Misal.
Dəyişənlərin dəyərlərinə dair eksperimental məlumatlar X Və saat cədvəldə verilmişdir. 
Onların düzülməsi nəticəsində funksiya 
istifadə ən kiçik kvadrat üsulu, bu məlumatları xətti asılılıqla təxmin edin y=ax+b(parametrləri tapın Amma Və b). İki sətirdən hansının daha yaxşı olduğunu tapın (ən kiçik kvadratlar metodu mənasında) eksperimental məlumatları uyğunlaşdırır. Rəsm çəkin.
Ən kiçik kvadratlar metodunun (LSM) mahiyyəti.
Problem iki dəyişənin funksiyasının yerinə yetirildiyi xətti asılılıq əmsallarını tapmaqdır Amma Və b 
ən kiçik qiyməti alır. Yəni məlumatları nəzərə alaraq Amma Və b tapılmış düz xəttdən eksperimental məlumatların kvadratik sapmalarının cəmi ən kiçik olacaqdır. Ən kiçik kvadratlar metodunun bütün nöqtəsi budur.
Beləliklə, misalın həlli iki dəyişənli funksiyanın ekstremumunun tapılmasına endirilir.
Əmsalların tapılması üçün düsturların çıxarılması.
İki naməlum olan iki tənlik sistemi tərtib edilir və həll edilir. Dəyişənlərə münasibətdə funksiyanın qismən törəmələrinin tapılması Amma Və b, bu törəmələri sıfıra bərabərləşdiririk. 
Yaranan tənliklər sistemini istənilən üsulla həll edirik (məsələn əvəzetmə üsulu və ya ) və ən kiçik kvadratlar metodundan (LSM) istifadə edərək əmsalları tapmaq üçün düsturlar əldə edin. 
Məlumatlarla Amma Və b funksiyası ən kiçik qiyməti alır. Bu faktın sübutu verilir.
Ən kiçik kvadratların bütün üsulu budur. Parametri tapmaq üçün düstur a cəmləri , , , və parametrləri ehtiva edir n- eksperimental məlumatların miqdarı. Bu məbləğlərin dəyərlərini ayrıca hesablamaq tövsiyə olunur. Əmsal b hesablamadan sonra tapılır a.
Orijinal nümunəni xatırlamağın vaxtı gəldi.
Həll.
Bizim nümunəmizdə n=5. Tələb olunan əmsalların düsturlarına daxil olan məbləğlərin hesablanmasının rahatlığı üçün cədvəli doldururuq. 
Cədvəlin dördüncü cərgəsindəki dəyərlər 2-ci sətrin dəyərlərini hər bir nömrə üçün 3-cü sətirin dəyərlərinə vurmaqla əldə edilir. i.
Cədvəlin beşinci cərgəsindəki dəyərlər hər nömrə üçün 2-ci sətirin dəyərlərini kvadratlaşdırmaqla əldə edilir. i.
Cədvəlin son sütununun dəyərləri sətirlər arasında olan dəyərlərin cəmidir.
Əmsalları tapmaq üçün ən kiçik kvadratlar metodunun düsturlarından istifadə edirik Amma Və b. Onlarda cədvəlin son sütunundan müvafiq dəyərləri əvəz edirik: 
Nəticədə, y=0,165x+2,184 arzu olunan təxmini düz xəttdir.
Sətirlərdən hansının olduğunu tapmaq qalır y=0,165x+2,184 və ya ilkin məlumatları daha yaxşı təxmin edir, yəni ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək təxmin etmək.
Ən kiçik kvadratlar metodunun səhvinin qiymətləndirilməsi.
Bunu etmək üçün, bu sətirlərdən orijinal məlumatların kvadrat sapmalarının cəmini hesablamaq lazımdır 
Və 
, kiçik dəyər ən kiçik kvadratlar metodu baxımından ilkin məlumatı ən yaxşı təxmin edən xəttə uyğundur. 
O vaxtdan bəri xətt y=0,165x+2,184 orijinal məlumatları daha yaxşı təxmin edir.
Ən kiçik kvadratlar metodunun (LSM) qrafik təsviri.
Qrafiklərdə hər şey əla görünür. Qırmızı xətt tapılan xəttdir y=0,165x+2,184, mavi xəttdir , çəhrayı nöqtələr orijinal məlumatlardır.
Bu nə üçündür, bütün bu təxminlər nə üçündür?
Mən şəxsən məlumatların hamarlanması problemlərini, interpolyasiya və ekstrapolyasiya problemlərini həll etmək üçün istifadə edirəm (orijinal nümunədə sizdən müşahidə olunan dəyərin dəyərini tapmaq xahiş oluna bilər) y saat x=3 və ya nə vaxt x=6 MNC metoduna görə). Amma bu haqda daha sonra saytın başqa bölməsində danışacağıq.
Sübut.
Belə ki, aşkar zaman Amma Və b funksiya ən kiçik qiyməti alır, bu nöqtədə funksiya üçün ikinci dərəcəli diferensialın kvadrat formasının matrisi lazımdır. müsbət müəyyən idi. Gəlin onu göstərək.
