Bu yazıda siz və mən həndəsədəki bir çox problemləri sadə hesaba endirməyə imkan verəcək bir "sehrli çubuq" haqqında müzakirəyə başlayacağıq. Bu “çubuq” həyatınızı xeyli asanlaşdıra bilər, xüsusən də məkan fiqurları, bölmələr və s. qurmaqda özünüzü etibarsız hiss etdiyiniz zaman. Bütün bunlar müəyyən təxəyyül və praktik bacarıq tələb edir. Burada nəzərdən keçirməyə başlayacağımız üsul, demək olar ki, bütün növ həndəsi konstruksiyalardan və mülahizələrdən mücərrədləşdirməyə imkan verəcəkdir. Metod deyilir "koordinat metodu". Bu yazıda aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Koordinat müstəvisi
2. Təyyarədə nöqtələr və vektorlar
3. İki nöqtədən vektor qurmaq
4. Vektor uzunluğu (iki nöqtə arasındakı məsafə).
5. Orta nöqtə koordinatları
6. Vektorların nöqtə məhsulu
7. İki vektor arasındakı bucaq

Düşünürəm ki, koordinat metodunun niyə belə adlandırıldığını artıq təxmin etdiniz? Düzdür, həndəsi cisimlərlə deyil, onların ədədi xüsusiyyətləri (koordinatları) ilə işlədiyi üçün belə bir ad almışdır. Həndəsədən cəbrə keçməyi mümkün edən çevrilmənin özü isə koordinat sisteminin tətbiqindən ibarətdir. Əgər ilkin rəqəm düz idisə, o zaman koordinatlar iki ölçülü, rəqəm üç ölçülüdürsə, koordinatlar üç ölçülüdür. Bu yazıda biz yalnız iki ölçülü işi nəzərdən keçirəcəyik. Məqalənin əsas məqsədi koordinat metodunun bəzi əsas texnikalarından necə istifadə edəcəyinizi öyrətməkdir (onlar bəzən Vahid Dövlət İmtahanının B hissəsində planimetriyada problemləri həll edərkən faydalı olurlar). Bu mövzuda aşağıdakı iki bölmə C2 (stereometriya problemi) problemlərinin həlli üsullarının müzakirəsinə həsr edilmişdir.

Koordinat metodunu müzakirə etməyə haradan başlamaq məntiqli olardı? Yəqin ki, koordinat sistemi anlayışı ilə. Onunla ilk tanış olduğunuz vaxtı xatırlayın. Mənə elə gəlir ki, 7-ci sinifdə varlığından xəbər tutanda xətti funksiya, misal üçün. Xatırladım ki, siz onu nöqtə-nöqtə qurdunuz. Sən xatırlayırsan? Siz ixtiyari bir ədəd seçdiniz, onu düsturla əvəz etdiniz və bu şəkildə hesabladınız. Məsələn, əgər, onda, əgər, onda və s. Nəticədə nə əldə etdiniz? Və koordinatları olan xal aldınız: və. Sonra bir "xaç" (koordinat sistemi) çəkdiniz, onun üzərində bir miqyas seçdiniz (bir seqment olaraq neçə hüceyrəniz olacaq) və üzərində aldığınız nöqtələri qeyd etdiniz, sonra düz bir xətt ilə birləşdirdiniz, nəticədə xətt funksiyasının qrafikidir.

Sizə bir az daha ətraflı izah edilməli olan bir neçə şey var:

1. Rahatlıq üçün bir seqment seçirsiniz ki, hər şey şəkildə gözəl və yığcam şəkildə uyğun olsun

2. Oxun soldan sağa, oxun isə aşağıdan yuxarıya doğru getdiyi güman edilir

3. Düz bucaq altında kəsişirlər və onların kəsişmə nöqtəsi başlanğıc adlanır. Hərflə qeyd olunur.

4. Nöqtənin koordinatı qeydində, məsələn, mötərizədə solda nöqtənin ox boyunca, sağda isə ox boyunca koordinatları göstərilir. Xüsusilə, sadəcə nöqtə deməkdir

5. Koordinat oxunda istənilən nöqtəni təyin etmək üçün onun koordinatlarını (2 ədəd) təyin etmək lazımdır.

6. Ox üzərində yerləşən istənilən nöqtə üçün,

7. Ox üzərində yerləşən istənilən nöqtə üçün,

8. Oxa x oxu deyilir

9. Oxa y oxu deyilir

İndi sizinlə növbəti addımı ataq: iki nöqtəni qeyd edin. Bu iki nöqtəni bir xətt ilə birləşdirin. Və oxunu nöqtədən nöqtəyə bir seqment çəkirik kimi qoyacağıq: yəni seqmentimizi istiqamətləndirəcəyik!

İstiqamətləndirilmiş seqmentin başqa adının nə olduğunu xatırlayın? Düzdü, buna vektor deyilir!

Beləliklə, bir nöqtəni bir nöqtəyə bağlasaq, və başlanğıcı A nöqtəsi, sonu isə B nöqtəsi olacaq, onda vektor alırıq. Bu tikintini siz də 8-ci sinifdə etmisiniz, yadınızdadır?

Belə çıxır ki, vektorlar da nöqtələr kimi iki rəqəmlə işarələnə bilər: bu ədədlərə vektorun koordinatları deyilir. Sual: Sizcə vektorun əvvəlinin və sonunun koordinatlarını bilmək onun koordinatlarını tapmaq üçün bizə kifayətdirmi? Belə çıxır ki, bəli! Və bunu etmək çox asandır:

Beləliklə, vektorda nöqtə başlanğıc və son olduğu üçün vektor aşağıdakı koordinatlara malikdir:

Məsələn, əgər, onda vektorun koordinatları

İndi isə bunun əksini edək, vektorun koordinatlarını tapaq. Bunun üçün nəyi dəyişdirməliyik? Bəli, əvvəli və sonunu dəyişdirmək lazımdır: indi vektorun başlanğıcı bir nöqtədə, sonu isə bir nöqtədə olacaq. Sonra:

Diqqətlə baxın, vektorların fərqi nədir? Onların yeganə fərqi koordinatlardakı işarələrdir. Onlar əksinədirlər. Bu fakt belə yazılmışdır:

Bəzən vektorun hansı nöqtəsinin başlanğıcı, hansının sonu olduğu xüsusi olaraq göstərilməyibsə, vektorlar iki ilə deyil, böyük HƏRFLƏR, lakin bir kiçik hərf, məsələn: , və s.

İndi bir az təcrübə və aşağıdakı vektorların koordinatlarını tapın:

İmtahan:

İndi problemi bir az daha çətin həll edin:

Bir nöqtədə on-cha-scrap olan vektor torusunun co-or-di-on-yo var. Di-te abs-cis-su nöqtələrini tapın.

Bütün bunlar olduqca prozaikdir: nöqtənin koordinatları olsun. Sonra

Bir vektorun koordinatlarının nə olduğunu təyin edərək sistemi tərtib etdim. Sonra nöqtənin koordinatları var. Biz absis ilə maraqlanırıq. Sonra

Cavab:

Vektorlarla başqa nə edə bilərsiniz? Bəli, demək olar ki, hər şey adi ədədlərlə eynidir (bölməyə bilməyəcəyiniz istisna olmaqla, ancaq iki yolla çoxalda bilərsiniz, onlardan birini burada bir az sonra müzakirə edəcəyik)

1. Vektorlar bir-biri ilə yığıla bilər
2. Vektorlar bir-birindən çıxıla bilər
3. Vektorlar ixtiyari sıfırdan fərqli bir ədədlə vurula (və ya bölünə bilər).
4. Vektorlar bir-biri ilə vurula bilər

Bütün bu əməliyyatlar olduqca vizual həndəsi təsvirə malikdir. Məsələn, toplama və çıxma üçün üçbucaq (və ya paraleloqram) qaydası:

Bir vektor ədədə vurulduqda və ya bölündükdə uzanır və ya daralır və ya istiqamətini dəyişir:

Bununla belə, burada koordinatların nə olacağı sualı bizi maraqlandıracaq.

1. İki vektoru toplayanda (çıxarkən) onların koordinat elementini elementar əlavə edirik (çıxırıq). Yəni:

2. Vektoru ədədə vurarkən (bölərkən) onun bütün koordinatları bu ədədə vurulur (bölülür):

Misal üçün:

· Ko-or-di-nat əsr-to-ra cəmini tap-di.

Əvvəlcə vektorların hər birinin koordinatlarını tapaq. Onların hər ikisinin mənşəyi eynidir - mənşə nöqtəsi. Onların ucları fərqlidir. Sonra, . İndi vektorun koordinatlarını hesablayırıq Onda alınan vektorun koordinatlarının cəmi bərabərdir.

Cavab:

İndi aşağıdakı problemi özünüz həll edin:

· Vektorun koordinatlarının cəmini tapın

Yoxlayırıq:

İndi aşağıdakı məsələni nəzərdən keçirək: koordinat müstəvisində iki nöqtəmiz var. Aralarındakı məsafəni necə tapmaq olar? Birinci nöqtə olsun, ikincisi. Aralarındakı məsafəni kimi işarə edək. Aydınlıq üçün aşağıdakı rəsmləri çəkək:

Mən nə etmişəm? Əvvəlcə mən bağlandım xal və, a nöqtədən də oxuna paralel xətt çəkdi və nöqtədən oxuna paralel xətt çəkdi. Onlar gözəl bir fiqur meydana gətirərək bir nöqtədə kəsişdilər? O niyə gözəldir? Bəli, siz və mən düzbucaqlı üçbucaq haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirik. Yaxşı, Pifaqor teoremi, şübhəsiz. İstənilən seqment bu üçbucağın hipotenuzası, seqmentlər isə ayaqlarıdır. Nöqtənin koordinatları hansılardır? Bəli, onları şəkildən tapmaq asandır: Seqmentlər oxlara paralel olduğundan və müvafiq olaraq onların uzunluqlarını tapmaq asandır: əgər seqmentlərin uzunluqlarını müvafiq olaraq vasitəsilə işarələsək, onda

İndi Pifaqor teoremindən istifadə edək. Ayaqların uzunluğunu bilirik, hipotenuzunu tapacağıq:

Beləliklə, iki nöqtə arasındakı məsafə koordinatlardan kvadrat fərqlərin kök cəmidir. Və ya - iki nöqtə arasındakı məsafə onları birləşdirən seqmentin uzunluğudur. Nöqtələr arasındakı məsafənin istiqamətdən asılı olmadığını görmək asandır. Sonra:

Bundan üç nəticə çıxarırıq:

İki nöqtə arasındakı məsafəni hesablamaq üçün bir az məşq edək:

Məsələn, əgər, onda və arasında olan məsafə

Ya da fərqli gedək: vektorun koordinatlarını tapın

Və vektorun uzunluğunu tapın:

Gördüyünüz kimi, eynidir!

İndi özünüz bir az məşq edin:

Tapşırıq: verilmiş nöqtələr arasındakı məsafəni tapın:

Yoxlayırıq:

Bir az fərqli səslənsələr də, eyni düstur üçün daha bir neçə problem var:

1. Göz qapağı-to-ra uzunluğunun kvadratını tap-di-te.

2. Göz qapağının uzunluğu-ra-nai-di-te kvadratı

Düşünürəm ki, siz onları asanlıqla idarə edə bilərsiniz? Yoxlayırıq:

1. Bu isə diqqətlilik üçündür) Biz əvvəllər vektorların koordinatlarını tapmışıq: . Onda vektorun koordinatları olur. Uzunluğunun kvadratı belə olacaq:

2. Vektorun koordinatlarını tapın

Onda onun uzunluğunun kvadratı olur

Mürəkkəb bir şey yoxdur, elə deyilmi? Sadə hesab, başqa heç nə.

Aşağıdakı bulmacalar birmənalı şəkildə təsnif edilə bilməz, daha çox ümumi erudisiya və sadə şəkillər çəkmək bacarığı üçündür.

1. Kəsikdən kəsilən bucağın sinusunu tapın, bir-n-ci nöqtəni absis oxu ilə birləşdirin.

və

Bunu burada necə edəcəyik? Ox ilə arasındakı bucağın sinusunu tapmaq lazımdır. Və sinusları harada axtara bilərik? Düzdür, düz üçbucaqda. Bəs biz nə etməliyik? Bu üçbucağı qurun!

Nöqtənin koordinatları və, sonra seqment bərabərdir və seqment. Bucağın sinusunu tapmalıyıq. Nəzərinizə çatdırım ki, sinus əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir

Bizə nə qalıb? Hipotenuzanı tapın. Bunu iki yolla edə bilərsiniz: Pifaqor teoremi ilə (ayaqlar məlumdur!) və ya iki nöqtə arasındakı məsafə düsturu ilə (əslində birinci üsulla eynidir!). İkinci yolla gedəcəm:

Cavab:

Növbəti tapşırıq sizə daha asan görünəcək. O - nöqtənin koordinatlarında.

Tapşırıq 2. Nöqtədən per-pen-di-ku-lar abs-ciss oxuna endirilir. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir rəsm çəkək:

Perpendikulyarın əsası onun x oxunu (oxu) kəsdiyi nöqtədir, mənim üçün bu nöqtədir. Şəkil onun koordinatlarına malik olduğunu göstərir: . Bizi absis - yəni "X" komponenti maraqlandırır. O bərabərdir.

Cavab: .

Tapşırıq 3.Əvvəlki məsələnin şərtlərində nöqtədən koordinat oxlarına qədər olan məsafələrin cəmini tapın.

Bir nöqtədən oxlara qədər olan məsafənin nə olduğunu bilirsinizsə, tapşırıq ümumiyyətlə elementardır. Sən bilirsən? Ümid edirəm, amma yenə də sizə xatırladıram:

Beləliklə, bir az yuxarıda yerləşən rəsmimdə mən artıq belə bir perpendikulyar təsvir etmişəm? Hansı oxdur? oxa. Və onun uzunluğu nə qədərdir? O bərabərdir. İndi özünüz oxa perpendikulyar çəkin və uzunluğunu tapın. Bərabər olacaq, hə? Onda onların cəmi bərabər olur.

Cavab: .

Tapşırıq 4. 2-ci məsələnin şərtlərində x oxuna aid nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin ordinatını tapın.

