Tez-tez orta məktəb şagirdləri ilə söhbət tədqiqat işi riyaziyyatda aşağıdakıları eşidirəm: "Riyaziyyatda hansı yeni şeylər kəşf edilə bilər?" Amma həqiqətən: bəlkə bütün böyük kəşflər edilib və teoremlər sübut olunub?

8 avqust 1900-cü ildə Parisdə keçirilən Beynəlxalq Riyaziyyatçılar Konqresində riyaziyyatçı David Hilbert XX əsrdə həll olunacağına inandığı problemlərin siyahısını açıqladı. Siyahıda 23 maddə var idi. onlardan iyirmi biri Bu an həll olundu. Gilbertin siyahısında sonuncu həll edilmiş problem, alimlərin 358 il ərzində həll edə bilmədiyi məşhur Fermat teoremi idi. 1994-cü ildə britaniyalı Endryu Uayls öz həllini təklif etdi. Doğru olduğu ortaya çıxdı.

Keçən əsrin sonunda Gilbertdən nümunə götürərək, bir çox riyaziyyatçılar 21-ci əsr üçün oxşar strateji vəzifələri formalaşdırmağa çalışdılar. Belə siyahılardan birini Boston milyarderi Landon T. Clay məşhurlaşdırdı. 1998-ci ildə onun hesabına Kembricdə (Massaçusets, ABŞ) Kley Riyaziyyat İnstitutu yaradıldı və müasir riyaziyyatın bir sıra mühüm problemlərinin həlli üçün mükafatlar təsis edildi. 2000-ci il mayın 24-də institutun mütəxəssisləri yeddi problem seçdilər - mükafatlara ayrılan milyonlarla dolların sayına görə. Siyahı Minilliyin Mükafat Problemləri adlanır:

1. Kukun problemi (1971-ci ildə tərtib edilmişdir)

Deyək ki, siz böyük bir şirkətdə olduğunuz üçün dostunuzun da orada olduğundan əmin olmaq istəyirsiniz. Əgər sizə deyilsə ki, o, küncdə oturub, onda bir baxışla məlumatın doğruluğuna əmin olmaq üçün saniyənin bir hissəsi kifayət edəcək. Bu məlumat olmadıqda, qonaqlara baxaraq bütün otağı gəzməyə məcbur olacaqsınız. Bu, problemin həllinin həllin düzgünlüyünü yoxlamaqdan daha çox vaxt tələb etdiyini göstərir.

Stiven Kuk problemi formalaşdırdı: yoxlama alqoritmindən asılı olmayaraq problemin həllinin düzgünlüyünü yoxlamaq həllin özünü əldə etməkdən daha uzun ola bilər. Bu problem həm də məntiq və informatika sahəsində həllini tapmayan problemlərdən biridir. Onun həlli məlumatların ötürülməsi və saxlanmasında istifadə olunan kriptoqrafiyanın əsaslarında inqilab edə bilər.

2. Riemann hipotezi (1859-cu ildə tərtib edilmişdir)

Bəzi tam ədədləri iki kiçik tam ədədin hasili kimi ifadə etmək olmaz, məsələn, 2, 3, 5, 7 və s. Belə ədədlər sadə ədədlər adlanır və xalis riyaziyyatda və onun tətbiqlərində mühüm rol oynayır. Sadə ədədlərin bütün natural ədədlərin sıraları arasında paylanması heç bir qanunauyğunluğa riayət etmir. Ancaq alman riyaziyyatçısı Riemann sadə ədədlər ardıcıllığının xassələri ilə bağlı bir fərziyyə irəli sürdü. Riemann fərziyyəsi sübut olunarsa, o, şifrələmə haqqında biliklərimizdə inqilab edəcək və internet təhlükəsizliyində misli görünməmiş irəliləyişlərə səbəb olacaq.

3. Birç və Svinnerton-Dyer hipotezi (1960-cı ildə tərtib edilmişdir)

Tam əmsallı bir neçə dəyişənli bəzi cəbri tənliklərin həllər toplusunun təsviri ilə əlaqələndirilir. Belə tənliyə misal olaraq x2 + y2 = z2 ifadəsini göstərmək olar. Evklid verdi Tam təsvir bu tənliyin həlli, lakin daha mürəkkəb tənliklər üçün həllər tapmaq olduqca çətin olur.

4. Hodge hipotezi (1941-ci ildə tərtib edilmişdir)

20-ci əsrdə riyaziyyatçılar mürəkkəb obyektlərin formasını öyrənmək üçün güclü bir üsul kəşf etdilər. Əsas ideya obyektin özünün əvəzinə bir-birinə yapışdırılmış və onun bənzərini təşkil edən sadə “kərpiclərdən” istifadə etməkdir. Hodge fərziyyəsi bu cür "kərpiclərin" və obyektlərin xüsusiyyətləri ilə bağlı bəzi fərziyyələrlə bağlıdır.

5. Navier - Stokes tənlikləri (1822-ci ildə tərtib edilmişdir)

Göldə bir qayıqla üzsəniz, dalğalar yaranacaq və bir təyyarədə uçsanız, havada turbulent cərəyanlar yaranacaq. Bu və digər hadisələrin Navier-Stokes tənlikləri kimi tanınan tənliklərlə təsvir olunduğu güman edilir. Bu tənliklərin həlli naməlumdur və onların necə həll olunacağı belə məlum deyil. Həllin mövcud olduğunu və kifayət qədər hamar bir funksiya olduğunu göstərmək lazımdır. Bu problemin həlli hidro- və aerodinamik hesablamaların aparılması üsullarını əhəmiyyətli dərəcədə dəyişdirməyə imkan verəcəkdir.

