Tərif 1. Sistemin vektorlarından biri sistemin qalan vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bilərsə, vektorlar sistemi xətti asılı, əks halda isə xətti asılı adlanır.

Tərif 1'. Əgər ədədlər varsa, vektorlar sistemi xətti asılı adlanır ilə 1 , ilə 2 , …, ilə k , hamısı sıfıra bərabər deyil ki, verilmiş əmsallı vektorların xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabər olsun: = , əks halda sistem xətti müstəqil adlanır.

Bu təriflərin ekvivalent olduğunu göstərək.

1-ci tərif təmin edilsin, yəni. sistemin vektorlarından biri qalanlarının xətti kombinasiyasına bərabərdir:

Vektorlar sisteminin xətti birləşməsi sıfır vektora bərabərdir və bu birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil, yəni. tərif 1'ə uyğundur.

1´ tərifi təmin edilsin. Vektorlar sisteminin xətti birləşməsi , və birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil, məsələn, vektorun əmsalları .

Sistemin vektorlarından birini qalanların xətti birləşməsi kimi təqdim etdik, yəni. tərif 1 yerinə yetirilir.

Tərif 2. Vahid vektor və ya ort deyilir n-ölçülü vektor, hansı i inci koordinat birə bərabərdir, qalanları isə sıfırdır.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorem 1. Müxtəlif vahid vektorlar n-ölçülü fəza xətti müstəqildir.

Sübut. Bu vektorların ixtiyari əmsallı xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabər olsun.

Bu bərabərlikdən belə nəticə çıxır ki, bütün əmsallar sıfıra bərabərdir. Bizdə bir ziddiyyət var.

Hər bir vektor n-ölçülü məkan ā (a 1 , a 2 , ..., a n ) vektorun koordinatlarına bərabər əmsallı vahid vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər.

Teorem 2. Vektorlar sistemində sıfır vektor varsa, o, xətti asılıdır.

Sübut. Vektorlar sistemi verilsin və vektorlardan biri sıfır olsun, məsələn =. Sonra bu sistemin vektorları ilə sıfır vektoruna bərabər xətti kombinasiya yaratmaq olar və bütün əmsallar sıfır olmayacaq:

Buna görə də sistem xətti asılıdır.

Teorem 3. Əgər vektorlar sisteminin bəzi alt sistemi xətti asılıdırsa, bütün sistem xətti asılıdır.

Sübut. Vektorlar sistemi verilmişdir. Tutaq ki, sistem xətti asılıdır, yəni. rəqəmlər var ilə 1 , ilə 2 , …, ilə r , hamısı sıfıra bərabər deyil, belə ki = . Sonra

Məlum oldu ki, bütün sistemin vektorlarının xətti birləşməsi bərabərdir və bu birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil. Buna görə də vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Nəticə.Əgər vektorlar sistemi xətti müstəqildirsə, onun hər hansı alt sistemi də xətti müstəqildir.

Sübut.

Bunun əksini fərz edin, yəni. bəzi alt sistemlər xətti asılıdır. Teoremdən belə nəticə çıxır ki, bütün sistem xətti asılıdır. Biz bir ziddiyyətə gəldik.

Teorem 4 (Steinitz teoremi).Əgər vektorların hər biri vektorların xətti kombinasiyasıdırsa və m>n, onda vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Nəticə.İstənilən n ölçülü vektor sistemində n-dən çox xətti müstəqil ola bilməz.

Sübut. Hər biri n-ölçülü vektor n vahid vektorun xətti kombinasiyası kimi ifadə edilir. Bu səbəblə sistem əgər varsa m vektorlar və m>n, onda teoremə görə bu sistem xətti asılıdır.

Bu yazıda biz bunları əhatə edəcəyik:

• kollinear vektorlar nədir;
• kollinear vektorlar üçün hansı şərtlər var;
• kollinear vektorların xassələri hansılardır;
• kollinear vektorların xətti asılılığı nədir.

Tərif 1

Kollinear vektorlar eyni xəttə paralel və ya eyni xətt üzərində yerləşən vektorlardır.

Misal 1

Kollinear vektorlar üçün şərtlər

Aşağıdakı şərtlərdən hər hansı biri doğru olarsa, iki vektor kollineardır:

• şərt 1 . a və b vektorları a = λ b olan λ ədədi olduqda kollineardır;
• şərt 2 . a və b vektorları koordinatların bərabər nisbəti ilə kollineardır:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• şərt 3 . a və b vektorları kollineardır, bir şərtlə ki, vektor məhsulu və sıfır vektoru bərabər olsun:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Qeyd 1

Vəziyyət 2 vektor koordinatlarından biri sıfır olduqda tətbiq edilmir.

Qeyd 2

Vəziyyət 3 yalnız fəzada verilmiş vektorlara şamil edilir.

Vektorların kollinearlığının tədqiqi üçün problem nümunələri

Misal 1

Kollinearlıq üçün a \u003d (1; 3) və b \u003d (2; 1) vektorlarını araşdırırıq.

Necə qərar vermək olar?

Bu zaman kollinearlığın 2-ci şərtindən istifadə etmək lazımdır. Verilmiş vektorlar üçün bu belə görünür:

Bərabərlik səhvdir. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, a və b vektorları kollinear deyildir.

Cavab verin : a | | b

Misal 2

Vektorların kollinear olması üçün a = (1 ; 2) və b = (- 1 ; m) vektorunun hansı m qiyməti lazımdır?

Necə qərar vermək olar?

İkinci kollinear şərtdən istifadə edərək vektorlar koordinatları mütənasib olarsa, kollinear olacaqlar:

Bu, m = - 2 olduğunu göstərir.

