Əslində, bir fiqurun sahəsini tapmaq üçün qeyri-müəyyən və müəyyən inteqral haqqında o qədər də çox biliyə ehtiyacınız yoxdur. Tapşırıq "istifadə edərək ərazini hesablayın müəyyən inteqral"həmişə bir rəsm tikintisini əhatə edir, buna görə də sizin bilik və rəsm bacarıqlarınız daha aktual məsələ olacaq. Bu baxımdan, əsas qrafiklər haqqında yaddaşınızı yeniləmək faydalıdır elementar funksiyalar, və ən azı düz xətt və hiperbola qurmağı bacarın.

Əyri trapesiya ox, düz xətlər və bu intervalda işarəsini dəyişməyən seqmentdə davamlı funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan düz fiqurdur. Bu rəqəm yerləşsin az deyil x oxu:

Sonra əyri xətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir. Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var.

Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır.

Yəni, müəyyən bir inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq müəyyən bir fiqurun sahəsinə uyğundur. Məsələn, müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək. İnteqral oxun üstündə yerləşən müstəvidə əyri müəyyən edir (arzu edənlər rəsm çəkə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.

Misal 1

Bu tipik bir tapşırıq bəyanatıdır. Birinci və ən vacib an həllər - rəsm çəkmək. Üstəlik, rəsm qurulmalıdır SAĞ.

Bir rəsm qurarkən aşağıdakı ardıcıllığı tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün düz xətləri (əgər onlar varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız Sonra- parabola, hiperbola, başqa funksiyaların qrafikləri. Funksiyaların qrafiklərini qurmaq daha sərfəlidir nöqtə nöqtə.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.
Rəsmi çəkək (qeyd edək ki, tənlik oxu müəyyən edir):

Seqmentdə funksiyanın qrafiki yerləşir oxun üstündə, Buna görə də:

Cavab:

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, belə görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabı alsaq: 20 kvadrat vahid, onda haradasa səhv edildiyi açıqdır - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Misal 3

Xətlər və koordinat oxları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Gəlin rəsm çəkək:

Əgər əyri trapesiya yerləşirsə oxun altında(və ya heç olmasa daha yüksək deyil verilmiş ox), onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:

Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən sadəcə olaraq müəyyən bir inteqralı heç biri olmadan həll etməyiniz xahiş olunursa həndəsi məna, onda mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

Ərazi tapın düz fiqur, xətlərlə məhdudlaşır, .

Həll: Əvvəlcə rəsmi tamamlamalısınız. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Bu o deməkdir ki, inteqrasiyanın aşağı həddi, inteqrasiyanın yuxarı həddidir.

Mümkünsə, bu üsuldan istifadə etməmək daha yaxşıdır..

Nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq daha sərfəli və sürətlidir və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir. Və belə bir nümunəni də nəzərdən keçirəcəyik.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Gəlin rəsm çəkək:

İndi iş düsturu: Seqmentdə fasiləsiz funksiya varsa -dən böyük və ya bərabərdir bəzi fasiləsiz funksiya , onda bu funksiyaların qrafikləri və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi , , düsturdan istifadə edərək tapıla bilər:

Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyi barədə düşünməyə ehtiyac yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında və kobud desək, hansı qrafikin DAHA YÜKSƏK olması vacibdir(başqa bir qrafikə nisbətən), və hansı AŞAĞIDA.

Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Tamamlanmış həll bu kimi görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.
Seqmentdə, müvafiq düstura görə:

Cavab:

Misal 4

, , , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Əvvəlcə bir rəsm çəkək:

Sahəsini tapmalı olduğumuz rəqəm mavi rəngdədir(şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən tez-tez yaşıl rənglə kölgələnmiş bir fiqurun sahəsini tapmaq lazım olan bir "xətt" baş verir!

Bu nümunə həm də ona görə faydalıdır ki, o, iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayır.

Həqiqətən:

1) Oxun üstündəki seqmentdə düz xəttin qrafiki var;

2) Oxun üstündəki seqmentdə hiperbolanın qrafiki var.