6. Puankare problemi (1904-cü ildə tərtib edilmişdir)

Bir alma üzərində bir rezin bant uzatsanız, onda səthdən çıxmadan lenti yavaş-yavaş hərəkət etdirə, bir nöqtəyə qədər sıxa bilərsiniz. Digər tərəfdən, eyni rezin bant pişi ətrafında düzgün şəkildə uzanırsa, bandı cırmadan və ya pişi qırmadan bandı bir nöqtəyə qədər sıxışdırmaq mümkün deyil. Bir almanın səthinin sadəcə birləşdiyi deyilir, amma pişiyin səthi deyil. Riyaziyyatçılar hələ də düzgün cavabı axtarırlar ki, yalnız sferanın sadəcə bağlı olduğunu sübut etmək o qədər çətin oldu.

7. Yang-Mills tənlikləri (1954-cü ildə tərtib edilmişdir)

Kvant fizikasının tənlikləri dünyanı təsvir edir elementar hissəciklər. Fiziklər Yanq və Mills həndəsə ilə elementar hissəciklər fizikası arasındakı əlaqəni kəşf edərək öz tənliklərini yazdılar. Beləliklə, onlar elektromaqnit, zəif və güclü qarşılıqlı təsirlər nəzəriyyələrini birləşdirməyin yolunu tapdılar. Yang-Mills tənliklərindən, faktiki olaraq bütün dünyada laboratoriyalarda müşahidə edilən hissəciklərin mövcudluğu izlənildi, buna görə də Yang-Mills nəzəriyyəsi əksər fiziklər tərəfindən qəbul edilir, baxmayaraq ki, bu nəzəriyyə daxilində hələ də proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. elementar hissəciklərin kütlələri.

Düşünürəm ki, bloqda dərc olunan bu material təkcə tələbələr üçün deyil, riyaziyyatla ciddi məşğul olan məktəblilər üçün də maraqlıdır. Mövzuları və tədqiqat sahələrini seçərkən düşünməli bir şey var.

Fermat teoreminin həllinə görə dahi adlandırılan müasir riyaziyyatın 100 dahisindən biri haqqında nəşri oxuyan “Pier Ferma və onun “sübut olunmayan” teoremi” məqaləsinin müəllifi Lev Valentinoviç Rudi nəşr etməyi təklif edib. onun bu mövzuda alternativ fikri. Biz buna hazır cavab verdik və onun məqaləsini ixtisarsız dərc edirik.

Pierre de Fermat və onun "sübut olunmayan" teoremi

Bu il böyük fransız riyaziyyatçısı Pyer de Fermanın anadan olmasının 410-cu ildönümüdür. Akademik V.M. Tixomirov P.Fermat haqqında yazır: “Yalnız bir riyaziyyatçının adının xalqa çevrilməsi şərəfinə layiq görülüb. Əgər “fermatist” deyirlərsə, deməli, hansısa reallaşa bilməyən ideyaya dəlilik həddinə qədər aludə olan insandan danışırıq. Amma bu sözü Fransanın ən parlaq ağıllarından biri olan Pyer Fermanın (1601-1665) özünə aid etmək olmaz.

P.Fermat heyrətamiz taleyi olan insandır: dünyanın ən böyük riyaziyyatçılarından biri, o, “peşəkar” riyaziyyatçı deyildi. Fermat ixtisasca hüquqşünas idi. Əla təhsil almış, incəsənətin və ədəbiyyatın görkəmli bilicisi idi. Ömrü boyu çalışıb İctimai xidmət, son 17 ildə Tuluzada parlamentin müşaviri olub. Maraqsız və ülvi məhəbbət onu riyaziyyata cəlb etdi və sevginin insana verə biləcəyi hər şeyi ona verən də bu elm idi: gözəllik, həzz və xoşbəxtlik məstliyi.

Kağızlarda və yazışmalarda Fermat bir çox gözəl ifadələr tərtib etdi, bu barədə sübutlarının olduğunu yazdı. Və getdikcə belə sübut olunmamış ifadələr getdikcə azaldı və nəhayət, yalnız biri qaldı - onun sirli Böyük Teoremi!

Bununla belə, riyaziyyatla maraqlananlar üçün Fermatın adı Böyük Teoremindən asılı olmayaraq çox şey danışır. O, dövrünün ən dərrakəli ağıllarından biri olub, ədədlər nəzəriyyəsinin banisi hesab olunur, analitik həndəsə, riyazi analizin inkişafına böyük töhfələr verib. Bizə gözəllik və sirrlə dolu bir dünya açdığı üçün Fermata minnətdarıq” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).

Qəribədir, amma "təşəkkür"!? Riyaziyyat dünyası və aydınlanmış bəşəriyyət Fermatın 410 illik yubileyinə məhəl qoymadı. Hər şey həmişəki kimi sakit, dinc, gündəlik idi... Heç bir təntənə, tərifli çıxışlar, tostlar yox idi. Dünyadakı bütün riyaziyyatçılardan yalnız Fermat o qədər yüksək şərəfə “şərəf” verib ki, “fermatist” sözü işlədiləndə hamı başa düşür ki, söhbət “gerçəkləşməyən ideyaya dəlicəsinə aludə olan” yarımağıldan gedir. Fermat teoreminin itirilmiş sübutunu tapın!

Diophantusun kitabının kənarı ilə bağlı qeydində Fermas yazırdı: "Mən öz iddiamın həqiqətən heyrətamiz bir sübutunu tapdım, lakin kitabın kənarları onu yerləşdirmək üçün çox dardır." Beləliklə, "17-ci əsrin riyazi dahisinin zəiflik anı" idi. Bu axmaq "səhv etdiyini" başa düşmədi, amma çox güman ki, sadəcə "yalan danışdı", "hiyləgər".

Fermat iddia edirdisə, deməli sübutu var idi!? Bilik səviyyəsi müasir onuncu sinif şagirdininkindən yüksək deyildi, amma hansısa mühəndis bu sübutu tapmağa çalışsa, onu ələ salırlar, dəli elan edirlər. Və əgər amerikalı 10 yaşlı uşaq E.Uayls “Fermatın özündən çox riyaziyyat bilə bilməyəcəyini ilkin fərziyyə kimi qəbul edir” və bu “sübut olunmayan teoremi” “sübut etməyə” başlayırsa, bu, tamam başqa məsələdir. Təbii ki, belə bir şeyə yalnız “dahi” qadirdir.

