17-ci əsrdə hüquqşünas və yarımştat riyaziyyatçı Pierre Fermat Fransada yaşayırdı, o, hobbisinə uzun saatlar asudə vaxt verirdi. Bir qış axşamı, kamin yanında oturaraq, o, ədədlər nəzəriyyəsi sahəsindən ən maraqlı bir ifadəni irəli sürdü - sonralar Fermatın Böyük və ya Böyük Teoremi adlandırılan bu idi. Bəlkə də bir hadisə baş verməsəydi, riyazi çevrələrdə həyəcan bu qədər əhəmiyyətli olmazdı. Riyaziyyatçı tez-tez axşamları İsgəndəriyyəli Diofantın sevimli kitabı "Arifmetika"nı (3-cü əsr) öyrənərək, onun haşiyələrində mühüm fikirləri yazırdı - bu nadirlik onun oğlu tərəfindən nəsillər üçün diqqətlə qorunub saxlanılmışdır. Beləliklə, bu kitabın geniş haşiyələrində Fermatın əli bu yazını tərk etmişdi: "Məndə olduqca təəccüblü bir sübut var, lakin o, kənarlara yerləşdirmək üçün çox böyükdür." Məhz bu giriş teorem ətrafında hədsiz həyəcana səbəb oldu. Böyük alimin öz teoremini sübut etdiyini bəyan etdiyinə riyaziyyatçılar arasında heç bir şübhə yox idi. Çox güman ki, maraqlanırsınız: “O, doğrudanmı bunu sübut etdi, yoxsa bayağı yalan idi, yoxsa başqa versiyalar da var, nə üçün sonrakı nəsillərin riyaziyyatçılarına rahat yatmağa imkan verməyən bu yazı, nə üçün ibtidai siniflərin kənarında bitdi. kitab?".
Böyük Teoremin mahiyyəti
Kifayət qədər tanınmış Fermat teoremi mahiyyətinə görə sadədir və ondan ibarətdir ki, n ikidən çox olarsa, müsbət ədəd olarsa, X n + Y n \u003d Z n tənliyində sıfır tipli həllər olmayacaqdır. natural ədədlər çərçivəsi. Bu sadə görünən düsturda inanılmaz mürəkkəblik gizlədilib və bunu sübut etmək üç əsr çəkdi. Bir qəribəlik var - teorem dünyanın doğulması ilə gec idi, çünki onun n = 2 üçün xüsusi vəziyyəti 2200 il əvvəl ortaya çıxdı - bu, daha az məşhur Pifaqor teoremidir.
Qeyd etmək lazımdır ki, məşhur Ferma teoremi ilə bağlı hekayə təkcə riyaziyyatçılar üçün deyil, çox ibrətamiz və əyləncəlidir. Ən maraqlısı odur ki, elm alim üçün iş deyil, sadə hobbi idi və bu da öz növbəsində Fermerə böyük zövq verirdi. O, həm də bir riyaziyyatçı ilə daim əlaqə saxlayır, həm də part-time, həm də dostu ilə fikirlərini bölüşürdü, amma qəribə də olsa, öz işini dərc etməyə çalışmadı.
Riyaziyyatçı Fermerin əsərləri
Fermerin öz əsərlərinə gəlincə, onlar məhz adi məktublar şəklində tapılıb. Bəzi yerlərdə bütöv səhifələr yox idi, yalnız yazışmaların fraqmentləri qorunub saxlanılmışdır. Daha maraqlısı odur ki, alimlər üç əsrdir ki, Fermerin yazılarında kəşf edilmiş teoremi axtarırlar.
Amma kim bunu sübut etməyə cəsarət etmədisə, cəhdlər “sıfır”a endirildi. Məşhur riyaziyyatçı Dekart hətta alimini öyünməkdə günahlandırdı, lakin bütün bunlar ən adi paxıllığa qədər qaynadı. Fermer yaratmaqla yanaşı, öz teoremini də sübut etdi. Düzdür, n=4 olduğu hal üçün həll yolu tapıldı. n=3 vəziyyətinə gəlincə, riyaziyyatçı Eyler bunu müəyyən etdi.
Fermer teoremini necə sübut etməyə çalışdılar
19-cu əsrin əvvəllərində bu teorem mövcud olmaqda davam etdi. Riyaziyyatçılar iki yüz ərzində natural ədədlərlə məhdudlaşan teoremlərin çoxlu sübutlarını tapdılar.
Və 1909-cu ildə yüz min alman mənşəli markaya bərabər olan kifayət qədər böyük bir məbləğ xəttə qoyuldu - və bütün bunlar yalnız bu teoremlə əlaqəli problemi həll etmək üçün. Mükafat kateqoriyasının fondunu əslən Almaniyadan olan varlı bir riyaziyyat həvəskarı Pol Volfskell qoyub, yeri gəlmişkən, məhz o, “özünə əl uzatmaq” istəyirdi, lakin Fermer teoremində belə iştirak sayəsində o, yaşamaq. Nəticədə yaranan həyəcan Alman universitetlərini bürüyən tonlarla "sübutlara" səbəb oldu və riyaziyyatçılar arasında "fermist" ləqəbi doğuldu, bu ləqəb aydın dəlil təqdim edə bilməyən istənilən iddialı başlanğıcı adlandırmaq üçün yarı nifrətlə istifadə edildi.