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Fiqurun sahəsinin hesablanması- bu bəlkə də ən çox biridir mürəkkəb vəzifələr sahə nəzəriyyəsi. Məktəb həndəsəsində sizə əsas sahələri tapmağı öyrədirlər həndəsi fiqurlar məsələn, üçbucaq, romb, düzbucaqlı, trapesiya, dairə və s. Bununla belə, siz tez-tez daha mürəkkəb rəqəmlərin sahələrini hesablamaqla məşğul olmalısınız. Məhz belə məsələləri həll edərkən inteqral hesablamadan istifadə etmək çox rahatdır.

Tərif.

Əyrixətli trapesiya y = f(x), y = 0, x = a və x = b xətləri ilə məhdudlaşan bəzi G fiqurunu adlandıraq və f(x) funksiyası [a] seqmentində kəsilməzdir; b] və üzərindəki işarəsini dəyişmir (şək. 1).Əyri trapezoidin sahəsi S(G) ilə işarələnə bilər.

f(x) funksiyası üçün [a intervalında davamlı və qeyri-mənfi olan müəyyən inteqral ʃ a b f(x)dx; b] və müvafiq əyri trapezoidin sahəsidir.

Yəni, y = f(x), y = 0, x = a və x = b xətləri ilə məhdudlaşan G fiqurunun sahəsini tapmaq üçün müəyyən inteqral ʃ a b f(x)dx hesablamaq lazımdır. .

Beləliklə, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

y = f(x) funksiyası [a üzərində müsbət deyilsə; b], onda əyri trapezoidin sahəsi düsturdan istifadə edərək tapıla bilər S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Misal 1.

y = x 3 xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın; y = 1; x = 2.

Həll.

Verilmiş xətlər lyuklarla göstərilən ABC rəqəmini təşkil edir düyü. 2.

Tələb olunan sahə əyri trapesiya DACE və DABE kvadratının sahələri arasındakı fərqə bərabərdir.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) düsturundan istifadə edərək inteqrasiyanın hədlərini tapırıq. Bunu etmək üçün iki tənlik sistemini həll edirik:

(y = x 3,
(y = 1.

Beləliklə, bizdə x 1 = 1 – aşağı həddi və x = 2 – yuxarı həddi var.

Beləliklə, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (kv. vahid).

Cavab: 11/4 kv. vahidlər

Misal 2.

y = √x xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın; y = 2; x = 9.

Həll.

Verilmiş xətlər yuxarıda funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşdırılan ABC rəqəmini təşkil edir

y = √x, aşağıda isə y = 2 funksiyasının qrafiki verilmişdir. Nəticə rəqəmi lyukdan çıxarmaqla göstərilir. düyü. 3.

Tələb olunan sahə S = ʃ a b (√x – 2) təşkil edir. İnteqrasiya hədlərini tapaq: b = 9, a tapmaq üçün iki tənlik sistemini həll edirik:

(y = √x,
(y = 2.

Beləliklə, bizdə x = 4 = a var - bu, aşağı hədddir.

Deməli, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (kv. vahid).

Cavab: S = 2 2/3 kv. vahidlər

Misal 3.

y = x 3 – 4x xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın; y = 0; x ≥ 0.

Həll.

x ≥ 0 üçün y = x 3 – 4x funksiyasının qrafikini çəkək. Bunun üçün y’ törəməsini tapın:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 at x = ±2/√3 ≈ 1.1 – kritik nöqtələr.

Əgər biz kritik nöqtələri say xəttində çəksək və törəmənin işarələrini düzsək, görərik ki, funksiya sıfırdan 2/√3-ə qədər azalır və 2/√3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər artır. Onda x = 2/√3 minimum nöqtə, y min = -16/(3√3) ≈ -3 funksiyasının minimum qiymətidir.

Qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edək:

x = 0 olarsa, y = 0, yəni A(0; 0) Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsidir;

y = 0 olarsa, x 3 – 4x = 0 və ya x(x 2 – 4) = 0 və ya x(x – 2)(x + 2) = 0, buradan x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (uyğun deyil, çünki x ≥ 0).

