Kompleks ədədlər- bu, bizə tanış olan real ədədlər dəstinin minimum uzantısıdır. Onların əsas fərqi ondadır ki, kvadratın -1 verən elementi meydana çıxır, yəni. i və ya .

Hər hansı bir kompleks ədəd iki hissədən ibarətdir: real və xəyali:

Beləliklə, aydın olur ki, həqiqi ədədlər çoxluğu sıfır xəyali hissəsi olan kompleks ədədlər çoxluğu ilə üst-üstə düşür.

Kompleks ədədlər dəsti üçün ən məşhur model adi müstəvidir. Hər bir nöqtənin birinci koordinatı onun real hissəsi, ikincisi isə xəyali olacaqdır. Onda kompleks ədədlərin özlərinin rolu başlanğıcı (0,0) nöqtəsində olan vektorlar olacaqdır.

Kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar.

Əslində, kompleks ədədlər çoxluğunun modelini nəzərə alsaq, intuitiv olaraq aydın olur ki, iki mürəkkəb ədədin toplanması (çıxılması) və vurulması vektorlar üzərində müvafiq əməliyyatlar kimi yerinə yetirilir. Üstəlik, vektorların çarpaz məhsulunu nəzərdə tuturuq, çünki bu əməliyyatın nəticəsi yenə vektordur.

1.1 Əlavə.

(Gördüyünüz kimi, bu əməliyyat tam olaraq uyğun gəlir)

1.2 Çıxarma, eynilə, aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq həyata keçirilir:

2. Vurma.

3. Bölmə.

Sadəcə olaraq vurmanın tərs əməliyyatı kimi müəyyən edilir.

triqonometrik forma.

Kompleks z ədədinin modulu aşağıdakı kəmiyyətdir:

,

aydındır ki, bu, yenə də sadəcə olaraq (a,b) vektorunun moduludur (uzunluğu).

Çox vaxt kompleks ədədin modulu kimi işarələnir ρ.

Belə çıxır ki

z = ρ(cosφ+isinφ).

Aşağıdakılar birbaşa mürəkkəb ədədin yazılmasının triqonometrik formasından irəli gəlir. düsturlar :

Son formula deyilir De Moivre düsturu. Formula birbaşa ondan alınır. kompleks ədədin n-ci kökü:

beləliklə, z kompleks ədədinin n-ci kökü var.

Kompleks ədədlərlə problemləri həll etmək üçün əsas tərifləri başa düşməlisiniz. Bu baxış məqaləsinin əsas məqsədi kompleks ədədlərin nə olduğunu izah etmək və kompleks ədədlərlə əsas məsələlərin həlli üsullarını təqdim etməkdir. Beləliklə, mürəkkəb ədəd formanın ədədidir z = a + bi, harada a, b- mürəkkəb ədədin müvafiq olaraq həqiqi və xəyali hissələri adlanan və işarə edən həqiqi ədədlər a = Re(z), b=Im(z).
i xəyali vahid adlanır. i 2 \u003d -1. Xüsusilə, hər hansı bir real ədəd mürəkkəb hesab edilə bilər: a = a + 0i, harada a realdır. Əgər a = 0 və b ≠ 0, onda ədəd sırf xəyali adlanır.

İndi kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar təqdim edirik.
İki mürəkkəb ədədi nəzərdən keçirək z 1 = a 1 + b 1 i və z 2 = a 2 + b 2 i.

düşünün z = a + bi.

Kompleks ədədlər çoxluğu həqiqi ədədlər çoxluğunu genişləndirir, bu da öz növbəsində çoxluğu genişləndirir rasional ədədlər və s. Bu investisiya zəncirini şəkildə görmək olar: N - tam ədədlər, Z tam ədədlər, Q rasional, R həqiqi, C mürəkkəbdir.

Kompleks ədədlərin təsviri

Cəbri qeyd.

Kompleks ədədi nəzərdən keçirək z = a + bi, mürəkkəb ədədin yazılmasının bu forması deyilir cəbri. Bu yazı formasını artıq əvvəlki bölmədə ətraflı müzakirə etdik. Çox vaxt aşağıdakı illüstrativ rəsmdən istifadə edin

triqonometrik forma.

Şəkildən də görmək olar ki, rəqəm z = a + bi fərqli yazmaq olar. Aydındır ki a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Nəticədə z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) mürəkkəb ədədin arqumenti adlanır. Kompleks ədədin bu təsviri adlanır triqonometrik forma. Qeydlərin triqonometrik forması bəzən çox rahat olur. Məsələn, mürəkkəb ədədi tam ədədə yüksəltmək üçün istifadə etmək rahatdır, yəni əgər z = rcos(φ) + rsin(φ)i, sonra z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, bu düstur deyilir De Moivre düsturu.