Təsadüfən mən bir sayta (works.tarefer.ru›50/100086/index.html) rast gəldim, burada Çita Dövlət Texniki Universitetinin tələbəsi Kushenko V.V. Ferma haqqında yazır: “... Kiçik Beaumont şəhəri və onun bütün beş min əhalisi dərk edə bilmirlər ki, böyük Fermat burada doğulub, gələcək əsrlərin boş məsələlərini həll edən sonuncu riyaziyyatçı-kimyaçı, ən sakit məhkəmə qarmaqlı. , tapmacaları ilə bəşəriyyətə işgəncə verən məkrli sfenks, ehtiyatlı və fəzilətli bir bürokrat, fırıldaqçı, intriqan, ev adamı, paxıl insan, parlaq tərtibçi, riyaziyyatın dörd titanından biri ... Ferma demək olar ki, Tuluzadan heç vaxt ayrılmadı, parlament müşavirinin qızı Luiza de Lonqla evləndikdən sonra burada məskunlaşdı. Qayınatasının sayəsində məsləhətçi rütbəsinə qədər yüksəldi və çox arzulanan "de" prefiksini aldı. Üçüncü mülkün oğlu, varlı dəri işçilərinin praktik övladı, Latın və Fransiskan dindarlığı ilə doldurulmuş, real həyatda özünə böyük vəzifələr qoymadı ...

Çətin yaşında o, hərtərəfli və sakit yaşayırdı. Dekart kimi fəlsəfi traktatlar yazmadı, Fransız krallarının sirdaşı olmadı, Vyet kimi döyüşmədi, səyahət etmədi, riyazi dərnəklər yaratmadı, tələbələri olmadı və sağlığında nəşr olunmadı ... Tarixdə bir yerə şüurlu bir iddia tapmayan Ferma 1665-ci il yanvarın 12-də vəfat edir."

Sarsıldım, sarsıldım... Bəs ilk “riyaziyyatçı-kimyagər” kim olub!? Bu "gələcək əsrlərin boş vəzifələri" nədir? “Bürokrat, fırıldaqçı, intriqan, evbaz, paxıl adam”... Bu yaşıl gənclərin, gənclərin özündən 400 il əvvəl yaşamış bir insana niyə bu qədər xor, nifrət, rüsvayçılıq var!? Nə küfr, açıq-aşkar ədalətsizlik!? Amma bütün bunları gənclərin özü ağlına gətirməyib!? Bunları riyaziyyatçılar, “elmlər padşahları”, Fermatın “hiyləgər sfinksinin” tapmacaları ilə işgəncə verdiyi həmin “bəşəriyyət” düşünüblər.

Bununla belə, Fermat təkəbbürlü, lakin ortabab nəsillərin üç yüz ildən artıq bir müddət ərzində onun məktəb teoremində buynuzlarını döymələrinə görə heç bir məsuliyyət daşıya bilməz. Fermatı alçaldan, tüpürən riyaziyyatçılar forma şərəfini qorumağa çalışırlar!? Amma çoxdan “şərəf” yoxdu, hətta “forma” da!? Fermanın uşaq problemi dünya riyaziyyatçılarının “seçilmiş, igid” ordusunun ən böyük biabırçılığına çevrildi!?

Fərmatdan 700 il əvvəl həm P.Fermat, həm də ərəb riyaziyyatçısı əl-Xucəndi tərəfindən sübut edilmiş məktəb teoremini yeddi nəsil riyazi “nurçular” sübut edə bilmədiyi üçün “elmlər şahları” rüsvay oldu!? Səhvlərini etiraf etmək əvəzinə, P.Fermanı fırıldaqçı kimi qınayıb, onun teoreminin “sübut edilməzliyi” haqqında mifi şişirtməyə başladıqları üçün rüsvay oldular!? Riyaziyyatçılar həm də bütün bir əsr ərzində həvəskar riyaziyyatçıları çılğınlıqla təqib etmələri, “kiçik qardaşlarının başına döyülmələri” ilə özlərini biabır etdilər. Bu təqib Hippasın Pifaqor tərəfindən boğulmasından sonra bütün elmi düşüncə tarixində riyaziyyatçıların ən biabırçı hərəkəti oldu! Fermat teoreminin “sübut”u adı altında riyaziyyatın ən parlaq korifeylərinin belə “başa düşmədiyi” E.Uilsin şübhəli “yaradılışını” maariflənmiş bəşəriyyətə sırıtmaları da onları biabır edirdi!?

P.Fermatın anadan olmasının 410-cu ildönümü, şübhəsiz ki, riyaziyyatçıların nəhayət özlərinə gəlmələri və çəpər hasarına kölgə salmağı dayandırmaları və böyük riyaziyyatçının yaxşı, dürüst adını bərpa etmələri üçün kifayət qədər güclü arqumentdir. P.Fermat “tarixdə heç bir şüurlu iddiaya rast gəlmədi”, amma bu azğın və şıltaq Xanım özü onu qucağında salnaməsinə daxil etdi, amma saqqız kimi çoxlu qeyrətli və qeyrətli “müraciətçilərə” tüpürdü. Və bununla bağlı heç nə etmək olmaz, onun çoxlu gözəl teoremlərindən yalnız biri tarixə P.Fermatın adı ilə əbədi olaraq daxil olmuşdur.

Lakin Fermatın bu bənzərsiz əsəri bütün əsr ərzində yerin altına atılmış, qadağan edilmiş və bütün riyaziyyat tarixində ən alçaldıcı və nifrət edilən işə çevrilmişdir. Amma riyaziyyatın bu “çirkin ördək balası”nın gözəl qu quşuna çevrilməsinin vaxtı yetişib! Təsərrüfatın heyrətamiz sirri xəzinədə öz layiqli yerini tutmaq hüququndan məhrum oldu riyazi bilik, və dünyanın hər məktəbində bacısının yanında - Pifaqor teoremi.