A(0; 0) və B(2; 0) nöqtələri qrafikin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələridir.

Verilmiş sətirlər OAB rəqəmini təşkil edir ki, bu da daxil olmaqla göstərilir düyü. 4.

y = x 3 – 4x funksiyası (0; 2) üzərində mənfi qiymət aldığına görə

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Bizdə: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, buradan S = 4 kv. vahidlər

Cavab: S = 4 kv. vahidlər

Misal 4.

y = 2x 2 – 2x + 1 parabola, x = 0, y = 0 xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini və absis x 0 = 2 nöqtəsində bu parabolaya toxunan nöqtəni tapın.

Həll.

Əvvəlcə absis x₀ = 2 olan nöqtədə y = 2x 2 – 2x + 1 paraboluna tangens üçün tənlik yaradaq.

y’ = 4x – 2 törəməsi olduğundan, x 0 = 2 üçün k = y’(2) = 6 alırıq.

Tangens nöqtəsinin ordinatını tapaq: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Buna görə də, tangens tənliyi formaya malikdir: y – 5 = 6(x ​​– 2) və ya y = 6x – 7.

Xəttlərlə məhdudlaşan bir fiqur quraq:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: A(0; 1) – Oy oxu ilə; Ox oxu ilə - kəsişmə nöqtələri yoxdur, çünki 2x 2 – 2x + 1 = 0 tənliyinin həlli yoxdur (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, yəni B parabola nöqtəsinin təpəsi B(1/2; 1/2) koordinatlarına malikdir.

Beləliklə, sahəsi müəyyən edilməli olan fiqur lyuklarla göstərilir düyü. 5.

Bizdə: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Şərtdən D nöqtəsinin koordinatlarını tapaq:

6x – 7 = 0, yəni. x = 7/6, yəni DC = 2 – 7/6 = 5/6.

DBC üçbucağının sahəsini S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC düsturundan istifadə edərək tapırıq. Beləliklə,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 kv. vahidlər

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (kv. vahid).

Nəhayət əldə edirik: S O A B D = S OABC – S ADBC  = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (kv. vahid).

Cavab: S = 1 1/4 kv. vahidlər

Biz nümunələrə baxdıq verilmiş xətlərlə hüdudlanmış fiqurların sahələrini tapmaq. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün müstəvidə funksiyaların xətlərini və qrafiklərini çəkməyi, xətlərin kəsişmə nöqtələrini tapmağı, müəyyən inteqralları hesablamaq bacarığını nəzərdə tutan sahəni tapmaq üçün düstur tətbiq etməyi bacarmaq lazımdır.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Tərifdən belə çıxır ki, qeyri-mənfi f(x) funksiyası üçün müəyyən inteqral y = f(x) əyrisi, x = a, x = b düz xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir. və absis = 0 (Şəkil 4.1).

Əgər – f(x) funksiyası qeyri-müsbətdirsə, onda müəyyən inteqraldır
mənfi işarə ilə götürülmüş müvafiq əyri trapezoidin sahəsinə bərabərdir (Şəkil 4.7).

Şəkil 4.7 – Müsbət olmayan funksiya üçün müəyyən inteqralın həndəsi mənası

İxtiyari fasiləsiz f(x) funksiyası üçün müəyyən inteqral
f(x) funksiyasının qrafikinin altında və absis oxundan yuxarıda yerləşən əyrixətti trapesiyaların sahələrinin cəminə, f(x) funksiyasının qrafikindən yuxarıda və aşağıda yerləşən əyrixətti trapesiyaların sahələrinin cəminə bərabərdir. absis oxu (Şəkil 4.8).

Şəkil 4.8 – İxtiyari fasiləsiz f(x) funksiyası üçün müəyyən inteqralın həndəsi mənası (artı işarəsi toplanan sahəsi, mənfi işarəsi isə çıxılan sahəni qeyd edir).

