Ensiklopedik YouTube

1 / 5

Hərəkətli Orta Proses, MA(q)

008. Zaman seriyasının proqnozlaşdırılması - K.V. Vorontsov

Altyazılar

Avtoreqressiv və hərəkətli ortalama modeli müvafiq olaraq avtoreqressiv modeli və hərəkətli orta proses modelini ümumiləşdirir. Yəni yt = sabit + b1yt − 1 + b2y2 − 2 +... +, y-nin p keçmiş qiymətləri istifadə olunur, + εt + a1εt − 1 + a2 εt − şəklində stasionar prosesdir. 2 ,..., cəmi q əvvəlki qiymətlər ε qiymətlər. Və biz fərz edirik ki, p + q cəmi minimal olaraq mümkündür, yəni bu qeyd ən qısadır. Hərəkətli orta avtoreqressiv proseslər, qısaca olaraq: ARMA(p, q). Birincisi, p parametri AR hissəsindəki y-də lagların sayıdır, MA isə... q - hərəkət edən orta hissədə gecikmələrin sayıdır. İfadə nə deməkdir: p + q cəmi mümkün olan minimumdur? Belə çıxır ki, mən eyni prosesi bir neçə tənliklə yaza bilərəm. Yaxşı, məsələn, yt sadəcə ağ səs-küydürsə, yəni yt = εt, onda mən dünənki y-ni bugünkü y-dən götürürəm və bu yt - yt -1 = εt - εt - 1-i alıram. Və buna uyğun olaraq çevrilir. Mən mahiyyətcə eyni prosesi qeyd iki formaları var ki,. Və təbii ki, biz ən qısa qeydi, ən qısa formada yt = εt seçirik. Bu ARMA(0, 0) prosesidir və əvvəlki y tənlik dəyərləri və əvvəlki ε tənlik dəyərləri yoxdur. ARMA prosesləri müəyyən mənada stasionar proseslər haqqında bilməli olduğumuz hər şeydir. İstənilən stasionar prosesin AR-sonsuzluğu kimi təqdim oluna biləcəyini söyləyən bir teorem var. Yəni sonsuz sayda əvvəlki gecikmələrə malik AR prosesi. Və ARMA prosesində siz p,q kifayət qədər böyük gecikmələrin sayını seçə və keçmiş oyunçular və keçmiş epsilonlardan əvvəl əmsalları seçə bilərsiniz ki, istənilən AR (∞) prosesini yüksək dəqiqliklə təxmin edəsiniz. Müvafiq olaraq, praktikada məlum olur ki, proseslərin ARMA (p, q) istənilən stasionar prosesi modelləşdirmək üçün kifayətdir. Ümumilikdə, ARMA prosesləri ilə bağlı aşağıdakı nəticələr əldə edirik: onların əmsallarının şərh edilməməsi, ayrı-ayrı əmsalların şərhi mümkün deyil, lakin onlar olduqca yaxşı proqnozlaşdırırlar və buna görə də onlardan istifadə edəcəyik. Proqnozlaşdırmaq üçün əvvəlcə modeli qiymətləndirmək lazımdır. Müvafiq olaraq, girişdə T müşahidələrimiz olacaq: y1, y2,..., yT. Və naməlum əmsalları qiymətləndirmək üçün maksimum ehtimal metodundan istifadə edəcəyik. Maksimum ehtimal metodu ε təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu ilə bağlı daha konkret fərziyyələr tələb edir. Standart olaraq qəbul edilir ki, ε müstəqildir və sıfır orta və sabit dispersiya ς-kvadrat ilə normal paylanmaya malikdir. Həmçinin yt prosesinin stasionarlığını və yt üzərində ARMA prosesinin tənliyinin yerinə yetirilməsini qəbul edirik. Maksimum ehtimal metodunun tətbiqi nəticəsində naməlum əmsalların təxminlərinin vektorunu alırıq. Naməlum göstəricilər bunlardır: a1, a2, a3,..., aq, müvafiq olaraq, qapaqlı a1, qapaqlı a2,..., qapaqlı aq alırıq. Və b1, b2,..., bp əmsalları da naməlum göstəricilərdir, onların təxminlərini alırıq, yəni qapaqlı bi, ağ səs-küy dispersiya göstəriciləri ε, ς-kvadrat da naməlumdur, onun qiymətini alırıq. Əmsalların özlərini qiymətləndirməkdən əlavə, maksimum ehtimal metodu bizə kovariasiya matrisinin təxmini də verir. VAR qapaqlı, θ qapaqlı. Və buna uyğun olaraq, əmsalların təxminlərinə və onların kovariasiya matrisinin təxmininə malik olmaqla, biz etimad intervalları qura və hipotezləri sınaqdan keçirə bilərik. Təəssüf ki, yalnız asimptotik olaraq, yəni yalnız böyük N üçün. Burada hətta fərdi εt-nin normallığını qəbul edən kiçik nümunələr üçün heç bir nəticə yoxdur, lakin buna baxmayaraq, böyük nümunələr üçün aj əmsalının qapaq ilə qiymətləndirilməsini iddia edə bilərik. minus real aj, standart xətaya bölünən qapaqlı aj orta 0 və dispersiya 1-ə bərabər olan normal standart paylanmaya meyllidir. Bu, bizə fərziyyələri sınaqdan keçirməyə və etimad intervallarını qurmağa imkan verir.

Tərif

ARMA( səh, q), harada səh Və q- modelin sırasını təyin edən tam ədədlər adlanır növbəti proses zaman sıralarının nəsli ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)):

X t = c + ε t + ∑ i = 1 p α i X t − i + ∑ i = 1 q β i ε t − i . (\displaystyle X_(t)=c+\varepsilon _(t)+\sum _(i=1)^(p)\alpha _(i)X_(ti)+\sum _(i=1)^(q )\beta _(i)\varepsilon _(ti).)

harada c (\displaystyle c)- Sabit, ( ε t ) (\displaystyle \(\varepsilon _(t)\))- ağ səs-küy, yəni müstəqil və bərabər paylanmış təsadüfi dəyişənlər ardıcıllığı (adətən normal), orta dəyəri sıfır və α 1 , … , α p (\displaystyle \alpha _(1),\ldots ,\alpha _(p)) Və β 1 , … , β q (\displaystyle \beta _(1),\ldots ,\beta _(q)) müvafiq olaraq real ədədlər, avtoreqressiv əmsallar və hərəkətli orta əmsallardır.

Belə bir model, izahlı dəyişənlərin asılı dəyişənin özünün keçmiş dəyərləri olduğu və reqressiya qalığı kimi ağ səs-küy elementlərinin hərəkətli ortalamalarının istifadə edildiyi xətti çoxlu reqressiya modeli kimi şərh edilə bilər. ARMA prosesləri oxşar AR və ya MA prosesləri ilə müqayisədə daha mürəkkəb struktura malikdir, lakin ARMA prosesləri daha az parametrlərlə xarakterizə olunur ki, bu da onların üstünlüklərindən biridir.

Operator təmsili. Stasionarlıq və vahid köklər

Lag operatorunu təqdim etsək L: L x t = x t − 1 (\displaystyle L:~Lx_(t)=x_(t-1)), onda ARMA modeli aşağıdakı kimi yazıla bilər

X t = c + (∑ i = 1 p α i L i) X t + (1 + ∑ i = 1 q β i L i) ε t (\displaystyle X_(t)=c+(\sum _(i=) 1)^(p)\alpha _(i)L^(i))X_(t)+(1+\sum _(i=1)^(q)\beta _(i)L^(i)) \varepsilon _(t)) (1 − ∑ i = 1 p α i L i) X t = c + (1 + ∑ i = 1 q β i L i) ε t (\displaystyle (1-\sum _(i=1)^(p) )\alpha _(i)L^(i))X_(t)=c+(1+\sum _(i=1)^(q)\beta _(i)L^(i))\varepsilon _( t))

Sol və sağ tərəflərin çoxhədliləri üçün qısaldılmış qeydləri təqdim etməklə nəhayət yaza bilərik.

α (L) X t = c + β (L) ε t (\displaystyle \alpha (L)X_(t)=c+\beta (L)\varepsilon _(t))

Prosesin stasionar olması üçün avtoreqressiv hissənin xarakterik polinomunun kökləri olmalıdır. α (z) (\displaystyle \alpha (z)) mürəkkəb müstəvidə vahid dairədən kənarda yatırlar (onlar mütləq dəyərdə birlikdən ciddi şəkildə böyük idilər). Stasionar ARMA prosesi sonsuz MA prosesi kimi təqdim edilə bilər

X t = α − 1 (L) c + α − 1 (L) β (L) ε t = c / a (1) + ∑ i = 0 ∞ ci ε t − i (\displaystyle X_(t)=\ alfa ^(-1)(L)c+\alfa ^(-1)(L)\beta (L)\varepsilon _(t)=c/a(1)+\sum _(i=0)^(\ infty )c_(i)\varepsilon _(ti))

Məsələn, ARMA(1,0)=AR(1) prosesi həndəsi irəliləmənin azalan əmsalları ilə sonsuz nizamlı MA prosesi kimi təqdim edilə bilər:

X t = c / (1 − a) + ∑ i = 0 ∞ ai ε t − i (\displaystyle X_(t)=c/(1-a)+\sum _(i=0)^(\infty ) a^(i)\varepsilon _(ti))

Beləliklə, ARMA prosesləri əmsalların strukturunda müəyyən məhdudiyyətlərlə sonsuz nizamlı MA prosesləri hesab edilə bilər. Az sayda parametrlərlə onlar kifayət qədər mürəkkəb strukturun proseslərini təsvir etməyə imkan verir. Bütün stasionar proseslər yalnız MA modellərindən istifadə etməklə müqayisədə əhəmiyyətli dərəcədə daha az sayda parametrdən istifadə etməklə müəyyən bir nizamın ARMA modeli ilə özbaşına yaxınlaşdırıla bilər.

Qeyri-stasionar (inteqrasiya edilmiş) ARMA

Avtoreqressiv polinomun vahid kökləri olduqda proses qeyri-stasionar olur. Birdən az olan köklər praktikada nəzərə alınmır, çünki bunlar partlayıcı xarakterli proseslərdir. Müvafiq olaraq, zaman sıralarının stasionarlığını yoxlamaq üçün əsas testlərdən biri vahid köklər üçün testlərdir. Testlər vahid kökün mövcudluğunu təsdiqləyirsə, o zaman ilkin zaman seriyasının fərqləri təhlil edilir və müəyyən bir nizamlı fərqlərin stasionar prosesi üçün ARMA modeli qurulur (adətən birinci sıra kifayətdir, bəzən ikinci). Belə modellərə ARIMA-modelləri (inteqrasiya edilmiş ARMA) və ya Box-Cenkins modelləri deyilir. ARIMA(p, d,q) modeli, burada d inteqrasiya sırasıdır (orijinal zaman sıralarının fərqlərinin sırası), p və q AR və MA sırasıdır - ARMA-nın fərqlər prosesinin hissələri d-ci sıra, aşağıdakı operator formasında yazıla bilər

α (L) △ d X t = c + β (L) ε t , △ = 1 − L (\displaystyle \alpha (L)\vartriangle ^(d)X_(t)=c+\beta (L)\varepsilon _(t)~,~~~\vartriangle =1-L)

ARIMA(p, d,q) prosesi d vahid kökləri olan ARMA(p+d, q) prosesinə ekvivalentdir.

Modelin qurulması

Bir sıra müşahidələr əsasında ARMA modelini qurmaq üçün modelin sırasını (nömrələr) müəyyən etmək lazımdır. səh Və q), sonra isə əmsalların özləri. Modelin sırasını müəyyən etmək üçün zaman seriyasının onun avtokorrelyasiya funksiyası və qismən avtokorrelyasiya funksiyası kimi xüsusiyyətlərinin öyrənilməsindən istifadə etmək olar. Əmsalları müəyyən etmək üçün ən kiçik kvadratlar üsulu və maksimum ehtimal metodu kimi üsullardan istifadə olunur.

ARMAX modelləri

Klassik ARMA modellərinə bəzi ekzogen x faktorları əlavə edilə bilər. Üstəlik, ümumi halda, model yalnız bu amillərin cari dəyərlərini deyil, həm də geriləmə dəyərlərini əhatə edir. Belə modellərə adətən ARMAX(p, q, k) deyilir, burada k ekzogen amillərin gecikmələrinin sayıdır. Operator şəklində belə modellər aşağıdakı kimi yazıla bilər (bir ekzogen faktor)

A (L) yt = c + b (L) ε t + d (L) xt (\displaystyle a(L)y_(t)=c+b(L)\varepsilon _(t)+d(L)x_ (t))

burada a(L), b(L), d(L) gecikmə operatorunda müvafiq olaraq p, q, k tərtibli polinomlardır.

Qeyd etmək lazımdır ki, belə modellər fərqli şəkildə şərh edilə bilər - təsadüfi səhvləri MA(q) olan ADL(p, k) modelləri kimi.

Box və Jenkins tərəfindən təklif edilən ümumi model həm avtoreqressiv, həm də hərəkətli orta parametrləri ehtiva edir. Beləliklə, model parametrlərinin üç növü var: avtoreqressiv parametrlər ( səh), fərq sırası ( d) hərəkətli orta parametrlər ( q). Box və Jenkins notasiyasında model ARISS( kimi yazılır. p,d,q). Məsələn, model ( 0 ,1 ,2 ) 0 (sıfır) avtoreqressiya parametrlərini ehtiva edir ( səh) və 2 hərəkətli orta parametr ( q), fərqi 1 gecikmə ilə götürdükdən sonra seriyalar üçün hesablanır.

Qeyri-stasionar sıralar ilkin seriyadan sıra fərqlərinə keçməklə stasionarlara çevrilir:

Praktikada fərqlər adətən 0, 1 və ya 2 gecikmə ilə götürülür. Fərq təkrar, bir neçə dəfə götürülə bilər.

Qeyri-stasionar sıranı stasionar sıraya çevirmək üçün başqa çevrilmələrdən istifadə edilə bilər. Məsələn, trend zaman seriyasından çıxarıla bilər və ya zaman seriyası eksponensial artımla xarakterizə olunursa, onda ilkin olaraq loqarifm əməliyyatından istifadə etmək faydalıdır.

Ümumi halda model üç mərhələli iterativ prosedurdan istifadə etməklə qurulur (şək. 5.3). Yalnız bundan sonra model proqnoz üçün istifadə edilə bilər.

İdentifikasiya iqtisadi (parametrlərin sayı baxımından) modellərin alt sinifinin müəyyən edilməsinə aiddir, bunlar arasında adekvat olanı axtarmaq lazımdır. Bu addımın məqsədi miqdarlar haqqında bir fikir əldə etməkdir p, d, q.

İdentifikasiya iki mərhələni əhatə edir: stasionarlığı təmin edən orijinal seriyanın fərq sırasının müəyyən edilməsi, seriya üçün ARCC modelinin müəyyən edilməsi. Hər iki mərhələdə təhlilin əsas alətləri ACF və PACF-dir. Onlar yalnız modelin növünü müəyyən etmək üçün deyil, həm də parametrlərin təxmini qiymətləndirilməsi üçün istifadə olunur.