Yapon riyaziyyatçısı Yutaka Taniyamanın fərziyyəsi
20-ci əsrin ortalarına qədər Böyük Teorem tarixində heç bir dəyişiklik olmadı, lakin bir maraqlı hadisə baş verdi. 1955-ci ildə 28 yaşında olan yapon riyaziyyatçısı Yutaka Taniyama dünyaya tamamilə fərqli bir riyazi sahədən bir bəyanat açıqladı - onun fərziyyəsi Fermatdan fərqli olaraq, vaxtından əvvəl idi. Orada deyilir: "Hər bir elliptik əyri üçün uyğun modul forma var." Ağacın müəyyən metaldan ibarət olması hər bir riyaziyyatçı üçün absurd görünür! Paradoksal fərziyyə, əksər digər heyrətamiz və dahiyanə kəşflər kimi, qəbul edilmədi, çünki onlar hələ buna yetişməmişdilər. Və Yutaka Taniyama üç il sonra intihar etdi - izaholunmaz bir hərəkət, amma yəqin ki, əsl samuray dahisinin şərəfi hər şeydən üstün idi.
Bütün on il ərzində fərziyyə xatırlanmadı, lakin yetmişinci illərdə o, populyarlıq zirvəsinə yüksəldi - onu başa düşə bilən hər kəs tərəfindən təsdiqləndi, lakin Fermat teoremi kimi, sübut olunmamış qaldı.
Taniyamanın fərziyyəsi və Fermat teoremi necə əlaqəlidir
On beş il sonra riyaziyyatda əsas hadisə baş verdi və o, məşhur Yapon fərziyyəsini və Fermat teoremini birləşdirdi. Gerhard Grey bildirmişdir ki, Taniyama zənninin sübutu olanda Fermat teoreminin sübutları tapılacaqdır. Yəni, sonuncu Taniyamanın fərziyyəsinin nəticəsidir və bir il yarım sonra Fermat teoremini Kaliforniya Universitetinin professoru Kennet Ribet sübut etdi.
Zaman keçdi, reqressiya tərəqqi ilə əvəz olundu və elm, xüsusən də elm sahəsində sürətlə irəliləyirdi kompüter texnologiyası. Beləliklə, n-nin dəyəri getdikcə artmağa başladı.
20-ci əsrin sonlarında ən güclü kompüterlər hərbi laboratoriyalarda idi, məşhur Fermat probleminin həlli üçün proqramlaşdırma aparıldı. Bütün cəhdlər nəticəsində məlum oldu ki, bu teorem bir çox n, x, y qiymətləri üçün düzgündür. Ancaq təəssüf ki, bu, son sübut olmadı, çünki belə bir xüsusiyyət yox idi.
John Wiles Fermatın Böyük Teoremini sübut etdi
Və nəhayət, yalnız 1994-cü ilin sonunda İngiltərədən olan riyaziyyatçı Con Uayls mübahisəli Fermer teoreminin dəqiq sübutunu tapıb nümayiş etdirdi. Sonra bir çox təkmilləşdirmələrdən sonra bu mövzuda müzakirələr məntiqi nəticəyə gəldi.
Təkzib bir jurnalın yüzdən çox səhifəsində yerləşdirilib! Üstəlik, teorem ali riyaziyyatın daha müasir aparatında sübut edilmişdir. Və təəccüblüdür ki, Fermer öz əsərini yazdığı dövrdə təbiətdə belə bir aparat yox idi. Bir sözlə, adam heç kimin mübahisə edə bilməyəcəyi bu sahədə dahi kimi tanınıb. Baş verən hər şeyə baxmayaraq, bu gün əmin ola bilərsiniz ki, böyük alim Fermerin təqdim etdiyi teorem haqlıdır və sübut edilmişdir və sağlam düşüncəli heç bir riyaziyyatçı bu mövzuda mübahisələrə başlamayacaq, hətta bütün bəşəriyyətin ən inadkar skeptikləri də bununla razılaşırlar.
Təqdim olunan teoremin adını daşıyan şəxsin tam adı Pierre de Fermer idi. Riyaziyyatın müxtəlif sahələrinə töhfələr verdi. Amma çox təəssüf ki, əsərlərinin əksəriyyəti yalnız ölümündən sonra işıq üzü görüb.
İsgəndəriyyəli Diofantın “Arifmetika”sını oxuyan və onun problemləri üzərində düşünən Pyer de Ferma öz mülahizələrinin nəticələrini kitabın haşiyələrinə qısa iradlar şəklində yazmaq vərdişi var idi. Kitabın kənarında Diofantın səkkizinci probleminə qarşı Fermat yazırdı: " Əksinə, nə kubu iki kuba, nə də bi-kvadratı iki iki kvadrata və ümumiyyətlə, kvadratdan böyük olmayan dərəcəsini eyni eksponentli iki qüdrətə parçalamaq mümkün deyil. Mən bunun həqiqətən heyrətamiz bir sübutunu kəşf etdim, lakin bu sərhədlər bunun üçün çox dardır.» / E.T.Bell "Riyaziyyatın yaradıcıları". M., 1979, s.69/. Riyaziyyatı sevən hər bir orta məktəb şagirdinin başa düşə biləcəyi təsərrüfat teoreminin elementar sübutunu diqqətinizə çatdırıram.
Fermatın Diofant problemi ilə bağlı şərhini tənlik formasına malik olan Fermanın böyük teoreminin müasir tərtibi ilə müqayisə edək.