Düşünürəm ki, simmetriyanın nə olduğunu intuitiv olaraq başa düşürsən? Çox sayda obyekt var: çoxlu binalar, masalar, təyyarələr, çoxlu həndəsi fiqurlar: top, silindr, kvadrat, romb və s.. Kobud desək, simmetriyanı belə başa düşmək olar: fiqur iki (və ya daha çox) eyni yarımdan ibarətdir. Bu simmetriya eksenel adlanır. Bəs ox nədir? Bu, fiqurun, nisbətən desək, eyni yarıya "kəsilməsi" mümkün olduğu xəttdir (bu şəkildə simmetriya oxu düzdür):

İndi isə qayıdaq vəzifəmizə. Bilirik ki, biz ox ətrafında simmetrik olan bir nöqtə axtarırıq. Onda bu ox simmetriya oxudur. Beləliklə, bir nöqtəni qeyd etməliyik ki, ox seqmenti iki bərabər hissəyə kəssin. Belə bir məqamı özünüz qeyd etməyə çalışın. İndi mənim həllimlə müqayisə edin:

Siz də eyni şeyi etdiniz? Yaxşı! Tapılan nöqtədə ordinatla maraqlanırıq. O bərabərdir

Cavab:

İndi mənə deyin, bir saniyə fikirləşdikdən sonra A nöqtəsinə simmetrik olan nöqtənin y oxuna görə absisi nə qədər olacaq? Cavabınız nədir? Düzgün cavab: .

Ümumiyyətlə, qayda belə yazıla bilər:

X oxuna yaxın bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları var:

Y oxuna yaxın bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları var:

Yaxşı, indi həqiqətən qorxuludur. bir vəzifə: Mənbəyə nisbətən bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapın. Əvvəlcə özün fikirləş, sonra mənim rəsmimə bax!

Cavab:

İndi paraleloqram problemi:

Tapşırıq 5: Xallar ver-şi-na-mi-pa-ral-le-lo-qram-madır. Tap-dee-te və ya-dee-on-tu nöqtələri.

Bu problemi iki yolla həll edə bilərsiniz: məntiq və koordinat metodu. Əvvəlcə koordinat metodunu tətbiq edəcəyəm, sonra sizə necə fərqli qərar verə biləcəyinizi söyləyəcəyəm.

Tamamilə aydındır ki, nöqtənin absisi bərabərdir. (nöqtədən x oxuna çəkilmiş perpendikulyar üzərində yerləşir). Ordinatı tapmalıyıq. Fiqurumuzun paraleloqram olmasından istifadə edək ki, bu o deməkdir. İki nöqtə arasındakı məsafə üçün düsturdan istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapın:

Nöqtəni ox ilə birləşdirən perpendikulyar aşağı düşürük. Kəsişmə nöqtəsi hərflə qeyd olunur.

Seqmentin uzunluğu bərabərdir. (bu anı müzakirə etdiyimiz problemi özünüz tapın), onda Pifaqor teoremindən istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapacağıq:

Seqmentin uzunluğu onun ordinatı ilə tam olaraq eynidir.

Cavab: .

Başqa bir həll (mən sadəcə onu göstərən bir şəkil təqdim edəcəyəm)

Həll prosesi:

1. Xərcləmək

2. Nöqtə koordinatlarını və uzunluğunu tapın

3. Bunu sübut edin.

Başqa biri kəsmə uzunluğu problemi:

Nöqtələr-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-bucaq-no-kadır. Onun orta xəttinin uzunluğunu tapın, par-ral-lel-noy.

Üçbucağın orta xəttinin nə olduğunu xatırlayırsınız? Onda sizin üçün bu vəzifə elementardır. Əgər xatırlamırsınızsa, onda sizə xatırladacağam: üçbucağın orta xətti əks tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən xəttdir. Baza paraleldir və onun yarısına bərabərdir.

Baza bir seqmentdir. Uzunluğunu daha əvvəl axtarmalı olduq, bərabərdir. Sonra orta xəttin uzunluğu yarı uzun və bərabərdir.

Cavab: .

Şərh: Bu problem başqa bir şəkildə həll edilə bilər, bir az sonra ona müraciət edəcəyik.

Bu arada, sizin üçün bir neçə tapşırıq var, onlar üzərində məşq edin, onlar olduqca sadədir, lakin koordinat metodundan istifadə edərək "əlinizi doldurmağa" kömək edirlər!

1. Nöqtələr görünür-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Onun orta xəttinin uzunluğunu tapın.

2. Xallar və yav-la-yut-xia ver-şi-na-mi pa-ral-le-lo-qram-ma. Tap-dee-te və ya-dee-on-tu nöqtələri.

3. Kəsikdən uzunluğu tapın, ikinci nöqtəni birləşdirin və

4. Ko-or-di-nat-noy müstəvisində qırmızı-şen-noy fi-gu-ry sahəsini tap-di-te.

5. Mərkəzi na-ça-le ko-or-di-natda olan dairə bir nöqtədən keçir. Onun ra-di-bığını tap-de-te.

6. Nai-di-te ra-di-us dairəsi-no-sti, təsvir-san-noy yaxınlığında sağ bucaq-no-ka, bir şeyin üstləri-şi-ny-ro-go var co-or - di-na-siz co-cavabdan-amma

Həll yolları:

1. Məlumdur ki, trapezoidin orta xətti onun əsaslarının cəminin yarısına bərabərdir. Baza bərabərdir, lakin əsasdır. Sonra

Cavab:

2. Bu problemi həll etməyin ən asan yolu buna diqqət yetirməkdir (paraleloqram qaydası). Vektorların koordinatlarını hesablayın və çətin deyil: . Vektorlar əlavə edilərkən koordinatlar əlavə edilir. Sonra koordinatları var. Nöqtə eyni koordinatlara malikdir, çünki vektorun başlanğıcı koordinatları olan bir nöqtədir. Ordinatla maraqlanırıq. O bərabərdir.

Cavab:

3. İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturuna əsasən dərhal hərəkət edirik:

Cavab:

4. Şəkilə baxın və deyin ki, kölgəli sahə hansı iki fiqur arasında “sıxılıb”? İki kvadrat arasında sıxışdırılır. Sonra istədiyiniz rəqəmin sahəsi böyük kvadratın sahəsinə, kiçik kvadratın sahəsinə bərabərdir. Yan kiçik kvadrat nöqtələri birləşdirən xətt seqmentidir və onun uzunluğu

Sonra kiçik kvadratın sahəsi

Böyük bir kvadratla da eyni şeyi edirik: onun tərəfi nöqtələri birləşdirən bir seqmentdir və uzunluğu bərabərdir

Sonra böyük kvadratın sahəsi

İstədiyiniz rəqəmin sahəsi düsturla tapılır:

Cavab:

5. Əgər dairənin başlanğıc nöqtəsi mərkəzidirsə və bir nöqtədən keçirsə, onda onun radiusu seqmentin uzunluğuna tam bərabər olacaq (rəsm çəkin və bunun niyə açıq olduğunu başa düşəcəksiniz). Bu seqmentin uzunluğunu tapın:

Cavab:

6. Məlumdur ki, düzbucaqlı ətrafında çevrələnmiş çevrənin radiusu onun diaqonalının yarısına bərabərdir. Gəlin iki diaqonaldan hər hansı birinin uzunluğunu tapaq (axı düzbucaqlıda onlar bərabərdir!)

Cavab:

Yaxşı, hər şeyi idarə etdin? Bunu başa düşmək o qədər də çətin deyildi, elə deyilmi? Burada yalnız bir qayda var - vizual bir şəkil çəkmək və ondan bütün məlumatları sadəcə "oxumaq".

Bizə çox az qalıb. Müzakirə etmək istədiyim sözün əsl mənasında daha iki məqam var.

Gəlin bu sadə problemi həll etməyə çalışaq. Qoy iki xal verilsin. Seqmentin ortasının koordinatlarını tapın. Bu məsələnin həlli belədir: nöqtə istədiyiniz orta olsun, onda onun koordinatları var:

Yəni: seqmentin ortasının koordinatları = seqmentin uclarının müvafiq koordinatlarının arifmetik ortası.

Bu qayda çox sadədir və adətən tələbələr üçün çətinlik yaratmır. Hansı problemlərdə və necə istifadə edildiyinə baxaq:

1. Tap-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-cu point and

2. Nöqtələr yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Onun dia-go-on-lei-nin re-re-se-che-niya-nın-di-te or-di-na-tu nöqtələrini tapın.

3. Tap-di-te abs-cis-su dairənin mərkəzi, təsvir-san-noy yaxınlığında düzbucaqlı-no-ka, tops-shi-biz bir şey var-ro-go co-or-di- na-siz co-dan-vet-stvenno-amma.

Həll yolları:

1. İlk tapşırıq sadəcə klassikdir. Seqmentin orta nöqtəsini təyin edərək dərhal hərəkət edirik. Onun koordinatları var. Ordinat bərabərdir.

Cavab:

2. Verilmiş dördbucaqlının paraleloqram (hətta romb!) olduğunu asanlıqla görmək olar. Tərəflərin uzunluqlarını hesablayaraq və bir-biri ilə müqayisə edərək bunu özünüz sübut edə bilərsiniz. Paraleloqram haqqında nə bilirəm? Onun diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə ikiyə bölünür! Aha! Beləliklə, diaqonalların kəsişmə nöqtəsi nədir? Bu, hər hansı bir diaqonalın ortasıdır! Xüsusilə diaqonalı seçəcəyəm. Onda nöqtənin koordinatları olur.Nöqtənin ordinatı bərabərdir.

Cavab:

3. Düzbucaqlının ətrafına çəkilmiş dairənin mərkəzi hansıdır? Onun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür. Düzbucaqlının diaqonalları haqqında nə bilirsiniz? Onlar bərabərdir və kəsişmə nöqtəsi yarıya bölünür. Tapşırıq əvvəlkinə endirildi. Məsələn, diaqonalı götürək. Əgər dairəvi dairənin mərkəzidirsə, ortasıdır. Mən koordinatları axtarıram: absis bərabərdir.

Cavab:

İndi bir az özünüzdə məşq edin, sadəcə olaraq hər bir problemin cavabını verəcəyəm ki, özünüzü yoxlayasınız.

1. Nai-di-te ra-di-us dairəsi-no-sti, üçbucağın yanında təsvir-san-noy-no-ka, kiminsə-ro-go-nun zirvələrində ko-or-di -mister yoxdur

2. Dairənin mərkəzini tap-di-te or-di-na-tu, üçbucağın yanında san-noyu təsvir et-no-ka, zirvələri-şi-bizdə bir şey-ro-go koordinatlarımız var.

3. Bir nöqtədə mərkəzi olan çevrə necə ra-di-y-sa olmalıdır ki, abs-ciss oxuna toxunsun?

4. Tap-di-te or-di-on-həmin nöqtəni yenidən re-se-che-ing ox və from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

Cavablar:

Hər şey alındı? Mən həqiqətən buna ümid edirəm! İndi - son təkan. İndi xüsusilə diqqətli olun. İndi izah edəcəyim material təkcə bununla bağlı deyil sadə tapşırıqlar B hissəsindən koordinat metoduna, həm də C2 probleminin hər yerində baş verir.

Mən vədlərimdən hansını hələ tutmamışam? Yadınızdadırsa, vektorlar üzərində hansı əməliyyatları təqdim etməyi vəd etmişdim və nəhayət hansıları təqdim etmişdim? Heç nəyi unutmadığımdan əminəmmi? Unutdum! Vektorların vurulmasının nə demək olduğunu izah etməyi unutmuşam.

Bir vektoru vektorla vurmağın iki yolu var. Seçilmiş metoddan asılı olaraq fərqli təbiətli obyektləri alacağıq:

Vektor məhsulu olduqca mürəkkəbdir. Bunu necə etmək və nə üçün lazım olduğunu növbəti məqalədə sizinlə müzakirə edəcəyik. Və burada biz skalyar məhsula diqqət yetirəcəyik.

Artıq onu hesablamağa imkan verən iki üsul var:

Təxmin etdiyiniz kimi, nəticə eyni olmalıdır! Beləliklə, əvvəlcə birinci yola baxaq:

Koordinatlar vasitəsilə məhsulu nöqtələyin

Tapın: - nöqtə hasilinin ümumi qeydi

Hesablama üçün formula aşağıdakı kimidir:

Yəni nöqtə hasili = vektorların koordinatlarının hasillərinin cəmidir!

Misal:

Tap-dee-te

Həll:

Vektorların hər birinin koordinatlarını tapın:

Skayar məhsulu düsturla hesablayırıq:

Cavab:

Görürsən, heç bir şey mürəkkəb deyil!

Yaxşı, indi özünüz cəhd edin:

Tap-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie əsr-to-xəndək və

idarə etdin? Bəlkə bir az hiylə görüb? yoxlayaq:

Əvvəlki tapşırıqda olduğu kimi vektor koordinatları! Cavab: .

Koordinata əlavə olaraq, vektorların uzunluqları və aralarındakı bucağın kosinusu vasitəsilə skalyar məhsulu hesablamaq üçün başqa bir yol var:

vektorlar arasındakı bucağı bildirir.

Yəni skalyar hasil vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.

Bu ikinci düstur bizə nə üçün lazımdır, əgər birincisi varsa, o, çox sadədir, heç olmasa, onda kosinuslar yoxdur. Və bu lazımdır ki, birinci və ikinci düsturlardan vektorlar arasındakı bucağı necə tapacağımızı çıxara bilək!

Bir vektorun uzunluğunun düsturunu xatırlayın!

Sonra bu məlumatları nöqtə məhsulu düsturuna qoşsam, əldə edirəm:

Amma digər tərəfdən:

Bəs bizdə nə var? İndi iki vektor arasındakı bucağı hesablamaq üçün bir düsturumuz var! Bəzən qısa olması üçün belə yazılır:

Yəni vektorlar arasındakı bucağı hesablamaq üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Skayar hasilini koordinatlar vasitəsilə hesablayırıq
2. Vektorların uzunluqlarını tapın və onları çoxaldın
3. 1-ci bəndin nəticəsini 2-ci bəndin nəticəsinə bölün

Nümunələrlə məşq edək:

1. Göz qapaqları-ra-mi və arasındakı bucağı tapın. Cavabınızı dərəcələrlə verin.

2. Əvvəlki məsələnin şərtlərinə görə vektorlar arasında kosinusu tapın

Gəlin bunu edək: birinci problemi həll etməyə kömək edəcəm, ikincini isə özünüz etməyə çalışın! Razıyam? Onda başlayaq!

1. Bu vektorlar bizim köhnə dostlarımızdır. Biz artıq onların skalyar hasilini nəzərdən keçirdik və bərabər idi. Onların koordinatları: , . Sonra onların uzunluqlarını tapırıq:

Sonra vektorlar arasında kosinusu axtarırıq:

Bucağın kosinusu nədir? Bu küncdür.