Modelin tipini müəyyən etdikdən sonra modelin parametrlərini qiymətləndirmək və tədqiq olunan zaman seriyası üçün adekvatlığını yoxlamaq lazımdır. Modelin parametrlərini qiymətləndirmək üçün bir qayda olaraq maksimum ehtimal metodundan, adekvatlığını yoxlamaq üçün isə qalıqların təhlilinə əsaslanan metodlardan istifadə edilir.

Sonra, model qurma alqoritminin mərhələlərinin hər birini identifikasiya mərhələsinə xüsusi diqqət yetirərək nəzərdən keçirəcəyik, çünki proqnozlaşdırma prosesinin uğuru əsasən model növünün düzgün seçilməsindən asılıdır.

Beləliklə, fərqin ardıcıllığını müəyyən etməliyik , qeyri-stasionar sıranın stasionar sıraya çevrilməsini təmin edərdi.

Bunun üçün ilk növbədə orijinal seriyanın stasionar olub olmadığını müəyyən edirik.

Çox vaxt seriyanın qeyri-stasionarlığı vizual olaraq müəyyən edilə bilər, məsələn, monoton bir tendensiyanın olması, müxtəlif dalğalanmaların amplitudaları. müxtəlif hissələr traektoriyalar və s.

Qeyri-stasionarlığı göstərən sadalanan əlamətlərə əməl edilmirsə, ACF-nin qiymətləndirilməsi nəzərə alınmalıdır. Əgər çürüməyə meylli deyilsə, onda zaman seriyasının qeyri-stasionarlığından danışmaq olar. Əgər sıra stasionardırsa, onda . Əgər yoxsa, o zaman seriyanın birinci sırasının fərqi nəzərə alınmalıdır. Alınmış birinci fərqlər seriyasına yenidən stasionarlıq meyarı tətbiq edilir. Qeyri-stasionarlıqda onun birinci dərəcəli fərqləri yenidən götürülür və ya ilkin sıradan ikinci dərəcəli fərqlər götürülür (yəni bizdə ikinci dərəcəli fərq var) və yenidən qeyri-stasionarlıq meyarından istifadə edilir. Beləliklə, fərqin sırasını təyin edərkən, stasionarlığı təmin edən fərqin ardıcıllığının prosesin ACF-nin (və müvafiq olaraq ACF-nin) kifayət qədər sürətlə düşməsi (çürüməsi) olduğu qəbul edilir.

ACF-dən istifadə edən bir proses üçün biz və . Parametrləri müəyyən etmək üçün seriyanın seçmə ACF və ACF-ləri nəzərə alınır.

Qarışıq modeldə bu parametrləri birləşdirən aşağıdakı qanunauyğunluqlar mövcuddur:

Hərəkətli ortalama sifariş prosesi müşahidə olunsun. Sonra onun ACF logda pozulur. CHAKF tədricən azalır.

Hər iki parametrin sıfıra bərabər olmadığı modeldə ACF eksponensiallar və sönümlənmiş sinusoidlər şəklində təmsil olunur.

Göründüyü kimi, modelin parametrlərinin müəyyən edilməsi üçün kriteriyalar kifayət qədər qeyri-müəyyəndir və onların köməyi ilə birdən çox modelin müəyyən edilməsi mümkündür.

APCC(1,1) modeli.

ACF monoton və ya salınımlı şəkildə çürüyür.

FACF-də monoton və ya salınan çürüyən eksponensial termin üstünlük təşkil edir.

Tipik avtokorrelyasiya funksiyalarının bütün dəsti model parametrlərinin müxtəlif qiymətlərinin altı kombinasiyası və . 1-ci lag üzrə ACF işarəsi fərqin işarəsi ilə üst-üstə düşür - . Hər bir işarə üçün ACF və CHAF-ın davranışı üçün üç seçim var: hər ikisi monoton, hər ikisi salınır, biri salınır, digəri monotondur. Bu halları nəzərdən keçirin:

İdentifikasiya mərhələsində bir neçə uyğun modeli müəyyən etmək və sonra onların parametrlərini qiymətləndirdikdən və qalıqları araşdırdıqdan sonra modellərin adekvatlığını qiymətləndirmək, ən yaxşısını seçmək məsləhətdir.

Modelin əmsallarının qiymətləndirilməsi, onun prosesə adekvatlığı fərziyyəsi altında modelin parametrlərinin ədədi qiymətlərinin əldə edilməsi kimi başa düşülür, yəni. avtoreqressiya və hərəkətli orta əmsalların təyini. Qiymətləndirmə, bir qayda olaraq, maksimum ehtimal üsulu ilə aparılır.

Proqnoz birbaşa model tənliyinə uyğun həyata keçirilir. Hesablama üçün etimad intervalı ifadə istifadə edilə bilər:

burada - əhəmiyyətlilik səviyyəsi ilə standart normal paylanmanın kvantilidir.

Tam mövsümi model ARISS(p,d,q)(Ps,Ds,Qs) kimi təqdim oluna bilər, burada parametrlər (Ps,Ds,Qs) modelin mövsümi komponentini təsvir edir. Üstəlik, D sıralarının fərqləri adətən mövsümi gecikmə ilə qəbul edilir. Mövsümi modelin sırası, adi olan kimi, eyniləşdirmə mərhələsində müəyyən edilir. Üstəlik, qeyri-mövsümi bir modelin qurulması haqqında yuxarıda deyilən hər şey, təbii ki, yalnız mövsümi amil nəzərə alınmaqla mövsümi olanlara aiddir.

Avtoreqressiv Modellərdən istifadə - İnteqrasiya edilmiş Hərəkətli Orta (ARIMA Modelləri)

Stasionar Zaman Seriyası Modelləri

Analitik tədqiqatlarda mühüm yer stasionar zaman sıralarının modellərinə verilir. Bu onunla izah olunur ki, müəyyən çevrilmələrin (fərqin götürülməsi, trendin vurğulanması və s.) köməyi ilə bir çox zaman sıralarının stasionar formaya salınması mümkündür, bundan əlavə, modelləşdirmədən sonra alınan qalıqlarda çox vaxt statistik asılılıqlar olur. bu modellərdən istifadə etməklə təsvir edilə bilər.

anlayışlar var stasionarlıq dar və geniş mənada.

Sıra deyilir ciddi stasionar (ciddi stasionar) və ya dar mənada stasionarəgər birgə paylama Tüçün müşahidələr eynidir gp müşahidələr, hər hansı bir

Bu tərifdən belə çıxır ki, ciddi stasionar zaman sırasının xassələri zamanın mənşəyindən asılı deyildir.

IN praktik tədqiqat tez-tez konsepsiyaya əsaslanır zəif stasionar), və ya geniş mənada stasionarlıq, bu, zaman sıralarının zaman nöqtəsindən asılı olmayan orta, dispersiya və kovariasiyaya malik olması tələbi ilə bağlıdır. t

Beləliklə, avtokovariasiya y(t) yalnız m-nin lag qiymətindən asılıdır, lakin ondan asılı deyildir. t.

Avtokovariasiya anlayışı ilə sıx əlaqəli olan anlayışdır avtokorrelyasiya funksiyası, ACF ( avtokorrelyasiya funksiyası, ACF). ACF əmsallarının dəyərləri m zaman dövrü ilə ayrılmış zaman sıralarının səviyyələri arasında statistik əlaqənin dərəcəsini xarakterizə edir və aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Aydındır ki. Avtokorrelyasiya funksiyasının davranışını təhlil edərkən geriləmələrin yalnız müsbət qiymətləri nəzərə alınır, çünki stasionarlıq şərtindən belə çıxır ki.

Praktik tədqiqatlarda avtokorrelyasiya əmsallarının nümunə dəyərləri zaman seriyalarının mövcud səviyyələrinə əsasən qiymətləndirilir:

harada P– zaman seriyasının uzunluğu – vaxt dəyişikliyi; .

Müxtəlif gecikmə dəyərləri üçün avtokorrelyasiya əmsallarının dəyişməsini əks etdirən bir qrafik adlanır korreloqramma (korreloqramma).

Stasionar zaman seriyası üçün, gecikmə artdıqca, avtokorrelyasiya əmsallarının dəyərləri mütləq dəyərdə sürətli monoton azalma nümayiş etdirməlidir.

Əncirdə. Şəkil 8.19-da aylıq neft hasilatı dinamikasının zaman seriyası üçün hesablanmış avtokorrelyasiya funksiyasının nümunəsi göstərilir.

düyü. 8.19.

İlkin seriyanın ilkin qrafik təhlili Şəkil 1-ə uyğun gələn bir tendensiya və dövriliyin mövcudluğunu göstərdi. 8.19. Avtokorrelyasiya əmsallarının dəyərləri sürətli tənəzzül göstərmir, bu da zaman seriyasının qeyri-stasionar xarakterini göstərir, artım isə 12-ci mövsümi geriləmədə görünür.

Zaman sıralarının təhlilində ACF ilə yanaşı ondan geniş istifadə olunur özəl avtokorrelyasiya funksiyası. CHAKF (qismən avtokorrelyasiya funksiyası, PACF),əmsalları bütün ara səviyyələrin bu əlaqəyə təsirini istisna etməklə m zaman dövrü ilə ayrılmış sıra səviyyələri arasındakı korrelyasiyanı ölçür. Analitik paketlərdə LKF süjeti ilə yanaşı, lag qiymətlərindən asılı olaraq qismən avtokorrelyasiya əmsallarının seçmə qiymətləndirmələrinin dəyişməsini göstərən CLKF süjetini qurmaq mümkündür. Aydındır ki, avtokorrelyasiya və qismən avtokorrelyasiya lag əmsalları üst-üstə düşəcək, lakin sonrakı geriləmələrlə onların dəyərlərində fərqlər görünəcəkdir.

Stasionarlığa misal ola bilər ağ səs-küy), xassələri kimi təmsil oluna bilər

harada

Buna görə də, -də dispersiya sabiti asılı deyil

Ağ səs-küyə misal olaraq klassik xətti reqressiya modelindəki qalıqları göstərmək olar ki, onlar normal paylandıqda Qauss ağ səs-küyü əmələ gətirirlər.

Əncirdə. Şəkil 8.20 ağ səs-küylü Qauss prosesinin həyata keçirilməsinə uyğun gələn zaman sıralarının nümunəsini göstərir. Bu zaman sıralarının səviyyələrindəki tərəddüdlərin sıfıra yaxın qeyri-müntəzəm olmasına, həmçinin avtokorrelyasiya əmsallarının sıfıra yaxınlığına diqqət yetirilməlidir ki, bu da xassələrlə bağlıdır (8.25).

ACF və FACF-nin davranışının təbiətinin təhlili modellərin seçilməsində mühüm addımdır.

Praktikada geniş yayılmışdır avtoreqressiv modellər Və hərəkətli orta modellər stasionar zaman sıraları üçün istifadə olunur.

Avtoreqressiv modellər AR kimi qısaldılır (R) və ya ingilis dilində AR(p) (p nizamının avtoreqressiv modelləri), harada parametr səh avtoreqressiyanın sırasını müəyyən edir. Ümumiyyətlə, sifarişin avtoreqressiv prosesi R formasına malikdir

harada IN növbə operatorudur, yəni. zaman seriyasının çevrilməsi, onun bir zaman dövrü ilə dəyişdirilməsi; F(V) avtoreqressiya operatorudur.

F(В) çoxhədlinin bütün kökləri vahid dairədən kənarda yerləşirsə, başqa sözlə, xarakterik tənliyin bütün kökləri mütləq qiymətdə vahidi üstələyirsə və fərqlidirsə, stasionarlıq şərti ödənilir.

xarakterik tənlik , və ya formasını alır, onun kökləri mütləq qiymətdə vahiddən böyük olduğu halda, bizdə stasionar proses var.

düyü. 8.20. Ağ səs-küyün Gauss prosesinin həyata keçirilməsinə uyğun gələn simulyasiya edilmiş zaman seriyasının dinamikası ( a ) və onun avtokorrelyasiya funksiyası (b)

burada ağ səs-küy yaradan təsadüfi dəyişənlər ardıcıllığının şərtini ödəyən ədədi əmsaldır.

Markov prosesi (8.26) üçün riyazi gözlənti və dispersiya müvafiq olaraq

Göstərilə bilər ki, AR(1) bərabərliyi təmin edir, buna görə də, i, beləliklə, gecikmənin qiyməti artdıqca ardıcıllığın üzvləri arasında korrelyasiya sıxlığı eksponensial şəkildə azalır.

Bu halda birinci dərəcəli avtokorrelyasiya əmsalıdır, çünki

Modeli uyğunlaşdırarkən, qismən avtokorrelyasiya funksiyasının davranışını təhlil etmək faydalıdır. A/?(1) prosesi üçün FACF dəyərləri bütün gecikmələr üçün sıfıra bərabərdir. Lakin bu xassə nəzəri qismən avtokorrelyasiya funksiyası üçün etibarlıdır. Nümunənin qismən avtokorrelyasiya funksiyasının əmsallarını təhlil edərkən, əmsalların dəyərləri sıfırdan cüzi dərəcədə fərqləndiyi təqdirdə LD(1) modelinin istifadəsinin orijinal məlumatlara zidd olmadığına əsaslanmaq lazımdır.

a (|a|) əmsalının dəyərlərinin məhdudlaşdırılması< 1) определяет условие стационарности для AR( 1).

Xarakteristikası olan avtokorrelyasiya funksiyalarının nümunələri AR( 1) əmsalların davranışı Şəkildə göstərilmişdir. 8.21, 8.22. Bu rəqəmlər FACF-də sinir geriləməsindəki dalğalanmaları aydın şəkildə göstərir, eyni zamanda LCF əmsallarının dəyərlərinin eksponensial çürüməsi müşahidə olunur (müsbət dəyərlə - monoton çürümə (bax. Şəkil 8.21), mənfi dəyər ilə - alternativ işarə (). Şəkil 8.22-yə baxın)).

Qiymətə uyğun model təsvir olunur təsadüfi gediş prosesi. Bu halda, hər bir cari dəyər əvvəlkindən təsadüfi sapma ilə müəyyən edilir:

Bununla belə, Şəkildə göstərildiyi kimi. 8.23, təsadüfi gediş prosesinin xüsusiyyətlərindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir AR( 1) at. Təsadüfi gediş prosesi qeyri-stasionardır, bu, Şəkil 1-də avtokorrelyasiya əmsallarının yavaş tənəzzülünə uyğundur. 8.23.

İqtisadi araşdırmalarda sözdə olanlar da var Yule Prosesləri, və ya ikinci dərəcəli avtoreqressiv proseslər - AR( 2):

ağ səs haradadır.

Yule prosesi üçün müxtəlif gecikmələr üçün avtokorrelyasiya dəyərlərini hesablamağa imkan verən bir ifadə əldə edə bilərsiniz ():

Dəyərləri (8.27) ifadəsində əvəz etdikdən sonra, bunu nəzərə alaraq, sözdə olanı əldə edə bilərik. Yule-Walker sistemi (Yule-Walker tələbləri) üçün AR(2):

düyü. 8.21. AR modeli ilə yaradılan zaman seriyası üçün avtokorrelyasiya funksiyalarının nümunəsi( 1) a = 0,8-də (kök 1,25-dir):

Amma - ACF: b - CHAKF

düyü. 8.22.

