Tətbiqi məsələlərin həllinə inteqralın tətbiqi

Sahənin hesablanması

Davamlı qeyri-mənfi funksiyanın müəyyən inteqralı f(x) ədədi olaraq y = f(x) əyrisi, O x oxu və x = a və x düz xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir. = b. Buna uyğun olaraq sahə düsturu aşağıdakı kimi yazılır:

Müstəvi fiqurların sahələrinin hesablanmasına dair bəzi nümunələrə baxaq.

Tapşırıq No 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 xətləri ilə məhdudlaşan sahəni hesablayın.

Həll. Sahəsini hesablamalı olacağımız bir fiqur quraq.

y = x 2 + 1 budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş paraboladır və parabola O y oxuna nisbətən bir vahid yuxarı sürüşdürülmüşdür (Şəkil 1).

Şəkil 1. y = x 2 + 1 funksiyasının qrafiki

Tapşırıq No 2. 0-dan 1-ə qədər olan diapazonda y = x 2 – 1, y = 0 xətləri ilə məhdudlaşan sahəni hesablayın.

Həll. Bu funksiyanın qrafiki yuxarıya doğru istiqamətlənmiş budaqlardan ibarət paraboladır və parabola O y oxuna nisbətən bir vahid aşağı sürüşdürülür (Şəkil 2).

Şəkil 2. y = x 2 – 1 funksiyasının qrafiki

Tapşırıq № 3. Rəsm çəkin və fiqurun sahəsini hesablayın, xətlərlə məhdudlaşır

y = 8 + 2x – x 2 və y = 2x – 4.

Həll. Bu iki sətirdən birincisi x 2 əmsalı mənfi olduğu üçün budaqları aşağı yönəlmiş parabola, ikinci xətt isə hər iki koordinat oxunu kəsən düz xəttdir.

Parabolanı qurmaq üçün onun təpəsinin koordinatlarını tapırıq: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – təpənin absisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 onun ordinatıdır, N(1;9) təpəsidir.

İndi tənliklər sistemini həll etməklə parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Sol tərəfləri bərabər olan tənliyin sağ tərəflərinin bərabərləşdirilməsi.

8 + 2x – x 2 = 2x – 4 və ya x 2 – 12 = 0 alırıq, buradan .

Beləliklə, nöqtələr parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələridir (Şəkil 1).

Şəkil 3 y = 8 + 2x – x 2 və y = 2x – 4 funksiyalarının qrafikləri

y = 2x – 4 düz xəttini quraq. O, koordinat oxları üzərindəki (0;-4), (2;0) nöqtələrindən keçir.

Parabola qurmaq üçün onun 0x oxu ilə kəsişmə nöqtələrindən, yəni 8 + 2x – x 2 = 0 və ya x 2 – 2x – 8 = 0 tənliyinin köklərindən də istifadə edə bilərsiniz. Vyeta teoremindən istifadə etmək asandır. onun köklərini tapmaq üçün: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şəkil 3-də bu xətlərlə hüdudlanmış fiqur (parabolik seqment M 1 N M 2) göstərilir.

Problemin ikinci hissəsi bu rəqəmin sahəsini tapmaqdır. Onun sahəsini düstura görə müəyyən inteqraldan istifadə etməklə tapmaq olar .

Bu şərtlə əlaqədar olaraq inteqral alırıq:

2 Fırlanma cisminin həcminin hesablanması

y = f(x) əyrisinin O x oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmi düsturla hesablanır:

O y oxu ətrafında fırlanan zaman düstur belə görünür:

Tapşırıq № 4. O x oxu ətrafında x = 0 x = 3 düz xətləri və y = əyrisi ilə məhdudlaşan əyri trapezoidin fırlanmasından alınan cismin həcmini təyin edin.

Həll. Bir şəkil çəkək (Şəkil 4).