(şəkilə bax). Düz xəttin tənliyini tapmaq tələb olunur
Mütləq dəyərdə ədəd nə qədər kiçik olsa, düz xətt (2) bir o qədər yaxşı seçilir. Düz xəttin (2) seçilməsinin düzgünlüyünün bir xüsusiyyəti olaraq, kvadratların cəmini götürə bilərik.
S üçün minimum şərtlər olacaq
 |
(6) |
 |
(7) |
(6) və (7) tənlikləri aşağıdakı formada yazıla bilər:
 |
(8) |
 |
(9) |
(8) və (9) tənliklərindən x i və y i eksperimental qiymətlərindən a və b tapmaq asandır. (8) və (9) tənlikləri ilə müəyyən edilən (2) xətti ən kiçik kvadratlar üsulu ilə alınan xətt adlanır (bu ad S kvadratlarının cəminin minimuma malik olduğunu vurğulayır). Düz xəttin (2) təyin olunduğu (8) və (9) tənliklərə normal tənliklər deyilir.
Normal tənliklərin tərtibinin sadə və ümumi üsulunu göstərmək olar. Təcrübə nöqtələri (1) və tənlik (2) istifadə edərək, a və b üçün tənliklər sistemini yaza bilərik.
| y 1 \u003d ax 1 +b, | |||
| y 2 \u003dax 2 +b, ... |
(10) | ||
| yn=axn+b, | |||
Bu tənliklərin hər birinin sol və sağ hissələrini ilk naməlum a (yəni x 1 , x 2 , ..., x n) əmsalı ilə çarpın və nəticədə yaranan tənlikləri əlavə edin, nəticədə birinci normal tənlik (8) alın.
Bu tənliklərin hər birinin sol və sağ tərəflərini ikinci naməlum b əmsalı ilə çarpırıq, yəni. 1-ə qədər və nəticədə yaranan tənlikləri əlavə edin, nəticədə ikinci normal tənlik (9) yaranır.
Normal tənlikləri əldə etməyin bu üsulu ümumidir: məsələn, funksiya üçün uyğundur
sabit qiymətdir və eksperimental məlumatlardan müəyyən edilməlidir (1).
k üçün tənliklər sistemi yazıla bilər:
Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək xətti (2) tapın.
Həll. Tapdıq:
x i =21, y i =46,3, x i 2 =91, x i y i =179,1.
(8) və (9) tənliklərini yazırıq
Buradan tapırıq
Ən kiçik kvadratlar metodunun düzgünlüyünün qiymətləndirilməsi
(2) tənliyi baş verdikdə xətti hal üçün metodun düzgünlüyünü qiymətləndirək.
Eksperimental qiymətlər x i dəqiq olsun və eksperimental y i dəyərlərində bütün i üçün eyni dispersiyaya malik təsadüfi səhvlər var.
İşarəni təqdim edirik
| (16) |
Onda (8) və (9) tənliklərinin həlli kimi təqdim edilə bilər
| (17) | |
| (18) | |
| harada | |
| (19) | |
| (17) tənliyindən tapırıq | |
| (20) | |
| Eynilə (18) tənliyindən əldə edirik | |
 |
(21) |
| çünki | |
 |
(22) |
| (21) və (22) tənliklərindən tapırıq | |
 |
(23) |
(20) və (23) tənlikləri (8) və (9) tənlikləri ilə müəyyən edilmiş əmsalların düzgünlüyünün qiymətləndirilməsini verir.
Qeyd edək ki, a və b əmsalları korrelyasiya olunur. Sadə çevrilmələrlə biz onların korrelyasiya anını tapırıq.
Buradan tapırıq
x=1 və 6-da 0,072,
x=3,5-də 0,041.
Ədəbiyyat
Sahil. MƏN İSTƏRDİM Kİ. Statistik üsullar təhlil və keyfiyyətə nəzarət və etibarlılıq. M.: Gosenergoizdat, 1962, s. 552, səh. 92-98.
Bu kitab elektron avadanlıqların və digər kütləvi sənaye məhsullarının (maşınqayırma, cihazqayırma, artilleriya və s.) keyfiyyətinin və etibarlılığının müəyyənləşdirilməsi ilə məşğul olan geniş spektrli mühəndislər (tədqiqat institutları, konstruktor büroları, sınaq meydançaları və zavodlar) üçün nəzərdə tutulmuşdur.
Kitabda metodların tətbiqi verilir riyazi statistika sınaqdan keçirilmiş məhsulların keyfiyyətinin və etibarlılığının müəyyən edildiyi sınaq nəticələrinin emalı və qiymətləndirilməsi məsələlərinə. Oxucuların rahatlığı üçün riyazi statistikadan lazımi məlumatlar, həmçinin lazımi hesablamaları asanlaşdıran çoxlu sayda köməkçi riyazi cədvəllər verilmişdir.
Təqdimat təsvir edilmişdir böyük rəqəm radioelektronika və artilleriya texnologiyası sahəsindən götürülmüş nümunələr.
