Əsas vəzifə diferensial hesablama verilmiş funksiyanın və ya onun törəməsinin diferensialını tapmaqdır. İnteqral hesablama tərs məsələni həll edir: verilmiş diferensial görə və nəticədə naməlum funksiyanın törəməsi F(x), bu funksiyanı təyin etməlisiniz. Başqa sözlə, ifadəyə sahib olmaq

və ya müvafiq olaraq

,

harada f(x) məlum funksiyadır, funksiyanı tapmaq lazımdır F(x). Tələb olunan funksiya F(x) Bu adlanır antitörəmə funksiyası funksiyasına görə f(x). Sadəlik üçün (1) bərabərliyinin hansısa sonlu və ya sonsuz intervalda olduğunu fərz edəcəyik.

Tərif: Verilmiş funksiya üçün antitörəmə funksiyası f(x) bu intervalda belə funksiya deyilir F(x), törəməsi olan f(x) və ya diferensial kimindir f(x)dx nəzərdə tutulan interval daxilində.

Məsələn, funksiyanın əks törəmələrindən biri olacaq, çünki . Antitörəmə funksiyası unikal deyil, çünki s. və buna görə də funksiyalar və s. funksiyası üçün antitörəmələr də var. Buna görə də, bu funksiya sonsuz sayda antitörəmə malikdir.

Bizim nümunəmizdə hər iki antiderivativ bir-birindən müəyyən sabit terminlə fərqlənirdi. Göstərək ki, bu, ümumi halda da baş verəcək.

Teorem: Hansısa intervalda müəyyən edilmiş eyni funksiyanın iki müxtəlif əks törəməsi bu intervalda bir-birindən sabit hədlə fərqlənir.

Sübut: Doğrudan da, qoy f(x) intervalda müəyyən edilmiş bəzi funksiyadır , və F 1 (x), F 2 (x) onun primitivləridir, yəni.

və .

Buradan .

y=F 1 (x)

y=F 2 (x)

F 1 (x)

F 2 (x)

FROM

M 2

M 1

X

α

X

α

Y

düyü. bir.

Ancaq iki funksiyanın eyni törəmələri varsa, bu funksiyalar bir-birindən sabit bir terminlə fərqlənir. Nəticədə,

F 1 (x) - F 2 (x) \u003d C,

harada FROM sabit dəyərdir. Teorem sübut edilmişdir.

Həndəsi təsviri nəzərdən keçirək. Əgər a y \u003d F 1 (x) və Y \u003d F 2 (x)

Eyni funksiyanın antitörəmələri f(x), sonra ümumi absis olan nöqtələrdə onların qrafiklərinə toxunanları X bir-birinə paralel (Şəkil 1):

tga = = f(x).

Bu vəziyyətdə, ox boyunca bu əyrilər arasındakı məsafə OU sabit qalır: F 2 (x) - F 1 (x) \u003d C, olanlar. bu əyrilər müəyyən mənada bir-birinə “paraleldir”.

Nəticə: Bəzi antitörəmə funksiyasına əlavə olunur f(x) intervalla müəyyən edilir , bütün mümkün sabitlər FROM, funksiya üçün bütün antitörəmələri alırıq f(x).

Həqiqətən, əgər F(x)üçün antitörəmə funksiyası var f(x), sonra funksiya F(x)+C, harada FROM- istənilən sabit də antitörəmə funksiyası olacaq f(x),çünki .

Digər tərəfdən, bir funksiyanın hər bir antitörəmə olduğunu sübut etdik f(x) funksiyasından əldə etmək olar F(x) ona düzgün seçilmiş sabit termini əlavə etməklə FROM.

Buna görə də ifadə F(x) + C, harada , (2)

harada F(x)- funksiya üçün bəzi antitörəmə f(x), verilmiş funksiya üçün antitörəmələrin bütün kolleksiyasını tükəndirir f(x).

Bundan sonra, başqa cür ifadə edilmədiyi təqdirdə, nəzərdən keçirilən funksiyanın f(x) müəyyən və hansısa sonlu və ya sonsuz intervalda davamlıdır .

İndi inteqral hesablamanın əsas anlayışını - qeyri-müəyyən inteqral anlayışını təqdim edək.

