Kvadrat və digər tənliklər üçün Vyeta teoremi. Kvadrat tənliklərin həllində Vyeta teoreminin tətbiqi haqqında. Deli üçün Vyeta teoreminin izahı

ev » Coğrafiya Kvadrat və digər tənliklər üçün Vyeta teoremi. Kvadrat tənliklərin həllində Vyeta teoreminin tətbiqi haqqında. Deli üçün Vyeta teoreminin izahı

Kvadrat tənliyin həlli üsullarından biri də tətbiqetmədir VIETA düsturları FRANCOIS VIETE-nin şərəfinə adlandırılmışdır.

O, məşhur hüquqşünas idi və 16-cı əsrdə Fransa kralının yanında xidmət etmişdir. Boş vaxtlarında astronomiya və riyaziyyatı öyrənirdi. Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında əlaqə qurdu.

Formulun üstünlükləri:

1 . Düsturu tətbiq etməklə, həllini tez tapa bilərsiniz. Çünki kvadrata ikinci əmsalı daxil etmək lazım deyil, sonra ondan 4ac çıxarmaq, diskriminantı tapmaq, onun dəyərini kökləri tapmaq üçün düsturla əvəz etmək lazımdır.

2 . Həll olmadan, köklərin əlamətlərini təyin edə, köklərin dəyərlərini götürə bilərsiniz.

3 . İki qeyd sistemini həll edərək, kökləri özləri tapmaq çətin deyil. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdə köklərin cəmi mənfi işarəli ikinci əmsalın qiymətinə bərabərdir. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdəki köklərin hasili üçüncü əmsalın qiymətinə bərabərdir.

4 . Verilmiş köklərə əsasən kvadrat tənlik yazın, yəni tərs məsələni həll edin. Məsələn, bu üsul nəzəri mexanikada məsələlərin həllində istifadə olunur.

5 . Aparıcı əmsal birə bərabər olduqda düsturu tətbiq etmək rahatdır.

Qüsurlar:

1 . Formula universal deyil.

Vyeta teoremi 8 sinif

Düstur
Əgər x 1 və x 2 verilmiş kvadrat tənliyin kökləridirsə x 2 + px + q \u003d 0, onda:

Nümunələr
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - x 2 - 2x - 3 \u003d 0 tənliyinin kökləri.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Tərs teorem

Düstur
Əgər x 1 , x 2 , p, q ədədləri şərtlərlə əlaqələndirilirsə:

Onda x 1 və x 2 x 2 + px + q = 0 tənliyinin kökləridir.

Misal
Kökləri ilə kvadrat tənlik yaradaq:

X 1 \u003d 2 -? 3 və x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

İstədiyiniz tənliyin forması var: x 2 - 4x + 1 = 0.

Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında, kök düsturlarından başqa, aşağıdakılarla verilən digər faydalı əlaqələr də mövcuddur. Vyeta teoremi. Bu yazıda kvadrat tənlik üçün Vyeta teoreminin tərtibini və sübutunu verəcəyik. Sonra Vyeta teoreminə əks olan bir teoremi nəzərdən keçirək. Bundan sonra ən xarakterik nümunələrin həllərini təhlil edəcəyik. Nəhayət, həqiqi köklər arasındakı əlaqəni təyin edən Vyeta düsturlarını yazırıq cəbri tənlik n dərəcəsi və onun əmsalları.

Səhifə naviqasiyası.

Vyeta teoremi, tərtibi, sübutu

Kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarından a x 2 +b x+c=0 formasının , burada D=b 2 −4 a c , münasibətləri x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu nəticələr təsdiqlənir Vyeta teoremi:

teorem.

Əgər a x 1 və x 2 a x 2 +b x+c=0 kvadrat tənliyinin kökləridir, onda köklərin cəmi əks işarə ilə alınan b və a əmsallarının nisbətinə və hasilinə bərabərdir. köklər c və a əmsallarının nisbətinə bərabərdir, yəni .

Sübut.

Vyeta teoremini aşağıdakı sxem üzrə sübut edəcəyik: məlum kök düsturlarından istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini tərtib edəcəyik, sonra yaranan ifadələri çevirib onların −b-yə bərabər olduğuna əmin olacağıq. /a və c/a.

