Bu onlayn kalkulyator funksiyanı faktorlara ayırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Məsələn, faktorlara ayırın: x 2 /3-3x+12 . Bunu x^2/3-3*x+12 kimi yazaq. Bütün hesablamaların Word formatında saxlandığı bu xidmətdən də istifadə edə bilərsiniz.

Məsələn, terminlərə bölün. (1-x^2)/(x^3+x) kimi yazaq. Həllin gedişatını görmək üçün Addımları göstər üzərinə klikləyin. Nəticəni Word formatında əldə etmək lazımdırsa, bu xidmətdən istifadə edin.

Qeyd: sayı "pi" (π) pi kimi yazılır; kvadrat kök sqrt kimi, məsələn, sqrt(3) , tg-nin tangensi tan kimi yazılır. Cavab üçün Alternativ bölməsinə baxın.

1. Sadə bir ifadə verilirsə, məsələn, 8*d+12*c*d , onda ifadəni faktorlara ayırmaq ifadəni faktorlara ayırmaq deməkdir. Bunun üçün ümumi amilləri tapmaq lazımdır. Bu ifadəni belə yazırıq: 4*d*(2+3*c) .
2. Məhsulu iki binom şəklində ifadə edin: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Burada artıq bir neçə ümumi faktoru tapmalıyıq: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). (x+7z) çıxarırıq və alırıq: (x+7z)(x + 3y) .

çoxhədlilərin künclə bölünməsinə də baxın (sütunla bölünmənin bütün addımları göstərilib)

Faktorlara ayırma qaydalarını öyrənməkdə faydalıdır qısaldılmış vurma düsturları, bununla bir kvadrat ilə mötərizələrin necə açılacağı aydın olacaq:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktorinq üsulları

Bir neçə fənd öyrəndikdən sonra faktorizasiya həlləri aşağıdakı kimi təsnif etmək olar:

1. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə.
2. Ümumi faktoru axtarın.

Bu dərsdə biz polinomun faktorinqinin əvvəllər öyrənilmiş bütün üsullarını xatırladacağıq və onların tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirəcəyik, əlavə olaraq yeni bir metodu - tam kvadrat üsulunu öyrənəcəyik və müxtəlif məsələlərin həllində necə tətbiq olunacağını öyrənəcəyik.

Mövzu:Çoxhədlilərin faktorinqi

Dərs:Çoxhədlilərin faktorlaşdırılması. Tam kvadrat seçim üsulu. Metodların birləşməsi

Əvvəllər öyrənilmiş çoxhədli faktorinqin əsas üsullarını xatırlayın:

Mötərizədə ümumi amili, yəni çoxhədlinin bütün üzvlərində mövcud olan amili çıxarmaq üsulu. Məsələni nəzərdən keçirək:

Xatırladaq ki, monomial güclərin və ədədlərin məhsuludur. Bizim nümunəmizdə hər iki üzvün bəzi ümumi, eyni elementləri var.

Beləliklə, mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:

;

Xatırladaq ki, göstərilən çarpanı mötərizə ilə çarparaq, təsvirin düzgünlüyünü yoxlaya bilərsiniz.

qruplaşdırma üsulu. Çoxhədlidə ümumi amili çıxarmaq həmişə mümkün olmur. Bu halda, siz onun üzvlərini elə qruplara bölmək lazımdır ki, hər qrupda ümumi bir amili çıxarıb onu parçalamağa çalışın ki, qruplardakı amilləri çıxardıqdan sonra ortaq amil ortaya çıxsın. bütün ifadə və genişləndirilməsi davam edə bilər. Məsələni nəzərdən keçirək:

Birinci termini müvafiq olaraq dördüncü, ikincini beşinci, üçüncüsü altıncı ilə qruplaşdırın:

Qruplardakı ümumi amilləri çıxaraq:

İfadə ümumi faktora malikdir. Onu çıxaraq:

Qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi. Məsələni nəzərdən keçirək:

;

İfadəsini ətraflı yazaq:

Aydındır ki, qarşımızda fərqin kvadratının düsturu var, çünki iki ifadənin kvadratlarının cəmi var və ondan onların qoşa hasilatı çıxarılır. Düsturla yuvarlayaq:

Bu gün başqa bir yol öyrənəcəyik - tam kvadrat seçim metodu. Bu, cəminin kvadratının və fərqin kvadratının düsturlarına əsaslanır. Onları xatırlayın:

Cəmin kvadratının düsturu (fərq);

Bu düsturların özəlliyi ondadır ki, onlar iki ifadənin kvadratlarını və onların qoşa hasilini ehtiva edir. Məsələni nəzərdən keçirək:

İfadəsini yazaq:

Beləliklə, birinci ifadə, ikinci isə.