Tərif: Verilmiş fasiləsiz funksiyanın bütün əks törəmələri üçün ümumi ifadə f(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı adlanır f(x) və ya diferensial ifadədən f(x)dx və simvolu ilə işarələnir .

Eyni zamanda, funksiya f(x) inteqral və ifadə adlanır f(x)dx inteqral adlanır.

Qeyri-müəyyən inteqralın tərifinə görə yazmaq olar

, (3)

4-dən

3-dən

2-dən

1-dən

X

Y

düyü. 2.

harada , Sabit FROM istənilən qiymət ala bilər və ona görə də ixtiyari sabit adlanır.

Misal. Gördüyümüz kimi, funksiya üçün antitörəmələrdən biri funksiyadır. Buna görə də .

Həndəsi qeyri-müəyyən inteqral y=F(x)+C"paralel" əyrilər ailəsidir (şək. 2).

Qeyri-müəyyən inteqralların hesablanması üsullarının icmalı təqdim olunur. Cəm və fərqin inteqrasiyası, sabitin inteqral işarəsindən çıxarılması, dəyişəninin dəyişdirilməsi və hissələr üzrə inteqrasiyadan ibarət əsas inteqrasiya üsulları nəzərdən keçirilir. Həmçinin kəsrlərin, köklərin, triqonometrik və inteqralların xüsusi üsul və üsulları nəzərdən keçirilir eksponensial funksiyalar.

Məzmun

Cəm (fərq) inteqrasiya qaydası

Sabitin inteqral işarəsindən çıxarılması

X-dən asılı olmayan c sabiti olsun. Onda onu inteqral işarəsindən çıxarmaq olar:

Dəyişən əvəzetmə

Qoy x dəyişənin t , x = φ(t) funksiyası olsun, onda
.
Və ya əksinə, t = φ(x) ,
.

Dəyişən dəyişikliyin köməyi ilə siz nəinki sadə inteqralları hesablaya bilərsiniz, həm də daha mürəkkəb olanların hesablanmasını sadələşdirə bilərsiniz.

Hissələr üzrə İnteqrasiya Qaydası

Kəsrlərin inteqrasiyası (rasional funksiyalar)

Bir qeyd təqdim edək. P k (x), Q m (x), R n (x) x dəyişəninə münasibətdə müvafiq olaraq k, m, n dərəcə polinomlarını bildirsin.

Çoxhədlilərin bir hissəsindən ibarət olan inteqralı nəzərdən keçirək (sözdə rasional funksiya):

Əgər k ≥ n olarsa, onda əvvəlcə kəsrin tam hissəsini seçmək lazımdır:
.
S k-n (x) çoxhədlisinin inteqralı inteqrallar cədvəlindən hesablanır.

İnteqral qalır:
, harada m< n .
Onu hesablamaq üçün inteqranı sadə kəsrlərə parçalamaq lazımdır.

Bunun üçün tənliyin köklərini tapmaq lazımdır:
Q n (x) = 0 .
Alınan köklərdən istifadə edərək, məxrəci amillərin məhsulu kimi təmsil etməlisiniz:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Burada s x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... üçün əmsaldır.

Bundan sonra, kəsri ən sadə hissəyə bölün:

İnteqrasiya edərək daha sadə inteqrallardan ibarət ifadə əldə edirik.
Formanın inteqralları

Cədvəl əvəzedicisinə endirilir t = x - a .

İnteqralı nəzərdən keçirin:

Numeratoru çevirək:
.
İnteqralı əvəz edərək, iki inteqraldan ibarət bir ifadə alırıq:
,
.
Birincisi, t \u003d x 2 + ex + f əvəzlənməsi cədvələ endirilir.
İkincisi, azalma düsturuna görə:

inteqrala endirilir

Onun məxrəcini kvadratların cəminə gətiririk:
.
Sonra əvəz etməklə, inteqral

cədvəldə də verilmişdir.

İrrasional funksiyaların inteqrasiyası

Bir qeyd təqdim edək. R(u 1 , u 2 , ... , u n) u 1 , u 2 , ... , u n dəyişənlərinin rasional funksiyasını bildirsin. Yəni
,
burada P, Q u 1 , u 2 , ... , u n dəyişənlərindəki polinomlardır.