Cavab:

Yaxşı, indi ikinci məsələni özünüz həll edin, sonra müqayisə edin! Mən çox qısa bir həll verəcəyəm:

2. koordinatları var, koordinatları var.

vektorları arasındakı bucaq olsun, onda

Cavab:

Qeyd etmək lazımdır ki, B hissəsində birbaşa vektorlar üzərində tapşırıqlar və koordinatlar üsulu imtahan işi olduqca nadirdir. Bununla belə, C2 problemlərinin böyük əksəriyyəti koordinat sistemi tətbiq etməklə asanlıqla həll edilə bilər. Beləliklə, bu məqaləni bir təməl kimi nəzərdən keçirə bilərsiniz, bunun əsasında mürəkkəb problemləri həll etmək üçün lazım olan olduqca çətin konstruksiyalar edəcəyik.

KOORDİNATLAR VƏ VEKTORLAR. ORTA SƏVİYYƏ

Siz və mən koordinatlar metodunu öyrənməyə davam edirik. Son hissədə biz imkan verən bir sıra vacib düsturlar əldə etdik:

1. Vektor koordinatlarını tapın
2. Vektorun uzunluğunu tapın (alternativ olaraq: iki nöqtə arasındakı məsafə)
3. Vektorları əlavə edin, çıxarın. Onları həqiqi ədədə vurun
4. Seqmentin orta nöqtəsini tapın
5. Vektorların nöqtə hasilini hesablayın
6. Vektorlar arasındakı bucağı tapın

Təbii ki, bütün koordinat metodu bu 6 nöqtəyə uyğun gəlmir. Universitetdə tanış olacağınız analitik həndəsə kimi bir elmin təməlində dayanır. Mən sadəcə olaraq bir ştatda problemləri həll etməyə imkan verəcək bir təməl qurmaq istəyirəm. imtahan. Biz B hissəsinin tapşırıqlarını tapdıq. İndi keyfiyyətcə yeni səviyyəyə keçməyin vaxtıdır! Bu məqalə koordinat metoduna keçməyin məqsədəuyğun olduğu C2 problemlərinin həlli metoduna həsr olunacaq. Bu ağlabatanlıq problemdə nəyin tapılmalı olduğu və hansı rəqəmin verildiyi ilə müəyyən edilir. Beləliklə, suallar belə olsa, koordinat metodundan istifadə edərdim:

1. İki müstəvi arasındakı bucağı tapın
2. Xəttlə müstəvi arasındakı bucağı tapın
3. İki xətt arasındakı bucağı tapın
4. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın
5. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın
6. Düz xəttdən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın
7. İki xətt arasındakı məsafəni tapın

Məsələnin şərtində verilən rəqəm bir inqilab cisimidirsə (top, silindr, konus ...)

Koordinat metodu üçün uyğun rəqəmlər:

1. kuboid
2. Piramida (üçbucaqlı, dördbucaqlı, altıbucaqlı)

Həm də təcrübəmdə üçün koordinat metodundan istifadə etmək yersizdir:

1. Bölmələrin sahələrinin tapılması
2. Cismlərin həcmlərinin hesablanması

Bununla belə, dərhal qeyd etmək lazımdır ki, koordinat metodu üçün üç "əlverişsiz" vəziyyət praktikada olduqca nadirdir. Əksər tapşırıqlarda, xüsusən də üç ölçülü konstruksiyalarda (bəzən olduqca mürəkkəb olan) çox güclü deyilsinizsə, o, sizin xilaskarınız ola bilər.

Yuxarıda sadaladığım bütün rəqəmlər hansılardır? Onlar artıq kvadrat, üçbucaq, dairə kimi düz deyil, həcmlidirlər! Müvafiq olaraq, iki ölçülü deyil, üç ölçülü koordinat sistemini nəzərdən keçirməliyik. O, olduqca asanlıqla qurulur: absis və ordinatlara əlavə olaraq, başqa bir oxu, tətbiq oxunu təqdim edəcəyik. Şəkil onların nisbi mövqeyini sxematik şəkildə göstərir:

Hamısı qarşılıqlı perpendikulyardır, mənşəyi adlandıracağımız bir nöqtədə kəsişir. Absis oxu, əvvəlki kimi, ordinat oxu - , tətbiq olunan tətbiq oxu isə - işarələnəcək.

Əgər əvvəllər müstəvidə hər bir nöqtə iki rəqəmlə - absis və ordinatla xarakterizə olunurdusa, fəzadakı hər bir nöqtə artıq üç rəqəmlə - absis, ordinat, tətbiq ilə təsvir olunur. Misal üçün:

Müvafiq olaraq, nöqtənin absisi bərabərdir, ordinatı , tətbiqi isə .

Bəzən nöqtənin absissinə nöqtənin absis oxuna proyeksiyası, ordinat nöqtənin y oxuna proyeksiyası, tətbiqi isə nöqtənin tətbiq oxuna proyeksiyası adlanır. Müvafiq olaraq, bir nöqtə verilirsə, koordinatları olan bir nöqtə:

nöqtənin müstəviyə proyeksiyası adlanır

nöqtənin müstəviyə proyeksiyası adlanır

Təbii sual yaranır: ikiölçülü hal üçün alınan bütün düsturlar fəzada etibarlıdırmı? Cavab bəli, onlar ədalətlidirlər və eyni görünüşə malikdirlər. Kiçik bir detal üçün. Məncə, hansını artıq təxmin etmisiniz. Bütün düsturlarda biz tətbiq oxuna cavabdeh olan daha bir termin əlavə etməli olacağıq. Məhz.

1. Əgər iki nöqtə verilirsə: , onda:

• Vektor koordinatları:
• İki nöqtə arasındakı məsafə (və ya vektor uzunluğu)
• Seqmentin ortasında koordinatlar var

2. Əgər iki vektor verilmişdirsə: və, onda:

• Onların nöqtə məhsulu:
• Vektorlar arasındakı bucağın kosinusu:

Bununla belə, məkan o qədər də sadə deyil. Anladığınız kimi, daha bir koordinatın əlavə edilməsi bu məkanda "yaşayan" fiqurların spektrində əhəmiyyətli müxtəliflik təqdim edir. Və daha ətraflı izah etmək üçün düz xəttin bir qədər, kobud desək, “ümumiləşdirməsini” təqdim etməliyəm. Bu "ümumiləşdirmə" bir təyyarə olacaq. Təyyarə haqqında nə bilirsiniz? Suala cavab verməyə çalışın, təyyarə nədir? Bunu demək çox çətindir. Bununla belə, hamımız bunun necə göründüyünü intuitiv olaraq təsəvvür edirik:

Kobud desək, bu, kosmosa bir növ sonsuz “yarpaq” atılmasıdır. “Sonsuzluq” başa düşülməlidir ki, təyyarə bütün istiqamətlərdə uzanır, yəni onun sahəsi sonsuzluğa bərabərdir. Ancaq bu "barmaqlarda" izahı təyyarənin quruluşu haqqında zərrə qədər fikir vermir. Və biz bununla maraqlanacağıq.

Həndəsənin əsas aksiomlarından birini xatırlayaq:

• Düz xətt müstəvidə iki fərqli nöqtədən keçir, üstəlik yalnız bir:

Və ya onun kosmosdakı analoqu:

Əlbəttə ki, iki verilmiş nöqtədən düz xəttin tənliyini necə əldə edəcəyinizi xatırlayırsınız, bu heç də çətin deyil: əgər birinci nöqtənin koordinatları varsa: və ikincisi, düz xəttin tənliyi aşağıdakı kimi olacaq:

Bunu 7-ci sinifdə keçmisən. Kosmosda düz xəttin tənliyi belə görünür: koordinatları olan iki nöqtəyə sahib olaq: ​​, onda onlardan keçən düz xəttin tənliyi formaya malikdir:

Məsələn, bir xətt nöqtələrdən keçir:

Bunu necə başa düşmək lazımdır? Bunu aşağıdakı kimi başa düşmək lazımdır: koordinatları aşağıdakı sistemə cavab verən bir nöqtə xətt üzərində yerləşir:

Düz xəttin tənliyi bizi çox maraqlandırmayacaq, lakin düz xəttin yönləndirici vektorunun çox vacib anlayışına diqqət yetirməliyik. - verilmiş xətt üzərində və ya ona paralel olan sıfırdan fərqli istənilən vektor.

Məsələn, hər iki vektor düz xəttin istiqamət vektorlarıdır. Düz xətt üzərində uzanan nöqtə olsun və onun yönləndirici vektoru olsun. Sonra düz xəttin tənliyini aşağıdakı formada yazmaq olar:

Bir daha deyirəm, düz xəttin tənliyi məni çox maraqlandırmayacaq, amma istiqamət vektorunun nə olduğunu xatırlamağınıza çox ehtiyacım var! Yenidən: bir xətt üzərində və ya ona paralel olan HƏR Sıfırdan fərqli vektordur.

geri çəkilmək təyyarənin üç nöqtəli tənliyi artıq o qədər də əhəmiyyətsiz deyil və adətən bu məsələ kursda nəzərə alınmır Ali məktəb. Amma boş yerə! Mürəkkəb problemləri həll etmək üçün koordinat metoduna müraciət etdiyimiz zaman bu texnika çox vacibdir. Bununla belə, güman edirəm ki, siz yeni bir şey öyrənmək arzusu ilə dolusunuz? Üstəlik, analitik həndəsə kursunda adətən öyrənilən texnikadan necə istifadə edəcəyinizi artıq bildiyiniz ortaya çıxanda universitetdəki müəlliminizi heyran edə biləcəksiniz. Beləliklə, başlayaq.

Təyyarənin tənliyi müstəvidəki düz xəttin tənliyindən çox da fərqlənmir, yəni formaya malikdir:

bəzi ədədlər (hamısı sıfıra bərabər deyil), lakin dəyişənlər, məsələn: və s. Göründüyü kimi, müstəvi tənliyi düz xəttin tənliyindən (xətti funksiya) çox da fərqlənmir. Bununla belə, sizinlə nə mübahisə etdiyimizi xatırlayırsınız? Dedik ki, əgər bir düz xətt üzərində yatmayan üç nöqtəmiz varsa, müstəvi tənliyi onlardan unikal şəkildə bərpa olunur. Bəs necə? Mən sizə izah etməyə çalışacağam.

Çünki müstəvi tənliyi:

Və nöqtələr bu müstəviyə aiddir, onda hər bir nöqtənin koordinatlarını müstəvi tənliyində əvəz edərkən düzgün eyniliyi almalıyıq:

Beləliklə, naməlum olan üç tənliyi həll etməyə ehtiyac var! Dilemma! Bununla belə, biz həmişə güman edə bilərik (bunun üçün bölmək lazımdır). Beləliklə, üç naməlum olan üç tənlik alırıq:

Bununla belə, biz belə bir sistemi həll etməyəcəyik, lakin ondan irəli gələn sirli ifadəni yazacağıq:

Verilmiş üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi

\[\sol| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \sağ| = 0\]

Dayan! Bu başqa nədir? Çox qeyri-adi modul! Ancaq qarşınızda gördüyünüz obyektin modulla heç bir əlaqəsi yoxdur. Bu obyekt üçüncü dərəcəli determinant adlanır. Bundan sonra, bir müstəvidə koordinatlar üsulu ilə məşğul olanda, çox vaxt məhz bu təyinedicilərlə qarşılaşacaqsınız. Üçüncü dərəcəli determinant nədir? Qəribədir ki, bu sadəcə bir rəqəmdir. Hansı konkret rəqəmi determinantla müqayisə edəcəyimizi anlamaq qalır.

Əvvəlcə üçüncü dərəcəli determinantı daha ümumi formada yazaq:

Bəzi nömrələr haradadır. Üstəlik, birinci indeks dedikdə sıra nömrəsini, indekslə isə sütun nömrəsini nəzərdə tuturuq. Məsələn, o deməkdir ki verilmiş nömrə ikinci sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsində dayanır. Gəlin belə bir sual verək: belə bir determinantı necə dəqiq hesablayacağıq? Yəni konkret hansı rəqəmlə müqayisə edəcəyik? Dəqiq üçüncü sıranın determinantı üçün evristik (vizual) üçbucaq qaydası var, belə görünür:

1. Əsas diaqonalın elementlərinin hasili (yuxarı soldan sağa) birinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasili əsas diaqonala "perpendikulyar" olan ikinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasili əsas diaqonala "perpendikulyar". diaqonal
2. İkinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasili (yuxarı sağdan aşağı sola) birinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasili ikinci dərəcəli diaqonala "perpendikulyar" olan ikinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasilidir. ikinci dərəcəli diaqonal
3. Sonra determinant fərqə bərabərdir addımda əldə edilən dəyərlər və

Bütün bunları rəqəmlərlə yazsaq, aşağıdakı ifadəni alırıq:

Bununla belə, bu formada hesablama metodunu yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq üçbucaqları başınızda saxlamaq və nəyə nəyin əlavə olunduğu və nəyin nədən çıxılacağı barədə fikri saxlamaq kifayətdir).

Üçbucaq metodunu bir misalla təsvir edək:

1. Determinantı hesablayın:

Gəlin nə əlavə etdiyimizi və nəyi çıxardığımızı anlayaq:

"Artı" ilə gələn şərtlər:

Bu əsas diaqonaldır: elementlərin məhsulu

Birinci üçbucaq, "əsas diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

İkinci üçbucaq, "əsas diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

Üç rəqəm əlavə edirik:

"mənfi" ilə gələn terminlər

Bu yan diaqonaldır: elementlərin məhsulu

Birinci üçbucaq, "ikinci diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

İkinci üçbucaq, "ikinci diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

Üç rəqəm əlavə edirik:

Qalan yalnız müsbət şərtlərin cəmindən mənfi şərtlərin cəmini çıxarmaqdır:

Bu minvalla,

Gördüyünüz kimi, üçüncü dərəcəli determinantların hesablanmasında mürəkkəb və fövqəltəbii heç nə yoxdur. Üçbucaqları xatırlamaq və hesab səhvlərinə yol verməmək sadəcə vacibdir. İndi özünüzü hesablamağa çalışın:

Yoxlayırıq:

1. Əsas diaqonala perpendikulyar olan birinci üçbucaq:
2. Əsas diaqonala perpendikulyar olan ikinci üçbucaq:
3. Artı şərtlərin cəmi:
4. Yan diaqonalına perpendikulyar olan birinci üçbucaq:
5. Yan diaqonalına perpendikulyar olan ikinci üçbucaq:
6. Mənfi olan şərtlərin cəmi:
7. Artı şərtlərin cəmindən mənfi şərtlərin cəmi:

Budur sizin üçün daha bir neçə determinant, onların dəyərlərini özünüz hesablayın və cavablarla müqayisə edin:

Cavablar:

Yaxşı, hər şey uyğun gəldi? Əla, sonra davam edə bilərsiniz! Çətinliklər varsa, məsləhətim budur: İnternetdə determinantın onlayn hesablanması üçün bir dəstə proqram var. Sizə lazım olan tək şey öz determinantınızı tapmaq, onu özünüz hesablamaq və sonra onu proqramın hesabladığı ilə müqayisə etməkdir. Nəticələr uyğunlaşmağa başlayana qədər və s. Əminəm ki, bu an çox çəkməyəcək!

