Kəsr, payın məxrəcə nisbətidir və məxrəc sıfır olmamalıdır və pay istənilən ola bilər.

İstənilən kəsri ixtiyari qüvvəyə qaldırarkən, kəsrin payını və məxrəcini ayrı-ayrılıqda bu qüvvəyə qaldırmaq lazımdır, bundan sonra biz bu səlahiyyətləri saymalı və beləliklə, kəsri qüvvəyə qaldırmalıyıq.

Misal üçün:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) (2/3) (2/3) = 2^3 / 3^3

mənfi dərəcə

Mənfi dərəcə ilə qarşılaşırıqsa, əvvəlcə "Kəsri tərsinə çevirməliyik" və yalnız bundan sonra yuxarıda yazılmış qaydaya uyğun olaraq onu bir gücə qaldırmalıyıq.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Məktub dərəcəsi

"x" və "y" kimi hərfi dəyərlərlə işləyərkən eksponentasiya əvvəlki qaydaya əməl edir.

½ kəsri 3-cü dərəcəyə qaldırmaqla da özümüzü yoxlaya bilərik, nəticədə ½ * ½ * ½ = 1/8 alırıq ki, bu da mahiyyətcə eynidır.

Hərfi eksponentasiya x^y

Güclü kəsrlərin vurulması və bölünməsi

Gücləri eyni əsasla çoxalsaq, əsas özü eyni qalır və eksponentləri əlavə edirik. Gücləri eyni əsasla bölsək, dərəcənin əsası da eyni qalır və göstəricilər çıxarılır.

Bunu bir nümunə ilə çox asanlıqla göstərmək olar:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Sadəcə məxrəci və payı ayrı-ayrılıqda müvafiq olaraq 3 və 4-ün gücünə qaldırsaq, eyni şeyi əldə edə bilərik.

Gücü olan bir kəsri başqa bir gücə qaldırmaq

Artıq qüvvədə olan kəsri yenidən qüvvəyə qaldırarkən əvvəlcə daxili yüksəlişi etməli, sonra eksponentasiyanın xarici hissəsinə keçməliyik. Başqa sözlə, biz sadəcə olaraq bu gücləri çoxalda və kəsri yaranan gücə yüksəldə bilərik.

Misal üçün:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Birləşmə, kvadrat kök

Həm də unutmamalıyıq ki, tamamilə hər hansı bir kəsiri sıfıra yüksəltmək bizə 1 verəcək, hər hansı digər ədəd kimi, sıfıra bərabər gücə qaldırıldığında 1 alacağıq.

Adi kvadrat kök də kəsrin gücü kimi göstərilə bilər

Kvadrat kök 3 = 3^(1/2)

Əgər biz altında kəsr olan kvadrat köklə məşğul oluruqsa, onda biz bu kəsri 2-dərəcəli kvadrat kökü olacaq payda təmsil edə bilərik (çünki kvadrat kök)

Və məxrəcdə kvadrat kök də olacaq, yəni. başqa sözlə, iki kökün nisbətini görəcəyik, bu bəzi problemlərin və misalların həlli üçün faydalı ola bilər.

Kvadrat kökün altında olan kəsri ikinci dərəcəyə qaldırsaq, eyni kəsi alırıq.

Eyni dərəcə altında olan iki kəsrin hasili, hər biri ayrı-ayrılıqda öz dərəcəsi altında olan bu iki kəsrin hasilinə bərabər olacaqdır.

Unutmayın: sıfıra bölmək olmaz!

Həmçinin, məxrəc sıfıra bərabər olmamalıdır kimi bir kəsr üçün çox vacib bir qeydi unutma. Gələcəkdə, bir çox tənlikdə, ODZ adlanan bu məhdudiyyətdən istifadə edəcəyik - icazə verilən dəyərlər diapazonu

Eyni əsaslı, lakin dərəcələri fərqli olan iki fraksiyanı müqayisə edərkən, nəinki əsaslar, həm də dərəcələr belə olarsa, dərəcənin daha böyük olacağı kəsr nə qədər böyük, daha kiçik olan isə dərəcəsi az olacaq. bərabərdirsə, kəsr eyni hesab olunur.

Dərsdə fraksiyaların vurulmasının daha ümumiləşdirilmiş versiyası nəzərdən keçiriləcək - bu eksponentasiyadır. Hər şeydən əvvəl, kəsrin təbii dərəcəsi və kəsrlərlə oxşar hərəkətləri nümayiş etdirən nümunələr haqqında danışacağıq. Dərsin əvvəlində, həmçinin, tam ədədli ifadələrin təbii gücünə yüksəldilməsini təkrarlayacağıq və bunun sonrakı misalların həlli üçün nə dərəcədə faydalı olduğunu görəcəyik.