Cəmin və ya fərqin kvadratının düsturunu yaratmaq üçün ifadələrin qoşa hasilləri kifayət deyil. Onu əlavə etmək və çıxmaq lazımdır:

Cəmin tam kvadratını yığışdıraq:

Nəticə ifadəsini çevirək:

Kvadratların fərqini düsturla tətbiq edirik, xatırladaq ki, iki ifadənin kvadratlarının fərqi hasildir və onların fərqinə görə cəmidir:

Belə ki, bu üsul ilk növbədə ondan ibarətdir ki, kvadrat olan a və b ifadələrini müəyyən etmək, yəni bu nümunədə hansı ifadələrin kvadratlarını müəyyən etmək lazımdır. Bundan sonra, ikiqat məhsulun olub olmadığını yoxlamaq lazımdır və əgər yoxdursa, onu əlavə edib çıxarın, bu nümunənin mənasını dəyişməyəcək, lakin polinom kvadrat üçün düsturlardan istifadə edərək faktorlaşdırıla bilər. mümkünsə kvadratların cəmi və ya fərqi və fərqi.

Nümunələrin həllinə keçək.

Misal 1 - faktorlara ayırın:

Kvadrat olan ifadələri tapın:

Onların ikiqat məhsulunun nə olması lazım olduğunu yazaq:

İkiqat hasilini əlavə edib çıxaraq:

Gəlin cəminin tam kvadratını yığıb oxşarlarını verək:

Kvadratların fərqinin düsturuna uyğun olaraq yazacağıq:

Misal 2 - tənliyi həll edin:

;

Tənliyin sol tərəfində trinomial var. Bunu nəzərə almaq lazımdır. Fərqin kvadratının düsturundan istifadə edirik:

Birinci ifadənin kvadratı və qoşa hasilimiz var, ikinci ifadənin kvadratı yoxdur, onu əlavə edib çıxaq:

Tam kvadratı yığışdıraq və oxşar şərtləri verək:

Kvadratların fərqi düsturunu tətbiq edək:

Beləliklə, tənliyi əldə etdik

Biz bilirik ki, hasil yalnız o halda sıfıra bərabərdir ki, amillərdən heç olmasa biri sıfıra bərabər olsun. Buna əsaslanaraq tənlikləri yazacağıq:

Birinci tənliyi həll edək:

İkinci tənliyi həll edək:

Cavab: və ya

;

Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə hərəkət edirik - fərqin kvadratını seçin.

Məhsul əldə etmək üçün polinomları genişləndirmək bəzən çaşqın görünür. Ancaq prosesi addım-addım başa düşsəniz, o qədər də çətin deyil. Məqalədə kvadrat trinomialın necə faktorlara bölünməsi ətraflı təsvir edilmişdir.

Çoxları kvadrat trinomialın necə faktorlara bölünməsini və bunun niyə edildiyini başa düşmür. Əvvəlcə bunun faydasız bir məşq olduğu görünə bilər. Amma riyaziyyatda heç bir şey elə deyil. Transformasiya ifadəni sadələşdirmək və hesablamanın rahatlığı üçün lazımdır.

- ax² + bx + c formasına malik çoxhədli, kvadrat trinomial adlanır."A" termini mənfi və ya müsbət olmalıdır. Praktikada bu ifadə kvadrat tənlik adlanır. Buna görə də bəzən fərqli deyirlər: necə parçalanacaq kvadrat tənlik.

Maraqlıdır! Kvadrat polinom ən böyük dərəcəsinə görə adlanır - kvadrat. Və trinomial - 3 komponentli şərtlərə görə.

Bəzi digər polinom növləri:

• xətti binom (6x+8);
• kub dördbucaqlı (x³+4x²-2x+9).

Kvadrat trinomialın faktorlaşdırılması

Əvvəlcə ifadə sıfıra bərabərdir, sonra x1 və x2 köklərinin dəyərlərini tapmaq lazımdır. Kök olmaya bilər, bir və ya iki kök ola bilər. Köklərin olması diskriminant tərəfindən müəyyən edilir. Onun formulunu əzbər bilmək lazımdır: D=b²-4ac.

D nəticəsi mənfi olarsa, köklər yoxdur. Əgər müsbətdirsə, iki kök var. Nəticə sıfırdırsa, kök birdir. Köklər də düsturla hesablanır.