Nümayiş forması.

düşünün z = rcos(φ) + rsin(φ)i triqonometrik formada kompleks ədəddir, onu başqa formada yazırıq z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, axırıncı bərabərlik Eyler düsturundan irəli gəlir, ona görə də kompleks ədədin yazılmasının yeni formasını əldə etdik: z = yenidən iφ, adlanır nümayişkaranə. Bu qeyd forması həm də mürəkkəb ədədi gücə çatdırmaq üçün çox əlverişlidir: z n = r n e inφ, burada n mütləq tam ədəd deyil, ixtiyari real ədəd ola bilər. Bu yazı forması çox vaxt problemləri həll etmək üçün istifadə olunur.

Ali cəbrin əsas teoremi

Təsəvvür edin ki, bizim x 2 + x + 1 = 0 kvadratik tənliyimiz var. Aydındır ki, bu tənliyin diskriminantı mənfidir və onun həqiqi kökləri yoxdur, lakin məlum olur ki, bu tənliyin iki müxtəlif mürəkkəb kökü var. Deməli, ali cəbrin əsas teoremində deyilir ki, hər hansı n dərəcəli çoxhədli ən azı bir mürəkkəb kökə malikdir. Buradan belə nəticə çıxır ki, hər hansı n dərəcəli çoxhədlinin çoxluğu nəzərə alınmaqla düz n mürəkkəb kök var. Bu teorem riyaziyyatda çox mühüm nəticədir və geniş tətbiq olunur. Bu teoremin sadə nəticəsi aşağıdakı nəticədir: birliyin tam olaraq n fərqli n-dərəcəli kökü var.

Tapşırıqların əsas növləri

Bu bölmə əsas növləri əhatə edəcəkdir sadə tapşırıqlar kompleks ədədlərə. Şərti olaraq kompleks ədədlərə aid məsələləri aşağıdakı kateqoriyalara bölmək olar.

• Mürəkkəb ədədlər üzərində sadə arifmetik əməllərin yerinə yetirilməsi.
• Kompleks ədədlərdə çoxhədlilərin köklərinin tapılması.
• Kompleks ədədləri bir gücə çatdırmaq.
• Kompleks ədədlərdən köklərin çıxarılması.
• Kompleks ədədlərin digər məsələlərin həllində tətbiqi.

İndi düşünün ümumi texnikalar bu problemlərin həlli yolları.

Mürəkkəb ədədlərlə ən sadə hesab əməliyyatları birinci bölmədə təsvir olunan qaydalara əsasən yerinə yetirilir, lakin mürəkkəb ədədlər triqonometrik və ya eksponensial formalarda təqdim olunursa, bu halda onları cəbri formaya çevirmək və məlum qaydalara uyğun əməliyyatlar yerinə yetirmək olar.

Çoxhədlilərin köklərinin tapılması adətən kvadrat tənliyin köklərinin tapılması ilə nəticələnir. Tutaq ki, kvadrat tənliyimiz var, əgər onun diskriminantı mənfi deyilsə, onda onun kökləri həqiqi olacaq və məlum düstura görə tapılacaq. Diskriminant mənfi olarsa, o zaman D = -1∙a 2, harada a müəyyən ədəddir, onda diskriminantı formada təmsil edə bilərik D = (ia) 2, Nəticədə √D = i|a|, və sonra kvadrat tənliyin kökləri üçün artıq məlum olan düsturdan istifadə edə bilərsiniz.

Misal. Yuxarıda qeyd olunan x 2 + x + 1 = 0 kvadrat tənliyinə qayıdaq.
Diskriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
İndi kökləri asanlıqla tapa bilərik:

Kompleks ədədləri bir gücə yüksəltmək bir neçə yolla edilə bilər. Əgər cəbri formada mürəkkəb ədədi kiçik bir gücə (2 və ya 3) qaldırmaq istəyirsinizsə, bunu birbaşa vurma yolu ilə edə bilərsiniz, lakin dərəcə daha böyükdürsə (məsələlərdə bu, çox vaxt daha böyükdür), onda siz bunu etməlisiniz. bu ədədi triqonometrik və ya eksponensial formada yazın və artıq məlum olan üsullardan istifadə edin.

Misal. z = 1 + i hesab edin və onuncu gücə qaldırın.
z-ni eksponensial formada yazırıq: z = √2 e iπ/4 .
Sonra z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Cəbri formaya qayıdaq: z 10 = -32i.

Mürəkkəb ədədlərdən köklərin çıxarılması eksponentasiya ilə bağlı tərs əməliyyatdır, buna görə də oxşar şəkildə edilir. Çox vaxt kökləri çıxarmaq üçün istifadə olunur. göstərici forması nömrə girişləri.