Köklərin cəmi ilə başlayaq, onu tərtib edək. İndi kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk, bizdə var. Əldə edilən kəsrin payında , ondan sonra : . Nəhayət, 2-dən sonra alırıq. Bu, kvadrat tənliyin köklərinin cəmi üçün Vyeta teoreminin birinci əlaqəsini sübut edir. Gəlin ikinciyə keçək.

Kvadrat tənliyin köklərinin hasilini düzəldirik:. Kəsrlərin vurulması qaydasına görə, sonuncu hasil belə yazıla bilər. İndi biz mötərizəni paylayıcıdakı mötərizə ilə çoxalırıq, lakin bu məhsulu yıxmaq daha tezdir. kvadratlar fərqi düsturu, Belə ki . Sonra xatırlayaraq, növbəti keçidi həyata keçiririk. Və D=b 2 −4 a·c düsturu kvadrat tənliyin diskriminantına uyğun gəldiyindən, son kəsrdə D əvəzinə b 2 −4·a·c əvəz edilə bilər, alarıq. Mötərizələri açıb oxşar şərtləri azaltdıqdan sonra kəsrə gəlirik və onun 4·a azaldılması . Bu, köklərin hasili üçün Vyeta teoreminin ikinci əlaqəsini sübut edir.

İzahları buraxsaq, Vyeta teoreminin sübutu qısa bir forma alacaq:
,
.

Yalnız qeyd etmək qalır ki, diskriminant sıfıra bərabər olduqda, kvadrat tənliyin bir kökü olur. Bununla belə, bu halda tənliyin iki eyni kökə malik olduğunu fərz etsək, Vyeta teoremindən bərabərliklər də yerinə yetirilir. Həqiqətən də, D=0 üçün kvadrat tənliyin kökü , onda və , D=0 olduğundan, yəni b 2 −4·a·c=0 , buradan b 2 =4·a·c , onda .

Praktikada Vyeta teoremi ən çox x 2 +p·x+q=0 formasının azaldılmış kvadrat tənliyinə (ən yüksək əmsalı a 1-ə bərabərdir) münasibətdə istifadə olunur. Bəzən yalnız bu tip kvadrat tənliklər üçün tərtib edilir, bu da ümumiliyi məhdudlaşdırmır, çünki hər hansı kvadrat tənlik onun hər iki hissəsini sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək yolu ilə ekvivalent tənliklə əvəz edilə bilər. Budur, Vyeta teoreminin müvafiq tənzimləməsi:

teorem.

Azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin cəmi x 2 + p x + q \u003d 0 əks işarə ilə alınan x-dəki əmsala bərabərdir və köklərin məhsulu sərbəst müddətdir, yəni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Vyeta teoreminə tərs teorem

Əvvəlki paraqrafda verilmiş Vyeta teoreminin ikinci tərtibi göstərir ki, əgər x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridirsə, onda x 1 +x 2 = − münasibətləri p , x 1 x 2=q. Digər tərəfdən, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yazılı münasibətlərdən belə nəticə çıxır ki, x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 kvadrat tənliyinin kökləridir. Başqa sözlə, Vyeta teoreminin əksinə olan iddia doğrudur. Biz onu teorem şəklində tərtib edirik və sübut edirik.

teorem.

Əgər x 1 və x 2 ədədləri x 1 +x 2 =−p və x 1 x 2 =q olarsa, x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridir. .

Sübut.

Onların ifadəsinin x 2 +p x+q=0 tənliyində p və q əmsallarını x 1 və x 2 vasitəsilə əvəz etdikdən sonra ekvivalent tənliyə çevrilir.

Əldə edilən tənliyə x əvəzinə x 1 ədədini qoyuruq, bərabərliyə sahibik x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, hər hansı x 1 və x 2 üçün düzgün ədədi bərabərlik 0=0, çünki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Beləliklə, x 1 tənliyin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu o deməkdir ki, x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tənliyinin köküdür.

Tənlikdə olarsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x əvəzinə x 2 ədədini əvəz etsək, bərabərliyi əldə edirik x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu düzgün tənlikdir, çünki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Deməli, x 2 də tənliyin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, və deməli, x 2 +p x+q=0 tənlikləri.

Bu, Vyeta teoreminin əksinə olan teoremin sübutunu tamamlayır.