Şəkil 4. y = funksiyasının qrafiki

Tələb olunan həcmdir

Tapşırıq № 5. y = x 2 əyrisi və O y oxu ətrafında y = 0 və y = 4 düz xətləri ilə məhdudlaşan əyri trapezoidin fırlanmasından alınan cismin həcmini hesablayın.

Həll. Bizdə:

Sualları nəzərdən keçirin

Biz ikiqat inteqralın hesablanmasının faktiki prosesini nəzərdən keçirməyə başlayırıq və onun həndəsi mənası ilə tanış oluruq.

İkiqat inteqral ədədi olaraq müstəvi fiqurun sahəsinə (inteqrasiya bölgəsi) bərabərdir. Bu, iki dəyişənin funksiyası birə bərabər olduqda ikiqat inteqralın ən sadə formasıdır: .

Əvvəlcə problemə ümumi formada baxaq. İndi hər şeyin nə qədər sadə olduğuna çox təəccüblənəcəksiniz! Xətlərlə məhdudlaşan düz bir fiqurun sahəsini hesablayaq. Dəqiqlik üçün seqmentdə olduğunu güman edirik. Bu rəqəmin sahəsi ədədi olaraq bərabərdir:

Rəsmdə ərazini təsvir edək:

Ərazini keçməyin ilk yolunu seçək:

Beləliklə:

Və dərhal mühüm texniki hiylə: təkrarlanan inteqralları ayrıca hesablamaq olar. Əvvəlcə daxili inteqral, sonra xarici inteqral. Bu metodu mövzuya yeni başlayanlara çox tövsiyə edirəm.

1) Daxili inteqralı hesablayaq və inteqrasiya “y” dəyişəni üzərində aparılır:

Qeyri-müəyyən inteqral burada ən sadəsi, sonra isə banal Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə olunur, yeganə fərq, inteqrasiyanın sərhədlərinin ədədlər deyil, funksiyalardır. Əvvəlcə yuxarı həddi “y” (antiderivativ funksiya), sonra isə aşağı həddi əvəz etdik.

2) Birinci bənddə alınan nəticə xarici inteqrala əvəz edilməlidir:

Bütün həllin daha yığcam təsviri belə görünür:

Əldə edilən düstur, "adi" müəyyən inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurun sahəsini hesablamaq üçün dəqiq iş düsturudur! Müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması dərsinə baxın, o, hər addımdadır!

Yəni ikiqat inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması məsələsi çox da fərqli deyil müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin tapılması məsələsindən! Əslində, eyni şeydir!

Buna görə heç bir çətinlik yaranmamalıdır! Çox misallara baxmayacağam, çünki siz, əslində, bu vəzifə ilə dəfələrlə qarşılaşmısınız.

Misal 9

Həlli: Rəsmdə ərazini təsvir edək:

Ərazini keçmək üçün aşağıdakı ardıcıllığı seçək:

Burada və bundan sonra mən ərazini necə keçmək barədə danışmayacağam, çünki birinci paraqrafda çox ətraflı izahatlar verilmişdir.

Beləliklə:

Artıq qeyd etdiyim kimi, yeni başlayanlar üçün təkrarlanan inteqralları ayrıca hesablamaq daha yaxşıdır və mən də eyni üsula sadiq qalacağam:

1) Əvvəlcə Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək daxili inteqralla məşğul oluruq:

2) Birinci addımda alınan nəticə xarici inteqrala əvəz edilir:

2-ci nöqtə əslində müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurun sahəsini tapmaqdır.

Cavab:

Bu çox axmaq və sadəlövh bir işdir.

üçün maraqlı bir nümunə müstəqil qərar:

Misal 10

İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın.

Dərsin sonunda yekun həllin təxmini nümunəsi.

Nümunə 9-10-da ərazini keçməyin birinci üsulundan istifadə etmək daha sərfəlidir; maraqlı oxucular, yeri gəlmişkən, ikinci üsuldan istifadə edərək keçidin sırasını dəyişə və sahələri hesablaya bilərlər. Səhv etməsəniz, təbii olaraq eyni sahə dəyərlərini alacaqsınız.

