildə əks etdirir. Mümkün olmayan hadisə heç bir şəraitdə təcrübə zamanı heç vaxt baş verməyəcək.

təsadüfi hadisələr

Elementləri öyrənərkən bu xüsusi hadisə növünə xüsusi diqqət yetirilməlidir. Elmin öyrəndiyi budur. Təcrübə nəticəsində nəsə baş verə bilər, olmaya da bilər. Bundan əlavə, test qeyri-məhdud sayda təkrarlana bilər. Görkəmli nümunələr bunlardır:

• Sikkə atmaq bir təcrübə və ya sınaqdır, başlıq bir hadisədir.
• Torpağı kor-koranə torbadan çıxarmaq sınaqdır, qırmızı top tutulsa hadisədir və s.

Belə misalların sayı qeyri-məhdud ola bilər, lakin, ümumiyyətlə, mahiyyət aydın olmalıdır. Hadisələr haqqında əldə edilən bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək üçün cədvəl verilir. Ehtimal nəzəriyyəsi təqdim olunanların yalnız sonuncu növünü öyrənir.

başlıq	tərif
Etibarlı	Müəyyən şərtlərə uyğun olaraq 100% zəmanətlə baş verən hadisələr.	Qəbul imtahanından yaxşı keçməklə təhsil müəssisəsinə qəbul.
Mümkün deyil	Heç bir şəraitdə heç vaxt baş verməyəcək hadisələr.	Artı otuz dərəcə Selsi temperaturunda qar yağır.
Təsadüfi	Təcrübə/sınaq zamanı baş verə və ya olmaya bilən hadisə.	Bir basketbol topunu halqaya atarkən vurun və ya qaçırın.

Qanunlar

Ehtimal nəzəriyyəsi bir hadisənin baş vermə ehtimalını öyrənən bir elmdir. Digərləri kimi, onun da bəzi qaydaları var. Ehtimal nəzəriyyəsinin aşağıdakı qanunları var:

• Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığının yaxınlaşması.
• Böyük ədədlər qanunu.

Kompleksin mümkünlüyünü hesablayarkən, nəticəni daha asan və daha sürətli şəkildə əldə etmək üçün sadə hadisələr kompleksindən istifadə edilə bilər. Qeyd edək ki, ehtimal nəzəriyyəsinin qanunları bəzi teoremlərin köməyi ilə asanlıqla isbat olunur. Birinci qanundan başlayaq.

Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığının yaxınlaşması

Qeyd edək ki, konvergensiyanın bir neçə növü var:

• Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığı ehtimalla yaxınlaşır.
• Demək olar ki, mümkün deyil.
• RMS yaxınlaşması.
• Paylanma Konvergensiyası.

Beləliklə, tez bir zamanda bunun dibinə varmaq çox çətindir. Bu mövzunu başa düşməyinizə kömək edəcək bəzi təriflər var. İlk baxışdan başlayaq. Ardıcıllıq deyilir ehtimalla konvergent, aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə: n sonsuzluğa meyllidir, ardıcıllığın meyl etdiyi ədəd sıfırdan böyük və birinə yaxındır.

Gəlin növbəti birinə keçək, demək olar ki, mütləq. Ardıcıllığın birləşdiyi deyilir demək olar ki, mütləq n sonsuzluğa, P isə birliyə yaxın dəyərə meylli təsadüfi dəyişənə.

Növbəti növdür RMS yaxınlaşması. SC-konvergensiyasından istifadə edərkən vektor təsadüfi proseslərin tədqiqi onların koordinat təsadüfi proseslərinin öyrənilməsinə qədər azaldılır.

Sonuncu növ qalır, problemlərin həllinə birbaşa keçmək üçün onu qısaca təhlil edək. Dağıtım konvergensiyasının başqa adı var - "zəif", bunun səbəbini aşağıda izah edəcəyik. Zəif konvergensiya məhdudlaşdırıcı paylama funksiyasının davamlılığının bütün nöqtələrində paylanma funksiyalarının yaxınlaşmasıdır.

Biz sözümüzü mütləq yerinə yetirəcəyik: zəif konvergensiya yuxarıda göstərilənlərin hamısından bununla fərqlənir təsadüfi dəyər ehtimal fəzasında müəyyən edilmir. Bu mümkündür, çünki şərt yalnız paylama funksiyalarından istifadə etməklə formalaşır.

Böyük ədədlər qanunu

Bu qanunu sübut etməkdə əla köməkçilər ehtimal nəzəriyyəsinin teoremləri olacaq, məsələn:

• Çebışev bərabərsizliyi.
• Çebışev teoremi.
• Ümumiləşdirilmiş Çebışev teoremi.
• Markovun teoremi.