Vyeta teoremindən istifadə nümunələri

Vyeta teoreminin praktik tətbiqi və onun tərs teoremindən danışmağın vaxtı gəldi. Bu alt bölmədə bir neçə ən tipik nümunənin həllini təhlil edəcəyik.

Biz Vyeta teoreminin əksinə bir teoremi tətbiq etməklə başlayırıq. Verilmiş iki ədədin verilmiş kvadrat tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlamaq üçün ondan istifadə etmək rahatdır. Bu zaman onların cəmi və fərqi hesablanır, bundan sonra münasibətlərin etibarlılığı yoxlanılır. Əgər bu münasibətlərin hər ikisi təmin olunarsa, onda Vyeta teoreminin əksinə olan teorem sayəsində bu ədədlərin tənliyin kökləri olduğu qənaətinə gəlinir. Əgər münasibətlərdən ən azı biri təmin edilmirsə, bu ədədlər kvadrat tənliyin kökləri deyil. Tapılan kökləri yoxlamaq üçün kvadrat tənliklərin həlli zamanı bu yanaşmadan istifadə etmək olar.

Misal.

1) x 1 =−5, x 2 =3 və ya 2), və ya 3) ədəd cütlərindən hansı 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tənliyinin kök cütüdür?

Həll.

Verilmiş 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tənliyinin əmsalları a=4 , b=−16 , c=9 . Vyeta teoreminə görə, kvadrat tənliyin köklərinin cəmi −b/a, yəni 16/4=4, köklərin hasili isə c/a, yəni 9-a bərabər olmalıdır. /4.

İndi gəlin verilmiş üç cütün hər birindəki ədədlərin cəmini və hasilini hesablayaq və onları indicə alınan qiymətlərlə müqayisə edək.

Birinci halda bizdə x 1 +x 2 =−5+3=−2 var. Nəticə dəyər 4-dən fərqlidir, buna görə də əlavə yoxlama aparıla bilməz, lakin teorem, Vyeta teoreminin tərsi ilə dərhal belə nəticəyə gələ bilərik ki, ilk cüt ədəd verilmiş kvadrat tənliyin kökləri deyil. .

İkinci işə keçək. Burada, yəni birinci şərt ödənilir. İkinci şərti yoxlayırıq: , nəticədə alınan dəyər fərqlidir 9/4 . Deməli, ikinci ədəd cütü kvadrat tənliyin kök cütü deyil.

Son hal qalır. Burada və. Hər iki şərt yerinə yetirilir, ona görə də bu x 1 və x 2 ədədləri verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir.

Cavab:

Vyeta teoreminin əksi olan teoremdən kvadrat tənliyin köklərini seçmək üçün praktikada istifadə oluna bilər. Adətən, tam əmsallı verilmiş kvadrat tənliklərin tam kökləri seçilir, çünki digər hallarda bunu etmək olduqca çətindir. Eyni zamanda ondan istifadə edirlər ki, əgər iki ədədin cəmi mənfi işarəsi ilə götürülmüş kvadrat tənliyin ikinci əmsalına bərabərdirsə və bu ədədlərin hasili sərbəst müddətə bərabərdirsə, onda bu ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri. Bununla bir nümunə ilə məşğul olaq.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tənliyini götürək. x 1 və x 2 ədədlərinin bu tənliyin kökləri olması üçün iki x 1 +x 2 \u003d 5 və x 1 x 2 \u003d 6 bərabərliyi təmin edilməlidir. Bu cür nömrələri seçmək qalır. Bu halda bunu etmək olduqca sadədir: 2 və 3 belə ədədlərdir, çünki 2+3=5 və 2 3=6 . Beləliklə, 2 və 3 bu kvadrat tənliyin kökləridir.

Vyeta teoreminin əksinə olan teorem, köklərdən biri artıq məlum və ya aydın olduqda, azaldılmış kvadrat tənliyin ikinci kökünü tapmaq üçün xüsusilə əlverişlidir. Bu halda ikinci kök münasibətlərin hər hansı birindən tapılır.