Misal. Vəhdət 3-cü dərəcənin bütün köklərini tapın. Bunun üçün z 3 = 1 tənliyinin bütün köklərini tapırıq, kökləri eksponensial formada axtaracağıq.
Tənlikdə əvəz edin: r 3 e 3iφ = 1 və ya r 3 e 3iφ = e 0 .
Deməli: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deməli, φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-də müxtəlif köklər alınır.
Deməli, 1 , e i2π/3 , e i4π/3 köklərdir.
Və ya cəbri formada:

Sonuncu növ problemlərə çoxlu sayda problemlər daxildir və onların həlli üçün ümumi üsullar yoxdur. Belə bir tapşırığın sadə bir nümunəsidir:

Məbləği tapın günah(x) + günah(2x) + günah(2x) + … + günah(nx).

Baxmayaraq ki, bu problemin tərtibi mürəkkəb ədədlərə aid deyil, lakin onların köməyi ilə asanlıqla həll edilə bilər. Bunu həll etmək üçün aşağıdakı təsvirlərdən istifadə olunur:


İndi bu təsviri cəmi ilə əvəz etsək, problem adi həndəsi irəliləyişin cəminə endirilir.

Nəticə

Mürəkkəb ədədlər riyaziyyatda geniş istifadə olunur, bu icmalda kompleks ədədlər üzərində əsas əməliyyatlar nəzərdən keçirilmiş, bir neçə növ standart məsələ təsvir edilmiş və qısa təsvir edilmişdir. ümumi üsullar onların həlli, kompleks ədədlərin imkanlarını daha ətraflı öyrənmək üçün xüsusi ədəbiyyatdan istifadə etmək tövsiyə olunur.

Ədəbiyyat

Dərs planı.

1. Təşkilati məqam.

2. Materialın təqdimatı.

3. Ev tapşırığı.

4. Dərsin yekunlaşdırılması.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

II. Materialın təqdimatı.

Motivasiya.

Həqiqi ədədlər çoxluğunun genişlənməsi həqiqi ədədlərə yeni ədədlərin (xəyali) əlavə olunmasından ibarətdir. Bu ədədlərin tətbiqi həqiqi ədədlər çoxluğunda mənfi ədəddən kök çıxarmağın mümkünsüzlüyü ilə bağlıdır.

Kompleks ədəd anlayışının təqdimatı.

Həqiqi ədədləri tamamladığımız xəyali ədədlər kimi yazılır bi, harada i xəyali vahiddir və i 2 = - 1.

Buna əsaslanaraq kompleks ədədin aşağıdakı tərifini əldə edirik.

Tərif. Kompleks ədəd formanın ifadəsidir a+bi, harada a və b həqiqi ədədlərdir. Bu halda, aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilir:

a) İki mürəkkəb ədəd a 1 + b 1 i və a 2 + b 2 i yalnız və yalnız o halda bərabərdir a 1 = a 2, b1=b2.

b) Kompleks ədədlərin toplanması qayda ilə müəyyən edilir:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleks ədədlərin vurulması qayda ilə müəyyən edilir:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Kompleks ədədin cəbri forması.

Kompleks ədədin formada yazılması a+bi mürəkkəb ədədin cəbri forması adlanır, burada a- real hissə bi xəyali hissədir və b real rəqəmdir.

Kompleks nömrə a+bi onun həqiqi və xəyali hissələri sıfıra bərabər olarsa, sıfıra bərabər hesab olunur: a=b=0

Kompleks nömrə a+bi saat b = 0 həqiqi rəqəm hesab olunur a: a + 0i = a.

Kompleks nömrə a+bi saat a = 0 sırf xəyali adlanır və işarə olunur bi: 0 + bi = bi.

İki mürəkkəb ədəd z = a + bi və = a – bi, yalnız xəyali hissənin işarəsi ilə fərqlənənlər qoşma adlanır.

Cəbri formada kompleks ədədlər üzərində hərəkətlər.

Cəbri formada kompleks ədədlər üzərində aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetirmək olar.

1) Əlavə.

Tərif. Kompleks ədədlərin cəmi z 1 = a 1 + b 1 i və z 2 = a 2 + b 2 i kompleks ədəd adlanır z, həqiqi hissəsi həqiqi hissələrin cəminə bərabərdir z1 və z2, xəyali hissə isə ədədlərin xəyali hissələrinin cəmidir z1 və z2, yəni z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Nömrələri z1 və z2 terminlər adlanır.

Kompleks ədədlərin əlavə edilməsi aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1º. Kommutativlik: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Assosiativlik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleks nömrə -a -bi mürəkkəb ədədin əksi adlanır z = a + bi. Kompleks ədədin əksi olan mürəkkəb ədəd z, işarələnmişdir -z. Kompleks ədədlərin cəmi z və -z sıfıra bərabərdir: z + (-z) = 0

Misal 1: Əlavə et (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Çıxarma.