Bütün bu teoremləri nəzərə alsaq, bu sual bir neçə onlarla vərəq üçün uzana bilər. Bizim əsas vəzifəmiz ehtimal nəzəriyyəsini praktikada tətbiq etməkdir. Sizi indi bunu etməyə dəvət edirik. Amma bundan əvvəl ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomlarını nəzərdən keçirək, onlar məsələlərin həllində əsas köməkçilər olacaqlar.

Aksiomalar

Mümkün olmayan hadisədən danışanda birincisi ilə artıq qarşılaşdıq. Xatırlayaq: mümkün olmayan bir hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır. Çox parlaq və yaddaqalan bir nümunə verdik: qar otuz dərəcə Selsi temperaturunda yağdı.

İkincisi belədir: müəyyən bir hadisənin ehtimalı 1-ə bərabərdir. İndi riyazi dildən istifadə edərək onu necə yazmağı göstərək: P(B)=1.

Üçüncüsü: Təsadüfi hadisə baş verə bilər və ya olmaya da bilər, lakin ehtimal həmişə sıfırdan birə qədər dəyişir. Dəyər birinə nə qədər yaxın olarsa, şans da bir o qədər çox olar; dəyər sıfıra yaxınlaşarsa, ehtimal çox aşağıdır. Riyazi dildə yazaq: 0<Р(С)<1.

Bu kimi səslənən sonuncu, dördüncü aksioma nəzər salaq: iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir. Riyazi dildə yazırıq: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomları yadda saxlamaq asan olan ən sadə qaydalardır. Artıq əldə edilmiş biliklərə əsaslanaraq bəzi problemləri həll etməyə çalışaq.

Lotereya bileti

Başlamaq üçün ən sadə nümunəni - lotereyanı nəzərdən keçirək. Təsəvvür edin ki, uğurlar üçün bir lotereya bileti almısınız. Ən azı iyirmi rubl qazanmağınız ehtimalı nədir? Ümumilikdə tirajda min bilet iştirak edir, onlardan biri beş yüz rubl, on yüz rubl, əlli iyirmi rubl və yüz beş rubl mükafata malikdir. Ehtimal nəzəriyyəsindəki problemlər şansın mümkünlüyünü tapmağa əsaslanır. Yuxarıdakı problemin həllinə birlikdə nəzər salaq.

Əgər A hərfi ilə beş yüz rubl uduşu qeyd etsək, onda A alma ehtimalı 0,001 olacaqdır. Necə əldə etdik? Sadəcə "xoşbəxt" biletlərin sayını onların ümumi sayına bölmək lazımdır (bu halda: 1/1000).

B yüz rubl uduşdur, ehtimal 0,01-ə bərabər olacaqdır. İndi əvvəlki hərəkətdə olduğu kimi eyni prinsiplə hərəkət etdik (10/1000)

C - uduşlar iyirmi rubla bərabərdir. Ehtimal tapırıq, 0,05-ə bərabərdir.

Qalan biletlər bizim üçün maraqlı deyil, çünki onların mükafat fondu şərtdə göstəriləndən azdır. Dördüncü aksioma tətbiq edək: Ən azı iyirmi rubl udmaq ehtimalı P(A)+P(B)+P(C). P hərfi bu hadisənin baş vermə ehtimalını bildirir, biz onları əvvəlki addımlarda artıq tapmışıq. Yalnız lazımi məlumatları əlavə etmək qalır, cavabda 0,061 alırıq. Bu nömrə tapşırığın sualına cavab olacaq.

kart göyərtəsi

Ehtimal nəzəriyyəsindəki problemlər də daha mürəkkəbdir, məsələn, aşağıdakı tapşırığı götürün. Sizdən əvvəl otuz altı kartdan ibarət bir göyərtə var. Tapşırıq yığını qarışdırmadan ard-arda iki kartı çəkməkdir, birinci və ikinci kartlar as olmalıdır, kostyumun əhəmiyyəti yoxdur.

Başlamaq üçün ilk kartın ace olma ehtimalını tapırıq, bunun üçün dördü otuz altıya bölürük. Bir kənara qoydular. İkinci kartı çıxarırıq, bu, üç otuz beşdə bir ehtimalı olan bir ace olacaq. İkinci hadisənin baş vermə ehtimalı ilk olaraq hansı kartı çəkdiyimizdən asılıdır, bizi bunun as olub-olmaması maraqlandırır. Buradan belə çıxır ki, B hadisəsi A hadisəsindən asılıdır.

Növbəti addım eyni vaxtda həyata keçirilmə ehtimalını tapmaqdır, yəni biz A və B-ni çoxaldırıq. Onların məhsulu aşağıdakı kimi tapılır: bir hadisənin ehtimalını digərinin şərti ehtimalına vururuq, hesablayırıq ki, birinci hadisə baş verdi, yəni birinci kartla ace çəkdik.

