» Uorvik Universitetinin riyaziyyat üzrə əməkdar professoru, tanınmış elmi populyarlaşdıran İan Stüart, rəqəmlərin bəşər tarixindəki roluna və dövrümüzdə onların öyrənilməsinin aktuallığına həsr etmişdir.

Pifaqor hipotenuzası

Pifaqor üçbucaqlarının düz bucağı və tam tərəfləri var. Onlardan ən sadəində ən uzun tərəfin uzunluğu 5, qalanları 3 və 4-dür. Ümumilikdə 5 müntəzəm çoxüzlü var. Beşinci dərəcəli tənliyi beşinci dərəcəli köklərlə - və ya hər hansı digər köklərlə həll etmək olmaz. Müstəvidə və üçölçülü məkanda qəfəslərin beş loblu fırlanma simmetriyası yoxdur, buna görə də kristallarda belə simmetriyalar da yoxdur. Bununla belə, onlar dördölçülü məkanda qəfəslərdə və kvazikristal kimi tanınan maraqlı strukturlarda ola bilərlər.

Ən kiçik Pifaqor üçlüyünün hipotenuzası

Pifaqor teoremində deyilir ki, düzbucaqlı üçbucağın ən uzun tərəfi (məşhur hipotenuz) bu üçbucağın digər iki tərəfi ilə çox sadə və gözəl şəkildə əlaqələndirilir: hipotenuzanın kvadratı digərinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. iki tərəf.

Ənənəvi olaraq biz bu teoremi Pifaqordan sonra adlandırırıq, lakin əslində onun tarixi olduqca qeyri-müəyyəndir. Gil lövhələr onu deməyə əsas verir ki, qədim babillilər Pifaqor teoremini Pifaqorun özündən çox əvvəl bilirdilər; Kəşf edənin şöhrətini ona tərəfdarları kainatın ədədi nümunələrə əsaslandığına inanan Pifaqorçuların riyazi kultu gətirdi. Qədim müəlliflər Pifaqorçulara - deməli, Pifaqora - müxtəlif riyazi teoremlər aid edirdilər, lakin əslində Pifaqorun özünün hansı riyaziyyatla məşğul olması barədə heç bir məlumatımız yoxdur. Pifaqorçuların Pifaqor teoremini sübut edə bildiklərini və ya sadəcə olaraq bunun doğru olduğuna inandıqlarını belə bilmirik. Və ya daha çox ehtimal ki, onların həqiqəti haqqında inandırıcı məlumatlar var idi, lakin bu gün sübut hesab etdiyimiz şey üçün kifayət etməzdi.

Pifaqorun sübutu

Pifaqor teoreminin ilk məlum sübutu Evklidin Elementlərində tapılıb. Bu, Viktoriya məktəblilərinin dərhal "Pifaqor şalvarları" kimi tanıyacaqları bir rəsmdən istifadə edərək olduqca mürəkkəb bir sübutdur; rəsm həqiqətən ipdə quruyan alt paltarına bənzəyir. Sözün əsl mənasında yüzlərlə başqa dəlil məlumdur ki, onların əksəriyyəti iddianı daha bariz edir.

// Düyü. 33. Pifaqor şalvarları

Ən sadə sübutlardan biri bir növ riyazi tapmacadır. İstənilən düzbucaqlı üçbucağı götürün, ondan dörd nüsxə çıxarın və kvadratın içərisinə yığın. Bir döşəmə ilə hipotenuzda bir kvadrat görürük; digəri ilə - üçbucağın digər iki tərəfindəki kvadratlar. Aydındır ki, hər iki halda sahələr bərabərdir.

// Düyü. 34. Sol: hipotenuzda kvadrat (üstəgəl dörd üçbucaq). Sağ: digər iki tərəfdəki kvadratların cəmi (üstəgəl eyni dörd üçbucaq). İndi üçbucaqları aradan qaldırın

Perigalin parçalanması başqa bir tapmaca parçasıdır.

// Düyü. 35. Periqalın parçalanması

Təyyarədə kvadratların yığılmasından istifadə edərək teoremin sübutu da var. Bəlkə də Pifaqorçular və ya onların naməlum sələfləri bu teoremi belə kəşf ediblər. Əgər əyri kvadratın digər iki kvadratla necə üst-üstə düşdüyünə baxsanız, böyük kvadratı parçalara ayırıb, sonra onları iki kiçik kvadrata necə birləşdirəcəyinizi görə bilərsiniz. Siz həmçinin tərəfləri cəlb olunan üç kvadratın ölçülərini verən düzbucaqlı üçbucaqları görə bilərsiniz.

// Düyü. 36. Səki ilə sübut

Triqonometriyada oxşar üçbucaqlardan istifadə edən maraqlı sübutlar var. Ən azı əlli müxtəlif dəlil məlumdur.