Amma - ACF; b - CHAKF

düyü. 8.23. Təsadüfi gediş modeli ilə yaradılan zaman seriyası(Amma), və onun avtokorrelyasiya funksiyası (b)

Bu sistem avtokorrelyasiya əmsallarının qiymətləri vasitəsilə modelin əmsallarını ifadə etməyə imkan verir.

Bu halda proses üçün stasionarlıq şərtləri AR(2) aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:

Ümumi halda, proses üçün müxtəlif gecikmələr üçün avtokorrelyasiya dəyərlərini hesablamağa imkan verən ifadə () formasını alacaqdır.

Laq qiymətlərinin (8.28) düsturuna ardıcıl əvəz edilməsi k = 1, 2. .... R aparır, səbəb olur R Yule-Uoker sisteminin tənlikləri. Bu sistem nümunə avtokorrelyasiya əmsallarının qiymətlərini ona əvəz etdikdən sonra modelin əmsallarının təxminlərini əldə etməyə imkan verir.

Beləliklə, avtokorrelyasiya əmsallarının və qismən avtokorrelyasiya funksiyalarının davranışının öyrənilməsi avtoreqressiv modellərin müəyyən edilməsinə əhəmiyyətli dərəcədə kömək edir.

Modeldən istifadənin mümkünlüyü haqqında AR(p) eksponensial çürümə nümayiş etdirən LCF əmsallarının dəyərlərini göstərə bilər (ya monoton və ya alternativ işarə dəyişikliyi ilə), FACF əmsallarının dəyərlərində isə ilk gecikmələrdə kənar göstəricilər (piklər), qalanları isə olmalıdır. əmsalların dəyərləri statistik əhəmiyyətsizdir.

Stasionar zaman sıralarının modelləşdirilməsində də geniş istifadə olunur hərəkətli ortalama modellər,СС(q) və ya ingilis versiyasında işarələnir MA(q) (hərəkətli orta modellər). MA(q) modeli formasına malikdir

ağ səs haradadır.

Praktikada aşağı sifarişlərin hərəkətli ortalama modelləri ən çox istifadə olunur:

MA(1) üçün (8.29) münasibətini ardıcıl olaraq ifadə edən aşağıdakı formaya çevirmək olar:

Həyata keçirilən transformasiya seriyanın model şəklində təqdim edildiyini göstərir MA( 1) (8.29) sonsuz sifarişli avtoreqressiv model (8.30) kimi də göstərilə bilər.

Modeldə olarsa MA( 1) θ parametri mütləq dəyərdə birdən böyük olacaq, onda (8.30) ifadəsinə görə cari qiymət y, keçmişə qayıtdığınız zaman qeyri-müəyyən artan çəkilərlə götürülmüş keçmiş səviyyələrdən asılı olacaq. Parametr dəyəri 1-ə bərabər olsa belə, məlumatın qocalması nəzərə alınmayacaq. Beləliklə, (8.30) ifadəsindəki çəkilər üçün konvergent sıra yaratmaq üçün şərt tələb olunur.

Qeyd edək ki, AR-ı təmsil etmək də mümkündür (1) ML şəklində (<=°). На коэффициенты процесса AR(s) geri dönmə üçün heç bir şərt qoyulmur, lakin prosesin stasionarlıq şərtinin ödənilməsi üçün onun xarakterik tənliyinin kökləri vahid dairədən kənarda yerləşməlidir. Eyni zamanda prosesin tərsinə çevrilməsi üçün MA(q) onun xarakterik tənliyinin kökləri

vahid dairəsindən kənarda yatmalıdır, eyni zamanda, stasionarlıq şərtini təmin etmək üçün modelin əmsallarına heç bir məhdudiyyət qoyulmur.

Prosesin avtokorrelyasiya əmsalları üçün ifadə təqdim etmək olar MA(q) kimi

Bu təmsil proses üçün ACF davranışının xarakterik xüsusiyyətini nəzərdə tutur MA(q): modelin sifarişini aşan τ lagların bütün dəyərləri üçün q, avtokorrelyasiya əmsalları sıfırdır.

Müəyyən bir hal üçün ACF dəyərləri - ML(1) modeli - aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

FACF-nin davranışı çürüyən eksponentə bənzəyir və ifadə ilə verilir

Xarakteristikası olan avtokorrelyasiya funksiyalarının nümunələri MA( 1) əmsalların davranışı Şəkildə göstərilmişdir. 8.24, 8.25. Əncirdə. 8.24 model tərəfindən yaradılan zaman sırasına uyğundur MA( 1) parametrin qiymətində ACF-də müsbət sıçrayış var, FACF-dəki əmsallar isə dəyişən işarə ilə zəifləmə nümayiş etdirir. Öz növbəsində, Şek. 8.25, prosesin həyata keçirilməsi üçün ACF və FACF-nin davranışının xarakterini təsvir edən MA( 1 ) parametrin qiymətində mənfi bölgədə ACF-də həddindən artıq artım, həmçinin CLCF-də müvafiq əmsalların zəifləməsi var.

Hərəkətli orta modellərin xassələri bizə aşağıdakı praktik tövsiyələri formalaşdırmağa imkan verir. Modeldən istifadənin mümkünlüyü haqqında MA(q) birincidə kənar göstəricilərin (piklərin) mövcudluğunu göstərə bilər q avtokorrelyasiya funksiyasının geriləmələri, qismən avtokorrelyasiya funksiyası isə eksponensial tənəzzül nümayiş etdirməlidir (monotonik və ya alternativ).

Model stasionar prosesləri təsvir etmək üçün də istifadə edilə bilər avtoreqressiya – hərəkətli orta - ARSS (p, q), və ya ingilis versiyasında adət edildiyi kimi, ARMA(s, q) (avtoreqressiv-hərəkətli orta model), bura həm avtoreqressiv terminlər, həm də qalığı hərəkət edən orta proses kimi modelləşdirən terminlər daxildir.

düyü. 8.24.

a– LKF: d- CHAKF

düyü. 8.25.

Amma– ACF; b- CHAKF

Model ARMA(p, q),in hansı parametr R avtoreqressiv komponentin sırasını müəyyən edir, a q- hərəkətli ortalamaların sırası formasına malikdir

Bu modeldə asılı dəyişənin özünün keçmiş dəyərləri izahedici dəyişənlər kimi, ağ səs-küy elementlərinin hərəkətli ortalamaları isə reqressiya qalıqları kimi qəbul edilir.

Prosesin stasionarlığı (8.31) xarakterik tənliyin bütün köklərinin vahid dairədən kənarda olmasını tələb edir. AR(s) prosesi. Eynilə, prosesin (8.31) geri çevrilməsi üçün prosesin xarakterik tənliyinin bütün köklərinin vahid dairədən kənarda olması tələb olunur. MA(q).

Məsələn, qarışıq modelin ən sadə versiyası ARMA( 1, 1) kimi təmsil oluna bilər

Bu zaman prosesin stasionarlığı şərtlə, geri çevrilmə qabiliyyəti isə məhdudiyyətin yerinə yetirilməsi ilə təmin edilir.

Proses üçün ARMA( 1, 1) avtokorrelyasiya əmsallarının dəyərləri aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Bu ifadələrdən belə nəticə çıxır ki, avtokorrelyasiya əmsallarının dəyərləri dəyərdən eksponensial şəkildə azalacaq!. a əmsalının müsbət qiyməti olduqda azalma monoton, mənfi a dəyəri ilə avtokorrelyasiya əmsallarında azalma işarəli növbəli olacaqdır.

FACF-nin davranışı həm də eksponensial azalma ilə xarakterizə olunur, müsbət dəyər Θ - monotonik, mənfi dəyər ilə - alternativ işarədir.

ACF və FACF davranışının nəzərə alınan xüsusiyyətləri modellərin seçilməsində mühüm rol oynayır.

Müəyyən bir zaman seriyası üçün seçmək həmişə mümkün deyil bir sıra pozğunluqların olduğu adekvat model e, reqressiya təhlilinin əsas ilkin şərtlərini təmin edəcəkdir.İndiyə qədər dəyişənin olduğu (6.7) formasının modellərini nəzərdən keçirdik t-"zaman". Ekonometriyada reqressorların olduğu digər reqressiya modellərindən də geniş istifadə olunur gecikmə dəyişənləri, yəni dəyişənlər, ekonometrik modelə təsiri müəyyən gecikmə ilə xarakterizə olunur. Bu bölmədə nəzərdən keçirilən reqressiya modelləri arasındakı digər fərq ondan ibarətdir ki, onlarda təqdim olunan izahedici dəyişənlər kəmiyyətlərdir. təsadüfi.(Bu modellər haqqında ətraflı məlumat üçün Fəsil 8-ə baxın.)

burada p 0 , p,..., p i bəzi sabitlərdir.

O, hazırda tədqiq olunan prosesi təsvir edir təvvəlki anlarda dəyərlərindən asılı olaraq /- 1, t- 2,..., t - səh.

Əgər proses araşdırılır y t an t yalnız əvvəlki dövrdəki dəyərləri ilə müəyyən edilir t- 1, sonra düşünün avtoreqressiv model 1 -ci sifariş(və ya AR modeli (1) - Markov təsadüfi proses):

Misal 6.5. Cədvəldə müəyyən bir şirkətin səhmlərinin qiymətinin dinamikasını əks etdirən məlumatlar (pul vahidləri):

Cədvəl 6.2

Həll. Verilmiş zaman seriyası üçün xətti və ya polinom tendensiyası olan (6.7) formasının adekvat modelini seçmək cəhdi faydasız olur.

Tapılan reqressiya tənliyi /'-meyarına görə 5% səviyyəsində əhəmiyyətlidir, çünki statistik göstəricinin faktiki müşahidə edilən dəyəri F= 24.32 > /o.05;1;19 = 4.35. Göstərilə bilər (məsələn, Durbin-Watson meyarından istifadə etməklə) (aşağıya bax, § 7.7)) təhriklər (səhvlər) z f bu modeldə onlar klassik modelin şərtlərini ödəyir və proqnoz vermək üçün artıq öyrəndiyimiz üsullardan istifadə etmək olar.

Misal 6.3-ə bənzər hesablamalar (6.13) tənliyinə uyğun olaraq nöqtə proqnozunu verir:

və orta və fərdi dəyərlər üçün 0,05 əhəmiyyətlilik səviyyəsində interval -

Beləliklə, 0,95 etibarlılığı ilə bu şirkətin hazırda səhm qiymətinin orta dəyəri t= 23-ü 1046,6-dan 1341,6 (den. vahid), onun fərdi dəyəri isə 879,1-dən 1509,1 (den. vahid) diapazonunda olacaq. ?

Avtoreqressiv zaman seriyası modelləri ilə yanaşı, ekonometrika da nəzərə alır hərəkətli orta modellər*, burada imitasiya edilmiş dəyər əvvəlki vaxtlarda pozulmaların (səhvlərin) xətti funksiyası ilə verilir.

Hərəkətli orta q-vo sifariş modeli(və ya model MA()), formaya malikdir:

Ekonometrika həmçinin birləşmiş zaman seriyası modellərindən istifadə edir AR Və MA.

Bu fəslin yekununda qeyd edirik ki, iqtisadi göstəricilərin proqnozlaşdırılması üçün müvafiq avtoreqressiv modellərin istifadəsi, yəni. avtomatik proqnoz nəzərdən keçirilən modellər əsasında çox təsirli ola bilər (bir qayda olaraq, qısa müddətdə).

Məşqlər

Nümunələr 6.6-6.8-də payızlıq buğda üçün aşağıdakı məhsuldarlıq məlumatları var y,(c/ha) 10 il ərzində:

• 6.6. Zaman seriyasının orta qiymətini, standart kənarlaşmasını və avtokorrelyasiya əmsallarını (m = 1; 2 gecikmələri üçün) tapın.
• 6.7. Zaman Seriyasının Trend Tənliyini tapın y h xətti olduğunu fərz edərək və onun əhəmiyyətini 0,05 səviyyəsində yoxlayın.
• 6.8. Zaman sıralarını hamarlaşdırın y, hamarlama intervalı ilə sadə arifmetik orta istifadə edərək hərəkətli ortalama metodu: a) t= 3; b) t= 5.
• 6.9. Cədvəldə adambaşına düşən gəlir artımının dinamikasını əks etdirən məlumatlar verilmişdir y t(den. vahid) səkkiz illik dövr üçün:

Bir çox hallarda biznes və iqtisadiyyatda proqnozlaşdırmadan istifadə edilir ekonometrik modellər zaman silsiləsi əsasında qurulmuşdur. Müəyyən bir müddət ərzində toplanmış məlumatlar tendensiya, mövsümilik və digər oxşar təsirləri göstərməyə meylli olduğundan, müşahidələr zamanla əlaqəli olur və ya başqa sözlə, avtokorrelyasiyaya çevrilir. Beləliklə, zaman seriyası məlumatları üçün bir sıra mövcud müşahidələrdən götürülmüş nümunə adi təsadüfi seçmə hesab edilə bilməz. Odur ki, zamanla bir-birini izləyən müşahidələrə standart reqressiya üsulları tətbiq edilərsə, nəticələrin şərhində müəyyən problemlər yarana bilər. Bu zaman sıraları üçün reqressiya modellərinin qurulması çox diqqətlə aparılmalıdır.

harada β 1 , β 2 ,…,β səh - bəzi sabitlər; ε t - "ağ səs-küy" yaradan təsadüfi səhvlər:

. (3)

O (AR(p)-modeli) hazırda tədqiq olunan prosesi təsvir edir təvvəlki anlardakı dəyərlərindən asılı olaraq t-1, t-2,…, t- səh.

Real vaxt seriyasına adekvat olan (1) formasının AR(p) modelinin qurulması yt, bir-biri ilə əlaqəli iki problemin həllini əhatə edir: modelin rasional qaydasının müəyyən edilməsi (p dəyəri) və onun əmsallarının qiymətlərinin qiymətləndirilməsi.

Əvvəlcə AR(p) modelinin parametrlərinin qiymətləndirilməsinə ümumi yanaşmaları nəzərdən keçirək.

Ümumiliyi itirmədən, seriyanın riyazi gözləntisinin olduğunu güman edəcəyik yt, sıfıra bərabərdir, yəni. M(yt)=0 . Əks halda, dəyişən yerinə yt, (1) ifadəsində biz mərkəzləşdirilmiş dəyişəni nəzərdən keçirə bilərik, burada , lakin sonra , bu bizim fərziyyəmizi sübut edir.

Tənlik (1) modelin parametrlərini nəzərdə tutur β 1 , β 2 ,…, β səh avtokorrelyasiya əmsalları ilə ifadə oluna bilər ρ(τ) . Bunun üçün (1) tənliyini vururuq yt -τ müddətli terminə görə və hər bir nəticə etibarilə riyazi gözləntiləri tapın:

Halbuki bunu bilə-bilə, fərz etsək , çünki ε t- əvvəlki anla əlaqəsi olmayan "ağ səs-küy" xassələrinə malik təsadüfi dəyişən t nəzərdən keçirilən prosesin dəyərləri yt, ifadənin sol və sağ hissələrini prosesin dispersiyasına görə bölürük . Sonra bütün ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

Avtokorrelyasiya əmsallarının həqiqi dəyərləri əvəzinə nəticədə yaranan tənliyə əvəz edilməsi ρ τ onların nümunə qiymətləndirmələri r τ , aşağıdakı xətti tənliklər sistemini əldə edirik:

(6)

avtokorrelyasiya əmsallarının təxminlərinin məlum olduğu r 1 , r 2 ,…, rp, və naməlumlar - əmsalların təxminləri β 1 , β 2 ,…, β səh AR(p) modelləri: b 1 , b 2 ,…,bp .