Hər şeyi aydınlaşdırmaq üçün hadisələr kimi bir elementə bir təyinat verək. A hadisəsinin baş verdiyini fərz etməklə hesablanır. Aşağıdakı kimi hesablanır: P(B/A).

Problemimizin həllinə davam edək: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) və ya P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Ehtimal (4/36) * ((3/35)/(4/36). Yüzdə bir qədər yuvarlaqlaşdırmaqla hesablayın. Bizdə: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Ehtimal ki, biz ard-arda iki as çəkəcək doqquz yüzdəbir. Qiymət çox kiçikdir, bundan belə nəticə çıxır ki, hadisənin baş vermə ehtimalı çox kiçikdir.

Unudulmuş nömrə

Ehtimal nəzəriyyəsi ilə öyrənilən tapşırıqlar üçün daha bir neçə variantı təhlil etməyi təklif edirik. Bu məqalədə onlardan bəzilərinin həlli nümunələrini artıq görmüsünüz, gəlin aşağıdakı problemi həll etməyə çalışaq: oğlan dostunun telefon nömrəsinin son rəqəmini unutdu, lakin zəng çox vacib olduğundan hər şeyi növbə ilə yığmağa başladı. Onun üç dəfədən çox olmayan zəng etmə ehtimalını hesablamalıyıq. Ehtimal nəzəriyyəsinin qaydaları, qanunları və aksiomları məlum olduqda məsələnin həlli ən sadədir.

Həll yoluna baxmazdan əvvəl, özünüz həll etməyə çalışın. Son rəqəmin sıfırdan doqquza qədər ola biləcəyini bilirik, yəni cəmi on dəyər var. Doğru olanı əldə etmək ehtimalı 1/10-dur.

Sonra, hadisənin mənşəyi ilə bağlı variantları nəzərdən keçirməliyik, düşünək ki, oğlan düzgün təxmin etdi və dərhal düzgün vurdu, belə bir hadisənin ehtimalı 1/10-dur. İkinci seçim: birinci zəng buraxılmış, ikincisi isə hədəfdədir. Belə bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayırıq: 9/10-u 1/9-a vurun, nəticədə biz də 1/10 alırıq. Üçüncü seçim: birinci və ikinci zənglər səhv ünvanda oldu, yalnız üçüncüdən oğlan istədiyi yerə çatdı. Belə bir hadisənin ehtimalını hesablayırıq: 9/10-u 8/9-a və 1/8-ə vururuq, nəticədə 1/10 alırıq. Problemin vəziyyətinə görə, başqa variantlar bizi maraqlandırmır, ona görə də nəticələri toplamaq bizə qalır, nəticədə 3/10-a sahibik. Cavab: Oğlanın üç dəfədən artıq zəng etməməsi ehtimalı 0,3-dür.

Rəqəmləri olan kartlar

Qarşınızda doqquz kart var, hər birində birdən doqquza qədər rəqəmlər var, nömrələr təkrarlanmır. Onlar bir qutuya qoyuldu və hərtərəfli qarışdırıldı. Bunun ehtimalını hesablamaq lazımdır

• cüt rəqəm çıxacaq;
• ikirəqəmli.

Həll yoluna keçməzdən əvvəl şərt edək ki, m uğurlu halların sayı, n isə variantların ümumi sayıdır. Ədədin cüt olma ehtimalını tapın. Dörd cüt ədədin olduğunu hesablamaq çətin olmayacaq, bu bizim m olacaq, cəmi doqquz variant var, yəni m = 9. Onda ehtimal 0.44 və ya 4/9-dur.

İkinci halı nəzərdən keçiririk: variantların sayı doqquzdur və heç bir uğurlu nəticə ümumiyyətlə ola bilməz, yəni m sıfıra bərabərdir. Çəkilmiş kartın ikirəqəmli nömrənin olması ehtimalı da sıfırdır.

Ehtimalın klassik tərifi konsepsiyaya əsaslanır ehtimal təcrübəsi, və ya ehtimal eksperimenti. Onun nəticəsi adlanan bir neçə mümkün nəticələrdən biridir elementar nəticələr, və ehtimal eksperimentinin təkrarlanması zamanı hər hansı elementar nəticənin digərlərindən daha tez-tez görünəcəyini gözləmək üçün heç bir səbəb yoxdur. Məsələn, zər (zar) atmaq üzrə ehtimal təcrübəsinə nəzər salaq. Bu təcrübənin nəticəsi zərblərin üzlərində çəkilmiş 6 xaldan birinin itirilməsidir.

Beləliklə, bu təcrübədə 6 elementar nəticə var:

və onların hər biri eyni dərəcədə gözlənilir.

hadisə klassik ehtimal eksperimentində elementar nəticələr toplusunun ixtiyari alt çoxluğudur. Zər atmağın nəzərdən keçirilən nümunəsində hadisə, məsələn, elementar nəticələrdən ibarət cüt sayda xal itkisidir.