Pifaqor üçlüyü

Ədədlər nəzəriyyəsində Pifaqor teoremi səmərəli ideyanın mənbəyi oldu: cəbri tənliklərin tam həllərini tapmaq. Pifaqor üçlüyü a, b və c tam ədədlərinin çoxluğudur

Həndəsi olaraq belə üçlük tam tərəfləri olan düzbucaqlı üçbucağı təyin edir.

Pifaqor üçlüyünün ən kiçik hipotenuzası 5-dir.

Bu üçbucağın digər iki tərəfi 3 və 4-dür. Burada

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Növbəti ən böyük hipotenuz 10-dur, çünki

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Ancaq bu, ikiqat tərəfləri olan eyni üçbucaqdır. Növbəti ən böyük və həqiqətən fərqli hipotenuz 13-dür, bunun üçün

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Evklid bilirdi ki, Pifaqor üçlüyünün sonsuz sayda müxtəlif variasiyaları var və o, hamısını tapmaq üçün bir düstur adlandırdı. Daha sonra İsgəndəriyyəli Diophantus, Evklid ilə eyni olan sadə bir resept təklif etdi.

İstənilən iki natural ədəd götürün və hesablayın:

onların ikiqat məhsulu;

onların kvadratlarının fərqi;

onların kvadratlarının cəmi.

Yaranan üç ədəd Pifaqor üçbucağının tərəfləri olacaq.

Məsələn, 2 və 1 rəqəmlərini götürün. Hesablayın:

ikiqat məhsul: 2 × 2 × 1 = 4;

kvadratların fərqi: 22 - 12 = 3;

kvadratların cəmi: 22 + 12 = 5,

və məşhur 3-4-5 üçbucağını əldə etdik. Əvəzində 3 və 2 rəqəmlərini götürsək, alırıq:

ikiqat məhsul: 2 × 3 × 2 = 12;

kvadratların fərqi: 32 - 22 = 5;

kvadratların cəmi: 32 + 22 = 13,

və növbəti məşhur üçbucağı alırıq 5 - 12 - 13. Gəlin 42 və 23 rəqəmlərini götürüb əldə etməyə çalışaq:

ikiqat məhsul: 2 × 42 × 23 = 1932;

kvadratların fərqi: 422 - 232 = 1235;

kvadratların cəmi: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 üçbucağı haqqında heç kim eşitməmişdir.

Ancaq bu nömrələr də işləyir:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Diophantine qaydasında artıq işarə edilmiş başqa bir xüsusiyyət var: üç rəqəm aldıqdan sonra başqa bir ixtiyari nömrə götürə və hamısını ona vura bilərik. Beləliklə, 3-4-5 üçbucağı bütün tərəfləri 2-yə vurmaqla 6-8-10 üçbucağına və ya hər şeyi 5-ə vurmaqla 15-20-25 üçbucağına çevrilə bilər.

Cəbrin dilinə keçsək, qayda aşağıdakı formanı alır: u, v və k natural ədədlər olsun. Sonra tərəfləri olan düzbucaqlı üçbucaq

2kuv və k (u2 - v2) hipotenuza malikdir

Əsas ideyanı təqdim etməyin başqa yolları da var, lakin onların hamısı yuxarıda təsvir edilən birinə çevrilir. Bu üsul bütün Pifaqor üçlüyü əldə etməyə imkan verir.

Adi çoxüzlülər

Tam beş müntəzəm çoxüzlü var. Müntəzəm çoxüzlü (və ya çoxüzlü) sonlu sayda düz üzləri olan üçölçülü fiqurdur. Fasetlər bir-biri ilə kənar adlanan xətlər üzərində birləşir; kənarları təpə adlanan nöqtələrdə birləşir.

Evklid "Prinsipləri"nin kulminasiya nöqtəsi yalnız beş nizamlı çoxüzlülərin, yəni hər üzün düzgün çoxbucaqlı (bərabər tərəflər, bərabər bucaqlar), bütün üzlərin eyni olduğu və bütün təpələrin əhatə olunduğu çoxüzlülərin ola biləcəyinə sübutdur. bərabər sayda bərabər aralıqlı üzlərlə. Budur beş müntəzəm çoxüzlülər:

dörd üçbucaqlı üzü, dörd təpəsi və altı kənarı olan tetraedr;

kub və ya altıbucaqlı, 6 kvadrat üzü, 8 təpəsi və 12 kənarı;

8 üçbucaqlı üzü, 6 təpəsi və 12 kənarı olan oktaedr;

12 beşbucaqlı üzü, 20 təpəsi və 30 kənarı olan dodekaedr;

20 üçbucaqlı üzü, 12 təpəsi və 30 kənarı olan ikosahedr.

