Qüvvə momenti kimi, maddi nöqtənin impuls anı (impuls momenti) müəyyən edilir

Qüvvə momenti kimi, maddi nöqtənin impuls anı (impuls momenti) müəyyən edilir. O nöqtəsinə nisbətən bucaq impulsu bərabərdir

Z oxuna aid bucaq momentumu komponentdir Lz oxda yerləşən O nöqtəsinə nisbətən L bucaq impulsunun bu oxu boyunca (şək. 97):

burada R z oxuna perpendikulyar olan r radius vektorunun komponentidir, p τ isə z oxundan və m nöqtəsindən keçən müstəviyə perpendikulyar olan p vektorunun komponentidir.

Zamanla bucaq momentumunun dəyişməsini nəyin müəyyən etdiyini öyrənək. Bunun üçün məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə edərək (37.1) t vaxtına görə fərqləndiririk:

(3 7.5 )

Birinci hədd sıfıra bərabərdir, çünki o, eyni istiqamətli vektorların çarpaz məhsuludur. Həqiqətən, vektor v sürət vektoruna bərabərdir və deməli, p=mv vektoru ilə istiqamətdə üst-üstə düşür. Nyutonun ikinci qanununa görə vektor bədənə təsir edən f qüvvəsinə bərabərdir [bax. (22.3)]. Buna görə də (37.5) ifadəsini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

(3 7.6 )

burada M, L bucaq impulsunun alındığı eyni O nöqtəsinə nisbətən götürülən, maddi nöqtəyə tətbiq olunan qüvvələrin momentidir.

(37.6) münasibətindən belə nəticə çıxır ki, hər hansı O nöqtəsinə nisbətən maddi nöqtəyə təsir edən qüvvələrin yaranan momenti sıfıra bərabər olarsa, maddi nöqtənin eyni O nöqtəsinə nisbətən götürülmüş bucaq momenti sabit qalacaqdır.

(37.6) düsturuna daxil edilmiş vektorlardan z oxu boyunca komponentləri götürərək ifadəni alırıq:

(3 7.7 )

Formula (37.6) (22.3) düsturuna bənzəyir. Bu düsturların müqayisəsindən belə nəticə çıxır ki, impulsun zaman törəməsi maddi nöqtəyə təsir edən qüvvəyə bərabər olduğu kimi, impuls momentinin zaman törəməsi də qüvvənin momentinə bərabərdir.

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 1. Maddi nöqtə m Şəkil 96-da nöqtəli xətt boyunca hərəkət etsin. Hərəkət düzxətli olduğundan maddi nöqtənin impulsu yalnız mütləq qiymətdə dəyişir və

burada f qüvvənin moduludur [bu halda f p ilə eyni istiqamətə malikdir (bax. Şəkil 96), belə ki].

Qolu t dəyişməz olaraq qalır. Nəticədə,

(37.6) düsturuna uyğundur (bu halda L yalnız mütləq qiymətdə dəyişir və o, artır, ona görə də ).

Misal 2. Kütləsi m olan maddi nöqtə R radiuslu dairə boyunca hərəkət edir (şək. 98).

O çevrəsinin mərkəzinə nisbətən maddi nöqtənin bucaq momenti mütləq qiymətə bərabərdir:

L=mυR

(3 7.8 )

L vektoru dairənin müstəvisinə perpendikulyardır və nöqtənin hərəkət istiqaməti və L vektoru sağ əlli sistem yaradır.

R-ə bərabər olan qol sabit qaldığından, bucaq momentumu yalnız sürət modulunu dəyişdirməklə dəyişdirilə bilər. Maddi nöqtənin bir dairə boyunca vahid hərəkəti ilə bucaq momentumu həm böyüklük, həm də istiqamətdə sabit qalır. Asanlıqla görmək olar ki, bu halda maddi nöqtəyə təsir edən qüvvənin momenti sıfıra bərabərdir.

Misal 3. Maddi nöqtənin qüvvələrin mərkəzi sahəsindəki hərəkətini nəzərdən keçirək (bax § 26). (37.6) bəndinə uyğun olaraq, qüvvələrin mərkəzinə nisbətən götürülən maddi nöqtənin bucaq impulsu böyüklük və istiqamətdə sabit qalmalıdır (mərkəzi qüvvənin mərkəzə nisbətən anı sıfırdır). Qüvvələr mərkəzindən m nöqtəsinə çəkilmiş r radius vektoru və L vektoru bir-birinə perpendikulyardır. Buna görə də, r vektoru hər zaman eyni müstəvidə, L istiqamətinə perpendikulyar qalır. Nəticə etibarilə, qüvvələrin mərkəzi sahəsində maddi nöqtənin hərəkəti qüvvələrin mərkəzindən keçən müstəvidə uzanan əyri boyunca baş verəcəkdir.

Mərkəzi qüvvələrin işarəsindən (yəni cazibədar və ya itələyici qüvvələr olub-olmamasından), həmçinin ilkin şərtlərdən asılı olaraq traektoriya hiperbola, parabola və ya ellipsdir (xüsusən də dairə). Məsələn, Yer Günəşin yerləşdiyi fokuslardan birində elliptik orbitdə hərəkət edir.

Bucaq impulsunun saxlanması qanunu. N maddi nöqtələr sistemini nəzərdən keçirək. §23-də edildiyi kimi, nöqtələrə təsir edən qüvvələri daxili və xarici olaraq ayırırıq. i-ci maddi nöqtəyə təsir edən daxili qüvvələrin nəticə momenti simvolu ilə, eyni nöqtəyə təsir edən xarici qüvvələrin yaranan momenti M i simvolu ilə işarələnir. Onda i-ci maddi nöqtə üçün (37.6) tənliyi belə görünəcək:

(i=1, 2,…, N)

Bu ifadə i indeksinin qiymətləri ilə bir-birindən fərqlənən N tənliklər toplusudur. Bu tənlikləri əlavə edərək əldə edirik:

maddi nöqtələr sisteminin bucaq impulsu adlanır.