Tərif. Kompleks ədəddən çıxın z1 kompleks ədəd z2 z, nə z + z 2 = z 1.

teorem. Kompleks ədədlərin fərqi mövcuddur və üstəlik unikaldır.

Misal 2: Çıxar (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Vurma.

Tərif. Kompleks ədədlərin hasili z 1 =a 1 +b 1 i və z 2 \u003d a 2 + b 2 i kompleks ədəd adlanır z, bərabərliklə müəyyən edilir: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Nömrələri z1 və z2 amillər adlanır.

Kompleks ədədlərin vurulması aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1º. Kommutativlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Assosiativlik: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Toplama ilə bağlı vurmanın paylanması:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 real rəqəmdir.

Təcrübədə mürəkkəb ədədlərin vurulması cəminin cəminə vurulması və həqiqi və xəyali hissələrin ayrılması qaydasına əsasən həyata keçirilir.

Aşağıdakı misalda mürəkkəb ədədlərin iki yolla vurulmasını nəzərdən keçirin: qayda ilə və cəmini cəminə vurmaqla.

Misal 3: Çoxaldın (2 + 3i) (5 – 7i).

1 yol. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 yol. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Bölmə.

Tərif. Kompleks ədədi bölün z1 kompleks ədədə z2, belə mürəkkəb ədədi tapmaq deməkdir z, nə z z 2 = z 1.

teorem. Mürəkkəb ədədlərin nisbəti mövcuddur və unikaldırsa z2 ≠ 0 + 0i.

Təcrübədə mürəkkəb ədədlərin payı və məxrəci məxrəcin qoşmasına vurmaqla tapılır.

Qoy z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, sonra

.

Aşağıdakı misalda düsturla bölməni və məxrəcin konyuqatı ilə vurma qaydasını yerinə yetiririk.

Misal 4. Hissə tapın .

5) Müsbət tam gücə yüksəltmək.

a) Xəyali birliyin səlahiyyətləri.

Bərabərlikdən istifadə etməklə i 2 \u003d -1, xəyali vahidin istənilən müsbət tam gücünü təyin etmək asandır. Bizdə:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 və s.

Bu dərəcə dəyərləri göstərir mən n, harada n- göstərici artdıqda vaxtaşırı təkrarlanan müsbət tam ədəd 4 .

Buna görə də sayını artırmaq i Müsbət tam ədədə, eksponenti bölün 4 və dik i eksponenti bölmənin qalan hissəsi olan gücə.

Misal 5 Hesablayın: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

b) Kompleks ədədin müsbət tam ədədə yüksəldilməsi binomialın müvafiq dərəcəyə yüksəldilməsi qaydasına əsasən həyata keçirilir, çünki bu, eyni kompleks amillərin vurulmasının xüsusi halıdır.

Misal 6 Hesablayın: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Kompleks ədədlər haqqında lazımi məlumatları xatırlayın.

Kompleks nömrə formasının ifadəsidir a + bi, harada a, b həqiqi ədədlərdir və i- sözdə xəyali vahid, kvadratı -1 olan simvol, yəni. i 2 = -1. Nömrə açağırdı real hissə, və nömrə b - xəyali hissə kompleks ədəd z = a + bi. Əgər a b= 0, sonra əvəzinə a + 0i sadə yaz a. Görünür ki, həqiqi ədədlər kompleks ədədlərin xüsusi halıdır.

Mürəkkəb ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatlar həqiqi ədədlərlə eynidir: onları bir-birinə toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək olar. Toplama və çıxma qaydaya uyğun olaraq davam edir ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, və vurma - qaydaya görə ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (reklam + e.ə)i(burada sadəcə olaraq istifadə olunur i 2 = -1). Sayı = a – biçağırdı mürəkkəb birləşməüçün z = a + bi. Bərabərlik z · = a 2 + b 2 bir kompleks ədədi digər (sıfırdan fərqli) kompleks ədədə necə bölməyi başa düşməyə imkan verir:

(Misal üçün, .)