Diskriminantın hesablanması sıfırla nəticələnərsə, düsturlardan hər hansı birini tətbiq edə bilərsiniz. Praktikada düstur sadəcə qısaldılmışdır: -b / 2a.

Diskriminantın müxtəlif dəyərləri üçün düsturlar fərqlidir.

D müsbət olarsa:

D sıfırdırsa:

Onlayn kalkulyatorlar

İnternetdə onlayn kalkulyator var. Faktorlara ayırmaq üçün istifadə edilə bilər. Bəzi resurslar həlli addım-addım görmək imkanı verir. Bu cür xidmətlər mövzunu daha yaxşı başa düşməyə kömək edir, ancaq yaxşı başa düşməyə çalışmaq lazımdır.

Faydalı video: Kvadrat trinomialın faktorinqi

Nümunələr

Sizi baxmağa dəvət edirik sadə nümunələr kvadrat tənliyi necə çarpazlara ayırmaq olar.

Misal 1

Burada aydın şəkildə göstərilir ki, nəticə iki x olacaq, çünki D müsbətdir. Onlar formulda əvəz edilməlidir. Köklər mənfi olarsa, düsturdakı işarə tərsinə çevrilir.

Biz parçalanma düsturunu bilirik kvadrat trinomialçarpanları: a(x-x1)(x-x2). Dəyərləri mötərizədə qoyuruq: (x+3)(x+2/3). Göstəricidə termindən əvvəl heç bir rəqəm yoxdur. Bu o deməkdir ki, vahid var, aşağı salınıb.

Misal 2

Bu nümunə bir kökə malik tənliyin necə həll olunacağını açıq şəkildə göstərir.

Yaranan dəyəri əvəz edin:

Misal 3

Verilmiş: 5x²+3x+7

Əvvəlcə əvvəlki hallarda olduğu kimi diskriminantı hesablayırıq.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant mənfidir, yəni heç bir kök yoxdur.

Nəticəni aldıqdan sonra mötərizələri açmağa və nəticəni yoxlamağa dəyər. Orijinal trinomial görünməlidir.

Alternativ həll

Bəzi insanlar heç vaxt diskriminantla dostluq edə bilməyiblər. Kvadrat trinomialı faktorlara ayırmağın başqa bir yolu var. Rahatlıq üçün üsul bir nümunədə göstərilmişdir.

Verilmiş: x²+3x-10

Bilirik ki, 2 mötərizə ilə bitirməliyik: (_) (_). İfadə belə göründükdə: x² + bx + c, hər mötərizənin əvvəlinə x qoyuruq: (x_) (x_). Qalan iki ədəd "c" verən məhsuldur, yəni bu halda -10. Bu nömrələrin nə olduğunu öyrənmək üçün yalnız seçim metodundan istifadə edə bilərsiniz. Əvəz edilmiş nömrələr qalan terminə uyğun olmalıdır.

Məsələn, aşağıdakı ədədləri vurmaq -10 verir:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Yox.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Yox.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Yox.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Uyğundur.

Beləliklə, x2+3x-10 ifadəsinin çevrilməsi belə görünür: (x-2)(x+5).

Vacibdir!İşarələri qarışdırmamaq üçün diqqətli olmalısınız.

Mürəkkəb trinomialın parçalanması

Əgər "a" birdən böyükdürsə, çətinliklər başlayır. Ancaq hər şey göründüyü qədər çətin deyil.

Faktorlara ayırmaq üçün əvvəlcə bir şeyi faktorlardan çıxarmaq mümkün olub-olmadığını görmək lazımdır.

Məsələn, ifadə verilmişdir: 3x²+9x-30. Burada 3 rəqəmi mötərizədən çıxarılır:

3(x²+3x-10). Nəticə artıq məlum olan trinomialdır. Cavab belə görünür: 3(x-2)(x+5)

Kvadrat olan termin mənfi olarsa necə parçalanmalı? Bu zaman mötərizədə -1 rəqəmi çıxarılır. Məsələn: -x²-10x-8. Sonra ifadə belə görünəcək:

Sxem əvvəlkindən az fərqlənir. Yalnız bir neçə yeni şey var. Tutaq ki, ifadə verilmişdir: 2x²+7x+3. Cavab da 2 mötərizədə yazılır ki, bu da (_) (_) yerinə doldurulmalıdır. 2-ci mötərizədə X yazılır, 1-də nə qalır. Bu belə görünür: (2x_)(x_). Əks halda, əvvəlki sxem təkrarlanır.