// Düyü. 37. Beş müntəzəm çoxüzlü

Təbiətdə müntəzəm çoxüzlülərə də rast gəlmək olar. 1904-cü ildə Ernst Hekkel radiolariyalılar kimi tanınan kiçik orqanizmlərin rəsmlərini nəşr etdi; onların çoxu eyni beş müntəzəm çoxüzlüyə bənzəyir. Ola bilsin ki, o, təbiəti bir az korrektə edib və rəsmlər konkret canlıların formasını tam əks etdirmir. İlk üç struktur kristallarda da müşahidə olunur. Kristallarda dodekaedr və ikosahedron tapa bilməzsiniz, baxmayaraq ki, nizamsız dodekaedrlər və ikosahedronlar bəzən orada rast gəlinir. Həqiqi dodekaedrlər, atomlarının dövri qəfəs əmələ gətirməməsi istisna olmaqla, hər cəhətdən kristal kimi olan kvazikristal kimi görünə bilər.

// Düyü. 38. Hekelin rəsmləri: müntəzəm çoxüzlülər şəklində radiolarlar

// Düyü. 39. Müntəzəm Polihedranın inkişafı

Əvvəlcə bir-biri ilə əlaqəli üzlər dəstini kəsərək kağızdan müntəzəm çoxüzlülərin modellərini hazırlamaq maraqlı ola bilər - buna çoxüzlü süpürmə deyilir; tarama kənarları boyunca qatlanır və müvafiq kənarlar bir-birinə yapışdırılır. Şəkildə göstərildiyi kimi, hər bir belə cütün kənarlarından birinə yapışqan üçün əlavə bir sahə əlavə etmək faydalıdır. 39. Belə bir platforma yoxdursa, yapışan lentdən istifadə edə bilərsiniz.

Beşinci dərəcəli tənlik

5-ci dərəcəli tənliklərin həlli üçün cəbri düstur yoxdur.

Ümumiyyətlə, beşinci dərəcəli tənlik belə görünür:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Məsələ belə bir tənliyi həll etmək üçün bir düstur tapmaqdır (onun beşə qədər həlli ola bilər). Kvadrat və kub tənlikləri, eləcə də dördüncü dərəcəli tənliklərlə işləmə təcrübəsi onu göstərir ki, belə bir düstur beşinci dərəcəli tənliklər üçün də mövcud olmalıdır və nəzəri olaraq beşinci, üçüncü və ikinci dərəcəli köklər olmalıdır. içində görünür. Yenə də əminliklə güman etmək olar ki, belə bir düstur, əgər varsa, çox, çox mürəkkəb olacaq.

Bu fərziyyə sonda yanlış çıxdı. Həqiqətən də belə bir düstur yoxdur; ən azı toplama, çıxma, vurma və bölmə, eləcə də kök götürmə ilə tərtib edilən a, b, c, d, e və f əmsallarından ibarət düstur yoxdur. Beləliklə, 5 rəqəmində çox xüsusi bir şey var. Beşin bu qeyri-adi davranışının səbəbləri çox dərindir və onları anlamaq üçün çox vaxt lazım idi.

Problemin ilk əlaməti o idi ki, riyaziyyatçılar belə bir düstur tapmaq üçün nə qədər çalışsalar da, nə qədər ağıllı olsalar da, həmişə uğursuzluğa düçar olmuşlar. Bir müddətdir ki, hər kəs səbəblərin formulun inanılmaz mürəkkəbliyində olduğuna inanırdı. Heç kimin bu cəbri düzgün başa düşə bilməyəcəyinə inanılırdı. Lakin zaman keçdikcə bəzi riyaziyyatçılar belə bir formulun hətta mövcud olduğuna şübhə etməyə başladılar və 1823-cü ildə Niels Hendrik Abel bunun əksini sübut edə bildi. Belə bir formula yoxdur. Qısa müddətdən sonra Evariste Qalua bu və ya digər dərəcədə - 5-ci, 6-cı, 7-ci, ümumiyyətlə hər hansı bir tənliyin bu cür düsturdan istifadə edərək həll edilə biləcəyini müəyyən etmək üçün bir yol tapdı.

Bütün bunlardan nəticə sadədir: 5 rəqəmi xüsusidir. 1, 2, 3 və 4-ün dərəcələri üçün cəbri tənlikləri (n-nin müxtəlif qiymətləri üçün n-ci köklərdən istifadə etməklə) həll edə bilərsiniz, lakin 5-in dərəcələri üçün deyil. Bu, aşkar nümunənin bitdiyi yerdir.