Xətti tənliklər sistemi (6) Yule-Walker tənlikləri adlanır və onun əsasında alınan qiymətlər b 1 , b 2 ,…,bp- Yule-Walker AR(p) avtoreqressiya modelinin əmsallarının təxminləri. Bu təxminləri determinantlardan istifadə etməklə və ya sistemin vektor-matris qeydinə əsaslanaraq əldə etmək olar (6).

Determinantlara əsasən, Yule-Walker təxminləri aşağıdakı formada əldə edilir:

, (7)

burada Δ sistemin təyinedicisidir (6).

(8)

Δ τ Δ determinantından onun τ-ci sütununu sistemin sol tərəfini təşkil edən avtokorrelyasiya əmsallarından ibarət sütunla əvəz etməklə əldə edilən müəyyənedicidir (1.6) - r 1 , r 2 ,…, rp.

Vektor-matris qeydində (6) sistemi aşağıdakı formada yenidən yazmaq olar:

(9)

harada r - birincidən avtokorrelyasiya əmsallarının məlum təxminlərinin sütun vektoru səh- və daxil olmaqla, r=(r 1 , r 2 ,…, rp)" ; a- model parametrlərinin naməlum təxminlərinin sütun vektoru, a \u003d (a 1, a 2,..., asəh)" ; R- determinantı (8) düsturu ilə ifadə olunan avtokorrelyasiya əmsallarının təxminlərindən ibarət matris.

(9) ifadəsindən birbaşa belə nəticə çıxır ki, avtoreqressiv modelin əmsallarının naməlum təxminləri aşağıdakı kimi müəyyən edilir.

. (10)

Teorik olaraq, Yule-Walker qiymətləndiriciləri qərəzsizlik və səmərəlilik xüsusiyyətlərinə malik olmalıdır. Bununla belə, praktikada, böyük sifarişli avtoreqressiv modellərdə bu xüsusiyyətlər təsdiqlənməyə bilər. Bu, xüsusilə qərəzsizliyin mülkiyyəti üçün doğrudur. Laqdan asılı dəyişənləri olan modellərdə olduğu kimi, avtoreqressiv modellərin əmsallarının təxminlərindəki qərəzlilik nəzərdən keçirilən dəyişənin yerdəyişmiş sıraları arasında mövcud əlaqə ilə əlaqədar ola bilər. yt -1 , yt -2 və səhv ε t. Yule-Uoker tənlikləri sistemini qurarkən bu mümkün asılılıq adətən nəzərə alınmır, belə ki, səhvlərin ε t ağ səs-küy əmələ gətirir.

Qiymətləndirmələrin səmərəsizliyinə matrisin pis şərti səbəb ola bilər R, bu, bir qayda olaraq, artıq satırlar arasında asılılığın sübutudur yt -1 , yt -2 ,…,yt -τ .

Ancaq modelin kiçik sifarişləri üçün (səh =1,2,3) Yule-Walker təxminləri adətən kifayət qədər "yaxşı" olur. Ekstremal vəziyyətdə, onlar qeyri-xətti olanlar kimi daha güclü qiymətləndirmə metodlarından istifadə etməklə Yule-Uolker təxminlərini dəqiqləşdirməklə əldə edilə bilən "optimal" qiymətləndirmələrə ilk yaxınlaşma kimi qəbul edilə bilər.

Yule-Walker təxminlərinin keyfiyyəti xətalar seriyasının xüsusiyyətlərini tədqiq etməklə yoxlanıla bilər ε t. Əgər onun xassələri "ağ səs-küy"ün xüsusiyyətlərinə yaxındırsa, Yule-Uolkerin qiymətləndirmələri "kifayət qədər yaxşı" hesab edilə bilər. Bu, xüsusən də dəyəri təxminən 1-dən 3-ə qədər diapazonda olması lazım olan Durbin-Watson meyarı ilə sübut edilə bilər.

Bu vəziyyətdə Yule-Walker sisteminin təxmini birbaşa təyin edən tək bir tənliyə qədər azaldığını görmək asandır. b 1 əmsal β 1 :

1 = r1. (12)

Bunu nəzərə alaraq ε t Və yt müstəqil

Prosesdən bəri yt - stasionar, sonra . Beləliklə, fərz etsək , bizdə var

(14)

, (15)

buradan belə çıxır

. (16)

Alınan bərabərlikdən dispersiyanın müsbət qiymət olduğunu nəzərə alaraq stasionarlıq şərtini alırıq - | r 1 |<1 .

Buna görə də, nə vaxt | r 1 |>1 seriyanın qeyri-stasionar olduğu ortaya çıxır.

Prosesin avtokorrelyasiya funksiyasını tapın yt. (11) ilə vurulur yt -1 və bir daha müstəqilliyi nəzərə alaraq ε t Və yt, tapın

korrelyasiya əmsalı haradandır

(18)

yəni avtoreqressiya əmsalı r 1 qonşu təlaşlar arasında korrelyasiya əmsalıdır yt Və yt -1 , və ya avtokorrelyasiya əmsalı ρ 1 .

Bu vəziyyətdə Yule-Walker tənlikləri sistemi iki tənlikdən ibarətdir:

(20)

ifadə edən a 1 Və a 2 avtokorrelyasiya əmsalları vasitəsilə r 1 Və r 2 , alırıq

(21)

Lakin (20) tənliklər sistemi ilə bağlı həll edilə bilər r 1 Və r 2

(22)

(19) tənliyinin hər iki tərəfini vursaq yt, termində olduğunu nəzərə alaraq hər bir terminin riyazi gözləntisini götürün M(yt , ε t) Biz yt modelin özü ilə əvəz edin və bunu bilərək M(yt,yt -τ )= cov(yt,yt -τ )= r τ D(yt -τ )= r τ σ y 2 , alırıq:

Bu ifadədən ilkin prosesin dispersiyaları arasındakı nisbəti asanlıqla əldə etmək olar yt və model xətası ε t:

. (24)

Alınan bərabərlikdən dispersiyanın müsbət qiymət olduğunu nəzərə alaraq stasionarlıq üçün lazımi və kifayət qədər şərtləri əldə edirik:

(25)

və ya kimi yenidən yazıla bilər

(26)

X şirkəti qiymətli kağızlar portfelinə xidmət göstərmək üzrə ixtisaslaşmışdır. Box-Cenkins metodologiyasından istifadə etməklə Dow Jones indeksinin (nəqliyyat indeksi) proqnozlaşdırılması üçün daha dəqiq metodologiyanın işlənib hazırlanması vəzifəsini nəzərdən keçirək. Cədvəl 1 yay ayları üçün son 65 gündəlik orta bağlanma indeksi dəyərlərini təqdim edir.

Cədvəl 1 Trafik indeksinin gündəlik bağlanma ortalamaları

Şəkildə təqdim olunan ilkin məlumatların qrafikini nəzərə alaraq təhlilə başlayaq. 1. Serialda aydın şəkildə yüksəliş tendensiyası var. Sınaq modelinin müəyyən edilməsində növbəti addım Şəkil 1-də göstərilən verilənlərin nümunəvi avtokorrelyasiya funksiyasını nəzərdən keçirməkdir. 2. Qeyd etmək lazımdır ki, ilk bir neçə avtokorrelyasiya əmsalı daima malikdir böyük əhəmiyyət kəsb edir və çox yavaş sıfıra meyl edir. Buna görə də, tendensiyanın mövcudluğu ilə bağlı ilkin nəticələr düzgün idi və orijinal zaman seriyası qeyri-stasionardır, yəni. onun dəyərləri bəzi sabit səviyyəyə nisbətən dəyişən hesab edilə bilməz.

Şəkil 1 - Daşıma üçün gündəlik son orta Dow Jones dəyərlərinin qrafiki

Şəkil 2 - Trafik indeksi üçün nümunə avtokorrelyasiya funksiyası

Gəlin məlumat fərqlərini hesablayaq ki, bu, trendi aradan qaldırmağa və stasionar sıra əldə etməyə imkan verəcəkmi? Fərq məlumatlarında bütün dəyişikliklər müəyyən sabit səviyyənin yaxınlığında baş verir. Məlum oldu ki, fərqlər üçün seçmə orta 1,035-dir. Fərqlər üçün nümunə avtokorrelyasiya Şek. 3 və seçmə qismən avtokorrelyasiya - şək. 4.

Şəkil 3 - Trafik indeksinin ilk fərqləri üçün nümunə avtokorrelyasiya funksiyası

Şəkil 4 - Trafik indeksinin ilk fərqləri üçün nümunə qismən avtokorrelyasiya funksiyası

Çox ziddiyyətli nəticələr əldə edirik. Avtokorrelyasiya əmsallarının onların marjinal xətası ilə müqayisəsi göstərdi ki, yalnız birinci zaman intervalında avtokorrelyasiya əhəmiyyətlidir. Eynilə, qismən avtokorrelyasiya əmsalları üçün yalnız interval 1 əhəmiyyətli idi. Avtokorrelyasiya əmsalları MA(1) modelinin davranış xarakteristikasını göstərən birinci intervaldan sonra kəsildi. Və eyni zamanda, eyni intervaldan sonra qismən avtokorrelyasiya əmsalları da kəsildi, bu, artıq AR(1) modelinə xas olan davranışı göstərir.

Hər iki nümunə əmsalların dəyərlərində hamar bir azalma göstərmir. Gəlin hər iki modeli trafik indeksinə tətbiq edək - ARIMA(1,1,0) və ARIMA(0,1,1). Bundan əlavə, fərqlər silsiləsində dəyişikliklərin sıfırdan yuxarı səviyyənin yaxınlığında göründüyünü nəzərə almaq üçün hər bir modelə sabit bir termin daxil edirik. Əgər daşınma indeksi y t kimi qeyd edilirsə, onda fərq seriyası Δy t = y t - y t -1 olacaq və qurulan model aşağıdakı formaya malik olacaq:

ARIMA(1,1,0): Δy t = φ 0 + φ 1 Δy t -1 + ε t

ARIMA(0,1,1): ∆y t = ϻ + ε t - ω 1 ε t -1.

Hər iki model məlumatları eyni dərəcədə yaxşı təsvir edir. RMS qalığı (Xanım) belə olacaq.

ARMA (1,1,0): s 2 \u003d 3.536,

ARIMA(0,1,1):s 2 = 3.538.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, ARIMA(0,1,1) modelində təxmin edilən sabitdir ϻ =1,038 , yəni. əslində fərqlərin seçmə ortasına bərabərdir.

Əncirdə. 6-dan görünür ki, ARIMA(1,1,0) modeli üçün əhəmiyyətli qalıq avtokorrelyasiya əmsalları yoxdur. ARIMA(0,1,1) modeli üçün qalıq avtokorrelyasiya funksiyası burada göstərilməsə də, onun üçün nəticə eynidir.

Q m - interval qrupları üçün hesablanmış Lewing-Box statistikası t = 12, 24, 36 və 48 böyük bir dəyərlə göstərildiyi kimi əhəmiyyətli deyil R hər iki model üçün. Beləliklə, hər iki modelin adekvat olduğu qənaətinə gələ bilərik. Bundan əlavə, bu iki modelin irəli sürdüyü bir dövr üçün proqnozları demək olar ki, eynidir.

Şəkil 6 - Qalıq avtokorrelyasiya; Trafik indeksini təsvir edən ARIMA(1,1,0) modeli

Yaranmış dilemmanı həll edərək, dəqiqlik baxımından cüzi üstünlüyünə əsaslanaraq ARIMA(1,1,0) modelinə üstünlük veririk. 66-cı dövr üçün bu modeli sınaqdan keçirməyin nəticələri aşağıdakı kimi olacaq:

y t - y t -1 = φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

y t \u003d y t -1 + φ 0 + φ 1 (y t -1 - y t -2) + ε t

belə ki, φ 0 = 0,741 və φ 1 = 0,284-də proqnoz tənliyi aşağıdakı formanı alacaq:

ŷ 66 \u003d y 65 + 0741 + 0,284 (y 65 - y 64) \u003d 288, 57 + 0,741 + 0,284 (288,57-286,33) \u003d 289,94

66 dövr üçün real dəyərin proqnozlaşdırılması üçün hesablanmış interval (286,3; 293,6) təşkil edir.

4. Hərəkətli orta (MA) modeli

Hərəkətli orta modellərdə ikinci dərəcəli stasionar təsadüfi prosesin cari dəyəri yt, cari və keçmiş xəta qiymətlərinin xətti kombinasiyası kimi təmsil olunur ε t, ε t -1 ,.., ε t - q, xassələrində "ağ səs-küyə" uyğun gəlir. Belə bir təmsil aşağıdakı tənliklə ifadə edilə bilər (hərəkətli orta sifariş modeli q- MA(q)):

harada γ 1 , γ 2 ,…, γ q - model parametrləri.

"Ağ səs-küy" səhvinin tərifinə görə ε t, aşağıdakı xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur:

M(ε t)=0 (28)

. (29)

Nəticədə, "ağ səs-küy" avtokorrelyasiya funksiyası çox var sadə forma:

. (30)

Xətanın xüsusiyyətlərini nəzərə alaraq ε t, MA(q) modelinin avtokorrelyasiya funksiyasını qurmaq asandır. Onun kovariasiya əmsalı q- ci sıra aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

At τ=0 ifadə (31) prosesin dispersiyasıdır yt, (28) və (29) xassələrinə görə MA(q) modelinin əmsalları ilə ifadə olunur: γ 1 , γ 2 ,…, γ q; və səhv fərqi aşağıdakı kimidir:

Bir ixtiyari üçün τ (32)-dən alırıq ki, kovariasiya əmsalı ifadə ilə müəyyən edilir

(33)

MA(q) modelinin avtokorrelyasiya funksiyası birbaşa (7)-dən alınır:

(34)

Sistemi q tənliklər (8), təxminlərin alınması üçün əsas ola bilər g 1 , g 2 ,…, g q MA(q) modelinin naməlum parametrləri - γ 1 , γ 2 ,…, γ q. Bunun üçün avtokorrelyasiya əmsallarının dəyərləri əvəzinə onun hər bir tənliyini əvəz etmək lazımdır. ρ τ nəzərdən keçirilən proses yt onların hesablanmış xalları r τ .

Bununla belə, Yule-Uoker tənliklərindən fərqli olaraq, bu sistem qeyri-xəttidir və onun həlli ən sadə MA(1) modeli istisna olmaqla, xüsusi iterativ hesablama prosedurlarından istifadəni tələb edir.