Məsələn, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tənliyini götürək. Burada asanlıqla görmək olar ki, vahid tənliyin köküdür, çünki bu kvadrat tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır. Beləliklə, x 1 = 1. İkinci kök x 2, məsələn, x 1 x 2 =c/a münasibətindən tapıla bilər. Bizdə 1 x 2 =−3/512 , buradan x 2 =−3/512 . Beləliklə, biz kvadrat tənliyin hər iki kökünü təyin etdik: 1 və −3/512.

Aydındır ki, köklərin seçilməsi yalnız ən sadə hallarda məqsədəuyğundur. Digər hallarda, kökləri tapmaq üçün kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarını diskriminant vasitəsilə tətbiq etmək olar.

Teoremin digər praktik tətbiqi, Vyeta teoreminin tərsi verilmiş x 1 və x 2 kökləri üçün kvadrat tənliklərin tərtibidir. Bunun üçün verilmiş kvadrat tənliyin əks işarəli x əmsalını verən köklərin cəmini və sərbəst termini verən köklərin hasilini hesablamaq kifayətdir.

Misal.

Kökləri −11 və 23 ədədləri olan kvadrat tənliyi yazın.

Həll.

x 1 =−11 və x 2 =23 işarələyin. Bu ədədlərin cəmini və məhsulunu hesablayırıq: x 1 + x 2 \u003d 12 və x 1 x 2 \u003d −253. Deməli, bu ədədlər ikinci əmsalı -12 və sərbəst həddi -253 olan verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir. Yəni x 2 −12·x−253=0 istənilən tənlikdir.

Cavab:

x 2 −12 x−253=0 .

Vyeta teoremi kvadrat tənliklərin köklərinin işarələri ilə bağlı tapşırıqların həllində çox istifadə olunur. Vyeta teoremi x 2 +p x+q=0 endirilmiş kvadrat tənliyin köklərinin işarələri ilə necə əlaqələndirilir? Budur iki müvafiq bəyanat:

Əgər q kəsişməsi müsbət ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, ya onların hər ikisi müsbətdir, ya da hər ikisi mənfidir.
Sərbəst q termini mənfi ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, onda onların işarələri fərqlidir, başqa sözlə desək, bir kök müsbət, digəri isə mənfidir.

Bu ifadələr x 1 x 2 =q düsturundan, həmçinin müsbət, mənfi ədədlərin və müxtəlif işarəli ədədlərin vurulması qaydalarından irəli gəlir. Onların tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirin.

Misal.

R müsbətdir. Diskriminant düsturuna əsasən D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 ifadəsinin qiymətini tapırıq. +8 istənilən real r üçün müsbətdir, buna görə də istənilən real r üçün D>0. Buna görə də, orijinal kvadrat tənliyin r parametrinin istənilən həqiqi dəyəri üçün iki kökü var.

İndi köklərin nə vaxt fərqli əlamətləri olduğunu öyrənək. Köklərin işarələri müxtəlifdirsə, onda onların hasili mənfi olur və Vyeta teoremi ilə verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst müddətə bərabərdir. Buna görə də, r-1 sərbəst termininin mənfi olduğu r dəyərləri ilə maraqlanırıq. Beləliklə, bizim üçün maraqlı olan r dəyərlərini tapmaq üçün bizə lazımdır xətti bərabərsizliyi həll edin r−1<0 , откуда находим r<1 .

Cavab:

r<1 .

Vieta düsturları

Yuxarıda, kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi haqqında danışdıq və onun təsdiq etdiyi əlaqələri təhlil etdik. Amma elə düsturlar var ki, təkcə kvadrat tənliklərin deyil, həm də kub tənliklərin, dördlü tənliklərin və ümumiyyətlə, həqiqi kökləri və əmsallarını birləşdirən cəbri tənliklər dərəcə n. Onlar çağırılır Vieta düsturları.

Formanın n dərəcəli cəbri tənliyi üçün Vyeta düsturlarını yazırıq, halbuki onun n həqiqi kökünün x 1, x 2, ..., x n olduğunu güman edirik (onların arasında eyni ola bilər):

Vieta düsturları əldə etməyə imkan verir çoxhədli faktorlara ayırma teoremi, həmçinin bərabər çoxhədlilərin bütün uyğun əmsallarının bərabərliyi vasitəsilə müəyyən edilməsi. Beləliklə, çoxhədli və onun formanın xətti amillərinə genişlənməsi bərabərdir. Sonuncu məhsulda mötərizələri açaraq və müvafiq əmsalları bərabərləşdirərək, Vieta düsturlarını əldə edirik.