5-dən böyük güc tənliklərinin daha pis davranması heç kəsi təəccübləndirmir; xüsusən də eyni çətinlik onlarla bağlıdır: onların həlli üçün ümumi düsturlar yoxdur. Bu o demək deyil ki, tənliklərin həlli yoxdur; bu o demək deyil ki, bu həllərin çox dəqiq ədədi qiymətlərini tapmaq mümkün deyil. Bu, ənənəvi cəbr alətlərinin məhdudiyyətləri haqqındadır. Bu, xətkeş və kompasla bucağı üçə bölməyin mümkünsüzlüyünü xatırladır. Cavab var, lakin sadalanan üsullar kifayət deyil və bunun nə olduğunu müəyyən etməyə imkan vermir.

Kristaloqrafik məhdudiyyət

İki və üç ölçülü kristallarda 5 şüa fırlanma simmetriyası yoxdur.

Kristaldakı atomlar bir qəfəs, yəni bir neçə müstəqil istiqamətdə dövri olaraq təkrarlanan bir quruluş meydana gətirir. Məsələn, divar kağızı üzərində nümunə rulonun uzunluğu boyunca təkrarlanır; əlavə olaraq, adətən üfüqi istiqamətdə, bəzən bir divar kağızı parçasından digərinə keçidlə təkrarlanır. Əslində, divar kağızı iki ölçülü bir kristaldır.

Təyyarədə 17 növ divar kağızı naxışları var (17-ci fəslə baxın). Onlar simmetriya növlərinə görə, yəni naxışı ilkin vəziyyətində tam olaraq öz üzərində olması üçün sərt şəkildə dəyişdirmə üsullarında fərqlənirlər. Simmetriya növlərinə, xüsusən də fırlanma simmetriyasının müxtəlif variantları daxildir, burada naxış müəyyən bir nöqtə ətrafında - simmetriya mərkəzi ətrafında müəyyən bir açı ilə fırlanmalıdır.

Fırlanma simmetriyasının qaydası, şəklin bütün detallarının orijinal vəziyyətinə qayıtması üçün bədəni tam dairəyə neçə dəfə döndərə biləcəyinizdir. Məsələn, 90° fırlanma 4-cü dərəcəli fırlanma simmetriyasıdır*. Kristal qəfəsdə fırlanma simmetriyasının mümkün növlərinin siyahısı yenidən 5 rəqəminin qeyri-adiliyinə işarə edir: orada yoxdur. 2-ci, 3-cü, 4-cü və 6-cı dərəcəli fırlanma simmetriyasına malik variantlar var, lakin heç bir divar kağızı nümunəsində 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyası yoxdur. Kristallarda 6-dan çox fırlanma simmetriyası da yoxdur, lakin ardıcıllığın ilk pozulması hələ də 5 nömrəsində baş verir.

Eyni şey üçölçülü məkanda kristalloqrafik sistemlərlə də baş verir. Burada qəfəs üç müstəqil istiqamətdə təkrarlanır. 219 müxtəlif simmetriya növü var və ya naxışın güzgüdəki əksini onun ayrıca variantı hesab etsək 230 - üstəlik, bu halda güzgü simmetriyası yoxdur. Yenə də 2, 3, 4 və 6-cı sıraların fırlanma simmetriyaları müşahidə edilir, lakin 5 deyil. Bu fakt kristalloqrafik məhdudiyyət adlanır.

Dördölçülü fəzada 5-ci dərəcəli simmetriyaya malik qəfəslər mövcuddur; ümumiyyətlə, kifayət qədər yüksək ölçülü qəfəslər üçün fırlanma simmetriyasının əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı bir qaydası mümkündür.

// Düyü. 40. Süfrə duzunun kristal qəfəsi. Tünd toplar natrium atomlarını, açıq toplar isə xlor atomlarını təmsil edir.

Kvazikristallar

2D və 3D qəfəslərdə 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyası mümkün olmasa da, kvazikristal kimi tanınan bir qədər daha az nizamlı strukturlarda mövcud ola bilər. Keplerin eskizlərindən istifadə edərək, Rocer Penrose daha ümumi tipli beşqat simmetriyaya malik düz sistemləri kəşf etdi. Onlara kvazikristallar deyilir.

Təbiətdə kvazikristallar mövcuddur. 1984-cü ildə Daniel Shechtman kəşf etdi ki, alüminium və manqan ərintisi kvazi-kristallar əmələ gətirə bilər; Əvvəlcə kristalloqraflar onun mesajını bir qədər şübhə ilə qarşıladılar, lakin sonradan kəşf təsdiqləndi və 2011-ci ildə Şextman kimya üzrə Nobel mükafatına layiq görüldü. 2009-cu ildə Luka Bindinin rəhbərlik etdiyi alimlər qrupu Rusiyanın Koryak dağlarından olan mineralda - alüminium, mis və dəmir birləşməsində kvazi-kristallar aşkar ediblər. Bu gün bu mineral ikosahedrit adlanır. Mineraldakı müxtəlif oksigen izotoplarının miqdarını kütlə spektrometri ilə ölçən alimlər bu mineralın Yer kürəsində yaranmadığını göstəriblər. O, təxminən 4,5 milyard il əvvəl, Günəş sisteminin yenicə yarandığı bir vaxtda yaranıb və vaxtının çox hissəsini asteroid qurşağında, günəşin orbitində keçirib, hansısa narahatlıq orbitini dəyişib nəhayət onu Yerə gətirənə qədər.