« tənlik
x n + y n = z n(burada n ikidən böyük tam ədəddir)
müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdur»
Şərh predikatın subyektlə məntiqi əlaqəsinə bənzər tapşırıqla məntiqi əlaqədədir. Diofant probleminin təsdiq etdiyi, əksinə, Fermatın şərhi ilə təsdiqlənir.
Fermanın şərhini belə şərh etmək olar: əgər üç naməlumlu kvadrat tənliyin bütün üçlüklər çoxluğunda sonsuz sayda həlli varsa. Pifaqor nömrələri, onda əksinə, kvadratdan böyük gücə üç naməlum olan tənlik
Tənlikdə onun Diofant problemi ilə əlaqəsinə dair bir işarə belə yoxdur. Onun iddiası sübut tələb edir, lakin onun müsbət tam ədədlərdə həlli olmadığı qənaətinə gələn şərt yoxdur.
Mənə məlum olan tənliyin isbat variantları aşağıdakı alqoritmə endirilir.
- Nəticə kimi Fermat teoreminin tənliyi götürülür, onun düzgünlüyü sübutun köməyi ilə yoxlanılır.
- Eyni tənlik deyilir ilkin onun sübutunun çıxmalı olduğu tənlik.
Nəticə tavtologiyadır: Əgər tənliyin müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdursa, deməli müsbət tam ədədlərdə də həlli yoxdur.". Tavtologiyanın sübutu açıq-aydın səhvdir və heç bir mənası yoxdur. Amma bunu ziddiyyət sübut edir.
- Sübut ediləcək tənlikdə ifadə edilənin əksi olan bir fərziyyə edilir. Bu, ilkin tənliyə zidd olmamalıdır, lakin belədir. Qəbul ediləni dəlilsiz sübut etmək, isbatı tələb olunanı isə sübutsuz qəbul etmək məntiqli deyil.
- Qəbul edilmiş fərziyyə əsasında onun ilkin tənliyə zidd olduğunu və yalan olduğunu sübut etmək üçün tamamilə düzgün riyazi əməliyyatlar və hərəkətlər yerinə yetirilir.
Buna görə də artıq 370 ildir ki, Fermanın Son Teoreminin tənliyinin sübutu mütəxəssislərin və riyaziyyat həvəskarlarının qeyri-mümkün arzusu olaraq qalır.
Mən teoremin nəticəsi kimi tənliyi, teoremin şərti kimi Diofantın səkkizinci məsələsini və onun tənliyini götürdüm.
“Əgər tənlik x 2 + y 2 = z 2
(1) Pifaqor ədədlərinin bütün üçlükləri çoxluğunda sonsuz həllər dəstinə malikdir, sonra isə əksinə, tənlik x n + y n = z n
, harada n > 2
(2) müsbət tam ədədlər çoxluğunda həlli yoxdur."
Sübut.
AMMA) Hamı bilir ki, (1) tənliyinin Pifaqor ədədlərinin bütün üçlükləri çoxluğunda sonsuz sayda həlli var. Sübut edək ki, (1) tənliyinin həlli olan Pifaqor ədədlərinin heç bir üçlüyü (2) tənliyinin həlli deyil.
Bərabərliyin geri dönmə qanununa əsasən (1) tənliyinin tərəfləri bir-birini əvəz edir. Pifaqor nömrələri (z, x, y) düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqları və kvadratları kimi şərh edilə bilər (x2, y2, z2) onun hipotenuzası və ayaqları üzərində qurulmuş kvadratların sahələri kimi şərh edilə bilər.
(1) tənliyinin kvadratlarını ixtiyari hündürlüyə vururuq h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
(3) tənliyini paralelepipedin həcminin iki paralelepipedin həcmlərinin cəminə bərabərliyi kimi şərh etmək olar.
Üç paralelepipedin hündürlüyünə icazə verin h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Kubun həcmi iki paralelepipedin iki cildinə parçalanır. Kubun həcmini dəyişməz qoyuruq və birinci paralelepipedin hündürlüyünü azaldırıq x ikinci paralelepipedin hündürlüyü isə azalacaq y . Bir kubun həcmi iki kubun həcmlərinin cəmindən böyükdür:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Pifaqor ədədlərinin üçlü çoxluğunda ( x, y, z ) saat n=3 (2) tənliyinin həlli ola bilməz. Nəticədə, Pifaqor ədədlərinin bütün üçlükləri toplusunda bir kubu iki kuba parçalamaq mümkün deyil.
(3) tənliyində üç paralelepipedin hündürlüyünü qeyd edək h = z2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Paralelepipedin həcmi iki paralelepipedin həcmlərinin cəminə bölünür.
(6) tənliyinin sol tərəfini dəyişməz qoyuruq. Sağ tərəfində hündürlük z2
qədər azaltmaq X
birinci dövr və qədər 2-də
ikinci müddətdə.
Tənlik (6) bərabərsizliyə çevrildi:
Bir paralelepipedin həcmi iki paralelepipedin iki həcminə parçalanır.
(8) tənliyinin sol tərəfini dəyişməz qoyuruq.
Hündürlüyün sağ tərəfində zn-2
qədər azaltmaq xn-2
birinci dövrdə və azaldın y n-2
ikinci müddətdə. Tənlik (8) bərabərsizliyə çevrilir:
| z n > x n + y n | (9) |
Pifaqor ədədlərinin üçlü çoxluğunda (2) tənliyinin tək həlli ola bilməz.
Nəticə etibarilə, hamı üçün Pifaqor nömrələrinin bütün üçlü dəstində n > 2 (2) tənliyinin həlli yoxdur.