Xüsusilə, n=2 üçün kvadrat tənlik üçün artıq tanış Vyeta düsturlarımız var.

Bir kub tənliyi üçün Vyeta düsturları formaya malikdir

Yalnız Vyeta düsturlarının sol tərəfində elementar deyilənlərin olduğunu qeyd etmək qalır simmetrik polinomlar.

Biblioqrafiya.

cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. Saat 14:00-da 1-ci hissə. Təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.
Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; red. A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - M.: Maarifçilik, 2010.- 368 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Vyeta teoremi tez-tez tapılmış kökləri yoxlamaq üçün istifadə olunur. Əgər kökləri tapmısınızsa, \(p\) dəyərlərini hesablamaq üçün \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) düsturlarından istifadə edə bilərsiniz. ) və \(q\ ). Əgər onlar orijinal tənlikdəki kimi olarsa, köklər düzgün tapılmışdır.

Məsələn, istifadə edək, \(x^2+x-56=0\) tənliyini həll edək və kökləri əldə edək: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Həll prosesində səhv edib-etmədiyimizi yoxlayaq. Bizim vəziyyətimizdə \(p=1\) və \(q=-56\). Vyeta teoreminə görə biz var:

\(\begin(hallar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(hallar)\) \(\Sol sağarrow\) \(\begin(hals)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(hallar)\) \(\Sol sağarrow\) \(\begin(hallar)-1=-1\\-56=-56\end(hallar)\ )

Hər iki ifadə birləşdi, yəni tənliyi düzgün həll etdik.

Bu test şifahi olaraq edilə bilər. 5 saniyə çəkəcək və sizi axmaq səhvlərdən xilas edəcək.

Tərs Vyeta teoremi

Əgər \(\begin(hallar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(hals)\), onda \(x_1\) və \(x_2\) kvadrat tənliyin kökləridir \ (x^ 2+px+q=0\).

Və ya sadə şəkildə: \(x^2+px+q=0\) şəklində bir tənliyiniz varsa, o zaman \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ sistemini həll etməklə. cdot x_2=q\ end(cases)\) onun köklərini tapacaqsınız.

Bu teorem sayəsində kvadrat tənliyin köklərini tez tapa bilərsiniz, xüsusən də bu köklər . Bu bacarıq vacibdir, çünki çox vaxta qənaət edir.

Misal . \(x^2-5x+6=0\) tənliyini həll edin.

Həll : Tərs Vyeta teoremindən istifadə edərək, köklərin şərtləri ödədiyini alırıq: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(hals)\).
\(x_1 \cdot x_2=6\) sisteminin ikinci tənliyinə baxın. \(6\) ədədi hansı ikiyə parçalana bilər? \(2\) və \(3\), \(6\) və \(1\) və ya \(-2\) və \(-3\) və \(-6\) və \(- bir\). Hansı cütü seçmək lazım olduğunu sistemin ilk tənliyi izah edəcək: \(x_1+x_2=5\). \(2\) və \(3\) oxşardır, çünki \(2+3=5\).
Cavab verin : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Nümunələr . Vyeta teoreminin tərsindən istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini tapın:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Həll :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) hansı amillərə parçalanır? \(2\) və \(7\), \(-2\) və \(-7\), \(-1\) və \(-14\), \(1\) və \(14\ ). \(15\)-ə hansı ədəd cütləri toplanır? Cavab: \(1\) və \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) hansı amillərə parçalanır? \(-2\) və \(2\), \(4\) və \(-1\), \(1\) və \(-4\). Hansı ədəd cütləri \(-3\) toplayır? Cavab: \(1\) və \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) hansı amillərə parçalanır? \(4\) və \(5\), \(-4\) və \(-5\), \(2\) və \(10\), \(-2\) və \(-10\ ), \(-20\) və \(-1\), \(20\) və \(1\). Hansı ədəd cütləri \(-9\) toplayır? Cavab: \(-4\) və \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) hansı amillərə parçalanır? \(390\) və \(2\). Onlar \(88\)-ə qədər toplayırlar? Yox. \(780\) başqa hansı çarpanlara malikdir? \(78\) və \(10\). Onlar \(88\)-ə qədər toplayırlar? Bəli. Cavab: \(78\) və \(10\).

