Mürəkkəb ədədin kökünü unikal şəkildə çıxarmaq mümkün deyil, çünki onun dərəcəsinə bərabər olan bir sıra dəyərlər var.
Mürəkkəb ədədlər, Moivard düsturu etibarlı olan triqonometrik forma dərəcəsinə qaldırılır:
\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
Eynilə, bu düstur kompleks ədədin k-ci kökünü hesablamaq üçün istifadə olunur (sıfıra bərabər deyil):
\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n))))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\sağ), \forall k>1, \forall n \in N \)
Kompleks ədəd sıfıra bərabər deyilsə, k dərəcəsinin kökləri həmişə mövcuddur və onlar aşağıdakılarla təmsil oluna bilər. mürəkkəb müstəvi: onlar başlanğıcda və radiusda mərkəzləşdirilmiş dairəyə daxil edilmiş k-qonşu təpələri olacaqlar \(\ r^(\frac(1)(k)) \)
Problemin həlli nümunələri
\(\ z=-1 \) ədədinin üçüncü kökünü tapın.
Əvvəlcə \(\ z=-1 \) rəqəmini ifadə edirik triqonometrik forma. \(\ z=-1 \) ədədinin həqiqi hissəsi \(\ z=-1 \), xəyali hissəsi \(\ y=\operator adı(lm) \), \(\ z=) ədədidir. 0 \). Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapmaq üçün onun modulunu və arqumentini tapmaq lazımdır.
Kompleks ədədin modulu \(\z\) ədəddir:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )
Arqument düsturla hesablanır:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)
Buna görə də kompleks ədədin triqonometrik forması belədir: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
Sonra 3-cü kök belə görünür:
\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\)
\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2) \)
\(\ n=1 \) üçün alırıq:
\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
\(\ n=2 \) üçün alırıq:
\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \omeqa_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omeqa_(2)=-1, \omeqa_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
Ədədin 2-ci kökünü çıxarmaq üçün \(\ z=1-\sqrt(3) i \)
Gəlin ondan başlayaq ki, biz mürəkkəb ədədi triqonometrik formada ifadə edirik.
\(\ z=1-\sqrt(3) i \) kompleks ədədinin həqiqi hissəsi \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) ədədidir, xəyali hissəsi \(\ y=) ədədidir. \operator adı(Im) z =-\sqrt(3) \) . Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapmaq üçün onun modulunu və arqumentini tapmaq lazımdır.
Kompleks ədədin modulu \(\r\) ədəddir:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3) )=2 \)
Arqument:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)
Beləliklə, kompleks ədədin triqonometrik forması:
\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\sağ) \)
2-ci dərəcəli kök çıxarmaq üçün düsturu tətbiq edərək, əldə edirik:
\(\z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ sağ)\sağ)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\sağ)^(\frac(1)(2))= \)
\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\sağ)\sağ), n=0,1 \)
\(\ \mathrm(n)=0 \) üçün alırıq:
\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\sağ)\sağ)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\sağ)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \mathrm(n)=1 \) üçün alırıq:
\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\sağ)\sağ)=\sqrt(2)\sol(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\sağ)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
triqonometrik formada ədədlər.
De Moivre düsturu
z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) və z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2) olsun.
Mürəkkəb ədədin triqonometrik forması vurma, bölmə, tam ədədə çatdırma və n dərəcəli kök çıxarma əməliyyatlarını yerinə yetirmək üçün əlverişlidir.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
İki mürəkkəb ədədi vurarkən triqonometrik formada onların modulları vurulur və arqumentləri əlavə edilir. Bölmə zamanı onların modulları bölünür və arqumentləri çıxarılır.
Mürəkkəb ədədi çoxaltmaq qaydasının nəticəsi mürəkkəb ədədi gücə yüksəltmək qaydasıdır.
z = r(cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
Bu nisbət deyilir De Moivre düsturu.
Misal 8.1 Ədədlərin hasilini və nisbətini tapın:
və 
Həll
z1∙z2 
∙
=
;
Misal 8.2 Ədədi triqonometrik formada yazın
∙
-i) 7 .