İndi üç verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi haqqında danışarkən yazdığım təyinediciyə qayıdaq:

Sadəcə onun dəyərini birbaşa hesablamaq (üçbucaq metodundan istifadə etməklə) və nəticəni sıfıra bərabər təyin etmək kifayətdir. Təbii ki, onlar dəyişənlər olduğundan, onlardan asılı olan bəzi ifadələr alacaqsınız. Məhz bu ifadə bir düz xətt üzərində yatmayan üç verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi olacaq!

Bunu sadə bir misalla izah edək:

1. Nöqtələrdən keçən müstəvinin tənliyini qurun

Bu üç nöqtə üçün determinant tərtib edirik:

Sadələşdirmə:

İndi onu birbaşa üçbucaqlar qaydasına əsasən hesablayırıq:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ sağ| = \left((x + 3) \sağ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Beləliklə, nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyi:

İndi bir problemi özünüz həll etməyə çalışın, sonra onu müzakirə edəcəyik:

2. Nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyini tapın

Yaxşı, indi həlli müzakirə edək:

Bir determinant edirik:

Və dəyərini hesablayın:

Onda təyyarənin tənliyi formaya malikdir:

Və ya azaltmaqla, əldə edirik:

İndi özünü idarə etmək üçün iki tapşırıq:

1. Üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini qurun:

Cavablar:

Hər şey uyğun gəldi? Yenə də müəyyən çətinliklər varsa, məsləhətim belədir: başınızdan üç nöqtə götürürsünüz (yüksək ehtimalla bir düz xətt üzərində yatmayacaqlar), onların üzərində bir təyyarə qurursunuz. Və sonra özünüzü onlayn yoxlayın. Məsələn, saytda:

Lakin determinantların köməyi ilə biz təkcə müstəvi tənliyini qurmayacağıq. Yadda saxlayın, mən sizə dedim ki, vektorlar üçün təkcə nöqtə hasilatı müəyyən edilmir. Bir vektor, eləcə də qarışıq məhsul var. Əgər iki vektorun skalyar hasili ədəd olacaqsa, onda iki vektorun vektor məhsulu vektor olacaq və bu vektor verilmiş olanlara perpendikulyar olacaq:

Və onun modulu olacaq sahəsinə bərabərdir vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram və. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün bu vektora ehtiyacımız olacaq. Vektorların çarpaz məhsulunu necə hesablaya bilərik və onların koordinatları verilirsə? Üçüncü sıranın determinantı yenə köməyimizə gəlir. Bununla belə, çarpaz məhsulun hesablanması alqoritminə keçməzdən əvvəl kiçik bir lirik təxribat etməliyəm.

Bu sapma əsas vektorlara aiddir.

Sxematik olaraq onlar şəkildə göstərilmişdir:

Sizcə, niyə onları əsas adlandırırlar? Fakt budur ki:

Və ya şəkildə:

Bu formulun etibarlılığı göz qabağındadır, çünki:

vektor məhsulu

İndi mən çarpaz məhsulu təqdim etməyə başlaya bilərəm:

İki vektorun vektor məhsulu aşağıdakı qaydaya əsasən hesablanan vektordur:

İndi çarpaz məhsulun hesablanmasına dair bəzi nümunələr verək:

Nümunə 1: Vektorların çarpaz məhsulunu tapın:

Həll yolu: Mən determinant edirəm:

Və hesablayıram:

İndi əsas vektorları yazdıqdan sonra adi vektor qeydinə qayıdacağam:

Bu minvalla:

İndi cəhd edin.

Hazırsan? Yoxlayırıq:

Və ənənəvi olaraq iki nəzarət etmək üçün tapşırıqlar:

1. Aşağıdakı vektorların çarpaz məhsulunu tapın:
2. Aşağıdakı vektorların çarpaz məhsulunu tapın:

Cavablar:

Üç vektorun qarışıq hasili

Mənə lazım olan son tikinti üç vektorun qarışıq məhsuludur. Bu, skaler kimi, bir ədəddir. Onu hesablamağın iki yolu var. - təyinedici vasitəsilə, - qarışıq hasil vasitəsilə.

Məhz, deyək ki, üç vektorumuz var:

Sonra üç vektorun qarışıq hasilini aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

1. - yəni qarışıq hasil vektorun skalyar hasili ilə digər iki vektorun vektor hasilidir.

Məsələn, üç vektorun qarışıq məhsulu:

Bunu vektor məhsulundan istifadə edərək özünüz hesablamağa çalışın və nəticələrin uyğun olduğundan əmin olun!

Yenə də iki misal müstəqil həll:

Cavablar:

Koordinat sisteminin seçimi

Yaxşı, indi həndəsədə mürəkkəb stereometrik problemləri həll etmək üçün bütün lazımi bilik bazasına sahibik. Bununla belə, birbaşa nümunələrə və onların həlli alqoritmlərinə keçməzdən əvvəl, aşağıdakı sual üzərində dayanmağın faydalı olacağına inanıram: necə dəqiq müəyyən bir rəqəm üçün bir koordinat sistemi seçin. Axı bu seçimdir nisbi mövqe koordinat sistemləri və kosmosdakı rəqəmlər son nəticədə hesablamaların nə qədər çətin olacağını müəyyən edəcək.

Xatırladıram ki, bu bölmədə biz aşağıdakı rəqəmləri nəzərdən keçiririk:

1. kuboid
2. Düz prizma (üçbucaqlı, altıbucaqlı...)
3. Piramida (üçbucaqlı, dördbucaqlı)
4. Tetraedr (üçbucaqlı piramida ilə eyni)

Bir kub və ya kub üçün aşağıdakı tikintini tövsiyə edirəm:

Yəni rəqəmi "küncüdə" yerləşdirəcəyəm. Kub və qutu çox yaxşı fiqurlardır. Onlar üçün hər zaman onun təpələrinin koordinatlarını asanlıqla tapa bilərsiniz. Məsələn, əgər (şəkildə göstərildiyi kimi)

onda təpə koordinatları belədir:

Əlbəttə ki, bunu xatırlamaq lazım deyil, ancaq bir kub və ya düzbucaqlı qutunun necə yerləşdiriləcəyini xatırlamaq məsləhətdir.

düz prizma

Prizma daha zərərli fiqurdur. Onu kosmosda müxtəlif yollarla təşkil edə bilərsiniz. Bununla belə, hesab edirəm ki, aşağıdakı ən yaxşı seçimdir:

Üçbucaqlı prizma:

Yəni, üçbucağın tərəflərindən birini bütövlükdə oxun üzərinə qoyuruq və təpələrdən biri mənşəyi ilə üst-üstə düşür.

Altıbucaqlı prizma:

Yəni təpələrdən biri mənşəyi ilə üst-üstə düşür, tərəflərdən biri isə oxun üstündə yerləşir.

Dördbucaqlı və altıbucaqlı piramida:

Bir kuba bənzər bir vəziyyət: bazanın iki tərəfini koordinat oxları ilə birləşdiririk, təpələrdən birini mənşəyi ilə birləşdiririk. Yeganə kiçik çətinlik nöqtənin koordinatlarını hesablamaq olacaq.

Altıbucaqlı piramida üçün - altıbucaqlı prizma ilə eynidir. Əsas vəzifə yenidən təpənin koordinatlarını tapmaq olacaq.

Tetraedr (üçbucaqlı piramida)

Vəziyyət üçbucaqlı prizma üçün verdiyim vəziyyətə çox bənzəyir: bir təpə başlanğıcı ilə üst-üstə düşür, bir tərəfi koordinat oxunda yerləşir.

Yaxşı, indi siz və mən nəhayət problemləri həll etməyə başlamağa yaxınıq. Məqalənin əvvəlində dediyimdən belə bir nəticə çıxara bilərsiniz: C2 problemlərinin əksəriyyəti 2 kateqoriyaya bölünür: bucaq üçün problemlər və məsafə üçün problemlər. Əvvəlcə bucaq tapmaq üçün problemləri nəzərdən keçirəcəyik. Onlar, öz növbəsində, aşağıdakı kateqoriyalara bölünür (mürəkkəblik artdıqca):

Küncləri tapmaqda problemlər

1. İki xətt arasındakı bucağın tapılması
2. İki müstəvi arasındakı bucağın tapılması

Bu məsələləri ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək: iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaqdan başlayaq. Hadi, xatırlayın, siz və mən əvvəllər oxşar nümunələri həll etmişikmi? Yadınızdadır, çünki bizdə artıq oxşar bir şey var idi ... Biz iki vektor arasında bucaq axtarırdıq. Xatırladıram ki, əgər iki vektor verilirsə: və, onda onlar arasındakı bucaq əlaqədən tapılır:

İndi bir məqsədimiz var - iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaq. Gəlin “düz şəkil”ə keçək:

İki xətt kəsişdikdə neçə bucaq əldə edirik? Artıq şeylər. Düzdür, onlardan yalnız ikisi bərabər deyil, digərləri isə onlara şaquli (və buna görə də onlarla üst-üstə düşür). Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucağı hansı bucağı nəzərə almalıyıq: yoxsa? Burada qayda belədir: iki düz xətt arasındakı bucaq həmişə dərəcədən çox deyil. Yəni iki bucaqdan biz həmişə ən kiçik dərəcə ölçüsü olan bucağı seçəcəyik. Yəni bu şəkildə iki xətt arasındakı bucaq bərabərdir. Hər dəfə iki bucaqdan ən kiçiyini tapmaqla məşğul olmamaq üçün hiyləgər riyaziyyatçılar moduldan istifadə etməyi təklif ediblər. Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucaq düsturla müəyyən edilir:

Diqqətli oxucu kimi sizin sualınız olmalı idi: bucağın kosinusunu hesablamaq üçün lazım olan bu rəqəmləri əslində haradan əldə edirik? Cavab: onları xətlərin istiqamət vektorlarından alacağıq! Beləliklə, iki xətt arasındakı bucağı tapmaq üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Formula 1 tətbiq edirik.

Və ya daha ətraflı:

1. Birinci düz xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq
2. İkinci xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq
3. Onların skalyar hasilinin modulunu hesablayın
4. Birinci vektorun uzunluğunu axtarırıq
5. İkinci vektorun uzunluğunu axtarırıq
6. 4-cü bəndin nəticələrini 5-ci bəndin nəticələrinə vurun
7. 3-cü nöqtənin nəticəsini 6-cı nöqtənin nəticəsinə bölürük.Xətlər arasındakı bucağın kosinusunu alırıq.
8. Əgər a nəticə verilmişdir bucağı dəqiq hesablamağa imkan verir, biz onu axtarırıq
9. Əks halda, arkkosinus vasitəsilə yazırıq

Yaxşı, indi tapşırıqlara keçməyin vaxtıdır: ilk ikisinin həllini ətraflı şəkildə nümayiş etdirəcəyəm, digərinin həllini qısa şəkildə təqdim edəcəyəm və yalnız son iki tapşırığa cavab verəcəyəm, siz bunu etməlisiniz. onlar üçün bütün hesablamaları özünüz edin.

Tapşırıqlar:

1. Sağ tet-ra-ed-re-də, sən-belə ki, tet-ra-ed-ra ilə me-di-a-noy bo-ko-how tərəfi arasındakı bucağı tap-di-te.

2. Sağa doğru altı-kömür-pi-ra-mi-de, yüz-ro-na-os-no-va-niya birtəhər bərabərdir və yan qabırğalar bərabərdir, düz arasındakı bucağı tapın. xətlər və.

3. Sağ əlli dörd-you-rech-kömür-noy pi-ra-mi-dy-nin bütün kənarlarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Düz xətlər arasındakı bucağı tapın və əgər from-re-zok - siz-belə ki, pi-ra-mi-dy verilmişdirsə, nöqtə onun bo-ko- th qabırğasında se-re-di-dir.

4. Kubun kənarında me-che-dən bir nöqtəyə qədər düz xətlər və düz xətlər arasındakı bucağı tapın.

5. Nöqtə - se-re-di-kubun kənarlarında Nai-di-te düz xətlər arasındakı bucaq və.

Təsadüfi deyil ki, tapşırıqları bu ardıcıllıqla yerləşdirmişəm. Koordinat metodu ilə hərəkət etməyə hələ vaxtınız olmasa da, mən özüm ən "problemli" rəqəmləri təhlil edəcəyəm və sizi ən sadə kubla məşğul olmağa buraxacağam! Tədricən bütün fiqurlarla işləməyi öyrənməlisən, mövzudan mövzuya tapşırıqların mürəkkəbliyini artıracağam.

Problemləri həll etməyə başlayaq:

1. Tetraedr çəkin, onu əvvəllər təklif etdiyim kimi koordinat sisteminə yerləşdirin. Tetraedr nizamlı olduğundan, onun bütün üzləri (əsas daxil olmaqla) müntəzəm üçbucaqlardır. Bizə tərəfin uzunluğu verilmədiyi üçün onu bərabər götürə bilərəm. Düşünürəm ki, siz başa düşürsünüz ki, bucaq həqiqətən tetraedronumuzun nə qədər "uzanacağından" asılı olmayacaq? Tetraedrdə hündürlüyü və medianı da çəkəcəyəm. Yol boyu onun əsasını çəkəcəm (bu da bizim üçün faydalı olacaq).

ilə arasındakı bucağı tapmalıyam. Biz nə bilirik? Biz yalnız nöqtənin koordinatını bilirik. Beləliklə, biz nöqtələrin daha çox koordinatlarını tapmalıyıq. İndi düşünürük: bir nöqtə üçbucağın hündürlüklərinin (və ya bissektrisalarının və ya medianlarının) kəsişmə nöqtəsidir. Nöqtə yüksək nöqtədir. Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Sonra nəhayət tapmalıyıq: nöqtələrin koordinatlarını: .