Son termini bütün mümkün amillərə bölmək lazım deyil (son nümunədə olduğu kimi). Onların cəminin \(-p\) verdiyini dərhal yoxlaya bilərsiniz.

Vacibdir! Vyeta teoremi və əksinə teoremi yalnız , yəni \(x^2\) qarşısındakı əmsalı birə bərabər olan biri ilə işləyir. Əgər ilkin olaraq azaldılmamış tənliyimiz varsa, onda onu sadəcə \ (x ^ 2 \) qarşısındakı əmsala bölmək yolu ilə azalda bilərik.

Misal üçün, \(2x^2-4x-6=0\) tənliyi verilsin və biz Vyeta teoremlərindən birini istifadə etmək istəyirik. Amma biz bacarmırıq, çünki \(x^2\)-dən əvvəlki əmsal \(2\)-ə bərabərdir. Gəlin bütün tənliyi \(2\)-ə bölməklə ondan xilas olaq.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Hazır. İndi hər iki teoremdən istifadə edə bilərik.

Tez-tez verilən suallara cavablar

Sual: Vyeta teoremi ilə hər hansı bir həll edə bilərsiniz?
Cavab: Təəssüf ki, heç bir. Əgər tənlikdə tam ədədlər yoxdursa və ya tənliyin kökü ümumiyyətlə yoxdursa, Vyeta teoremi kömək etməyəcək. Bu vəziyyətdə istifadə etmək lazımdır diskriminant . Xoşbəxtlikdən, məktəb riyaziyyat kursunda tənliklərin 80%-nin tam həlli var.

Vyeta teoremi (daha dəqiq desək, Vyeta teoreminə tərs teorem) kvadrat tənliklərin həlli üçün vaxtı azaltmağa imkan verir. Sadəcə ondan necə istifadə edəcəyinizi bilmək lazımdır. Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənlikləri həll etməyi necə öyrənmək olar? Bir az düşünsəniz asan olar.

İndi biz ancaq Vyeta teoremindən istifadə edərək azaldılmış kvadrat tənliyin həllindən danışacağıq.Kiçərilən kvadrat tənlik a, yəni x² qarşısındakı əmsalı birə bərabər olan tənlikdir. Verilməyən kvadrat tənlikləri Vyeta teoremindən istifadə etməklə də həll etmək olar, lakin orada köklərdən heç olmasa biri tam ədəd deyil. Onları təxmin etmək daha çətindir.

Teorem Vyeta teoreminin əksinə deyir: əgər x1 və x2 ədədləri belədirsə

onda x1 və x2 kvadrat tənliyin kökləridir

Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənliyi həll edərkən yalnız 4 variant mümkündür. Əgər düşünmənin gedişatını xatırlasanız, bütün kökləri çox tez tapmağı öyrənə bilərsiniz.

I. Əgər q müsbət ədəddirsə,

bu o deməkdir ki, x1 və x2 kökləri eyni işarəli ədədlərdir (çünki yalnız eyni işarəli ədədləri vuranda müsbət ədəd alınır).

I.a. -p müsbət ədəddirsə, (müvafiq olaraq, səh<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

İ.b. -p mənfi ədəddirsə, (müvafiq olaraq, p>0), onda hər iki kök mənfi ədəddir (eyni işarəli nömrələri əlavə etdilər, mənfi ədəd aldılar).

II. Əgər q mənfi ədəddirsə,

bu o deməkdir ki, x1 və x2 kökləri müxtəlif işarələrə malikdir (ədədləri vurarkən yalnız amillərin əlamətləri fərqli olduqda mənfi ədəd alınır). Bu halda, x1 + x2 artıq cəmi deyil, fərqdir (hər şeydən sonra, müxtəlif işarəli ədədləri əlavə edərkən, böyük moduldan kiçik olanı çıxarırıq). Buna görə də x1 + x2 x1 və x2 köklərinin nə qədər fərqləndiyini, yəni bir kökün digərindən nə qədər çox olduğunu göstərir (modul).

II.a. -p müsbət ədəddirsə, (yəni səh<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p mənfi ədəddirsə, (p>0), onda böyük (modulo) kök mənfi ədəddir.