Kompleks ədədlərin rahat və vizual həndəsi təsviri var: ədəd z = a + bi koordinatları olan vektor kimi təqdim edilə bilər ( a; b) Kartezyen müstəvisində (və ya, demək olar ki, eyni olan nöqtə - bu koordinatlarla vektorun sonu). Bu halda, iki mürəkkəb ədədin cəmi müvafiq vektorların cəmi kimi təsvir edilir (bunu paraleloqram qaydası ilə tapmaq olar). Pifaqor teoremi ilə vektorun koordinatları olan uzunluğu ( a; b) -ə bərabərdir. Bu dəyər deyilir modul kompleks ədəd z = a + bi və | ilə işarələnir z|. Bu vektorun x oxunun müsbət istiqaməti ilə etdiyi bucaq (saat əqrəbinin əksinə hesablanır) adlanır arqument kompleks ədəd z və Arg ilə işarələnir z. Arqument unikal şəkildə müəyyən edilmir, ancaq 2-yə qatlanana qədər π radyanlar (və ya 360 °, dərəcə ilə hesablasanız) - axırda mənşənin ətrafında belə bir bucaqdan keçmək vektoru dəyişməyəcəyi aydındır. Amma əgər uzunluq vektoru r bucaq əmələ gətirir φ x oxunun müsbət istiqaməti ilə, onda onun koordinatları bərabərdir ( r cos φ ; r günah φ ). Beləliklə, belə çıxır triqonometrik qeyd kompleks nömrə: z = |z| (cos(Arg z) + i günah (Arg z)). Çox vaxt mürəkkəb ədədləri bu formada yazmaq rahatdır, çünki bu, hesablamaları xeyli asanlaşdırır. Triqonometrik formada mürəkkəb ədədlərin vurulması çox sadə görünür: z bir · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i günah (Arg z 1+arg z 2)) (iki kompleks ədədi vurarkən onların modulları vurulur və arqumentlər əlavə olunur). Buradan izləyin De Moivre düsturları: z n = |z|n(çünki( n(Arg z)) + i günah( n(Arg z))). Bu düsturların köməyi ilə mürəkkəb ədədlərdən istənilən dərəcədə kök çıxarmağı öyrənmək asandır. Kök n z rəqəmindən dərəcə belə mürəkkəb ədəddir w, nə w n = z. Aydındır ki , Və harada kçoxluqdan istənilən qiymət ala bilər (0, 1, ..., n- bir). Bu o deməkdir ki, həmişə var n kökləri n mürəkkəb ədəddən ci dərəcə (müstəvidə onlar nizamlının təpələrində yerləşirlər n-gon).

§ 1. Kompleks ədədlər: təriflər, həndəsi şərh, cəbri, triqonometrik və eksponensial formalarda əməliyyatlar

Kompleks ədədin tərifi

Mürəkkəb bərabərliklər

Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri

Kompleks ədədin modulu və arqumenti

Kompleks ədədin cəbri və triqonometrik formaları

Kompleks ədədin eksponensial forması

Eyler düsturları

§ 2. Bütün funksiyalar (polinomlar) və onların əsas xassələri. Kompleks ədədlər çoxluğu üzrə cəbri tənliklərin həlli

ci dərəcəli cəbri tənliyin tərifi

Çoxhədlilərin əsas xassələri

Kompleks ədədlər çoxluğunda cəbri tənliklərin həlli nümunələri

Özünü yoxlamaq üçün suallar

Lüğət

§ 1. Kompleks ədədlər: təriflər, həndəsi şərh, cəbri, triqonometrik və eksponensial formalarda əməliyyatlar

Kompleks ədədin tərifi ( Kompleks ədədin tərifini tərtib edin)

Kompleks z ədədi aşağıdakı formanın ifadəsidir:

Cəbri formada mürəkkəb ədəd,(1)

Harada x, y Î;

- mürəkkəb birləşmə nömrə z ;

- əks nömrə nömrə z ;

- kompleks sıfır ;

- bu kompleks ədədlər toplusudur.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – mən, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – mən, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ əgər mən z= 0, onda z = x- həqiqi ədəd;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ əgər Re z= 0, onda z = iy - xalis xəyali ədəd.

Mürəkkəb bərabərliklər (Mürəkkəb bərabərliyin mənasını formalaşdırın)

1) ;

2) .

Bir mürəkkəb bərabərlik iki real bərabərlik sisteminə bərabərdir. Bu həqiqi bərabərliklər mürəkkəb bərabərlikdən həqiqi və xəyali hissələri ayırmaqla əldə edilir.

1) ;

2) .

Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri ( Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri nədir?)

Kompleks nömrə z nöqtə ilə təmsil olunur ( x , y) üstündə mürəkkəb müstəvi və ya bu nöqtənin radius vektoru.

İmza z ikinci kvadrantda kompleks müstəvi kimi Dekart koordinat sistemindən istifadə ediləcəyini bildirir.

Kompleks ədədin modulu və arqumenti ( Kompleks ədədin modulu və arqumenti nədir?)

Kompleks ədədin modulu mənfi olmayan həqiqi ədəddir

.(2)

Həndəsi cəhətdən kompleks ədədin modulu ədədi təmsil edən vektorun uzunluğudur z, və ya nöqtənin qütb radiusu ( x , y).

Aşağıdakı ədədləri kompleks müstəvidə çəkin və triqonometrik formada yazın.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

yəni z = 0 üçün o olacaq

, j müəyyən edilməmişdir.