Ən kiçik kvadratlar metodunun mahiyyəti ondan ibarətdir zaman və ya məkanda hər hansı təsadüfi hadisənin inkişaf tendensiyasını ən yaxşı təsvir edən trend modelinin parametrlərinin tapılmasında (trend bu inkişafın tendensiyasını xarakterizə edən xəttdir). Ən kiçik kvadratlar metodunun (OLS) vəzifəsi yalnız bəzi trend modelini tapmaq deyil, ən yaxşı və ya optimal modeli tapmaqdır. Müşahidə olunan faktiki dəyərlər və müvafiq hesablanmış trend dəyərləri arasında kvadrat sapmaların cəmi minimal (ən kiçik) olarsa, bu model optimal olacaqdır:
müşahidə olunan faktiki dəyər arasındakı standart kənarlaşma haradadır
və müvafiq hesablanmış trend dəyəri,
Tədqiq olunan hadisənin faktiki (müşahidə olunan) dəyəri,
Trend modelinin təxmini dəyəri,
Tədqiq olunan fenomenin müşahidələrinin sayı.
MNC nadir hallarda tək başına istifadə olunur. Bir qayda olaraq, çox vaxt korrelyasiya tədqiqatlarında yalnız zəruri bir texnika kimi istifadə olunur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, LSM-in məlumat bazası yalnız etibarlı statistik sıra ola bilər və müşahidələrin sayı 4-dən az olmamalıdır, əks halda LSM-nin hamarlaşdırma prosedurları öz sağlam düşüncəsini itirə bilər.
OLS alət dəsti aşağıdakı prosedurlara endirilir:
Birinci prosedur. Məlum olur ki, seçilmiş amil-arqument dəyişdikdə ortaya çıxan atributun dəyişməsinə ümumiyyətlə meyl varmı, yoxsa başqa sözlə, " arasında əlaqə varmı? saat "Və" X ».
İkinci prosedur. Hansı xəttin (trayektoriyanın) bu tendensiyanı daha yaxşı təsvir edə və ya xarakterizə edə bildiyi müəyyən edilir.
Üçüncü prosedur.
Misal. Tutaq ki, tədqiq olunan təsərrüfat üzrə günəbaxanın orta məhsuldarlığı haqqında məlumatımız var (cədvəl 9.1).
Cədvəl 9.1
|
Müşahidə nömrəsi |
||||||||||
|
Məhsuldarlıq, c/ha |
Son 10 ildə ölkəmizdə günəbaxan istehsalında texnologiyanın səviyyəsi o qədər də dəyişmədiyindən, bu o deməkdir ki, çox güman ki, təhlil edilən dövrdə məhsuldarlığın dəyişməsi hava və iqlim şəraitinin dəyişməsindən çox asılı olub. Doğrudurmu?
İlk MNC proseduru. Təhlil olunan 10 il ərzində hava və iqlim şəraitinin dəyişməsindən asılı olaraq günəbaxan məhsuldarlığında dəyişiklik tendensiyası ilə bağlı fərziyyə yoxlanılır.
Bu misalda, " y » günəbaxan məhsulunu götürmək məqsədəuyğundur və « üçün x » təhlil edilən dövrdə müşahidə olunan ilin sayıdır. arasında hər hansı bir əlaqənin mövcudluğu haqqında fərziyyənin sınaqdan keçirilməsi " x "Və" y » iki yolla edilə bilər: əllə və istifadə etməklə kompüter proqramları. Əlbəttə ki, kompüter texnologiyasının mövcudluğu ilə bu problem öz-özünə həll olunur. Lakin, OLS alət dəstini daha yaxşı başa düşmək üçün "" arasında əlaqənin mövcudluğu ilə bağlı fərziyyəni yoxlamaq məsləhətdir. x "Və" y » əl ilə, yalnız qələm və adi kalkulyator əlində olduqda. Belə hallarda, trendin mövcudluğu fərziyyəsi ən yaxşı şəkildə təhlil edilən zaman seriyasının qrafik təsvirinin yeri - korrelyasiya sahəsi ilə vizual olaraq yoxlanılır:
Nümunəmizdəki korrelyasiya sahəsi yavaş-yavaş yüksələn xətt ətrafında yerləşir. Bu, özlüyündə günəbaxan məhsuldarlığının dəyişməsində müəyyən tendensiyanın mövcudluğundan xəbər verir. Yalnız korrelyasiya sahəsi dairəyə, dairəyə, ciddi şaquli və ya ciddi üfüqi buludlara bənzədikdə və ya təsadüfi səpələnmiş nöqtələrdən ibarət olduqda hər hansı bir tendensiyanın mövcudluğundan danışmaq mümkün deyil. Bütün digər hallarda " arasında əlaqənin mövcudluğu fərziyyəsini təsdiqləmək lazımdır. x "Və" y və araşdırmalara davam edin.
İkinci MNC proseduru. Təhlil edilən dövr üçün günəbaxan məhsuldarlığının dəyişmə tendensiyasını hansı xəttin (trayektoriyanın) daha yaxşı təsvir və ya xarakterizə edə bildiyi müəyyən edilir.
Kompüter texnologiyasının mövcudluğu ilə optimal tendensiyanın seçilməsi avtomatik olaraq baş verir. "Əl ilə" emal ilə optimal funksiyanın seçimi, bir qayda olaraq, vizual şəkildə - korrelyasiya sahəsinin yeri ilə həyata keçirilir. Yəni, qrafikin növünə görə, empirik tendensiyaya (faktiki trayektoriyaya) ən uyğun olan xəttin tənliyi seçilir.