Fraksiyalı xətti irrasionallıq

Formanın inteqrallarını nəzərdən keçirin:
,
harada - rasional ədədlər, m 1 , n 1 , ..., m s , n s tam ədədlərdir.
Qoy n - ortaq məxrəc rəqəmlər r 1 , ..., r s .
Sonra əvəzetmə yolu ilə inteqral rasional funksiyaların inteqralına endirilir:
.

Diferensial binomlardan inteqrallar

İnteqralı nəzərdən keçirin:
,
burada m, n, p rasional ədədlər, a, b həqiqi ədədlərdir.
Belə inteqrallar üç halda rasional funksiyaların inteqrallarına azalır.

1) Əgər p tam ədəddirsə. Əvəzetmə x = t N , burada N m və n fraksiyalarının ümumi məxrəcidir.
2) Əgər tam ədəddir. Əvəzetmə a x n + b = t M , burada M p -nin məxrəcidir.
3) Əgər tam ədəddir. Əvəzetmə a + b x - n = t M , burada M p -nin məxrəcidir.

Əgər üç ədəddən heç biri tam ədəd deyilsə, Çebışev teoremi ilə bu formanın inteqrallarını elementar funksiyaların sonlu birləşməsi ilə ifadə etmək olmaz.

Bəzi hallarda, əvvəlcə inteqralı m və p-nin daha əlverişli qiymətlərinə endirmək faydalı ola bilər. Bu, tökmə düsturlarından istifadə etməklə edilə bilər:
;
.

Kvadrat trinomialın kvadrat kökünü ehtiva edən inteqrallar

Burada formanın inteqrallarını nəzərdən keçiririk:
,

Eyler əvəzetmələri

Belə inteqrallar üç Eyler əvəzetməsindən birinin rasional funksiyalarının inteqrallarına endirilə bilər:
, a > 0 üçün;
, c > 0 üçün;
, burada x 1 a x 2 + b x + c = 0 tənliyinin köküdür. Əgər bu tənliyin həqiqi kökləri varsa.

Triqonometrik və hiperbolik əvəzetmələr

Birbaşa üsullar

Əksər hallarda Eyler əvəzetmələri birbaşa metodlardan daha uzun hesablamalarla nəticələnir. Birbaşa üsullardan istifadə edərək inteqral aşağıdakı növlərdən birinə endirilir.

yazıram

Formanın inteqralı:
,
burada P n (x) n dərəcə çoxhədlidir.

Belə inteqrallar eynilikdən istifadə edərək qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə tapılır:

Bu tənliyi diferensiallaşdıraraq, sol və sağ tərəfləri bərabərləşdirərək A i əmsallarını tapırıq.

II növ

Formanın inteqralı:
,
burada P m (x) m dərəcə çoxhədlidir.

Əvəzetmə t = (x - α) -1 bu inteqral əvvəlki tipə endirilir. Əgər m ≥ n olarsa, onda kəsr tam hissəyə malik olmalıdır.

III növ

Üçüncü və ən çətin növ:
.

Burada bir əvəz etmək lazımdır:
.
Onda inteqral aşağıdakı formanı alacaq:
.
Bundan əlavə, α, β sabitləri elə seçilməlidir ki, t-dəki əmsallar yox olsun:
B = 0, B 1 = 0.
Sonra inteqral iki növ inteqralların cəminə parçalanır:
;
,
müvafiq olaraq əvəzetmələrlə inteqrasiya olunur:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Ümumi hal

Transsendental (triqonometrik və eksponensial) funksiyaların inteqrasiyası

Əvvəlcədən qeyd edirik ki, bu üsullar tətbiq olunur triqonometrik funksiyalar, üçün də tətbiq olunur hiperbolik funksiyalar. Bu səbəbdən hiperbolik funksiyaların inteqrasiyasını ayrıca nəzərdən keçirməyəcəyik.

cos x və sin x-in rasional triqonometrik funksiyalarının inteqrasiyası

Formanın triqonometrik funksiyalarının inteqrallarını nəzərdən keçirin:
,
burada R rasional funksiyadır. Buraya sinuslar və kosinuslar vasitəsilə çevrilməli olan tangentlər və kotangentlər də daxil ola bilər.