Cavab: m = - 2.

Vektor sistemlərinin xətti asılılıq və xətti müstəqillik meyarları

teorem

Vektor fəzasındakı vektorlar sistemi o halda xətti asılıdır ki, sistemin vektorlarından biri sistemin qalan vektorları ilə ifadə oluna bilsin.

Sübut

Sistem e 1 , e 2 , olsun. . . , e n xətti asılıdır. Bu sistemin sıfır vektoruna bərabər olan xətti kombinasiyasını yazaq:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

birləşmənin əmsallarından ən azı biri sıfıra bərabər olmayan.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , olsun. . . , n .

Bərabərliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli bir əmsalla bölürük:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

İşarə et:

A k - 1 a m , burada m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Bu halda:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

və ya e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Buradan belə nəticə çıxır ki, sistemin vektorlarından biri sistemin bütün digər vektorları ilə ifadə olunur. Hansı ki, sübut olunmaq tələb olunurdu (p.t.d.).

Adekvatlıq

Vektorlardan biri sistemin bütün digər vektorları ilə xətti şəkildə ifadə edilsin:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektorunu bu bərabərliyin sağ tərəfinə köçürürük:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektorunun əmsalı - 1 ≠ 0 -a bərabər olduğundan, sıfırın e 1 , e 2 , vektorlar sistemi ilə qeyri-trivial təsvirini alırıq. . . , e n və bu da öz növbəsində verilmiş vektorlar sisteminin xətti asılı olduğunu bildirir. Hansı ki, sübut olunmaq tələb olunurdu (p.t.d.).

Nəticə:

• Vektorlar sistemi o zaman xətti müstəqildir ki, onun vektorlarından heç biri sistemin bütün digər vektorları ilə ifadə edilə bilmir.
• Null vektoru və ya iki bərabər vektoru olan bir vektor sistemi xətti asılıdır.

Xətti asılı vektorların xassələri

1. 2 və 3 ölçülü vektorlar üçün şərt yerinə yetirilir: iki xətti asılı vektor kollineardır. İki kollinear vektor xətti asılıdır.
2. 3 ölçülü vektorlar üçün şərt yerinə yetirilir: üç xətti asılı vektor koplanardır. (3 koplanar vektor - xətti asılı).
3. n ölçülü vektorlar üçün şərt yerinə yetirilir: n + 1 vektorları həmişə xətti asılıdır.

Vektorların xətti asılılığı və ya xətti müstəqilliyi üçün məsələlərin həlli nümunələri

Misal 3

a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 vektorlarının xətti müstəqilliyini yoxlayaq.

Həll. Vektorlar xətti asılıdır, çünki vektorların ölçüsü vektorların sayından azdır.

Misal 4

a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 vektorlarının xətti müstəqilliyini yoxlayaq.

Həll. Xətti birləşmənin sıfır vektoruna bərabər olacağı əmsalların dəyərlərini tapırıq:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektor tənliyini xətti tənlik şəklində yazırıq:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Bu sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edirik:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-ci sətirdən 1-i, 3-dən 1-i çıxarırıq:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-ci sətirdən 2-ni çıxarın, 2-ni 3-ə əlavə edin:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Həlldən belə çıxır ki, sistemin bir çox həlli var. Bu o deməkdir ki, x 1 , x 2 , x 3 ədədlərinin qiymətlərinin sıfırdan fərqli kombinasiyası var ki, bunun üçün a , b , c xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabərdir. Beləliklə, a , b , c vektorlarıdır xətti asılı. ​​​​​​​

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi

Vektorların xətti asılı və müstəqil sistemlərinin tərifləri

Tərif 22

Qoy bizdə n-vektorlar sistemi və ədədlər çoxluğu olsun
, sonra

(11)

verilmiş vektorlar sisteminin verilmiş əmsallar çoxluğu ilə xətti kombinasiyası adlanır.

Tərif 23

Vektor sistemi
belə əmsallar toplusu olduqda xətti asılı adlanır
, ən azı biri sıfıra bərabər deyil, belə ki, verilmiş vektorlar sisteminin bu əmsallar dəsti ilə xətti birləşməsi sıfır vektoruna bərabərdir:

Qoy
, sonra

Tərif 24 ( sistemin bir vektorunun digərlərinin xətti birləşməsi kimi təqdim edilməsi ilə)

Vektor sistemi
bu sistemin vektorlarından ən azı biri bu sistemin digər vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bilsə, xətti asılı adlanır.

Bəyanat 3

23 və 24 təriflər ekvivalentdir.

Tərif 25(sıfır xətt birləşməsi ilə)

Vektor sistemi
bu sistemin sıfır xətti kombinasiyası yalnız hamı üçün mümkün olarsa, xətti müstəqil adlanır
sıfıra bərabərdir.

Tərif 26(sistemin bir vektorunu qalanların xətti kombinasiyası kimi təqdim etməyin mümkünsüzlüyü ilə)

Vektor sistemi
bu sistemin vektorlarından heç biri bu sistemin digər vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilmirsə, xətti müstəqil adlanır.

Xətti asılı və müstəqil vektor sistemlərinin xassələri

teorem 2 (vektorlar sistemində sıfır vektor)

Vektorlar sistemində sıfır vektor varsa, sistem xətti asılıdır.

 Qoy
, sonra .

alın
, buna görə də sıfır xətti birləşmə baxımından vektorların xətti asılı sisteminin tərifi ilə (12) sistem xətti asılıdır. 

teorem 3 (vektorlar sistemində asılı alt sistem)

Vektorlar sisteminin xətti asılı alt sistemi varsa, bütün sistem xətti asılıdır.