3 rəqəmi rəqəmləri verir:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Verilmiş ədədləri əvəz etməklə tənlikləri həll edirik. Son seçim uyğun gəlir. Beləliklə, 2x²+7x+3 ifadəsinin çevrilməsi belə görünür: (2x+1)(x+3).

Digər hallar

Bir ifadəni çevirmək həmişə mümkün deyil. İkinci üsulda tənliyin həlli tələb olunmur. Amma terminləri məhsula çevirmək imkanı yalnız diskriminant vasitəsilə yoxlanılır.

Düsturlardan istifadə edərkən heç bir çətinlik olmaması üçün kvadrat tənliklərin həllini məşq etməyə dəyər.

Faydalı video: trinomialın faktorlara bölünməsi

Nəticə

İstənilən şəkildə istifadə edə bilərsiniz. Ancaq hər ikisini avtomatizmə çevirmək daha yaxşıdır. Həmçinin həyatlarını riyaziyyatla bağlamağa hazırlaşanlar kvadrat tənlikləri yaxşı həll etməyi və çoxhədliləri amillərə ayırmağı öyrənməlidirlər. Aşağıdakı bütün riyazi mövzular bunun üzərində qurulub.

ilə təmasda

Çoxhədlilərin faktorlara bölünməsinə 8 misal verilmişdir. Bunlara kvadrat və bikvadrat tənliklərin həlli nümunələri, təkrarlanan çoxhədlilərlə nümunələr, üçüncü və dördüncü dərəcəli çoxhədlilərin tam köklərinin tapılması nümunələri daxildir.

Məzmun

Həmçinin bax: Polinomların faktorinq üsulları
Kvadrat tənliyin kökləri
Kub tənliklərinin həlli

1. Kvadrat tənliyin həlli ilə bağlı nümunələr

Misal 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

X çıxarın 2 mötərizələr üçün:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Tənliyin kökləri:
, .

.

Misal 1.2

Üçüncü dərəcə çoxhədlinin faktorlanması:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Mötərizədə x-i çıxarırıq:
.
Kvadrat tənliyi x həll edirik 2 + 6 x + 9 = 0:
Onun diskriminantıdır.
Diskriminant sıfıra bərabər olduğu üçün tənliyin kökləri çoxalır: ;
.

Buradan polinomun amillərə parçalanmasını əldə edirik:
.

Misal 1.3

Beşinci dərəcə çoxhədlinin faktorlanması:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

X çıxarın 3 mötərizələr üçün:
.
Kvadrat tənliyi x həll edirik 2 - 2 x + 10 = 0.
Onun diskriminantıdır.
Diskriminant sıfırdan kiçik olduğu üçün tənliyin kökləri mürəkkəbdir: ;
, .

Polinomun faktorlara bölünməsi aşağıdakı formaya malikdir:
.

Əgər biz real əmsallarla faktorinqlə maraqlanırıqsa, onda:
.

Düsturlardan istifadə edərək çoxhədlilərin faktorinqinə nümunələr

Bikvadrat çoxhədlilərlə nümunələr

Misal 2.1

Bikvadrat çoxhədlini çarpayılara ayırın:
x 4 + x 2 - 20.

Formulları tətbiq edin:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Misal 2.2

Biquadratikə endirən çoxhədli faktorlara ayırma:
x 8 + x 4 + 1.

Formulları tətbiq edin:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Rekursiv polinom ilə nümunə 2.3

Rekursiv polinomun faktorlanması:
.

Rekursiv polinom tək dərəcəyə malikdir. Buna görə də onun x = - kökü var. 1 . Polinomu x-ə bölürük - (-1) = x + 1. Nəticədə alırıq:
.
Əvəz edirik:
, ;
;


;
.

Tam köklü çoxhədlilərin faktorinq nümunələri

Misal 3.1

Polinomun faktorlanması:
.

Tutaq ki, tənliyi

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Beləliklə, üç kök tapdıq:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
İlkin çoxhədli üçüncü dərəcəli olduğundan onun üçdən çox kökü yoxdur. Üç kök tapdığımız üçün onlar sadədir. Sonra
.

Misal 3.2

Polinomun faktorlanması:
.

Tutaq ki, tənliyi

ən azı bir tam kökə malikdir. Sonra ədədin bölənidir 2 (x olmayan üzv). Yəni bütün kök ədədlərdən biri ola bilər:
-2, -1, 1, 2 .
Bu dəyərləri bir-bir əvəz edin:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Beləliklə, bir kök tapdıq:
x 1 = -1 .
Çoxhədlini x - x-ə bölürük 1 = x - (-1) = x + 1:


Sonra,
.