Belə unikal, zərif problem sadəcə olaraq gözəl, zərif həlləri ola bilməz. Əgər Pifaqor teoreminin 400 sübutu varsa, o zaman Fermat teoreminin əvvəlcə yalnız 4 sadə sübutu olsun. Onlar var, getdikcə daha çox olacaqlar!? Hesab edirəm ki, P.Fermatın 410 illik yubileyi peşəkar riyaziyyatçıların özlərinə gəlmələri və nəhayət, həvəskarların bu mənasız, absurd, əziyyətli və tamamilə faydasız “blokadası”na son qoymaları üçün ən uyğun hadisə və ya fürsətdir!?

1. 1 Murad:

   Zn = Xn + Yn bərabərliyini Diofant tənliyi və ya Fermatın Böyük Teoremi hesab etdik və bu (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn tənliyinin həllidir. Onda Zn =-(Xn + Yn) (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn tənliyinin həllidir. Bu tənliklər və həllər tam ədədlərin xassələri və onlar üzərində əməliyyatlarla bağlıdır. Yəni biz tam ədədlərin xassələrini bilmirik?! Bu qədər məhdud biliklə həqiqəti üzə çıxarmayacağıq.
   n = 1 olduqda Zn = +(Xn + Yn) və Zn =-(Xn + Yn) həllərini nəzərdən keçirək. Tam ədədlər + Z 10 rəqəmdən istifadə etməklə formalaşır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Onlar 2 tam ədədə bölünür +X - cüt, sonuncu sağ rəqəmlər: 0, 2, 4, 6, 8 və +Y - tək, sonuncu sağ rəqəmlər: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Y = 5 - tək və X = 5 - cüt ədədlərin sayı: Z = 10. Tənliyi ödəyir: (Z - X) X = (Z - Y) Y və həlli + Z = + X + Y= +(X + Y).
   -Z tam ədədləri cüt üçün -X və tək üçün -Y-nin birləşməsindən ibarətdir və tənliyi təmin edir:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y və həlli -Z = - X - Y = - (X + Y).
   Əgər Z/X = Y və ya Z / Y = X, onda Z = XY; Z / -X = -Y və ya Z / -Y = -X, sonra Z = (-X)(-Y). Bölmə vurma ilə yoxlanılır.
   Birmənalı müsbət və mənfi ədədlər 5 tək və 5 tək ədəddən ibarətdir.
   N = 2 halını nəzərdən keçirək. Onda Z2 = X2 + Y2 (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 və Z2 = -(X2 + Y2) tənliyinin həlli (Z2 +) tənliyinin həllidir. X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Z2 = X2 + Y2-ni Pifaqor teoremi hesab etdik və sonra Z2 = -(X2 + Y2) həlli eyni teoremdir. Biz bilirik ki, kvadratın diaqonalı onu 2 hissəyə bölür, burada diaqonal hipotenuzdur. Onda bərabərliklər etibarlıdır: Z2 = X2 + Y2 və Z2 = -(X2 + Y2) burada X və Y ayaqdır. Və daha çox həllər R2 = X2 + Y2 və R2 =- (X2 + Y2) dairələrdir, mərkəzlər kvadrat koordinat sisteminin başlanğıcıdır və R radiusu ilə. Onlar (5n)2 = (3n)2 + ( kimi yazıla bilər. 4n)2 , burada n müsbət və mənfi tam ədədlərdir və 3 ardıcıl ədəddir. Həmçinin həllər 00-dan başlayan və 99-da bitən və 102 = 10x10 olan və 1 əsr = 100 il sayılan 2 bitlik XY ədədləridir.
   n = 3 olduqda həlləri nəzərdən keçirək. Onda Z3 = X3 + Y3 (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 tənliyinin həlləridir.
   3 bitlik ədədlər XYZ 000-dan başlayır və 999-da bitir və 103 = 10x10x10 = 1000 il = 10 əsrdir
   Eyni ölçülü və rəngli 1000 kubdan təxminən 10 rubik edə bilərsiniz. +103=+1000 - qırmızı və -103=-1000 - mavi sıralı bir rubik düşünün. Onlar 103 = 1000 kubdan ibarətdir. Əgər kubları parçalayıb boşluqlar olmadan bir sıra və ya üst-üstə qoysaq, uzunluğu 2000 olan üfüqi və ya şaquli seqment alırıq. Rubik 1butto = 10st ölçüsündən başlayaraq kiçik kublarla örtülmüş böyük bir kubdur. -21 və siz ona bir kub əlavə edə və ya çıxa bilməzsiniz.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Hər bir tam ədəd 1-dir. 1(bir) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 və hasilləri əlavə edin:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Bu əməliyyatlar 20 bitlik kalkulyatorlarda yerinə yetirilə bilər.
   Məlumdur ki, +(n3 - n) həmişə +6-ya, - (n3 - n) isə -6-ya bölünür. Biz bilirik ki, n3 - n = (n-1)n(n+1). Bu, ardıcıl 3 ədəddir (n-1)n(n+1), burada n cütdür, sonra 2-yə bölünür, (n-1) və (n+1) tək, 3-ə bölünür. Sonra (n-1) n(n+1) həmişə 6-ya bölünür. Əgər n=0 olarsa, (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, onda(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   Biz bilirik ki, 19 x 19 = 361. Bu o deməkdir ki, bir kvadrat 360 kvadratla əhatə olunub, sonra isə bir kub 360 kub ilə əhatə olunub. Bərabərlik yerinə yetirilir: 6 n - 1 + 6n. Əgər n=60, onda 360 - 1 + 360 və n=61, onda 366 - 1 + 366.
   Yuxarıdakı ifadələrdən aşağıdakı ümumiləşdirmələr gəlir:
   n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n) +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n) +1)2.
   Əgər 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)...310.
   İstənilən n tam ədədi 10-un gücüdür, aşağıdakılara malikdir: – n və +n, +1/ n və -1/ n, tək və cüt:
   - (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Aydındır ki, hər hansı bir tam ədəd özünə əlavə edilərsə, o zaman 2 dəfə artacaq və hasil kvadrat olacaq: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Bu Vyeta teoremi hesab olunurdu - səhv!
   Əgər daxil verilmiş nömrə b ədədini əlavə edib çıxdıqda, cəmi dəyişmir, məhsul dəyişir, məsələn:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Əgər a və b hərflərinin yerinə tam ədədlər qoysaq, onda paradokslar, absurdlar, riyaziyyata inamsızlıq yaranır.