§36-nın sonunda göstərildiyi kimi daxili qüvvələrin momentlərinin cəmi [(37.9) düsturunun sağ tərəfindəki cəmlərin birincisi] sıfıra bərabərdir. Buna görə də xarici qüvvələrin ümumi momentini M simvolu ilə işarə edərək, yaza bilərik

(3 7.11 )

[bu düsturdakı L və M simvolları (37.6) düsturudakı eyni simvollardan fərqli məna daşıyır].

Maddi nöqtələrin qapalı sistemi üçün M=0, bunun nəticəsində ümumi bucaq impulsu L zamandan asılı deyil. Beləliklə, biz bucaq impulsunun saxlanması qanununa gəldik: maddi nöqtələrin qapalı sisteminin bucaq impulsu sabit qalır.

Qeyd edək ki, sistemin cisimlərinə təsir edən xarici qüvvələrin ümumi momenti sıfıra bərabər olduqda, kənar təsirlərə məruz qalan sistem üçün bucaq impulsu sabit qalır.

(37.11) tənliyinin sol və sağ tərəflərindəki vektorlardan, onların z oxu boyunca komponentlərini götürərək münasibətə gəlirik:

(3 7.12 )

Elə ola bilər ki, xarici qüvvələrin O nöqtəsinə nisbətən yaranan momenti sıfırdan fərqlidir (M≠0), lakin M vektorunun M z komponenti hansısa istiqamətdə z sıfıra bərabərdir. Onda (37.12) uyğun olaraq sistemin z oxu boyunca bucaq impulsunun L z komponenti qorunub saxlanılacaqdır.

Formula (2.1 1) görə

burada vektorun z oxuna proyeksiyası, L z isə L vektorunun z oxuna proyeksiyasıdır. . Bərabərliyin hər iki tərəfini ort ilə çarpın e z z oxu və bunu nəzərə alaraq e z t-dən asılı deyil, onu sağ tərəfdə törəmə işarəsi altında təqdim edirik. Nəticədə alırıq:

Lakin vektorun z oxundakı proyeksiyasının e z ilə hasili həmin vektorun z-komponentini verir (132-ci səhifədəki qeydə bax). Nəticədə,

ox boyunca komponent haradadır z vektor.

Onun kütləsi və sürətinin hasilatı var:

Fırlanma hərəkətində impulsun analoqu, maddi nöqtənin ətalət momentinin və onun bucaq sürətinin məhsulu olan bucaq impulsudur:

L \u003d Iω, kq m 2 s -1

Bucaq momentumu vektor kəmiyyətdir, istiqamətdə bucaq sürət vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşür.

Bucaq impulsunun saxlanması qanunu

Xarici qüvvələrin bütün momentlərinin cəmi sıfıra bərabər olarsa, bucaq impulsu qorunur.

Sürət anının aydın istifadəsini skeyterlərin çıxışı zamanı görmək olar, onlar qollarını geniş açıb fırlanmaya başladıqda, tədricən qollarını bağlayaraq, fırlanma sürətini artırırlar. Beləliklə, onlar ətalət anlarını azaldır və fırlanma bucaq sürətini artırırlar. Beləliklə, fırlanmanın ilkin bucaq sürətini ω 0 və onun uzadılmış I 0 və qapalı qolları ilə ətalət anını I 1 bilərək, bucaq momentumunun qorunması qanunundan istifadə edərək, son bucaq sürətini ω 1 tapa bilərsiniz:

I 0 ω 0 = I 1 ω 1 ω 1 = (I 0 ω 0)/I 1

İmpulsun qorunması qanununu tətbiq etməklə, planetlərin və kosmik gəmilərin orbital hərəkətinin parametrlərini sadəcə hesablamaq olar.

“Ümumdünya cazibə qanunu” səhifəsində Ayın radiusu 392.500 km (orta dəyər) olan orbitdə xətti sürətini hesabladıq. Ancaq bildiyiniz kimi, Ay elliptik orbitdə hərəkət edir, perigeydə 356.400 km, apogeydə isə 406.700 km-dir. Əldə edilən biliklərdən istifadə edərək, Ayın perigey və apogeydəki sürətini hesablayırıq.

İlkin məlumatlar:

• r cf = 392500 km;
• v cf = 3600 km/saat;
• r p \u003d 356400 km;
• v p -?;
• r a =406700 km;
• v a -?

İmpulsun saxlanması qanununa görə, aşağıdakı bərabərliklərə sahibik:

I cf ω cf = I p ω p I cf ω cf = I a ω a

Ayın diametri (3476 km) Yerə olan məsafə ilə müqayisədə kiçik olduğundan, biz Ayı maddi nöqtə kimi nəzərdən keçirəcəyik ki, bu da onların dəqiqliyinə əhəmiyyətli dərəcədə təsir etmədən hesablamaları xeyli sadələşdirəcək.

Maddi bir nöqtə üçün ətalət momentləri bərabər olacaq:

I cf \u003d mr cf 2 I p \u003d mr p 2 I a \u003d mr a 2

Bucaq sürətləri:

ω cf = v cf /r cf ω p = v p /r p ω a = v a /r a

İmpulsun saxlanması qanununun düsturunda müvafiq əvəzetmələri həyata keçirəcəyik:

(mr cf 2) (v cf / r cf) = (mr p 2) (v p / r c) (mr cf 2) (v cf / r cf) = (mr a 2) (v a / r a)

Sadə cəbri çevrilmələri yerinə yetirdikdən sonra əldə edirik:

V p \u003d v cf (r cf / r p) v a \u003d v cf (r cf / r a)

Rəqəmsal dəyərləri əvəz edirik:

V p \u003d 3600 392500 / 356400 \u003d 3964 km/saat v a \u003d 3600 392500 / 406700 \u003d 3474 km/saat

Kosmosda cisimlərin hərəkəti ilə bağlı məsələlərin həlli zamanı tez-tez kinetik enerjinin və impulsun saxlanması üçün düsturlardan istifadə olunur. Belə çıxır ki, fırlanan cisimlər üçün də oxşar ifadələr mövcuddur. Bu məqalədə bucaq impulsunun saxlanma qanunu ətraflı nəzərdən keçirilir (uyğun düsturlar da verilir) və məsələnin həlli nümunəsi verilir.