Mövzu: Cəbri kəsrlər. Cəbri kəsrlər üzərində arifmetik əməliyyatlar

Dərs: Cəbri kəsri qüvvəyə qaldırmaq

1. Kəsrlərin və tam ifadələrin elementar misallarla natural dərəcələrə qaldırılması qaydaları

Adi və cəbri kəsrlərin təbii güclərə yüksəldilməsi qaydası:

Tam ədəd ifadəsinin dərəcəsi ilə bənzətmə çəkə və onu bir gücə yüksəltməklə nə demək olduğunu xatırlaya bilərsiniz:

Misal 1 .

Nümunədən göründüyü kimi, kəsri bir dərəcəyə qaldırmaq, əvvəlki dərsdə öyrənilmiş kəsrlərin çoxaldılmasının xüsusi bir halıdır.

Misal 2. a), b) - mənfi gedir, çünki ifadəni bərabər gücə qaldırdıq.

Dərəcələrlə işləməyin rahatlığı üçün təbii gücə yüksəltməyin əsas qaydalarını xatırlayırıq:

- dərəcələrin məhsulu;

- dərəcə bölgüsü;

Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmək;

İşin dərəcəsi.

Nümunə 3. - bu, bizə "Tam ədədlərin gücünə yüksəldilməsi" mövzusundan bəri məlumdur, bir hal istisna olmaqla: yoxdur.

2. Cəbri kəsrləri təbii güclərə qaldırmaq üçün ən sadə nümunələr

Nümunə 4. Kəsiri gücə çatdırın.

Həll. Bərabər gücə qaldırıldıqda, mənfi yox olur:

Nümunə 5. Kəsiri gücə çatdırın.

Həll. İndi ayrı bir cədvəl olmadan dərhal bir dərəcəyə yüksəltmək qaydalarından istifadə edirik:

.

İndi kəsrləri bir gücə çatdırmaq, onları çoxaltmaq və bölmək lazım olan birləşmiş tapşırıqları nəzərdən keçirin.

Nümunə 6: Hərəkətləri yerinə yetirin.

Həll. . Sonra, bir azalma etməlisiniz. Bunu necə edəcəyimizi bir dəfə ətraflı təsvir edəcəyik və sonra nəticəni dərhal analogiya ilə göstərəcəyik:. Eynilə (və ya dərəcə bölgüsü qaydasına görə). Bizdə: .

Misal 7: Hərəkətləri yerinə yetirin.

Həll. . Azaltma əvvəllər müzakirə edilən nümunəyə bənzətməklə həyata keçirilir.

Nümunə 8: Hərəkətləri yerinə yetirin.

Həll. . Bu nümunədə biz bu metodu birləşdirmək üçün bir daha kəsrlərdə səlahiyyətlərin azaldılması prosesini daha ətraflı təsvir etdik.

3. Cəbri kəsrləri təbii güclərə yüksəltmək üçün daha mürəkkəb nümunələr (işarələr nəzərə alınmaqla və mötərizədə şərtlərlə)

Nümunə 9: Hərəkətləri yerinə yetirin .

Həll. Bu misalda biz artıq kəsrlərin ayrıca vurulmasını atlayacağıq və dərhal onların vurulması qaydasından istifadə edib bir məxrəcin altına yazacağıq. Eyni zamanda, biz işarələrə əməl edirik - bu halda, fraksiyalar bərabər güclərə qaldırılır, buna görə də mənfi cəhətlər yox olur. Sonda bir azalma edək.

Misal 10: Hərəkətləri yerinə yetirin .

Həll. Bu misalda fraksiyaların bölünməsi var, unutmayın ki, bu halda birinci fraksiya ikinciyə vurulur, lakin ters çevrilir.

Kəsr, payın məxrəcə nisbətidir və məxrəc sıfır olmamalıdır və pay istənilən ola bilər.

İstənilən kəsri ixtiyari qüvvəyə qaldırarkən, kəsrin payını və məxrəcini ayrı-ayrılıqda bu qüvvəyə qaldırmaq lazımdır, bundan sonra biz bu səlahiyyətləri saymalı və beləliklə, kəsri qüvvəyə qaldırmalıyıq.