Deməli, 1637-ci ildə parlaq fransız riyaziyyatçısı Pyer Ferma tərəfindən tərtib edilmiş Fermatın Son Teoremi (çox vaxt Fermatın sonuncu teoremi adlanır) mahiyyətinə görə çox sadədir və orta təhsilli hər bir şəxs üçün başa düşüləndir. Burada deyilir ki, a n + b qüvvəsinə n \u003d c gücünə n gücünə düsturun n > 2 üçün təbii (yəni kəsr olmayan) həlli yoxdur. Hər şey sadə və aydın görünür. , lakin ən yaxşı riyaziyyatçılar və sadə həvəskarlar üç yarım əsrdən çox bir həll yolu axtarmaq uğrunda mübarizə apardılar.

O niyə belə məşhurdur? İndi gəlin öyrənək...



Sübut edilmiş, sübut olunmamış və hələ də sübut olunmamış teoremlər azdırmı? Məsələ burasındadır ki, Fermatın Son Teoremi tərtibin sadəliyi ilə sübutun mürəkkəbliyi arasında ən böyük ziddiyyətdir. Fermatın Son Teoremi inanılmaz dərəcədə çətin bir işdir, lakin onun tərtibi 5-ci sinifdə olan hər kəs tərəfindən başa düşülə bilər. Ali məktəb, lakin sübut heç bir peşəkar riyaziyyatçı deyil. Nə fizikada, nə kimyada, nə biologiyada, nə də eyni riyaziyyatda bu qədər sadə formada qurulacaq, lakin bu qədər uzun müddət həll edilməmiş bir problem yoxdur. 2. Nədən ibarətdir?

Pifaqor şalvarları ilə başlayaq Sözlər həqiqətən sadədir - ilk baxışdan. Uşaqlıqdan bildiyimiz kimi, "Pifaqor şalvarları hər tərəfdən bərabərdir". Problem o qədər sadə görünür ki, o, hamının bildiyi riyazi müddəaya - Pifaqor teoreminə əsaslanırdı: istənilən düzbucaqlıda hipotenuzanın üzərində qurulmuş kvadrat ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların cəminə bərabərdir.

Eramızdan əvvəl V əsrdə. Pifaqor Pifaqor qardaşlığını qurdu. Pifaqorçular, başqa şeylərlə yanaşı, x²+y²=z² tənliyini təmin edən tam üçlükləri öyrəndilər. Bunu sübut etdilər Pifaqor üçlüyü sonsuz sayda və əldə etdim ümumi düsturlar onları tapmaq üçün. Onlar üç və ya daha çox axtarmağa çalışmışlar. yüksək dərəcələr. Bunun nəticə vermədiyinə əmin olan Pifaqorçular boş cəhdlərindən əl çəkdilər. Qardaşlığın üzvləri riyaziyyatçılardan daha çox filosof və estetikalıdırlar.


Yəni x² + y² = z² bərabərliyini mükəmməl şəkildə təmin edən bir sıra ədədləri seçmək asandır.

3, 4, 5-dən başlayaraq - həqiqətən, ibtidai sinif şagirdi 9 + 16 = 25 olduğunu başa düşür.

Və ya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Əla.

Yaxşı, və s. Bənzər x³+y³=z³ tənliyini götürsək necə olar? Bəlkə belə rəqəmlər də var?




Və s. (Şəkil 1).

Yaxşı, belə çıxır ki, onlar yoxdur. Bu hiylənin başladığı yerdir. Sadəlik göz qabağındadır, çünki bir şeyin varlığını deyil, əksinə, yoxluğunu sübut etmək çətindir. Həll yolunun olduğunu sübut etmək lazım gəldikdə, bu həlli sadəcə olaraq təqdim etmək olar və lazımdır.

Yoxluğu sübut etmək daha çətindir: məsələn, kimsə deyir: filan tənliyin həlli yoxdur. Onu gölməçəyə qoyun? asan: bam - və budur, həll! (həllini verin). Və budur, rəqib məğlub oldu. Yoxluğu necə sübut etmək olar?

"Mən belə həllər tapmadım" demək? Yoxsa yaxşı axtarmamısınız? Bəs əgər onlar çox böyükdürsə, o qədər böyükdürsə ki, hətta super güclü kompüter də hələ kifayət qədər gücə malik deyildir? Çətin olan da budur.

Vizual formada bunu aşağıdakı kimi göstərmək olar: uyğun ölçülü iki kvadrat götürsək və onları vahid kvadratlara söksək, bu vahid kvadratlar dəstəsindən üçüncü kvadrat alınır (şəkil 2):


Və üçüncü ölçü ilə də eyni şeyi edək (şəkil 3) - işləmir. Kifayət qədər kublar yoxdur və ya əlavələr qalır:





Lakin 17-ci əsrin riyaziyyatçısı, fransız Pierre de Ferma, x ümumi tənliyini həvəslə öyrəndi. n+yn=zn . Və nəhayət, o nəticəyə gəldi: n>2 üçün tam həllər mövcud deyil. Fermatın sübutu geri qaytarıla bilməyəcək şəkildə itirilir. Əlyazmalar yanır! Yalnız onun Diofantın “Arifmetika”sındakı qeydi qalır: “Mən bu müddəanın həqiqətən heyrətamiz sübutunu tapdım, lakin buradakı kənarlar onu ehtiva etmək üçün çox dardır”.