Kompleks ədədlər üzərində arifmetik əməllər (Mürəkkəb ədədlər üzərində arifmetik əməllərin təriflərini verin və əsas xassələrini sadalayın.)

Kompleks ədədlərin toplanması (çıxılması).

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1)±( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

yəni mürəkkəb ədədləri toplayanda (çıxarkən) onların həqiqi və xəyali hissələri toplanır (çıxılır).

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Əlavənin əsas xassələri

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Mürəkkəb ədədlərin cəbri formada vurulması

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

yəni mürəkkəb ədədlərin cəbri formada vurulması binomialın cəbri vurulması qaydasına uyğun olaraq yerinə yetirilir, ardınca oxşarların həqiqi və xəyali ifadələrlə əvəzlənməsi və kiçilməsi aparılır.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Kompleks ədədlərin vurulması triqonometrik forma

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + i günah j 1)× r 2 (cos j 2 + i günah j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + i cos j 1günah j 2 + i günah j 1cos j 2 + i 2 günah j 1günah j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2-günah j 1günah j 2) + i(cos j 1günah j 2+ günah j 1cos j 2))

Triqonometrik formada kompleks ədədlərin hasili, yəni kompleks ədədlər triqonometrik formada vurulduqda onların modulları vurulur və arqumentlər əlavə edilir.

Vurmanın əsas xassələri

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - kommutativlik;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - assosiativlik;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - əlavəyə görə paylanma;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Kompleks ədədlərin bölünməsi

Bölmə vurmanın tərsidir, deməli

əgər z × z 2 = z 1 və z 2 ¹ 0, sonra .

Bölməni cəbri formada yerinə yetirərkən, kəsrin payı və məxrəci məxrəcin mürəkkəb birləşməsinə vurulur:

Kompleks ədədlərin cəbri formada bölünməsi.(7)

Bölməni triqonometrik formada həyata keçirərkən modullar bölünür və arqumentlər çıxarılır:

Kompleks ədədlərin triqonometrik formada bölünməsi.(8)

2)
.

Kompleks ədədi təbii gücə yüksəltmək

Təbii gücə yüksəltmək triqonometrik formada yerinə yetirmək üçün daha rahatdır:

Moivre düsturu, (9)

yəni mürəkkəb ədədi natural qüvvəyə qaldırdıqda onun modulu həmin dərəcəyə qaldırılır və arqument eksponentə vurulur.

Hesablayın (1+ i)10.

Qeydlər

1. Triqonometrik formada çarpma və təbii gücə yüksəltmə əməliyyatlarını yerinə yetirərkən, bucaq dəyərləri bir tam dönüşdən kənarda əldə edilə bilər. Lakin onlar həmişə bucaqlara endirilə bilər və ya funksiyaların dövrilik xassələrinə uyğun olaraq tam inqilabların tam sayını atmaqla və .

2. Məna mürəkkəb ədədin arqumentinin əsas qiyməti adlanır;

bu halda, bütün mümkün bucaqların dəyərləri işarələnir;

aydındır ki, .

Kompleks ədəddən natural dərəcənin kökünün çıxarılması

Eyler düsturları(16)

hansı üçün triqonometrik funksiyalar və real dəyişən ilə ifadə edilir eksponensial funksiya(göstərici) sırf xəyali göstərici ilə.

§ 2. Bütün funksiyalar (polinomlar) və onların əsas xassələri. Kompleks ədədlər çoxluğu üzrə cəbri tənliklərin həlli

Eyni dərəcədə iki çoxhədli nəmsalları dəyişənin eyni güclərində üst-üstə düşərsə, bir-birinə eyni dərəcədə bərabərdirlər. x, yəni

Sübut

w Şəxsiyyət (3) "xн (və ya "xн) üçün uyğundur

Þ üçün etibarlıdır; əvəz edərək, alırıq bir = bn .

Gəlin (3)-dəki şərtləri qarşılıqlı olaraq ləğv edək. bir və bn və hər iki hissəyə bölün x :

Bu kimlik həm də " x, o cümlədən nə vaxt x = 0

Þ güman edirəm x= 0, alırıq bir – 1 = bn – 1.

Qarşılıqlı olaraq (3") şərtlərlə məhv edin bir– 1 və a n– 1 və hər iki hissəni bölün x, nəticədə alırıq

Mübahisəni eyni şəkildə davam etdirsək, bunu əldə edirik bir – 2 = bn –2, …, a 0 = b 0.

Beləliklə, sübut edilmişdir ki, 2-x çoxhədlilərin eyni bərabərliyindən onların əmsallarının eyni dərəcədə üst-üstə düşməsi əmələ gəlir. x .