// Düyü. 41. Sol: dəqiq beşqat simmetriyaya malik iki kvazi-kristal qəfəsdən biri. Sağda: İkosaedral alüminium-palladium-manqan kvazikristalının atom modeli

maarifləndirici: bir sıra Pifaqor üçlüyünü öyrənmək, onların müxtəlif vəziyyətlərdə tətbiqi üçün alqoritm hazırlamaq, istifadəsinə dair memorandum tərtib etmək.

Maarifləndirici: öyrənməyə şüurlu münasibətin formalaşması, idrak fəaliyyətinin inkişafı, təhsil işinin mədəniyyəti.

Maarifləndirici: həndəsi, cəbri və ədədi intuisiya, ixtiraçılıq, müşahidə, yaddaşın inkişafı.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam

II. Yeni materialın izahı

Müəllim: Pifaqor üçlüyünün cəlbedici gücünün sirri çoxdan bəşəriyyəti narahat edir. Pifaqor üçlüyünün unikal xüsusiyyətləri onların təbiət, musiqi və riyaziyyatdakı xüsusi rolunu izah edir. Pifaqor tilsimi, Pifaqor teoremi milyonlarla, hətta milyardlarla insanın beynində qalır. Bu, hər bir məktəblinin əzbərləməyə məcbur olduğu əsas teoremdir. Pifaqor teoreminin on yaşlı uşaqlar tərəfindən başa düşülməsinə baxmayaraq, bu, riyaziyyat tarixinin ən böyük ağıllarının, Fermat teoreminin uğursuzluğa düçar olduğu problemin ilhamverici başlanğıcıdır. Samos adasından Pifaqor (müq. Qoşma 1 , slayd 4) riyaziyyatda ən təsirli, lakin müəmmalı fiqurlardan biri idi. Onun həyat və yaradıcılığına dair etibarlı qeydlər olmadığından onun həyatı mif və əfsanələrlə örtülmüşdür və tarixçilər faktı bədii ədəbiyyatdan ayırmaqda çətinlik çəkirlər. Bununla belə, heç bir şübhə yoxdur ki, Pifaqor rəqəmlərin məntiqi ideyasını inkişaf etdirdi və riyaziyyatın ilk qızıl dövrünü məhz ona borcluyuq. Onun dühası sayəsində rəqəmlər artıq yalnız sayma və hesablamalar üçün istifadə edilmir və ilk dəfə qiymətləndirilib. Pifaqor müəyyən sinif siniflərinin xassələrini, onlar arasındakı əlaqələri və ədədləri əmələ gətirən fiqurları öyrənmişdir. Pifaqor başa düşdü ki, rəqəmlər maddi dünyadan asılı olmayaraq mövcuddur və buna görə də hisslərimizin qeyri-dəqiqliyi rəqəmlərin öyrənilməsinə təsir göstərmir. Bu o demək idi ki, Pifaqor heç kimin fikrindən və qərəzindən asılı olmayaraq həqiqətləri kəşf etmək bacarığı qazandı. Həqiqətlər əvvəlki biliklərdən daha mütləqdir. Pifaqor üçlüyü ilə bağlı öyrənilmiş ədəbiyyata əsaslanaraq, triqonometriya məsələlərinin həllində Pifaqor üçlüyünün istifadəsinin mümkünlüyü ilə maraqlanacağıq. Buna görə də qarşımıza məqsəd qoyduq: bir sıra Pifaqor üçlüyünü öyrənmək, onların tətbiqi üçün alqoritm hazırlamaq, istifadəsinə dair memo tərtib etmək, müxtəlif vəziyyətlərdə tətbiqi ilə bağlı araşdırma aparmaq.

Üçbucaq ( slayd 14), tərəfləri Pifaqor ədədlərinə bərabər olan düzbucaqlıdır. Üstəlik, hər hansı belə üçbucaq Heroniandır, yəni. bütün tərəflərin və sahənin tam ədəd olduğu bir. Onlardan ən sadəi tərəfləri (3, 4, 5) olan Misir üçbucağıdır.

Rəqəmləri (3, 4, 5) 2-yə, 3-ə, 4-ə vuraraq bir sıra Pifaqor üçlüyü yaradaq. Biz bir sıra Pifaqor üçlüyü alacağıq, onları maksimum ədədin artan sırası ilə sıralayacağıq, primitiv olanları seçəcəyik.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Dərslər zamanı

1. Tapşırıqlar ətrafında dönək:

1) Eyni arqumentin triqonometrik funksiyaları arasındakı əlaqələrdən istifadə edərək, əgər tapın

məlumdur ki.