Nümunələrdən istifadə etməklə kvadrat tənliklərin Vyeta teoreminə əsasən həllini nəzərdən keçirin.

Verilmiş kvadrat tənliyi Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edin:

Burada q=12>0 olduğu üçün x1 və x2 kökləri eyni işarəli ədədlərdir. Onların cəmi -p=7>0 olduğuna görə hər iki kök müsbət ədəddir. Məhsulu 12 olan tam ədədləri seçirik. Bunlar 1 və 12, 2 və 6, 3 və 4-dür. 3 və 4 cütü üçün cəmi 7-dir. Deməli, 3 və 4 tənliyin kökləridir.

Bu misalda q=16>0, yəni x1 və x2 kökləri eyni işarəli ədədlərdir. Onların cəmi -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Burada q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, daha böyük rəqəm müsbətdir. Beləliklə, köklər 5 və -3-dür.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Səkkizinci sinifdə şagirdlər kvadrat tənliklər və onların həlli üsulları ilə tanış olurlar. Eyni zamanda, təcrübənin göstərdiyi kimi, tələbələrin əksəriyyəti tam kvadrat tənlikləri həll edərkən yalnız bir üsuldan - kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə edirlər. Yaxşı şifahi hesablama bacarığı olan tələbələr üçün bu üsul açıq şəkildə irrasionaldır. Şagirdlər tez-tez orta məktəbdə kvadrat tənlikləri həll etməli olurlar və orada diskriminantın hesablanmasına vaxt sərf etmək sadəcə olaraq təəssüf doğurur. Fikrimcə, kvadrat tənlikləri öyrənərkən Vyeta teoreminin tətbiqinə daha çox vaxt və diqqət yetirilməlidir (A.G. Mordkoviç Cəbr-8-in proqramına əsasən, “Vyeta teoremi. kvadrat trinomial xətti amillərə çevrilir”).

Əksər cəbr dərsliklərində bu teorem azaldılmış kvadrat tənlik üçün tərtib edilir və deyir ki, tənliyin kökləri varsa və , onda onlar bərabərlikləri ödəyir, . Sonra Vyeta teoreminə zidd bir müddəa tərtib edilir və bu mövzu üzərində işləmək üçün bir sıra nümunələr təklif olunur.

Gəlin konkret misallar götürək və Vyeta teoremindən istifadə edərək onların üzərində həllin məntiqini izləyək.

Misal 1. Tənliyi həll edin.

Tutaq ki, bu tənliyin kökləri var, yəni, və. Sonra Vyeta teoremi ilə bərabərliklər

Qeyd edək ki, köklərin hasili müsbət ədəddir. Beləliklə, tənliyin kökləri eyni işarəyə malikdir. Və köklərin cəmi də müsbət ədəd olduğu üçün belə nəticəyə gəlirik ki, tənliyin hər iki kökü müsbətdir. Köklərin məhsuluna qayıdaq. Fərz edək ki, tənliyin kökləri müsbət tam ədədlərdir. Onda düzgün birinci bərabərliyi yalnız iki yolla əldə etmək olar (amillərin sırasına qədər): və ya . Təklif olunan cüt ədədlər üçün Vyeta teoreminin ikinci təsdiqinin mümkünlüyünü yoxlayaq: . Beləliklə, 2 və 3 rəqəmləri hər iki bərabərliyi təmin edir və deməli, verilmiş tənliyin kökləridir.

Cavab: 2; 3.

Vyeta teoremindən istifadə edərək verilmiş kvadrat tənliyi həll edərkən əsas mülahizə mərhələlərini ayırırıq:

Vyeta teoreminin təsdiqini yazın

(*)

tənliyin köklərinin işarələrini təyin edin (Əgər hasil və köklərin cəmi müsbətdirsə, onda hər iki kök müsbət ədəddir. Köklərin hasilatı müsbət ədəd, köklərin cəmi isə mənfi olarsa, onda hər iki kök mənfi ədəddir.Əgər köklərin hasili mənfi ədəddirsə, onda köklər müxtəlif işarələrə malikdir.Bundan əlavə, köklərin cəmi müsbətdirsə, modulu daha böyük olan kök müsbət ədəddir və əgər köklərin cəmi sıfırdan kiçikdir, onda modulu daha böyük olan kök mənfi ədəddir);
hasili qeyddə (*) düzgün birinci bərabərliyi verən tam ədəd cütlərini seçin;
tapılan ədəd cütlərindən (*) işarəsində ikinci bərabərliyə əvəz edildikdə düzgün bərabərliyi verəcək cütü seçin;
cavabda tənliyin tapılmış köklərini göstərin.