İndi üçüncü dərəcəli tənliyi həll etməliyik:
.
Əgər bu tənliyin tam kökə malik olduğunu fərz etsək, o, ədədin bölənidir. 2 (x olmayan üzv). Yəni bütün kök ədədlərdən biri ola bilər:
1, 2, -1, -2 .
x = əvəz edin -1 :
.

Beləliklə, başqa bir x kökü tapdıq 2 = -1 . Əvvəlki halda olduğu kimi, çoxhədlini -ə bölmək mümkün olardı, lakin biz şərtləri qruplaşdıracağıq:
.

Nə faktorizasiya? Bu, yöndəmsiz və mürəkkəb nümunəni sadə və sevimli nümunəyə çevirməyin bir yoludur.) Çox güclü hiylə! Həm ibtidai riyaziyyatda, həm də ali riyaziyyatda hər addımda baş verir.

Riyazi dildə belə çevrilmələrə ifadələrin eyni çevrilmələri deyilir. Mövzuda kim yoxdur - linkdə gəzin. Çox az, sadə və faydalıdır.) İstənilən eyni çevrilmənin mənası ifadəni yazmaqdır fərqli formada mahiyyətini qoruyub saxlayaraq.

Məna faktorizasiyalar son dərəcə sadə və başa düşüləndir. Başlığın özündən. Siz çarpanın nə olduğunu unuda bilərsiniz (ya da bilmirsiniz), lakin bu sözün "çoxalmaq" sözündən gəldiyini anlaya bilərsinizmi?) Faktorinq deməkdir: ifadəni bir şeyin bir şeylə çoxalması kimi təmsil edir. Məni bağışlayın riyaziyyat və rus dili ...) Və budur.

Məsələn, 12 rəqəmini parçalamaq lazımdır. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz:

Beləliklə, biz 12 rəqəmini 3-ün 4-ə vurması kimi təqdim etdik. Nəzərə alın ki, sağdakı (3 və 4) rəqəmlər soldakıdan (1 və 2) tamamilə fərqlidir. Amma biz yaxşı bilirik ki, 12 və 3 4 eyni. Transformasiyadan 12 rəqəminin mahiyyəti dəyişməyib.

12-ni başqa üsulla parçalamaq olarmı? Asanlıqla!

12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=.........

Parçalanma variantları sonsuzdur.

Rəqəmləri amillərə bölmək faydalı bir şeydir. Bu, məsələn, köklərlə məşğul olanda çox kömək edir. Ancaq cəbri ifadələrin faktorlara bölünməsi faydalı bir şey deyil, bu - zəruri! Sadəcə məsələn:

Sadələşdirin:

İfadəni faktorlara ayırmağı bilməyənlər isə bir kənarda dincəlir. Kim necə bilir - sadələşdirir və alır:

Təsiri heyrətamizdir, elə deyilmi?) Yeri gəlmişkən, həll yolu olduqca sadədir. Aşağıda özünüz görəcəksiniz. Və ya, məsələn, belə bir tapşırıq:

Tənliyi həll edin:

x 5 - x 4 = 0

Yeri gəlmişkən, ağılla qərar verdi. Faktorizasiyanın köməyi ilə. Aşağıda bu nümunəni həll edəcəyik. Cavab: x 1 = 0; x2 = 1.

Və ya eyni şey, lakin yaşlılar üçün):

Tənliyi həll edin:

Bu misallarda mən göstərmişəm Əsas məqsəd faktorlara ayırmalar: kəsr ifadələrinin sadələşdirilməsi və bəzi növ tənliklərin həlli. Əsas qaydanı xatırlamağı tövsiyə edirəm:

Dəhşətli kəsr ifadəmiz varsa, pay və məxrəci faktorlara ayırmağa cəhd edə bilərik. Çox vaxt fraksiya azaldılır və sadələşdirilir.

Qarşımızda sağda sıfır və solda bir tənlik varsa - nə başa düşmürsən, sol tərəfi faktorlara ayırmağa cəhd edə bilərsiniz. Bəzən kömək edir.)

Faktorizasiyanın əsas üsulları.

Budur ən məşhur yollar:

4. Kvadrat trinomialın parçalanması.

Bu üsulları xatırlamaq lazımdır. O qaydadadır. Kompleks nümunələr yoxlanılır bütün mümkün parçalanma üsulları üçün. Qarışıq olmamaq üçün qaydada yoxlamaq daha yaxşıdır ... Gəlin qaydada başlayaq.)

1. Mötərizədə ümumi amilin çıxarılması.

Sadə və etibarlı yol. Ondan pis alınmaz! Ya yaxşı olur, ya heç olmur.) Ona görə də birincidir. Biz başa düşürük.