Bu cür funksiyaları birləşdirərkən üç qaydanı yadda saxlamaq faydalıdır:
1) əgər R( cosx, sinx) kəmiyyətlərdən birinin qarşısındakı işarə dəyişikliyindən -1-ə vurulur cos x və ya günah x, onda digərini t ilə işarələmək faydalıdır.
2) əgər R( cosx, sinx)əvvəl eyni anda dəyişən işarədən dəyişmir cos x və günah x, sonra qoymaq faydalıdır tan x = t və ya ctg x = t.
3) bütün hallarda əvəzetmə rasional kəsrin inteqralına gətirib çıxarır. Təəssüf ki, bu əvəzetmə, əgər varsa, əvvəlkilərdən daha uzun hesablamalarla nəticələnir.

cos x və sin x-in güc funksiyalarının hasili

Formanın inteqrallarını nəzərdən keçirin:

Əgər m və n rasional ədədlərdirsə, onda permutasiyalardan biri t = olur günah x və ya t= cos x inteqral diferensial binomunun inteqralına endirilir.

Əgər m və n tam ədədlərdirsə, onda inteqrallar hissələrə bölünərək hesablanır. Bu, aşağıdakı azalma düsturları ilə nəticələnir:

;
;
;
.

Parçalar üzrə inteqrasiya

Eyler düsturunun tətbiqi

Əgər inteqral funksiyalardan birinə nisbətən xətti olarsa
çünki balta və ya sinax, onda Eyler düsturunu tətbiq etmək rahatdır:
e iax = cos balta + isin balta(burada i 2 = - 1 ),
bu funksiya ilə əvəz olunur eiax və realı vurğulamaq (əvəz edərkən çünki balta) və ya xəyali hissə (əvəz edərkən sinax) nəticədən.

İstinadlar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Ali riyaziyyatda problemlər toplusu, Lan, 2003.

Həmçinin bax:

Əvvəlcə bu bölmədə istifadə olunacaq terminləri müəyyən edək. Əvvəla, bu, funksiyanın əks törəməsidir. Bunun üçün C sabitini təqdim edirik.

Tərif 1

Funksiyanın əks törəməsi(a ; b) intervalında f (x) elə F (x) funksiyasıdır ki, F "(x) = f (x) düsturu verilmiş intervaldan istənilən x üçün bərabərliyə çevrilir.

C sabitinin törəməsinin sıfıra bərabər olacağını nəzərə almalıyıq ki, bu da aşağıdakı bərabərliyi doğru hesab etməyə imkan verir F (x) + C " = f (x) .

Belə çıxır ki, f (x) funksiyası ixtiyari C sabiti üçün F (x) + C antitörəmələri toplusuna malikdir. Bu primitivlər bir-birindən ixtiyari sabit miqdarla fərqlənir.

Qeyri-müəyyən inteqralın tərifi

f (x) funksiyasının antitörəmələrinin bütün çoxluğunu bu funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı adlandırmaq olar. Bunu nəzərə alaraq, düstur ∫ f (x) d x = F (x) + C kimi görünəcək. Bu halda f (x) d x ifadəsi inteqral, f (x) isə inteqraldır. İnteqran f(x) funksiyasının diferensialıdır.

Funksiya diferensialını nəzərə alsaq, naməlum funksiyanı tapa bilərik.

Qeyri-müəyyən inteqrasiyanın nəticəsi bir funksiya olacaq F (x) , lakin onun antiderivativləri çoxluğu F (x) + C .

• Törəmənin xassələrini bilməklə qeyri-müəyyən inteqralın xassələrini (əks törəmənin xassələrini) tərtib edib sübut edə bilərik.

∫ f(x)dx" = F(x) + C" = f(x)

• İnteqrasiya nəticəsinin törəməsi inteqrana bərabərdir.

∫ d(F(x)) = ∫ F"(x) d x = ∫ f(x) d x = F(x) + C

• Funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı funksiyanın özünün və ixtiyari sabitin cəminə bərabərdir.

∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x , burada k ixtiyari sabitdir. Əmsal qeyri-müəyyən inteqralın işarəsindən çıxarıla bilər.

• Funksiyaların cəminin/fərqinin qeyri-müəyyən inteqralı funksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının cəmi/fərqinə bərabərdir.

∫ f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

İzah kimi qeyri-müəyyən inteqralın birinci və ikinci xassələrinin ara bərabərliklərini verdik.