Ən sadəindən başlayaq: nöqtə koordinatları. Şəkilə baxın: Aydındır ki, nöqtənin tətbiqi sıfıra bərabərdir (nöqtə müstəvidə yerləşir). Onun ordinatı bərabərdir (çünki mediandır). Onun absissini tapmaq daha çətindir. Lakin bu, Pifaqor teoremi əsasında asanlıqla həyata keçirilir: Üçbucağı nəzərdən keçirək. Onun hipotenuzası bərabərdir, ayaqlarından biri isə bərabərdir.

Nəhayət bizdə:

İndi nöqtənin koordinatlarını tapaq. Aydındır ki, onun tətbiqi yenə sıfıra bərabərdir və ordinatı nöqtə ilə eynidir, yəni. Gəlin onun absissini tapaq. Kimsə bunu xatırlayırsa, bu, olduqca mənasız bir şəkildə edilir yüksəkliklər bərabərtərəfli üçbucaq kəsişmə nöqtəsi mütənasib olaraq bölünür yuxarıdan saymaq. Çünki:, onda seqmentin uzunluğuna bərabər olan nöqtənin istənilən absisi:-ə bərabərdir. Beləliklə, nöqtənin koordinatları:

Nöqtənin koordinatlarını tapaq. Aydındır ki, onun absisi və ordinatı nöqtənin absisi və ordinatı ilə üst-üstə düşür. Və aplikasiya seqmentin uzunluğuna bərabərdir. - bu üçbucağın ayaqlarından biridir. Üçbucağın hipotenuzası bir seqmentdir - bir ayaq. Qalın hərflərlə vurğuladığım səbəblər axtarılır:

Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Sonra seqmentin ortasının koordinatları üçün düsturu xatırlamalıyıq:

Budur, indi istiqamət vektorlarının koordinatlarını axtara bilərik:

Yaxşı, hər şey hazırdır: bütün məlumatları düsturla əvəz edirik:

Bu minvalla,

Cavab:

Bu cür "dəhşətli" cavablardan qorxmamalısınız: C2 problemləri üçün bu adi bir təcrübədir. Bu hissədəki "gözəl" cavaba təəccüblənməyi daha çox istərdim. Həm də qeyd etdiyiniz kimi, mən praktiki olaraq Pifaqor teoremindən və bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüklərinin xassəsindən başqa heç nəyə müraciət etmədim. Yəni stereometrik problemi həll etmək üçün mən stereometriyanın ən minimumundan istifadə etdim. Bu qazanc kifayət qədər çətin hesablamalarla qismən "söndürülür". Ancaq onlar olduqca alqoritmikdir!

2. Koordinat sistemi, habelə onun əsası ilə birlikdə müntəzəm altıbucaqlı piramida çəkin:

və xətləri arasındakı bucağı tapmalıyıq. Beləliklə, vəzifəmiz nöqtələrin koordinatlarını tapmaq üçün azaldılır: . Kiçik rəsmdən sonuncu üçünün koordinatlarını tapacağıq və nöqtənin koordinatı vasitəsilə təpənin koordinatını tapacağıq. Çox iş var, amma başlamaq lazımdır!

a) Koordinat: onun tətbiqi və ordinatının sıfır olduğu aydındır. Gəlin absisi tapaq. Bunu etmək üçün düz üçbucağı nəzərdən keçirin. Təəssüf ki, onda biz yalnız bərabər olan hipotenuzu bilirik. Ayağı tapmağa çalışacağıq (çünki ayağın iki qat uzunluğunun bizə nöqtənin absisini verəcəyi aydındır). Bunu necə axtara bilərik? Piramidanın təməlində hansı fiqurun olduğunu xatırlayaq? Bu müntəzəm altıbucaqlıdır. Bunun mənası nədi? Bu o deməkdir ki, bütün tərəflər və bütün bucaqlar bərabərdir. Belə bir künc tapmalıyıq. Hər hansı bir fikir? Bir çox fikir var, amma bir formula var:

Düzgün n-bucaqlının bucaqlarının cəmidir .

Beləliklə, düzgün altıbucaqlının bucaqlarının cəmi dərəcədir. Onda bucaqların hər biri bərabərdir:

Şəkilə yenidən baxaq. Seqmentin bucağın bissektoru olduğu aydındır. Sonra bucaq dərəcədir. Sonra:

Sonra hara.

Beləliklə, onun koordinatları var

b) İndi nöqtənin koordinatını asanlıqla tapa bilərik: .

c) Nöqtənin koordinatlarını tapın. Onun absisi seqmentin uzunluğu ilə üst-üstə düşdüyü üçün bərabərdir. Ordinatı tapmaq da çox çətin deyil: əgər nöqtələri birləşdirsək və xəttin kəsişmə nöqtəsini işarə etsək, deyin. (özünüz sadə tikinti edin). Beləliklə, B nöqtəsinin ordinatı seqmentlərin uzunluqlarının cəminə bərabərdir. Yenidən üçbucağa baxaq. Sonra

Ondan sonra nöqtənin koordinatları var

d) İndi nöqtənin koordinatlarını tapın. Bir düzbucaqlı düşünün və sübut edin ki, beləliklə, nöqtənin koordinatları:

e) Təpənin koordinatlarını tapmaq qalır. Aydındır ki, onun absisi və ordinatı nöqtənin absisi və ordinatı ilə üst-üstə düşür. Gəlin proqram tapaq. O vaxtdan bəri. Düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək. Problemin şərti ilə yanal kənar. Bu mənim üçbucağımın hipotenuzudur. Sonra piramidanın hündürlüyü ayaqdır.

Onda nöqtənin koordinatları var:

Budur, məni maraqlandıran bütün nöqtələrin koordinatları var. Düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının koordinatlarını axtarıram:

Bu vektorlar arasındakı bucağı axtarırıq:

Cavab:

Yenə də bu məsələni həll edərkən düzgün n-bucaqlının bucaqlarının cəmi düsturundan, eləcə də düzbucaqlı üçbucağın kosinusu və sinusunun tərifindən başqa heç bir mürəkkəb fənddən istifadə etmədim.

3. Bizə yenə piramidada kənarların uzunluqları verilmədiyi üçün onları birə bərabər hesab edəcəyəm. Beləliklə, yalnız yan tərəflər deyil, BÜTÜN kənarlar bir-birinə bərabər olduğundan, o zaman piramidanın bazasında bir kvadrat, yan üzləri isə düzgün üçbucaqlar var. Problemin mətnində verilmiş bütün məlumatları qeyd edərək, belə bir piramidanı, eləcə də onun əsasını bir müstəvidə təsvir edək:

və arasındakı bucağı axtarırıq. Mən nöqtələrin koordinatlarını axtaranda çox qısa hesablamalar aparacağam. Onların "şifrəsini açmalısınız":

b) - seqmentin ortası. Onun koordinatları:

c) Üçbucaqda Pifaqor teoremindən istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapacağam. Mən üçbucaqda Pifaqor teoremi ilə tapacağam.

Koordinatlar:

d) - seqmentin ortası. Onun koordinatları belədir

e) Vektor koordinatları

f) Vektor koordinatları

g) Bucaq axtarırıq:

Kub ən sadə fiqurdur. Əminəm ki, siz bunu özünüz başa düşə bilərsiniz. 4 və 5-ci məsələlərin cavabları aşağıdakı kimidir:

Xəttlə müstəvi arasındakı bucağı tapmaq

Yaxşı, sadə bulmacalar üçün vaxt bitdi! İndi nümunələr daha çətin olacaq. Xəttlə müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün aşağıdakı kimi hərəkət edəcəyik:

1. Üç nöqtədən istifadə edərək təyyarənin tənliyini qururuq
   ,
   üçüncü dərəcəli determinantdan istifadə etməklə.
2. İki nöqtə ilə düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatlarını axtarırıq:
3. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucağı hesablamaq üçün formula tətbiq edirik:

Gördüyünüz kimi, bu düstur iki xətt arasındakı bucaqları tapmaq üçün istifadə etdiyimiz düstura çox bənzəyir. Sağ tərəfin quruluşu eynidir və solda indi əvvəlki kimi kosinusu yox, sinus axtarırıq. Yaxşı, bir pis hərəkət əlavə edildi - təyyarənin tənliyini axtarmaq.

Rəflərdə qalmayaq həll nümunələri:

1. Os-no-va-ni-em düz-mənim mükafatım-biz-la-et-xia bərabər-amma-kasıb-ren-ny üçbucaqlı-nick sən-o mükafatla-biz bərabərik. Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın

2. Qərbdən düzbucaqlı pa-ral-le-le-pi-pe-de Nai-di-te düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucaq

3. Sağ əlli altı kömür prizmasında bütün kənarlar bərabərdir. Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

4. Sağ üçbucaqlı pi-ra-mi-de qabırğanın qərbindən os-but-va-ni-em ilə Nai-di-te bucağı, os-un ob-ra-zo-van -ny müstəvisi. -no-va-niya və düz-my, qabırğaların se-re-di-nasından keçərək və

5. Sağ dördbucaqlı pi-ra-mi-dy üstü ilə bütün kənarlarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Əgər nöqtə pi-ra-mi-dy-nin bo-ko-in-ci kənarında se-re-di-dirsə, düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

Yenə də ilk iki problemi ətraflı, üçüncüsü qısaca həll edəcəyəm və son ikisini sizin özünüzə həll etməyiniz üçün buraxıram. Bundan əlavə, siz artıq üçbucaqlı və dördbucaqlı piramidalarla məşğul olmalı idiniz, lakin hələ prizmalarla deyil.

Həll yolları:

1. Prizmanı, eləcə də onun əsasını çəkin. Onu koordinat sistemi ilə birləşdirək və problem bəyanatında verilən bütün məlumatları qeyd edək:

Bəzi nisbətlərə əməl edilmədiyim üçün üzr istəyirəm, amma problemi həll etmək üçün bu, əslində, o qədər də vacib deyil. Təyyarə mənim prizmanın sadəcə “arxa divarıdır”. Belə bir təyyarənin tənliyinin aşağıdakı formaya sahib olduğunu təxmin etmək kifayətdir:

Bununla belə, bu birbaşa göstərilə bilər:

Bu müstəvidə ixtiyari üç nöqtə seçirik: məsələn, .

Təyyarənin tənliyini quraq:

Sizin üçün məşq edin: bu təyinedicini özünüz hesablayın. Uğur qazandınız? Onda təyyarənin tənliyi formaya malikdir:

Və ya sadəcə

Bu minvalla,

Məsələni həll etmək üçün düz xəttin yönləndirici vektorunun koordinatlarını tapmalıyam. Nöqtə mənşəyi ilə üst-üstə düşdüyü üçün vektorun koordinatları sadəcə olaraq nöqtənin koordinatları ilə üst-üstə düşəcək.Bunun üçün əvvəlcə nöqtənin koordinatlarını tapırıq.

Bunu etmək üçün üçbucağı nəzərdən keçirin. Yuxarıdan hündürlüyü (o da median və bissektrisadır) çəkək. Çünki o zaman nöqtənin ordinatı bərabərdir. Bu nöqtənin absisini tapmaq üçün seqmentin uzunluğunu hesablamalıyıq. Pifaqor teoreminə görə biz var:

Onda nöqtənin koordinatları var:

Nöqtə nöqtə üzərində "qaldırılmışdır":

Sonra vektorun koordinatları:

Cavab:

Gördüyünüz kimi, bu cür problemlərin həllində əsaslı çətin bir şey yoxdur. Əslində, prizma kimi bir fiqurun "düz olması" prosesi bir az daha asanlaşdırır. İndi növbəti nümunəyə keçək:

2. Biz paralelepiped çəkirik, onun içində müstəvi və düz xətt çəkirik, həmçinin onun aşağı əsasını ayrıca çəkirik:

Əvvəlcə təyyarənin tənliyini tapırıq: İçində yerləşən üç nöqtənin koordinatları:

(ilk iki koordinat aşkar şəkildə alınır və siz nöqtədən şəkildən son koordinatı asanlıqla tapa bilərsiniz). Sonra təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Hesablayırıq:

İstiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq: Aydındır ki, onun koordinatları nöqtənin koordinatları ilə üst-üstə düşür, elə deyilmi? Koordinatları necə tapmaq olar? Bunlar tətbiq oxu boyunca bir qaldırılmış nöqtənin koordinatlarıdır! . Sonra istədiyiniz bucağı axtarırıq:

Cavab:

3. Müntəzəm altıbucaqlı piramida çəkin, sonra bir müstəvi və düz xətt çəkin.

Burada təyyarə çəkmək hətta problemlidir, bu problemin həllini demirəm, amma koordinat metodu əhəmiyyət vermir! Onun əsas üstünlüyü çox yönlülüyündədir!

Təyyarə üç nöqtədən keçir: . Biz onların koordinatlarını axtarırıq:

bir). Son iki nöqtənin koordinatlarını özünüz göstərin. Bunun üçün problemi altıbucaqlı piramida ilə həll etməli olacaqsınız!

2) Təyyarənin tənliyini qururuq:

Biz vektorun koordinatlarını axtarırıq: . (Yenidən üçbucaqlı piramida probleminə baxın!)

3) Bucaq axtarırıq:

Cavab:

Gördüyünüz kimi, bu vəzifələrdə fövqəltəbii çətin bir şey yoxdur. Yalnız köklərə çox diqqətli olmaq lazımdır. Son iki problemə yalnız cavab verəcəyəm:

Gördüyünüz kimi, məsələlərin həlli texnikası hər yerdə eynidir: əsas vəzifə təpələrin koordinatlarını tapmaq və onları bəzi düsturlarla əvəz etməkdir. Bucaqların hesablanması üçün daha bir sinif problemləri nəzərdən keçirməyimiz üçün qalır, yəni:

İki müstəvi arasındakı bucaqların hesablanması

Həll alqoritmi aşağıdakı kimi olacaq:

1. Üç nöqtə üçün birinci müstəvinin tənliyini axtarırıq:
2. Qalan üç nöqtə üçün ikinci müstəvinin tənliyini axtarırıq:
3. Formulu tətbiq edirik:

Gördüyünüz kimi, düstur əvvəlki ikisinə çox bənzəyir, onun köməyi ilə düz xətlər arasında və düz xətt ilə müstəvi arasında bucaq axtarırdıq. Buna görə də bunu xatırlamaq sizin üçün çətin olmayacaq. Gəlin birbaşa problemə keçək:

1. Düzgün üçbucaqlı prizma əsasında yüz-ro- bərabərdir və yan üzün dia-qonalı bərabərdir. Mükafatın əsasının müstəvisi ilə müstəvisi arasındakı bucağı tapın.