Əks ifadə haqlı olaraq aydındır, yəni. iki çoxhədlinin bütün əmsalları eynidirsə, deməli onlar eyni funksiyalardır, buna görə də arqumentin bütün dəyərləri üçün onların dəyərləri eynidir, bu da onların eyni bərabərliyi deməkdir. Əmlak 1 tamamilə sübut edilmişdir. v

Çoxhədlini bölərkən PN (x) fərqə ( x – X 0) qalıq bərabərdir PN (x 0), yəni

Bezout teoremi, (4)

harada Qn – 1(x) - bölmənin tam hissəsi, dərəcə çoxhədlidir ( n – 1).

Sübut

w Bölmə düsturunu qalığı ilə yazaq:

PN (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

harada Qn – 1(x) - dərəcə çoxhədli ( n – 1),

A- polinomu "sütundakı" binomiala bölmək üçün məşhur alqoritmdən irəli gələn bir ədəd olan qalıq.

Bu bərabərlik doğrudur " x, o cümlədən nə vaxt x = X 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = PN (X 0), h.t.d. v

Bezout teoremindən nəticə. Çoxhədlinin qalıqsız binomuna bölünməsi haqqında

Əgər nömrə X 0 çoxhədlinin sıfırıdır, onda bu çoxhədli fərqə bölünür ( x – X 0) qalıqsız, yəni

Þ .(5)

1) , çünki P 3(1) º 0

2) , çünki P 4(–2) º 0

3) çünki P 2(–1/2) º 0

Çoxhədlilərin "sütundakı" binomlara bölünməsi:

_

_

_

_

_

Hər n ³ 1 dərəcə çoxhədli ən azı bir sıfıra malikdir, həqiqi və ya kompleks

Bu teoremin sübutu kursumuzun əhatə dairəsindən kənardadır. Buna görə də teoremi sübutsuz qəbul edirik.

Gəlin bu teorem üzərində və çoxhədli Bezout teoremi üzərində işləyək PN (x).

sonra n-bu teoremlərin qat tətbiqi, bunu əldə edirik

harada a 0 əmsalıdır x n in PN (x).

Cəbrin əsas teoremindən nəticə. Çoxhədlinin xətti amillərə parçalanması haqqında

Kompleks ədədlər çoxluğundakı istənilən dərəcə çoxhədli bölünür n xətti amillər, yəni

Polinomun xətti amillərə parçalanması, (6)

burada x1, x2, ... xn çoxhədlinin sıfırlarıdır.

Eyni zamanda, əgər k dəstdən nömrələr X 1, X 2, … xn bir-biri ilə və a rəqəmi ilə üst-üstə düşür, onda (6) hasildə (6) amil ( x– a) k. Sonra nömrə x= a deyilir k-qat sıfır çoxhədli PN ( x) . Əgər a k= 1, onda sıfır deyilir sadə sıfır çoxhədli PN ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - sadə sıfır, x 2 = 4 - üçqat sıfır;

2)P 4(x) = (x – i)4 x = i- sıfır çoxluq 4.

Xassə 4 (cəbri tənliyin köklərinin sayına görə)

İstənilən cəbri tənlik Pn(x) = 0 n dərəcənin mürəkkəb ədədlər çoxluğunda tam olaraq n kökə malikdir, əgər hər bir kök onun çoxluğu qədər sayılırsa.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - ikinci dərəcəli cəbr tənliyi

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- iki kök;

2)x 3 + 1 = 0 - üçüncü dərəcəli cəbr tənliyi

Þ x 1,2,3 = - üç kök;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1, çünki P 3(1) = 0.

Polinomu bölün P 3(x) üstündə ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

İlkin tənlik

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 w( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - sadə kök, x 2 \u003d -1 - ikiqat kök.

1) qoşalaşmış mürəkkəb birləşmiş köklərdir;

Həqiqi əmsallı hər hansı çoxhədli həqiqi əmsallı xətti və kvadrat funksiyaların hasilinə parçalanır.

Sübut

w Qoy x 0 = a + bi- polinom sıfır PN (x). Əgər bu çoxhədlinin bütün əmsalları həqiqi ədədlərdirsə, onda onun da sıfırı olur (5-ci xassə ilə).

Binamların hasilini hesablayırıq :

kompleks ədəd çoxhədli tənliyi

var ( x – a)2 + b 2 - real əmsalları olan kvadrat trinomial.

Beləliklə, (6) düsturunda mürəkkəb konjugat kökləri olan hər hansı bir cüt binom gətirib çıxarır kvadrat trinomial real əmsallarla. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Kompleks ədədlər çoxluğunda cəbri tənliklərin həlli nümunələri ( Mürəkkəb ədədlər çoxluğunda cəbri tənliklərin həllinə nümunələr verin)

1. Birinci dərəcəli cəbri tənliklər:

, yeganə sadə kökdür.