Həll
İşarə et 
və z 2 = 
– i.
r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = argz 1 = arctg 
;
z1 = 
;
r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg 
;
z2 = 2 
;
z 1 5 = ( 
) 5 
; z 2 7 = 2 7 
z = ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 Kompleks ədədin kökünün çıxarılması
Tərif. köknkompleks ədədin ci gücü z (ifadə edir 
) kompleks ədəddir ki, w n = z olsun. Əgər z = 0 olarsa, onda 
= 0.
z 0 olsun, z = r(cos + isin). w = (cos + sin) işarələyin, onda w n = z tənliyini aşağıdakı formada yazırıq.
n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).
Beləliklə, n = r,
=
Beləliklə, w k = 
·
.
Bu dəyərlər arasında tam olaraq n fərqli dəyər var.
Beləliklə, k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Mürəkkəb müstəvidə bu nöqtələr radiuslu bir dairəyə yazılmış müntəzəm n-bucaqlının təpələridir. 
O nöqtəsində mərkəzləşdirilmişdir (Şəkil 12).
Şəkil 12
Misal 9.1 Bütün dəyərləri tapın 
.
Həll.
Bu ədədi triqonometrik formada təqdim edək. Onun modulunu və arqumentini tapın.
w k = 
, burada k = 0, 1, 2, 3.
w 0 = 
.
w 1 = 
.
w 2 = 
.
w 3 = 
.
Mürəkkəb müstəvidə bu nöqtələr radiuslu dairənin içinə yazılmış kvadratın təpələridir 
mənşəyində mərkəzləşmişdir (Şəkil 13).
Şəkil 13 Şəkil 14
Misal 9.2 Bütün dəyərləri tapın 
.
Həll.
z = - 64 = 64(cos + isin);
w k = 
, burada k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 = 
; w 1 = 
;
w 2 = 
w 3 = 
w4 = 
; w 5 = 
.
Mürəkkəb müstəvidə bu nöqtələr O (0; 0) nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş radiusu 2 olan dairəyə yazılmış müntəzəm altıbucaqlının təpələridir - Şəkil 14.
§ 10 Kompleks ədədin eksponensial forması.
Eyler düsturu
İşarə et 
= cos + isin və 
= cos - isin . Bu nisbətlər deyilir Eyler düsturları .
Funksiya 
eksponensial funksiyanın adi xassələrinə malikdir:
Kompleks z ədədi triqonometrik z = r(cos + isin) şəklində yazılsın.
Eyler düsturundan istifadə edərək yaza bilərik:
z = r 
.
Bu giriş adlanır göstərici forması kompleks ədəd. Ondan istifadə edərək, vurma, bölmə, eksponentasiya və kök çıxarma qaydalarını alırıq.
Əgər z 1 = r 1 olarsa 
və z 2 = r 2 
?sonra
z 1 z 2 = r 1 r 2 
;
·
z n = r n 
, burada k = 0, 1, … , n – 1.
Misal 10.1Ədədi cəbri formada yazın
z= 
.
Həll.
Misal 10.2 z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0 tənliyini həll edin.
Həll.
İstənilən mürəkkəb əmsallar üçün bu tənliyin iki kökü z 1 və z 1 (bəlkə də üst-üstə düşür) var. Bu kökləri real vəziyyətdə olduğu kimi eyni düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar. Çünki 
yalnız işarəsi ilə fərqlənən iki dəyər alır, onda bu düstur formaya malikdir:
–9 \u003d 9 e i olduğundan, sonra dəyərlər 
nömrələr olacaq:
Sonra 
və 
.
|
Misal 10.3 z 3 +1 = 0 tənliklərini həll edin; z 3 = - 1. |
Həll.
Tənliyin istənilən kökləri dəyərlər olacaqdır 
.
z = –1 üçün r = 1, arg(–1) = olur.
w k = 
, k = 0, 1, 2.
Məşqlər
9 Rəqəmləri eksponensial formada təqdim edin:
|
b) |
G) |
+i;
.10 Ədədin eksponensial və cəbri formalarında yazın:
|
a) |
in) |
|
b) |
d) 7(cos0 + isin0). |
11 Rəqəmləri cəbri və həndəsi formada yazın:
|
a) |
b) |
in) |
G) |
12 Verilmiş nömrələr 
Onları eksponensial formada təqdim edərək, tapın 
.
13 İstifadə göstərici forması kompleks nömrə üçün aşağıdakıları edin:
a) 
b) 
in) 
G) 
|
e) |
|
|
|
|
.