Birinci dərəcəli hərəkətli ortalama (MA) modeli

Aşağıdakı ifadə ilə təmsil olunur:

t= ε t - γ 1 ε t -1 . (35)

(34)-dən belə çıxır ki, prosesin dispersiyaları və bu modelin səhvləri aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:

. (36)

Onun yeganə sıfırdan fərqli birinci avtokorrelyasiya əmsalı kimi model əmsalı ilə ifadə edilir

. (37)

(37) münasibətindən qiymətləndirməyə görə kvadratik tənliyi əldə etmək asandır g 1 naməlum parametr γ 1

, (38)

harada r 1 - birinci dərəcəli avtokorrelyasiya əmsalının qiymətləndirilməsi, yəni. ρ 1 .

Öz növbəsində, (38)-dən belə çıxır ki, bu tənliyin aşağıdakı əlaqə ilə bir-birinə bağlı iki həlli var:

. (39)

Prosesin stasionarlıq şərti yalnız həll yolu ilə təmin edilir g 1 , mütləq dəyərdə birdən azdır:

(40)

bir şərtlə ki

. (41)

(41)-dən belə nəticə çıxır ki, birinci dərəcəli hərəkətli ortalama modelləri yalnız birinci gecikmədən sonra bitən avtokorrelyasiya funksiyası və mütləq qiymətdə 0,5-dən çox olmayan avtokorrelyasiya əmsalı ilə prosesləri təsvir etmək üçün istifadə edilə bilər.

Sonda biz ikinci dərəcəli hərəkətli ortalama modeli üçün əsas nəticələri təqdim edirik - MA(2).

İkinci dərəcəli hərəkətli orta model MA(2)

İkinci dərəcəli hərəkətli ortalama modeli MA(2) ümumi formada aşağıdakı kimi yazılır:

t= ε t - γ 1 ε t -1 - γ 2 ε t -2. (42)

(39)-dan birbaşa belə nəticə çıxır ki, prosesin dispersiyaları və səhvlər aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:

Onun avtokorrelyasiya funksiyası model parametrləri ilə əlaqəli avtokorrelyasiya əmsallarının qiymətləri ilə aşağıdakı əlaqələrlə müəyyən edilir.

(44)

Bu əlaqələrdən modelin əmsallarının təxminlərini tapmaq olar g 1 Və g 2 avtokorrelyasiya əmsallarının məlum təxminləri ilə r 1 Və r 2 .

harada β 1 , β 2 ,…, β səh ,γ 1 , γ 2 ,…, γ q - modelin əmsalları; R - avtoreqressiya qaydası; q - hərəkətli ortalama sifariş.

Qeyd edək ki, model (45) ya avtoreqressiv AR(p) modelinə çevrilə bilər.

səhv haradadır ξ t, hərəkətli ortalama sifariş prosesinin xüsusiyyətlərini təmin edir q, və ya hərəkətli orta modelə - MA(q): dəyişənləri ifadə etməklə yt -τ , xətaların xətti birləşmələri vasitəsilə

və mötərizə açıldıqdan sonra oxşar üzvlərin daha da kiçilməsi.

Modelin (45) bu modifikasiyaları üçün onun avtokorrelyasiya funksiyasının xassələrini və onun parametrlərinin qiymətləndirilməsinə mümkün yanaşmaları nəzərdən keçirək. Nəzərə alın ki, hərəkətli ortalamanın sırasını aşan növbələr üçün q, yəni. saat τ> q, (45) ifadəsi ilə müəyyən edilmiş ARMA(p,q) modelinin avtokovariasiya əmsalları model xətalarından asılı deyil. Doğrudan da,

Əgər τ> q, sonra "ağ səs-küy" xüsusiyyətlərinə görə səhvlərin məhsullarının bütün riyazi gözləntiləri ε t Və ε t -τ- j, j< q sıfıra bərabər olur, yəni.

M(ε t - j , ε t - τ - j)=0, τ= q+1, q+2,…; j=1,…, q.

Bu halda, yəni. saat τ> q, ARMA(p,q) modelinin avtokovariasiya əmsallarının qiymətləri avtoreqressiv model üçün xarakterik olan bu əmsalların xassələrini ödəyir. R- sifariş AR(p):

(49) ifadəsi birbaşa bunu nəzərdə tutur naməlum dəyərlərəmsallar β 1 , β 2 ,…, β səh bu halda Yule-Valker tənlikləri sisteminin modifikasiyası ilə təxmin edilə bilər, bu halda aşağıdakı formaya malikdir:

(50)

Sistemdən tapılan əmsal təxminlərinin dəyərlərindən istifadə (50) β 1 , β 2 ,…, β səh(46) ifadəsinə əsaslanaraq, hərəkətli orta prosesi formalaşdıracağıq q- ci sıra - MA(q):

harada u t səhvin təxmini olan faktiki xətadır ξ t. Səhv dəyərləri u t, naməlum parametrlər əvəzinə (46) ifadəsinə əvəz etməklə əldə edilir β 1 , β 2 ,…, β səh onların reytinqləri b 1 , b 2 ,…, bp sistemdən müəyyən edilir (50). e t - həqiqi xətanın əvəzinə dəyəri istifadə olunan faktiki xəta ε t, hərəkətli orta əmsalları qiymətləndirərkən. Qiymətləri müəyyən etmək üçün g 1 , g 2 ,…, g q hərəkətli orta əmsallar tətbiq edilir qeyri-xətti üsullar sistemin həllini əhatə edən qiymətləndirmələr qeyri-xətti tənliklər növü (48).

ARMA(1,1) avtoreqressiv hərəkətli ortalama modellərinin ən “məşhur” modifikasiyasını nəzərdən keçirək. Ekonometrik tədqiqat təcrübəsində geniş istifadə olunan bu modeli aşağıdakı düsturla ifadə etmək olar:

y t= β 1 y t -1 + ε t- γ 1 ε t -1 . (52)

Bu modelin dispersiyasını təyin etmək üçün riyazi gözlənti işarəsi altında ifadənin (52) sol və sağ hissələrini vururuq. yt. Nəticədə alırıq

(53) ifadəsini çıxararkən nəzərə alınmışdır ki M(y t, ε t)= M(β 1 y t -1 + ε t - γ 1 ε t -1 )=σ 0 2 "ağ səs-küy" prosesinin xüsusiyyətlərinə görə ε t.

qədər.

Eynilə, prosesin avtokovariasiyasının birinci əmsalını alırıq yt, gözlənti işarəsi altında (52) tənliyinin sol və sağ hissələrini vurmaqla yt -1 . Bunu nəzərə alaraq y t -1 = β 1 y t -2 + ε t -1 - γ 1 ε t -2 və "ağ səs-küy" xüsusiyyətlərinə görə ε t bunu alırıq

(53)-(55) ifadələrindən bilavasitə belə nəticə çıxır ki, prosesin dağılması yt ARMA(1,1) modeli, onun ilk avtokovariasiya əmsalı və xəta dispersiyasi ilə təsvir edilmişdir. ε t, aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir:

(56)

və daha yüksək dərəcəli avtokvariasiya əmsalları ((45) və (46) ifadələrindən aşağıdakı kimi) - forma münasibətləri ilə:

(54) əlaqəsindən ARMA(1,1) prosesinin birinci avtokorrelyasiya əmsalının qiymətini təyin edən ifadəni almaq asandır:

. (58)

Daha yüksək səviyyələrin avtokorrelyasiya əmsallarının dəyərləri (13) ilə oxşar əlaqə ilə əlaqələndirilir. ρ τ = β 1 ρ τ-1 , τ≥2.

Beləliklə, ARMA(1,1) modelinin avtokorrelyasiya əmsallarının qiymətləri eksponensial qanuna tabe olur.

, (59)

harada .

Reallıqda tədqiq olunan proseslər stasionarlıq xüsusiyyətinə malik olmaya bilər, onda kifayət qədər sadə çevrilmələrin köməyi ilə müşahidə olunan silsilələr stasionar prosesə endirilə bilər.

Belə çevrilmə üsullarından biri də sonlu fərqlərin götürülməsidir

birinci fərq haradadır. Bu transformasiyadan y-nin dəyişmə qanunu xəttinə yaxın olduqda istifadə etmək məqsədəuyğundur.

ikinci fərq haradadır. Dəyişiklik qanunu tətbiq olunduqda çevrilmə tətbiq edilir yt, kvadratik asılılığa yaxındır.

Yuxarıdakı seriyalara avtoreqressiv və hərəkətli ortalama modelini tətbiq etmək mümkündür, lakin bunun üzərində modelin qurulması prosesi tam hesab edilə bilməz. Onu başa çatdırmaq üçün çevrilmiş dəyərlərdən keçərək tərs çevrilmələr həyata keçirərək orijinal prosesin modelinin qurulması prosesini davam etdirmək lazımdır. x t, orijinal dəyərlərə yt.

Qoy proses olsun x t, avtoreqressiv hərəkətli orta modelinə uyğundur. Transformasiyanı shift operatorundan istifadə edərək yazırıq IN bir nömrə üçün x t.

Müvafiq olaraq alırıq

, (62)

dərəcə polinomları haradadır səh Və q müvafiq olaraq ARMA(p,q) modeli üçün ekvivalent qeydi əldə etmək üçün istifadə edilən sürüşmə operatorundan.

Qeyd edək ki, transformasiya (62) xətaya təsir etmir ε t. Nümunə olaraq ARMA(1,1) modelindən istifadə edərək təsvir edilən proseduru nəzərdən keçirək.

, (67)

yazmağa bərabərdir

. (68)

Bu iki tənliyi bir yerdə birləşdirərək, orijinal zaman seriyasına aid bir model əldə edirik y t aşağıdakı formada:

(69)

Qeyd edək ki, B operatorunun köməyi ilə çevrilmə (61) aşağıdakı formada yazılır:

. (70)

Bu halda ixtiyari ARMA(p, q) modeli üçün alırıq

Xüsusilə, seriya üçün qurulmuş ARMA(1,1) modeli üçün z t, ilkin proses üçün ifadə (71). y t aşağıdakı formanı alır:

. (72)

Orjinal serialın gətirilməsi halında y t , t=1,2,…,T d-ci fərqdən istifadə edərək stasionar birinə onun nəticə modeli aşağıdakı kimi verilir:

Praktik tədqiqatlarda, tərs çeviricilər apararkən, parametrlər yerinə β Və γ , orijinal zaman seriyasının modelləri üçün uyğun ifadələrə y t, onların təxminlərinin dəyərlərini əvəz etmək lazımdır a Və bçevrilmiş stasionar prosesin modelləri üçün alınmışdır y t.

Beləliklə, (67) və (70) ifadələrindən belə nəticə çıxır ki, transformasiya üçün ilkin zaman sıralarından istifadə y t stasionar prosesə çevrilir x t , t=1,2,…,T, fərq operatoru prosesi təsvir edən model tipində dəyişikliyə səbəb olmur y t. O, stasionar prosesi təsvir edən ARMA(p,q) modeli kimi x t, xətti formadadır.

Xassələri təhlil etmək və ilkin xətanın əsas xüsusiyyətlərini qiymətləndirmək ehtiyacına da diqqət yetirək, yəni. bərpa edilmiş model. Bu, digər şeylərlə yanaşı, modelin özünün keyfiyyətinin qiymətləndirilməsini əsaslandırmaq üçün edilməlidir. Bəzi çevrilmələr üçün onların faktiki xətanın dispersiya qiymətləri, uyğun gələn xətti, loqarifmik və digər asılılıqların dispersiyalarının xassələrindən istifadə etməklə çevrilmiş modelin rms xətasının uyğun qiymətləri əsasında müəyyən edilə bilər. transformasiya. Bununla əlaqədar olaraq qeyd edirik ki, modelin faktiki xətasının bir sıra dəyərləri bu halda modelin əsas tənliyinin formalaşmasından və ona əsaslanan dəyərlərin hesablanmasından sonra müəyyən edilir. Bundan əlavə, faktiki səhvin xüsusiyyətləri xüsusi testlərdən istifadə edərək müəyyən edilə bilər.

9. ARMA Modelinin İdentifikasiyası

Nəzərdən keçirilən materialdan belə çıxır ki, ikinci dərəcəli ixtiyari real stasionar proses zaman seriyası modellərinin müxtəlif versiyaları ilə ifadə oluna bilər. Bunu göstərmək üçün, məsələn, AR(1) modelini geriyə sürüşmə operatoru B istifadə edərək daha yığcam formada yazaq. Onun zamandan asılı olan istənilən dəyişənə təsiri aşağıdakı əlaqələrlə müəyyən edilir:

(1) nəzərə alınmaqla, AR(1) modeli aşağıdakı qeydlərlə təmsil oluna bilər:

. (75)

kimi |β 1 |<1 , onda sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın cəmidir

(76)

(2) nəzərə alaraq modeli (3) aşağıdakı formada yazırıq:

bu halda harada.

(74) ifadəsindən belə nəticə çıxır ki, birinci dərəcəli avtoreqressiv model sonsuz düzənli hərəkətli ortalama modelinə ekvivalentdir. Eynilə, bu modellərin sıraları arasında tərs əlaqəni göstərmək olar. Beləliklə, MA(1) modeli üçün bizdə var

. (78)

kimi |γ 1 |<1 (prosesin stasionar olması şərtindən y t), onda (75) ifadəsindən alırıq

(79)

Bu halda sonsuz nizamın avtoreqressiv modelinin əmsallarıdır.

, (80)

burada q-ci dərəcə çoxhədli biri q-ci dərəcə çoxhədlisinə bölünməsinin nəticəsidir.

Nəzərdən keçirilən əlaqələrdən mühüm bir nəticə çıxır: praktikada zaman seriyasını təsvir edən minimum sayda parametrə malik modeli seçmək mümkündür. y t stasionar bir proses olan , çox sayda parametrə malik modellərin digər variantlarından "pis" deyil. Adətən "pis deyil" anlayışı modelin minimum dispersiyası və onun səhvləri silsiləsində avtokorrelyasiyanın olmaması ilə əlaqələndirilir.

Bu nəticənin praktiki dəyəri aşağıdakı kimidir. Zaman seriyası modellərini qurarkən, onların parametrlərinin sayını və nəticədə modelin özünün sırasını minimuma endirməyə çalışmaq lazımdır. Məsələ ondadır ki, belə modellərin parametrləri ilkin prosesin avtokorrelyasiya əmsalları əsasında qiymətləndirilir. y t. Modelin ardıcıllığının artması ilə onun parametrlərinin dəyərlərini müəyyən etmək üçün ilkin məlumatlar kimi daha çox sayda avtokorrelyasiya əmsallarından (çox sayda) istifadə etmək lazımdır. Onların qiymətləndirilməsinin dəqiqliyi sürüşmənin artması ilə azalır və onların mütləq dəyərləri ya sıfıra meyl edir, ya da artan qeyri-müəyyənlik bölgəsinə düşür. Bu səbəbdən yüksək səviyyəli zaman seriyası modelləri üçün əmsal təxminlərinin etibarlılığı modellərin keyfiyyəti kimi aşağı düşür. Bütün bunlar bizi real prosesləri təsvir etmək üçün minimum sayda parametrləri olan zaman seriyası modellərini axtarmağa vadar edir.