Misal üçün:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) (2/3) (2/3) = 2^3 / 3^3

mənfi dərəcə

Mənfi dərəcə ilə qarşılaşırıqsa, əvvəlcə "Kəsri tərsinə çevirməliyik" və yalnız bundan sonra yuxarıda yazılmış qaydaya uyğun olaraq onu bir gücə qaldırmalıyıq.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Məktub dərəcəsi

"x" və "y" kimi hərfi dəyərlərlə işləyərkən eksponentasiya əvvəlki qaydaya əməl edir.

½ kəsri 3-cü dərəcəyə qaldırmaqla da özümüzü yoxlaya bilərik, nəticədə ½ * ½ * ½ = 1/8 alırıq ki, bu da mahiyyətcə eynidır.

(1/2)^3 = 1/8.

Hərfi eksponentasiya x^y

Güclü kəsrlərin vurulması və bölünməsi

Gücləri eyni əsasla çoxalsaq, əsas özü eyni qalır və eksponentləri əlavə edirik. Gücləri eyni əsasla bölsək, dərəcənin əsası da eyni qalır və göstəricilər çıxarılır.

Bunu bir nümunə ilə çox asanlıqla göstərmək olar:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Sadəcə məxrəci və payı ayrı-ayrılıqda müvafiq olaraq 3 və 4-ün gücünə qaldırsaq, eyni şeyi əldə edə bilərik.

Gücü olan bir kəsri başqa bir gücə qaldırmaq

Artıq qüvvədə olan kəsri yenidən qüvvəyə qaldırarkən əvvəlcə daxili yüksəlişi etməli, sonra eksponentasiyanın xarici hissəsinə keçməliyik. Başqa sözlə, biz sadəcə olaraq bu gücləri çoxalda və kəsri yaranan gücə yüksəldə bilərik.

Misal üçün:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Birləşmə, kvadrat kök

Həm də unutmamalıyıq ki, tamamilə hər hansı bir kəsiri sıfıra yüksəltmək bizə 1 verəcək, hər hansı digər ədəd kimi, sıfıra bərabər gücə qaldırıldığında 1 alacağıq.

Adi kvadrat kök də kəsrin gücü kimi göstərilə bilər

Kvadrat kök 3 = 3^(1/2)

Əgər biz altında kəsr olan kvadrat köklə məşğul oluruqsa, onda biz bu kəsri 2-dərəcəli kvadrat kökü olacaq payda təmsil edə bilərik (çünki kvadrat kök)

Və məxrəcdə kvadrat kök də olacaq, yəni. başqa sözlə, iki kökün nisbətini görəcəyik, bu bəzi problemlərin və misalların həlli üçün faydalı ola bilər.

Kvadrat kökün altında olan kəsri ikinci dərəcəyə qaldırsaq, eyni kəsi alırıq.

Eyni dərəcə altında olan iki kəsrin hasili, hər biri ayrı-ayrılıqda öz dərəcəsi altında olan bu iki kəsrin hasilinə bərabər olacaqdır.

Unutmayın: sıfıra bölmək olmaz!

Həmçinin, məxrəc sıfıra bərabər olmamalıdır kimi bir kəsr üçün çox vacib bir qeydi unutma. Gələcəkdə bir çox tənliklərdə ODZ adlanan bu məhdudiyyətdən istifadə edəcəyik - məqbul dəyərlər diapazonu

Eyni əsaslı, lakin dərəcələri fərqli olan iki fraksiyanı müqayisə edərkən, nəinki əsaslar, həm də dərəcələr belə olarsa, dərəcənin daha böyük olacağı kəsr nə qədər böyük, daha kiçik olan isə dərəcəsi az olacaq. bərabərdirsə, kəsr eyni hesab olunur.

Nümunələr:

məs: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Özünüzü tanımaq vaxtıdır cəbri kəsri gücə yüksəltmək. Cəbri kəsrlərlə bu hərəkət, dərəcə baxımından, eyni kəsrlərin vurulmasına qədər azaldılır. Bu yazıda müvafiq qaydanı verəcəyik və cəbri kəsrlərin təbii güclərə yüksəldilməsi nümunələrini nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Cəbri kəsri qüvvəyə qaldırmaq qaydası, onun sübutu

Cəbri kəsri bir gücə yüksəltmək haqqında danışmazdan əvvəl, dərəcənin əsasında duran eyni amillərin məhsulunun nə olduğunu xatırlamaq zərər vermir və onların sayı göstərici ilə müəyyən edilir. Məsələn, 2 3 =2 2 2=8 .

İndi adi bir fraksiyanın gücünə yüksəltmə qaydasını xatırlayaq - bunun üçün ayrıca ədədi göstərilən gücə və ayrıca məxrəcə qaldırmaq lazımdır. Məsələn, . Bu qayda cəbri kəsri təbii gücə qaldırmaq üçün tətbiq edilir.