Fırlanma prosesi və bucaq momentumu

Bucaq impulsunun saxlanma qanununun düsturunun nəzərdən keçirilməsinə keçməzdən əvvəl bu fiziki anlayışla tanış olmaq lazımdır. Onu daxil etməyin ən asan yolu aşağıdakı rəqəmdən istifadə etməkdir.

Şəkil göstərir ki, fırlanma oxundan istiqamətlənmiş və ona perpendikulyar olan r¯ vektorunun sonunda m kütləli bəzi maddi nöqtə var. Bu nöqtə v¯ xətti sürəti ilə adlandırılmış radiusun dairəsi boyunca hərəkət edir. Fizikadan məlumdur ki, kütlə ilə xətti sürətin hasilinə impuls (p¯) deyilir. İndi yeni bir dəyər daxil etməyin vaxtıdır:

L¯ = r¯*m*v¯ = r¯*p¯.

Burada L¯ vektor kəmiyyəti bucaq impulsunu təmsil edir. Skayar nota keçmək üçün r¯ və p¯-nin müvafiq qiymətlərinin modullarını, həmçinin onların arasındakı θ bucağını bilmək lazımdır. L üçün skalyar düstur belədir:

L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).

Yuxarıdakı şəkildə θ bucağı düz bucaqdır, ona görə də sadəcə yaza bilərsiniz:

L = r*m*v = r*p.

Yazılı ifadələrdən belə çıxır ki, L üçün vahid kq * m 2 / s olacaqdır.

Bucaq momentum vektorunun istiqaməti

Sözügedən dəyər vektor (çarpaz məhsulun nəticəsi) olduğundan onun müəyyən bir istiqaməti olacaq. İki vektorun hasilinin xassələrindən belə nəticə çıxır ki, onların nəticəsi birinci iki vektorun yaratdığı müstəviyə perpendikulyar üçüncü vektor verəcəkdir. Eyni zamanda o, elə istiqamətlənəcək ki, ucundan baxsanız, bədən saat əqrəbinin əksinə fırlansın.

Bu qaydanın tətbiqinin nəticəsi əvvəlki paraqrafdakı şəkildə göstərilmişdir. L¯-nin yuxarıya doğru yönəldiyini göstərir, çünki bədənə yuxarıdan baxsanız, onun hərəkəti saata qarşı baş verəcəkdir. Məsələləri həll edərkən skalyar nota keçid zamanı istiqaməti nəzərə almaq vacibdir. Beləliklə, nəzərə alınan bucaq momentumu müsbət hesab olunur. Bədən saat əqrəbi istiqamətində fırlanırsa, skalyar düsturda L-dən əvvəl mənfi işarə (-L) olmalıdır.

Xətti impuls analogiyası

Bucaq impulsunun mövzusunu və onun qorunma qanununu nəzərə alaraq, bir riyazi hiylə etmək olar - L¯ ifadəsini r 2-yə vurub bölmək yolu ilə çevirin. Sonra əldə edirsiniz:

L¯ = r*m*v¯*r 2 /r 2 = m*r 2 *v¯/r.

Bu ifadədə sürətin fırlanma radiusuna nisbəti bucaq sürəti adlanır. Adətən yunan əlifbasının ω hərfi ilə işarələnir. Bu dəyər, cismin vahid vaxtda fırlanma orbiti boyunca neçə dərəcə (radian) fırlanacağını göstərir. Öz növbəsində, kütlənin radiusun kvadratına hasilatı da öz adına malik fiziki kəmiyyətdir. Onu I təyin edin və ətalət anını adlandırın.

Nəticədə, bucaq momentumunun düsturu aşağıdakı yazı formasına çevrilir:

L¯ = I *ω¯, burada ω¯= v¯/r və I=m*r 2 .

İfadə göstərir ki, fırlanan maddi nöqtədən ibarət sistem üçün bucaq momentumunun istiqaməti L¯ və bucaq sürəti ω¯ üst-üstə düşür. Kəmiyyət I xüsusi maraq doğurur.Aşağıda daha ətraflı müzakirə olunur.

bədənin ətalət anı

Təqdim olunan dəyər I bədənin fırlanma sürətindəki hər hansı bir dəyişikliyə "müqavimətini" xarakterizə edir. Yəni cismin xətti hərəkəti zamanı cismin ətaləti ilə tam eyni rolu oynayır. Əslində, fiziki nöqteyi-nəzərdən dairəvi hərəkət üçün I xətti hərəkətdəki kütlə ilə eyni deməkdir.

Göründüyü kimi, kütləsi m olan, ondan r məsafədə ox ətrafında fırlanan maddi nöqtə üçün ətalət anını hesablamaq asandır (I = m * r 2), lakin hər hansı digər cisimlər üçün bu hesablama bir qədər mürəkkəb olacaq, çünki bu, inteqralın istifadəsini nəzərdə tutur.

İxtiyari formada olan cisim üçün mən aşağıdakı ifadədən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər:

I = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ V (r 2 *ρ*dV), burada ρ materialın sıxlığıdır.

Yuxarıdakı ifadələr o deməkdir ki, ətalət momentini hesablamaq üçün bütün cismi sonsuz kiçik həcmlərə dV bölmək, fırlanma oxuna olan məsafənin kvadratına və sıxlığa vurub yekunlaşdırmaq lazımdır.

Müxtəlif formalı cisimlər üçün bu problem həll olunur. Aşağıda onlardan bəziləri üçün məlumatlar verilmişdir.

Material nöqtəsi: I = m*r 2 .

Disk və ya silindr: I \u003d 1/2 * m * r 2.

Mərkəzdə sabitlənmiş l uzunluğunda bir çubuq: I \u003d 1/12 * m * l 2.

Top: I \u003d 2/5 * m * r 2.

Ətalət anı cismin fırlanma oxuna nisbətən paylanmış kütləsindən asılıdır: oxdan nə qədər uzaqda kütlənin böyük bir hissəsi varsa, sistem üçün bir o qədər böyük I olacaqdır.

Zamanla bucaq momentumunun dəyişməsi

Fizikada bucaq impulsunu və bucaq impulsunun saxlanma qanununu nəzərə alaraq sadə bir məsələni həll etmək olar: onun zamanla necə və nəyə görə dəyişəcəyini müəyyən etmək. Bunun üçün dt-ə münasibətdə törəmə götürün:

dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.

Burada birinci həd sıfıra bərabərdir, çünki dr¯/dt = v¯ və vektorların hasili v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). İkinci termin aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

dL¯/dt =r*m*a¯, burada sürətlənmə a = dv¯/dt, haradan:

dL¯/dt =r*F¯=M¯.

M¯ kəmiyyəti tərifə görə qüvvə momenti adlanır. F¯ qüvvəsinin fırlanma oxundan r məsafədə yerləşən m kütləli maddi nöqtəyə təsirini xarakterizə edir.

Nəticə ifadəsi nəyi göstərir? L¯ bucaq momentinin dəyişməsinin yalnız M¯ qüvvəsinin momentinin təsiri ilə mümkün olduğunu göstərir. Bu düstur nöqtənin bucaq impulsunun qorunma qanunudur: əgər M¯=0, onda dL¯/dt = 0 və L¯ sabit qiymətdir.

Hansı qüvvələrin momentləri sistemin L¯-ni dəyişə bilər?

M¯ qüvvəsinin iki növü var: xarici və daxili. Birincilər hər hansı xarici qüvvələrin sistemin elementlərinə qüvvə təsiri ilə əlaqələndirilir, ikincisi isə sistemin hissələrinin qarşılıqlı təsiri nəticəsində yaranır.

Nyutonun üçüncü qanununa görə, hər bir təsir qüvvəsi üçün əks reaksiya qüvvəsi vardır. Bu o deməkdir ki, sistem daxilində istənilən qarşılıqlı təsirlərin cəmi həmişə sıfıra bərabərdir, yəni bucaq momentumunun dəyişməsinə təsir göstərə bilməz.

L¯ dəyəri yalnız qüvvələrin xarici momentləri səbəbindən dəyişə bilər.

Bucaq momentumunun saxlanması qanununun düsturu

Qüvvələrin xarici anlarının cəmi sıfıra bərabər olduqda L¯ dəyərinin qorunması ifadəsini yazmaq üçün düstur aşağıdakı formaya malikdir:

I 1 *ω 1 = I 2 *ω 2 .

Sistemin ətalət anında baş verən hər hansı dəyişikliklər mütənasib olaraq bucaq sürətinin dəyişməsində elə əks olunur ki, I * ω məhsulu öz qiymətini dəyişməsin.

Bu ifadənin forması xətti impulsun saxlanma qanununa bənzəyir (I kütlə rolunu, ω isə sürət rolunu oynayır). Bənzətməni daha da inkişaf etdirsək, bu ifadəyə əlavə olaraq, fırlanmanın kinetik enerjisinin qorunmasını əks etdirən başqa bir ifadə yaza bilərik:

E = I *(ω) 2 /2 = const.

Bucaq impulsunun saxlanması qanununun tətbiqi aşağıda qısa şəkildə təsvir olunan bir sıra proses və hadisələrdə özünü tapır.

L¯ kəmiyyətinin qorunma qanunundan istifadə nümunələri

Bucaq momentumunun saxlanması qanununun aşağıdakı nümunələri onların müvafiq fəaliyyət sahələri üçün vacibdir.

• Fırlanma ilə atlamalar etmək lazım olan hər hansı bir idman növü. Məsələn, bir balerina və ya fiqurlu konkisürən əllərini geniş yayaraq və ayağını bədəninin ağırlıq mərkəzindən uzaqlaşdıraraq fırlanan piruettə başlayır. Sonra ayağı dayağa, qolları gövdəyə yaxınlaşdırır və bununla da ətalət anını azaldır (bədənin əksər nöqtələri fırlanma oxuna yaxındır). L dəyərinin qorunma qanununa görə onun fırlanma bucaq sürəti ω artmalıdır.

• Hər hansı bir süni peykin Yerə nisbətən oriyentasiya istiqamətini dəyişdirmək. Bu, aşağıdakı kimi həyata keçirilir: peykdə xüsusi ağır "malova" var, onu elektrik mühərriki idarə edir. Ümumi bucaq momentumu qorunmalıdır, buna görə də peykin özü əks istiqamətdə fırlanmağa başlayır. Kosmosda istənilən oriyentasiya əldə etdikdə volan dayanır, peyk də fırlanmağı dayandırır.
• Ulduzların təkamülü. Ulduz hidrogen yanacağını yandırdıqca cazibə qüvvələri onun plazmasının təzyiqinə hakim olmağa başlayır. Bu fakt ulduzun radiusunun kiçik ölçülərə qədər azalmasına və nəticədə bucaq fırlanma sürətinin güclü artmasına gətirib çıxarır. Məsələn, müəyyən edilmişdir ki, diametri bir neçə kilometr olan neytron ulduzları millisaniyənin kiçik bir hissəsində bir inqilab edərək nəhəng sürətlə fırlanır.

Saxlanma qanunu üzrə məsələnin həlli L¯

Alimlər müəyyən ediblər ki, bir neçə milyard ildən sonra Günəş enerji ehtiyatlarını tükəndirərək “ağ cırtdan”a çevriləcək. Onun ox ətrafında hansı sürətlə fırlanacağını hesablamaq lazımdır.

Əvvəlcə ədəbiyyatdan götürülə bilən tələb olunan miqdarların dəyərlərini yazmalısınız. Beləliklə, indi bu ulduz 696.000 km radiusa malikdir və 25,4 Yer günündə öz oxu ətrafında bir dövrə edir (ekvator bölgəsi üçün dəyər). Təkamül yolunun sonuna gəldikdə, o, 7000 km (Yerin radiusu) ölçüsünə qədər kiçiləcək.