Bildiyiniz kimi, təbiətdə çox sayda funksional asılılıq var, buna görə də onların kiçik bir hissəsini vizual olaraq təhlil etmək olduqca çətindir. Xoşbəxtlikdən, real iqtisadi praktikada əksər münasibətlər ya parabola, ya hiperbola, ya da düz xətt ilə dəqiq təsvir edilə bilər. Bu baxımdan, ən yaxşı funksiyanı seçmək üçün "manual" seçimi ilə özünüzü yalnız bu üç modellə məhdudlaşdıra bilərsiniz.
|
Hiperbola: |
||
|
|
|
İkinci dərəcəli parabola: 
:
Görmək asandır ki, bizim nümunəmizdə günəbaxan məhsuldarlığının təhlil edilən 10 il ərzində dəyişmə meyli ən yaxşı düz xətt ilə xarakterizə olunur, ona görə də reqressiya tənliyi düz xətt tənliyi olacaqdır.
Üçüncü prosedur. Bu xətti xarakterizə edən reqressiya tənliyinin parametrləri hesablanır və ya başqa sözlə, ən yaxşı trend modelini təsvir edən analitik düstur müəyyən edilir.
Reqressiya tənliyinin parametrlərinin dəyərlərini tapmaq, bizim vəziyyətimizdə və parametrləri LSM-nin əsasını təşkil edir. Bu proses normal tənliklər sisteminin həllinə qədər endirilir.
(9.2)
Bu tənliklər sistemi Gauss metodu ilə olduqca asanlıqla həll olunur. Xatırladaq ki, həll nəticəsində, nümunəmizdə parametrlərin dəyərləri tapılır. Beləliklə, tapılan reqressiya tənliyi aşağıdakı formaya sahib olacaq: 
Mən kompüter proqramçısıyam. Karyeramda ən böyük sıçrayışı deməyi öyrənəndə etdim: "Heç nə başa düşmürəm!"İndi mən utanmıram ki, elm korifeyinə deyirəm ki, o, mənə mühazirə oxuyur, mən başa düşmürəm ki, o, nurçu mənimlə nə danışır. Və çox çətindir. Bəli, cahilliyi etiraf etmək çətin və utancvericidir. Kim nəyinsə əsaslarını bilmədiyini etiraf etməyi xoşlayır - orada. Peşəmə görə çoxlu sayda təqdimat və mühazirələrdə iştirak etməliyəm, etiraf edirəm ki, əksər hallarda yuxum gəlir, çünki heç nə başa düşmürəm. Mən başa düşmürəm, çünki elmdə mövcud vəziyyətin böyük problemi riyaziyyatdadır. Bu, bütün tələbələrin riyaziyyatın tamamilə bütün sahələri ilə tanış olduğunu güman edir (bu, absurddur). Törəmənin nə olduğunu bilmədiyinizi etiraf etmək (bunun bir az sonra olduğunu) ayıbdır.
Amma mən vurmağın nə olduğunu bilmirəm deməyi öyrənmişəm. Bəli, mən Lie cəbri üzərində subcəbrin nə olduğunu bilmirəm. Bəli, bilmirəm kvadrat tənliklər həyatda niyə lazımdır. Yeri gəlmişkən, bildiyinizə əminsinizsə, danışacaq bir şeyimiz var! Riyaziyyat bir sıra hiylələrdir. Riyaziyyatçılar ictimaiyyəti çaşdırmağa və qorxutmağa çalışırlar; çaşqınlığın, reputasiyanın, səlahiyyətin olmadığı yerdə. Bəli, mümkün olan ən mücərrəd dildə danışmaq prestijlidir ki, bu da özlüyündə tamamilə cəfəngiyatdır.
Törəmənin nə olduğunu bilirsinizmi? Çox güman ki, fərq nisbətinin həddi barədə mənə məlumat verəcəksiniz. Sankt-Peterburq Dövlət Universitetinin riyaziyyat fakültəsinin birinci kursunda Xavin Viktor Petroviç məni müəyyən edilmişdir nöqtədə funksiyanın Taylor sırasının birinci həddinin əmsalı kimi törəmə (törəməsiz Teylor sırasını təyin etmək ayrıca gimnastika idi). Uzun müddət bu tərifə güldüm, nəhayət, nə haqqında olduğunu başa düşənə qədər. Törəmə diferensiasiya etdiyimiz funksiyanın y=x, y=x^2, y=x^3 funksiyasına nə qədər bənzədiyinin ölçüsündən başqa bir şey deyil.
Mən indi kim tələbələrə mühazirə oxumaq şərəfinə sahibəm qorxu riyaziyyat. Əgər riyaziyyatdan qorxursunuzsa - biz yoldayıq. Hansısa mətni oxumağa cəhd edən kimi və sizə elə gəlir ki, bu, həddən artıq mürəkkəbdir, o zaman bilin ki, pis yazılıb. İddia edirəm ki, riyaziyyatın elə bir sahəsi yoxdur ki, dəqiqliyini itirmədən “barmaqlarda” danışmaq mümkün olmasın.