Ancaq bəzi hallarda ərazini keçməyin ikinci üsulu daha təsirli olur və gənc nerd kursunun sonunda bu mövzuda daha bir neçə nümunəyə baxaq:

Misal 11

İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın,

Həll yolu: biz səbirsizliklə yanlarında yerləşən qəribəlikli iki parabolanı gözləyirik. Gülməyə ehtiyac yoxdur, oxşar şeylər çoxlu inteqrallarda olduqca tez-tez baş verir.

Rəsm çəkməyin ən asan yolu nədir?

Parabolanı iki funksiya şəklində təsəvvür edək:
– yuxarı budaq və – aşağı budaq.

Eynilə, yuxarı və aşağı budaqlar şəklində bir parabolanı təsəvvür edin.

Formula uyğun olaraq ikiqat inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayırıq:

Ərazidən keçməyin ilk üsulunu seçsək nə olar? Birincisi, bu sahə iki hissəyə bölünməlidir. İkincisi, bu kədərli mənzərəni müşahidə edəcəyik: . İnteqrallar, təbii ki, super mürəkkəb səviyyəli deyillər, amma... köhnə bir riyazi deyim var: kökünə yaxın olanların imtahana ehtiyacı yoxdur.

Beləliklə, şərtdə verilmiş anlaşılmazlıqdan tərs funksiyaları ifadə edirik:

Bu misaldakı tərs funksiyaların üstünlüyü ondan ibarətdir ki, onlar yarpaqlar, palamutlar, budaqlar və köklər olmadan bir anda bütün parabolanı təyin edirlər.

İkinci üsula görə, ərazinin keçidi aşağıdakı kimi olacaq:

Beləliklə:

Necə deyərlər, fərqi hiss edin.

1) Daxili inteqralla məşğul oluruq:

Nəticəni xarici inteqrala əvəz edirik:

“y” dəyişəni üzərində inteqrasiya çaşdırıcı olmamalıdır; əgər “zy” hərfi olsaydı, onun üzərində inteqrasiya etmək əla olardı. Baxmayaraq ki, dərsin ikinci abzasını oxuyan hər kəs "Fırlanma cisminin həcmini necə hesablamaq olar" artıq "Y" metodundan istifadə edərək inteqrasiya ilə bağlı ən kiçik bir yöndəmsizliyi yaşamır.

Birinci addıma da diqqət yetirin: inteqral cütdür, inteqrasiya intervalı isə sıfıra yaxın simmetrikdir. Buna görə də, seqment yarıya endirilə bilər və nəticə iki dəfə artırıla bilər. Bu texnika dərsdə ətraflı şərh olunur. Effektiv üsullar müəyyən inteqralın hesablanması.

Nə əlavə etmək .... Hamısı!

Cavab:

İnteqrasiya texnikanızı yoxlamaq üçün hesablamağa cəhd edə bilərsiniz. Cavab tamamilə eyni olmalıdır.

Misal 12

İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Maraqlıdır ki, ərazini keçməyin ilk üsulundan istifadə etməyə çalışsanız, rəqəm artıq ikiyə deyil, üç hissəyə bölünməlidir! Və buna uyğun olaraq üç cüt təkrarlanan inteqral alırıq. Bəzən olur.

Master-klass başa çatdı və qrossmeyster səviyyəsinə keçməyin vaxtı gəldi - İkiqat inteqralı necə hesablamaq olar? Həll nümunələri. İkinci məqalədə bu qədər manyak olmamağa çalışacağam =)

Sənə uğurlar arzu edirəm!

Həll və cavablar:

Misal 2:Həll: Ərazini təsvir edək rəsm üzərində:

Ərazini keçmək üçün aşağıdakı ardıcıllığı seçək:

Beləliklə:
Gəlin tərs funksiyalara keçək:


Beləliklə:
Cavab:

Misal 4:Həll: Gəlin birbaşa funksiyalara keçək:


Gəlin rəsm çəkək:

Ərazidən keçmə qaydasını dəyişdirək:

Cavab:

Ərazidə gəzinti qaydası:

Beləliklə:

1)
2)

Cavab:

İnteqralı tapmaq üçün lazım olan funksiyanı daxil edin

Kalkulyator təmin edir ƏTRAFLI HƏLL müəyyən inteqrallar.