"Möcüzə sonrası sübut" əldə edildi, ancaq üçüzlər üçün Pifaqor nömrələri. bu sübut olmaması və P.Fermatın ondan imtina etməsinin səbəbi.
b) Sübut edək ki, (2) tənliyinin Pifaqor ədədlərinin ixtiyari alınan üçlü ailəsi olan qeyri-Pifaqor ədədlərinin üçlü çoxluğu üzrə həlli yoxdur. z=13, x=12, y=5 və müsbət tam ədədlərin ixtiyari üçlü ailəsi z=21, x=19, y=16
Rəqəmlərin hər iki üçlüyü ailələrinin üzvləridir:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Ailə üzvlərinin sayı (10) və (11) 13-ün 12-nin və 21-in 20-nin hasilinin yarısına, yəni 78 və 210-a bərabərdir.
Ailənin hər bir üzvü (10) ehtiva edir z = 13 və dəyişənlər X Və saat 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Ailənin hər bir üzvü (11) ehtiva edir z = 21 və dəyişənlər X Və saat , tam qiymətləri qəbul edən 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Dəyişənlər ardıcıl olaraq azalır 1 .
(10) və (11) ardıcıllığının ədədlərinin üçlüyü üçüncü dərəcəli bərabərsizliklər ardıcıllığı kimi təqdim edilə bilər:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
və dördüncü dərəcəli bərabərsizliklər şəklində:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Hər bir bərabərsizliyin düzgünlüyü rəqəmləri üçüncü və dördüncü dərəcələrə qaldırmaqla yoxlanılır.
Daha böyük ədədin kubu daha kiçik ədədlərin iki kubuna parçalana bilməz. İki kiçik ədədin kublarının cəmindən ya azdır, ya da ondan böyükdür.
Daha böyük ədədin iki kvadratı daha kiçik ədədlərin iki bikvadratına parçalana bilməz. Daha kiçik ədədlərin iki kvadratlarının cəmindən ya kiçikdir, ya da ondan böyükdür.
Eksponent artdıqca, ən sol bərabərsizlikdən başqa bütün bərabərsizliklər eyni məna daşıyır:
Bərabərsizliklər, onların hamısı eyni məna daşıyır: böyük ədədin dərəcəsi eyni eksponentli iki kiçik ədədin dərəcələrinin cəmindən böyükdür:
| 13n > 12n + 12n; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n | (12) | |
| 21n > 20n + 20n; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n | (13) |
Ardıcıllığın (12) (13) ən sol həddi ən zəif bərabərsizlikdir. Onun düzgünlüyü ardıcıllığın (12) bütün sonrakı bərabərsizliklərinin düzgünlüyünü müəyyən edir. n > 8 və ardıcıllıq (13) üçün n > 14 .
Onların arasında bərabərlik ola bilməz. Müsbət tam ədədlərin ixtiyari üçlüyü (21,19,16) Fermatın Son Teoreminin (2) tənliyinin həlli deyil. Əgər müsbət tam ədədlərin ixtiyari üçlüyü tənliyin həlli deyilsə, onda tənliyin sübut edilməli olan müsbət tam ədədlər çoxluğunda həlli yoxdur.
FROM) Fermatın Diofant problemi ilə bağlı şərhində deyilir ki, parçalamaq mümkün deyil " ümumiyyətlə, kvadratdan böyük güc yoxdur, eyni eksponentli iki güc».
Öpüşlər kvadratdan böyük olan güc həqiqətən eyni göstərici ilə iki gücə parçalana bilməz. Mən öpmürəm kvadratdan böyük olan güc eyni eksponentlə iki gücə parçalana bilər.
İstənilən təsadüfi seçilmiş üçlü müsbət tam ədədlər (z, x, y) hər bir üzvü sabit saydan ibarət olan ailəyə aid ola bilər z və iki ədəd azdır z . Ailənin hər bir üzvü bərabərsizlik şəklində təmsil oluna bilər və nəticədə yaranan bütün bərabərsizliklər bərabərsizliklər ardıcıllığı kimi təqdim edilə bilər:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n | (14) |
Bərabərsizliklərin ardıcıllığı (14) sol tərəfi sağ tərəfdən kiçik olan bərabərsizliklərlə başlayır və sağ tərəfi sol tərəfdən kiçik olan bərabərsizliklərlə bitir. Artan eksponent ilə n > 2 ardıcıllığın sağ tərəfindəki bərabərsizliklərin sayı (14) artır. Bir eksponent ilə n=k ardıcıllığın sol tərəfinin bütün bərabərsizlikləri öz mənasını dəyişir və ardıcıllığın bərabərsizliklərinin sağ tərəfinin bərabərsizliklərinin mənasını alır (14). Bütün bərabərsizliklərin eksponentinin artması nəticəsində sol tərəf sağ tərəfdən böyükdür:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k ; zk > 1k + 1k | (15) |
Eksponentin daha da artması ilə n>k bərabərsizliklərin heç biri mənasını dəyişmir və bərabərliyə çevrilmir. Buna əsaslanaraq iddia etmək olar ki, hər hansı ixtiyari olaraq üçlü müsbət tam ədədlər (z, x, y) saat n > 2 , z > x , z > y
Müsbət tam ədədlərin ixtiyari üçlüyündə z ixtiyari böyük natural ədəd ola bilər. -dən çox olmayan bütün natural ədədlər üçün z , Fermatın Son Teoremi sübut edilmişdir.