Yaxın gələcək üçün problem: Mən tələbələrimə xətti-kvadrat nəzarətçinin nə olduğunu başa düşməyi tapşırdım. Utanmayın, həyatınızın üç dəqiqəsini boş yerə sərf edin, linki izləyin. Əgər heç nə başa düşmürsənsə, deməli yoldayıq. Mən də (peşəkar riyaziyyatçı-proqramçı) heç nə başa düşmədim. Sizi inandırıram ki, bunu "barmaqlarda" həll etmək olar. Üstündə Bu an Bunun nə olduğunu bilmirəm, amma sizi əmin edirəm ki, biz bunu anlaya biləcəyik.
Beləliklə, tələbələrim qorxu içində yanıma qaçaraq xətti-kvadrat nəzarətçinin həyatınızda heç vaxt idarə edə bilməyəcəyiniz dəhşətli bir səhv olduğu sözləri ilə gələndən sonra onlara verəcəyim ilk mühazirə budur. ən kiçik kvadratlar üsulları. Xətti tənlikləri həll edə bilərsinizmi? Bu mətni oxuyursunuzsa, çox güman ki, yox.
Beləliklə, iki nöqtə (x0, y0), (x1, y1), məsələn, (1,1) və (3,2) verildikdə, tapşırıq bu iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapmaqdır:
illüstrasiya
Bu düz xəttin aşağıdakı kimi bir tənliyi olmalıdır:
Burada alfa və beta bizə məlum deyil, lakin bu xəttin iki nöqtəsi məlumdur:
Bu tənliyi matris şəklində yaza bilərsiniz:
Burada lirik bir təxribat aparmalıyıq: matris nədir? Matris iki ölçülü massivdən başqa bir şey deyil. Bu, məlumatların saxlanması üsuludur, ona daha çox dəyər verilməməlidir. Müəyyən bir matrisi dəqiq necə şərh etmək bizim ixtiyarımızdadır. Periyodik olaraq onu xətti xəritəçəkmə, vaxtaşırı kvadrat forma, bəzən isə sadəcə vektorlar toplusu kimi şərh edəcəyəm. Bütün bunlara kontekstdə aydınlıq gətiriləcək.
Xüsusi matrisləri onların simvolik təsviri ilə əvəz edək:
Sonra (alfa, beta) asanlıqla tapıla bilər:
Daha konkret olaraq əvvəlki məlumatlarımız üçün:
Bu (1,1) və (3,2) nöqtələrindən keçən düz xəttin aşağıdakı tənliyinə gətirib çıxarır:
Yaxşı, burada hər şey aydındır. Və buradan keçən düz xəttin tənliyini tapaq üç xallar: (x0,y0), (x1,y1) və (x2,y2):
Oh-oh-oh, amma iki naməlum üçün üç tənliyimiz var! Standart riyaziyyatçı deyəcək ki, heç bir həll yoxdur. Proqramçı nə deyəcək? Və əvvəlcə əvvəlki tənliklər sistemini aşağıdakı formada yenidən yazacaq:
Bizim vəziyyətimizdə vektorları i,j,büçölçülüdür, buna görə də (ümumi halda) bu sistemin həlli yoxdur. İstənilən vektor (alfa\*i + beta\*j) vektorların (i, j) əhatə etdiyi müstəvidə yerləşir. Əgər b bu müstəviyə aid deyilsə, onda həll yoxdur (tənlikdə bərabərliyə nail olmaq mümkün deyil). Nə etməli? Bir kompromis axtaraq. ilə işarə edək e(alfa, beta) necə tam olaraq bərabərliyə nail ola bilmədik:
Və bu səhvi minimuma endirməyə çalışacağıq:
Niyə kvadrat?
Biz təkcə normanın minimumunu yox, normanın kvadratının minimumunu axtarırıq. Niyə? Minimum nöqtənin özü üst-üstə düşür və kvadrat hamar funksiya verir (arqumentlərin kvadratik funksiyası (alfa, beta)), sadəcə uzunluq isə minimum nöqtədə diferensiallaşdırılmayan konus şəklində funksiya verir. Brr. Kvadrat daha əlverişlidir.
Aydındır ki, vektor olduqda səhv minimuma endirilir e vektorların əhatə etdiyi müstəviyə ortoqonaldır i Və j.
İllüstrasiya
Başqa sözlə: biz elə bir xətt axtarırıq ki, bütün nöqtələrdən bu xəttə qədər olan məsafələrin kvadrat uzunluğunun cəmi minimal olsun:
YENİLƏNİB: burada məndə tıxac var, xəttə qədər olan məsafə orfoqrafik proyeksiya ilə deyil, şaquli olaraq ölçülməlidir. Bu şərhçi düz deyir.
İllüstrasiya
Tamamilə fərqli sözlərlə (diqqətlə, zəif rəsmiləşdirilmiş, lakin barmaqlarda aydın olmalıdır): biz bütün cüt nöqtələr arasında bütün mümkün xətləri götürürük və hamısı arasında orta xətti axtarırıq:
İllüstrasiya
Barmaqlarda başqa bir izahat: bütün məlumat nöqtələri (burada üçümüz var) və axtardığımız xətt arasında bir yay əlavə edirik və tarazlıq vəziyyətinin xətti tam olaraq axtardığımız şeydir.