Bu kalkulyator f(x) funksiyasının müəyyən inteqralının yuxarı və aşağı hədləri verilmiş həllini tapır.

Nümunələr

Dərəcədən istifadə
(kvadrat və kub) və kəsrlər

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadrat kök

Sqrt(x)/(x + 1)

Kub kökü

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Sinus və kosinusdan istifadə

2*sin(x)*cos(x)

arcsine

X*arcsin(x)

qövs kosinusu

X*arccos(x)

Loqarifmin tətbiqi

X*log(x, 10)

Təbii loqarifm

Sərgi iştirakçısı

Tg(x)*sin(x)

Kotangent

Ctg(x)*cos(x)

İrrasional kəsrlər

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arkkotangent

X*arсctg(x)

Hiperbolik sinus və kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolik tangens və kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolik arksin və arkkosin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolik arktangent və arkotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

İfadələrin və funksiyaların daxil edilməsi qaydaları

İfadələr funksiyalardan ibarət ola bilər (qeydiyyatlar əlifba sırası ilə verilir): mütləq(x) x-in mütləq qiyməti
(modul x və ya |x| ) arccos(x) Funksiya - x arccosh(x) arkkosinusu x arcsin(x) arksinusu x arcsin(x) arksinusu x arctg(x) funksiyası - x arctgh-in arktangensi (x) Təxminən 2,7 exp(x)-ə bərabər olan x e e ədədinin arktangens hiperboliyası Funksiya - x-in eksponensiyası (bu, e ^x ) log(x) və ya ln(x) x-in təbii loqarifmidir.
(log7(x) əldə etmək üçün log(x)/log(7) daxil etməlisiniz (və ya, məsələn, log10(x) =log(x)/log(10)) pi Rəqəm "Pi"dir. , təqribən 3,14 sin(x) funksiyasına bərabər olan sin(x) funksiyası - x sinh(x) funksiyası - x sinh(x) funksiyasının kosinusu - x sinh(x) funksiyasının hiperbolik sinusu cosh(x) funksiyası - x sqrt(x) funksiyasının hiperbolik kosinusu - Kvadrat kök x sqr(x) və ya x^2 Funksiya - Kvadrat x tg(x) Funksiya - x tgh(x) funksiyasının tangensi - x cbrt(x) funksiyasının hiperbolik tangensi - kub kökü x-dən

İfadələrdə aşağıdakı əməliyyatlardan istifadə etmək olar: Həqiqi ədədləri 7.5 deyil, 7.5 şəklində daxil edin 2*x - vurma 3/x - bölmə x^3 - eksponentasiya x + 7 - toplama x - 6 - çıxma
Digər funksiyalar: mərtəbə(x) Funksiya - x aşağı yuvarlaqlaşdırma (misal mərtəbə(4.5)==4.0) tavan(x) Funksiya - yuvarlaqlaşdırma x yuxarı (misal tavan(4.5)==5.0) işarəsi(x) Funksiya - İşarə x erf (x) Xəta funksiyası (və ya ehtimal inteqralı) laplace(x) Laplas funksiyası

Geri irəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Əgər siz maraqlanırsınızsa bu iş, zəhmət olmasa tam versiyanı yükləyin.