Nəzərdən keçirilən real prosesə ən yaxşı uyğun gələn modelin seçilməsi prosesi modelin identifikasiyası adlanır. Bizim vəziyyətimizdə identifikasiya ARMA(p,q) modelləri sinfindən modelin ümumi formasının müəyyən edilməsindən ibarətdir ki, bu da digər mümkün variantlarla müqayisədə ən az parametrlərlə xarakterizə olunur, təsvirin dəqiqliyi itkisizdir. orijinal proses.

Ümumiyyətlə, identifikasiya kifayət qədər kobud bir prosedurdur (prosedurlar ardıcıllığı), məqsədi ARMA (p, q) modelinin p və q sıralarının xarakteristikalarının məqbul dəyərlərinin müəyyən diapazonunu müəyyən etməkdir. sonrakı tədqiqatlar zamanı onların spesifik dəyərlərinə endirilməlidir.

Adətən, bu hissədə identifikasiya alternativ modellərin parametrlərinin qiymətləndirilməsi və keyfiyyət meyarlarından istifadə əsasında ən yaxşısının seçilməsi prosedurları ilə müşayiət olunur.

Beləliklə, ümumi halda, real prosesi təsvir etmək üçün ən uyğun olan modelin formalaşdırılması, sanki, kəsişən və bir-birini tamamlayan üç mərhələdən - identifikasiya, qiymətləndirmə və diaqnostikadan (modelin ilkin məlumatlar ilə uyğunlaşdırılması) ibarətdir. onun çatışmazlıqlarını aşkar etmək və sonradan təkmilləşdirmək)

ARMA(p,q) modelinin eyniləşdirilməsinin ümumi ideyası ondan ibarətdir ki, real prosesin xassələri ilə ən yaxşı modelin xassələri bir-birinə yaxın olmalıdır.

Bu yaxınlıq, əvvəllər göstərildiyi kimi, demək olar ki, tamamilə onların avtokorrelyasiya funksiyalarının davranışlarının müqayisəsi ilə müəyyən edilir: model üçün nəzəri və real proses üçün empirik, müşahidə edilənlər əsasında nümunə avtokorrelyasiya əmsalları qiymətləndirilmişdir. data. Nümunə avtokorrelyasiya əmsalları kifayət qədər böyük səhvlərlə və əlavə olaraq, öz aralarında güclü korrelyasiya əlaqələri ilə xarakterizə oluna bildiyindən, praktikada “nəzəri” və “empirik” avtokorrelyasiya funksiyaları arasında dəqiq oxşarlıq, xüsusən də böyük dəyişikliklər üçün gözlənilməməlidir. . Məsələn, prosesin avtokorrelyasiya əmsalları arasında statistik əlaqəyə görə, onların nəzəri münasiblərinin sıfıra yaxın olduğu yerdəyişmə sahələrində də nümunə avtokorrelyasiya əmsallarının (partlamaların) nisbətən əhəmiyyətli səviyyələri baş verə bilər. Buna görə də nəzəri və nümunəvi avtokorrelyasiya funksiyalarını müqayisə edərkən adətən yalnız onların əsas xassələri nəzərə alınır. Məhz onların təsadüfü real prosesi təsvir etmək üçün məqbul olan model variantlarının diapazonunu əhəmiyyətli dərəcədə daraltmağa imkan verir. Onlardan birinin lehinə son seçim adətən modellərin qiymətləndirilməsi və diaqnostik mərhələlərinin nəticələrinə əsasən edilir.

Tipik ARMA(p,q) modellərinin avtokorrelyasiya funksiyalarının ən xarakterik xassələrini qeyd edək.

Birinci dərəcəli avtoreqressiya modelinin avtokorrelyasiya funksiyası - AR(1) ciddi şəkildə eksponensial şəkildə düşür (daha doğrusu, bu nəticə avtokorrelyasiya əmsallarının mütləq qiymətləri üçün doğrudur). Avtokorrelyasiya əmsallarının azalmasının hamar təbiəti də yüksək dərəcəli avtoreqressiya modelləri üçün xarakterikdir. Bir halda, azalma ya ciddi eksponensialdan bir az daha sürətli, ya da bir az yavaş, digərində isə sönümlənmiş sinusoidə uyğun bir modelə görə baş verir.

Avtoreqressiv modelin sırası haqqında son dərəcə vacib məlumat qismən avtokorrelyasiya funksiyası adlanan funksiyada yer alır.

AP(p) modeli ilə təsvir edilən proses üçün onun dəyərləri p-dən çox olmayan sifarişlərin avtoreqressiv modellərinin əmsallarının son qiymətləridir, yəni. modellər sifarişlə τ=1,2,…, s. AR(p) modelinin qismən avtokorrelyasiya funksiyasının qiymətlərini kimi qeyd edək π p1, π səh2,…, π səh. Sonra AP(p) modeli üçün dəyər π p1 bərabərdir ρ 1 praktikada isə əmsalın qiymətləndirilməsi kimi müəyyən edilir β 1 AR(1) modeli düsturla:

(81)

harada dəyər (21) ifadəsinə bax) - AR(2) modelinin əmsalı kimi. Praktikada dəyər π səh2, beləliklə, düsturla müəyyən edilir:

. (82)

və hər hansı əmsalın qiymətləndirilməsi əmsalın qiymətləndirilməsi kimi müəyyən edilir β τ , AR(τ) modelini düsturla:

(83)

Göstərilə bilər ki, AP(p) modeli üçün qismən avtokorrelyasiya funksiyasının dəyərləri k gecikməsinə qədər əhəmiyyətlidir (sıfırdan fərqlidir), yəni. π p1>0, i≤p və modelin sifarişini aşan növbələr üçün sıfıra bərabərdir, yəni. π p1=0, i>s. Təcrübədə bu nəticə "statistik mənada" başa düşülməlidir, çünki qismən avtokorrelyasiya funksiyası əmsallarının qiymətlərinin təxminləri avtokorrelyasiya əmsallarının seçmə dəyərləri əsasında müəyyən edilir və buna görə də özləridir. təsadüfi dəyişənlər, müəyyən bir səhv ilə xarakterizə olunur. Sifarişi model sifarişindən böyük olan qismən avtokorrelyasiya funksiyası əmsalı təxminləri üçün səhv dispersiyasını aşağıdakı düsturla təxmini etmək olar:

, (84)

harada i>p; T- göstəricinin dinamik seriyasının həcmi y t .

Beləliklə, avtoreqressiv modellərin qismən avtokorrelyasiya funksiyasının davranışı hərəkətli orta modellərin avtokorrelyasiya funksiyalarının davranışına bənzəyir. AR(p) modeli üçün onun qismən avtokorrelyasiya funksiyası MA(q) modelinin avtokorrelyasiya funksiyası üçün olduğu kimi p gecikməsindən sonra “kəsilir”. Qismən avtokorrelyasiya funksiyasının bu xüsusiyyəti avtoreqressiv modelləri müəyyən etmək üçün faydalıdır. Həqiqi bir proses üçün hesablanmış belə bir funksiyanın dəyərləri p + 1 sürüşməsindən başlayaraq qırılırsa (sıfıra çevrilirsə), bu, p-ci dərəcəli avtoreqressiv modelin nəzərdən keçirilən prosesin xüsusiyyətlərinə uyğun olduğunu göstərir.

(34) ifadəsindən göründüyü kimi MA(q) modelinin nəzəri avtokorrelyasiya funksiyası q gecikməsindən sonra başa çatır. Buna görə də, əgər real prosesin avtokorrelyasiya funksiyası oxşar xassələrə malikdirsə, bu onu göstərir ki, onu təsvir etmək üçün müvafiq sıranın hərəkətli orta modelindən istifadə etmək məqsədəuyğundur. Başqa sözlə, əgər proses y t, yalnız birinci avtokorrelyasiya əmsalı əhəmiyyətli oldu r1 və eyni zamanda (41) ifadəsinə uyğun olaraq r1<0,5, то данный факт указывает на целесообразность выбора для его описания модели MA(1). Если «обрыв» имеет место после второго сдвига - то модель MA(2) и т.д.

Avtoreqressiv modellərdə olduğu kimi, hər hansı bir nizamın hərəkətli orta modelləri üçün qismən avtokorrelyasiya funksiyaları qurula bilər. Onların əmsallarını qiymətləndirmək üçün (81)-(83) ifadələrindən istifadə olunur. Eyni zamanda MA(1) modeli üçün birinci avtokorrelyasiya əmsalı nəzərə alınmaqla ρ 1 və model parametri γ 1 nisbəti ilə bağlıdır , onda τ=2, 3,... üçün ki, nəzərə alınmaqla ρ 2 = ρ 3 =…=0, Göstərilə bilər ki, bu modelin qismən avtokorrelyasiya əmsallarının qiymətləri aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

(11)-dən dərhal belə çıxır

buradan belə nəticə çıxır ki, MA(1) modelinin qismən avtokorrelyasiya funksiyası (yəni onun qismən avtokorrelyasiya əmsallarının mütləq qiymətləri) eksponensial qanuna uyğun olaraq azalır. Başqa sözlə, onun davranışı AR(1) modelinin avtokorrelyasiya funksiyasına bənzəyir.

Göstərilə bilər ki, xassələrin oxşar uyğunluğu MA(2) modelinin qismən avtokorrelyasiya funksiyası və AR(2) modelinin avtokorrelyasiya funksiyası üçün xarakterikdir. Onlar ya artan yerdəyişmə ilə rəvan şəkildə azalan eksponensial tipli asılılıqlardır, ya da sönümlənmiş sinusoidlərdir. Avtokorrelyasiya ilə xüsusi avtokorrelyasiya funksiyaları arasında belə uyğunluq avtoreqressiv modellər və daha yüksək dərəcəli hərəkətli ortalamalar üçün də xarakterikdir.

ARMA(p,q) modelləri üçün q gecikməsindən sonra avtokorrelyasiya funksiyasının davranışı AR(p) modelinin avtokorrelyasiya funksiyasının davranışına bənzəyir. Bununla belə, praktikada adətən ARMA(1,1) modeli istifadə olunur, yəni. yalnız ilk sifariş. Yuxarıda göstərildiyi kimi ((75)-(80) ifadələrinə bax), bu onunla bağlıdır ki, modelin birinci dərəcəli avtoreqressiya ilə əlaqəli komponenti daha yüksək səviyyələrin hərəkət edən ortasının bütün proseslərini udur və əksinə, birinci dərəcəli hərəkətli ortalamanın komponenti yüksək dərəcəli avtoreqressiv prosesləri udur. Nəticədə, ARMA(1,1) modelinin avtokorrelyasiya və qismən avtokorrelyasiya funksiyalarının davranışı, sanki, bu funksiyaların AR(1) və MA() üçün baş vermiş xassələrinin kombinasiyası ilə xarakterizə olunur. 1) modellər.

Başqa sözlə, AR(1) komponenti ARMA(1,1) modelinin avtokorrelyasiya funksiyasının (avtokorrelyasiya əmsallarının mütləq dəyərləri) eksponensial şəkildə azalmasına kömək edir, lakin ilk gecikmədən (birinci növbədə) sonra ). Bu birbaşa (36) və (38) ifadələrindən irəli gəlir. Öz növbəsində MA(1) komponenti ARMA(1,1) modelinin qismən avtokorrelyasiya funksiyasının davranış qanunauyğunluqlarını müəyyən edir ki, bu da (85) və (86) ifadələrinə uyğun olaraq təqribən eksponensial şəkildə azalır.

İdentifikasiyaya baxılan yanaşmalar real stasionar prosesin nümunə avtokorrelyasiya və qismən avtokorrelyasiya funksiyalarının xassələrinin və onu təsvir etməli olan modelin müqayisəsinə əsaslanır. Praktikada bu funksiyaların xassələrinin ideal üst-üstə düşməsinə tez-tez rast gəlinmir, çünki real proseslər adətən onların nəzəri analoqları-modelləri ilə çox yaxından uyğun gəlmir və onların avtokorrelyasiya əmsallarının təxminləri xətaların olması ilə xarakterizə olunur. Nəticədə identifikasiya proseduru ARMA(p,q) tipli modellərin ümumi qrupundan bəzi sınaq modelinin seçilməsinə haqq qazandırmağa xidmət edir, yəni. Daha dəqiq diaqnostik prosedurların və model parametrlərinin qiymətləndirilməsi üsullarının istifadəsi əsasında nəzərdən keçirilən prosesin “optimal” nəzəri analoqunun (modelinin) qurulması yolunda başlanğıc nöqtəsi kimi.

Adətən diaqnostik prosedurlardan istifadə edərək faktiki model xətasının xassələri araşdırılır. e t , tez-tez qalıq səhv kimi istinad edilir. Bu zaman zaman sıralarının təhlilinin aşağıdakı məntiqini rəhbər tutmaq məqsədəuyğundur e t, dəyərləri t anında prosesin faktiki və hesablanmış dəyərləri arasındakı fərq kimi müəyyən edilir, yəni. , müvafiq modelə uyğun olaraq hesablanan proses dəyərləri haradadır.

"Uğurlu" bir model üçün səhvlər silsiləsi gözləyə bilərik e t , t=1,2,…,T onun xassələri "ağ səs-küyə" kifayət qədər yaxın olacaq - adətən normal hesab edilən onların paylanmasının məlum qanunu istisna olmaqla, onun dəyərlərində hər hansı nümunənin tam olmaması ilə xarakterizə olunan təsadüfi proses. Bizim vəziyyətimiz üçün bu o deməkdir ki, faktiki xətanın riyazi gözləntisi sıfıra bərabər olmalıdır ( M(e t)=0) və dispersiya ölçülməsinin istənilən sahəsində sabitdir ( ) və cərgələr arasında e t , e t-1 , e t-2 ,... avtokorrelyasiya asılılığı yoxdur, yəni. seriyanın birinci və sonrakı nümunə avtokorrelyasiya əmsalları e t , t=1,2,…,T sıfıra yaxın.

Başqa sözlə, faktiki model xətası e t ,"o qədər təsadüfi" olmalıdır ki, başqa heç bir model tərəfindən dəqiqləşdirilə bilməz.

Bundan əlavə, yuxarıda göstərildiyi kimi, səhv fərqinin proses fərqindən əhəmiyyətli dərəcədə az olması arzu edilir. Bu vəziyyətdə prosesi təsvir edən model y t bir növ onun dəyişkənliyindəki qeyri-müəyyənliyin əhəmiyyətli bir hissəsini aradan qaldırır, bu da onun dəyərlərini daha etibarlılıqla proqnozlaşdırmağa imkan verir.

Səhv seriyasında hər hansı nümunələrin olması e t , qurulan modelin baxılan proses üçün qeyri-adekvat olduğunu göstərir y t . Qeyri-adekvatlığın səbəbləri parametr təxminlərindəki səhvlər və ya sözdə model qeyri-müəyyənliyi ola bilər. Bu cür qeyri-müəyyənliyə misal olaraq prosesə adekvat ARMA(1,1) modelinin əvəzinə AR(1) modelinin istifadəsi göstərilə bilər. Bu halda AR(1) model xətası MA(1) modelinin xassələri ilə xarakterizə olunur. Bu, onun sıfırdan fərqli birinci avtokorrelyasiya əmsalı ilə göstəriləcək.

Qeyd edək ki, parametrlərin hətta səhv müəyyən edilmiş dəyərləri də faktiki səhv seriyasında "təsadüfi olmayan" görünməsinə səbəb olur.