Üçüncü və dördüncü xassələri sübut etmək üçün bərabərliklərin sağ tərəflərinin törəmələrini tapmaq lazımdır:

k ∫ f (x) d x " = k ∫ d (x) d x " = k f (x) ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x " = ∫ f (x) d x " ± ∫ g (x) d x " = f (x) ± g (x)

Bərabərliklərin sağ tərəflərinin törəmələri inteqrallara bərabərdir ki, bu da birinci xassə sübutdur. Biz onu son keçidlərdə istifadə edirik.

Gördüyünüz kimi, inteqrasiya problemi diferensiallaşma probleminə münasibətdə tərs prosesdir. Bu vəzifələrin hər ikisi bir-biri ilə sıx bağlıdır.

Birinci xüsusiyyət inteqrasiya testini yerinə yetirmək üçün istifadə edilə bilər. Yoxlamaq üçün əldə edilən nəticənin törəməsini hesablamaq kifayətdir. Əgər alınan funksiya inteqrada bərabərdirsə, onda inteqrasiya düzgün həyata keçirilir.

İkinci xassə sayəsində funksiyanın məlum diferensialını nəzərə alaraq, onun əks törəməsini tapıb qeyri-müəyyən inteqralı hesablamaq üçün istifadə edə bilərik.

Məsələni nəzərdən keçirək.

Misal 1

f (x) = 1 x funksiyasının x = 1-də qiyməti birinə bərabər olan antitörəməni tapaq.

Həll

Əsas elementar funksiyaların törəmələri cədvəlindən istifadə edərək əldə edirik

d (ln x) = (ln x) " d x = d x x = f (x) d x ∫ f (x) d x = ∫ d x x = ∫ d (ln (x))

İkinci xassədən istifadə edərək ∫ d (ln (x)) = ln (x) + C , ln (x) + C əks törəmələr çoxluğunu alırıq. x = 1 üçün ln (1) + C = 0 + C = C qiymətini alırıq. Məsələnin şərtinə görə bu qiymət birə bərabər olmalıdır, ona görə də, С = 1. İstənilən antiderivativ ln (x) + 1 formasını alacaq.

Cavab: f(x) = 1 x = log(x) + 1

Misal 2

∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x qeyri-müəyyən inteqralını tapmaq və hesablamanın nəticəsini diferensiasiya yolu ilə yoxlamaq lazımdır.

Həll

Hesablamalar üçün triqonometriya kursundan 2 sin x 2 cos x 2 \u003d sin x düsturundan ikiqat bucağın sinusundan istifadə edirik, ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x \u003d ∫ sin x d x alırıq.

Triqonometrik funksiyalar üçün törəmələr cədvəlindən istifadə edirik, alırıq:

d (cos x) = cos x " d x = - sin x d x ⇒ sin x d x = - d (cos x)

Yəni, ∫ sin x d x = ∫ (- d (cos x))

Qeyri-müəyyən inteqralın üçüncü xassəsindən istifadə edərək ∫ - d (cos x) = - ∫ d (cos x) yaza bilərik.

İkinci xassə görə - ∫ d (cos x) = - (cos x + C) alırıq.

Deməli, ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C .

Alınan nəticəni diferensiasiya yolu ilə yoxlayaq.

Nəticə ifadəsini fərqləndirək:
- cos x - C "= - (cos x)" - (C) "= - (- sin x) = sin x = 2 sin x 2 cos x 2

Yoxlama nəticəsində biz inteqran əldə etdik. Bu o deməkdir ki, inteqrasiya tərəfimizdən düzgün aparılıb. Sonuncu keçidi həyata keçirmək üçün biz ikiqat bucağın sinusu üçün düsturdan istifadə etdik.

Cavab:∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C

Əgər əsas elementar funksiyaların törəmələri cədvəli diferensiallar şəklində yenidən yazılırsa, onda ondan qeyri-müəyyən inteqralın ikinci xassəsinə uyğun olaraq antitörəmələr cədvəlini tərtib etmək olar.

Bu mövzunu növbəti “Antiderivativlər cədvəli (qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəli)” bölməsində daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Antitörəmə funksiyası və qeyri-müəyyən inteqral

Fakt 1. İnteqrasiya diferensiasiyanın əksidir, yəni funksiyanın bu funksiyanın məlum törəməsindən bərpasıdır. Funksiya bu şəkildə bərpa edildi F(x) adlanır primitiv funksiyası üçün f(x).