Açar sözlər: inteqral, əyrixətli trapesiya, zanbaqlarla sərhədlənmiş fiqurların sahəsi

Avadanlıqlar: marker lövhəsi, kompüter, multimedia proyektoru

Dərsin növü: dərs-mühazirə

Dərsin məqsədləri:

• tərbiyəvi: zehni əmək mədəniyyətini formalaşdırmaq, hər bir şagird üçün uğur situasiyası yaratmaq, öyrənmə üçün müsbət motivasiya yaratmaq; danışmaq və başqalarını dinləmək bacarığını inkişaf etdirmək.
• inkişaf edən: müxtəlif vəziyyətlərdə bilikləri tətbiq etməkdə şagirdin müstəqil düşüncəsinin formalaşdırılması, təhlil etmək və nəticə çıxarmaq bacarığı, məntiqin inkişafı, sualları düzgün qoymaq və onlara cavab tapmaq bacarığının inkişafı. Hesablama bacarıqlarının formalaşdırılmasının təkmilləşdirilməsi, təklif olunan tapşırıqların yerinə yetirilməsi zamanı tələbələrin təfəkkürünün inkişafı, alqoritmik mədəniyyətin formalaşdırılması.
• təhsil: əyrixətli trapesiya, inteqral haqqında anlayışlar formalaşdırmaq, müstəvi fiqurların sahələrini hesablamaq bacarıqlarını mənimsəmək

Tədris metodu: izahlı və illüstrativ.

Dərslər zamanı

Əvvəlki dərslərdə biz sərhədləri qırıq xətlər olan fiqurların sahələrini hesablamağı öyrənmişdik. Riyaziyyatda əyrilərlə məhdudlaşan fiqurların sahələrini hesablamağa imkan verən üsullar mövcuddur. Belə fiqurlara əyrixətti trapesiya deyilir və onların sahəsi antitörəmələrdən istifadə etməklə hesablanır.

Əyrixətti trapesiya ( slayd 1)

Əyri trapesiya bir funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan bir fiqurdur, ( sh.m.), düz x = a Və x = b və x oxu

Müxtəlif növ əyri trapezoidlər ( slayd 2)

Biz əyrixətti trapesiyaların müxtəlif növlərini nəzərdən keçiririk və qeyd edirik: düz xətlərdən biri bir nöqtəyə qədər degenerasiya olunur, məhdudlaşdırıcı funksiya rolunu düz xətt oynayır.

Əyri trapezoidin sahəsi (slayd 3)

Aralığın sol ucunu düzəldin A, və doğru olan X biz dəyişəcəyik, yəni əyri xətti trapezoidin sağ divarını hərəkət etdirəcəyik və dəyişən bir rəqəm alacağıq. Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan dəyişən əyri xətti trapezoidin sahəsi antitörəmədir. F funksiyası üçün f

Və seqmentdə [ a; b] funksiyası ilə əmələ gələn əyrixətti trapezoidin sahəsi f, bu funksiyanın əks törəməsinin artımına bərabərdir:

Məşq 1:

Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsini tapın: f(x) = x 2 və düz y = 0, x = 1, x = 2.

Həll: ( alqoritmə uyğun olaraq slayd 3)

Funksiya və xətlərin qrafikini çəkək

birini tapaq antitörəmə funksiyaları f(x) = x 2 :

Slaydda özünü sınamaq

İnteqral

Funksiya ilə müəyyən edilmiş əyrixətti trapesiyanı nəzərdən keçirək f seqmentdə [ a; b]. Bu seqmenti bir neçə hissəyə bölək. Bütün trapezoidin sahəsi daha kiçik əyri trapezoidlərin sahələrinin cəminə bölünəcəkdir. ( slayd 5). Hər bir belə trapesiya təxminən düzbucaqlı hesab edilə bilər. Bu düzbucaqlıların sahələrinin cəmi əyri trapezoidin bütün sahəsi haqqında təxmini bir fikir verir. Seqmenti nə qədər kiçik bölürük [ a; b], sahəni daha dəqiq hesablayırıq.

Gəlin bu arqumentləri düsturlar şəklində yazaq.

Seqmenti bölün [ a; b] nöqtələrlə n hissəyə bölün x 0 =a, x1,...,xn = b. Uzunluq k- ci ilə işarələmək xk = xk – xk-1. Gəlin bir cəm edək

Həndəsi olaraq, bu məbləğ şəkildə kölgələnmiş fiqurun sahəsini təmsil edir ( sh.m.)