Əslində sübutu olmayan teoremə fərziyyə deyilir. Ancaq Fermat heç vaxt yanılmadığı üçün bir şöhrətə sahibdir. O, heç bir ifadəyə dair sübut buraxmasa da, sonradan təsdiqini tapıb. Bundan əlavə, Fermat tezisini n=4 üçün sübut etdi. Beləliklə, fransız riyaziyyatçısının fərziyyəsi tarixə Fermanın Son Teoremi kimi düşdü.

Fermatdan sonra Leonhard Euler kimi böyük ağıllar sübut tapmaq üzərində işlədilər (1770-ci ildə o, n = 3 üçün bir həll təklif etdi),

Adrien Legendre və Johann Dirichlet (bu elm adamları 1825-ci ildə birlikdə n = 5 üçün bir sübut tapdılar), Gabriel Lame (n = 7 üçün sübut tapdılar) və bir çox başqaları. Keçən əsrin 80-ci illərinin ortalarında məlum oldu ki, elm dünyası Fermatın Son Teoreminin yekun həlli yolunda idi, lakin yalnız 1993-cü ildə riyaziyyatçılar üç əsrlik bir sübut tapmaq dastanını gördülər və inandılar. Fermanın son teoremi demək olar ki, bitmişdi.

Fermat teoremini yalnız n sadə n üçün sübut etməyin yetərli olduğunu göstərmək asandır: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Mürəkkəb n üçün sübut etibarlı qalır. Amma sonsuz sayda sadə ədədlər var...

1825-ci ildə Sofi Germenin metodundan istifadə edərək qadın riyaziyyatçılar Dirixlet və Legendre müstəqil olaraq n=5 üçün teoremi sübut etdilər. 1839-cu ildə fransız Qabriel Lame eyni üsulla n=7 üçün teoremin doğruluğunu göstərdi. Tədricən teorem yüzdən az olan bütün n-lər üçün sübut olundu.


Nəhayət, alman riyaziyyatçısı Ernst Kummer parlaq tədqiqatında göstərdi ki, 19-cu əsrdə riyaziyyatın metodları teoremi ümumi formada sübut edə bilməz. Fransa Elmlər Akademiyasının 1847-ci ildə Fermat teoreminin sübutu üçün təsis edilmiş mükafatı təyin olunmamış qaldı.

1907-ci ildə varlı alman sənayeçisi Pol Volfskel qarşılıqsız məhəbbət üzündən öz həyatına son qoymaq qərarına gəlir. Əsl alman kimi o, intiharın tarixini və vaxtını təyin etdi: məhz gecə yarısı. Son gün vəsiyyət edib, dostlarına, qohumlarına məktublar yazıb. İş gecə yarısından əvvəl bitdi. Deməliyəm ki, Paul riyaziyyatla maraqlanırdı. İşi olmayandan kitabxanaya getdi və Kummerin məşhur məqaləsini oxumağa başladı. Birdən ona elə gəldi ki, Kummer mülahizələrində səhv edib. Volfskehl əlində karandaşla məqalənin bu hissəsini təhlil etməyə başladı. Gecə yarısı keçdi, səhər gəldi. Sübutdakı boşluq dolduruldu. Və intiharın səbəbi indi tamamilə gülünc görünürdü. Paul vida məktublarını cırıb vəsiyyətnaməni yenidən yazdı.

Tezliklə təbii səbəblərdən öldü. Varislər olduqca təəccübləndilər: 100.000 marka (1.000.000-dan çox cari funt sterlinq) eyni ildə Wolfskel mükafatı üçün müsabiqə elan edən Göttingen Kral Elmi Cəmiyyətinin hesabına köçürüldü. 100.000 marka Fermat teoreminin sübutuna əsaslanırdı. Teoremin təkzibi üçün bir pfenniq ödənilməməli idi ...

Peşəkar riyaziyyatçıların əksəriyyəti Fermatın Son Teoreminin sübutunun axtarışını itirilmiş bir səbəb hesab etdilər və belə bir mənasız məşqə vaxt itirməkdən qətiyyətlə imtina etdilər. Ancaq həvəskarlar şöhrət üçün əylənirlər. Elandan bir neçə həftə sonra Göttingen Universitetinə "dəlil" uçqunu düşdü. Göndərilmiş sübutları təhlil etmək vəzifəsi olan professor E. M. Landau tələbələrinə kartları payladı:


Hörmətli (s). . . . . . . .

Fermatın Son Teoreminin sübutu ilə göndərdiyiniz əlyazma üçün təşəkkür edirik. Birinci səhv səhifədə ... sətirdə ... . Ona görə də bütün dəlil öz qüvvəsini itirir.
Professor E. M. Landau











1963-cü ildə Pol Koen Gödelin tapıntılarına əsaslanaraq, Hilbertin iyirmi üç problemindən birinin, kontinuum fərziyyəsinin həll edilməzliyini sübut etdi. Fermatın Son Teoremi də həll olunmaz olsa nə olar?! Lakin Böyük Teoremin əsl fanatikləri heç də məyus etmədilər. Kompüterlərin meydana gəlməsi gözlənilmədən riyaziyyatçılara yeni bir sübut üsulu verdi. İkinci Dünya Müharibəsindən sonra proqramçılar və riyaziyyatçılar qrupları Fermatın Son Teoremini n-nin 500-ə qədər, sonra 1000-ə qədər və daha sonra 10.000-ə qədər olan bütün dəyərləri üçün sübut etdilər.