2. Sağ-irəli dörd-you-yenidən-kömür-noy pi-ra-mi-de, kiminsə bütün kənarları bərabərdir, müstəvi ilə Ko-Stu müstəvisi arasında keçən bucağın sinusunu tapın. per-pen-di-ku-lyar-amma düz-minin nöqtəsi.

3. Müntəzəm dörd kömür prizmasında os-no-va-nia-nın tərəfləri bərabər, yan kənarları isə bərabərdir. Kənarında-me-che-böylə nöqtəyə qədər. və müstəviləri arasındakı bucağı tapın

4. Sağ dördbucaqlı prizmada əsasların tərəfləri bərabər, yan kənarları isə bərabərdir. Kənarında-me-che-bir nöqtəyə ki, təyyarələr arasındakı bucağı tapın və.

5. Kubda və müstəviləri arasındakı bucağın ko-si-nusunu tapın

Problem həlləri:

1. Mən müntəzəm (əsasda - bərabərtərəfli üçbucaq) üçbucaqlı prizma çəkirəm və onun üzərində məsələnin vəziyyətində görünən müstəviləri qeyd edirəm:

İki təyyarənin tənliklərini tapmalıyıq: Baza tənliyi mənasız şəkildə alınır: üç nöqtə üçün müvafiq determinant edə bilərsiniz, amma mən tənliyi dərhal düzəldəcəm:

İndi tənliyi tapaq Nöqtənin koordinatları var Nöqtə - - olduğundan - üçbucağın medianı və hündürlüyünü üçbucaqda Pifaqor teoremi ilə tapmaq asandır. Onda nöqtənin koordinatları var: Nöqtənin tətbiqini tapın Bunun üçün düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək

Sonra aşağıdakı koordinatları alırıq: Müstəvi tənliyini tərtib edirik.

Təyyarələr arasındakı bucağı hesablayırıq:

Cavab:

2. Rəsm çəkmək:

Ən çətini onun hansı sirli müstəvi olduğunu, bir nöqtədən perpendikulyar keçdiyini anlamaqdır. Yaxşı, əsas odur ki, bu nədir? Əsas odur ki, diqqət! Həqiqətən, xətt perpendikulyardır. Xətt də perpendikulyardır. Sonra bu iki xəttdən keçən müstəvi xəttə perpendikulyar olacaq və yeri gəlmişkən, nöqtədən keçəcəkdir. Bu müstəvi də piramidanın yuxarı hissəsindən keçir. Sonra istədiyiniz təyyarə - Və təyyarə artıq bizə verilir. Biz nöqtələrin koordinatlarını axtarırıq.

Nöqtədən keçən nöqtənin koordinatını tapırıq. Kiçik bir rəsmdən belə nəticə çıxarmaq asandır ki, nöqtənin koordinatları belə olacaq: Piramidanın yuxarı hissəsinin koordinatlarını tapmaq üçün indi nə tapılacaq? Hələ onun hündürlüyünü hesablamaq lazımdır. Bu, eyni Pifaqor teoremindən istifadə etməklə həyata keçirilir: əvvəlcə bunu sübut edin (xırda-xırda əsasda kvadrat meydana gətirən kiçik üçbucaqlardan). Şərtə görə bizdə:

İndi hər şey hazırdır: təpə koordinatları:

Təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Siz artıq determinantların hesablanması üzrə mütəxəssissiniz. Asanlıqla alacaqsınız:

Və ya əks halda (hər iki hissəni ikinin kökünə vursaq)

İndi təyyarənin tənliyini tapaq:

(Təyyarənin tənliyini necə əldə etdiyimizi unutmadınız, elə deyilmi? Bu mənfi olanın haradan gəldiyini başa düşmürsənsə, onda təyyarənin tənliyinin tərifinə qayıdın! Sadəcə həmişə belə çıxırdı ki, mənim təyyarə mənşəyə aiddi!)

Determinantı hesablayırıq:

(Ola bilsin ki, müstəvi tənliyinin nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyi ilə üst-üstə düşdüyünü və bunun səbəbini düşünün!)

İndi bucağı hesablayırıq:

Sinusunu tapmalıyıq:

Cavab:

3. Çətin sual: düzbucaqlı prizma nədir, siz necə düşünürsünüz? Bu, sadəcə olaraq sizə məlum olan paralelepipeddir! Dərhal rəsm! Siz hətta bazanı ayrıca təsvir edə bilməzsiniz, burada ondan az istifadə olunur:

Təyyarə, əvvəllər qeyd etdiyimiz kimi, tənlik şəklində yazılır:

İndi bir təyyarə düzəldirik

Dərhal təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Bucaq axtarır

İndi son iki problemin cavabları:

Yaxşı, indi fasilə vermə vaxtıdır, çünki siz və mən əlaıq və əla iş görmüşük!

Koordinatlar və vektorlar. Qabaqcıl səviyyə

Bu yazıda biz sizinlə koordinat metodundan istifadə etməklə həll edilə bilən başqa bir problem sinfini müzakirə edəcəyik: məsafə məsələləri. Məhz, biz aşağıdakı halları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Əyri xətlər arasındakı məsafənin hesablanması.

Mürəkkəblik artdıqca verilən tapşırıqları sifariş etdim. Ən asanı tapmaqdır müstəvi məsafəsinə işarə edin və ən çətin tərəfi tapmaqdır kəsişən xətlər arasındakı məsafə. Baxmayaraq ki, əlbəttə ki, heç bir şey mümkün deyil! Gəlin süründürməyək və dərhal birinci sinif problemlərin nəzərdən keçirilməsinə keçək:

Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafənin hesablanması

Bu problemi həll etmək üçün bizə nə lazımdır?

1. Nöqtə koordinatları

Beləliklə, bütün lazımi məlumatları əldə edən kimi formula tətbiq edirik:

Son hissədə təhlil etdiyim əvvəlki məsələlərdən təyyarənin tənliyini necə qurduğumuzu artıq bilməlisiniz. Gəlin dərhal işə başlayaq. Sxem belədir: 1, 2 - mən sizə qərar verməyə kömək edirəm və bəzi təfərrüatlarda 3, 4 - yalnız cavab, qərarı özünüz verirsiniz və müqayisə edirsiniz. Başladı!

Tapşırıqlar:

1. Bir kub verilir. Kubun kənarının uzunluğu Se-re-di-ny-dən kəsikdən düzə qədər olan məsafəni tapın

2. Verilmiş sağ-vil-naya dörd-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kənar yüz-ro-on os-no-va-nia bərabərdir. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafələri tapın - kənarlarda se-re-di-.

3. Os-but-va-ni-em ilə sağ üçbucaqlı pi-ra-mi-de, digər kənar bərabərdir və yüz-ro-on os-no-vaniya bərabərdir. Yuxarıdan təyyarəyə qədər olan məsafələri tapın.

4. Sağ əlli altı kömür prizmasında bütün kənarlar bərabərdir. Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafələri tapın.

Həll yolları:

1. Tək kənarları olan bir kub çəkin, seqment və müstəvi qurun, seqmentin ortasını hərflə qeyd edin

.

Əvvəlcə asan birindən başlayaq: nöqtənin koordinatlarını tapın. O vaxtdan bəri (seqmentin ortasının koordinatlarını xatırlayın!)

İndi üç nöqtədə təyyarənin tənliyini tərtib edirik

\[\sol| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \sağ| = 0\]

İndi məsafəni tapmağa başlaya bilərəm:

2. Biz bütün məlumatları qeyd etdiyimiz bir rəsmlə yenidən başlayırıq!

Piramida üçün onun əsasını ayrıca çəkmək faydalı olardı.

Toyuq pəncəsi kimi çəkməyim belə bu problemi asanlıqla həll etməyimizə mane olmayacaq!

İndi bir nöqtənin koordinatlarını tapmaq asandır

Nöqtənin koordinatlarından bəri

2. a nöqtəsinin koordinatları seqmentin ortası olduğundan, onda

Müstəvidə daha iki nöqtənin koordinatlarını asanlıqla tapa bilərik.Müstəvi tənliyini qururuq və sadələşdiririk:

\[\sol| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nöqtənin koordinatları olduğundan: , onda məsafəni hesablayırıq:

Cavab (çox nadirdir!):

Yaxşı, başa düşdün? Mənə elə gəlir ki, burada hər şey əvvəlki hissədə sizinlə birlikdə nəzərdən keçirdiyimiz nümunələrdə olduğu kimi texnikidir. Ona görə də əminəm ki, əgər siz həmin materialı mənimsəmisinizsə, onda qalan iki problemi həll etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Mən sizə sadəcə cavab verəcəyəm:

Xəttdən təyyarəyə qədər olan məsafənin hesablanması

Əslində burada yeni heç nə yoxdur. Xətt və müstəvi bir-birinə nisbətən necə yerləşə bilər? Onların bütün imkanları var: kəsişmək və ya düz xətt müstəviyə paraleldir. Sizcə, verilmiş xəttin kəsişdiyi xəttdən müstəviyə qədər olan məsafə nə qədərdir? Mənə elə gəlir ki, belə bir məsafənin sıfıra bərabər olduğu aydındır. Maraqsız hal.

İkinci hal daha mürəkkəbdir: burada məsafə artıq sıfırdan fərqlidir. Bununla belə, xətt müstəviyə paralel olduğundan, xəttin hər bir nöqtəsi bu müstəvidən bərabər məsafədədir:

Bu minvalla:

Bu isə o deməkdir ki, mənim tapşırığım əvvəlkinə endirilib: biz xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatlarını axtarırıq, təyyarənin tənliyini axtarırıq, nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni hesablayırıq. Əslində, imtahanda belə tapşırıqlar olduqca nadirdir. Mən yalnız bir problem tapmağı bacardım və içindəki məlumatlar elə idi ki, koordinat metodu ona çox uyğun deyildi!

İndi başqa, daha vacib problemlər sinfinə keçək:

Bir Nöqtədən Xəttə Məsafənin Hesablanması

Bizə nə lazım olacaq?

1. Məsafəni axtardığımız nöqtənin koordinatları:

2. Düz xətt üzərində yerləşən istənilən nöqtənin koordinatları

3. Düz xəttin istiqamət vektor koordinatları

Hansı düsturdan istifadə edirik?

Bu kəsrin məxrəci sizin üçün nə deməkdir və buna görə də aydın olmalıdır: bu düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun uzunluğudur. Budur çox çətin bir say! İfadə vektorların vektor məhsulunun modulu (uzunluğu) deməkdir və vektor məhsulunun necə hesablanacağı, biz işin əvvəlki hissəsində öyrəndik. Biliklərinizi təzələyin, indi bizim üçün çox faydalı olacaq!

Beləliklə, problemlərin həlli alqoritmi aşağıdakı kimi olacaqdır:

1. Məsafəni axtardığımız nöqtənin koordinatlarını axtarırıq:

2. Məsafəni axtardığımız xəttdə istənilən nöqtənin koordinatlarını axtarırıq:

3. Vektorun qurulması

4. Düz xəttin istiqamət vektorunu qururuq

5. Çarpaz məhsulu hesablayın

6. Nəticə vektorun uzunluğunu axtarırıq:

7. Məsafəni hesablayın:

Çox işimiz var və nümunələr olduqca mürəkkəb olacaq! Beləliklə, indi bütün diqqətinizi cəmləyin!

1. Dana təpəsi olan sağ əlli üçbucaqlı pi-ra-mi-dadır. Yüz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy bərabərdir, sən-so-ta bərabərdir. Bo-ko-ci kənarın se-re-di-ny-dən düz xəttə qədər olan məsafələri tapın, burada və nöqtələri qabırğaların se-re-di-ny və co-vet-dir. -stven-amma.

2. Qabırğaların uzunluqları və düz bucaq-no-para-ral-le-le-pi-pe-da müvafiq olaraq bərabərdir və top-shi-ny-dən düz-my-yə qədər tap-di-te məsafəsi

3. Sağ altı kömür prizmasında sürünün bütün kənarları bir nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafəni tapmağa bərabərdir.

Həll yolları:

1. Bütün məlumatları qeyd etdiyimiz səliqəli bir rəsm çəkirik:

Sizin üçün çox işimiz var! Əvvəlcə nəyi və hansı ardıcıllıqla axtaracağımızı sözlə təsvir etmək istərdim:

1. Nöqtələrin koordinatları və

2. Nöqtə koordinatları

3. Nöqtələrin koordinatları və

4. Vektorların koordinatları və

5. Onların çarpaz məhsulu

6. Vektor uzunluğu

7. Vektor hasilinin uzunluğu

8. Məsafə

Yaxşı, çox işimiz var! Gəlin qollarımızı çırmalayaq!

1. Piramidanın hündürlüyünün koordinatlarını tapmaq üçün nöqtənin koordinatlarını bilməliyik.Onun tətbiqi sıfır, ordinatı isə absissinə bərabərdir. Nəhayət, koordinatları əldə etdik:

Nöqtə koordinatları

2. - seqmentin ortası

3. - seqmentin ortası

orta nöqtə

4. Koordinatlar

Vektor koordinatları

5. Vektor məhsulunu hesablayın:

6. Vektorun uzunluğu: ən asan yol seqmentin üçbucağın orta xətti olduğunu əvəz etməkdir, yəni əsasın yarısına bərabərdir. Belə ki.

7. Vektor məhsulunun uzunluğunu nəzərə alırıq:

8. Nəhayət, məsafəni tapın:

Eh, hamısı budur! Düzünü deyim ki, bu problemi ənənəvi üsullarla (konstruksiyalar vasitəsilə) həll etmək daha sürətli olardı. Ancaq burada hər şeyi hazır bir alqoritmə endirdim! Düşünürəm ki, həll alqoritmi sizə aydındır? Ona görə də qalan iki problemi təkbaşına həll etməyi xahiş edəcəm. Cavabları müqayisə edin?

Yenə də təkrar edirəm: koordinat metoduna müraciət etməkdənsə, bu problemləri konstruksiyalar vasitəsilə həll etmək daha asandır (daha sürətli). Mən sizə “heç bir şeyi bitirməməyə” imkan verən universal bir üsul göstərmək üçün bu həll yolunu nümayiş etdirdim.

Nəhayət, problemlərin sonuncu sinfini nəzərdən keçirin:

Əyri xətlər arasındakı məsafənin hesablanması

Burada problemlərin həlli alqoritmi əvvəlkinə bənzəyəcəkdir. Bizdə nə var:

3. Birinci və ikinci sətirlərin nöqtələrini birləşdirən istənilən vektor:

Xətlər arasındakı məsafəni necə tapırıq?