D) Rəqəm nə qədər böyük olursa olsun z , natural ədədlər silsiləsində ondan əvvəl böyük, lakin sonlu tam ədədlər çoxluğu, ondan sonra isə sonsuz tam ədədlər çoxluğu var.
Sübut edək ki, natural ədədlərin bütün sonsuz çoxluğu ondan böyükdür z , Fermatın Son Teoreminin tənliyinin həlli olmayan ədədlərin üçlüyü, məsələn, müsbət tam ədədlərin ixtiyari üçlüyü (z+1,x,y) , burada z + 1 > x Və z + 1 > y eksponentin bütün dəyərləri üçün n > 2 Fermatın Son Teoreminin tənliyinin həlli deyil.
Müsbət tam ədədlərin təsadüfi seçilmiş üçlüyü (z + 1, x, y) hər bir üzvü sabit ədəddən ibarət olan üçlü ədədlər ailəsinə aid ola bilər z + 1 və iki ədəd X Və saat , fərqli dəyərlər alaraq, daha kiçik z + 1 . Ailə üzvləri sabit sol tərəfi sağ tərəfdən az və ya ondan böyük olan bərabərsizliklər kimi təmsil oluna bilər. Bərabərsizliklər bərabərsizliklər ardıcıllığı kimi sıralana bilər:
Eksponentin daha da artması ilə n>k sonsuzluğa qədər (17) ardıcıllığında olan bərabərsizliklərin heç biri mənasını dəyişmir və bərabərliyə çevrilmir. Ardıcıllıqla (16) müsbət tam ədədlərin ixtiyari olaraq alınan üçlüyündən yaranan bərabərsizlik (z + 1, x, y) , şəklində onun sağ tərəfində ola bilər (z + 1) n > x n + y n və ya formada onun sol tərəfində olun (z+1)n< x n + y n .
Hər halda, müsbət tam ədədlərin üçlüyü (z + 1, x, y) saat n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y ardıcıllıqla (16) bərabərsizlikdir və bərabərlik ola bilməz, yəni Fermatın Son Teoreminin tənliyinin həlli ola bilməz.
Sol tərəfin sonuncu bərabərsizliyi və sağ tərəfin birinci bərabərsizliyi əks mənalı bərabərsizliklər olduğu güc bərabərsizliyi (16) ardıcıllığının mənşəyini başa düşmək asan və sadədir. Əksinə, məktəblilər, orta məktəb şagirdləri və yuxarı sinif şagirdləri üçün bütün bərabərsizliklərin eyni məna daşıdığı bərabərsizliklər ardıcıllığından (16) bərabərsizliklər ardıcıllığının (17) necə əmələ gəldiyini başa düşmək asan və çətin deyil.
Ardıcıllıqla (16) bərabərsizliklərin tam dərəcəsini 1 artırmaq sol tərəfdəki sonuncu bərabərsizliyi sağ tərəfdəki əks mənalı birinci bərabərsizliyə çevirir. Beləliklə, ardıcıllığın doqquzuncu tərəfindəki bərabərsizliklərin sayı azalır, sağ tərəfdəki bərabərsizliklərin sayı isə artır. Əks mənalı sonuncu və birinci güc bərabərsizlikləri arasında mütləq güc bərabərliyi mövcuddur. Onun dərəcəsi tam ola bilməz, çünki ardıcıl iki natural ədəd arasında yalnız tam olmayan ədədlər var. Teoremin şərtinə görə tam olmayan dərəcənin güc bərabərliyi (1) tənliyinin həlli hesab edilə bilməz.
Əgər (16) ardıcıllığında dərəcəni 1 vahid artırmağa davam etsək, onda onun sol tərəfinin sonuncu bərabərsizliyi sağ tərəfin əks mənalı birinci bərabərsizliyinə çevriləcəkdir. Nəticə olaraq, sol tərəfdə heç bir bərabərsizlik və yalnız sağ tərəfdə bərabərsizliklər olacaq ki, bu da artan güc bərabərsizliklərinin ardıcıllığı olacaq (17). Onların tam dərəcəsinin 1 vahid artması yalnız onun güc bərabərsizliyini gücləndirir və bərabərliyin tam dərəcədə görünmə ehtimalını qəti şəkildə istisna edir.
Buna görə də, ümumiyyətlə, güc bərabərsizlikləri ardıcıllığının (17) natural ədədinin (z+1) heç bir tam gücü eyni eksponentli iki tam dərəcəyə parçalana bilməz. Buna görə də (1) tənliyinin isbat edilməli olan sonsuz natural ədədlər çoxluğunda həlli yoxdur.
Beləliklə, Fermatın Son Teoremi bütün ümumiliklə sübut edilmişdir:
- bölməsində A) bütün üçəmlər üçün (z, x, y) Pifaqor nömrələri (Fermatın kəşfi həqiqətən möcüzəvi bir sübutdur),
- Bölmə C) hər hansı üçlü ailənin bütün üzvləri üçün (z, x, y) pifaqor nömrələri,
- bölməsində C) bütün üçlüklər üçün (z, x, y) , böyük rəqəmlər deyil z
- bölməsində D) bütün üçlüklər üçün (z, x, y) ədədlərin təbii sıraları.
|
Dəyişikliklər 05.09.2010-cu il tarixində edilmişdir |
Hansı teoremləri ziddiyyətlə sübut etmək olar, hansını sübut etmək olmaz
Riyaziyyat terminlərinin izahlı lüğəti sübutu tərs teoremə əks olan teoremin ziddiyyəti ilə müəyyən edir.