Hər kəs (inanıram!) qaydanı bilir:

a(b+c) = ab+ac

Və ya daha ümumi olaraq:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Bütün bərabərliklər həm soldan sağa, həm də əksinə, sağdan sola işləyir. Yaza bilərsiniz:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Mötərizədə ümumi amili çıxarmağın bütün məqamı budur.

Sol tərəfdə a - ümumi faktor bütün şərtlər üçün. Hər şeyə vurulur.) Ən doğrusu a artıq mötərizələr xaricində.

Praktik istifadə Nümunələrə nəzər salaq. Əvvəlcə variant sadədir, hətta primitivdir.) Amma bu variantda qeyd edəcəm ( yaşıl rəngdə) çox mühüm məqamlar hər hansı faktorizasiya üçün.

Çoxaltmaq:

ah+9x

Hansı general hər iki şərtdə çarpandır? X, əlbəttə! Biz onu mötərizədə çıxaracağıq. Biz belə edirik. Mötərizənin xaricində dərhal x yazırıq:

ax+9x=x(

Və mötərizədə bölmənin nəticəsini yazırıq hər müddət bu barədə x. Sıra ilə:

Hamısı budur. Təbii ki, bu qədər təfərrüatla boyamaq lazım deyil, Bu ağılda edilir. Ancaq nəyin nə olduğunu başa düşmək üçün arzuolunandır). Yaddaşda düzəldirik:

Mötərizənin xaricində ümumi amili yazırıq. Mötərizədə bütün şərtləri bu çox ümumi faktora bölmək nəticələrini yazırıq. Sırayla.

Burada ifadəni genişləndirdik ah+9xçarpanlar üçün. Onu x-ə vurmağa çevirdi (a + 9). Qeyd edim ki, orijinal ifadədə vurma da var idi, hətta iki: a x və 9 x. Lakin o faktorlaşdırılmamışdır!Çünki bu ifadədə vurma ilə yanaşı əlavə, "+" işarəsi də var idi! Və ifadədə x(a+9) vurmaqdan başqa heç nə!

Necə!? - Xalqın qəzəbli səsini eşidirəm - Və mötərizədə!?)

Bəli, mötərizədə əlavə var. Ancaq hiylə budur ki, mötərizələr açılmasa da, biz onları nəzərdən keçiririk bir hərf kimi. Və biz bütün hərəkətləri bütövlükdə mötərizələrlə edirik, bir hərf kimi. Bu mənada ifadədə x(a+9) vurmaqdan başqa bir şey deyil. Bu faktorizasiyanın bütün nöqtəsidir.

Yeri gəlmişkən, hər şeyi düzgün etdiyimizi yoxlamaq üçün bir yol varmı? Asan! Çıxarılanı (x) mötərizə ilə çoxaltmaq və onun işlədiyini görmək kifayətdir ilkin ifadə? Əgər işləyibsə, hər şey əladır!)

x(a+9)=ax+9x

baş verdi.)

Bu primitiv nümunədə heç bir problem yoxdur. Ancaq bir neçə şərt varsa və hətta ilə müxtəlif əlamətlər...Bir sözlə, hər üçüncü tələbə qarışır). Buna görə də:

Lazım gələrsə, faktorizasiyanı tərs vurma ilə yoxlayın.

Çoxaltmaq:

3ax+9x

Biz ümumi amil axtarırıq. Yaxşı, X ilə hər şey aydındır, buna dözmək olar. Daha varmı general amil? Bəli! Bu üçlükdür. Siz həmçinin ifadəni belə yaza bilərsiniz:

3x+3 3x

Burada ortaq amilin olacağı dərhal aydın olur 3x. Burada onu çıxarırıq:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Yaymaq.

Və götürsəniz nə olar yalnız x? Xüsusi heçnə:

3ax+9x=x(3a+9)

Bu da faktorizasiya olacaq. Amma bunda həyəcanlı proses Fürsət olduğu halda hər şeyi dayanana qədər düzmək adətdir. Burada mötərizədə üçlü çıxarmaq imkanı var. Alın:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Eyni şey, yalnız bir əlavə hərəkətlə.) Unutmayın:

Mötərizədə ümumi faktoru çıxararkən biz çıxarmağa çalışırıq maksimumümumi çarpan.

Gəlin əyləncəyə davam edək?