Formula belədir:

Numerator qarışıq məhsulun moduludur (bunu əvvəlki hissədə təqdim etdik) və məxrəc - əvvəlki düsturda olduğu kimi (xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının vektor məhsulunun modulu, aramızda olan məsafə). üçün).

Bunu sizə xatırladacağam

sonra məsafə düsturu kimi yenidən yazıla bilər:

Bu təyinedicini təyinediciyə bölün! Baxmayaraq ki, düzünü desəm, mən burada zarafat etmək niyyətində deyiləm! Bu düstur, əslində, çox çətin və olduqca mürəkkəb hesablamalara gətirib çıxarır. Mən sənin yerində olsaydım, yalnız son çarə kimi istifadə edərdim!

Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək bir neçə problemi həll etməyə çalışaq:

1. Düzgün üçbucaqlı prizmada bütün kənarlar bir növ bərabərdir, düz xətlər arasındakı məsafəni tapın və.

2. Sağ ön formalı üçbucaqlı prizma nəzərə alınmaqla, kiminsə os-no-va-niyasının bütün kənarları Se-che-tiona bərabərdir, digər qabırğadan keçərək se-re-di-nu qabırğaları olur. yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie arasında düz-we-mi və

Mən birinciyə qərar verirəm, ona əsaslanaraq, siz ikinciyə qərar verin!

1. Prizma çəkirəm və xətləri qeyd edirəm və

C nöqtəsinin koordinatları: sonra

Nöqtə koordinatları

Vektor koordinatları

Nöqtə koordinatları

Vektor koordinatları

Vektor koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

və vektorları arasında çarpaz məhsulu nəzərdən keçiririk

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \sol| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

İndi onun uzunluğunu nəzərdən keçirək:

Cavab:

İndi ikinci tapşırığı diqqətlə yerinə yetirməyə çalışın. Bunun cavabı belə olacaq:.

Koordinatlar və vektorlar. Qısa təsvir və əsas düsturlar

Vektor istiqamətləndirilmiş seqmentdir. - vektorun başlanğıcı, - vektorun sonu.
Vektor və ya ilə işarələnir.

Mütləq dəyər vektor - vektoru təmsil edən seqmentin uzunluğu. kimi təyin edilmişdir.

Vektor koordinatları:

,
vektorun ucları haradadır \displaystyle a .

Vektorların cəmi: .

Vektorların məhsulu:

Vektorların nöqtə məhsulu:

Vektorların skalyar məhsulu onların mütləq qiymətlərinin hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir:

QALAN 2/3 MƏQALƏLƏR YALNIZ SİZİN AĞIR TƏLƏBƏLƏRİN İÇİNDİR!

YouClever-in tələbəsi olun,

OGE-yə hazırlaşın və ya "ayda bir fincan qəhvə" qiymətinə riyaziyyatda istifadə edin,

Həm də "YouClever" dərsliyinə, "100gia" təlim proqramına (həll kitabı), limitsiz sınaq İSTİFADƏSİ və OGE, həllərin təhlili ilə 6000 tapşırıq və digər YouClever və 100gia xidmətlərinə məhdudiyyətsiz giriş əldə edin.

Tərif Sıralı (x 1 , x 2 , ... , x n) n həqiqi ədədlər toplusu adlanır. n-ölçülü vektor, və ədədlər x i (i = 1,...,n) - komponentlər və ya koordinatlar,

Misal. Əgər, məsələn, müəyyən avtomobil zavodu hər növbədə 50 minik avtomobili, 100 yük maşını, 10 avtobus, minik avtomobilləri üçün 50 dəst, yük maşınları və avtobuslar üçün 150 dəst ehtiyat hissələri istehsal etməlidirsə, onda bu zavodun istehsal proqramını aşağıdakı kimi yazmaq olar. vektor (50, 100, 10, 50, 150), beş komponentdən ibarətdir.

Qeyd. Vektorlar qalın kiçik hərflər və ya yuxarıda bar və ya ox olan hərflərlə işarələnir, məsələn, a və ya . İki vektor deyilir bərabərdirəgər onların eyni sayda komponentləri varsa və onlara uyğun komponentlər bərabərdirsə.

Vektor komponentləri dəyişdirilə bilməz, məsələn, (3, 2, 5, 0, 1) və (2, 3, 5, 0, 1) müxtəlif vektorlardır.
Vektorlar üzərində əməliyyatlar. işx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) λ həqiqi ədədinə λ vektoru deyilir. x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

məbləğx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) və y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vektor adlanır x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektorların fəzası. N-ölçülü vektor fəzası R n həqiqi ədədlərə vurma və toplama əməliyyatlarının təyin olunduğu bütün n ölçülü vektorların çoxluğu kimi müəyyən edilir.

İqtisadi illüstrasiya. N ölçülü vektor fəzasının iqtisadi təsviri: malların sahəsi (mallar). Altında əmtəə müəyyən bir yerdə müəyyən bir zamanda satışa çıxan bəzi mal və ya xidməti başa düşəcəyik. Fərz edək ki, məhdud sayda mal var n; onların hər birinin istehlakçı tərəfindən satın alınan kəmiyyətləri əmtəə dəsti ilə xarakterizə olunur

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i istehlakçının aldığı i-ci əmtəənin məbləğini bildirir. Fərz edək ki, bütün mallar ixtiyari bölünmə xüsusiyyətinə malikdir ki, onların hər birinin mənfi olmayan istənilən miqdarı alınsın. Onda bütün mümkün mal dəstləri mallar məkanının vektorlarıdır C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =1,...,n).

Xətti müstəqillik. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-ölçülü vektorlar deyilir xətti asılı, ən azı biri sıfırdan fərqli olan λ 1 , λ 2 , ... , λ m ədədləri varsa, bərabərliyi λ 1 olsun e 1 + λm e m = 0; əks halda bu vektorlar sistemi adlanır xətti müstəqil, yəni göstərilən bərabərlik yalnız bütün λ 1 =λ 2 =...=λ m =0 olduqda mümkündür. həndəsi məna xətti asılılıq vektorlar R 3 , istiqamətlənmiş seqmentlər kimi şərh olunur, aşağıdakı teoremləri izah edin.

Teorem 1. Tək vektordan ibarət olan sistem yalnız və yalnız bu vektor sıfır olduqda xətti asılıdır.

Teorem 2. İki vektorun xətti asılı olması üçün onların kollinear (paralel) olması zəruri və kifayətdir.

Teorem 3 . Üç vektorun xətti asılı olması üçün onların koplanar olması (eyni müstəvidə uzanması) zəruri və kifayətdir.

Vektorların sol və sağ üçlüyü. Koplanar olmayan vektorların üçlüyü a, b, cçağırdı sağ, əgər onların ümumi mənşəli müşahidəçi vektorların uclarından yan keçərsə a, b, c bu ardıcıllıqla saat əqrəbi istiqamətində davam edir. Əks halda a, b, c -sol üçlü. Vektorların bütün sağ (və ya sol) üçlüyü deyilir bərabər yönümlü.

Baza və koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 qeyri-coplanar vektor R 3 çağırdı əsas, və vektorların özləri e 1, e 2 , e 3 - əsas. İstənilən vektor a bazis vektorları baxımından özünəməxsus şəkildə genişləndirilə bilər, yəni formada təmsil oluna bilər

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

genişlənmədə olan x 1 , x 2 , x 3 ədədləri (1.1) adlanır koordinatlarıaəsasında e 1, e 2 , e 3 və işarələnir a(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormal əsas. Əgər vektorlar e 1, e 2 , e 3 cüt perpendikulyardır və hər birinin uzunluğu birə bərabərdir, onda əsas deyilir ortonormal, və koordinatları x 1 , x 2 , x 3 - düzbucaqlı. Ortonormal bazisin bazis vektorları işarələnəcək i, j, k.

Bunu kosmosda fərz edəcəyik R 3 Kartezyen düzbucaqlı koordinatlarının düzgün sistemi (0, i, j, k}.

Vektor məhsulu.vektor sənətia vektor başına b vektor adlanır c aşağıdakı üç şərtlə müəyyən edilir:

1. Vektor uzunluğu c vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə ədədi olaraq bərabərdir a və b, yəni.
c= |a||b| günah( a^b).

2. Vektor c vektorların hər birinə perpendikulyar a və b.

3. Vektorlar a, b və c, bu ardıcıllıqla alınaraq, sağ üçlü təşkil edir.

Vektor məhsulu üçün c təyinatı təqdim edilir c=[ab] və ya
c = a × b.

Əgər vektorlar a və b collinear, sonra günah( a^b) = 0 və [ ab] = 0, xüsusən, [ aa] = 0. Ortların vektor məhsulları: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Əgər vektorlar a və bəsasında verilir i, j, k koordinatları a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), onda

Qarışıq iş. Əgər iki vektorun çarpaz hasili a və b skalyarın üçüncü vektora vurulması c, onda üç vektorun belə hasilinə deyilir qarışıq məhsul və simvolu ilə işarələnir a e.ə.

Əgər vektorlar a, b və cəsasında i, j, k koordinatları ilə müəyyən edilir
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), onda

.

Qarışıq məhsulun sadə həndəsi şərhi var - bu, üç verilmiş vektor üzərində qurulmuş paralelepipedin həcminə bərabər olan mütləq dəyərdə skalyardır.

Vektorlar düz üçlük təşkil edərsə, onda onların qarışıq hasilatı göstərilən həcmə bərabər müsbət ədəddir; əgər üç a, b, c - sonra sol a b c<0 и V = - a b c, buna görə də V = |a b c|.

Birinci fəslin məsələlərində rast gəlinən vektorların koordinatlarının sağ ortonormal bazisə nisbətən verildiyi qəbul edilir. Vahid vektor vektora koordinat a, simvolu ilə işarələnir a haqqında. Simvol r=OM M nöqtəsinin radius vektoru, a, AB və ya simvolları ilə işarələnir |a|, |AB | vektorların modulları işarələnmişdir a və AB.

Misal 1.2. Vektorlar arasındakı bucağı tapın a= 2m+4n və b= m-n, harada m və n- vahid vektorlar və aralarındakı bucaq m və n 120 o-a bərabərdir.

Həll. Bizdə: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, ona görə də a =. b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, belə ki, b =. Nəhayət, əldə edirik: cos φ == -1/2, φ = 120 o .

Misal 1.3. Vektorları bilmək AB(-3,-2.6) və e.ə(-2,4,4), ABC üçbucağının AD hündürlüyünü hesablayın.

Həll. ABC üçbucağının sahəsini S ilə ifadə edərək, alırıq:
S = 1/2 eramızdan əvvəl. Onda AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, belə ki, vektor AC koordinatlarına malikdir
.

Vektor kimi bir anlayış demək olar ki, bütün təbiət elmlərində nəzərdən keçirilir və tamamilə fərqli mənalara sahib ola bilər, buna görə də bütün sahələr üçün vektorun birmənalı tərifini vermək mümkün deyil. Ancaq gəlin bunu anlamağa çalışaq. Beləliklə, vektor - bu nədir?

Klassik həndəsədə vektor anlayışı

Həndəsə vektoru seqmentdir ki, onun nöqtələrindən hansının başlanğıcı, hansının sonu olduğu göstərilir. Yəni, sadə dillə desək, istiqamətlənmiş seqment vektor adlanır.

Müvafiq olaraq, bir vektor (nədir - yuxarıda müzakirə olundu), həmçinin bir seqment, yəni yuxarıda sağa işarə edən bir xətt və ya ox əlavə edilmiş Latın əlifbasının iki böyük hərfi göstərilir. O, həmçinin tire və ya ox ilə Latın əlifbasının kiçik (kiçik) hərfi ilə imzalana bilər. Ox həmişə sağa işarə edir və vektorun mövqeyindən asılı olaraq dəyişmir.

Beləliklə, vektorun bir istiqaməti və uzunluğu var.

Vektorun təyinatı onun istiqamətini də ehtiva edir. Bu, aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi ifadə edilir.

İstiqamətin dəyişdirilməsi vektorun dəyərini dəyişdirir.

Vektorun uzunluğu onun yarandığı seqmentin uzunluğudur. O, vektordan modul kimi təyin edilmişdir. Bu, aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.

Müvafiq olaraq, sıfır uzunluğu sıfıra bərabər olan bir vektordur. Buradan belə çıxır ki, sıfır vektor bir nöqtədir, üstəlik başlanğıc və son nöqtələr orada üst-üstə düşür.

Vektorun uzunluğu həmişə qeyri-mənfi qiymətdir. Başqa sözlə, əgər seqment varsa, o zaman mütləq müəyyən uzunluğa malikdir və ya nöqtədirsə, uzunluğu sıfıra bərabərdir.

Nöqtə anlayışının özü əsasdır və heç bir tərifi yoxdur.

Vektor əlavəsi

Əlavə etmək üçün istifadə edilə bilən vektorlar üçün xüsusi düsturlar və qaydalar var.

Üçbucaq qaydası. Bu qaydaya əsasən vektorları əlavə etmək üçün paralel tərcümədən istifadə edərək birinci vektorun sonu ilə ikincinin başlanğıcını birləşdirib onları birləşdirmək kifayətdir. Nəticədə üçüncü vektor digər ikisinin əlavəsinə bərabər olacaqdır.

paraleloqram qaydası. Bu qaydaya əsasən əlavə etmək üçün hər iki vektoru bir nöqtədən çəkmək, sonra isə hər birinin sonundan başqa bir vektor çəkmək lazımdır. Yəni birincidən ikinci, ikincidən birinci çəkiləcək. Nəticədə yeni kəsişmə nöqtəsi alınacaq və paraleloqram əmələ gələcək. Əgər vektorların başlanğıc və sonlarının kəsişmə nöqtəsini birləşdirsək, onda alınan vektor toplamanın nəticəsi olacaqdır.

Eynilə, çıxma həyata keçirmək mümkündür.

Vektor fərqi

Vektorların əlavə edilməsi kimi, onların çıxılmasını da yerinə yetirmək mümkündür. Aşağıdakı şəkildə göstərilən prinsipə əsaslanır.

Yəni, çıxılacaq vektoru ona əks vektor kimi təqdim etmək və toplama prinsiplərinə əsasən hesablamaq kifayətdir.

Həmçinin, tamamilə sıfırdan fərqli istənilən vektor istənilən k ədədinə vurula bilər, bu onun uzunluğunu k dəfə dəyişəcək.

Bunlara əlavə olaraq başqa vektor düsturları da var (məsələn, vektorun uzunluğunu onun koordinatları ilə ifadə etmək üçün).

Vektorların yeri

Şübhəsiz ki, çoxları kollinear vektor kimi bir anlayışla qarşılaşdılar. Kollinearlıq nədir?