Cəbri kəsri təbii gücə qaldırmaq yeni kəsr verir, onun paylayıcısında ilkin kəsrin payının müəyyən dərəcəsi, məxrəcdə isə məxrəcin dərəcəsi olur. Hərfi formada bu qayda bərabərliyə uyğundur, burada a və b ixtiyari çoxhədlərdir (xüsusən monomiallar və ya ədədlər), b isə sıfırdan fərqli çoxhədlidir, n isə .

Cəbri kəsri gücə yüksəltmək üçün səslənmiş qaydanın sübutu təbii göstərici ilə dərəcənin tərifinə və cəbri kəsrlərin vurulmasını necə təyin etdiyimizə əsaslanır: .

Nümunələr, Həllər

Əvvəlki bənddə əldə edilən qayda cəbri kəsrin bir dərəcəyə qaldırılmasını ilkin kəsrin payının və məxrəcinin bu dərəcəyə qaldırılmasına qədər azaldır. Və orijinal cəbri kəsrin payı və məxrəci çoxhədlilər (xüsusi halda, monomiyallar və ya ədədlər) olduğundan, ilkin vəzifə çoxhədliləri bir gücə çatdırmaqdan ibarətdir. Bu hərəkəti yerinə yetirdikdən sonra orijinal cəbri kəsrin müəyyən edilmiş gücünə eyni şəkildə bərabər olan yeni bir cəbri kəsr alınacaq.

Gəlin bir neçə nümunəyə nəzər salaq.

Misal.

Cəbri kəsri kvadrat.

Həll.

Diplomu yazaq. İndi cəbri kəsri qüvvəyə qaldırmaq qaydasına müraciət edirik, bu bizə bərabərliyi verir . Qalır monomialları bir gücə yüksəltməklə nəticələnən kəsri cəbri kəsr formasına çevirmək. Belə ki .

Adətən, cəbri kəsri qüvvəyə qaldırarkən həllin gedişi izah edilmir və həlli qısa şəkildə yazılır. Bizim nümunəmiz rekorda uyğundur .

Cavab:

.

Çoxhədlilər, xüsusən də binomiallar cəbri kəsrin sayında və / və ya məxrəcində olduqda, onu bir gücə qaldırarkən müvafiq qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etmək məsləhətdir.

Misal.

Cəbri kəsri qaldırın ikinci dərəcə.

Həll.

Kəsirin bir gücə yüksəldilməsi qaydası ilə bizdə var .

Yaranan ifadəni paylayıcıya çevirmək üçün istifadə edirik fərqin kvadrat düsturu, və məxrəcdə - üç şərtin cəminin kvadratının düsturu:

Cavab:

Sonda qeyd edirik ki, əgər azalmayan cəbri kəsri təbii gücə qaldırsaq, nəticə də azalmayan kəsr olacaqdır. Əgər ilkin fraksiya azaldılırsa, onu bir gücə qaldırmazdan əvvəl cəbri kəsri azaltmaq məsləhətdir ki, bir gücə qaldırdıqdan sonra azalma həyata keçirməsin.

Biblioqrafiya.

• Cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. Saat 14-də 1-ci hissə. Təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

Ağıllı tələbələrin müəllif hüquqları

Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. Saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və xarici dizayn, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan hər hansı formada təkrar istehsal edilə və ya istifadə edilə bilməz.

Ədədin dərəcəsi haqqında söhbətin davamında dərəcənin qiymətini tapmaqla məşğul olmaq məntiqlidir. Bu proses adlanır eksponentasiya. Bu yazıda bütün mümkün göstəricilərə - təbii, tam, rasional və irrasionallara toxunaraq, eksponentasiyanın necə həyata keçirildiyini öyrənəcəyik. Və ənənəyə görə, rəqəmlərin müxtəlif dərəcələrə qaldırılmasına dair nümunələrin həlli yollarını ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

"Güclənmə" nə deməkdir?

Gəlin eksponentasiya deyilən şeyi izah etməklə başlayaq. Budur müvafiq tərif.

Tərif.

Eksponentasiyaədədin gücünün qiymətini tapmaqdır.

Beləliklə, a-nın gücünün qiymətini r göstəricisi ilə tapmaq və a ədədini r-nin gücünə qaldırmaq eyni şeydir. Məsələn, tapşırıq "gücünün (0,5) 5-in dəyərini hesablayın"dırsa, o zaman onu aşağıdakı kimi yenidən tərtib etmək olar: "0,5 sayını 5-in gücünə qaldırın".