Formanın cəminə funksiya üçün inteqral cəmlər deyilir f. (ş.m.)

İnteqral məbləğlər sahənin təxmini qiymətini verir. Dəqiq qiymət limitə keçməklə əldə edilir. Təsəvvür edək ki, biz seqmentin bölməsini dəqiqləşdiririk [ a; b] belə ki, bütün kiçik seqmentlərin uzunluqları sıfıra meyllidir. Sonra tərtib edilmiş fiqurun sahəsi əyri trapezoidin sahəsinə yaxınlaşacaqdır. Deyə bilərik ki, əyri trapezoidin sahəsi inteqral cəmlərin həddinə bərabərdir, Sc.t. (ş.m.) və ya inteqral, yəni

Tərif:

Funksiyanın inteqralı f(x)-dan aəvvəl b inteqral cəmlərin həddi adlanır

= (ş.m.)

Nyuton-Leybnits düsturu.

Xatırlayırıq ki, inteqral cəmlərin həddi əyrixətli trapezoidin sahəsinə bərabərdir, yəni yaza bilərik:

Sc.t. = (ş.m.)

Digər tərəfdən, əyri trapezoidin sahəsi düsturla hesablanır

S k.t. (ş.m.)

Bu düsturları müqayisə edərək əldə edirik:

= (ş.m.)

Bu bərabərliyə Nyuton-Leybniz düsturu deyilir.

Hesablama asanlığı üçün düstur belə yazılır:

= = (ş.m.)

Tapşırıqlar: (ş.m.)

1. Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə edərək inteqralı hesablayın: ( 5-ci slaydda yoxlayın)

2. Rəsmə uyğun olaraq inteqralları tərtib edin ( 6-cı slaydda yoxlayın)

3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayd 7)

Müstəvi fiqurların sahələrinin tapılması ( slayd 8)

Əyri trapesiya olmayan fiqurların sahəsini necə tapmaq olar?

Qrafiklərini slaydda gördüyünüz iki funksiya verilsin . (ş.m.) Kölgəli fiqurun sahəsini tapın . (ş.m.). Sözügedən fiqur əyri trapesiyadırmı? Sahənin əlavə xüsusiyyətindən istifadə edərək onun sahəsini necə tapmaq olar? İki əyri trapesiyaya nəzər salın və onlardan birinin sahəsindən digərinin sahəsini çıxarın ( s.m.)

Slaydda animasiyadan istifadə edərək ərazini tapmaq üçün alqoritm yaradaq:

Qrafik funksiyalar

Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini x oxuna proyeksiya edin

Qrafiklər kəsişdikdə alınan rəqəmə kölgə salın

Kəsişi və ya birləşməsi verilmiş rəqəm olan əyrixətti trapesiyaları tapın.

Onların hər birinin sahəsini hesablayın

Sahələrin fərqini və ya cəmini tapın

Şifahi tapşırıq: Kölgəli fiqurun sahəsini necə əldə etmək olar (animasiyadan istifadə edərək deyin, slayd 8 və 9)

Ev tapşırığı: Qeydlərlə işləmək, № 353 (a), № 364 (a).

Biblioqrafiya

Cəbr və təhlilin başlanğıcı: axşam (növbəli) məktəbin 9-11-ci sinifləri üçün dərslik / red. G.D. Qleyzer. - M: Maarifçilik, 1983.

Başmaqov M.İ. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: orta məktəbin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik / Başmaqov M.İ. - M: Maarifçilik, 1991.

Başmaqov M.İ. Riyaziyyat: başlanğıc müəssisələr üçün dərslik. və çərşənbə prof. təhsil / M.I. Başmaqov. - M: Akademiya, 2010.

Kolmogorov A.N. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: 10-11-ci siniflər üçün dərslik. təhsil müəssisələri / A.N. Kolmoqorov. - M: Təhsil, 2010.