Kvadrat forma minimumu
Beləliklə, vektor verilmişdir b və müstəvi matrisin sütun-vektorları ilə yayılmışdır A(bu halda (x0,x1,x2) və (1,1,1)) vektor axtarırıq e minimum kvadrat uzunluğu ilə. Aydındır ki, minimuma yalnız vektor üçün nail olmaq mümkündür e, matrisin sütun-vektorları ilə yayılan müstəviyə ortoqonaldır A:Başqa sözlə, biz x=(alfa, beta) vektoru axtarırıq ki:
Xatırladıram ki, bu vektor x=(alfa, beta) kvadratik funksiyanın minimumudur ||e(alfa, beta)||^2:
Burada yadda saxlamaq faydalıdır ki, matrisin kvadrat forması kimi şərh oluna bilər, məsələn, eynilik matrisi ((1,0),(0,1)) x^2 + y funksiyası kimi şərh edilə bilər. ^2:
kvadrat forma
Bütün bu gimnastika xətti reqressiya kimi tanınır.
Dirixlet sərhəd şərti ilə Laplas tənliyi
İndi ən sadə real problem: müəyyən bir üçbucaqlı səth var, onu hamarlamaq lazımdır. Məsələn, üz modelimi yükləyək:
Orijinal öhdəlik mövcuddur. Xarici asılılıqları minimuma endirmək üçün mən artıq Habré-də olan proqram təminatının kodunu götürdüm. Xətti sistemi həll etmək üçün mən OpenNL-dən istifadə edirəm, bu, əla həlledicidir, lakin onu quraşdırmaq çox çətindir: iki faylı (.h + .c) layihə qovluğuna köçürməlisiniz. Bütün hamarlama aşağıdakı kodla həyata keçirilir:
Üçün (int d=0; d<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
X, Y və Z koordinatları ayrıla bilər, onları ayrıca hamarlayıram. Yəni, hər biri modelimdəki təpələrin sayı qədər dəyişən olan üç xətti tənlik sistemini həll edirəm. A matrisinin ilk n cərgəsində hər cərgədə yalnız bir 1 var, b vektorunun ilk n sətirində isə orijinal model koordinatları var. Yəni, yeni təpə mövqeyi ilə köhnə təpə mövqeyi arasında yay bağlayıram - yeniləri köhnələrdən çox da uzaq olmamalıdır.
A matrisinin bütün sonrakı cərgələrində (faces.size()*3 = griddəki bütün üçbucaqların kənarlarının sayı) bir dəfə 1, biri isə -1 olur, b vektorunda isə əks tərəfdə sıfır komponent var. Bu o deməkdir ki, mən üçbucaqlı torumuzun hər kənarına yay qoymuşam: bütün kənarlar başlanğıc və son nöqtələri ilə eyni təpəni almağa çalışırlar.
Bir daha: bütün təpələr dəyişənlərdir və onlar öz ilkin mövqelərindən uzaqlaşa bilməzlər, lakin eyni zamanda bir-birinə bənzəməyə çalışırlar.
Nəticə budur:
Hər şey yaxşı olardı, model həqiqətən hamarlandı, lakin orijinal kənarından uzaqlaşdı. Kodu bir az dəyişdirək:
Üçün (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
A matrisimizdə kənarda olan təpələr üçün v_i = verts[i][d] kateqoriyasından bir sıra əlavə etmirəm, lakin 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Nəyi dəyişir? Və bu, səhvin kvadrat formasını dəyişir. İndi kənarda yuxarıdan tək bir sapma əvvəlki kimi bir vahidə deyil, 1000 * 1000 vahidə başa gələcək. Yəni, həddindən artıq təpələrdə daha güclü bir yay asdıq, həll başqalarını daha güclü şəkildə uzatmağa üstünlük verir. Nəticə budur:
Təpələr arasındakı yayların gücünü ikiqat artıraq:
nlƏmsal(üz [ j ], 2); nlƏmsal(üz[(j+1)%3], -2);
Səthin daha hamar olması məntiqlidir:
İndi yüz dəfə daha güclüdür:
Bu nədir? Təsəvvür edin ki, bir məftil halqasını sabunlu suya batırdıq. Nəticədə, yaranan sabun filmi eyni sərhədə - tel halqamıza toxunaraq, mümkün qədər ən az əyriliyə sahib olmağa çalışacaqdır. Haşiyəni düzəltmək və içəridə hamar bir səth istəməklə əldə etdiyimiz şey budur. Təbrik edirik, biz indicə Laplas tənliyini Dirixlet sərhəd şərtləri ilə həll etdik. Gözəl səslənir? Ancaq əslində həll etmək üçün yalnız bir xətti tənlik sistemi.
Puasson tənliyi
Gəlin başqa bir gözəl ad verək.Deyək ki, məndə belə bir şəkil var:
Hamı yaxşıdır, amma kürsüdən xoşum gəlmir.