“Ziddiyyətlə sübut teoremin (cümlənin) özünün deyil, onun ekvivalenti (ekvivalenti), əksi (əksinə əks) teoreminin sübutundan ibarət olan bir teoremin (cümlənin) sübutu üsuludur. Ziddiyyətlə isbat, birbaşa teoremin isbat edilməsinin çətin olduğu, əksinə isə daha asan olduğu hallarda istifadə olunur. Ziddiyyətlə isbat edərkən, teoremin nəticəsi onun inkarı ilə əvəz olunur və əsaslandırma ilə şərtin inkarına gəlir, yəni. ziddiyyətə, əksə (verilənin əksi; absurda bu azalma teoremi sübut edir.
Riyaziyyatda ziddiyyətlə sübut çox tez-tez istifadə olunur. Ziddiyyətlə sübut iki müddəadan (bəyanatlardan) A və A (A-nın inkarı) onlardan birinin doğru, digərinin isə yalan olmasından ibarət olan istisna edilmiş orta qanuna əsaslanır./ Riyazi terminlərin izahlı lüğəti: Müəllimlər üçün bələdçi / O. V. Manturov [və başqaları]; red. V. A. Ditkina.- M.: Maarifləndirmə, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.
Ziddiyyətlə isbat üsulu riyaziyyatda istifadə olunsa da, riyazi üsul olmadığını, məntiqi üsul olduğunu və məntiqə aid olduğunu açıq şəkildə bəyan etmək daha yaxşı olmazdı. Ziddiyyətlə sübutun "birbaşa teorem sübut etmək çətin olduğu zaman istifadə olunur", əslində isə onun əvəzedicisi olmadıqda istifadə edilirmi?
Birbaşa və tərs teoremlər arasındakı əlaqənin xarakteristikası da xüsusi diqqətə layiqdir. “Verilmiş teorem (və ya verilmiş teoremə) üçün tərs teorem şərtin nəticə, nəticənin isə verilmiş teoremin şərti olduğu teoremdir. Əks teoremə münasibətdə olan bu teoremə birbaşa teorem (başlanğıc) deyilir. Eyni zamanda, əks teoremə əks teorem verilmiş teorem olacaq; buna görə də birbaşa və tərs teoremlər qarşılıqlı tərs adlanır. Birbaşa (verilmiş) teorem doğrudursa, əks teorem həmişə doğru deyil. Məsələn, dördbucaqlı rombdursa, onun diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyardır (birbaşa teorem). Dördbucaqlıdakı diaqonallar qarşılıqlı perpendikulyardırsa, onda dördbucaqlı rombdur - bu doğru deyil, yəni əks teorem doğru deyil./ Riyazi terminlərin izahlı lüğəti: Müəllimlər üçün bələdçi / O. V. Manturov [və başqaları]; red. V. A. Ditkina.- M.: Maarifləndirmə, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.
Bu xüsusiyyət Birbaşa və tərs teoremlərin əlaqəsi birbaşa teoremin şərtinin verilmiş kimi, sübutsuz qəbul edilməsini nəzərə almır ki, onun düzgünlüyünə zəmanət verilmir. Tərs teorem şərti verilmiş kimi qəbul edilmir, çünki o, sübut edilmiş birbaşa teoreminin nəticəsidir. Onun düzgünlüyü birbaşa teoremin sübutu ilə təsdiqlənir. Birbaşa və tərs teoremlərin şərtləri arasındakı bu əsas məntiqi fərq, hansı teoremlərin məntiqi üsulla əksini sübut edə biləcəyi və hansının mümkün olmadığı sualında həlledici olur.
Fərz edək ki, ağılda birbaşa teorem var, onu adi riyazi üsulla sübut etmək olar, lakin bu, çətindir. Biz onu ümumi formada qısa formada aşağıdakı kimi tərtib edirik: -dan AMMA etməlidir E . Simvol AMMA isbatsız qəbul edilən teoremin verilmiş şərtinin qiymətinə malikdir. Simvol E isbat olunacaq teoremin nəticəsidir.
Birbaşa teoremi ziddiyyətlə sübut edəcəyik, məntiqiüsul. Məntiqi üsul olan bir teoremi sübut edir riyazi deyil vəziyyəti və məntiqi vəziyyət. Teoremin riyazi şərti olduqda əldə edilə bilər -dan AMMA etməlidir E , əks şərtlə əlavə edin -dan AMMA bunu etmə E .
Nəticədə, iki hissədən ibarət olan yeni teoremin məntiqi ziddiyyətli şərti əldə edildi: -dan AMMA etməlidir E Və -dan AMMA bunu etmə E . Yeni teoremin nəticə şərti xaric edilmiş ortanın məntiqi qanununa uyğundur və teoremin ziddiyyətlə isbatına uyğun gəlir.
Qanuna görə, ziddiyyətli şərtin bir hissəsi yalan, digər hissəsi doğrudur, üçüncü hissəsi isə xaric edilir. Ziddiyyətlə sübutun öz vəzifəsi və məqsədi var ki, teorem şərtinin iki hissəsinin hansı hissəsinin yanlış olduğunu dəqiq müəyyən etsin. Şərtin batil hissəsi müəyyən edilən kimi o biri hissəsinin həqiqi hissəsi olduğu, üçüncünün isə xaric edildiyi müəyyən ediləcək.
görə izahlı lüğət riyazi terminlər "sübut hər hansı bir ifadənin (mühakimə, müddəa, teorem) doğruluğunun və ya yanlışlığının müəyyən edildiyi əsaslandırmadır". Sübut əksinə qurulan bir müzakirə var saxtakarlıq-dən çıxan nəticənin (absurdluğu). yalan isbat olunan teoremin şərtləri.