2) Bucağın triqonometrik funksiyalarının qiymətini tapın, əgər məlumdursa:

3) "Əlavə düsturları" mövzusunda təlim tapşırıqları sistemi

sin = 8/17, cos = 4/5 və birinci rübün bucaqları olduğunu bilərək, ifadənin qiymətini tapın:

və ikinci rübün bucaqları olduğunu bilərək, sin = 4/5, cos = - 15/17, tapın:.

4) “İki bucaqlı düsturlar” mövzusunda təlim tapşırıqları sistemi

a) sin = 5/13, ikinci rübün bucağı olsun. sin2, cos2, tg2, ctg2 tapın.

b) Məlumdur ki, tg? \u003d 3/4, - üçüncü rübün bucağı. sin2, cos2, tg2, ctg2 tapın.

c) Məlumdur ki, , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Məlumdur ki , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) cos = 3/5, cos = 7/25 olduğu məlumdursa, tg( + ) tapın, burada və birinci rübün bucaqlarıdır.

f) Tapın , üçüncü rübün bucağıdır.

Əsas triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək problemi ənənəvi şəkildə həll edirik və sonra eyni problemləri daha rasional şəkildə həll edirik. Bunun üçün biz Pifaqor üçlüyü ilə problemlərin həlli üçün alqoritmdən istifadə edirik. Pifaqor üçlüyündən istifadə edərək problemləri həll etmək üçün bir memo tərtib edirik. Bunu etmək üçün sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifini xatırlayırıq, düzgün üçbucağın iti bucağını xatırlayırıq, onu təsvir edirik, düzgün üçbucağın tərəflərindəki problemin şərtlərindən asılı olaraq Pifaqor üçlüyünü düzgün təşkil edirik. ( düyü. bir). Nisbəti yazırıq və işarələri düzürük. Alqoritm işlənib hazırlanmışdır.

Şəkil 1

Problemin həlli alqoritmi

Nəzəri materialın təkrarı (öyrənilməsi).

İbtidai Pifaqor üçlüyünü əzbərləyin və lazım gələrsə, yenilərini qurmağı bacarın.

Rasional koordinatları olan nöqtələr üçün Pifaqor teoremini tətbiq edin.

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifini bilmək, düz üçbucaq çəkməyi bacarmaq və məsələnin vəziyyətindən asılı olaraq üçbucağın tərəflərində Pifaqor üçlüklərini düzgün təşkil etmək.

Koordinat müstəvisində yerləşməsindən asılı olaraq sinus, kosinus, tangens və kotangensin əlamətlərini bilin.

Tələb olunan tələblər:

1. koordinat müstəvisinin hər rübündə sinus, kosinus, tangens, kotangensin hansı əlamətlərinin olduğunu bilmək;
2. düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifini bilmək;
3. Pifaqor teoremini bilmək və tətbiq etməyi bacarmaq;
4. əsas triqonometrik eynilikləri, toplama düsturlarını, qoşa bucaq düsturlarını, yarım arqument düsturlarını bilmək;
5. azalma düsturlarını bilir.

Yuxarıdakılara əsasən cədvəli doldurun ( Cədvəl 1). O, sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifinə əməl etməklə və ya rasional koordinatları olan nöqtələr üçün Pifaqor teoremindən istifadə etməklə doldurulmalıdır. Bu zaman koordinat müstəvisində yerləşməsindən asılı olaraq sinus, kosinus, tangens və kotangensin əlamətlərini daim xatırlamaq lazımdır.

Cədvəl 1

		Üçlü ədədlər		günah	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	saat
		(6, 8, 10)	II saat			-	-
		(5, 12, 13)	3-cü saat	-	-
		(8, 15, 17)	IV saat	-		-	-
		(9, 40, 41)	saat

Uğurlu iş üçün Pifaqor üçlüyü istifadə memo-dan istifadə edə bilərsiniz.

cədvəl 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Birlikdə qərar veririk.

1) Tapşırıq: cos, tg və ctg tapın, əgər sin = 5/13 olarsa, əgər - ikinci rübün bucağı.

Diofant tənliyinə mühüm nümunə düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının x və y uzunluqlarını onun hipotenuzunun z uzunluğu ilə əlaqələndirən Pifaqor teoremi ilə verilmişdir:

Təbii ki, siz natural ədədlərdə bu tənliyin gözəl həllərindən birinə, yəni Pifaqor üçlüyünə rast gəldiniz. x=3, y=4, z=5. Başqa üçəmlər varmı?