İfadə faktorinqi:

3ax+9x-8a-24

Nə çıxaracağıq? Üç, X? Yox... Edə bilməzsən. Sizə xatırladıram ki, yalnız götürə bilərsiniz generalçarpan yəni bütünlüklə ifadə şərtləri. Ona görə də o general. Burada belə bir çarpan yoxdur ... Nə, düzə bilməzsən!? Yaxşı, bəli, sevindik, necə ... Tanış:

2. Qruplaşdırma.

Əslində qruplaşmanın adını çəkmək çətindir müstəqil şəkildə faktorizasiyalar. Bu, daha çox mürəkkəb nümunədən çıxış yoludur.) Şərtləri elə qruplaşdırmalısınız ki, hər şey düzəlsin. Bunu yalnız bir nümunə ilə göstərmək olar. Beləliklə, bir ifadəmiz var:

3ax+9x-8a-24

Bəzi ümumi hərflərin və rəqəmlərin olduğunu görmək olar. Amma... General bütün şərtlərdə olmaq üçün çarpan yoxdur. Ürəyi itirməyin və ifadəni parçalara ayırırıq. Qrup edirik. Beləliklə, hər parçada ortaq bir amil var idi, çıxarmaq üçün bir şey var idi. Necə qıraq? Bəli, sadəcə mötərizə.

Nəzərinizə çatdırım ki, mötərizələr istənilən yerdə və istənilən şəkildə yerləşdirilə bilər. Təkcə misalın mahiyyəti dəyişmədi. Məsələn, bunu edə bilərsiniz:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

İkinci mötərizələrə diqqət yetirin! Onlardan əvvəl mənfi işarə qoyulur və 8a və 24 pozitiv olun! Doğrulama üçün mötərizələri geri açsaq, işarələr dəyişəcək və alırıq ilkin ifadə. Bunlar. mötərizədə olan ifadənin mahiyyəti dəyişməyib.

Ancaq işarə dəyişikliyini nəzərə almadan sadəcə mötərizədə qoysanız, məsələn, belə:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8a-24 )

səhv olacaq. Düzdü - artıq digər ifadə. Mötərizələri genişləndirin və hər şey aydın olacaq. Daha çox qərar verə bilməzsiniz, bəli ...)

Ancaq faktorizasiyaya qayıt. İlk mötərizələrə baxın (3ax + 9x) və düşün, nəyəsə dözmək olarmı? Yaxşı, bu nümunəni yuxarıda həll etdik, onu çıxara bilərik 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

İkinci mötərizəni öyrənirik, orada səkkizi çıxara bilərsiniz:

(8a+24)=8(a+3)

Bütün ifadəmiz belə olacaq:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Çoxaldı? Yox. Parçalanma ilə nəticələnməlidir yalnız çarpma, və bizdə mənfi işarə hər şeyi korlayır. Amma... Hər iki terminin ortaq amili var! o (a+3). Mötərizələrin bütövlükdə, sanki bir hərf olduğunu deməyim əbəs deyildi. Beləliklə, bu mötərizələr mötərizələrdən çıxarıla bilər. Bəli, tam olaraq belə səslənir.)

Yuxarıda təsvir edildiyi kimi edirik. Ümumi faktoru yazın (a+3), ikinci mötərizədə şərtlərin bölünməsinin nəticələrini yazırıq (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Hər şey! Sağda, vurmaqdan başqa bir şey yoxdur! Beləliklə, faktorizasiya uğurla tamamlandı!) Budur:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Qrupun mahiyyətini təkrarlayaq.

İfadə yoxdursa generalüçün çarpan hamısışərtlərlə ifadəni mötərizədə elə bölürük ki, mötərizədə ümumi faktor olsun idi. Gəlin onu çıxaraq və görək nə baş verir. Bəxtimiz gətirsə və mötərizədə tam olaraq eyni ifadələr qalsa, bu mötərizələri mötərizədən çıxarırıq.

Əlavə edəcəyəm ki, qruplaşma yaradıcı prosesdir). Həmişə ilk dəfə işləmir. Hər şey qaydasındadır. Bəzən şərtləri dəyişdirməlisən, yaxşı birini tapana qədər müxtəlif qruplaşdırma variantlarını nəzərdən keçirməlisən. Burada əsas şey ruhdan düşməməkdir!)

Nümunələr.

İndi biliklə zənginləşərək çətin nümunələri həll edə bilərsiniz.) Dərsin əvvəlində bunlardan üçü var idi ...

Sadələşdirin:

Əslində, biz bu nümunəni artıq həll etmişik. Özümə hiss olunmadan.) Xatırladıram: əgər bizə dəhşətli bir kəsr verilirsə, biz say və məxrəci amillərə parçalamağa çalışırıq. Digər sadələşdirmə variantları sadəcə yox.