 Qoy
- xətti asılı alt sistem
, bunlardan ən azı biri sıfıra bərabər deyil:

Beləliklə, 23-cü tərifə görə, sistem xətti asılıdır. 

Teorem 4

Xətti müstəqil sistemin istənilən alt sistemi xətti müstəqildir.

 Əksinə. Sistem xətti müstəqil olsun və xətti asılı alt sistem olsun. Lakin sonra, Teorem 3-ə görə, bütün sistem də xətti asılı olacaq. Ziddiyyət. Buna görə də xətti müstəqil sistemin alt sistemi xətti asılı ola bilməz. 

həndəsi məna vektorlar sisteminin xətti asılılığı və müstəqilliyi

Teorem 5

İki vektor və yalnız və yalnız o halda xətti asılıdır
.

 Ehtiyac.

və - xətti asılı
ki, şərt
. Sonra
, yəni.
.

Adekvatlıq.

Xətti asılı. 

Nəticə 5.1

Sıfır vektoru istənilən vektorla kollineardır

Nəticə 5.2

İki vektorun xətti müstəqil olması üçün bu, zəruri və kifayətdir uyğun deyildi .

Teorem 6

Üç vektorlu sistemin xətti asılı olması üçün bu vektorların müştərək olması zəruri və kifayətdir. .

 Ehtiyac.

- xətti asılıdır, buna görə də bir vektor digər ikisinin xətti birləşməsi kimi təqdim edilə bilər.

, (13)

harada
və
. Paraleloqram qaydasına görə tərəfləri olan paraleloqramın diaqonalıdır
, lakin paraleloqram düz fiqur
düzbucaqlı
həm də müştərəkdirlər.

Adekvatlıq.

- düzbucaqlı. O nöqtəsinə üç vektor tətbiq edirik:

C

B`

– xətti asılı 

Nəticə 6.1

Sıfır vektor hər hansı vektor cütü ilə müştərəkdir.

Nəticə 6.2

Vektorlar üçün
yalnız və yalnız müştərək olmadıqda xətti müstəqildirlər.

Nəticə 6.3

İstənilən müstəvi vektoru eyni müstəvinin istənilən iki qeyri-kollinear vektorunun xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər.

Teorem 7

Kosmosda hər hansı dörd vektor xətti asılıdır .

4 halı nəzərdən keçirək:

Gəlin vektorlar üzərindən bir müstəvi, sonra vektorlar vasitəsilə bir müstəvi və vektorlar vasitəsilə bir müstəvi çəkək. Sonra vektor cütlərinə paralel D nöqtəsindən keçən müstəviləri çəkirik; ; müvafiq olaraq. Təyyarələrin kəsişmə xətləri boyunca paralelepiped qururuq OB 1 D 1 C 1 ABDC.

düşünün OB 1 D 1 C 1 - paraleloqram qaydasına görə konstruksiyaya görə paraleloqram
.

OADD 1-i nəzərdən keçirin - paraleloqram (paralelepiped xüsusiyyətindən)
, sonra

EMBED Equation.3 .

Teorem 1 ilə
belə . Sonra
, və tərifinə görə 24 vektorlar sistemi xətti asılıdır. 

Nəticə 7.1

Kosmosda üç qeyri-komplanar vektorun cəmi ortaq mənşəyə bağlanmış bu üç vektor üzərində qurulmuş paralelepipedin diaqonalına uyğun gələn vektordur və cəmi vektorun başlanğıcı bu üç vektorun ümumi mənşəyi ilə üst-üstə düşür.

Nəticə 7.2

Fəzada 3 qeyri-komplanar vektoru götürsək, bu fəzanın istənilən vektoru bu üç vektorun xətti kombinasiyasına parçalana bilər.

Vektorlar, onların xassələri və onlarla hərəkətləri

Vektorlar, vektorlarla hərəkətlər, xətti vektor fəzası.

Vektorlar məhdud sayda həqiqi ədədlərin ardıcıl toplusudur.

Tədbirlər: 1. Bir vektorun rəqəmə vurulması: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n) (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Vektorların əlavə edilməsi (onlar eyni vektor fəzasına aiddir) vektoru x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-ölçülü (xətti fəza) vektor x + vektor 0 = vektor x

teorem. n ölçülü xətti fəzada n vektordan ibarət sistemin xətti asılı olması üçün vektorlardan birinin digərlərinin xətti kombinasiyası zəruri və kifayətdir.

teorem. n-ölçülü xətti fəzanın n+ 1-ci vektorunun istənilən çoxluğu yavl. xətti asılı.

Vektorların toplanması, vektorların ədədlərə vurulması. Vektorların çıxılması.

İki vektorun cəmi vektorun əvvəlindən sonuna istiqamətlənmiş vektordur, bu şərtlə ki, başlanğıc vektorun sonu ilə üst-üstə düşsün. Vektorlar əsas vektorlar baxımından genişlənmələri ilə verilirsə, vektorları toplamaq onların müvafiq koordinatlarını toplayır.

Bunu Kartezyen koordinat sistemi nümunəsindən istifadə edərək nəzərdən keçirək. Qoy

Gəlin bunu göstərək

Şəkil 3 bunu göstərir

İstənilən sonlu vektorların cəmini çoxbucaqlı qaydasından istifadə etməklə tapmaq olar (şək. 4): sonlu sayda vektorların cəmini qurmaq üçün hər bir sonrakı vektorun başlanğıcını əvvəlki vektorun sonu ilə uyğunlaşdırmaq kifayətdir. və birinci vektorun əvvəlini sonuncunun sonu ilə birləşdirən vektor qurun.

Vektor toplama əməliyyatının xüsusiyyətləri:

Bu ifadələrdə m, n ədədlərdir.

Vektorların fərqi vektor adlanır.İkinci hədd istiqamət üzrə vektora əks olan, lakin uzunluğuna görə ona bərabər olan vektordur.

Beləliklə, vektoru çıxarma əməliyyatı toplama əməliyyatı ilə əvəz olunur

Başlanğıcı koordinatların başlanğıcında, sonu isə A (x1, y1, z1) nöqtəsində olan vektor A nöqtəsinin radius vektoru adlanır və işarələnir və ya sadəcə olaraq. Onun koordinatları A nöqtəsinin koordinatları ilə üst-üstə düşdüyü üçün vektorlar baxımından genişlənməsi formaya malikdir.

A(x1, y1, z1) nöqtəsindən başlayan və B(x2, y2, z2) nöqtəsində bitən vektor belə yazıla bilər.

burada r 2 B nöqtəsinin radius vektorudur; r 1 - A nöqtəsinin radius vektoru.

Buna görə vektorun orts baxımından genişlənməsi formaya malikdir

Onun uzunluğu A və B nöqtələri arasındakı məsafəyə bərabərdir

VURMA

Beləliklə, düz məsələdə vektorun a = (ax; ay) və b ədədinin hasili düsturla tapılır.

a b = (ax b; ay b)

Misal 1. a = (1; 2) vektorunun 3-ə hasilini tapın.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Deməli, fəza məsələsində a = (ax; ay; az) vektoru ilə b ədədinin hasili düsturla tapılır.

a b = (ax b; ay b; az b)

Misal 1. a = (1; 2; -5) vektorunun 2-yə hasilini tapın.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektorların nöqtə hasili və vektorları arasındakı bucaq haradadır; varsa, onda

Skayar hasilin tərifindən belə çıxır ki

burada, məsələn, vektorun vektorun istiqamətinə proyeksiyasının qiymətidir.

Vektor skalyar kvadrat:

Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri:

Koordinatlarda nöqtə məhsulu

Əgər a sonra

Vektorlar arasındakı bucaq

Vektorlar arası bucaq - bu vektorların istiqamətləri arasındakı bucaq (ən kiçik bucaq).

Vektor məhsulu(İki vektorun vektor məhsulu.)- iki amillə qurulmuş müstəviyə perpendikulyar psevdovektordur ki, bu da üçölçülü Evklid fəzasında vektorlar üzərində “vektorların vurulması” ikili əməliyyatının nəticəsidir. Məhsul nə kommutativ, nə də assosiativdir (antikommutativdir) və vektorların nöqtə hasilindən fərqlidir. Bir çox mühəndislik və fizika məsələlərində iki mövcud olana perpendikulyar vektor qura bilmək lazımdır - vektor məhsulu bu imkanı verir. Çarpaz məhsul vektorların perpendikulyarlığını "ölçmək" üçün faydalıdır - iki vektorun çarpaz hasilinin uzunluğu perpendikulyar olduqda onların uzunluqlarının hasilinə bərabərdir və vektorlar paralel və ya antiparalel olduqda sıfıra enir.

Vektor məhsulu yalnız üçölçülü və yeddiölçülü fəzalarda müəyyən edilir. Skayar hasil kimi vektor məhsulunun nəticəsi də Evklid fəzasının metrikindən asılıdır.

Üç ölçülü düzbucaqlı koordinat sistemində vektorların koordinatlarından skalyar məhsulun hesablanması düsturundan fərqli olaraq, vektor məhsulunun düsturu düzbucaqlı koordinat sisteminin oriyentasiyasından və ya başqa sözlə, onun “xirallığından” asılıdır.

Vektorların kollinearlığı.

Sıfırdan fərqli (0-a bərabər olmayan) iki vektor paralel xətlər üzərində və ya eyni xətt üzərində yerləşirsə, kollinear adlanır. Biz icazə veririk, lakin tövsiyə edilmir, sinonimə - "paralel" vektorlara. Kollinear vektorlar eyni istiqamətə (“birgə istiqamətləndirilmiş”) və ya əks istiqamətə yönəldilə bilər (sonuncu halda onları bəzən “antikollinear” və ya “antiparalel” adlandırırlar).

vektorların qarışıq hasili( a,b,c)- a vektorunun skalyar hasili və b və c vektorlarının vektor hasili:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

bəzən nəticənin skalyar (daha dəqiq desək, psevdoskalar) olması ilə əlaqədar olaraq, vektorların üç nöqtəli hasili adlanır.

Həndəsi məna: Qarışıq məhsulun modulu vektorların yaratdığı paralelepipedin həcminə ədədi olaraq bərabərdir. (a,b,c) .

Xüsusiyyətlər

Qarışıq məhsul bütün arqumentlərinə görə əyri-simmetrikdir: yəni, e) hər hansı iki amilin dəyişməsi məhsulun işarəsini dəyişir. Buradan belə nəticə çıxır ki, sağ Kartezian koordinat sistemindəki qarışıq hasil (ortonormal əsasda) vektorlardan ibarət matrisin determinantına bərabərdir və:

Sol Kartezian koordinat sistemindəki qarışıq hasil (ortonormal əsasda) vektorlardan ibarət olan və mənfi işarə ilə alınan matrisin determinantına bərabərdir:

Xüsusilə,

Hər hansı iki vektor paraleldirsə, onda hər hansı üçüncü vektorla onlar sıfıra bərabər qarışıq hasil yaradırlar.

Əgər üç vektor xətti asılıdırsa (yəni, koplanar, eyni müstəvidə yerləşir), onda onların qarışıq hasilatı sıfırdır.

Həndəsi məna - Mütləq dəyərdə qarışıq hasil vektorların əmələ gətirdiyi paralelepipedin (şəklə bax) həcminə bərabərdir və; işarəsi vektorların bu üçlüyünün sağ və ya sol olmasından asılıdır.

Vektorların müqayisəliliyi.

Üç vektor (və ya daha çox) ümumi mənşəyə endirilərək eyni müstəvidə yerləşirsə, koplanar adlanır

Müqayisə xüsusiyyətləri

Əgər üç vektordan ən azı biri sıfırdırsa, o zaman üç vektor da müştərək hesab olunur.

Tərkibində bir cüt kollinear vektor olan vektorların üçlüyü koplanardır.

Koplanar vektorların qarışıq hasili. Bu, üç vektorun uyğunluğu üçün bir meyardır.

Koplanar vektorlar xətti asılıdır. Bu həm də müştərəklik üçün bir meyardır.

3 ölçülü fəzada 3 qeyri-komplanar vektor əsas təşkil edir

Xətti asılı və xətti müstəqil vektorlar.

Vektorların xətti asılı və müstəqil sistemləri.Tərif. Vektorlar sistemi adlanır xətti asılı, bu vektorların sıfır vektoruna bərabər olan ən azı bir qeyri-trivial xətti kombinasiyası varsa. Əks halda, yəni. əgər verilmiş vektorların yalnız trivial xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabərdirsə, vektorlar deyilir xətti müstəqil.

Teorem (xətti asılılıq meyarı). Xətti fəzada vektorlar sisteminin xətti asılı olması üçün bu vektorlardan heç olmasa birinin digərlərinin xətti kombinasiyası olması zəruri və kifayətdir.

1) Vektorlar arasında ən azı bir sıfır vektor varsa, onda bütün vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Həqiqətən, əgər, məsələn, , onda fərz etsək, qeyri-trivial xətti birləşməyə sahibik.▲

2) Vektorların bəziləri xətti asılı sistem təşkil edirsə, bütün sistem xətti asılı olur.

Həqiqətən, vektorları , , xətti asılı olsun. Beləliklə, sıfır vektoruna bərabər qeyri-trivial xətti birləşmə mövcuddur. Ancaq sonra, fərz etsək , biz də sıfır vektoruna bərabər qeyri-trivial xətti kombinasiya əldə edirik.

2. Əsas və ölçü. Tərif. Xətti müstəqil vektorlar sistemi vektor fəzası adlanır əsas bu fəza, əgər -dən hər hansı vektor bu sistemin vektorlarının xətti kombinasiyası kimi göstərilə bilərsə, yəni. hər bir vektor üçün həqiqi ədədlər var elə bərabərlik olsun.Bu bərabərlik deyilir vektor parçalanmasıəsasa və rəqəmlərə görə çağırdı bazaya nisbətən vektor koordinatları(və ya əsasında) .

Teorem (əsas baxımından genişlənmənin unikallığı haqqında). Hər bir kosmik vektor əsas baxımından genişləndirilə bilər unikal şəkildə, yəni. bazadakı hər bir vektorun koordinatları birmənalı olaraq müəyyən edilir.

Tərif 1. Vektorların xətti kombinasiyası bu vektorların və skalyarların hasillərinin cəmidir
:

Tərif 2. Vektor sistemi
Əgər onların xətti kombinasiyası (2.8) yox olarsa, xətti asılı sistem adlanır:

və nömrələr arasında
sıfırdan başqa heç olmasa biri var.

Tərif 3. Vektorlar
Əgər onların xətti birləşməsi (2.8) yalnız hamısı ədəd olduqda yox olarsa, xətti müstəqil adlanır.

Bu təriflərdən aşağıdakı nəticələr əldə etmək olar.

Nəticə 1. Xətti asılı vektor sistemində ən azı bir vektor digərlərinin xətti kombinasiyası kimi ifadə edilə bilər.

Sübut. (2.9) tutsun və müəyyənlik üçün əmsalı olsun
. Sonra bizdə:
. Qeyd edək ki, bunun əksi də doğrudur.

Nəticə 2.Əgər vektorlar sistemi
sıfır vektoru ehtiva edir, onda bu sistem (mütləq) xətti asılıdır - sübut göz qabağındadır.

Nəticə 3. Əgər arasında n vektorlar
hər hansı k(
) vektorların xətti asılıdır, onda hamısı n vektorlar xətti asılıdır (biz sübutu buraxırıq).

2 0 . İki, üç və dörd vektorun xətti birləşmələri. Düz xəttdə, müstəvidə və fəzada vektorların xətti asılılıq və müstəqillik məsələlərini nəzərdən keçirək. Müvafiq teoremləri təqdim edək.

Teorem 1. İki vektorun xətti asılı olması üçün onların kollinear olması zəruri və kifayətdir.

Ehtiyac. Vektorlar olsun və xətti asılı. Bu, onların xətti birləşməsi deməkdir
=0 və (müəyyənlik üçün)
. Bu bərabərliyi nəzərdə tutur
, və (vektorun ədədə vurulmasının tərifi ilə) vektorlar və kollinear.

Adekvatlıq. Vektorlar olsun və kollinear ( ║) (biz onların sıfır vektorundan fərqli olduğunu fərz edirik; əks halda onların xətti asılılığı göz qabağındadır).

Teorem (2.7) ilə (bax §2.1, bənd 2 0).
belə
, və ya
– xətti birləşmə sıfıra bərabərdir, əmsalı isə atdır 1 - vektorlara bərabərdir və xətti asılı.

Bu teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə. Əgər vektorlar və kollinear deyillər, onda onlar xətti müstəqildirlər.

Teorem 2. Üç vektorun xətti asılı olması üçün onların koplanar olması zəruri və kifayətdir.

Ehtiyac. Vektorlar olsun ,və xətti asılı. Onların koplanar olduğunu göstərək.

Vektorların xətti asılılığının tərifi ədədlərin mövcudluğunu nəzərdə tutur
və belə ki, xətti birləşmə
, və eyni zamanda (müəyyənlik üçün)
. Onda bu bərabərlikdən vektoru ifadə edə bilərik :=
, yəni vektor bu bərabərliyin sağ tərəfindəki vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalına bərabərdir (şək. 2.6). Bu o deməkdir ki, vektorlar ,və eyni müstəvidə yatmaq.

Adekvatlıq. Vektorlar olsun ,və düzbucaqlı. Onların xətti asılı olduğunu göstərək.

İstənilən vektor cütünün kollinearlığı halını istisna edək (çünki bu cüt xətti asılıdır və Nəticə 3-ə (bax. bənd 1 0) hər üç vektor xətti asılıdır). Qeyd edək ki, belə bir fərziyyə göstərilən üç arasında sıfır vektorunun mövcudluğunu da istisna edir.

Üç koplanar vektoru bir müstəviyə köçürür və onları ümumi mənşəyə gətiririk. Vektorun sonundan vektorlara paralel xətlər çəkin və ; vektorları əldə edirik və (Şəkil 2.7) - onların mövcudluğu vektorların olması ilə təmin edilir və fərziyyə ilə kollinear olmayan vektorlar. Buradan belə çıxır ki, vektor =+. Bu bərabərliyi (-1) kimi yenidən yazırıq ++=0, vektorların olması qənaətinə gəlirik ,və xətti asılı.

Sübut edilmiş teoremdən iki nəticə çıxır.

Nəticə 1. Qoy və qeyri-kollinear vektorlar, vektor – ixtiyari, vektorlarla müəyyən edilmiş müstəvidə uzanan və , vektor. Sonra rəqəmlər var və belə

=+. (2.10)

Nəticə 2. Əgər vektorlar ,və koplanar deyil, onda onlar xətti müstəqildirlər.

Teorem 3. İstənilən dörd vektor xətti asılıdır.

Biz sübutu buraxırıq; bəzi dəyişikliklərlə Teorem 2-nin sübutunu kopyalayır. Gəlin bu teoremin nəticəsini təqdim edək.

Nəticə. İstənilən qeyri-komplanar vektorlar üçün ,,və istənilən vektor
və belə

. (2.11)

Şərh. (Üç ölçülü) fəzada vektorlar üçün xətti asılılıq və müstəqillik anlayışları yuxarıda 1-3-cü teoremlərdən aşağıdakı kimi sadə həndəsi məna daşıyır.

İki xətti asılı vektor olsun və . Bu halda, onlardan biri ikincinin xətti birləşməsidir, yəni ondan sadəcə ədədi amillə fərqlənir (məsələn,
). Həndəsi olaraq bu o deməkdir ki, hər iki vektor ümumi xətt üzərindədir; eyni və ya əks istiqamətə malik ola bilərlər (şək. 2.8 xx).

Əgər iki vektor bir-birinə bucaq altında yerləşirsə (şəkil 2.9 xx), onda bu halda onlardan birini digərini ədədə vurmaqla əldə etmək olmaz - belə vektorlar xətti müstəqildir. Buna görə də iki vektorun xətti müstəqilliyi və o deməkdir ki, bu vektorlar eyni düz xəttə çəkilə bilməz.

Üç vektorun xətti asılılığının və müstəqilliyinin həndəsi mənasını öyrənək.

Vektorlar olsun ,və xətti asılıdır və vektor (müəyyənlik üçün) olsun vektorların xətti birləşməsidir və , yəni vektorları ehtiva edən müstəvidə yerləşir və . Bu o deməkdir ki, vektorlar ,və eyni müstəvidə yatmaq. Əks ifadə də doğrudur: əgər vektorlar ,və eyni müstəvidə yerləşirlər, onda onlar xətti asılı olurlar.

Beləliklə vektorlar ,və yalnız və eyni müstəvidə olmadıqda xətti müstəqildirlər.

3 0 . Əsas anlayışı. Xətti və vektor cəbrinin ən mühüm anlayışlarından biri əsas anlayışıdır. Tərifləri təqdim edirik.

Tərif 1. Bu cütün hansı vektorunun birinci, hansının ikincisi olduğu müəyyən olunarsa, vektor cütü sifarişli adlanır.

Tərif 2. Sifarişli Cüt ,qeyri-kollinear vektorların verilmiş vektorlarla müəyyən edilmiş müstəvidə bazis adlanır.

Teorem 1. İstənilən vektor müstəvidə vektorların bazis sisteminin xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bilər ,:

(2.12)

və bu təmsil unikaldır.

Sübut. Vektorlar olsun və əsas təşkil edir. Sonra istənilən vektor kimi təmsil oluna bilər
.

Unikallığı sübut etmək üçün fərz edək ki, daha bir parçalanma var
. Sonra =0 olur və fərqlərdən ən azı biri sıfırdan fərqlidir. Sonuncu vektorlar deməkdir və xətti asılı, yəni kollinear; bu, onların əsas təşkil etdiyi iddiasına ziddir.

Ancaq sonra parçalanma unikaldır.

Tərif 3. Hansı vektorun birinci, hansının ikinci, hansının üçüncü olduğu göstərilibsə, vektorların üçlüyü sıralı adlanır.

Tərif 4. Qeyri-komplanar vektorların sifarişli üçlüyü fəzada bazis adlanır.

Parçalanma və unikallıq teoremi burada da qüvvədədir.

Teorem 2. İstənilən vektor bazis vektor sisteminin xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bilər ,,:

(2.13)

və bu təmsil unikaldır (teoremin sübutunu buraxırıq).

(2.12) və (2.13) genişlənmələrində kəmiyyətlər vektorun koordinatları adlanır verilmiş əsasda (daha doğrusu, afin koordinatlarda).

Sabit əsas üçün
və
yaza bilersiniz
.

Məsələn, əsas verilirsə
və bunu nəzərə alaraq
, onda bu, təmsilin (parçalanma) olduğunu bildirir.
.

4 0 . Koordinat şəklində vektorlar üzərində xətti əməliyyatlar. Bazanın tətbiqi vektorlar üzərində xətti əməliyyatları ədədlər üzərində adi xətti əməliyyatlarla - bu vektorların koordinatları ilə əvəz etməyə imkan verir.

Bir qədər əsas verilsin
. Aydındır ki, vektorun koordinatlarını bu əsasda təyin etmək vektorun özünü tamamilə müəyyən edir. Aşağıdakı təkliflər var:

a) iki vektor
və
yalnız və yalnız onların müvafiq koordinatları bərabər olduqda bərabərdirlər:

b) vektoru vurarkən
nömrə başına onun koordinatları bu ədədə vurulur:

; (2.15)

c) vektorlar əlavə edilərkən onların müvafiq koordinatları əlavə edilir:

Biz bu xassələrin sübutlarını buraxırıq; Yalnız misal olaraq b) xassəsini sübut edək. bizdə var

==

Şərh. Kosmosda (müstəvidə) sonsuz sayda baza seçmək olar.

Bir əsasdan digərinə keçid nümunəsini veririk, müxtəlif əsaslarda vektorun koordinatları arasında əlaqə qururuq.

Misal 1. Baza sistemində
üç vektor verilir:
,
və
. əsasında ,,vektor parçalanma var. Vektor koordinatlarını tapın əsasında
.

Həll. Genişləndiricilərimiz var:
,
,
; Nəticədə,
=
+2
+
= =
, yəni
əsasında
.

Misal 2. Bəzi əsaslara icazə verin
dörd vektor onların koordinatları ilə verilir:
,
,
və
.

Vektorların əmələ gəlib-gəlmədiyini öyrənin
əsas; müsbət cavab olduqda vektorun parçalanmasını tapın bu əsasda.

Həll. 1) vektorlar xətti müstəqil olduqda əsas təşkil edir. Vektorların xətti kombinasiyasını tərtib edin
(
) və nə üçün tapın
və yox olur:
=0. Bizdə:

=
+
+
=

Koordinat şəklində vektorların bərabərliyini təyin edərək, aşağıdakı (xətti homojen cəbr) tənliklər sistemini əldə edirik:
;
;
, kimin təyinedicisi
=1
, yəni sistemin (yalnız) əhəmiyyətsiz həlli var
. Bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir
və buna görə də onlar əsas təşkil edirlər.

2) vektoru genişləndirin bu əsasda. Bizdə: =
və ya koordinat şəklində.

Koordinat şəklində vektorların bərabərliyinə keçərək xətti qeyri-homogen cəbri tənliklər sistemini əldə edirik:
;
;
. Onu həll etməklə (məsələn, Kramer qaydasına görə) əldə edirik:
,
,
və (
)
. Bizdə vektor parçalanması var əsasında
:=.

5 0 . Vektorun oxa proyeksiyası. Proyeksiya xüsusiyyətləri. Bir az ox olsun l, yəni üzərində seçilmiş istiqaməti olan düz xətt və bəzi vektor olsun .Vektorun proyeksiyası anlayışını müəyyən edin ox başına l.

Tərif. Vektor proyeksiyası ox başına l bu vektorun modulu ilə ox arasındakı bucağın kosinusunun hasili adlanır l və vektor (Şəkil 2.10):

. (2.17)

Bu tərifin nəticəsi bərabər vektorların bərabər proyeksiyalarına (eyni oxda) malik olduğu ifadəsidir.

Proyeksiyaların xüsusiyyətlərini qeyd edin.

1) vektorların cəminin hansısa oxa proyeksiyası l eyni oxdakı vektorların şərtlərinin proyeksiyalarının cəminə bərabərdir:

2) skalyar və vektorun hasilinin proyeksiyası bu skayarın hasilinə və vektorun eyni ox üzrə proyeksiyasına bərabərdir:

=
. (2.19)

Nəticə. Vektorların xətti birləşməsinin ox üzrə proyeksiyası onların proyeksiyalarının xətti kombinasiyasına bərabərdir:

Biz xassələrin sübutlarını buraxırıq.

6 0 . Kosmosda düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi.Baltaların vahid vektorlarında vektorun parçalanması.Əsas kimi üç qarşılıqlı perpendikulyar vahid vektor seçilsin; onlar üçün xüsusi qeyd təqdim edirik
. Onları yerləşdirərək nöqtədən başlayın O, onlar boyunca birbaşa (vahid vektorlarına görə
) koordinat oxları öküz,ay və O z(üzerində müsbət istiqamət seçilmiş, istinad nöqtəsi və uzunluq vahidi olan ox koordinat oxu adlanır).

Tərif. Ümumi mənşəli və ümumi uzunluq vahidi olan üç qarşılıqlı perpendikulyar koordinat oxundan ibarət nizamlı sistem fəzada düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi adlanır.

ox öküz x oxu adlanır, ay- y oxu və O z – aplikasiya oxu.

Bazis baxımından ixtiyari vektorun genişlənməsi ilə məşğul olaq
. Teoremdən (bax §2.2, bənd 3 0 , (2.13)) belə çıxır ki,
əsasında unikal şəkildə genişləndirilə bilər
(burada koordinatları təyin etmək əvəzinə
istifadə edin
):

. (2.21)

(2.21)
vektorun (kartezian düzbucaqlı) koordinatlarıdır . Dekart koordinatlarının mənası aşağıdakı teoremlə müəyyən edilir.

teorem. Kartezyen koordinatları
vektor bu vektorun müvafiq olaraq oxlar üzrə proyeksiyalarıdır öküz,ay və O z.

Sübut. vektoru yerləşdirək koordinat sisteminin mənşəyinə - nöqtəyə O. Sonra onun sonu hansısa məqamla üst-üstə düşəcək
.

Nöqtədən keçək
koordinat müstəvilərinə paralel üç təyyarə Oyz,Oxz və Oksi(Şəkil 2.11 xx). Sonra alırıq:

. (2.22)

(2.22) vektorları
və
vektorun komponentləri adlanır
baltalar boyunca öküz,ay və O z.

keçin
və vektorun yaratdığı bucaqlar müvafiq olaraq göstərilir orts ilə
. Sonra komponentlər üçün aşağıdakı düsturları alırıq:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) bəndlərindən tapırıq:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinatlar
vektor bu vektorun koordinat oxlarına proyeksiyaları var öküz,ay və O z müvafiq olaraq.

Şərh. Nömrələri
vektorun istiqamət kosinusları adlanır .

Vektor modulu (düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalı) düsturla hesablanır:

. (2.24)

(2.23) və (2.24) düsturlarından belə çıxır ki, istiqamət kosinusları düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər:

=
;
=
;
=
. (2.25)

(2.25)-dəki bərabərliklərin hər iki hissəsini yüksəltməklə və nəticədə yaranan bərabərliklərin sol və sağ hissələrini terminlər üzrə əlavə etməklə, düstura çatırıq:

- fəzada hər hansı üç bucaq deyil, yalnız kosinusları əlaqə ilə əlaqəli olanlar (2.26).

7 0 . Radius vektoru və nöqtə koordinatları.Bir vektorun başlanğıcına və sonuna görə təyin edilməsi. Bir tərif təqdim edək.

Tərif. Radius vektoru (ifadə olunur ) başlanğıcı birləşdirən vektor adlanır O bu nöqtə ilə (Şəkil 2.12 xx):

. (2.27)

Kosmosdakı istənilən nöqtə müəyyən bir radius vektoruna uyğun gəlir (və əksinə). Beləliklə, fəzadakı nöqtələr vektor cəbrində radius vektorları ilə təmsil olunur.

Aydındır ki, koordinatlar
xal M onun radius vektorunun proyeksiyalarıdır
koordinat oxları üzrə:

(2.28’)

və beləliklə,

(2.28)

– nöqtənin radius vektoru koordinat oxları üzrə proyeksiyaları bu nöqtənin koordinatlarına bərabər olan vektordur. Bundan iki giriş gəlir:
və
.

Vektor proyeksiyalarının hesablanması üçün düsturların alınması
başlanğıcının koordinatları ilə - nöqtə
və son nöqtə
.

Radius vektorlarını çəkin
və vektor
(şək.2.13). Bunu anlayırıq

=
=(2.29)

– vektorun koordinat vektorlarına proyeksiyaları vektorun sonu və başlanğıcının müvafiq koordinatlarının fərqinə bərabərdir.

8 0 . Dekart koordinatları ilə bağlı bəzi məsələlər.

1) vektor kollinearlıq şərtləri . Teoremdən (bax §2.1, bənd 2 0, düstur (2.7)) vektorların kollinarlığı üçün belə nəticə çıxır ki, və aşağıdakı əlaqənin olması üçün zəruri və kifayətdir: =. Bu vektor bərabərliyindən koordinat şəklində üç bərabərlik əldə edirik: koordinat şəklində vektorların kollinarlığı üçün şərt aşağıdakılardan ibarətdir:

(2.30)

– kollinear vektorlar üçün və onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdir.

2) nöqtələr arasındakı məsafə . Təqdimatdan (2.29) belə çıxır ki, məsafə
nöqtələr arasında
və
düsturla müəyyən edilir

=
=. (2.31)

3) bu baxımdan seqment bölgüsü . Qoy xal verilsin
və
və münasibət
. tapmaq lazımdır
- nöqtə koordinatları M (şək.2.14).

Kollinear vektorların vəziyyətindən əldə edirik:
, harada
və

. (2.32)

(2.32)-dən koordinat şəklində alırıq:

Düsturlardan (2.32 ') seqmentin ortasının koordinatlarını hesablamaq üçün düsturlar əldə etmək olar.
, fərz edirik
:

Şərh. Seqmentləri sayaq
və
onların istiqamətinin mənşədən gələn istiqamətlə üst-üstə düşməsindən asılı olaraq müsbət və ya mənfi
sona qədər kəsin
, ya da uyğun gəlmir. Sonra (2.32) - (2.32") düsturlarından istifadə edərək seqmenti bölən nöqtənin koordinatlarını tapa bilərsiniz.
zahiri olaraq, yəni bölgü nöqtəsi M uzadılması üzərindədir
, onun daxilində deyil. Eyni zamanda, təbii ki,
.

4) sferik səth tənliyi . Sferik səthin - nöqtələrin yerləşməsinin tənliyini tərtib edək
, məsafəyə bərabərdir bəzi sabit mərkəzdən - bir nöqtə
. Aydındır ki, bu vəziyyətdə
və (2.31) düsturu nəzərə alınmaqla

Tənlik (2.33) istənilən sferik səthin tənliyidir.