80-ci illərdə Samuel Wagstaff limiti 25.000-ə qaldırdı və 90-cı illərdə riyaziyyatçılar Fermatın Son Teoreminin n-in 4 milyona qədər olan bütün dəyərləri üçün doğru olduğunu iddia etdilər. Amma sonsuzluqdan trilyon trilyon belə çıxsa, o, kiçilməz. Riyaziyyatçılar statistikaya inanmırlar. Böyük Teoremin isbatlanması onu BÜTÜN n sonsuzluğa qədər sübut etmək demək idi.




1954-cü ildə iki gənc yapon riyaziyyatçı dostu modul formaları öyrənməyə başladılar. Bu formalar nömrələr seriyasını yaradır, hər biri öz seriyasını yaradır. Təsadüfən Taniyama bu seriyaları elliptik tənliklərin yaratdığı sıralarla müqayisə etdi. Uyğunlaşdılar! Lakin modul formalar həndəsi cisimlərdir, elliptik tənliklər isə cəbridir. Bu cür müxtəlif obyektlər arasında heç vaxt əlaqə tapılmadı.

Buna baxmayaraq, diqqətlə sınaqdan keçirdikdən sonra dostlar bir fərziyyə irəli sürdülər: hər bir elliptik tənliyin əkiz - modul forması var və əksinə. Məhz bu fərziyyə riyaziyyatda bütöv bir tendensiyanın əsasına çevrildi, lakin Taniyama-Şimura fərziyyəsi sübuta yetirilənə qədər bütün bina hər an çökə bilərdi.

1984-cü ildə Gerhard Frey göstərdi ki, Fermat tənliyinin həlli, əgər varsa, bəzi elliptik tənliyə daxil edilə bilər. İki il sonra professor Ken Ribet sübut etdi ki, bu hipotetik tənliyin modul dünyada analoqu ola bilməz. Bundan sonra Fermatın Son Teoremi Taniyama-Şimura zənnilə ayrılmaz şəkildə əlaqələndirildi. İstənilən elliptik əyrinin modul olduğunu sübut etdikdən sonra belə nəticəyə gəlirik ki, Fermat tənliyinin həlli ilə heç bir elliptik tənlik yoxdur və Fermatın Son Teoremi dərhal sübuta yetiriləcəkdir. Lakin otuz il ərzində Taniyama-Şimura zənnini sübut etmək mümkün olmadı və uğura ümidlər getdikcə azaldı.

1963-cü ildə, cəmi on yaşı olanda, Endryu Uayls artıq riyaziyyata heyran idi. Böyük Teoremlə tanış olanda ondan kənara çıxa bilməyəcəyini anladı. O, məktəbli, tələbə, aspirant kimi özünü bu işə hazırlamışdı.

Ken Ribetin tapıntılarını öyrənən Uayls özünü Taniyama-Şimura zənnini sübut etməyə atdı. O, tam təcrid və gizli işləməyə qərar verdi. "Mən başa düşdüm ki, Fermatın Son Teoremi ilə əlaqəsi olan hər şey çox maraq doğurur ... Həddindən artıq izləyici məqsədə çatmağa qəsdən müdaxilə edir." Yeddi illik zəhmət öz bəhrəsini verdi, Uayls nəhayət Taniyama-Şimura zənninin sübutunu tamamladı.

1993-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Endryu Uayls Fermatın Son Teoreminin sübutunu dünyaya təqdim etdi (Wiles Kembricdəki Ser İsaak Nyuton İnstitutunda keçirilən konfransda sensasion hesabatını oxudu).







Mətbuatda şırınga davam edərkən, sübutların yoxlanılması istiqamətində ciddi iş başladı. Sübut ciddi və dəqiq hesab edilməzdən əvvəl hər bir sübut diqqətlə araşdırılmalıdır. Wiles, rəyçilərin rəyini gözləyərək, onların razılığını qazana biləcəyinə ümid edərək həyəcanlı bir yayı keçirdi. Avqustun sonunda ekspertlər kifayət qədər əsaslandırılmamış hökm tapdılar.

Məlum oldu ki, bu qərarda kobud səhv var, baxmayaraq ki, bu, ümumilikdə doğrudur. Wiles təslim olmadı, ədədlər nəzəriyyəsi üzrə tanınmış mütəxəssis Riçard Taylorun köməyinə müraciət etdi və artıq 1994-cü ildə teoremin düzəldilmiş və əlavə edilmiş sübutunu dərc etdilər. Ən təəccüblüsü odur ki, bu əsər Annals of Mathematics riyaziyyat jurnalında 130 (!) səhifə tutmuşdur. Ancaq hekayə bununla da bitmədi - son nöqtə yalnız növbəti ildə, 1995-ci ildə, riyazi nöqteyi-nəzərdən sübutun yekun və "ideal" versiyası dərc edildikdə edildi.

“...ad günü münasibətilə bayram süfrəsi açıldıqdan yarım dəqiqə sonra mən Nadiyaya əlyazma verdim. tam sübut(Endryu Uels). Riyaziyyatçıların qəribə insanlar olduğunu qeyd etdimmi?






Bu dəfə sübuta şübhə yox idi. İki məqalə ən diqqətli təhlilə məruz qaldı və 1995-ci ilin mayında Annals of Mathematics jurnalında dərc olundu.

Həmin andan çox vaxt keçib, amma cəmiyyətdə Fermatın Son Teoreminin həll olunmazlığı haqqında hələ də fikir var. Ancaq tapılan sübutdan xəbərdar olanlar da bu istiqamətdə işləməyə davam edirlər - Böyük Teoremin 130 səhifəlik bir həll tələb etdiyindən çox az adam razıdır!