Şəkli yarıya böldüm: 
Və əllərimlə bir stul seçəcəyəm: 
Sonra maskada ağ olan hər şeyi şəklin sol tərəfinə sürükləyəcəm və eyni zamanda bütün şəkil boyu deyəcəyəm ki, iki qonşu piksel arasındakı fərq iki qonşu piksel arasındakı fərqə bərabər olmalıdır. sağ şəkil:
Üçün (int i=0; i Nəticə budur: Məndə bu kimi parça nümunələrinin bir sıra fotoşəkilləri var: Mənim vəzifəm bu keyfiyyətdə fotoşəkillərdən qüsursuz toxumalar yaratmaqdır. Əvvəlcə (avtomatik olaraq) təkrarlanan nümunə axtarıram: Bu dördbucaqlını elə burada kəssəm, onda təhriflərə görə kənarlar birləşməyəcək, burada dörd dəfə təkrarlanan nümunə nümunəsi var: Gizli mətn Budur, dikişin aydın göründüyü bir fraqment: Buna görə də düz bir xətt boyunca kəsməyəcəyəm, budur kəsmə xətti: Gizli mətn Və burada nümunə dörd dəfə təkrarlanır: Gizli mətn Və daha aydın olması üçün onun fraqmenti: Onsuz da daha yaxşı, kəsik hər cür qıvrımları keçərək düz bir xəttdə getmədi, lakin orijinal fotoşəkildə qeyri-bərabər işıqlandırma səbəbindən hələ də dikiş görünür. Puasson tənliyi üçün ən kiçik kvadratlar metodu xilasetmə üçün buradadır. İşıqlandırmanın uyğunlaşdırılmasından sonra yekun nəticə budur: Doku mükəmməl qüsursuz oldu və bütün bunlar avtomatik olaraq çox orta keyfiyyətli bir fotoşəkildən çıxdı. Riyaziyyatdan qorxmayın, sadə izahatlar axtarın və mühəndislikdə bəxtiniz gətirəcək. Əgər hansısa fiziki kəmiyyət başqa kəmiyyətdən asılıdırsa, onda bu asılılığı x-in müxtəlif qiymətlərində y-ni ölçməklə araşdırmaq olar. Ölçmələr nəticəsində bir sıra dəyərlər əldə edilir: x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ; y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n . Belə bir təcrübənin məlumatlarına əsasən y = ƒ(x) asılılığının qrafikini çəkmək olar. Alınan əyri ƒ(x) funksiyasının formasını mühakimə etməyə imkan verir. Bununla belə, bu funksiyaya daxil olan sabit əmsallar naməlum olaraq qalır. Onlar ən kiçik kvadratlar üsulu ilə müəyyən edilə bilər. Təcrübə nöqtələri, bir qayda olaraq, əyri üzərində tam olaraq uzanmır. Ən kiçik kvadratlar metodu tələb edir ki, eksperimental nöqtələrin əyridən kvadrat sapmalarının cəmi, yəni. 2 ən kiçik idi. Praktikada bu üsul ən çox (və ən sadə) xətti əlaqə vəziyyətində istifadə olunur, yəni. nə vaxt y=kx və ya y = a + bx. Xətti asılılıq fizikada çox geniş yayılmışdır. Asılılıq qeyri-xətti olduqda belə, adətən düz xətt əldə edəcək şəkildə qrafik qurmağa çalışırlar. Məsələn, n şüşəsinin sınma əmsalının işıq dalğasının dalğa uzunluğu λ ilə n = a + b/λ 2 əlaqəsi ilə əlaqəli olduğu fərz edilirsə, onda n-nin λ -2-dən asılılığı qrafikdə göstərilir. . Asılılığı nəzərdən keçirin y=kx(mənşədən keçən düz xətt). φ dəyərini tərtib edin - nöqtələrimizin düz xəttdən kvadrat sapmalarının cəmi φ dəyəri həmişə müsbətdir və nə qədər kiçik olarsa, nöqtələrimiz düz xəttə nə qədər yaxın olarsa. Ən kiçik kvadratlar metodu bildirir ki, k üçün φ minimuma malik olduğu qiymət seçilməlidir Hesablama göstərir ki, k-nin qiymətinin təyin edilməsində orta-kvadrat xətası bərabərdir. İndi xalların düstura cavab verməli olduğu bir qədər çətin bir işə baxaq y = a + bx(mənşədən keçməyən düz xətt). Tapşırıq verilmiş x i, y i dəyərlərindən a və b-nin ən yaxşı qiymətlərini tapmaqdır. Yenə də düz xəttdən x i , y i nöqtələrinin kvadratik sapmalarının cəminə bərabər olan φ kvadrat formasını tərtib edirik. və φ-nin minimuma malik olduğu a və b dəyərlərini tapın Bu tənliklərin birgə həlli verir a və b-nin təyin edilməsinin kök-orta-kvadrat səhvləri bərabərdir Bu üsulla ölçmə nəticələrini emal edərkən, bütün məlumatları (19)-(24) düsturlarına daxil edilmiş bütün məbləğlərin əvvəlcədən hesablandığı bir cədvəldə ümumiləşdirmək rahatdır. Bu cədvəllərin formaları aşağıdakı nümunələrdə göstərilmişdir. Misal 1 Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi ε = M/J (başlanğıcdan keçən düz xətt) tədqiq edilmişdir. M anının müxtəlif dəyərləri üçün müəyyən bir cismin bucaq sürəti ε ölçüldü. Bu cismin ətalət momentini təyin etmək tələb olunur. İkinci və üçüncü sütunlarda güc anının və bucaq sürətinin ölçülməsinin nəticələri verilmişdir. cədvəllər 5. Düstur (19) ilə müəyyən edirik: Kök-orta-kvadrat səhvini müəyyən etmək üçün (20) düsturundan istifadə edirik. 0.005775kq-bir · m -2 . Formula (18) görə bizdə var SJ = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kq m 2. Etibarlılığı nəzərə alaraq P = 0,95 , n = 5 üçün Tələbə əmsalları cədvəlinə əsasən, t = 2,78 tapırıq və mütləq xətanı ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 təyin edirik. kq m 2. Nəticələri formada yazırıq: J = (3,0 ± 0,2) kq m 2; Misal 2Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə metalın müqavimətinin temperatur əmsalını hesablayırıq. Müqavimət xətti qanuna görə temperaturdan asılıdır R t \u003d R 0 (1 + α t °) \u003d R 0 + R 0 α t °. Sərbəst termin 0 ° C temperaturda R 0 müqavimətini təyin edir və açısal əmsalı temperatur əmsalı α və müqavimət R 0 məhsuludur. Ölçmə və hesablamaların nəticələri cədvəldə verilmişdir ( cədvəl 6-a baxın). (21), (22) düsturları ilə müəyyən edirik R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm. α-nın tərifində səhv tapaq. -dən bəri (18) düsturuna görə biz: (23), (24) düsturlarından istifadə etməklə bizdə var 0.014126 Ohm. Etibarlılığı P = 0,95 nəzərə alaraq, n = 6 üçün Student əmsalları cədvəlinə əsasən, t = 2,57 tapırıq və mütləq xətanı Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 təyin edirik. -1 dərəcə. α = (23 ± 4) 10 -4 dolu P = 0,95-də -1. Misal 3 Nyuton halqalarından lensin əyrilik radiusunu təyin etmək tələb olunur. Nyutonun halqalarının radiusları r m ölçüldü və bu halqaların ədədləri m təyin olundu. Nyuton halqalarının radiusları lensin əyrilik radiusu R və üzük nömrəsi tənliklə bağlıdır. r 2 m = mλR - 2d 0 R, burada d 0 linza ilə müstəvi-paralel lövhə (və ya lens deformasiyası) arasındakı boşluğun qalınlığıdır; λ düşən işığın dalğa uzunluğudur. λ = (600 ± 6) nm; onda tənlik formasını alacaq y = a + bx. Ölçmə və hesablamaların nəticələri daxil edilir cədvəl 7.
Real həyat nümunəsi
Mən bilərəkdən yaladı nəticələr etmədim, çünki. Mən sadəcə olaraq ən kiçik kvadratlar üsullarını necə tətbiq edə biləcəyinizi göstərmək istədim, bu təlim kodudur. İndi həyatdan bir misal çəkim: 
və ya
(19)
, (20)
burada – n ölçmələrin sayıdır.
;
.
(21)
(23)
. (24)Cədvəl 5
n
M, N m
ε, s-1
M2
M ε
ε - km
(ε - km) 2
1
1.44
0.52
2.0736
0.7488
0.039432
0.001555
2
3.12
1.06
9.7344
3.3072
0.018768
0.000352
3
4.59
1.45
21.0681
6.6555
-0.08181
0.006693
4
5.90
1.92
34.81
11.328
-0.049
0.002401
5
7.45
2.56
55.5025
19.072
0.073725
0.005435
∑
123.1886
41.1115
0.016436
.
Cədvəl 6
n
t°, s
r, Ohm
t-¯t
(t-¯t) 2
(t-¯t)r
r-bt-a
(r - bt - a) 2,10 -6
1
23
1.242
-62.8333
3948.028
-78.039
0.007673
58.8722
2
59
1.326
-26.8333
720.0278
-35.581
-0.00353
12.4959
3
84
1.386
-1.83333
3.361111
-2.541
-0.00965
93.1506
4
96
1.417
10.16667
103.3611
14.40617
-0.01039
107.898
5
120
1.512
34.16667
1167.361
51.66
0.021141
446.932
6
133
1.520
47.16667
2224.694
71.69333
-0.00524
27.4556
∑
515
8.403
8166.833
21.5985
746.804
∑/n
85.83333
1.4005
.
;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,Cədvəl 7
n
x = m
y \u003d r 2, 10 -2 mm 2
m-¯m
(m-¯m) 2
(m-¯m)y
y-bx-a, 10-4
(y - bx - a) 2, 10 -6
1
1
6.101
-2.5
6.25
-0.152525
12.01
1.44229
2
2
11.834
-1.5
2.25
-0.17751
-9.6
0.930766
3
3
17.808
-0.5
0.25
-0.08904
-7.2
0.519086
4
4
23.814
0.5
0.25
0.11907
-1.6
0.0243955
5
5
29.812
1.5
2.25
0.44718
3.28
0.107646
6
6
35.760
2.5
6.25
0.894
3.12
0.0975819
∑
21
125.129
17.5
1.041175
3.12176
∑/n
3.5
20.8548333