Verildi: -dan AMMA etməlidir E və dən AMMA bunu etmə E .
Sübut edin: -dan AMMA etməlidir E .
Sübut: Teoremin məntiqi şərti onun həllini tələb edən ziddiyyəti ehtiva edir. Şərtin ziddiyyəti öz həllini sübutda və nəticədə tapmalıdır. Əgər əsaslandırma qüsursuz və səhvsiz olarsa, nəticə batil olur. Məntiqi düzgün əsaslandırma ilə yanlış nəticənin səbəbi yalnız ziddiyyətli bir şərt ola bilər: -dan AMMA etməlidir E Və -dan AMMA bunu etmə E .
Şərtin bir hissəsinin yalan, digər hissəsinin isə bu halda doğru olduğuna heç bir şübhə kölgəsi yoxdur. Şərtin hər iki hissəsi eyni mənşəlidir, verilmiş kimi qəbul edilir, fərz edilir, eyni dərəcədə mümkündür, eyni dərəcədə məqbuldur və s. Məntiqi mülahizə zamanı şərtin bir hissəsini şərtdən fərqləndirən bir məntiqi əlamət tapılmamışdır. başqa. Ona görə də eyni dərəcədə -dan AMMA etməlidir E və bəlkə -dan AMMA bunu etmə E . Bəyanat -dan AMMA etməlidir E ola bilər yalan, sonra bəyanat -dan AMMA bunu etmə E doğru olacaq. Bəyanat -dan AMMA bunu etmə E sonra ifadə yalan ola bilər -dan AMMA etməlidir E doğru olacaq.
Buna görə də birbaşa teoremi ziddiyyət üsulu ilə sübut etmək mümkün deyil.
İndi eyni birbaşa teoremi adi riyazi üsulla sübut edəcəyik.
Verildi: AMMA .
Sübut edin: -dan AMMA etməlidir E .
Sübut.
1. From AMMA etməlidir B
2. From B etməlidir IN (əvvəllər sübut edilmiş teoremə görə)).
3. From IN etməlidir G (əvvəllər sübut edilmiş teoremə görə).
4. From G etməlidir D (əvvəllər sübut edilmiş teoremə görə).
5. From D etməlidir E (əvvəllər sübut edilmiş teoremə görə).
keçid qanununa əsasən, -dan AMMA etməlidir E . Birbaşa teorem adi üsulla sübut edilir.
Sübut edilmiş birbaşa teorem düzgün tərs teoremə malik olsun: -dan E etməlidir AMMA .
Bunu adi şəkildə sübut edək riyaziüsul. Tərs teoremin sübutu riyazi əməliyyatların alqoritmi kimi simvolik formada ifadə oluna bilər.
Verildi: E
Sübut edin: -dan E etməlidir AMMA .
Sübut.
1. From E etməlidir D
2. From D etməlidir G (əvvəllər sübut edilmiş tərs teoremlə).
3. From G etməlidir IN (əvvəllər sübut edilmiş tərs teoremlə).
4. From IN bunu etmə B (əksinə doğru deyil). Buna görə də -dan B bunu etmə AMMA .
Bu vəziyyətdə tərs teoremin riyazi sübutunu davam etdirməyin mənası yoxdur. Vəziyyətin səbəbi məntiqlidir. Yanlış tərs teoremi heç nə ilə əvəz etmək mümkün deyil. Buna görə də bu tərs teoremi adi riyazi üsulla sübut etmək mümkün deyil. Bütün ümid bu tərs teoremi ziddiyyətlə sübut etməkdir.
Bunu ziddiyyətlə sübut etmək üçün onun riyazi şərtini məntiqi ziddiyyətli şərtlə əvəz etmək tələb olunur ki, bu şərt öz mənasında iki hissədən - yalan və doğrudan ibarətdir.
Tərs teorem iddia edir: -dan E bunu etmə AMMA . Onun vəziyyəti E , bundan nəticə çıxır AMMA , adi riyazi üsulla birbaşa teoremin isbatının nəticəsidir. Bu şərt saxlanmalı və bəyanatla əlavə edilməlidir -dan E etməlidir AMMA . Əlavə nəticəsində yeni tərs teoremin ziddiyyətli şərti alınır: -dan E etməlidir AMMA Və -dan E bunu etmə AMMA . Buna əsaslanaraq məntiqlə ziddiyyətli şərt, əks teorem doğru ilə sübut edilə bilər məntiqi yalnız əsaslandırma və yalnız, məntiqiəks üsul. Ziddiyyətlə sübutda hər hansı riyazi hərəkət və əməliyyatlar məntiqi olanlara tabedir və buna görə də sayılmır.
Ziddiyyətli bəyanatın birinci hissəsində -dan E etməlidir AMMA vəziyyət E birbaşa teoreminin isbatı ilə sübut edilmişdir. İkinci hissədə -dan E bunu etmə AMMA vəziyyət E sübuta yetirilmədən fərz edilmiş və qəbul edilmişdir. Onlardan biri yalan, digəri isə doğrudur. Onlardan hansının yalan olduğunu sübut etmək tələb olunur.