2. Kvadrat tənliklər:

, - həmişə iki kök var (fərqli və ya bərabər).

1) .

3. İki müddətli dərəcə tənlikləri:

, - həmişə fərqli köklərə malikdir.

,

Cavab: , .

4. Kub tənliyini həll edin.

Üçüncü dərəcəli tənliyin üç kökü (həqiqi və ya mürəkkəb) var və hər bir kök öz çoxluğu qədər hesablanmalıdır. Bu tənliyin bütün əmsalları həqiqi ədədlər olduğundan, tənliyin kompleks kökləri, əgər varsa, cüt-cüt kompleks konjugat olacaqdır.

Seçməklə biz tənliyin birinci kökünü tapırıq, çünki .

Bezout teoreminin nəticəsi ilə. Bu bölməni "bir sütunda" hesablayırıq:

_
_
_

Polinomu xətti və kvadrat amilin məhsulu kimi təqdim edərək, əldə edirik:

.

Kvadrat tənliyin kökləri kimi başqa kökləri tapırıq:

Cavab: , .

5. Rəqəmlərin olduğu məlumdursa, həqiqi əmsallarla ən kiçik dərəcəli cəbri tənlik qurun. x 1 = 3 və x 2 = 1 + i onun kökləridir və x 1 qoşa kökdür və x 2 - sadə.

Rəqəm həm də tənliyin köküdür, çünki tənliyin əmsalları real olmalıdır.

Ümumilikdə istədiyiniz tənliyin 4 kökü var: x 1, x 1,x 2, . Buna görə də onun dərəcəsi 4-dür. Sıfırlarla 4-cü dərəcəli çoxhədli düzəldirik x

11. Kompleks sıfır nədir?

13. Mürəkkəb bərabərliyin mənasını formalaşdırın.

15. Kompleks ədədin modulu və arqumenti nədir?

17. Kompleks ədədin arqumenti nədir?

18. Düsturun adı və ya mənası nədir?

19. Bu düsturdakı qeydin mənasını izah edin:

27. Kompleks ədədlər üzərində arifmetik əməllərin təriflərini verin və əsas xassələrini sadalayın.

28. Düsturun adı və ya mənası nədir?

29. Bu düsturdakı qeydin mənasını izah edin:

31. Düsturun adı və ya mənası nədir?

32. Bu düsturdakı qeydin mənasını izah edin:

34. Düsturun adı və ya mənası nədir?

35. Bu düsturdakı qeydin mənasını izah edin:

61. Çoxhədlilərin əsas xassələrini sadalayın.

63. Çoxhədlini fərqə (x - x0) bölmək xassəsini tərtib edin.

65. Düsturun adı və ya mənası nədir?

66. Bu düsturdakı qeydin mənasını izah edin:

67. ⌂ .

69. Cəbr teoreminin əsas olduğu teoremini tərtib edin.

70. Düsturun adı və ya mənası nədir?

71. Bu düsturdakı qeydin mənasını izah edin:

75. Cəbri tənliyin köklərinin sayı haqqında xassə tərtib edin.

78. Həqiqi əmsallı çoxhədlinin xətti və kvadrat amillərə parçalanması xassəsini tərtib edin.

Lüğət

Çoxhədlinin k-qat sıfırı deyilir... (səh. 18)

cəbri çoxhədli deyilir... (səh. 14)

cəbri tənlik n-ci dərəcəçağırıb... (səh. 14)

mürəkkəb ədədin cəbri formasına... deyilir (səh. 5).

mürəkkəb ədədin arqumenti... (səh. 4)

z kompleks ədədinin həqiqi hissəsi... (səhifə 2)

mürəkkəb konjugat... (səhifə 2)

kompleks sıfır... (səhifə 2)

mürəkkəb ədəd deyilir... (səh. 2)

mürəkkəb ədədin n-ci kökü adlanır... (səh. 10)

tənliyin kökü ... adlanır (səh. 14)

polinom əmsalları... (səh. 14)

xəyali vahid... (səhifə 2)

z kompleks ədədinin xəyali hissəsi... (səhifə 2)

kompleks ədədin modulu adlanır... (səh. 4)

funksiyanın sıfırı deyilir... (səh. 14)

mürəkkəb ədədin eksponensial formasına... deyilir (səh. 11)

çoxhədli deyilir... (səh. 14)

çoxhədlinin sadə sıfırı adlanır... (səh. 18)

əks nömrə... (səhifə 2)

çoxhədlinin dərəcəsi... (səh. 14)

mürəkkəb ədədin triqonometrik formasına... deyilir (səh. 5)

De Moivre düsturu... (səh. 9)

Eylerin düsturları... (səh. 13)

bütöv bir funksiya deyilir... (səh. 14)

sırf xəyali ədəd... (səh. 2)