Buna görə də, indi bir çox riyaziyyatçının (əsasən həvəskarların, peşəkar alimlərin deyil) qüvvələri sadə və qısa bir sübut axtarışına atılır, lakin bu yol, çox güman ki, heç bir yerə aparmayacaq ... - » Bəşəriyyətin vəzifələri

İNSANLIQ TARAFINDAN HƏLL ETMƏYƏN RİYAZİYYATIN VƏZİFƏLƏRİ

Hilbert problemləri

Riyaziyyatın ən vacib 23 problemi 1990-cı ildə Parisdə Riyaziyyatçıların II Beynəlxalq Konqresində ən böyük alman riyaziyyatçısı David Hilbert tərəfindən təqdim edilmişdir. Sonra bu məsələlər (riyaziyyatın əsaslarını əhatə edən, cəbr, ədədlər nəzəriyyəsi, həndəsə, topologiya, cəbri həndəsə, Li qrupları, real və kompleks analiz, diferensial tənliklər, riyazi fizika, variasiyaların hesablanması və ehtimal nəzəriyyəsi həll edilməmişdir. İndiyədək 23 məsələdən 16-sı həll olunub, daha 2-si düzgün deyil riyazi problemlər(biri həll olunub-olunmadığını anlamaq üçün çox qeyri-müəyyən formalaşdırılıb, digəri həll olunmaqdan uzaq, fizikidir, riyazi deyil). Qalan 5 problemdən ikisi ümumiyyətlə, üçü isə yalnız bəzi hallarda həll olunur.

Landau problemləri

İndiyədək sadə ədədlərlə bağlı çoxlu açıq suallar var (sadə ədəd yalnız iki bölən olan ədəddir: bir və ədədin özü). Ən vacib suallar sıralandı Edmund Landau Beşinci Beynəlxalq Riyaziyyat Konqresində:

Landau'nun ilk problemi (Qoldbax problemi): doğrudurmu ki, hər biri cüt Ədəd, ikidən böyük, iki sadə ədədin cəmi kimi, 5-dən böyük hər bir tək ədəd isə üç sadə ədədin cəmi kimi təmsil oluna bilərmi?

Landau ikinci problemi: Çoxluq sonsuzdurmu? "sadə əkizlər"- sadə ədədlər, onların fərqi 2-yə bərabərdir?
Landau üçüncü problemi(Legendre fərziyyəsi): doğrudurmu hər hansı biri üçün natural ədəd və arasında həmişə sadə ədəd varmı?
Landau dördüncü problemi: n natural ədəd olduğu formasının sadə ədədlər çoxluğu sonsuzdurmu?

Minilliyin hədəfləri (Minilliyin Mükafat Problemləri

Bunlar yeddi riyaziyyat problemidir, h və hər biri üçün Clay İnstitutunun 1.000.000 ABŞ dolları mükafatı təklif etdiyi həll. Bu yeddi problemi riyaziyyatçıların diqqətinə çatdıran Kley İnstitutu onları iyirminci əsrin riyaziyyatına böyük təsiri olan D.Hilbertin 23 problemi ilə müqayisə etmişdir. Hilbertin 23 problemindən çoxu artıq həll olunub və yalnız biri, Riemann fərziyyəsi minilliyin problemləri siyahısına daxil edilib. 2012-ci ilin dekabrına olan məlumata görə, yeddi minillik problemindən yalnız biri (Puankare fərziyyəsi) həll edilmişdir. Onun həllinə görə mükafat rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelmana verildi, o, bundan imtina etdi.

Bu yeddi vəzifənin siyahısı budur:

№1. P və NP siniflərinin bərabərliyi

Əgər suala müsbət cavab vermək mümkündürsə sürətli bu suala cavabın özünün (sertifikatla birlikdə) doğru olub olmadığını yoxlayın (sertifikat adlanan bəzi dəstəkləyici məlumatlardan istifadə etməklə) sürətli tapmaq? Birinci növ məsələlər NP sinfinə, ikinci tip isə P sinfinə aiddir. Bu siniflərin bərabərliyi problemi alqoritmlər nəzəriyyəsinin ən mühüm məsələlərindən biridir.

№ 2. Hodge hipotezi

Cəbr həndəsəsinin mühüm problemi. Bu fərziyyə cəbri alt növlər tərəfindən həyata keçirilən kompleks proyektiv növlər üzrə kohomologiya siniflərini təsvir edir.

Nömrə 3. Puankare hipotezi (G.Ya.Perelman tərəfindən sübut edilmişdir)

Ən məşhur topologiya problemi hesab olunur. Daha sadə desək, üçölçülü sferanın bəzi xassələrinə malik olan hər hansı 3D “obyekt”in (məsələn, onun içindəki hər bir döngə büzülə bilən olmalıdır) deformasiyaya qədər kürə olması lazım olduğunu bildirir. Puankare zənninin sübutuna görə mükafat rus riyaziyyatçısı G.Ya.

№ 4. Riemann hipotezi

Fərziyyə bildirir ki, Riemann zeta funksiyasının bütün qeyri-trivial (yəni sıfırdan fərqli xəyali hissəyə malik olan) sıfırları 1/2-nin real hissəsinə malikdir. Riemann fərziyyəsi Hilbertin problemlər siyahısında səkkizinci idi.

№ 5. Yang-Mills nəzəriyyəsi

Elementar hissəciklər fizikası sahəsindən tapşırıq. Sübut etmək tələb olunur ki, hər hansı sadə yığcam ölçü qrupu üçün G kvant nəzəriyyəsi Dördölçülü məkan üçün Yang-Mills mövcuddur və sıfırdan fərqli kütlə qüsuruna malikdir. Bu ifadə eksperimental məlumatlara və ədədi simulyasiyalara uyğundur, lakin hələ sübut olunmayıb.

№ 6. Navier-Stokes tənliklərinin həllinin mövcudluğu və hamarlığı

Navier-Stokes tənlikləri özlü mayenin hərəkətini təsvir edir. Biri kritik vəzifələr hidrodinamika.

№ 7. Birch-Swinnerton-Dyer hipotezi

Fərziyyə elliptik əyrilərin tənlikləri və onların rasional həlli çoxluğu ilə bağlıdır.