Təcrübədə əyri fiqurların sahələrini hesablayarkən aşağıdakı düstur tez-tez istifadə olunur:
, burada S [a,b] seqmentində y = f 1 (x) və y = f 2 (x) və f 1 (x) və f 2 (x) əyriləri arasında yerləşən fiqurun sahəsidir. ) bu seqmentdə müəyyən edilmiş fasiləsiz funksiyalardır ki, f 1 (x) ≥ f 2 (x) (bax Şəkil 4.9, 4.10).

Törəmənin iqtisadi mənası öyrənilərkən məlum olmuşdur ki, törəmə zamanla və ya tədqiq olunan digər amilə nisbətən hansısa iqtisadi obyektin və ya prosesin dəyişmə sürəti kimi çıxış edir. Müəyyən bir inteqralın iqtisadi mənasını müəyyən etmək üçün bu sürətin özünü zamanın və ya digər amilin funksiyası kimi nəzərdən keçirmək lazımdır. Onda müəyyən inteqral antitörəmə dəyişikliyini ifadə etdiyinə görə əldə edirik ki, iqtisadiyyatda bu obyektdə (prosesdə) müəyyən zaman müddətində (yaxud başqa amildə müəyyən dəyişikliklə) baş verən dəyişikliyi qiymətləndirir.

Məsələn, q=q(t) funksiyası zamandan asılı olaraq əmək məhsuldarlığını təsvir edirsə, onda bu funksiyanın müəyyən inteqralı.
t 0-dan t 1-ə qədər olan müddət ərzində Q məhsulunun həcmini əks etdirir.

Müəyyən inteqralların hesablanması üsullarıəvvəllər müzakirə edilən inteqrasiya metodlarına əsaslanır (biz sübutlar aparmayacağıq).

Qeyri-müəyyən inteqralı taparkən dəyişən dəyişmə metodundan istifadə etdik: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, burada x =(t) funksiyadır arasında nəzərə alınmaqla fərqlənə bilər. Müəyyən bir inteqral üçün dəyişən dəyişmə düsturu formasını alır
, Harada
və hər kəs üçün.

Misal 1. Tapın

t= 2 –x 2 olsun. Sonra dt= -2xdx və xdx= - ½dt.

x = 0 olduqda t= 2 – 0 2 = 2. x = 1t= 2 – 1 2 = 1. Sonra

Misal 2. Tapın

Misal 3. Tapın

Müəyyən bir inteqral üçün hissələr üzrə inteqral düsturu aşağıdakı formanı alır:
, Harada
.

Misal 1. Tapın

Qoy u=ln(1 +x),dv=dx. Sonra

Misal 2. Tapın

Müəyyən inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurların sahələrinin hesablanması

Misal 1. y = x 2 – 2 və y = x xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

y= x 2 – 2 funksiyasının qrafiki minimum nöqtəsi x= 0, y= -2 olan paraboladır; Absis oxu nöqtələrdə kəsişir
. y = x funksiyasının qrafiki düz xəttdir, qeyri-mənfi koordinat kvadrantının bissektrisasıdır.

Bu tənliklər sistemini həll etməklə y = x 2 – 2 parabolunun və y = x düz xəttinin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapaq:

x 2 – x - 2 = 0

x = 2; y= 2 və ya x = -1;y= -1

Beləliklə, sahəsi tapılmalı olan fiqur Şəkil 4.9-da göstərilə bilər.

Şəkil 4.9 – y = x 2 – 2 və y = x xətləri ilə məhdudlaşan şəkil

[-1, 2] seqmentində x ≥ x 2 – 2.

Düsturdan istifadə edək
, f 1 (x) = x qoymaq; f 2 (x) = x 2 – 2;a= -1;b= 2.

Misal 2. y = 4 - x 2 və y = x 2 - 2x xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

y = 4 - x 2 funksiyasının qrafiki maksimum nöqtəsi x = 0, y = 4 olan paraboladır; X oxu 2 və -2 nöqtələrində kəsişir. y = x 2 – 2x funksiyasının qrafiki minimum nöqtəsi 2x- 2 = 0, x = 1 olan paraboladır;y = -1; X oxu 0 və 2 nöqtələrində kəsişir.

Əyrilərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapaq:

4 - x 2 = x 2 - 2x

2x 2 – 2x - 4 = 0

x 2 – x - 2 = 0

x = 2; y= 0 və ya x = -1;y= 3

Beləliklə, sahəsi tapılmalı olan fiqur Şəkil 4.10-da göstərilə bilər.

Şəkil 4.10 - y = 4 - x 2 və y = x 2 – 2x xətləri ilə məhdudlaşan şəkil

[-1, 2] seqmentində 4 - x 2 ≥ x 2 – 2x.

Düsturdan istifadə edək
, f 1 (x) = 4 - - x 2 qoymaq; f 2 (x) = x 2 – 2x;a= -1;b= 2.

Misal 3. Mənfi olmayan koordinat kvadrantında y = 1/x; y= x 2 və y= 4 xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

y = 1/x funksiyasının qrafiki hiperboladır, müsbət x üçün aşağıya doğru qabarıqdır; koordinat oxları asimptotlardır. Mənfi olmayan koordinat kvadrantında y = x 2 funksiyasının qrafiki başlanğıcda minimum nöqtəsi olan parabolanın budağıdır. Bu qrafiklər 1/x = x 2 nöqtəsində kəsişir; x 3 = 1; x = 1; y = 1.

y = 1/x funksiyasının qrafiki y = 4 düz xəttini x = 1/4 nöqtəsində, y = x 2 funksiyasının qrafiki isə x = 2 (və ya -2) nöqtəsində kəsişir.

Beləliklə, sahəsi tapılmalı olan fiqur Şəkil 4.11-də göstərilə bilər.

Şəkil 4.11 - y = 1/x xətləri ilə məhdudlaşan şəkil; y= x 2 və y= 4 qeyri-mənfi koordinat kvadrantında

ABC rəqəminin tələb olunan sahəsi 4*(2 – ¼) = 7-yə bərabər olan ABHE düzbucaqlısının sahəsi ilə iki əyrixətti ACFE və trapezoidlərin sahələrinin cəmi arasındakı fərqə bərabərdir. CBHF. ACFE sahəsini hesablayaq:

SVНF sahəsini hesablayaq:

.

Deməli, tələb olunan sahə 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (vahid 2)-dir.

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək, müstəvi fiqurların sahələrini hesablaya bilərsiniz, çünki bu tapşırıq həmişə əyrixətli trapezoidlərin sahələrini hesablamağa gəlir.

Düzbucaqlı koordinat sistemindəki hər hansı bir fiqurun sahəsi oxa bitişik əyrixətti trapezoidlərin sahələrindən ibarət ola bilər. Oh və ya oxa OU.

Aşağıdakı plandan istifadə edərək müstəvi fiqurların sahələrinin hesablanması ilə bağlı problemləri həll etmək rahatdır:

1. Məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq sxematik çertyoj çəkin

2. Tələb olunan sahəni əyrixətti trapesiyaların sahələrinin cəmi və ya fərqi kimi təqdim edin. Məsələnin şərtlərindən və çertyojdan əyrixətti trapezoidin hər bir komponenti üçün inteqrasiyanın hədləri müəyyən edilir.

3. Hər bir funksiyanı formada yazın y = f(x).

4. Hər bir əyri trapezoidin sahəsini və istədiyiniz fiqurun sahəsini hesablayın.

Rəqəmlərin təşkili üçün bir neçə variantı nəzərdən keçirək.

1). Seqmentə qoyun [ a; b] funksiyası f(x) mənfi olmayan dəyərləri qəbul edir. Sonra funksiyanın qrafiki y = f(x) oxun üstündə yerləşir Oh.

S=

2). Seqmentə qoyun [ a; b] qeyri-müsbət davamlı funksiya f(x). Sonra funksiyanın qrafiki y = f(x) ox altında yerləşir Oh:

Belə bir rəqəmin sahəsi düsturla hesablanır: S = -

Belə bir rəqəmin sahəsi düsturla hesablanır: S=

4). Seqmentə qoyun [ a; b] funksiyası f(x) həm müsbət, həm də mənfi dəyərləri qəbul edir. Sonra seqment [ a; b] funksiyasının işarəsi dəyişməyən hissələrə bölünməli, sonra yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək bu hissələrə uyğun sahələri hesablayın və tapılan sahələri əlavə edin.