Nəticədə, praktikada səhvin xüsusiyyətlərinin təhlili əsasında modeli dəqiqləşdirməyin hər hansı bir yolunu göstərmək birmənalı deyil. e t ,"ağ səs-küy"dən başqa xüsusiyyətlər adətən mümkün deyil. Belə bir vəziyyətdə, ilk növbədə, model parametrlərinin qiymətlərini onların qiymətləndirilməsi üçün daha səmərəli prosedurlardan istifadə edərək dəqiqləşdirmək, sonra zəruri olduqda, modeli yenidən müəyyənləşdirmək tövsiyə edilə bilər.

Bu məqsədlə, aşkar edilmiş təxminlərin ARMA (p, q) parametrlərinin "optimal" qiymətlərinə ilkin yaxınlaşma kimi istifadə edildiyi digər daha dəqiq qiymətləndirmə üsullarından (məsələn, qeyri-xətti) istifadə edilə bilər. model.

Yuxarıdakı əsaslandırmadan belə nəticə çıxır ki, modelin diaqnostikası onun xassələrinin “ağ səs-küy”ün xassələrinə uyğunluq dərəcəsini müəyyən etmək üçün onun xətasının xassələrinin öyrənilməsinə endirilir. Stasionar proseslərin modeli vəziyyətində bu cür tədqiqatlar, adətən, faktiki səhvin avtokorrelyasiya əmsallarının əhəmiyyətini yoxlamaq üçün aparılır. e t .

Model xətasının xassələrinin ağ səs-küyün xassələrinə uyğunluğu haqqında fərziyyəni yoxlamaq, onun riyazi gözləntisinin sabitliyi və sıfıra bərabərliyi, dispersiyanın sabitliyi və avtokorrelyasiya əmsallarının bərabərliyi haqqında fərziyyələrin sınaqdan keçirilməsi prosedurları. sıfıra qədər istifadə edilə bilər.

Zaman sıralarının təhlilinə Box-Jenkins yanaşması dəqiq qısamüddətli proqnozlar vermək üçün çox güclü vasitədir. ARIMA modelləri kifayət qədər çevikdir və praktikada rast gəlinən geniş spektrli zaman seriyası xüsusiyyətlərini təsvir edə bilər. Modelin adekvatlığını yoxlamaq üçün rəsmi prosedur sadə və əlçatandır. Bundan əlavə, proqnozlar və proqnozlaşdırma intervalları birbaşa quraşdırılmış modeldən əmələ gəlir.

Bununla belə, ARIMA modellərinin istifadəsi də bir sıra çatışmazlıqlara malikdir.

1. Nisbətən böyük miqdarda ilkin məlumat tələb olunur. Anlamaq lazımdır ki, əgər məlumatlar, məsələn, 5=12 mövsümi dövrü ilə dövri olarsa, onda bir tam il ərzində müşahidələr əslində on iki dəyər deyil, bir mövsümi məlumat dəyəri (mövsümi struktura bir baxış) olacaqdır. Ümumiyyətlə, qeyri-mövsümi məlumatlar üçün ARIMA modelindən istifadə edərkən, təxminən 40 və ya daha çox müşahidə tələb olunur. Mövsümi məlumatlar üçün ARIMA modelini qurarkən, mövsümilik dövrünün uzunluğundan asılı olaraq təxminən 6-10 il ərzində müşahidələrə ehtiyac var.

2. ARIMA modellərinin parametrlərini tənzimləmək üçün sadə üsul yoxdur, məsələn, bəzi hamarlaşdırma üsullarında, yeni məlumatlar təqdim edildikdə. Model vaxtaşırı tamamilə yenidən qurulmalı, bəzən tamamilə yeni model seçilməlidir.

3. Qənaətbəxş ARIMA modelinin yaradılması çox vaxt çox vaxt və resurs tələb edir. ARIMA modelləri üçün model qurma xərcləri, hesablama vaxtı və verilənlər bazası tələbləri hamarlaşdırma kimi daha ənənəvi proqnozlaşdırma metodlarından əhəmiyyətli dərəcədə yüksək ola bilər.

Bernstein (Bernstein, 1996) fikrincə, proqnozlaşdırma idarəetmənin ən mühüm komponentlərindən biridir və qərarların qəbulu prosesində əhəmiyyətli köməklik göstərir. Əslində istənilən mühüm idarəetmə qərarı müəyyən dərəcədə proqnozlardan asılıdır. Ehtiyat yığılması bağlıdır -dan gözlənilən tələbin proqnozları; istehsal şöbəsi növbəti və ya iki ay üçün əmək və xammal tələbatını planlaşdırmalıdır; maliyyə şöbəsi növbəti rüb üçün qısamüddətli maliyyələşdirmə istehsal etməlidir; kadrlar şöbəsi işçilərin işə götürülməsi və ya işdən çıxarılması zərurəti barədə əvvəlcədən düşünməlidir. Proqnozlaşdırmanın müxtəlif tətbiqlərinin siyahısı çox uzun ola bilər.

Menecerlər proqnozlaşdırmanın zəruriliyini yaxşı bilirlər. Şübhəsiz ki, çox vaxt iqtisadiyyat və siyasətdəki mövcud tendensiyaları, habelə gələcək hadisələrin təklif olunan məhsullara və / və ya xidmətlərə olan tələbata necə təsir göstərə biləcəyini öyrənmək üçün ayrılır. Yüksək vəzifəli məmurlar kəmiyyət proqnozu ilə maraqlanır ki, bunu öz fikirləri ilə müqayisə etsinlər. Proqnozlaşdırmaya maraq xüsusilə tələbin səviyyəsinə ciddi təsir göstərə biləcək hadisələr baş verdikdə daha da güclənir. Kəmiyyət proqnozlaşdırma üsullarının çatışmazlığı onların keçmiş müşahidələrdən asılılığıdır. Bu səbəbdən, tələbin kəskin artmasına və ya azalmasına səbəb olan gözlənilməz dəyişiklikləri proqnozlaşdırmaqda təbii olaraq daha az effektivdirlər.

Çox vaxt menecerlər çoxlu sayda məhsul üçün qısamüddətli proqnoz verməlidirlər. Tipik bir nümunə, menecerin bir xətt təşkil edən bir neçə yüz məhsul növünə tələbatın proqnozlaşdırılması əsasında istehsalın qurulması vəzifəsi ilə üzləşdiyi bir vəziyyətdir. Bu vəziyyətdə hamarlama üsullarının istifadəsi ən əsaslıdır.

Eksponensial hamarlaşdırma üsullarının əsas üstünlüyü onların aşağı qiyməti və sadəliyidir. Onlar ARIMA kimi mürəkkəb metodlarla eyni dəqiqliyi təmin etmirlər. Ancaq minlərlə məhsul üçün proqnozlar edərkən, hamarlaşdırma üsulları çox vaxt yeganə ağlabatan yanaşmadır.

Zaman sıralarına əsaslanan perspektivlərin proqnozları gələcək hadisələrin inkişafının keçmişə bənzəyəcəyi fərziyyəsinə əsaslanır və keçmiş hadisələrin strukturunu adekvat təsvir etmək olar. Dəyişikliklərin sabit və sabit strukturuna malik olan zaman sıraları texnikası proqnozlaşdırma üçün ən çox istifadə olunan dəyişənlərdən biridir.

Box-Jenkins metodologiyası dəqiq qısamüddətli proqnozlaşdırma üçün çox güclü vasitədir. Menecerlər bilməlidirlər ki, qənaətbəxş Box-Jenkins ARIMA modelinin qurulması kifayət qədər çox tarixi məlumat və analitik vaxtının əhəmiyyətli investisiyasını tələb edir.

Box-Jenkins texnikasının bir çox praktik tətbiqi var. ARIMA modelləri əslində aşağıdakı məqsədlər üçün tətbiq edilmişdir:

1 ABŞ telefon sənayesində qiymət strukturunda dəyişikliklərin qiymətləndirilməsi;

2 çaylarda ammonium konsentrasiyası, axın sürəti və suyun temperaturu arasında əlaqənin öyrənilməsi;

3 illik ehtiyatların proqnozlaşdırılması;

4 istismarda olan neft quyularının sayının proqnozlaşdırılması;

5 tikilmiş fərdi yaşayış evlərinin sayının təhlili;

6 satılan vahidlərin sayında faiz artımının gündəlik müşahidələrinin təhlili;

7 hava və dəmir yolu nəqliyyatı arasında rəqabətin təhlili;

8 məşğulluq səviyyəsinin proqnozlaşdırılması;

9 kommunal xidmətlər üçün enerji istehlakının çoxlu sayda zaman seriyasının təhlili;

10istehlak məhsullarının satışının stimullaşdırılmasının təsirlərinin təhlili;

11Məhsul keyfiyyətinin təminatının müxtəlif kateqoriyalarının proqnozlaşdırılması.

Nümunə 2. Y şirkətinin analitiki proqnozlaşdırılmalı olan istehsal prosesi üçün məlumatların zaman silsiləsi hazırladı. Onun topladığı məlumatlar 2-ci cədvəldə, müvafiq qrafik isə şəkil 7-də göstərilmişdir. Görünür, Box-Cenkins metodu toplanmış məlumatların emalı üçün ən uyğun olacaq.

Cədvəl 2 Atron Məhsulunun Buraxılış Dəyərləri

Şəkil 7- Atronu maraqlandıran istehsal prosesi üçün məlumatların qrafiki

Şəkil 1-də göstərilən nümunə avtokorrelyasiya funksiyasının verilənlərin planını və qrafikini təhlil edərək sınaq modelinin axtarışına başlayaq. 8. Məlumatların ilkin zaman seriyası sabit səviyyənin yaxınlığındakı dəyərlərin təxminən 80-ə bərabər dəyişməsi ilə xarakterizə olunur və avtokorrelyasiya əmsallarının qiymətləri sürətlə sıfıra enir. Buna əsaslanaraq, bu zaman seriyasının stasionar olduğu qənaətinə gələ bilərik.

Şəkil 8 - Atron məlumatları üçün nümunə avtokorrelyasiya funksiyası

Birinci nümunə avtokorrelyasiya əmsalı (-0.53) 5% səviyyəsi üçün sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir, çünki o, diapazondan kənardadır.

2-dövr gecikməsi üçün avtokorrelyasiya 5% səviyyəsi üçün eşik dəyərə daha yaxındır və avtokorrelyasiya əlaməti r 1-in əksinədir. interval 1. Qalan avtokorrelyasiya kiçik və müəyyən edilmiş xəta limitləri daxilindədir. Ehtimal etmək olar ki, avtokorrelyasiya əmsallarının belə strukturu ya AR(1) modelinə, ya da məqbul olan MA(2) modelinə uyğun gəlir, əgər avtokorrelyasiyaların artıq sonra kəsildiyini (sıfırdan fərqləndirilmədiyini) qəbul etsək. ikinci interval. Nəticədə, Şəkil 1-də göstərilən seçmə qismən avtokorrelyasiya funksiyasının qrafikini təhlil etmək qərarına gəldik. doqquz.

Şəkil 9 - Şirkət məlumatları üçün nümunə qismən avtokorrelyasiya funksiyası

Qeyd edək ki, birinci qismən avtokorrelyasiya əmsalı (-0,53) sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir, lakin digər qismən avtokorrelyasiya əmsallarının heç biri əhəmiyyətli dəyər səviyyəsinə yaxınlaşmır. . Nəticə olaraq belə nəticəyə gəlirik ki, nümunə avtokorrelyasiyası və nümunə qismən avtokorrelyasiya funksiyalarının davranışı AR(1) modelinə (və ya eyni olan ARIMA(1,0,0)) uyğun gəlir, lakin tamamilə riski aradan qaldırmaq üçün biz həmçinin MA(2) modelindən (və ya ARIMA(0,0,2)) istifadə edərək məlumatları modelləşdiririk. Hər iki model adekvat olarsa, qənaət prinsipinə əsaslanaraq ən yaxşı modeli seçmək mümkündür ( İqtisadiyyat prinsipi mürəkkəb modeldən sadə modelə üstünlük verməkdən ibarətdir).

Hər iki modelə verilənlərin sıfırdan fərqli səviyyənin yaxınlığında dəyişdiyini nəzərə almaq üçün sabit termin daxil edilir (əgər məlumatlar seçmə orta göstəricidən kənarlaşma kimi ifadə edilsəydi, onda hər iki modeldə sabit termin lazımsız olardı. modellər).

Hər iki model məlumatlara yaxşı uyğunluq göstərdi. Təxmini əmsallar sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Orta kvadrat xətalar oxşardır.

MA (2): s 2 \u003d 135.1

AR(1):s 2 =137,9.

Bu iki model üçün qarşıdakı bir və iki dövr üçün proqnozlar bəzi detallarda fərqlənir, lakin qarşıdakı üç dövr üçün (dövr 78) çox yaxındır. Proqnozlar üçün sabit mənbə ilə stasionar proseslər üçün proqnozlar nəticə etibarilə fərz edilən orta səviyyəyə bərabər olur. Bu halda gözlənilən orta səviyyə təxminən bərabərdir ϻ = 75 hər iki model üçün. m - Lewing-Box statistikası (dəyişdirilmiş Box-Pierce statistikası) intervallar üzrə korrelyasiya əmsalları üçün əhəmiyyətsizdir t = Hər iki model üçün 12, 24, 36 və 48. Fərdi qalıq avtokorrelyasiya əmsalları kiçikdir və onların marjinal xətaları daxilindədir. MA(2) modeli üçün qalıq avtokorrelyasiya funksiyası oxşardır. Bu modellərin hər ikisində səhvlərin təsadüfi olduğuna şübhə yoxdur.

AR(1) modelinin iki parametri (sabit termin də daxil olmaqla), MA(2) modelinin isə üç (sabit termin də daxil olmaqla) olduğundan, qənaət prinsipinə uyğun olaraq daha sadə AR-dan istifadə etmək qərarına gəldim. (1) gələcək məlumat dəyərlərini proqnozlaşdırmaq üçün model. ).

AR(1) proqnoz tənliyi belə görünəcək

ŷ t = 115,842 + (-0,538) y t -1 = 115,842 - 0,538 y t -1, yəni 76-cı dövr üçün

ŷ t = 115,842 - 0,538 y 75 = 115,842 - 0,538(72) = 77,11.

Bundan əlavə, qarşıdakı iki dövr üçün proqnoz aşağıdakı kimi olacaq.

ŷ 77 = 115,842-0,538 y 76 = 115,842-0,538(77,11) = 74,3.

Nümunə 3: Atron analitiki, nəzarəti altında olan istehsal prosesinin keyfiyyətinə nəzarət zamanı aşkar edilən səhvləri (şirkətin hədəf istehsal həcmlərindən kənara çıxmaları) proqnozlaşdırmaq üçün Box-Cenkins metodundan istifadə etməyi qərara alır. Müvafiq məlumatlar Cədvəl 3-də, səhvlərin bu zaman seriyasının qrafiki isə Şəkildə göstərilmişdir. 10.

Cədvəl 3 Atron-da keyfiyyətə nəzarət zamanı aşkar edilmiş xətalar (istehsalçı 1)

Dövr (P)

Şəkil 10 - Atron-da keyfiyyətə nəzarət zamanı aşkar edilən xətalar (hədəf həcmlərdən sapmalar).