İndi birbaşa eksponentasiyanın həyata keçirildiyi qaydalara keçə bilərsiniz.

Nömrəni təbii gücə yüksəltmək

Təcrübədə bərabərliyə əsaslanan adətən şəklində tətbiq edilir. Yəni, a sayını m / n kəsr gücünə qaldırarkən, a sayından n-ci dərəcənin kökü əvvəlcə çıxarılır, bundan sonra nəticə m tam gücünə qaldırılır.

Kəsirin gücünə yüksəltmə nümunələri üçün həll yollarını nəzərdən keçirin.

Misal.

Dərəcənin dəyərini hesablayın.

Həll.

İki həll yolu göstəririk.

Birinci yol. Fraksiya göstəricisi ilə dərəcə tərifinə görə. Kökün işarəsi altında dərəcənin dəyərini hesablayırıq, bundan sonra kub kökünü çıxarırıq: .

İkinci yol. Kəsrə eksponentli dərəcənin tərifi ilə və köklərin xassələri əsasında bərabərliklər doğrudur. . İndi kökü çıxarın Nəhayət, tam gücə çatdırırıq .

Şübhəsiz ki, kəsr gücünə yüksəldilməsinin əldə edilən nəticələri üst-üstə düşür.

Cavab:

Qeyd edək ki, kəsr göstəricisi onluq kəsr və ya qarışıq ədəd kimi yazıla bilər, bu hallarda onu müvafiq adi kəsrlə əvəz etməli və sonra eksponentasiya aparılmalıdır.

Misal.

(44,89) 2,5 hesablayın.

Həll.

Eksponenti adi kəsr şəklində yazırıq (lazım olduqda məqaləyə baxın): . İndi kəsr gücünə qaldırırıq:

Cavab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, ədədləri rasional güclərə çatdırmaq kifayət qədər zəhmət tələb edən bir prosesdir (xüsusilə kəsr eksponentinin payı və məxrəci kifayət qədər böyük rəqəmlər olduqda) adətən kompüter texnologiyasından istifadə etməklə həyata keçirilir.

Bu paraqrafın sonunda sıfır rəqəminin kəsr gücünə qurulması üzərində dayanacağıq. Formanın sıfırın kəsr dərəcəsinə aşağıdakı məna verdik: bizdə var , sıfırdan gücə m/n isə müəyyən edilməmişdir. Beləliklə, sıfırdan müsbət kəsr gücü sıfırdır, məsələn, . Kəsr mənfi qüvvədə sıfır isə məna kəsb etmir, məsələn, ifadələr və 0 -4.3 mənası yoxdur.

Məntiqsiz bir gücə yüksəltmək

Bəzən irrasional eksponentli ədədin dərəcəsinin qiymətini tapmaq lazım gəlir. Bu halda praktiki məqsədlər üçün adətən müəyyən işarəyə qədər dərəcənin qiymətini əldə etmək kifayətdir. Dərhal qeyd edirik ki, praktikada bu dəyər elektron hesablama texnologiyasından istifadə etməklə hesablanır, çünki əl ilə irrasional gücə yüksəltmək çoxlu sayda çətin hesablamalar tələb edir. Ancaq buna baxmayaraq, biz hərəkətlərin mahiyyətini ümumi şəkildə təsvir edəcəyik.

İrrasional eksponentli a-nın gücünün təxmini qiymətini almaq üçün eksponentin bəzi onluq təxminisi götürülür və eksponentin qiyməti hesablanır. Bu dəyər irrasional eksponentli a ədədinin dərəcəsinin təxmini qiymətidir. Ədədin ondalıq yaxınlaşması nə qədər dəqiq alınsa, sonda dərəcə dəyəri bir o qədər dəqiq olacaqdır.

Nümunə olaraq 2 1,174367 gücünün təxmini qiymətini hesablayaq... . İrrasional göstəricinin aşağıdakı onluq yaxınlaşmasını götürək: . İndi 2-ni 1.17 rasional gücə qaldırırıq (bu prosesin mahiyyətini əvvəlki paraqrafda təsvir etdik), 2 1.17 ≈ 2.250116 alırıq. Beləliklə, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Əgər irrasional eksponentin daha dəqiq ondalıq təxminisini götürsək, məsələn, , onda orijinal dərəcənin daha dəqiq qiymətini alırıq: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Biblioqrafiya.

• Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat zh 5 hüceyrə üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 7 hüceyrə üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 8 hüceyrə üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 9 hüceyrə üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik).