Əvvəlki dərslərdə çoxhədlini faktorlara ayırmağın iki yolunu nəzərdən keçirdik: ümumi amili mötərizədən çıxarmaq və qruplaşdırma üsulu.

Bu dərsdə çoxhədlini faktorlara ayırmağın başqa üsulunu nəzərdən keçirəcəyik qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə.

Hər düsturun ən azı 12 dəfə yazılmasını tövsiyə edirik. Daha yaxşı yadda saxlamaq üçün kiçik bir fırıldaqçı vərəqdə özünüz üçün bütün qısaldılmış vurma düsturlarını yazın.

Kubların fərqinin düsturunun necə göründüyünü xatırlayın.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Kubların fərqinin formulunu yadda saxlamaq çox asan deyil, ona görə də onu yadda saxlamaq üçün xüsusi bir üsuldan istifadə etməyi məsləhət görürük.

Hər hansı bir qısaldılmış vurma düsturunun da işlədiyini başa düşmək vacibdir arxa tərəf .

(a − b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Məsələni nəzərdən keçirək. Kubların fərqini faktorlara ayırmaq lazımdır.

Qeyd edək ki, “27a 3” “(3a) 3”dür, yəni kubların fərqi düsturu üçün “a” əvəzinə “3a” istifadə edirik.

Kubların fərqi üçün düsturdan istifadə edirik. “a 3” yerinə “27a 3”, düsturdakı kimi “b 3” əvəzinə isə “b 3” var.

Kub fərqinin tərsinə tətbiqi

Başqa bir misalı nəzərdən keçirək. Qısaldılmış vurma düsturundan istifadə edərək çoxhədlilərin hasilini kublar fərqinə çevirmək tələb olunur.

Nəzərə alın ki, “(x − 1) (x 2 + x + 1)" çoxhədlilərinin hasili kublar fərqi üçün düsturun sağ tərəfinə bənzəyir ", yalnız " a " yerinə " x ", Və "b"-nin yeri "1"-dir.

“(x − 1)(x 2 + x + 1)” üçün əks istiqamətdə kublar fərqi düsturundan istifadə edirik.

Daha çətin bir nümunəyə baxaq. Çoxhədlilərin hasilini sadələşdirmək tələb olunur.

Əgər "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" ilə kublar fərqi düsturunun sağ tərəfi ilə müqayisə etsək
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, onda başa düşə bilərsiniz ki, birinci mötərizədə “a” yerinə “y 2”, “b” yerinə isə “1” işarəsi qoyulur.

Qısaldılmış vurma düsturları.

Qısaldılmış vurma üçün düsturların öyrənilməsi: cəminin kvadratı və iki ifadənin fərqinin kvadratı; iki ifadənin kvadratlarının fərqi; cəminin kubu və iki ifadənin fərqinin kubu; iki ifadənin kublarının cəmi və fərqləri.

Nümunələrin həlli zamanı qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi.

İfadələri sadələşdirmək, çoxhədliləri faktorlara ayırmaq, çoxhədləri azaltmaq üçün standart görünüş qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə olunur. Əzbər bilməli olduğunuz qısaldılmış vurma düsturları.

Qoy a, b R. Sonra:

1. İki ifadənin cəminin kvadratı birinci ifadənin kvadratı üstəgəl birinci ifadənin hasilinin iki dəfə və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratı.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. İki ifadənin fərqinin kvadratı birinci ifadənin kvadratı mənfi birinci ifadənin hasilinin iki dəfə və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratı.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratların fərqi iki ifadə bu ifadələrin fərqinin hasilinə və onların cəminə bərabərdir.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. cəmi kub iki ifadənin küpü birinci ifadənin kubu üstəgəl birinci ifadənin üç qatının kvadratı ilə ikinci üstəgəl birinci ifadənin hasilinin ikincinin kvadratı ilə üstəgəl ikinci ifadənin kubunun üç qatına bərabərdir.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. fərq kubu iki ifadənin birinci ifadəsinin kubu birinci ifadənin kvadratının hasilinin üç qatına, ikincisi üstəgəl birinci ifadənin hasilinin üçqatına və ikincinin kvadratına minus ikinci ifadənin kubuna bərabərdir.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kubların cəmi iki ifadə birinci və ikinci ifadələrin cəminin bu ifadələrin fərqinin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kubların fərqi iki ifadənin birinci və ikinci ifadələrinin fərqinin bu ifadələrin cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Nümunələrin həlli zamanı qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi.

Misal 1

Hesablayın

a) İki ifadənin cəminin kvadratının düsturundan istifadə edərək, əldə edirik

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) İki ifadənin kvadrat fərqinin düsturundan istifadə edərək əldə edirik

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Misal 2

Hesablayın

İki ifadənin kvadratlarının fərqi üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik

Misal 3

İfadəni sadələşdirin

(x - y) 2 + (x + y) 2

İki ifadənin cəminin kvadratı və fərqinin kvadratı üçün düsturlardan istifadə edirik

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Bir cədvəldə qısaldılmış vurma düsturları:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Düsturlar və ya azaldılmış vurma qaydaları arifmetikada, daha dəqiq desək, cəbrdə böyük cəbri ifadələrin daha sürətli hesablanması prosesi üçün istifadə olunur. Düsturların özləri bir neçə çoxhədlilərin vurulması üçün cəbrdə mövcud qaydalardan irəli gəlir.

Bu düsturların istifadəsi müxtəlif çeşidlərin kifayət qədər tez həllini təmin edir riyaziyyat problemləri, həm də ifadələri sadələşdirməyə kömək edir. Cəbri çevrilmələrin qaydaları ifadələrlə bəzi manipulyasiyalar aparmağa imkan verir, bunun ardınca sağ tərəfdə olan bərabərliyin sol tərəfindəki ifadəni əldə edə və ya bərabərliyin sağ tərəfini çevirə bilərsiniz (ifadəni əldə etmək üçün bərabər işarədən sonra sol tərəf).

Yaddaşa qısaldılmış vurma üçün istifadə olunan düsturları bilmək rahatdır, çünki onlar tez-tez məsələlər və tənliklərin həllində istifadə olunur. Bu siyahıya daxil olan əsas düsturlar və onların adları aşağıda verilmişdir.

cəmi kvadrat

Cəmin kvadratını hesablamaq üçün birinci hədisin kvadratından, birinci və ikincinin hasilinin iki qatından və ikincinin kvadratından ibarət cəmi tapmaq lazımdır. İfadə şəklində bu qayda aşağıdakı kimi yazılır: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Fərqin kvadratı

Fərqin kvadratını hesablamaq üçün birinci ədədin kvadratından, birinci ədədin ikinciyə hasilinin iki qatından (əks işarə ilə götürülür) və ikinci ədədin kvadratından ibarət cəmi hesablamaq lazımdır. İfadə şəklində bu qayda belə görünür: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Kvadratların fərqi

İki ədədin kvadratı fərqinin düsturu bu ədədlərin cəminin və onların fərqinin hasilinə bərabərdir. İfadə şəklində bu qayda belə görünür: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

cəmi kub

İki hədisin cəminin kubunu hesablamaq üçün birinci hədisin kubundan ibarət olan cəmini hesablamaq lazımdır, birinci hədd və ikincinin kvadratının üçqat hasilini, birinci hədisin üçqat hasilini və ikinci kvadrat və ikinci müddətli kub. İfadə şəklində bu qayda belə görünür: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kubların cəmi

Düstura görə, bu şərtlərin cəminin və onların natamam fərqin kvadratının hasilinə bərabərdir. İfadə şəklində bu qayda belə görünür: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Misal.İki kubun əlavə edilməsi ilə yaranan rəqəmin həcmini hesablamaq lazımdır. Yalnız onların tərəflərinin böyüklüyü məlumdur.

Tərəflərin dəyərləri kiçikdirsə, hesablamalar aparmaq asandır.

Əgər tərəflərin uzunluqları çətin rəqəmlərlə ifadə edilirsə, onda bu halda hesablamaları xeyli asanlaşdıracaq "Kubların cəmi" düsturunu tətbiq etmək daha asandır.

fərq kubu

Kub fərqinin ifadəsi belə səslənir: birinci həddin üçüncü dərəcəsinin cəmi kimi, birinci hədisin kvadratının mənfi hasilini ikinciyə üç dəfə, birinci həddinin hasilini ikincinin kvadratına üçqat artırın. , və ikinci müddətin mənfi kubu. kimi riyazi ifadə fərq kubu belə görünür: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Kubların fərqi

Kubların fərqinin düsturu kubların cəmindən yalnız bir işarə ilə fərqlənir. Beləliklə, kubların fərqi bu ədədlərin fərqinin cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabər olan bir düsturdur. Formada kubların fərqi belə görünür: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Misal. Mavi kubun həcmindən həm də kub olan sarı həcmli rəqəmi çıxdıqdan sonra qalan rəqəmin həcmini hesablamaq lazımdır. Kiçik və böyük kubun yalnız tərəfinin ölçüsü məlumdur.

Tərəflərin dəyərləri kiçikdirsə, hesablamalar olduqca sadədir. Və tərəflərin uzunluqları əhəmiyyətli rəqəmlərlə ifadə edilirsə, hesablamaları çox asanlaşdıracaq "Kublar fərqi" (və ya "Fərq kubu") adlı bir düsturdan istifadə etməyə dəyər.

Kvadratların fərqi

$a^2-b^2$ kvadratlarının fərqi üçün düstur alırıq.

Bunu etmək üçün aşağıdakı qaydanı xatırlayın:

İfadəyə hər hansı bir monomial əlavə edilərsə və eyni monomial çıxılırsa, düzgün eyniliyi alırıq.

İfadəmizə əlavə edib ondan $ab$ monomialını çıxaraq:

Ümumilikdə alırıq:

Yəni iki monomialın kvadratlarının fərqi onların fərqinin və cəminin hasilinə bərabərdir.

Misal 1

$(4x)^2-y^2$ məhsulu kimi ifadə edin

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\sol(2x-y\sağ)(2x+y)\]

Kubların cəmi

$a^3+b^3$ kublarının cəmi üçün düstur çıxarırıq.

Mötərizədə ümumi amilləri çıxaraq:

Mötərizədə $\left(a+b\right)$ çıxaraq:

Ümumilikdə alırıq:

Yəni iki monomialın kublarının cəmi onların cəminin fərqinin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

Misal 2

$(8x)^3+y^3$ məhsul kimi ifadə edin

Bu ifadə aşağıdakı formada yenidən yazıla bilər:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək əldə edirik:

\[((2x))^3+y^3=\sol(2x+y\sağ)(4x^2-2xy+y^2)\]

Kubların fərqi

$a^3-b^3$ kublarının fərqinin düsturunu alırıq.

Bunu etmək üçün yuxarıda göstərilən qaydadan istifadə edəcəyik.

İfadəmizə əlavə edib ondan $a^2b\ və\ (ab)^2$ monomlarını çıxaraq:

Mötərizədə ümumi amilləri çıxaraq:

Mötərizədə $\left(a-b\right)$ çıxaraq:

Ümumilikdə alırıq:

Yəni iki monomialın kublarının fərqi onların fərqinin cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

Misal 3

$(8x)^3-y^3$ məhsulu kimi ifadə edin

Bu ifadə aşağıdakı formada yenidən yazıla bilər:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək əldə edirik:

\[((2x))^3-y^3=\sol(2x-y\sağ)(4x^2+2xy+y^2)\]

Kvadratların fərqi və kubların cəmi və fərqi üçün düsturlardan istifadə üçün tapşırıqların nümunəsi

Misal 4

Çoxalmaq.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Həll:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Kvadratların fərqi düsturunu tətbiq edərək, əldə edirik:

\[((a+5))^2-3^2=\sol(a+5-3\sağ)\sol(a+5+3\sağ)=\sol(a+2\sağ)(a +8)\]

Bu ifadəni formada yazaq:

Kubların düsturunu tətbiq edək:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Bu ifadəni formada yazaq:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\sol(\frac(1)(3)\sağ))^3-x^3\]

Kubların düsturunu tətbiq edək:

\[(\left(\frac(1)(3)\sağ))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\sağ)\]