Modelin müəyyən edilməsi prosesinə xəta zaman sıralarının qrafikini araşdırmaqla, həmçinin Şəkil 1-də göstərilən avtokorrelyasiya və qismən avtokorrelyasiya funksiyalarını yoxlamaqla başlayaq. 11 və 12.

Şəkil 11 - Atron QC məlumatları üçün nümunə avtokorrelyasiya funksiyası

Şəkil 12 - Keyfiyyətə nəzarət məlumatları üçün nümunə avtokorrelyasiya funksiyası

Zaman sıralarının qrafikləri və avtokorrelyasiya funksiyaları bu seriyanın stasionarlığını göstərir. Yalnız bir əhəmiyyətli avtokorrelyasiya əmsalı (1-ci interval üçün qiymət -0,50) olduğundan və bütün digər əmsallar kiçik olduğundan və qəbul edilmiş əhəmiyyətsizlik diapazonunda olduğundan, seçmə avtokorrelyasiya əmsallarının birinci intervaldan sonra kəsildiyini güman etmək olar.

Qismən avtokorrelyasiya qrafası səbət 1 üçün əhəmiyyətli dəyərdən başlayır, ilk üç nümunə qismən avtokorrelyasiya əmsalı mənfi olur və sıfıra yaxın sönür. Belə nəticəyə gəlmək olar ki, nümunə avtokorrelyasiya və qismən avtokorrelyasiya əmsallarının davranışı MA(1) (və ya ARIMA(0,0,1)) prosesi üçün nəzəri göstəricilərə çox oxşardır. . Biz belə nəticəyə gəlirik ki, tədqiq olunan zaman sıraları MA(1) modelindən istifadə etməklə təsvir edilə bilər.

MA(1) modelindəki parametrlər kimi qiymətləndirilir ϻ \u003d 0,1513 və ω 1 \u003d 0,5875. Onların hər biri sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Qalıq avtokorrelyasiya funksiyası Şəkildə göstərilmişdir. 13 və ᵡ 2 Lewing-Box statistikası (dəyişdirilmiş Box-Pearce statistikası) səhvlərin təsadüfi olduğunu göstərir.

Şəkil 13 - MA(1) modelinin qalıqları üçün avtokorrelyasiya funksiyası

MA(1) modeli üçün proqnoz tənliyi aşağıdakı kimi olacaq:

ŷ t = ϻ - ω 1 ε t -1 ,

burada ε t-1 müvafiq qalıqdan istifadə etməklə qiymətləndirilir e t-1 . 91-ci dövr üçün səhvi (hədəf rəqəmlərdən sapma) proqnozlaşdırmaq üçün 90-cı dövr üçün qalıq lazımdır, e 90 = -0,4804. Aşağıdakıları hesablayırıq:

ŷ 91 \u003d 0,1513 - 0,5875 (-0,4804) \u003d 0,4335.

92-ci dövrdə QC səhvinin proqnozu sadəcə seriyanın fərz edilən ortasıdır, çünki proqnozun başlanğıcında, t = 90, 91, ε 91 dövründə səhv sırasının ən yaxşı qiymətləndirilməsi sıfırdır. Bu cür,

ŷ 92 = 0,1513 -0,5875(0) = 0,1513.

Misal 4. Başqa bir istehsal şirkəti Atron-un məhsullarının həcminin keyfiyyətinə nəzarət zamanı səhvləri proqnozlaşdırmaq maraqlıdır. Bu verilənlərlə Box-Cenkins metodunu tətbiq etməyə çalışaq (cədvəl 4) və bu zaman seriyasının qrafiki şək. on dörd.

Cədvəl 4. Y şirkətində keyfiyyətə nəzarət zamanı aşkar edilən xətalar (Məhsul 2)

Şəkil 14 - Keyfiyyətə nəzarətin səhvləri (hədəf rəqəmlərdən sapmalar).

İlkin vaxt seriyasının qrafiklərinin və nümunə avtokorrelyasiya funksiyasının ümumi görünüşü (şək. 15) keyfiyyətə nəzarət xətalarının orijinal seriyasının stasionar olduğunu göstərir. Səhv dəyərləri sabit bir səviyyə ətrafında dəyişir - sıfır və avtokorrelyasiya tez və rəvan şəkildə pozulur.

Şəkil 15 - Keyfiyyətə nəzarət məlumatları üçün avtokorrelyasiya nümunəsi

Qeyd edək ki, ilk iki avtokorrelyasiya əmsalı sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlidir və daha da əhəmiyyətlisi, ilk bir neçə interval üçün avtokorrelyasiya əmsalları AR(1) kimi proseslərin nəzəri təsvirində necə müəyyən edildiyi kimi azalır. . Şəkildə göstərilən selektiv qismən avtokorrelyasiya funksiyasının qrafikini də təhlil edək. 16. Birincidən başqa bütün qismən avtokorrelyasiya əmsalları praktiki olaraq əhəmiyyətsizdir. Birlikdə götürdükdə nümunə avtokorrelyasiya strukturu və nümunə tezliyi avtokorrelyasiya funksiyaları AR(p) tipli proseslərə tam uyğun gəlirdi. Buna görə də, görünür ki, bir sıra səhvlərin məlumatları (buraxılanların hədəf dəyərlərindən kənarlaşmalar) AR(1) və ya ARIMA(1,0,0) prosesi kimi adekvat şəkildə modelləşdirilə bilər.

Şəkil 16 - Keyfiyyətə nəzarət məlumatları üçün nümunə qismən avtokorrelyasiya

Səhv seriyasının seçmə orta dəyəri standart kənarlaşma ilə müqayisədə olduqca kiçik olduğundan (sıfır səviyyəsində), modelə heç bir sabit termin daxil edilməyəcək.

Model parametri AR(1) φ 1 =0,501 kimi qiymətləndirilir və sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir (t = 5,11). Qalıq kök orta kvadrat xətası s 2 = 1.0998. ᵡ 2 -Lewing-Box statistikası və qalıq avtokorrelyasiya funksiyasının qrafiki (Şəkil 17) tapılan modelin adekvat olduğunu göstərir. Səhv dəyərləri üçün əsas tələbin yerinə yetirildiyinə şübhə etmək üçün heç bir səbəb yoxdur.

Şəkil 17 - AR(1) modeli üçün avtokorrelyasiya funksiyası

Proqnoz tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

ŷ t = 0,501y t-1 .

Beləliklə, 81 və 82-ci dövrlər üçün proqnozlar aşağıdakı kimi olacaq:

ŷ 81 = 0,501y 80 = 0,501(1,06) = 0,531

ŷ 82 = 0,501y 81 = 0,501(0,531) = 0,266.

AR(1) modelinin xeyrinə seçimi təsdiqləyən nəticələr əldə etmək üçün bir az daha mürəkkəb modeli sınayaq. Biz keyfiyyətə nəzarət səhvlərini təhlil etmək üçün əlavə parametrdən istifadə edirik və ARMA(1,1) (və ya ARIMA(1,0,1)) modelini sınaqdan keçiririk. Sonuncu onunla əsaslandırıla bilər ki, əgər əvvəllər seçilmiş model düzgündürsə, o zaman yeni modeldə hərəkətli ortalamanın əlavə parametri çox kiçik töhfə verəcəkdir.

ARIMA(1,0,1) modeli əsasında ilkin verilənlər seriyasının modelləşdirilməsinin nəticələri göstərdi ki, MA(1) parametri sıfırdan çox da fərqlənmir. (t = 1.04), yəni modeldə buna ehtiyac yoxdur. Əlbəttə ki, bu, AR(1) modelindən daha ümumi model olduğundan, onun məlumat təqdimatı ən azı dəyərlə sübut olunduğu qədər yaxşıdır. s 2 = 1.0958 və qalıqların təsadüfi davranışı.

Nümunə 4 Keytronun satış proqnozunu nəzərdən keçirək. Satış məlumatları 115 ay üçün mövcuddur. 1987-ci ilin yanvarından 1996-cı ilin avqustuna qədər olan dövrü əhatə edən bu məlumatlar Cədvəl 5-də təqdim edilmişdir.

Cədvəl 5 Keytron Aylıq Satışları

Qrafiki Şəkildə göstərilən zaman sıralarını diqqətlə öyrəndikdən sonra. 18-də, artan bir tendensiya ilə yanaşı, açıq şəkildə təzahür edən mövsümi bir quruluş tapa bilərsiniz. Bu seriyanın qeyri-stasionar olduğu qənaətinə gəlirik və buna görə də ona mövsümi ARIMA modelini tətbiq etmək lazımdır.

Şəkil 18 - Şirkətin satış həcmlərinin qrafiki

Nümunəvi avtokorrelyasiya funksiyasını tədqiq etməklə verilənlər modelini təyin etməyə başlayaq, onun qrafiki şək. 19. Kiçik intervallarda avtokorrelyasiya əmsalları artıq 1-ci intervaldan sonra praktiki olaraq kəsilir, baxmayaraq ki, 3-cü intervalda da cüzi sıçrayış müşahidə olunur.Onu da qeyd etmək lazımdır ki, avtokorrelyasiya əmsalları mövsümi intervallarda, yəni. 12, 24 və 36 (sonuncu göstərilmir) əhəmiyyətlidir, lakin tez sönür. Bu, seriyanın qeyri-stasionarlığını göstərir və ilkin zaman seriyasının qrafikinin öyrənilməsinin nəticələrini təsdiqləyir.

Şəkil 19 - Şirkət həcmi məlumatları üçün nümunə avtokorrelyasiya funksiyası

Adekvat model axtarışına davam etməzdən əvvəl, orijinal verilənlər seriyasını stasionar birinə çevirməyin mümkün olub-olmadığını yoxlamaq üçün mövsümi struktura uyğun olaraq fərq seriyalarını hesablayırıq.

Bir dövr üçün mövsüm fərqi S= 12 aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Δ 12 y t \u003d y t - y t -12.

Keytron satış məlumatları üçün hesablanmış ilk mövsümi fərq:

y 13 - y 1 \u003d 1757,6 - 1736,8 \u003d 20,8.

Əncirdə. 20 mövsümi fərqlərin hesablanmış seriyasının süjetidir.

Şəkil 20 - Şirkətin satış məlumatları üçün mövsümi fərqlər

Əncirdə. 21 və 22, müvafiq olaraq, fərq seriyası üçün nümunə avtokorrelyasiyası və nümunə qismən avtokorrelyasiya funksiyalarını göstərir. Əncirdən. 19-dan belə nəticə çıxır ki, mövsümi fərq məlumatları kifayət qədər stasionar hesab edilə bilər və onlar 100-ə yaxın dəyər ətrafında dəyişir. Avtokorrelyasiya əmsalları 12 intervalında bir əhəmiyyətli zirvəyə malikdir (kəsilmiş) və seçmə qismən avtokorrelyasiya əmsalları əhəmiyyətlidir. zirvələri 12 və 24 intervallarında, tədricən azalır » (söndürür). Bu davranış 12 intervalında MA(1) elementini göstərir.

Şəkil 21 - Şirkətin satış məlumatlarında mövsümi fərqlərin avtokorrelyasiya nümunəsinin qrafiki

Şəkil 22 - Şirkətin satış məlumatlarında mövsümi fərqlərin qismən korrelyasiya nümunəsinin qrafiki

Verilənlər üçün ARIMA(0,0,0)(0,1,1) formasının modelini seçək. Belə bir qeyd aşağıdakıları nəzərdə tutur.

d=0 - adi fərqlər

q=0 - hərəkətli ortalamanın adi şərtləri

D= 1- 5-12 intervalında mövsümi fərqlər

Q= 1 - mövsümi hərəkətli ortalamanın şərtləri.

Mövsümi fərq silsiləsi sıfırdan fərqli səviyyə ətrafında dəyişdiyi üçün tənliyə sabit bir müddət əlavə edilməli idi. Son model belə görünür

y t - y t -12 = ϻ + ε t + ψ 1 ε t -12, (87)

harada ϻ - mövsümi fərq prosesinin orta səviyyəsi və ψ dəyəri - bu, mövsümi hərəkətli orta parametrdir.

Qalıqların avtokorrelyasiya funksiyasının qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 23, növbəti 12 ay üçün proqnoz isə şirkətin satış həcmlərinin qrafikini davam etdirir (Şəkil 24).

Şəkil 24 - Şirkətin satış həcmi və satış proqnozları

Biz əldə edirik ki, orijinal model məlumat strukturunu yaxşı təsvir edir. ᵡ 2 - interval qrupları üçün Lewing-Box statistikası t = 12, 24, 36 və 48 əhəmiyyətli deyil, bu da p-nin böyük bir dəyərini göstərir. Qalıqların avtokorrelyasiyaları heç bir zahiri struktur olmadan eyni dərəcədə kiçikdir.

Təxmini parametr dəyərləri idi ϻ = 85,457 və ψ = 0,818. Bu kəmiyyətlərin qiymətlərinə əsasən y t ilə bağlı həll edilə bilən tənlik (87) , belə görünəcək:

y t \u003d y t -12 + 85.457 + 0.818ε t -12.

116 dövr üçün satışları proqnozlaşdıraraq bərabərləşdiririk t = 116 və biz görərik ki, proqnozlaşdırılan dövrlər üçün ən yaxşı təxmin edilən ε 116 dəyəri (növbəti dövr üçün xəta) sıfır olacaqdır. Beləliklə, proqnoz tənliyi olacaq

ŷ 116 \u003d y 114 + 85.147 - 0.818e 104,

burada e 104 104-cü dövr üçün qalıqdır (səhv təxmini).

ŷ 116 = 2275 + 85,457 - 0,818(-72,418) = 2419,7. Eyni yol

ŷ 117 \u003d y 105 + 85.457-0.8186.05e 105

ŷ 117 = 2581,8 + 85,457 - 0,818(119,214) = 2504,3.

Proqnozlar serialın davranışına tam uyğundur. Fərz etmək olar ki, mövsümi strukturun təsviri düzgündür və şirkət tezliklə satış həcmlərində artım müşahidə edəcək.

Ədəbiyyat

1. Kendal M. Zaman seriyası. - M.: "Maliyyə və statistika", 1981.

2. Runova L.P., Runov I.L. Zaman sıralarının təhlili və proqnozlaşdırılması. Tələbələr üçün “Sosial-iqtisadi proqnozlaşdırma metodları” fənni üzrə tədris-metodiki materiallar

“İqtisadiyyatda riyazi metodlar” ixtisası üzrə. Rostov-na-Donu, Rusiya Dövlət Universiteti, 2006.

2. Skuchalina L. N., Krutova T. A. Zaman sıralarının məlumat bazasının təşkili və saxlanması. Göstəricilər sistemi, informasiya proseslərinin proqnozlaşdırılmasının müəyyən edilməsi, qiymətləndirilməsi üsulları. GKS RF. M., 1995.

Statistik modelləşdirmə və proqnozlaşdırma. Dərslik / Ed. A. G. Qranberq. - M.: "Maliyyə və statistika", 1990.

Chetyrkin E.N. Statistik proqnozlaşdırma üsulları. -M.: "Statistika", 1975.