Tərif 1. Funksiya F(x f(x) müəyyən intervalda X, əgər bütün dəyərlər üçün x bu intervaldan bərabərlik F "(x)=f(x), yəni bu funksiya f(x) antitörəmə funksiyasının törəməsidir F(x). .

Məsələn, funksiya F(x) = günah x funksiyasının əks törəməsidir f(x) = cos x bütün say xəttində, çünki x-in istənilən dəyəri üçün (günah x)" = (çünki x) .

Tərif 2. Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı f(x) onun bütün antiderivativlərinin toplusudur. Bu qeyddən istifadə edir

∫

f(x)dx

,

işarəsi haradadır ∫ inteqral işarəsi, funksiyası adlanır f(x) inteqraldır və f(x)dx inteqraldır.

Beləliklə, əgər F(x) üçün bəzi antitörəmədir f(x) , sonra

∫

f(x)dx = F(x) +C

harada C - ixtiyari sabit (sabit).

Qeyri-müəyyən inteqral kimi funksiyanın əks törəmələri çoxluğunun mənasını başa düşmək üçün aşağıdakı bənzətmə uyğundur. Bir qapı olsun (ənənəvi taxta qapı). Onun funksiyası “qapı olmaqdır”. Qapı nədən hazırlanır? Bir ağacdan. Bu o deməkdir ki, "qapı olmaq" inteqranının antitörəmələri çoxluğu, yəni qeyri-müəyyən inteqralı "ağac olmaq + C" funksiyasıdır, burada C sabitdir və bu kontekstdə üçün işarə edə bilər. məsələn, bir ağac növü. Qapının ağacdan bəzi alətlərlə düzəldilməsi kimi, funksiyanın törəməsi də antitörəmə funksiyasından “hazırlanır”. törəməni öyrənərək öyrəndiyimiz düstur .

Onda ümumi obyektlərin və onlara uyğun olan primitivlərin ("qapı olmaq" - "ağac olmaq", "qaşıq olmaq" - "metal olmaq" və s.) funksiyalar cədvəli cədvəlinə bənzəyir. aşağıda veriləcək əsas qeyri-müəyyən inteqrallar. Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəli ümumi funksiyaları sadalayır, bu funksiyaların "yaratıldığı" antitörəmələri göstərir. Qeyri-müəyyən inteqralın tapılması tapşırıqlarının bir hissəsi kimi, xüsusi səylər olmadan birbaşa inteqrasiya oluna bilən, yəni qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinə uyğun olaraq belə inteqrallar verilir. Daha mürəkkəb məsələlərdə əvvəlcə inteqral çevrilməlidir ki, cədvəlli inteqrallardan istifadə olunsun.

Fakt 2. Funksiyanı antiderivativ kimi bərpa edərkən ixtiyari sabiti (sabit) nəzərə almalıyıq. C, və 1-dən sonsuza qədər müxtəlif sabitləri olan antitörəmələrin siyahısını yazmamaq üçün ixtiyari sabiti olan antitörəmələr toplusunu yazmaq lazımdır. C, bu kimi: 5 x³+C. Beləliklə, antiderivativin ifadəsinə ixtiyari bir sabit (sabit) daxildir, çünki antitörəmə funksiya ola bilər, məsələn, 5 x³+4 və ya 5 x³+3 və 4 və ya 3-ü fərqləndirdikdə və ya hər hansı digər sabit yox olur.

İnteqrasiya problemini qoyuruq: verilmiş funksiya üçün f(x) belə bir funksiya tapın F(x), kimin törəməsi bərabərdir f(x).

Misal 1 Funksiyanın əks törəmələri çoxluğunu tapın

Həll. Bu funksiya üçün antitörəmə funksiyadır

Funksiya F(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır f(x) törəmə olduqda F(x) bərabərdir f(x) və ya eyni şey olan diferensial F(x) bərabərdir f(x) dx, yəni.

(2)

Buna görə də, funksiya funksiya üçün antitörəmədir. Bununla belə, bu, üçün yeganə antiderivativ deyil. Onlar da funksiyalardır

harada FROM ixtiyari sabitdir. Bunu diferensiallaşdırma ilə yoxlamaq olar.

Beləliklə, əgər funksiya üçün bir antitörəmə varsa, onun üçün daimi cəmlə fərqlənən sonsuz antitörəmələr çoxluğu var. Funksiya üçün bütün antitörəmələr yuxarıdakı formada yazılır. Bu, aşağıdakı teoremdən irəli gəlir.