Belə çıxır ki, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyü var və onların hamısı çoxdan tapılıb. Onları bu paraqrafdan öyrənəcəyiniz tanınmış düsturlarla əldə etmək olar.

Əgər birinci və ikinci dərəcəli Diofant tənlikləri artıq həll olunubsa, aparıcı riyaziyyatçıların səylərinə baxmayaraq, daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli məsələsi hələ də açıq qalır. Hal-hazırda, məsələn, Fermatın məşhur fərziyyəsi hər hansı bir tam dəyər üçün n2 tənlik

tam ədədlərdə həlli yoxdur.

Diophantine tənliklərinin müəyyən növlərini həll etmək üçün sözdə mürəkkəb ədədlər. Bu nədir? i hərfi şərti ödəyən hansısa obyekti ifadə etsin i 2 \u003d -1(aydındır ki, heç bir real ədəd bu şərti ödəmir). Formanın ifadələrini nəzərdən keçirin α+iβ, burada α və β həqiqi ədədlərdir. Bu cür ifadələri mürəkkəb ədədlər adlandıracağıq, həm onların üzərində, həm də binomlar üzərində toplama və vurma əməliyyatlarını təyin edəcəyik, lakin yeganə fərqlə ifadənin mən 2 hər yerdə -1 rəqəmini əvəz edəcəyik:

7.1. Üçünün çoxu

Bunu sübut et x0, y0, z0- Pifaqor üçlü, sonra üçqat y 0 , x 0 , z 0 Və x 0 k, y 0 k, z 0 k k təbii parametrinin istənilən qiyməti üçün də Pifaqordur.

7.2. Şəxsi düsturlar

Hər hansı təbii dəyərlər üçün yoxlayın m>n formanın üçlüyü

Pifaqorçudur. Hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, züçlükdə x və y ədədlərini yenidən yerləşdirməyə icazə versəniz, bu formada təmsil oluna bilərmi?

7.3. Təkrarlanmayan üçlüklər

Ümumi bölücü 1-dən böyük olmayan ədədlərin Pifaqor üçlüyü reduksiya olunmayan adlanacaq. Sübut edin ki, Pifaqor üçlüyü yalnız üçlükdəki ədədlərdən hər hansı ikisi ikiqat olarsa, reduksiya edilə bilməz.

7.4. Azaldılmayan üçlüklərin xassəsi

Sübut edin ki, hər hansı reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyü x, y, z-də z ədədi və x və ya y ədədlərindən dəqiq biri təkdir.

7.5. Bütün azalmaz üçlüklər

Sübut edin ki, x, y, z ədədlərinin üçlüyü, ilk iki ədədin sırasına qədər üçlü ilə üst-üstə düşərsə, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüdür. 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, harada m>n- müxtəlif paritetli natural ədədlərin koprisiyası.

7.6. Ümumi düsturlar

Tənliyin bütün həllərini sübut edin

natural ədədlərdə naməlum x və y sırasına qədər düsturlarla verilir

burada m>n və k təbii parametrlərdir (hər hansı üçlüyün təkrarlanmasının qarşısını almaq üçün coprime tipli və üstəlik müxtəlif paritetli ədədləri seçmək kifayətdir).

7.7. İlk 10 üçlük

Bütün Pifaqor üçlüyü tapın x, y, zşərti təmin edir x

7.8. Pifaqor üçlülərinin xüsusiyyətləri

Bunu istənilən Pifaqor üçlüyü üçün sübut edin x, y, z ifadələr doğrudur:

a) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 3-ə qatdır;

b) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 4-ün qatıdır;

c) x, y və ya z ədədlərindən ən azı biri 5-in qatıdır.

7.9. Kompleks ədədlərin tətbiqi

Kompleks ədədin modulu α + iβ mənfi olmayan nömrə adlanır

Hər hansı bir kompleks ədəd üçün bunu yoxlayın α + iβ Və γ + iδəmlak icra edilir

Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək sübut edin ki, istənilən iki m və n tam ədədi bərabərliyi təmin edir.

yəni tənliyin həllini verirlər

tam ədədlər (məsələ 7.5 ilə müqayisə edin).

7.10. Pifaqor olmayan üçlüklər

Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək (7.9-cu məsələyə bax) tənliyin istənilən tam həlli üçün düsturları tapın:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Həll yolları

7.1. Əgər x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, sonra y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, və k-nin istənilən təbii dəyəri üçün bizdə var

Q.E.D.

7.2. Bərabərlikdən

belə nəticəyə gəlirik ki, məsələdə göstərilən üçlük tənliyi ödəyir x 2 + y 2 = z 2 natural ədədlərdə. Ancaq hər Pifaqor üçlüyü deyil x, y, z bu formada təmsil oluna bilər; məsələn, üçlü 9, 12, 15 Pifaqordur, lakin 15 rəqəmi hər hansı iki m və n natural ədədinin kvadratlarının cəmi kimi təqdim edilə bilməz.