Daha bir neçə misal verək.

Misal 2: Tənliyi həll edin .

Həll.

Verilmiş tənliyin kökləri olsun və olsun. Sonra Vyeta teoreminə görə, hasilin müsbət, cəminin isə mənfi olduğunu qeyd edin. Beləliklə, hər iki kök mənfi ədəddir. 10 (-1 və -10; -2 və -5) hasilini verən faktor cütlərini seçirik. İkinci nömrə cütü -7-yə qədər toplayır. Beləliklə, -2 və -5 rəqəmləri bu tənliyin kökləridir.

Cavab: -2; -5.

Misal 3. Tənliyi həll edin .

Həll.

Verilmiş tənliyin kökləri olsun və olsun. Sonra Vyeta teoremi ilə məhsulun mənfi olduğunu qeyd edin. Beləliklə, köklər müxtəlif işarələrə malikdir. Köklərin cəmi də mənfi ədəddir. Beləliklə, modulu ən böyük olan kök mənfidir. Məhsulu -10 (1 və -10; 2 və -5) verən faktor cütlərini seçirik. İkinci nömrə cütü -3-ə qədər toplayır. Beləliklə, 2 və -5 rəqəmləri bu tənliyin kökləridir.

Cavab: 2; -5.

Qeyd edək ki, Vyeta teoremi prinsipcə tam kvadrat tənlik üçün tərtib edilə bilər: kvadrat tənlik olarsa kökləri var və , onda onlar bərabərlikləri ödəyir, . Bununla belə, bu teoremin tətbiqi olduqca problemlidir, çünki tam kvadrat tənlikdə köklərdən ən azı biri (əgər varsa, əlbəttə ki) kəsr ədəddir. Və fraksiyaların seçimi ilə işləmək uzun və çətindir. Ancaq yenə də çıxış yolu var.

Tam kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin . Tənliyin hər iki tərəfini birinci əmsala vurun a və tənliyi formada yazın . Yeni dəyişən təqdim edirik və kökləri və (əgər varsa) Vyeta teoremindən istifadə etməklə tapıla bilən azaldılmış kvadrat tənliyi əldə edirik. Sonra orijinal tənliyin kökləri olacaq. Qeyd edək ki, köməkçi azaldılmış tənliyi yazmaq çox asandır: ikinci əmsal qorunub saxlanılır, üçüncü əmsal isə məhsula bərabərdir. ace. Müəyyən bir bacarıqla tələbələr dərhal köməkçi tənlik qurur, Vyeta teoremindən istifadə edərək onun köklərini tapır və verilmiş tam tənliyin köklərini göstərirlər. Nümunələr verək.

Misal 4. Tənliyi həll edin .

Köməkçi tənlik yaradaq və Vyeta teoremi ilə onun köklərini tapırıq. Beləliklə, orijinal tənliyin kökləri .

Cavab: .

Misal 5. Tənliyi həll edin .

Köməkçi tənlik formaya malikdir. Vyeta teoreminə görə onun kökləri . Orijinal tənliyin köklərini tapırıq .

Cavab: .

Və daha bir hal, Vyeta teoreminin tətbiqi tam kvadrat tənliyin köklərini şifahi olaraq tapmağa imkan verdikdə. Bunu sübut etmək asandır 1 rəqəmi tənliyin köküdür , yalnız və yalnız əgər. Tənliyin ikinci kökü Vyeta teoremi ilə tapılır və -ə bərabərdir. Daha bir açıqlama: belə ki -1 rəqəmi tənliyin kökü olsun üçün zəruri və kifayətdir. Onda Vyeta teoreminə görə tənliyin ikinci kökü -ə bərabərdir. Oxşar ifadələr azaldılmış kvadrat tənlik üçün tərtib edilə bilər.

Misal 6. Tənliyi həll edin.

Qeyd edək ki, tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır. Beləliklə, tənliyin kökləri .