Hadisənin baş vermə ehtimalı ədəddir:

hadisəni təşkil edən elementar nəticələrin sayı haradadır (bəzən deyirlər ki, bu, hadisənin görünüşünə üstünlük verən elementar nəticələrin sayıdır) və bütün elementar nəticələrin sayıdır.

Bizim nümunəmizdə:

Kombinatorikanın elementləri.

Bir çox ehtimal təcrübələrini təsvir edərkən elementar nəticələr kombinatorikanın aşağıdakı obyektlərindən biri ilə müəyyən edilə bilər (sonlu çoxluqlar elmi).

dəyişdirməədədlərdən təkrarlanmadan bu ədədlərin ixtiyari sıralanmış qeydi adlanır. Məsələn, üç ədəddən ibarət dəst üçün 6 fərqli permutasiya var:

, , , , , .

Bir ixtiyari sayda permutasiya üçün

(1-dən başlayaraq natural sıraların ardıcıl ədədlərinin hasili).

birləşməsiçoxluğun hər hansı elementlərinin ixtiyari nizamsız çoxluğudur. Məsələn, üç ədəddən ibarət dəst üçün 3-dən 2-yə qədər 3 müxtəlif kombinasiya mövcuddur:

İxtiyari bir cüt üçün , , by birləşmələrinin sayıdır

Misal üçün,

Hipergeometrik paylanma.

Aşağıdakı ehtimal eksperimentinə nəzər salın. Ağ və qara toplardan ibarət qara qutu var. Toplar eyni ölçüdədir və toxunma ilə fərqlənmir. Təcrübə ondan ibarətdir ki, biz təsadüfi olaraq topları çıxarırıq. Bu topların ağ, qalanlarının isə qara olması ehtimalı tapılan hadisədir.

Bütün topları 1-dən -ə qədər rəqəmlərlə nömrələyin. 1, ¼ rəqəmləri ağ toplara, ¼ rəqəmləri isə qara toplara uyğun olsun. Bu təcrübədə elementar nəticə çoxluğun nizamsız elementlər toplusudur, yəni - ilə birləşməsidir. Beləliklə, bütün elementar nəticələr var.

Hadisənin görünüşünə üstünlük verən elementar nəticələrin sayını tapaq. Müvafiq dəstlər "ağ" və "qara" nömrələrdən ibarətdir. Siz “ağ” nömrələrdən nömrələri, “qara” nömrələrdən nömrələri isə ¾ üsulla seçə bilərsiniz. Ağ və qara dəstlər özbaşına birləşdirilə bilər, buna görə də hadisəyə üstünlük verən yalnız elementar nəticələr var.

Hadisənin baş vermə ehtimalı

Alınan düstur hiperhəndəsi paylanma adlanır.

Problem 5.1. Qutuda eyni tipli 55 standart və 6 qüsurlu hissə var. Təsadüfi seçilmiş üç hissədən ən azı birinin qüsurlu olması ehtimalı nədir?

Həll. Cəmi 61 hissə var, biz 3-ü götürürük. Elementar nəticə 61-in 3-ün birləşməsidir. Bütün elementar nəticələrin sayı . Əlverişli nəticələr üç qrupa bölünür: 1) bunlar 1 hissəsinin qüsurlu, 2-nin yaxşı olduğu nəticələrdir; 2) 2 hissə qüsurlu, 1-i isə yaxşıdır; 3) hər 3 hissə nasazdır. Birinci növ dəstlərin sayı bərabərdir, ikinci növ dəstlərin sayı bərabərdir, üçüncü növ dəstlərin sayı bərabərdir. Buna görə də, hadisənin baş verməsi elementar nəticələrə üstünlük verir. Hadisənin baş vermə ehtimalı

Hadisələrin cəbri

Elementar hadisələrin məkanı verilmiş təcrübə ilə bağlı bütün elementar nəticələrin məcmusudur.

məbləğ iki hadisədən ibarət olan hadisəyə və ya hadisəyə aid elementar nəticələrdən ibarət hadisə adlanır.

iş iki hadisə hadisələrə eyni vaxtda aid olan elementar nəticələrdən ibarət hadisə adlanır və .

Hadisələr və əgər uyğunsuz adlanır.

Tədbir adlanır əks hadisə , əgər hadisə hadisəyə aid olmayan bütün elementar nəticələr tərəfindən bəyənilirsə . Xüsusilə, , .

Cəm haqqında TEOREM.

Xüsusilə, .

Şərti Ehtimal hadisənin baş verməsi şərtilə, kəsişməyə aid elementar nəticələrin sayının -ə aid elementar nəticələrin sayına nisbəti deyilir. Başqa sözlə desək, hadisənin şərti ehtimalı klassik ehtimal düsturu ilə müəyyən edilir, burada yeni ehtimal fəzası . Hadisənin şərti ehtimalı ilə işarələnir.