7.3. Pifaqor üçlüyündən hər hansı iki ədəd varsa x, y, z ortaq bölən d varsa, o da üçüncü ədədin bölməsi olacaq (deməli, halda x = x 1 d, y = y 1 d bizdə var z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, buradan z 2 d 2-yə, z isə d) bölünür. Buna görə də, Pifaqor üçlüyünün reduksiya edilməməsi üçün üçlüyə daxil olan hər iki ədədin əlavə sadə olması lazımdır,

7.4. Qeyd edək ki, x və ya y ədədlərindən biri, deyək ki, x, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyünün x, y, z təkdir, çünki əks halda x və y ədədləri müştərək olmazdı (7.3-cü məsələyə bax). Əgər digər y ədədi də təkdirsə, onda hər iki ədəd

4-ə bölündükdə 1-in qalığını və ədədi verin z 2 \u003d x 2 + y 2 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verir, yəni 2-yə bölünür, lakin 4-ə bölünmür, ola bilməz. Beləliklə, y ədədi cüt, z ədədi isə tək olmalıdır.

7.5. Pifaqor üçqat olsun x, y, z azalmazdır və müəyyənlik üçün x ədədi cüt, y, z ədədləri isə təkdir (bax. Məsələ 7.4). Sonra

rəqəmlər haradadır bütövdürlər. a və b ədədlərinin ikiqat olduğunu sübut edək. Həqiqətən, əgər onların ümumi bölənləri 1-dən böyük olsaydı, o zaman ədədlərin eyni bölənləri olardı. z = a + b, y = a - b, yəni, üçlük azaldılmaz olmayacaq (bax. Məsələ 7.3). İndi, a və b ədədlərini əsas amillərin hasillərinə genişləndirərək, hər hansı bir sadə amilin məhsula daxil edilməli olduğunu görürük. 4ab = x2 yalnız cüt dərəcəyə qədər və əgər a ədədinin genişlənməsinə daxil edilirsə, onda b ədədinin genişlənməsinə daxil edilmir və əksinə. Buna görə də, hər hansı bir sadə amil a və ya b ədədinin yalnız cüt dərəcəyə qədər genişlənməsinə daxil edilir, yəni bu ədədlərin özləri tam ədədlərin kvadratlarıdır. qoyaq onda bərabərlikləri əldə edirik

üstəlik, m>n natural parametrləri kobud (a və b ədədlərinin ümumiliyinə görə) və fərqli paritetə ​​malikdir (tək ədədə görə). z \u003d m 2 + n 2).

İndi müxtəlif paritetli m>n natural ədədləri kobud olsun. Sonra troyka x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, Məsələ 7.2-ə görə, Pifaqorçudur. Onun azaldılmaz olduğunu sübut edək. Bunun üçün y və z ədədlərinin ortaq bölənlərinin olmadığını yoxlamaq kifayətdir (bax. Məsələ 7.3). Əslində, bu nömrələrin hər ikisi təkdir, çünki növ nömrələri fərqli paritetlərə malikdir. Əgər y və z ədədlərinin bəzi sadə ümumi bölənləri varsa (onda o, tək olmalıdır), o zaman ədədlərin hər biri və və onlarla birlikdə və m və n ədədlərinin hər biri eyni bölücüyə malikdir ki, bu da onların qarşılıqlı sadəliyinə ziddir.

7.6. 7.1 və 7.2-ci Məsələlərdə ifadə olunan müddəalara görə, bu düsturlar yalnız Pifaqor üçlüyünü müəyyən edir. Digər tərəfdən, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, zən böyük ümumi bölən k ilə kiçildikdən sonra x və y ədədləri cütü azalmaz hala gəlir (7.3-cü məsələyə bax) və buna görə də, məsələ 7.5-də təsvir olunan formada x və y ədədlərinin sırasına qədər təmsil oluna bilər. Buna görə, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü parametrlərin bəzi dəyərləri üçün göstərilən düsturlarla verilir.

7.7. Bərabərsizlikdən z və 7.6-cı məsələnin düsturlarından istifadə edərək təxmini əldə edirik m 2 yəni. m≤5. fərz edirik m = 2, n = 1 Və k = 1, 2, 3, 4, 5,üçəmlər alırıq 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. fərz edirik m=3, n=2 Və k = 1, 2,üçəmlər alırıq 5, 12, 13; 10, 24, 26. fərz edirik m = 4, n = 1, 3 Və k = 1,üçəmlər alırıq 8, 15, 17; 7, 24, 25. Nəhayət, fərz edirik m=5, n=2 Və k = 1,üç alırıq 20, 21, 29.