S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2

Biz ikiqat inteqralın hesablanmasının faktiki prosesini nəzərdən keçirməyə başlayırıq və onun həndəsi mənası ilə tanış oluruq.

İkiqat inteqral ədədi olaraq müstəvi fiqurun sahəsinə (inteqrasiya bölgəsi) bərabərdir. Bu, iki dəyişənin funksiyası birə bərabər olduqda ikiqat inteqralın ən sadə formasıdır: .

Əvvəlcə problemə ümumi formada baxaq. İndi hər şeyin nə qədər sadə olduğuna çox təəccüblənəcəksiniz! Xətlərlə məhdudlaşan düz bir fiqurun sahəsini hesablayaq. Dəqiqlik üçün seqmentdə olduğunu güman edirik. Bu rəqəmin sahəsi ədədi olaraq bərabərdir:

Rəsmdə ərazini təsvir edək:

Ərazini keçməyin ilk yolunu seçək:

Beləliklə:

Və dərhal mühüm texniki texnika: təkrarlanan inteqralları ayrıca hesablamaq olar. Əvvəlcə daxili inteqral, sonra xarici inteqral. Bu metodu mövzuya yeni başlayanlara çox tövsiyə edirəm.

1) Daxili inteqralı hesablayaq və inteqrasiya “y” dəyişəni üzərində aparılır:

Qeyri-müəyyən inteqral burada ən sadəsi, sonra isə banal Nyuton-Leybniz düsturu istifadə olunur, yeganə fərq budur inteqrasiyanın sərhədləri rəqəmlər deyil, funksiyalardır. Əvvəlcə onu “Y” hərfinə qoydular ( antitörəmə funksiyası) yuxarı həddi, sonra aşağı həddi

2) Birinci bənddə alınan nəticə xarici inteqrala əvəz edilməlidir:

Bütün həllin daha yığcam təsviri belə görünür:

Nəticədə formula "adi" müəyyən inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurun sahəsini hesablamaq üçün dəqiq işləyən düsturdur! Dərsi izləyin Müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması, o, hər addımda var!

Yəni, qoşa inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması məsələsi çox da fərqli deyil müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin tapılması məsələsindən!Əslində, eyni şeydir!

Buna görə heç bir çətinlik yaranmamalıdır! Çox misallara baxmayacağam, çünki siz, əslində, bu vəzifə ilə dəfələrlə qarşılaşmısınız.

Misal 9

Həll: Rəsmdə ərazini təsvir edək:

Ərazini keçmək üçün aşağıdakı ardıcıllığı seçək:

Burada və bundan sonra mən ərazini necə keçmək barədə danışmayacağam, çünki birinci paraqrafda çox ətraflı izahatlar verilmişdir.

Beləliklə:

Artıq qeyd etdiyim kimi, yeni başlayanlar üçün təkrarlanan inteqralları ayrıca hesablamaq daha yaxşıdır və mən də eyni üsula sadiq qalacağam:

1) Əvvəlcə Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək daxili inteqralla məşğul oluruq:

2) Birinci addımda alınan nəticə xarici inteqrala əvəz edilir:

2-ci nöqtə əslində müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurun sahəsini tapmaqdır.

Cavab:

Bu çox axmaq və sadəlövh bir işdir.

üçün maraqlı bir nümunə müstəqil qərar:

Misal 10

İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın.

Dərsin sonunda yekun həllin təxmini nümunəsi.

Nümunə 9-10-da ərazini keçməyin birinci üsulundan istifadə etmək daha sərfəlidir; maraqlı oxucular, yeri gəlmişkən, ikinci üsuldan istifadə edərək keçidin sırasını dəyişə və sahələri hesablaya bilərlər. Səhv etməsəniz, təbii olaraq eyni sahə dəyərlərini alacaqsınız.

Ancaq bəzi hallarda ərazini keçməyin ikinci üsulu daha təsirli olur və gənc nerd kursunun sonunda bu mövzuda daha bir neçə nümunəyə baxaq:

Misal 11

İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın,

Həll: Biz səbirsizliklə yanlarında uzanan qəribəlikli iki parabolanı gözləyirik. Gülməyə ehtiyac yoxdur, oxşar şeylər çoxlu inteqrallarda olduqca tez-tez baş verir.

Rəsm çəkməyin ən asan yolu nədir?

Parabolanı iki funksiya şəklində təsəvvür edək:
– yuxarı budaq və – aşağı budaq.

Eynilə, yuxarı və aşağı şəklində bir parabola təsəvvür edin filiallar.

Sonra, qrafiklərin nöqtəli şəkildə qurulması qaydaları belə qəribə bir rəqəmlə nəticələnir:

Formula uyğun olaraq ikiqat inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayırıq:

Ərazidən keçməyin ilk üsulunu seçsək nə olar? Birincisi, bu sahə iki hissəyə bölünməlidir. İkincisi, bu kədərli mənzərəni müşahidə edəcəyik: . İnteqrallar, əlbəttə ki, super mürəkkəb səviyyəli deyillər, amma... köhnə bir riyazi deyim var: kökünə yaxın olanların imtahana ehtiyacı yoxdur.

Beləliklə, şərtdə verilmiş anlaşılmazlıqdan tərs funksiyaları ifadə edirik:

Bu misaldakı tərs funksiyaların üstünlüyü ondan ibarətdir ki, onlar yarpaqlar, palamutlar, budaqlar və köklər olmadan bir anda bütün parabolanı təyin edirlər.

İkinci üsula görə, ərazinin keçidi aşağıdakı kimi olacaq:

Beləliklə:

Necə deyərlər, fərqi hiss edin.

1) Daxili inteqralla məşğul oluruq:

Nəticəni xarici inteqrala əvəz edirik:

“y” dəyişəni üzərində inteqrasiya çaşdırıcı olmamalıdır; əgər “zy” hərfi olsaydı, onun üzərində inteqrasiya etmək əla olardı. Dərsin ikinci abzasını kim oxusa da Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar, o, artıq “Y” üsuluna görə inteqrasiya ilə bağlı ən kiçik yöndəmsizliyi yaşamır.

Birinci addıma da diqqət yetirin: inteqral cütdür, inteqrasiya intervalı isə sıfıra yaxın simmetrikdir. Buna görə də, seqment yarıya endirilə bilər və nəticə iki dəfə artırıla bilər. Bu texnika dərsdə ətraflı şərh olunur. Effektiv üsullar müəyyən inteqralın hesablanması.

Nə əlavə etmək .... Hamısı!

Cavab:

İnteqrasiya texnikanızı yoxlamaq üçün hesablamağa cəhd edə bilərsiniz . Cavab tamamilə eyni olmalıdır.

Misal 12

İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Maraqlıdır ki, ərazini keçməyin ilk üsulundan istifadə etməyə çalışsanız, rəqəm artıq ikiyə deyil, üç hissəyə bölünməlidir! Və buna uyğun olaraq üç cüt təkrarlanan inteqral alırıq. Bəzən olur.

Master-klass başa çatdı və qrossmeyster səviyyəsinə keçməyin vaxtı gəldi - İkiqat inteqralı necə hesablamaq olar? Həll nümunələri. İkinci məqalədə bu qədər manyak olmamağa çalışacağam =)

Sənə uğurlar arzu edirəm!

Həll və cavablar:

Misal 2:Həll: Ərazini təsvir edək rəsm üzərində:

Ərazini keçmək üçün aşağıdakı ardıcıllığı seçək:

Beləliklə:
Gəlin tərs funksiyalara keçək:


Beləliklə:
Cavab:

Misal 4:Həll: Gəlin birbaşa funksiyalara keçək:


Gəlin rəsm çəkək:

Ərazidən keçmə qaydasını dəyişdirək:

Cavab: