Mühazirə: Funksiyanın törəməsi anlayışı, törəmənin həndəsi mənası

Funksiyanın törəməsi anlayışı

Bəzi f(x) funksiyasını nəzərdən keçirək, bu funksiya bütün nəzərdən keçirmə intervalı boyunca davamlı olacaqdır. Baxılan intervalda biz x 0 nöqtəsini, həmçinin bu nöqtədə funksiyanın qiymətini seçirik.

Beləliklə, x 0 nöqtəmizi, eləcə də (x 0 + ∆x) nöqtəsini qeyd etdiyimiz qrafikə baxaq. Xatırladaq ki, ∆x seçilmiş iki nöqtə arasındakı məsafədir (fərq).

Həm də başa düşməyə dəyər ki, hər bir x y funksiyasının öz dəyərinə uyğundur.

X 0 və (x 0 + ∆x) nöqtəsindəki funksiyanın qiymətləri arasındakı fərq bu funksiyanın artımı adlanır: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

Qrafikdə mövcud olan əlavə məlumatlara diqqət yetirək - bu KL adlanan sekant, həmçinin KN və LN intervalları ilə yaratdığı üçbucaqdır.

Sekantın yerləşdiyi bucaq onun meyl bucağı adlanır və α ilə işarələnir. Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, LKN bucağının dərəcə ölçüsü də α-ya bərabərdir.

İndi isə düzbucaqlı üçbucaqdakı münasibətləri yada salaq tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Yəni sekantın yamacının tangensi funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinə bərabərdir.

Bir zamanda, törəmə funksiyanın artımının sonsuz kiçik intervallarda arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Törəmə müəyyən bir sahədə funksiyanın dəyişmə sürətini təyin edir.

Törəmənin həndəsi mənası

Əgər hansısa bir nöqtədə hər hansı bir funksiyanın törəməsini tapsanız, o zaman verilmiş cərəyanda qrafikə toxunanın OX oxuna nisbətən yerləşəcəyi bucağı müəyyən edə bilərsiniz. Qrafikə diqqət yetirin - tangensin meyl açısı φ hərfi ilə işarələnir və düz xətt tənliyində k əmsalı ilə müəyyən edilir: y \u003d kx + b.

Yəni belə nəticəyə gəlmək olar ki, törəmənin həndəsi mənası funksiyanın hansısa nöqtəsindəki tangensin yamacının tangensidir.

Həndəsə, mexanika, fizika və digər bilik sahələrinin müxtəlif məsələlərini həll edərkən, verilmiş funksiyadan eyni analitik prosesdən istifadə etmək zərurəti yarandı. y=f(x) adlı yeni funksiya əldə edin törəmə funksiyası(və ya sadəcə olaraq f(x) funksiyasının törəməsi) və simvollaşdırılır

Verilmiş funksiyanın həyata keçirdiyi proses f(x) yeni funksiya əldə edin f"(x), çağırdı fərqləndirmə və aşağıdakı üç addımdan ibarətdir: 1) arqumenti veririk x artım  x və funksiyanın müvafiq artımını təyin edin  y = f(x+ x)-f(x); 2) əlaqə qurur

3) saymaq x daimi və  x0, tapırıq
ilə işarələnmişdir f"(x), sanki yaranan funksiyanın yalnız qiymətdən asılı olduğunu vurğulayır x, biz limitə keçirik. Tərif: Törəmə y "=f" (x) verilmiş y=f(x) funksiyası x verilmişdir funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, bir şərtlə ki, arqumentin artımı sıfıra meyllidir, əgər təbii ki, bu hədd mövcuddursa, yəni. sonlu. Bu minvalla,
, və ya

Nəzərə alın ki, bəzi dəyər üçün x, məsələn, nə vaxt x=a, münasibət
saat  x0 sonlu həddə meyl göstərmir, onda bu halda funksiyanı deyirik f(x) saat x=a(və ya nöqtədə x=a) törəməsi yoxdur və ya nöqtədə diferensiallaşmır x=a.

2. Törəmənin həndəsi mənası.

x 0 nöqtəsinin yaxınlığında fərqlənə bilən y \u003d f (x) funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirin.

f(x)

Funksiya qrafikinin nöqtəsindən - A (x 0, f (x 0)) nöqtəsindən keçən və qrafiki B nöqtəsində (x; f (x)) kəsən ixtiyari xətti nəzərdən keçirək. Belə düz xəttə (AB) sekant deyilir. ∆ABC-dən: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

AC-dən bəri || Ox, onda ALO = BAC = β (paralel uyğun olaraq). Lakin ALO AB sekantının Ox oxunun müsbət istiqamətinə meyl bucağıdır. Deməli, tgβ = k AB düz xəttinin mailliyidir.

İndi biz ∆x-i azaldacağıq, yəni. ∆x→ 0. Bu zaman B nöqtəsi qrafikə uyğun olaraq A nöqtəsinə yaxınlaşacaq və AB sekantı fırlanacaq. AB sekantının ∆x → 0 nöqtəsində məhdudlaşdırıcı mövqeyi A nöqtəsində y \u003d f (x) funksiyasının qrafikinə tangens adlanan düz xətt (a) olacaqdır.

Əgər tgβ =∆y/∆x bərabərliyində ∆х → 0 kimi limitə keçsək, onda alarıq.
və ya tg \u003d f "(x 0), çünki
-ox oxunun müsbət istiqamətinə tangensin meyl bucağı
, törəmənin tərifinə görə. Lakin tg \u003d k tangensin yamacıdır, yəni k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Beləliklə, törəmənin həndəsi mənası aşağıdakı kimidir:

X nöqtəsində funksiyanın törəməsi 0 absis x nöqtəsində çəkilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyinə bərabərdir. 0 .

3. Törəmənin fiziki mənası.

Bir nöqtənin düz xətt boyunca hərəkətini nəzərdən keçirək. Nöqtənin istənilən andakı koordinatı x(t) verilsin. Məlumdur ki, (fizika kursundan) müəyyən vaxt ərzində orta sürət bu müddət ərzində qət edilən məsafənin zamana nisbətinə bərabərdir, yəni.

Vav = ∆x/∆t. Son bərabərlikdə həddinə ∆t → 0 kimi keçək.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 zamanında ani sürət.

və lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (törəmə tərifi ilə).

Beləliklə, (t) = x"(t).

Törəmənin fiziki mənası belədir: funksiyanın törəməsiy = f(x) nöqtəsindəx 0 funksiyanın dəyişmə sürətidirf(x) nöqtəsindəx 0

Törəmə fizikada koordinatların zamana görə məlum funksiyasından sürəti, zamana görə sürətin məlum funksiyasından sürəti tapmaq üçün istifadə olunur.

 (t) \u003d x "(t) - sürət,

a(f) = "(t) - sürətlənmə və ya

Maddi nöqtənin dairə boyunca hərəkət qanunu məlumdursa, fırlanma hərəkəti zamanı bucaq sürətini və bucaq sürətini tapmaq olar:

φ = φ(t) - zamanla bucağın dəyişməsi,

ω \u003d φ "(t) - bucaq sürəti,

ε = φ"(t) - açısal sürətlənmə və ya ε = φ"(t).

Qeyri-homogen çubuqun kütləsi üçün paylanma qanunu məlumdursa, qeyri-homogen çubuqun xətti sıxlığını tapmaq olar:

m \u003d m (x) - kütlə,

x  , l - çubuq uzunluğu,

p \u003d m "(x) - xətti sıxlıq.

Törəmənin köməyi ilə elastiklik və harmonik vibrasiya nəzəriyyəsindən məsələlər həll edilir. Bəli, Hooke qanununa görə

F = -kx, x – dəyişən koordinat, k – yayın elastiklik əmsalı. ω 2 \u003d k / m qoyaraq, yay sarkacının diferensial tənliyini əldə edirik x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

burada ω = √k/√m rəqs tezliyidir (l/c), k yay sürətidir (H/m).

y "+ ω 2 y \u003d 0 formalı tənliyə harmonik rəqslərin tənliyi (mexaniki, elektrik, elektromaqnit) deyilir. Belə tənliklərin həlli funksiyadır.

y = Asin(ωt + φ 0) və ya y = Acos(ωt + φ 0), burada

A - salınım amplitudası, ω - siklik tezlik,

φ 0 - ilkin mərhələ.

Törəmənin həndəsi qiymətini tapmaq üçün y = f(x) funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirək. Koordinatları (x, y) olan ixtiyari M nöqtəsini və ona yaxın N nöqtəsini (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) götürün. $\overline(M_(1) M)$ və $\overline(N_(1) N)$ ordinatlarını çəkək və M nöqtəsindən OX oxuna paralel xətt çəkək.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ nisbəti OX oxunun müsbət istiqaməti ilə MN sekantının yaratdığı $\alpha $1 bucağının tangensidir. $\Delta $x sıfıra meyl etdiyi üçün N nöqtəsi M-yə yaxınlaşacaq və M nöqtəsində əyriyə MT tangensi MN sekantasının məhdudlaşdırıcı mövqeyinə çevriləcək.Beləliklə, f`(x) törəməsi tangensə bərabərdir. OX oxuna müsbət istiqamət olan M (x, y) nöqtəsində əyri tangensin yaratdığı $\alpha $ bucağının - tangensin mailliyi (şək. 1).

Şəkil 1. Funksiyanın qrafiki

Düsturlardan (1) istifadə edərək dəyərləri hesablayarkən işarələrdə səhv etməmək vacibdir, çünki artım mənfi ola bilər.

Əyri üzərində yerləşən N nöqtəsi M-ə istənilən tərəfdən yaxınlaşa bilər. Belə ki, Şəkil 1-də tangensə əks istiqamət verilmişdirsə, $\alpha $ bucağı $\pi $ dəyişəcək, bu da bucağın tangensinə və müvafiq olaraq yamaca əhəmiyyətli dərəcədə təsir edəcəkdir.

Nəticə

Buradan belə nəticə çıxır ki, törəmənin mövcudluğu y = f(x) əyrisinə toxunmanın mövcudluğu ilə bağlıdır və yamac -- tg $\alpha $ = f`(x) sonludur. Buna görə də tangens OY oxuna paralel olmamalıdır, əks halda $\alpha $ = $\pi $/2 və bucağın tangensi sonsuz olacaqdır.

Bəzi nöqtələrdə davamlı əyrinin tangensi olmaya bilər və ya OY oxuna paralel toxunan ola bilər (şək. 2). Onda funksiyanın bu qiymətlərdə törəməsi ola bilməz. Funksiya əyrisində istənilən sayda belə nöqtələr ola bilər.

Şəkil 2. Əyrinin müstəsna nöqtələri

Şəkil 2-i nəzərdən keçirək. Qoy $\Delta $x mənfi və ya müsbət qiymətlərdən sıfıra meyllidir:

\[\Delta x\to -0\begin(massiv)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(massiv)\]

Əgər bu halda münasibətlər (1) sonlu keçidə malikdirsə, o, aşağıdakı kimi işarələnir:

Birinci halda, törəmə solda, ikincidə, sağda törəmə.

Limitin mövcudluğu sol və sağ törəmələrin ekvivalentliyindən və bərabərliyindən danışır:

Əgər sol və sağ törəmələr bərabər deyilsə, onda bu nöqtədə OY-yə paralel olmayan tangenslər var (M1 nöqtəsi, şək. 2). M2, M3 nöqtələrində münasibətlər (1) sonsuzluğa meyllidir.

M2-nin solunda N nöqtəsi üçün $\Delta $x $

$M_2$-ın sağında, $\Delta $x $>$ 0, lakin ifadə də f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

$M_3$ nöqtəsi üçün solda $\Delta $x $$ 0 və f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, yəni. (1) ifadələri həm solda, həm də sağda müsbətdir və $\Delta $x -0 və +0 yaxınlaşdıqda +$\infty $-a meyllidir.

Xəttin xüsusi nöqtələrində (x = c) törəmənin olmaması halı Şəkil 3-də göstərilmişdir.

Şəkil 3. Törəmələrin olmaması

Misal 1

Şəkil 4-də funksiyanın qrafiki və $x_0$ absissasının olduğu nöqtədə qrafikə olan tangens göstərilir. Absisdə funksiyanın törəməsinin qiymətini tapın.

Həll. Nöqtədəki törəmə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinə bərabərdir. Tangens üzərində tam koordinatları olan iki nöqtəni seçək. Məsələn, bunlar F (-3.2) və C (-2.4) nöqtələri olsun.

mücərrəd açıq dərs GBPOU müəllimi " Təhsil Kolleci 4 saylı Sankt-Peterburq”

Martuseviç Tatyana Oleqovna

Tarix: 29.12.2014.

Mövzu: Törəmənin həndəsi mənası.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Tədris üsulları: vizual, qismən kəşfiyyat.

Dərsin məqsədi.

Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangens anlayışını təqdim edin, törəmənin həndəsi mənasının nə olduğunu öyrənin, tangens tənliyini çıxarın və onu tapmağı öyrədin.

Təhsil vəzifələri:

Törəmənin həndəsi mənasını başa düşmək; tangens tənliyinin çıxarılması; əsas problemlərin həllini öyrənmək;

“Törəmənin tərifi” mövzusunda materialın təkrarını təmin etmək;

bilik və bacarıqlara nəzarət (özünü idarə etmək) üçün şərait yaratmaq.

İnkişaf vəzifələri:

müqayisə, ümumiləşdirmə, əsas şeyi vurğulamaq üsullarını tətbiq etmək bacarıqlarının formalaşmasına kömək etmək;

riyazi üfüqlərin, təfəkkürün və nitqin, diqqətin və yaddaşın inkişafını davam etdirmək.

Təhsil vəzifələri:

riyaziyyata marağın tərbiyəsini təşviq etmək;

fəaliyyət, hərəkətlilik, ünsiyyət qurmaq bacarığının tərbiyəsi.

Dərs növü - İKT-dən istifadə etməklə birləşmiş dərs.

Avadanlıq – multimedia quraşdırılması, təqdimatMicrosoftgücnöqtə.

Dərs mərhələsi

Vaxt

Müəllim fəaliyyəti

Tələbə fəaliyyətləri

1. Təşkilati məqam.

Dərsin mövzusu və məqsədi haqqında mesaj.

Mövzu: Törəmənin həndəsi mənası.

Dərsin məqsədi.

Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangens anlayışını təqdim edin, törəmənin həndəsi mənasının nə olduğunu öyrənin, tangens tənliyini çıxarın və onu tapmağı öyrədin.

Şagirdləri sinifdə işə hazırlamaq.

Sinifdə işə hazırlıq.

Dərsin mövzusu və məqsədi haqqında məlumatlılıq.

Qeyd alma.

2. Əsas biliklərin təkrarlanması və yenilənməsi yolu ilə yeni materialın öyrənilməsinə hazırlıq.

Əsas biliklərin təkrarlanması və yenilənməsinin təşkili: törəmənin tərifləri və onun fiziki mənasının formalaşdırılması.

Törəmə tərifinin formalaşdırılması və onun fiziki mənasının formalaşdırılması. Əsas biliklərin təkrarlanması, yenilənməsi və möhkəmləndirilməsi.

Təkrarın təşkili və güc funksiyasının və elementar funksiyaların törəməsini tapmaq bacarığının formalaşdırılması.

Bu funksiyaların törəməsinin düsturlarla tapılması.

Xüsusiyyətlərin təkrarlanması xətti funksiya.

Təkrar, rəsmlərin qavranılması və müəllimin ifadələri

3. Yeni materialla işləmək: izahat.

Funksiya artımının arqument artımına münasibətinin mənasının izahı

Törəmənin həndəsi mənasının izahı.

Şəkilləri əhatə edən şifahi izahatlar vasitəsilə yeni materialın təqdim edilməsi və əyani vəsaitlər: animasiya ilə multimedia təqdimatı.

İzahın qavranılması, başa düşülməsi, müəllimin suallarına cavab.

Çətinlik halında müəllimə sualın formalaşdırılması.

Yeni məlumatın qavranılması, onun ilkin başa düşülməsi və dərk edilməsi.

Çətinlik halında müəllimə sualların tərtib edilməsi.

Kontur yaradın.

Törəmənin həndəsi mənasının tərtibi.

Üç işə baxılması.

Qeydlər aparmaq, rəsm çəkmək.

4. Yeni materialla işləmək.

Öyrənilən materialın ilkin qavranılması və tətbiqi, onun konsolidasiyası.

Törəmə hansı nöqtədə müsbətdir?

Mənfi?

Sıfıra bərabərdir?

Cədvəlin verdiyi suallara cavab alqoritmini axtarmağı öyrənmək.

Problemi həll etmək üçün yeni məlumatları başa düşmək, dərk etmək və tətbiq etmək.

5. Öyrənilən materialın ilkin qavranılması və tətbiqi, onun möhkəmləndirilməsi.

Tapşırıq vəziyyəti mesajı.

Tapşırıq vəziyyətinin qeydə alınması.

Çətinlik halında müəllimə sualın formalaşdırılması

6. Biliklərin tətbiqi: tədris xarakterli müstəqil iş.

Problemi özünüz həll edin:

Əldə edilmiş biliklərin tətbiqi.

Müstəqil iş fiqurun törəməsinin tapılması məsələsinin həlli haqqında. Cavabların cütlükdə müzakirəsi və yoxlanılması, çətinlik yarandıqda müəllimə sualın formalaşdırılması.

7. Yeni materialla işləmək: izahat.

Nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan tənlik tənliyinin çıxarılması.

Multimedia təqdimatı şəklində əyani vəsait kimi istifadə edilməklə, bir nöqtədə funksiya qrafikinə toxunan tənlik tənliyinin çıxarılmasının ətraflı izahı, tələbələrin suallarına cavablar.

Müəllimlə birlikdə tangens tənliyinin çıxarılması. Müəllimin suallarına cavablar.

Eskiz, rəsm.

8. Yeni materialla iş: izahat.

Şagirdlərlə dialoqda verilmiş nöqtədə verilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyin tapılması alqoritminin çıxarılması.

Müəllimlə dialoqda verilmiş nöqtədə verilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyin tapılması alqoritminin çıxarılması.

Qeyd alma.

Tapşırıq vəziyyəti mesajı.

Əldə edilmiş biliklərin tətbiqi üzrə təlim.

Problemin həlli yollarının axtarışının təşkili və onların həyata keçirilməsi. izahı ilə həllin ətraflı təhlili.

Tapşırıq vəziyyətinin qeydə alınması.

Fəaliyyət planının hər bir bəndinin icrası zamanı problemin həllinin mümkün yolları haqqında fərziyyələr irəli sürmək. Müəllimlə birlikdə problemin həlli.

Problemin həlli və cavabının qeyd edilməsi.

9. Biliklərin tətbiqi: tədris xarakterli müstəqil iş.

Fərdi nəzarət. Tələbələrə lazım olduqda məsləhət və köməklik.

Təqdimatdan istifadə edərək həllin yoxlanılması və izahı.

Əldə edilmiş biliklərin tətbiqi.

Fiqurun törəməsinin tapılması məsələsinin həlli üzrə müstəqil iş. Cavabların cütlükdə müzakirəsi və yoxlanılması, çətinlik yarandıqda müəllimə sualın formalaşdırılması

10. Ev tapşırığı.

§48, tapşırıq 1 və 3, həll yolunu başa düş və şəkillərlə dəftərinə yaz.

№ 860 (2,4,6,8),

Mesaj ev tapşırığışərhlərlə.

Ev tapşırığını qeyd etmək.

11. Xülasə.

Biz törəmənin tərifini təkrarladıq; törəmənin fiziki mənası; xətti funksiyanın xassələri.

Törəmənin həndəsi mənasının nə olduğunu öyrəndik.

Verilmiş nöqtədə verilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan tənlik əldə etməyi öyrəndik.

Dərsin nəticələrinin düzəldilməsi və aydınlaşdırılması.

Dərsin nəticələrinin sadalanması.

12. Refleksiya.

1. Dərsiniz varmı: a) asan; b) adətən; c) çətin.

a) öyrəndim (a) tamamilə, müraciət edə bilərəm;

b) öyrəndim (a), lakin tətbiq etməkdə çətinlik çəkir;

c) başa düşmədim.

3. Dərsdə multimedia təqdimatı:

a) materialın mənimsənilməsinə kömək etdi; b) materialın mənimsənilməsinə kömək etmədi;

c) materialın mənimsənilməsinə mane olur.

Refleksiyanın aparılması.

Cari səhifədəki məlumatları oxumadan əvvəl, törəmə və onun həndəsi mənası haqqında bir video izləməyi məsləhət görürük.

Bir nöqtədə törəmənin hesablanması nümunəsinə də baxın

M0 nöqtəsində l xəttinə toxunan M0T düz xəttidir - M nöqtəsi bu xətt boyunca M0-a meyl etdikdə (yəni bucaq sıfıra meyllidir) ixtiyari şəkildə M0M sekantasının məhdudlaşdırıcı mövqeyidir.

y \u003d f (x) funksiyasının törəməsi x0 nöqtəsində çağırdı sonuncu sıfıra meyl etdikdə bu funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi. X0 nöqtəsində və dərsliklərdə y \u003d f (x) funksiyasının törəməsi f "(x0) simvolu ilə işarələnir. Buna görə də tərifə görə

"törəmə" termini(həmçinin "ikinci törəmə") J. Lagrange təqdim etdi(1797), bundan başqa, y’, f’(x), f”(x) təyinatlarını vermişdir (1770,1779). dy/dx təyinatına ilk dəfə Leybnizdə (1675) rast gəlinir.

x \u003d xo-da y \u003d f (x) funksiyasının törəməsi, Mo (ho, f (xo)) nöqtəsindəki bu funksiyanın qrafikinə tangensin yamacına bərabərdir, yəni.

harada - tangens bucaq düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin x oxuna.

Tangens tənliyi y = f(x) xəttinə Mo(xo, yo) nöqtəsində şəklini alır

Müəyyən bir nöqtədə əyrinin normalı eyni nöqtədəki tangensə perpendikulyardır. Əgər f(x0) 0-a bərabər deyilsə, onda xətti normal tənlik Mo (xo, yo) nöqtəsində y \u003d f (x) aşağıdakı kimi yazılacaq:

Törəmənin fiziki mənası

Əgər x = f(t) nöqtənin düzxətti hərəkəti qanunudursa, x’ = f’(t) bu hərəkətin t zamanındakı sürətidir. Axın fiziki, kimyəvi və s proseslər törəmə ilə ifadə edilir.

Əgər x-> x0-da dy/dx nisbətinin sağda (və ya solda) həddi varsa, o zaman sağdakı törəmə (müvafiq olaraq, soldakı törəmə) adlanır. Belə limitlər birtərəfli törəmələr adlanır..

Aydındır ki, x0 nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilmiş f(x) funksiyası birtərəfli törəmələr mövcud olduqda və bir-birinə bərabər olduqda f'(x) törəməsi olur.

Törəmənin həndəsi şərhiçünki qrafa olan tangensin mailliyi bu halda da aiddir: bu halda tangens Oy oxuna paraleldir.

Verilmiş nöqtədə törəməsi olan funksiya həmin nöqtədə diferensiallanan adlanır. Verilmiş intervalın hər nöqtəsində törəməsi olan funksiya bu intervalda diferensiallanan adlanır. Əgər interval qapalıdırsa, onda onun uclarında birtərəfli törəmələr var.

Törəmə tapma əməliyyatı adlanır.