Məhsul haqqında TEOREM. .

Hadisələr adlanır müstəqil, əgər. Müstəqil hadisələr üçün məhsul teoremi əlaqəni verir.

Cəm və məhsul teoremlərinin nəticəsi aşağıdakı iki düsturdur.

Ümumi Ehtimal Formulu. Tam bir fərziyyə qrupu bütün ehtimal fəzasının komponentlərinin cəmində uyğun olmayan hadisələrin ixtiyari toplusudur , ¼, ,:

Bu vəziyyətdə, ixtiyari bir hadisə üçün ümumi ehtimal düsturu adlanan düstur etibarlıdır,

Laplas funksiyası haradadır, , . Laplas funksiyası cədvəl şəklində verilmişdir və onun müəyyən bir dəyər üçün dəyərləri ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika üzrə istənilən dərslikdə tapıla bilər.

Problem 5.3. Məlumdur ki, hissələrin böyük partiyasında qüsurlu olanların 11% -i var. Doğrulama üçün 100 hissə seçilir. Onların arasında ən çox 14 qüsurlu olma ehtimalı nədir? Moivre-Laplas teoremindən istifadə edərək cavabı qiymətləndirin.

Həll. Biz Bernoulli testi ilə məşğul oluruq, burada , , . Qüsurlu hissənin tapılması uğur sayılır və müvəffəqiyyətlərin sayı bərabərsizliyi təmin edir. Nəticədə,

Birbaşa hesablama verir:

, , , , , , , , , , , , , , .

Nəticədə, . İndi Moivre-Laplas inteqral teoremini tətbiq edirik. Biz əldə edirik:

Funksiya qiymətlərinin cədvəlindən istifadə edərək, funksiyanın qəribəliyini nəzərə alaraq əldə edirik

Təxmini hesablama xətası aşmır.

təsadüfi dəyişənlər

Təsadüfi dəyişən elementar nəticələrin funksiyası olan ehtimal təcrübəsinin ədədi xarakteristikasıdır. Əgər , , ¼ elementar nəticələr toplusudursa, onda təsadüfi dəyişən -in funksiyasıdır. Bununla belə, təsadüfi dəyişəni onun bütün mümkün dəyərlərini və bu dəyəri qəbul etdiyi ehtimalları sadalamaqla xarakterizə etmək daha rahatdır.

Belə cədvəl təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu adlanır. Hadisələr tam qrup təşkil etdiyinə görə, ehtimal normasına uyğunlaşma qanunu qüvvədədir

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi və ya orta dəyəri, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin müvafiq ehtimallarla hasillərinin cəminə bərabər olan bir ədəddir.

Təsadüfi dəyişənin variasiyası (riyazi gözlənti ətrafında dəyərlərin yayılma dərəcəsi) təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisidir,

Bunu göstərmək olar

Dəyər

təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşması adlanır.

Təsadüfi dəyişən üçün paylama funksiyası çoxluğa düşmə ehtimalıdır, yəni.

Bu, 0-dan 1-ə qədər dəyərlər qəbul edən qeyri-mənfi, azalmayan funksiyadır. Sonlu dəyərlər dəstinə malik olan təsadüfi dəyişən üçün vəziyyət nöqtələrində ikinci növ kəsikləri olan hissə-hissə sabit funksiyadır. Üstəlik, solda davamlıdır və .

Problem 5.4.İki zar ardıcıl olaraq atılır. Bir zarda bir, üç və ya beş xal düşərsə, oyunçu 5 rubl itirir. İki və ya dörd xal düşərsə, oyunçu 7 rubl alır. Altı xal düşərsə, oyunçu 12 rubl itirir. Təsadüfi dəyər x zarın iki atışı üçün oyunçunun qazancıdır. Paylanma qanununu tapın x, paylanma funksiyasının qrafikini tərtib edin, riyazi gözlənti və dispersiyanı tapın x.

Həll. Gəlin əvvəlcə zarın bir rulonu bərabər olduqda oyunçunun qazancının nə olduğunu nəzərdən keçirək. Hadisə belə olsun ki, 1, 3 və ya 5 xal düşdü. Sonra uduşlar Rs olacaq. Hadisə o olsun ki, 2 və ya 4 xal düşdü. Sonra uduşlar Rs olacaq. Nəhayət, hadisə 6 balın yuvarlanması deməkdir. Sonra qazanc Rs-ə bərabərdir.

İndi hadisələrin bütün mümkün birləşmələrini və iki zərb atışını nəzərdən keçirin və hər bir belə birləşmə üçün qazanc dəyərlərini müəyyənləşdirin.

Əgər hadisə baş verirsə, o zaman , eyni zamanda .

Əgər hadisə baş verirsə, o zaman , eyni zamanda .

Eynilə, üçün , əldə edirik.