Ostrovski S.L. Dərs üçün təqdimatı necə etmək olar?/ S.L. Ostrovski. – M.: 1 sentyabr 2010-cu il.

2020-ci ilin iyul ayında NASA Marsa ekspedisiyaya başlayır. Kosmik gəmi Marsa bütün qeydiyyatdan keçmiş ekspedisiya iştirakçılarının adları olan elektron daşıyıcı çatdıracaq.

Əgər bu yazı probleminizi həll edibsə və ya sadəcə bəyənmisinizsə, onun linkini sosial şəbəkələrdə dostlarınızla paylaşın.

Bu kod seçimlərindən biri kopyalanıb veb səhifənizin koduna, tercihen teqlər arasında və ya etiketdən dərhal sonra yapışdırılmalıdır. Birinci varianta görə, MathJax daha sürətli yüklənir və səhifəni daha az ləngidir. Lakin ikinci seçim avtomatik olaraq MathJax-ın ən son versiyalarını izləyir və yükləyir. İlk kodu daxil etsəniz, onun vaxtaşırı yenilənməsi lazımdır. İkinci kodu daxil etsəniz, səhifələr daha yavaş yüklənəcək, lakin MathJax yeniləmələrini daim izləmək lazım olmayacaq.

MathJax-a qoşulmağın ən asan yolu Blogger və ya WordPress-dədir: saytın idarəetmə panelində üçüncü tərəf JavaScript kodunu daxil etmək üçün nəzərdə tutulmuş vidceti əlavə edin, yuxarıda təqdim olunan yükləmə kodunun birinci və ya ikinci versiyasını ona köçürün və vidceti daha yaxın yerləşdirin. şablonun əvvəlinə (yeri gəlmişkən, bu heç də lazım deyil, çünki MathJax skripti asinxron şəkildə yüklənir). Hamısı budur. İndi MathML, LaTeX və ASCIIMathML işarələmə sintaksisini öyrənin və siz yerləşdirməyə hazırsınız riyazi düsturlar saytınızın veb səhifələrinə.

Daha bir Yeni il gecəsi... şaxtalı hava və pəncərə şüşəsindəki qar dənəcikləri... Bütün bunlar məni yenidən... fraktallar və Volfram Alfanın bu haqda bildikləri haqqında yazmağa vadar etdi. Bu mövzuda iki ölçülü fraktal strukturların nümunələrini ehtiva edən maraqlı bir məqalə var. Burada daha çox baxacağıq mürəkkəb nümunələrüçölçülü fraktallar.

Fraktal vizual olaraq həndəsi bir fiqur və ya cisim kimi təqdim edilə (təsvir edilə bilər) (bu o deməkdir ki, hər ikisi bir çoxluqdur, bu halda, bir çox nöqtədir), detalları orijinal fiqurun özü ilə eyni formaya malikdir. Yəni, bu, özünə bənzəyən bir quruluşdur, təfərrüatlarını araşdırdıqda böyüdükdə böyüdülmədən eyni formanı görəcəyik. Halbuki adi halda həndəsi fiqur(fraktal deyil), böyüdükdə daha çox olan detalları görəcəyik sadə forma orijinal rəqəmin özündən daha çox. Məsələn, kifayət qədər yüksək böyütmədə ellipsin bir hissəsi düz xətt seqmentinə bənzəyir. Fraktallarda bu baş vermir: onlarda hər hansı bir artımla, hər artımla təkrar-təkrar təkrarlanan eyni mürəkkəb formanı yenidən görəcəyik.

Fraktallar elminin banisi Benoit Mandelbrot Fraktallar və Elm Naminə İncəsənət məqaləsində yazırdı: “Fraktallar həndəsi fiqurlarümumi formada olduğu kimi təfərrüatlarına görə də eyni dərəcədə mürəkkəbdir. Yəni fraktalın bir hissəsi bütövün ölçüsünə qədər böyüdülsə, ya tam olaraq, ya da bəlkə də cüzi deformasiya ilə bütöv kimi görünəcək”.