Teorem (2-ci faktın rəsmi ifadəsi).Əgər a F(x) funksiyasının əks törəməsidir f(x) müəyyən intervalda X, sonra üçün hər hansı digər antiderivativ f(x) eyni intervalda kimi təmsil oluna bilər F(x) + C, harada FROM ixtiyari sabitdir.

Aşağıdakı misalda biz artıq qeyri-müəyyən inteqralın xassələrindən sonra 3-cü bənddə veriləcək inteqral cədvəlinə müraciət edirik. Yuxarıdakıların mahiyyətinin aydın olması üçün bütün cədvəllə tanış olmamışdan əvvəl bunu edirik. Cədvəldən və xassələrdən sonra inteqrasiya edərkən onlardan tam şəkildə istifadə edəcəyik.

Misal 2 Antiderivativlər toplusunu tapın:

Həll. Bu funksiyaların "yaratıldığı" antitörəmə funksiyalar toplusunu tapırıq. İnteqrallar cədvəlindən düsturları qeyd edərkən hələlik belə düsturların olduğunu qəbul edin və qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlini bir az daha tam şəkildə öyrənəcəyik.

1) üçün inteqrallar cədvəlindən (7) düsturunun tətbiqi n= 3, alırıq

2) üçün inteqrallar cədvəlindən (10) düsturundan istifadə etməklə n= 1/3, bizdə var

3) O vaxtdan bəri

sonra (7) düsturuna uyğun olaraq at n= -1/4 tapın

İnteqral işarəsi altında onlar funksiyanın özünü yazmırlar f, və onun məhsulu diferensialdır dx. Bu, ilk növbədə antiderivativin hansı dəyişənin axtarıldığını göstərmək üçün edilir. Misal üçün,

, ;

burada hər iki halda inteqral bərabərdir, lakin baxılan hallarda onun qeyri-müəyyən inteqralları fərqli olur. Birinci halda bu funksiya dəyişənin funksiyası kimi qəbul edilir x, ikincisində isə - funksiyası kimi z .

Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralının tapılması prosesinə həmin funksiyanın inteqrasiyası deyilir.

Qeyri-müəyyən inteqralın həndəsi mənası

Bir əyri tapmaq tələb olunsun y=F(x) və biz artıq bilirik ki, tangensin hər bir nöqtəsindəki yamacının tangensi verilmiş funksiyadır f(x) bu nöqtənin absisi.

görə həndəsi məna törəmə, əyrinin verilmiş nöqtəsindəki tangensin yamacının tangensi y=F(x) törəmənin dəyərinə bərabərdir F"(x). Beləliklə, belə bir funksiyanı tapmaq lazımdır F(x), hansı üçün F"(x)=f(x). Tapşırıqda tələb olunan funksiya F(x)-dən qaynaqlanır f(x). Problemin şərti bir əyri ilə deyil, əyrilər ailəsi tərəfindən təmin edilir. y=F(x)- bu əyrilərdən biri və hər hansı digər əyri ondan ox boyunca paralel tərcümə ilə əldə edilə bilər ay.

-nin əks törəmə funksiyasının qrafikini adlandıraq f(x) inteqral əyri. Əgər a F"(x)=f(x), sonra funksiyanın qrafiki y=F(x) inteqral əyridir.

Fakt 3. Qeyri-müəyyən inteqral həndəsi olaraq bütün inteqral əyrilər ailəsi ilə təmsil olunur. aşağıdakı şəkildəki kimi. Hər bir əyrinin başlanğıcdan məsafəsi inteqrasiyanın ixtiyari sabiti (sabiti) ilə müəyyən edilir. C.

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Fakt 4. Teorem 1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqrana, diferensialı isə inteqrana bərabərdir.

Fakt 5. Teorem 2. Funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı f(x) funksiyasına bərabərdir f(x) sabit müddətə qədər , yəni.

(3)

1 və 2-ci teoremlər göstərir ki, diferensiallaşma və inteqrasiya qarşılıqlı tərs əməllərdir.

Fakt 6. Teorem 3. İnteqraldakı sabit amili qeyri-müəyyən inteqralın işarəsindən çıxarmaq olar. , yəni.