Bütün tapılmış vəziyyətlər və bu vəziyyətlərin ümumi ehtimalları cədvəldə yazılır:

Ehtimal normallaşdırma qanununun yerinə yetirilməsini yoxlayırıq: real xəttdə təsadüfi dəyişənin bu intervala düşmə ehtimalını təyin edə bilməlisiniz 1) və sürətlə azalan, ¼,

Proqramçılar üçün Riyaziyyat: Ehtimal nəzəriyyəsi

İvan Kamışan

Bəzi proqramçılar adi kommersiya proqramlarının hazırlanmasında işlədikdən sonra maşın öyrənməsini mənimsəmək və məlumat analitiki olmaq haqqında düşünürlər. Çox vaxt onlar müəyyən metodların nə üçün işlədiyini başa düşmürlər və maşın öyrənmə üsullarının əksəriyyəti sehrli görünür. Əslində, maşın öyrənməsi riyazi statistikaya əsaslanır və bu da öz növbəsində ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanır. Ona görə də bu yazıda ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarına diqqət yetirəcəyik: ehtimalın, paylanmanın təriflərinə toxunacaq və bir neçə sadə nümunəni təhlil edəcəyik.

Ehtimal nəzəriyyəsinin şərti olaraq 2 hissəyə bölündüyünü bilə bilərsiniz. Diskret ehtimal nəzəriyyəsi sonlu (və ya hesablana bilən) sayda mümkün davranışlarla (zarların, sikkələrin atılması) paylanma ilə təsvir edilə bilən hadisələri öyrənir. Davamlı ehtimal nəzəriyyəsi bəzi sıx çoxluqda, məsələn, seqmentdə və ya dairədə paylanmış hadisələri öyrənir.

Ehtimal nəzəriyyəsi mövzusunu sadə bir misalla nəzərdən keçirmək olar. Özünüzü atıcı inkişaf etdiricisi kimi təsəvvür edin. Bu janrda oyunların inkişafının tərkib hissəsi atıcılıq mexanikasıdır. Aydındır ki, bütün silahların tamamilə dəqiq atdığı bir atıcı oyunçular üçün az maraq doğurur. Buna görə də silaha yayılma əlavə etmək lazımdır. Ancaq sadəcə olaraq təsadüfi silah vuruş nöqtələri incə tənzimləməyə imkan verməyəcək, ona görə də oyun balansını tənzimləmək çətin olacaq. Eyni zamanda, təsadüfi dəyişənlərdən və onların paylanmasından istifadə edərək, silahın verilmiş yayılma ilə necə işləyəcəyini təhlil edə və lazımi düzəlişləri etməyə kömək edə bilərsiniz.

Elementar nəticələrin məkanı

Tutaq ki, bir neçə dəfə təkrarlaya biləcəyimiz bəzi təsadüfi təcrübədən (məsələn, sikkə atmaq) bəzi rəsmiləşdirilə bilən məlumatları (başlar və ya quyruqlar) çıxara bilərik. Bu məlumat elementar nəticə adlanır və çox vaxt Ω (Omega) hərfi ilə işarələnən bütün elementar nəticələr toplusunu nəzərdən keçirmək faydalıdır.

Bu məkanın strukturu tamamilə eksperimentin xarakterindən asılıdır. Məsələn, kifayət qədər böyük dairəvi hədəfə atəş açmağı düşünsək, elementar nəticələrin məkanı rahatlıq üçün mərkəz sıfıra yerləşdirilən bir dairə olacaq və nəticə bu dairədə bir nöqtə olacaqdır.

Bundan əlavə, onlar elementar nəticələr toplusunu - hadisələri nəzərdən keçirirlər (məsələn, "ilk onluğa" vurmaq hədəflə kiçik radiuslu konsentrik dairədir). Diskret vəziyyətdə, hər şey olduqca sadədir: biz sonlu vaxtda elementar nəticələr daxil olmaqla və ya istisna olmaqla istənilən hadisəni əldə edə bilərik. Davamlı vəziyyətdə isə hər şey daha mürəkkəbdir: bizə əlavə edilə, çıxıla, bölünə və vurula bilən sadə real ədədlərə bənzətməklə cəbr adlanan kifayət qədər yaxşı dəstlər ailəsinə ehtiyacımız var. Cəbrdə çoxluqlar kəsilə və birləşdirilə bilər və əməliyyatın nəticəsi cəbrdə olacaqdır. Bu, bütün bu anlayışların arxasında duran riyaziyyat üçün çox vacib bir xüsusiyyətdir. Minimal ailə yalnız iki dəstdən ibarətdir - boş dəst və elementar nəticələr məkanı.

Ölçü və Ehtimal

Ehtimal çox mürəkkəb obyektlərin necə işlədiyini anlamadan onların davranışı haqqında nəticə çıxarmaq üsuludur. Beləliklə, ehtimal bir sıra qaytaran bir hadisənin (çox yaxşı dəstlər ailəsindən) funksiyası kimi müəyyən edilir - belə bir hadisənin reallıqda nə qədər tez-tez baş verə biləcəyini göstərən bəzi xüsusiyyətlər. Dəqiqlik üçün riyaziyyatçılar bu rəqəmin sıfırla bir arasında olması ilə razılaşdılar. Bundan əlavə, bu funksiyaya tələblər qoyulur: qeyri-mümkün hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır, bütün nəticələr toplusunun ehtimalı vəhdətdir və iki müstəqil hadisənin (ayrı-ayrı çoxluqların) birləşməsi ehtimalı ehtimalların cəminə bərabərdir. . Ehtimalın başqa bir adı ehtimal ölçüsüdür. Uzunluq, sahə, həcm anlayışlarını istənilən ölçülərə (n-ölçülü həcm) ümumiləşdirən və buna görə də geniş dəstlər sinfinə şamil edilən ən çox istifadə edilən Lebesq ölçüsü.

Birlikdə elementar nəticələr dəsti, çoxluq ailəsi və ehtimal ölçüsü adlanır. ehtimal sahəsi. Hədəf atış nümunəsi üçün ehtimal sahəsini necə qura biləcəyimizə baxaq.

Qaçırılması mümkün olmayan R radiuslu böyük dairəvi hədəfə atəş etməyi düşünün. Elementar hadisələr toplusu olaraq, R radiusunun koordinatlarının başlanğıcında mərkəzləşdirilmiş bir dairə qoyuruq. Hadisənin baş vermə ehtimalını təsvir etmək üçün ərazidən (iki ölçülü çoxluqlar üçün Lebesq ölçüsü) istifadə edəcəyimiz üçün, ölçülə bilən (bu ölçünün mövcud olduğu) çoxluq ailəsindən istifadə edəcəyik.

Qeyd Əslində bu texniki məqamdır və sadə məsələlərdə ölçü və dəstlər ailəsinin müəyyən edilməsi prosesi xüsusi rol oynamır. Ancaq bu iki obyektin mövcud olduğunu başa düşmək lazımdır, çünki ehtimal nəzəriyyəsinə dair bir çox kitabda teoremlər bu sözlərlə başlayır: “ Qoy (Ω,Σ,P) ehtimal fəzası olsun...».

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, elementar nəticələrin bütün məkanının ehtimalı birə bərabər olmalıdır. Məktəbdən məlum olan düstura görə dairənin sahəsi (iki ölçülü Lebesq ölçüsü, onu λ 2 (A) ilə işarələyəcəyik, burada A hadisədir) π * R 2-dir. Onda biz P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) ehtimalını təqdim edə bilərik və bu dəyər hər hansı A hadisəsi üçün artıq 0 ilə 1 arasında olacaq.

Hədəfin hər hansı bir nöqtəsini vurmağın eyni dərəcədə ehtimal olunduğunu fərz etsək, hədəfin hansısa sahəsində atıcının vurma ehtimalının axtarışı bu dəstin sahəsini tapmaq üçün azalır (buna görə də belə nəticəyə gələ bilərik ki, müəyyən bir nöqtəyə dəymə ehtimalı sıfırdır, çünki nöqtənin sahəsi sıfırdır).

Məsələn, atıcının "onluğu" vurma ehtimalının nə qədər olduğunu bilmək istəyirik (A hadisəsi - atıcı düzgün seti vurdu). Bizim modelimizdə "on" mərkəzi sıfırda olan və r radiusu olan dairə ilə təmsil olunur. Onda bu çevrəyə düşmə ehtimalı P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 olur.

Bu, "həndəsi ehtimal" problemlərinin ən sadə növlərindən biridir - bu problemlərin əksəriyyəti sahə tapmağı tələb edir.

təsadüfi dəyişənlər

Təsadüfi dəyişən elementar nəticələri həqiqi ədədlərə çevirən funksiyadır. Məsələn, nəzərdən keçirilən problemdə biz təsadüfi dəyişən ρ(ω) təqdim edə bilərik - təsir nöqtəsindən hədəfin mərkəzinə qədər olan məsafə. Modelimizin sadəliyi elementar nəticələrin fəzasını açıq şəkildə təyin etməyə imkan verir: Ω = (ω = (x,y) ədədlər ki, x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Onda təsadüfi dəyişən ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Ehtimal fəzasından abstraksiya vasitələri. Paylanma funksiyası və sıxlığı

Kosmosun quruluşu yaxşı bilinəndə yaxşıdır, amma əslində bu həmişə belə olmur. Kosmosun quruluşu məlum olsa belə, mürəkkəb ola bilər. Təsadüfi dəyişənləri təsvir etmək üçün onların ifadəsi məlum deyilsə, paylanma funksiyası anlayışı mövcuddur ki, bu da F ξ (x) = P(ξ) ilə işarələnir.< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Paylanma funksiyası bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir:

1. Birincisi, 0 ilə 1 arasındadır.
2. İkincisi, onun arqumenti x artdıqda azalmır.
3. Üçüncüsü, -x ədədi çox böyük olduqda, paylanma funksiyası 0-a, x-in özü böyük olduqda, paylanma funksiyası 1-ə yaxın olur.