Günəşin mükəmməl bir top olduğunu fərz etsək, bu məsələni həll etmək üçün bucaq impulsunun qorunması qanununun düsturundan istifadə edə bilərik. Günləri saniyəyə və kilometrləri metrə çevirmək lazımdır, belə çıxır:

L = I*ω = 2/5*m*r 1 2 *ω 1 = 2/5*m*r 2 2 *ω 2 .

Haradan gəlir:

ω 2 \u003d (r 1 / r 2) 2 * ω 1 \u003d (696000000 / 7000000) 2 * 2 * 3,1416 / (25,4 * 24 * 3600) \u003d 0,0283 rad.

Burada bucaq sürəti üçün düsturdan istifadə edilmişdir (ω = 2*pi/T, burada T saniyələrlə fırlanma müddətidir). Hesablamaları apararkən Günəşin kütləsinin sabit qaldığı da güman edilirdi (bu doğru deyil, çünki azalacaq. Bununla belə, əldə edilən ω 2 dəyəri aşağı hədddir, yəni reallıqda cırtdan Günəşdir. daha sürətli fırlanacaq).

Tam dönmə 2*pi radian olduğundan, siz alırsınız:

T 2 \u003d 2 * pi / ω 2 \u003d 222 s.

Yəni həyat dövrünün sonunda bu ulduz öz oxu ətrafında bir fırlanmanı 222 saniyədən daha sürətli edəcək.

(kinetik moment, bucaq impulsu, orbital impuls, bucaq impulsu) fırlanma hərəkətinin miqdarını xarakterizə edir. Kütlənin nə qədər fırlanmasından, fırlanma oxu ətrafında necə paylanmasından və fırlanmanın nə qədər sürətlə baş verməsindən asılı olan kəmiyyət.

Maddi nöqtənin bucaq anı O nöqtəsinə münasibətdə vektor məhsulu ilə müəyyən edilir
, burada O nöqtəsindən çəkilmiş radius vektoru, maddi nöqtənin impulsudur.
Sabit oxa nisbətən maddi nöqtənin bucaq momentumu bu oxun ixtiyari O nöqtəsinə nisbətən müəyyən edilmiş bucaq momentum vektorunun bu oxuna proyeksiyasına bərabərdir. Bucaq impulsunun qiyməti O nöqtəsinin oxdakı mövqeyindən asılı deyil z.

Sərt cismin impulsu oxa nisbətən cismi təşkil edən ayrı-ayrı hissəciklərin oxa nisbətən bucaq momentumunun cəmidir. Bunu nəzərə alsaq, əldə edirik
.

Sabit ox ətrafında fırlanan cismə təsir edən qüvvələrin momentlərinin cəmi sıfıra bərabərdirsə, bucaq impulsu qorunur ( ) :
.

Sərt cismin bucaq impulsunun zaman törəməsi cismə təsir edən bütün qüvvələrin momentlərinin cəminə bərabərdir:
.

Bucaq impulsunun saxlanması qanunu : qapalı cisimlər sisteminin istənilən sabit nöqtəyə görə bucaq impulsu dəyişmirəlavə vaxt.
Bu, təbiətin əsas qanunlarından biridir.

Eynilə, ox ətrafında fırlanan cisimlərin qapalı sistemi üçün z:

Buradan və ya.

Sabit fırlanma oxuna nisbətən xarici qüvvələrin momenti eyni şəkildə sıfıra bərabərdirsə, bu oxa nisbətən bucaq momentumu hərəkət zamanı dəyişmir.
Sistemə tətbiq olunan xarici qüvvələrin nəticə momenti sıfır olarsa, bucaq impulsu qapalı olmayan sistemlər üçün də sabitdir.

Bucaq impulsunun saxlanması qanunu sabit bir nöqtədə sabitlənmiş cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyindən (tənlik 4.8) gəlir və aşağıdakı kimidir:

Sabit bir nöqtəyə nisbətən xarici qüvvələrin yaranan anı eyni olaraq sıfıra bərabərdirsə, cismin bu nöqtəyə nisbətən bucaq impulsu zamanla dəyişmir.

Həqiqətən, əgər M= 0, onda dL / dt= 0, haradandır

(4.14)

Başqa sözlə, qapalı sistemin bucaq momentumu zamanla dəyişmir.
Sabit ox ətrafında fırlanan cismin dinamikasının əsas qanunundan z(Tənlik 4.13), aşağıdakı kimidir cismin ox ətrafında bucaq impulsunun saxlanması qanunu:

Bədənin sabit fırlanma oxuna nisbətən xarici qüvvələrin anı eyni olaraq sıfıra bərabərdirsə, bu oxa nisbətən cismin bucaq momentumu hərəkət prosesində dəyişmir, yəni. əgər Mz= 0, onda dLz / dt= 0, haradandır

Bucaq momentumunun saxlanması qanunu təbiətin əsas qanunudur. Bu qanunun etibarlılığı məkanın simmetriyasının xüsusiyyəti ilə müəyyən edilir - onun izotropiyası, yəni. istinad sisteminin koordinat oxlarının istiqamətinin seçilməsinə münasibətdə fiziki qanunların dəyişməzliyi ilə.

Maddi nöqtənin impulsunun dəyişməsi ona qüvvənin təsiri nəticəsində baş verir.

(1.7) tənliyini vektorial olaraq solda radius vektoruna vuraraq əldə edirik

Vektor haradadır çağırdımaddi nöqtənin bucaq momentumu , və vektor - Bir anlıq güc. Maddi nöqtənin bucaq impulsunun dəyişməsi ona təsir edən qüvvənin momentindən yaranır.

Hər biri maddi nöqtə sayıla bilən bir neçə cisim təşkil edirMaddi nöqtələr sistemi. Hər bir maddi nöqtə üçün tənlik yazmaq olar Nyutonun ikinci qanunu

(1.13)

(1.13) tənliyində indekslər maddi nöqtənin sayını verir. Maddi nöqtəyə təsir edən qüvvələr xarici və daxili bölünür. Xarici qüvvələrdir maddi nöqtələr sisteminə daxil olmayan cisimlərdən hərəkət edən qüvvələr. Daxili qüvvələrdir maddi nöqtələr sistemini təşkil edən digər cisimlərdən maddi nöqtəyə təsir edən qüvvələr. Budur, maddi nöqtəyə təsir edən qüvvə, indeksi rəqəmlə maddi nöqtənin tərəfdəndir.

(1.13) tənliklərindən bir neçə mühüm qanun gəlir. Onları sistemin bütün maddi nöqtələri üzərində cəmləsək, alırıq

(1.14) ,

Dəyər (1.15)

O, maddi nöqtələr sisteminin impulsu adlanır. Maddi nöqtələr sisteminin impulsu ayrı-ayrı maddi nöqtələrin impulslarının cəminə bərabərdir. (1.14) tənliyində daxili qüvvələr üçün ikiqat cəmi yox olur. Hər bir cüt maddi nöqtə üçün ona uyğun olaraq qüvvələr daxildir Nyutonun üçüncü qanunu bərabərdir və əks istiqamətdədir. Hər bir cüt üçün bu qüvvələrin vektor cəmi yox olur. Buna görə də bütün qüvvələr üçün cəmi sıfıra bərabərdir.

Nəticədə alırıq:

(1.16)

(1.16) tənliyi maddi nöqtələr sisteminin impulsunun dəyişmə qanununu ifadə edir. Maddi nöqtələr sisteminin impulsunun dəyişməsinə yalnız xarici qüvvələr səbəb olur. Əgər sistemə xarici qüvvələr təsir etmirsə, onda maddi nöqtələr sisteminin impulsu saxlanılır. Xarici qüvvələrin təsirinə məruz qalmayan maddi nöqtələr sistemi təcrid olunmuş və ya qapalı maddi nöqtələr sistemi adlanır.

Eynilə, hər bir maddi nöqtə üçün impulslar momentinin tənlikləri (1.8) yazılır

(1.17)

Maddi nöqtələr sisteminin bütün maddi nöqtələri üzərində (1.17) tənlikləri cəmlədikdə, daxili qüvvələrin momentlərinin cəmi yox olur və belə çıxır. Maddi nöqtələr sisteminin impuls momentinin dəyişmə qanunu:

(1.18)

Təyinatların tətbiq olunduğu yerlərdə:- maddi nöqtələr sisteminin impuls momenti, - xarici qüvvələrin momenti. Maddi nöqtələr sisteminin bucaq impulsunun dəyişməsi sistemə təsir edən xarici qüvvələrin təsiri ilə baş verir. Maddi nöqtələrin qapalı sistemi üçün bucaq momentumu saxlanılır

.

Radius vektoru ilə qüvvənin vektor məhsuluna bərabər vektor,
qüvvə momenti adlanır.

Maddi nöqtənin bucaq anı O nöqtəsinə münasibətdə vektor məhsulu ilə müəyyən edilir
, burada O nöqtəsindən çəkilmiş radius vektoru, maddi nöqtənin impulsudur.
Sabit oxa nisbətən maddi nöqtənin bucaq momentumu bu oxun ixtiyari O nöqtəsinə nisbətən müəyyən edilmiş bucaq momentum vektorunun bu oxuna proyeksiyasına bərabərdir. Bucaq impulsunun qiyməti O nöqtəsinin oxdakı mövqeyindən asılı deyil z.

Sərt cismin impulsu oxa nisbətən cismi təşkil edən ayrı-ayrı hissəciklərin oxa nisbətən bucaq momentumunun cəmidir. Bunu nəzərə alsaq, əldə edirik
.

Sabit ox ətrafında fırlanan cismə təsir edən qüvvələrin momentlərinin cəmi sıfıra bərabərdirsə, bucaq impulsu qorunur ( bucaq impulsunun saxlanması qanunu):
.

Sərt cismin bucaq impulsunun zaman törəməsi cismə təsir edən bütün qüvvələrin momentlərinin cəminə bərabərdir:
.

Maddi nöqtənin radius-vektorunun vektor məhsulu və onun impulsu: bucaq momenti adlanır, bu nöqtə O nöqtəsinə nisbətən (şək. 5.4)

Vektor bəzən maddi nöqtənin bucaq momentumu da adlanır. O, vektorlar vasitəsilə çəkilmiş müstəviyə perpendikulyar fırlanma oxu boyunca istiqamətlənir və onlarla vektorların düz üçlüyünü təşkil edir (vektorun yuxarısından müşahidə edildikdə, k-dan ən qısa məsafədə fırlanmanın baş verdiyini görmək olar. saat yönünün əksinə).

Sistemin bütün maddi nöqtələrinin bucaq impulsunun vektor cəminə sistemin O nöqtəsinə nisbətən bucaq impulsu (momentum) deyilir:

vektorları qarşılıqlı perpendikulyardır və cismin fırlanma oxuna perpendikulyar müstəvidə yerləşir. Buna görə də . Xətti və bucaq kəmiyyətləri arasındakı əlaqəni nəzərə alaraq

və vektorla eyni istiqamətdə bədənin fırlanma oxu boyunca yönəldilir.

Bu cür.

Bədənin fırlanma oxuna görə bucaq momenti

(5.9)

Buna görə də cismin fırlanma oxuna qarşı bucaq impulsu cismin eyni ox ətrafında ətalət momenti ilə bədənin bu ox ətrafında fırlanma bucaq sürətinin hasilinə bərabərdir.

Sual №16

Cismlərin hərəkətinin üç əsas qanunu:

1-ci qanun. Hər bir bədən öz istirahət və ya vahid vəziyyətini saxlayır və

Tətbiq olunan qüvvələrin səbəb olduğu qədər və o qədər də düzxətli hərəkət

bu vəziyyəti dəyişdirin. Bu qanun ətalət qanunu adlanır. Əgər m kütlədirsə

bədən və v - onun sürəti, onda ətalət qanunu riyazi olaraq təmsil oluna bilər

aşağıdakı formada:

v = 0 olarsa, o zaman bədən istirahətdədir; əgər v = const, onda bədən hərəkət edir

vahid və düz. mv hasilinə cismin impulsu deyilir.

Bir cismin impulsunun dəyişməsi yalnız onun nəticəsində baş verə bilər

digər orqanlarla qarşılıqlı əlaqə, yəni. qüvvənin təsiri altında.

2-ci qanun. İmpulsun dəyişməsi tətbiq olunan hərəkətverici qüvvəyə mütənasibdir

qüvvədir və bu qüvvənin hərəkət etdiyi düz xətt istiqamətində baş verir.

İkinci qanun riyazi olaraq belə yazılır: F = ma

yəni cismin kütləsi m və onun a sürətlənməsinin hasilatı təsir edən F qüvvəsinə bərabərdir.

(2.14) tənliyi maddi nöqtənin dinamikasının əsas qanunu adlanır.

3-cü qanun. Bir hərəkət həmişə bərabər və əks reaksiya verir.

Başqa sözlə, iki cismin bir-birinə təsiri həmişə bərabərdir və içəriyə yönəldilmişdir

əks tərəflər.

Kütləsi m1 olan bəzi cisim kütləsi m2 olan başqa bir cisimlə qarşılıqlı əlaqədə olarsa,

onda birinci cisim ikinci cismin impulsunu dəyişir m2v2 , yox və özü

ondan m1v1 impulsunda eyni dəyişikliyə məruz qalır, lakin

yalnız geriyə, yəni.

Nyutonun I qanunu

Elə istinad sistemləri var ki, onlara ətalət deyilir, cisimlər digər cisimlərdən təsirlənmədikdə və ya digər qüvvələrin hərəkəti kompensasiya olunarsa, onlara münasibətdə sürətlərini dəyişməz saxlayırlar.

Nyutonun II qanunu

Bir cismin sürətlənməsi cismə tətbiq olunan qüvvələrin nəticəsi ilə düz mütənasibdir və kütləsi ilə tərs mütənasibdir:

Nyutonun üçüncü qanunu

İki cismin bir-birinə təsir etdiyi qüvvələr böyüklük baxımından bərabərdir və istiqamətləri əksdir.

Sual №17

impulsun dəyişməsi teoremi - müəyyən zaman müddətində sistemin impulsunun dəyişməsi eyni vaxt ərzində xarici qüvvələr sisteminə təsir edən impulsların cəminə bərabərdir.

Kütləvi Hərəkət Mərkəzi Teoremi

sistem müvafiq kütlələri olan n nöqtədən ibarətdir .

Hər bir nöqtə üçün dinamikanın əsas qanununu yazırıq

Bu sistemin diferensial hərəkət tənlikləri sistemi, çünki sistemin istənilən k nöqtəsi üçün

(16.1.1) tənlikləri koordinat oxlarına proyeksiya edərək, ümumi halda inteqrasiyası çətin olan 3n tənlik əldə edirik,

Buna görə də (16.1.1) tənliklərin ilkin olduğu ümumi dinamika teoremlərindən adətən istifadə olunur.

Sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem: diferensial formada: dT = , , nöqtəyə təsir edən xarici və daxili qüvvələrin elementar işləridir, son formada:

T 2 - T 1 \u003d. Dəyişməz sistem və T 2 - T 1 = üçün, yəni. müəyyən yerdəyişmə zamanı sərt cismin kinetik enerjisinin dəyişməsi bu yerdəyişmə zamanı cismə təsir edən xarici qüvvələrin işinin cəminə bərabərdir. Sistemin hər hansı mümkün yerdəyişməsi ilə bağlı rabitələrin reaksiyalarının işlərinin cəmi sıfıra bərabərdirsə, belə bağlar ideal adlanır. Səmərəlilik əmsalı (səmərəlilik):< 1, А пол.сопр. – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А затр = А пол.сопр. + А вр.сопр. – затраченная работа, А вр.сопр. -– работа вредных сил сопротивления (силы трения, сопротивления воздуха и т.п.).

h \u003d N mash / N dv, N mash - maşının faydalı gücü, N dv - onu hərəkətə gətirən mühərrikin gücü.

Sual №18

Qaliley çevrilmələri vakuumda və məhdud həcmdə işıq sürəti ilə müqayisədə kiçik sürətlər üçün Lorentz çevrilmələrinin məhdudlaşdırıcı (xüsusi) halıdır. Günəş sistemindəki planetlərin sürətləri sırasına qədər (və hətta daha yüksək) sürətlər üçün Qalileonun çevrilmələri çox yüksək dəqiqliklə təxminən düzgündür.

Əgər ISO (inertial istinad sistemi) S ISO-ya nisbətən hərəkət edir S" ox boyunca sabit bir sürətlə və başlanğıclar hər iki sistemdə başlanğıc zamanda üst-üstə düşür, onda Qaliley çevrilmələri formaya malikdir:

və ya vektor qeydindən istifadə edərək,

(son düstur koordinat oxlarının istənilən istiqaməti üçün doğru olaraq qalır).

§ Gördüyünüz kimi, bunlar yalnız mənşəyin yerdəyişməsi üçün düsturlardır, zamandan xətti asılı olaraq (bütün istinad çərçivələri üçün eyni olduğu güman edilir).

Bu çevrilmələrdən nöqtənin sürətləri və hər iki istinad çərçivəsindəki sürətləri arasındakı əlaqəni izləyir:

§ Qaliley çevrilmələri aşağı sürətlər (işıq sürətindən çox az) üçün Lorentz çevrilmələrinin məhdudlaşdırıcı (xüsusi) halıdır.

dünya yayımı

Yüz ildən çox əvvəl, tamamilə hərəkətsiz bir məkan fərziyyəsi ortaya çıxdı - dünya efiri. Efir bütün maddəni və vakuumu tamamilə dolduran bir növ homojen mühit kimi müəyyən edilmişdir. Bunun üçün onu "dünya efiri" adlandırdılar. Bu maddənin nə olduğu və xüsusiyyətlərinin nə olduğu müəmmadır, lakin işığın efirdə havadakı səslə eyni şəkildə hərəkət etdiyi məlum idi. Yəni dalğa şəklində. İşıq dünya efirinin vibrasiyası hesab olunurdu. Böyük hüceyrələrə malik incə bir torun suyun içində hərəkət etdiyi kimi, maddənin də efirdə onu narahat etmədən hərəkət etdiyi də elan edilmişdir. Beləliklə, maddə və efir ciddi şəkildə ayrıldı.

Mikelson təcrübəsi

michelson təcrübəsi, Yerin hərəkətinin işıq sürətinə təsirini ölçmək üçün ilk dəfə 1881-ci ildə A.Mişelson tərəfindən yaradılmış təcrübə. Mənfi nəticə M. haqqında. nisbilik nəzəriyyəsinin əsasını təşkil edən əsas eksperimental faktlardan biri idi.

19-cu əsrin sonlarında fizikada işığın hansısa universal dünya mühitində - efirdə yayıldığı güman edilirdi. Eyni zamanda, bir sıra hadisələr (işığın aberrasiyası, Fizeau təcrübəsi) efirin hərəkətsiz olduğu və ya hərəkəti zamanı cisimlər tərəfindən qismən daşındığı qənaətinə gəldi. Sabit efir fərziyyəsinə görə, Yer efirdən keçərkən "efir küləyi"ni müşahidə etmək olar və işığın Yerə nisbətən sürəti işıq şüasının onun yerdəki hərəkət istiqamətinə nisbətən istiqamətindən asılı olmalıdır. efir.

M. o. bərabər qolları olan Michelson interferometrindən istifadə etməklə həyata keçirilmişdir; bir qolu Yerin hərəkəti boyunca, digəri isə ona perpendikulyar olaraq yönəldilmişdir. Bütün cihaz 90 ° fırlandıqda, şüaların yolundakı fərq işarəni dəyişməlidir, bunun nəticəsində müdaxilə nümunəsi dəyişməlidir. Hesablama göstərir ki, müdaxilə saçağının eninin fraksiyaları ilə ifadə olunan belə bir sürüşmə D = ( 2l/ l)(v 2 / c 2), burada l interferometrin qolunun uzunluğu, l - tətbiq olunan işığın dalğa uzunluğu (sarı xətt Na), -dan - havada işığın sürəti, v Yerin orbital sürətidir. Dəyərdən bəri Yerin orbital hərəkəti üçün v/c təxminən 10 -4 , onda gözlənilən yerdəyişmə çox kiçik və birinci M. o. cəmi 0,04 idi. Buna baxmayaraq, artıq bu təcrübə əsasında Mişelson sabit efir fərziyyəsinin yanlış olduğu qənaətinə gəldi.

Gələcəkdə M. o. dəfələrlə təkrarlanıb. Mişelson və E.V.Morlinin (1885-87) təcrübələrində interferometr civədə üzən kütləvi lövhəyə (hamar fırlanma üçün) quraşdırılmışdır. Güzgülərdən çoxlu əks olunmasının köməyi ilə optik yolun uzunluğu 11-ə qədər artırıldı m. Bu halda gözlənilən yerdəyişmə D " 0.4. Ölçmələr M. o-nun mənfi nəticəsini təsdiqlədi. 1958-ci ildə sabit efirin olmaması Kolumbiya Universitetində (ABŞ) bir daha nümayiş etdirildi. İki eyni kvant generatorundan şüalanma şüaları. mikrodalğalı sobalar (maserlər) əks istiqamətlərə - Yerin hərəkəti boyunca və əksinə - istiqamətləndirilmiş və onların tezliklərini müqayisə etmişlər. ölçmə dəqiqliyindən demək olar ki, 500 dəfə böyük olan bu tezliklərdə fərqin görünüşünə.

Klassik fizikada M. o.-nun mənfi nəticəsi. hərəkət edən mühitin elektrodinamikasının digər hadisələri ilə başa düşülə və razılaşdırıla bilmədi. Nisbilik nəzəriyyəsində bütün inertial istinad sistemləri üçün işığın sürətinin sabitliyi postulat kimi qəbul edilir və bu, böyük təcrübələr toplusu ilə təsdiqlənir.

Nisbilik nəzəriyyəsinin postulatları

1) Bütün təbiət qanunları inersial istinad sistemlərində eynidir

2) İşığın vakuumdakı sürəti bütün inersial istinad sistemlərində eynidir

Lorentsin çevrilməsi, xüsusi nisbilik nəzəriyyəsində - bir inertial istinad sistemindən digərinə keçid zamanı hadisənin koordinatlarının və vaxtının çevrilməsi. Onlar 1904-cü ildə X. A. Lorentz tərəfindən klassik mikroskopik elektrodinamika tənliklərinin (Lorentz-Maksvel tənlikləri) öz formasını saxladığı çevrilmələr kimi əldə edilmişdir. 1905-ci ildə A. Eynşteyn onları xüsusi nisbilik nəzəriyyəsinin əsasını təşkil edən iki postulat əsasında çıxardı: bütün inertial istinad sistemlərinin bərabərliyi və vakuumda işığın yayılma sürətinin işıq mənbəyinin hərəkətindən müstəqilliyi.

Eyni düz xətt üzərində yerləşən və müvafiq olaraq digər oxlara (y və y’, z və z’) paralel olan x və x’ oxları olan å və å’ iki inertial istinad sisteminin xüsusi halını nəzərdən keçirək. Əgər å’ sistemi å-a nisbətən x oxu istiqamətində sabit u sürətlə hərəkət edirsə, å-dan å’-yə keçiddə L.p. formaya malikdir:

,

harada -dan- vakuumda işığın sürəti (xırdalanmış koordinatlar å' sisteminə, təyin olunmamış koordinatlar isə å-yə aiddir).

L. p. bir sıra mühüm nəticələrə gətirib çıxarır, o cümlədən cisimlərin xətti ölçülərinin və zaman intervallarının seçilmiş istinad sistemindən asılılığı, nisbilik nəzəriyyəsində sürətlərin əlavə edilməsi qanunu və s. işıq sürəti ilə müqayisədə kiçikdir (u<<c), L. p. Qaliley çevrilmələrinə keçin (bax: Qaliley nisbilik prinsipi) , klassik Nyuton mexanikasında ədalətli

Oxşar məlumat.