Vektorların kollinearlığı düz xətlərin paralelliyinə bərabərdir. İki vektor bir-birinə paralel və ya eyni xətt üzərində yerləşirsə, belə vektorlara kollinear deyilir.

İstiqamət. Bir-birinə nisbətən, kollinear vektorlar birlikdə və ya əks istiqamətə yönəldilə bilər, bu vektorların istiqaməti ilə müəyyən edilir. Müvafiq olaraq, bir vektor digəri ilə birlikdə istiqamətləndirilirsə, ona əks olan vektor əks istiqamətə yönəldilir.

Birinci rəqəm iki əks istiqamətli vektoru və onlarla uyğun olmayan üçüncü vektoru göstərir.

Yuxarıdakı xassələri təqdim etdikdən sonra bərabər vektorları da müəyyən etmək mümkündür - bunlar eyni istiqamətə yönəldilmiş və yarandıqları seqmentlərin eyni uzunluğuna malik olan vektorlardır.

Bir çox elmlərdə radius vektoru anlayışından da istifadə olunur. Belə bir vektor təyyarənin bir nöqtəsinin digər sabit nöqtəyə nisbətən mövqeyini təsvir edir (çox vaxt bu başlanğıcdır).

Fizikada vektorlar

Fərz edək ki, məsələni həll edərkən bir şərt yarandı: cisim 3 m/s sürətlə hərəkət edir. Bu o deməkdir ki, cisim bir düz xətt üzrə müəyyən bir istiqamətlə hərəkət edir, ona görə də bu dəyişən vektor kəmiyyəti olacaqdır. Onu həll etmək üçün həm dəyəri, həm də istiqaməti bilmək vacibdir, çünki nəzərə alınandan asılı olaraq sürət ya 3 m/s və ya -3 m/s ola bilər.

Ümumiyyətlə, fizikada vektor bədənə təsir edən qüvvənin istiqamətini göstərmək və nəticəni təyin etmək üçün istifadə olunur.

Bu qüvvələr şəkildə göstərildikdə, üstündə vektor etiketi olan oxlarla göstərilir. Klassik olaraq oxun uzunluğu da eyni dərəcədə vacibdir, onun köməyi ilə hansı qüvvənin daha güclü olduğunu göstərirlər, lakin bu xüsusiyyət ikinci dərəcəlidir, ona etibar etməməlisiniz.

Xətti cəbr və hesablamada vektor

Xətti fəzaların elementlərinə vektorlar da deyilir, lakin bu halda onlar bəzi elementləri təsvir edən nizamlı ədədlər sistemidir. Ona görə də bu işdə istiqamət artıq önəmli deyil. Klassik həndəsə və riyazi analizdə vektorun tərifi çox fərqlidir.

Vektor proyeksiyası

Proqnozlaşdırılan vektor - bu nədir?

Çox vaxt düzgün və rahat bir hesablama üçün koordinat oxları boyunca iki ölçülü və ya üç ölçülü məkanda yerləşən bir vektoru parçalamaq lazımdır. Bu əməliyyat, məsələn, mexanikada bədənə təsir edən qüvvələri hesablayarkən lazımdır. Fizikada vektor olduqca tez-tez istifadə olunur.

Proyeksiyanı yerinə yetirmək üçün vektorun əvvəlindən və sonundan perpendikulyarları koordinat oxlarının hər birinə endirmək kifayətdir, onların üzərində alınan seqmentlər vektorun oxa proyeksiyası adlanacaqdır.

Proyeksiya uzunluğunu hesablamaq üçün onun ilkin uzunluğunu mini məsələnin həlli ilə əldə edilən müəyyən triqonometrik funksiyaya vurmaq kifayətdir. Əslində, hipotenuzanın orijinal vektor, ayaqlardan biri proyeksiya, digər ayağı isə düşmüş perpendikulyar olan düzbucaqlı üçbucaq var.

TƏrif

Vektor(latdan." vektor"-" daşıyıcı") - kosmosda və ya müstəvidə düz xəttin yönəldilmiş seqmenti.

Qrafik olaraq vektor müəyyən uzunluqda yönəldilmiş düz xətt seqmenti kimi təsvir edilmişdir. Başlanğıc nöqtədə, sonu isə nöqtədə olan vektor kimi işarələnir (şək. 1). Həmçinin, vektor tək kiçik hərflə işarələnə bilər, məsələn, .

Əgər koordinat sistemi fəzada verilirsə, onda vektor onun koordinatları toplusu ilə unikal şəkildə təyin oluna bilər. Yəni vektor dedikdə dəyəri (uzunluğu), istiqaməti və tətbiq nöqtəsi (vektorun başlanğıcı) olan obyekt başa düşülür.

Vektor hesabının başlanğıcı 1831-ci ildə alman riyaziyyatçısı, mexaniki, fiziki, astronomu və yerölçəyi İohann Karl Fridrix Qaussun (1777-1855) əsərlərində ortaya çıxdı. Vektorlarla əməliyyatlar üzərində işlər İrlandiyalı riyaziyyatçı, mexanik və nəzəri fizik, ser William Rowan Hamilton (1805-1865) tərəfindən quaternion hesablamasının bir hissəsi kimi nəşr edilmişdir. Alim "vektor" terminini təklif etdi və vektorlar üzərində bəzi əməliyyatları təsvir etdi. Vektor hesablaması ingilis fiziki, riyaziyyatçısı və mexaniki Ceyms Klerk Maksvellin (1831-1879) elektromaqnetizmlə bağlı işi sayəsində daha da inkişaf etdirilmişdir. 1880-ci illərdə amerikalı fizik, fizikokimyaçı, riyaziyyatçı və mexanik Josiah Willard Gibbsin (1839-1903) "Vektor analizinin elementləri" kitabı işıq üzü gördü. Müasir vektor analizi 1903-cü ildə ingilis özünü öyrədən alim, mühəndis, riyaziyyatçı və fizik Oliver Heaviside (1850-1925) tərəfindən təsvir edilmişdir.

TƏrif

Uzunluq və ya vektor modulu vektoru təyin edən istiqamətlənmiş seqmentin uzunluğudur. kimi təyin edilmişdir.

Vektorların əsas növləri

Sıfır vektor başlanğıc və son nöqtələri eyni olan vektor adlanır. Null vektorunun uzunluğu sıfırdır.

Eyni xəttə paralel və ya eyni xətt üzərində yerləşən vektorlar deyilir kollinear(şək. 2).

birgə istiqamətləndirici onların istiqamətləri eyni olarsa.

Şəkil 2-də bunlar vektorlar və . Vektorların birgə istiqaməti aşağıdakı kimi işarələnir: .

İki kollinear vektor deyilir əks istiqamətlər onların istiqamətləri əks olarsa.

Şəkil 3-də bunlar vektorlar və . Təyinat: .

Səhifə 1/2

Sual 1. Vektor nədir? Vektorlar necə müəyyən edilir?
Cavab verin.İstiqamətləndirilmiş seqmenti vektor adlandıracağıq (şək. 211). Vektorun istiqaməti onun başlanğıcını və sonunu təyin etməklə müəyyən edilir. Rəsmdə vektorun istiqaməti ox ilə qeyd olunur. Vektorları təyin etmək üçün kiçik Latın hərflərindən istifadə edəcəyik a, b, c, ... . Siz həmçinin vektorun başlanğıcını və sonunu göstərərək təyin edə bilərsiniz. Bu zaman vektorun başlanğıcı birinci yerə qoyulur. "Vektor" sözünün əvəzinə bəzən vektorun hərf təyinatının üstündə ox və ya tire qoyulur. Şəkil 211-dəki vektor aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

\(\overline(a)\), \(\oversarrow(a)\) və ya \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Sual 2. Hansı vektorlara bərabər istiqamətlənmiş (əks istiqamətlənmiş) deyilir?
Cavab verin.\(\overline(AB)\) və \(\overline(CD)\) vektorlarının AB və CD yarımsətirləri bərabər istiqamətləndirildiyi təqdirdə bərabər yönləndirildiyi deyilir.
\(\overline(AB)\) və \(\overline(CD)\) vektorları AB və CD yarımsətirləri əks istiqamətləndirilirsə, əks istiqamətli adlanır.
Şəkil 212-də \(\overline(a)\) və \(\overline(b)\) vektorları eyni istiqamətə malikdir, \(\overline(a)\) və \(\overline(c) vektorları isə \) əks istiqamətlərə malikdir.

Sual 3. Bir vektorun mütləq qiyməti nədir?
Cavab verin. Vektorun mütləq qiyməti (və ya modulu) vektoru təmsil edən seqmentin uzunluğudur. \(\overline(a)\) vektorunun mütləq qiyməti |\(\overline(a)\)| ilə işarələnir.

Sual 4. Null vektor nədir?
Cavab verin. Vektorun başlanğıcı onun sonu ilə üst-üstə düşə bilər. Belə vektor sıfır vektor adlanacaq. Sıfır vektoru tire (\(\overline(0)\)) ilə sıfırla işarələnir. Heç kim sıfır vektorunun istiqaməti haqqında danışmır. Sıfır vektorunun mütləq qiyməti sıfıra bərabər hesab olunur.

Sual 5. Hansı vektorlara bərabər deyilir?
Cavab verin. Paralel tərcümə ilə birləşdirilən iki vektorun bərabər olduğu deyilir. Bu o deməkdir ki, bir vektorun başlanğıcını və sonunu müvafiq olaraq digər vektorun əvvəlinə və sonuna köçürən paralel tərcümə var.

Sual 6. Bərabər vektorların eyni istiqamətə malik olduğunu və mütləq qiymətində bərabər olduğunu sübut edin. Və əksinə: mütləq dəyərinə bərabər olan bərabər istiqamətlənmiş vektorlar bərabərdir.
Cavab verin. Paralel tərcümə ilə vektor öz istiqamətini, həmçinin mütləq dəyərini saxlayır. Bu o deməkdir ki, bərabər vektorlar eyni istiqamətə malikdir və mütləq qiymətdə bərabərdirlər.
\(\overline(AB)\) və \(\overline(CD)\) mütləq qiymətinə bərabər bərabər istiqamətlənmiş vektorlar olsun (şək. 213). C nöqtəsini A nöqtəsinə aparan paralel tərcümə CD-nin yarımxətti ilə AB-nin yarı xəttini birləşdirir, çünki onlar bərabər istiqamətləndirilir. Və AB və CD seqmentləri bərabər olduğundan, D nöqtəsi B nöqtəsi ilə üst-üstə düşür, yəni. paralel tərcümə \(\overline(CD)\) vektorunu \(\overline(AB)\) vektoruna çevirir. Deməli, \(\overline(AB)\) və \(\overline(CD)\) vektorları tələb olunduğu kimi bərabərdir.

Sual 7. Sübut edin ki, istənilən nöqtədən verilmiş vektora bərabər vektor çəkmək olar və yalnız bir.
Cavab verin. CD sətir, \(\overline(CD)\) vektoru CD xəttinin bir hissəsi olsun. Paralel tərcümə zamanı CD xəttinin getdiyi xətt AB, \(\overline(AB)\) paralel tərcümə zamanı \(\overline(CD)\) vektorunun daxil olduğu vektor və deməli vektorlar olsun. \(\ overline(AB)\) və \(\overline(CD)\) bərabərdir, AB və CD xətləri isə paraleldir (bax. Şəkil 213). Bildiyimiz kimi, verilmiş xətt üzərində uzanmayan nöqtə vasitəsilə müstəvidə verilənə paralel ən çox bir xətt çəkmək olar (paralel xətlərin aksiomu). Beləliklə, A nöqtəsi vasitəsilə CD xəttinə paralel bir xətt çəkmək olar. \(\overline(AB)\) vektoru AB xəttinin bir hissəsi olduğundan, \(\overline(AB)\) vektoruna bərabər olan A nöqtəsi vasitəsilə bir \(\overline(AB)\) vektorunu çəkmək olar. (CD)\).

Sual 8. Vektor koordinatları nədir? a 1 , a 2 koordinatları olan vektorun mütləq qiyməti neçədir?
Cavab verin.\(\overline(a)\) vektoru A 1 (x 1 ; y 1) nöqtəsindən başlasın və A 2 (x 2 ; y 2) nöqtəsində bitsin. \(\overline(a)\) vektorunun koordinatları a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 rəqəmləri olacaq. Biz vektor koordinatlarını vektorun hərf təyinatının yanına qoyacağıq, bu halda \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) və ya sadəcə \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Sıfır vektor koordinatları sıfıra bərabərdir.
İki nöqtə arasındakı məsafəni onların koordinatları ilə ifadə edən düsturdan belə çıxır ki, a 1 , a 2 koordinatlı vektorun mütləq qiyməti \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\) təşkil edir.

Sual 9. Bərabər vektorların müvafiq olaraq bərabər koordinatlara malik olduğunu və müvafiq olaraq bərabər koordinatlı vektorların bərabər olduğunu sübut edin.
Cavab verin. A 1 (x 1 ; y 1) və A 2 (x 2 ; y 2) \(\overline(a)\) vektorunun başlanğıcı və sonu olsun. Paralel tərcümə ilə \(\overline(a)\) vektorundan ona bərabər olan \(\overline(a")\) vektoru alındığından onun başlanğıcı və sonu müvafiq olaraq A" 1 (x 1 + c) olacaqdır. ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d). Bu, hər iki vektorun \(\overline(a)\) və \(\overline(a")\) olduğunu göstərir. eyni koordinatlar: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
İndi isə əks iddianı sübut edək. \(\overline(A 1 A 2 )\) və \(\overline(A" 1 A" 2 )\) vektorlarının müvafiq koordinatları bərabər olsun. vektorların bərabər olduğunu sübut edirik.
X" 1 və y" 1 A" 1 nöqtəsinin koordinatları, x" 2, y" 2 isə A" 2 nöqtəsinin koordinatları olsun. Teorem şərti ilə x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Deməli, x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Düsturlarla verilən paralel tərcümə

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

A 1 nöqtəsini A" 1 nöqtəsinə, A 2 nöqtəsini isə A" 2 nöqtəsinə köçürür, yəni. \(\overline(A 1 A 2 )\) və \(\overline(A" 1 A" 2 )\) vektorları tələb olunduğu kimi bərabərdir.

Sual 10. Vektorların cəmini təyin edin.
Cavab verin. a 1 , a 2 və b 1 , b 2 koordinatları olan \(\overline(a)\) və \(\overline(b)\) vektorlarının cəmi ilə \(\overline(c)\) vektorudur. koordinatları a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , yəni.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).