Yəqin ki, bu konstruksiyanın mənası birinci oxunuşda o qədər də aydın deyil. Faydalı xüsusiyyətlərdən biri - paylama funksiyası dəyərin intervaldan qiymət alma ehtimalını axtarmağa imkan verir. Beləliklə, P (təsadüfi dəyişən ξ intervaldan qiymətlər alır ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Bu bərabərliyə əsaslanaraq, intervalın a və b sərhədləri yaxın olarsa, bu dəyərin necə dəyişdiyini araşdıra bilərik.

Qoy d = b-a , onda b = a+d . Və buna görə də F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . d-nin kiçik dəyərləri üçün yuxarıdakı fərq də azdır (paylanma davamlı olarsa). p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d münasibətini nəzərə almaq məntiqlidir. Əgər d-nin kifayət qədər kiçik qiymətləri üçün bu nisbət d-dən asılı olmayan bəzi sabit p ξ (a) dan az fərqlənirsə, bu zaman təsadüfi dəyişən p ξ (a) sıxlığına bərabərdir.

Qeyd Əvvəllər törəmə anlayışı ilə qarşılaşmış oxucular a nöqtəsində p ξ (a) F ξ (x) funksiyasının törəməsi olduğunu görə bilərlər. Hər halda, Mathprofi saytında bu mövzuya həsr olunmuş məqalədə törəmə anlayışını öyrənə bilərsiniz.

İndi paylama funksiyasının mənası aşağıdakı kimi müəyyən edilə bilər: onun törəməsi (yuxarıda müəyyən etdiyimiz p ξ sıxlığı) a nöqtəsində təsadüfi dəyişənin a nöqtəsində mərkəzləşmiş kiçik bir intervala nə qədər tez düşəcəyini təsvir edir (a nöqtəsinin qonşuluğu) digər nöqtələrin məhəllələri ilə müqayisədə . Başqa sözlə, paylama funksiyası nə qədər sürətlə böyüyərsə, təsadüfi təcrübədə belə bir dəyərin görünmə ehtimalı bir o qədər yüksəkdir.

Nümunəyə qayıdaq. Təsadüfi dəyişən üçün paylama funksiyasını hesablaya bilərik, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2, mərkəzdən hədəfə təsadüfi vurulan nöqtəyə qədər olan məsafəni ifadə edir. Tərifinə görə, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Bu təsadüfi dəyişənin p ρ sıxlığını tapa bilərik. Dərhal qeyd edirik ki, intervaldan kənarda sıfırdır, çünki bu interval üzrə paylanma funksiyası dəyişməzdir. Bu intervalın sonunda sıxlıq müəyyən edilmir. İnterval daxilində onu törəmələr cədvəlindən (məsələn, Mathprofi saytından) və elementar fərqləndirmə qaydalarından istifadə etməklə tapmaq olar. t 2 /R 2 törəməsi 2t/R 2-dir. Bu o deməkdir ki, biz real ədədlərin bütün oxunda sıxlığı tapdıq.

Sıxlığın başqa bir faydalı xüsusiyyəti, funksiyanın intervaldan qiymət almasının bu interval üzərində sıxlığın inteqralından istifadə etməklə hesablanması ehtimalıdır (bunun nə olduğunu Mathprofi saytındakı düzgün, qeyri-müəyyən, qeyri-müəyyən inteqrallar haqqında məqalələrdən öyrənə bilərsiniz) ).

Birinci oxunuşda f(x) funksiyasının aralıq inteqralı əyrixətti trapezoidin sahəsi kimi düşünülə bilər. Onun tərəfləri Ox oxunun bir parçası, boşluq (üfüqi koordinat oxunun), əyrinin (a,f(a)), (b,f(b)) nöqtələrini (a,) nöqtələri ilə birləşdirən şaquli seqmentlərdir. 0), (b,0 ) x oxunda. Son tərəf f funksiyasının (a,f(a)) -dan (b,f(b)) -ə qədər olan qrafikinin fraqmentidir. Kifayət qədər böyük mənfi qiymətlər üçün a intervalında inteqralın qiyməti a ədədinin dəyişməsi ilə müqayisədə əhəmiyyətsiz dərəcədə kiçik dəyişdikdə (-∞; b] intervalında inteqral haqqında danışa bilərik. intervallar oxşar şəkildə müəyyən edilir)