Yaxşı, burada məxrəc parçalanmır, ancaq pay ... Biz artıq dərsin gedişində payı parçalamışıq! Bunun kimi:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Genişlənmənin nəticəsini kəsrin payına yazırıq:

Kəsrin azaldılması qaydasına (kəsirin əsas xassəsi) uyğun olaraq (eyni zamanda!) pay və məxrəci eyni ədədə, yaxud ifadəyə bölə bilərik. Bundan fraksiya dəyişmir. Beləliklə, biz pay və məxrəci ifadə ilə bölürük (3x-8). Və burada və orada vahidlər alırıq. Yekun sadələşdirmə nəticəsi:

Xüsusilə vurğulayıram: kəsrin azaldılması yalnız və yalnız o halda mümkündür ki, ifadələri vurmaqla yanaşı, say və məxrəcdə olsun. heç nə yoxdur. Məhz buna görə də cəminin (fərqin) çevrilməsi vurma sadələşdirmək çox vacibdir. Təbii ki, əgər ifadələr müxtəlif, onda heç nə azalmayacaq. Byvet. Amma faktorizasiya şans verir. Parçalanmadan bu şans - sadəcə mövcud deyil.

Tənlik nümunəsi:

Tənliyi həll edin:

x 5 - x 4 = 0

Ümumi faktoru çıxarmaq x 4 mötərizələr üçün. Biz əldə edirik:

x 4 (x-1)=0

Faktorların hasilinin sıfıra bərabər olduğunu fərz edirik sonra və yalnız bundan sonra onlardan hər hansı biri sıfıra bərabər olduqda. Əgər şübhəniz varsa, mənə sıfırdan fərqli bir neçə ədəd tapın ki, onlar vurulduqda sıfır verəcəklər.) Beləliklə, birinci amili yazırıq:

Bu bərabərliklə ikinci amil bizi narahat etmir. Hər kəs ola bilər, onsuz da, sonda sıfır çıxacaq. Sıfırın dördüncü dərəcəsinə qədər olan ədəd nədir? Yalnız sıfır! Və başqa heç nə ... Buna görə də:

Birinci faktoru anladıq, bir kök tapdıq. Gəlin ikinci amillə məşğul olaq. İndi birinci çarpana əhəmiyyət vermirik.):

Burada bir həll tapdıq: x 1 = 0; x2 = 1. Bu köklərdən hər hansı biri bizim tənliyimizə uyğun gəlir.

Çox vacib qeyd. Qeyd edək ki, tənliyi həll etmişik yavaş-yavaş! Hər bir amil sıfıra təyin edildi. digər amillərdən asılı olmayaraq. Yeri gəlmişkən, əgər belə bir tənlikdə bizdə olduğu kimi iki deyil, üç, beş, istədiyiniz qədər amil varsa, qərar verəcəyik. oxşar. Parça-parça. Misal üçün:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Mötərizələri açan, hər şeyi çoxaldan, əbədi olaraq bu tənlikdən asılı olacaq.) Düzgün şagird dərhal solda vurmadan başqa heç bir şey olmadığını görəcək, sağda - sıfır. Və o (ağlında!) Bütün mötərizələri sıra ilə sıfıra bərabərləşdirməyə başlayacaq. Və o (10 saniyəyə!) düzgün həlli tapacaq: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Əla, eləmi?) Belə bir zərif həll tənliyin sol tərəfi olarsa mümkündür qatlara bölün.İpucu aydındır?)

Yaxşı, son nümunə, yaşlılar üçün):

Tənliyi həll edin:

Bir qədər əvvəlkinə bənzəyir, elə deyilmi?) Əlbəttə. Yeddinci sinif cəbrində hərflərin sinusları, loqarifmləri və hər şeyi gizlədə biləcəyini xatırlamağın vaxtı gəldi! Faktorinq bütün riyaziyyatda işləyir.

Ümumi faktoru çıxarmaq lg4x mötərizələr üçün. Biz əldə edirik:

lg 4x=0

Bu bir kökdür. Gəlin ikinci amillə məşğul olaq.

Yekun cavab budur: x 1 = 1; x2 = 10.

Ümid edirəm ki, siz fraksiyaların sadələşdirilməsində və tənliklərin həllində faktorinqin gücünü dərk etmisiniz.)

Bu dərsdə ümumi faktorun çıxarılması və qruplaşdırılması ilə tanış olduq. Qısaldılmış vurma və kvadrat trinomial üçün düsturlarla məşğul olmaq qalır.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.