Doğru ilə sübut edirik məntiqi mülahizə edin və onun nəticəsinin yanlış, absurd bir nəticə olduğunu tapın. Yanlış məntiqi nəticənin səbəbi teoremin iki hissədən - yanlış və doğrudan ibarət ziddiyyətli məntiqi şərtidir. Yalan hissəsi yalnız bir ifadə ola bilər -dan E bunu etmə AMMA , hansında E sübut olmadan qəbul edilir. Onu fərqləndirən də budur E bəyanatlar -dan E etməlidir AMMA , bu, birbaşa teoremin isbatı ilə isbat olunur.
Buna görə də, bəyanat doğrudur: -dan E etməlidir AMMA , sübut edilməli idi.
Çıxış: yalnız o tərs teorem riyazi üsulla isbat edilmiş birbaşa teoremi olan və riyazi üsulla isbat edilə bilməyən əksindən məntiqi üsulla isbat edilir.
Alınan nəticə Fermatın böyük teoreminin ziddiyyəti ilə sübut üsulu ilə əlaqədar müstəsna əhəmiyyət kəsb edir. Bunu sübut etmək cəhdlərinin böyük əksəriyyəti adi riyazi metoda deyil, ziddiyyətlə sübutun məntiqi üsuluna əsaslanır. Fermat Uilsin Böyük Teoreminin sübutu istisna deyil.
Dmitri Abrarov "Fermat teoremi: Wiles'in sübutları fenomeni" məqaləsində Fermatın sonuncu teoreminin Wiles tərəfindən isbatına dair şərh dərc etdi. Abrarovun fikrincə, Wiles Fermat tənliyinin potensial həlli ilə bağlı alman riyaziyyatçısı Gerhard Frey (d. 1944) tərəfindən edilən əlamətdar tapıntının köməyi ilə Fermatın Son Teoremini sübut edir. x n + y n = z n
, harada n > 2
, başqa bir tamamilə fərqli tənliklə. Bu yeni tənlik xüsusi əyri (Frey elliptik əyri adlanır) ilə verilir. Frey əyrisi çox sadə bir tənliklə verilir:
.
“Hər bir həll yolu ilə müqayisə edən məhz Frey idi (a, b, c) Ferma tənliyi, yəni əlaqəni təmin edən ədədlər a n + b n = c n yuxarıdakı əyri. Bu halda Fermatın Son Teoreminə əməl edərdi."(Sitat: Abrarov D. "Fermat teoremi: Wiles sübut fenomeni")
Başqa sözlə, Gerhard Frey Fermatın Son Teoreminin tənliyini təklif etdi x n + y n = z n
, harada n > 2
, müsbət tam ədədlərdə həllər var. Eyni həllər, Freyin fərziyyəsinə görə, onun tənliyinin həlləridir
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, onun elliptik əyrisi ilə verilir.
Andrew Wiles Frey-in bu əlamətdar kəşfini qəbul etdi və onun köməyi ilə riyazi metod bu tapıntının, yəni Freyin elliptik əyrisinin mövcud olmadığını sübut etdi. Buna görə də, mövcud olmayan elliptik əyri ilə verilən heç bir tənlik və onun həlləri yoxdur.Ona görə də Uayls belə nəticəyə gəlməli idi ki, Fermanın sonuncu teoreminin və Fermat teoreminin özünün heç bir tənliyi yoxdur. Bununla belə, o, daha təvazökar bir nəticəyə gəlir ki, Fermatın Son Teoreminin tənliyinin müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdur.
Wiles-in Fermatın Son Teoremində ifadə olunanlara birbaşa əks olan bir fərziyyəni qəbul etməsi danılmaz bir həqiqət ola bilər. O, Uilsi Fermatın Son Teoremini ziddiyyətlə sübut etməyə məcbur edir. Gəlin ondan nümunə götürək və bu nümunədən nə baş verdiyini görək.
Fermatın Son Teoremində deyilir ki, tənlik x n + y n = z n , harada n > 2 , müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdur.
Ziddiyyətlə sübutun məntiqi üsuluna görə, bu müddəa qorunur, sübutsuz verilmiş kimi qəbul edilir və sonra mənaca əks ifadə ilə tamamlanır: tənlik x n + y n = z n , harada n > 2 , müsbət tam ədədlərdə həllər var.
Fərziyyə edilən ifadə də sübut olmadan verilmiş kimi qəbul edilir. Məntiqin əsas qanunları nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçirilən hər iki ifadə eyni dərəcədə məqbuldur, hüquq baxımından bərabərdir və eyni dərəcədə mümkündür. Düzgün əsaslandırma ilə onlardan hansının yalan olduğunu müəyyən etmək lazımdır ki, o biri mülahizənin doğru olduğunu müəyyən etsin.
Düzgün mülahizə yanlış, absurd nəticə ilə başa çatır ki, bunun məntiqi səbəbi isbat olunan teoremin yalnız ziddiyyətli şərti ola bilər ki, bu da birbaşa əks mənanın iki hissəsini ehtiva edir. Onlar absurd nəticənin məntiqi səbəbi, ziddiyyətlə sübutun nəticəsi idi.
Bununla belə, məntiqi cəhətdən düzgün mülahizə zamanı hansı ifadənin yanlış olduğunu müəyyən etmək üçün bir əlamət tapılmadı. Bu bir ifadə ola bilər: tənlik x n + y n = z n , harada n > 2 , müsbət tam ədədlərdə həllər var. Eyni əsasda, bu ifadə ola bilər: tənlik x n + y n = z n , harada n > 2 , müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdur.
Əsaslandırma nəticəsində yalnız bir nəticə çıxarmaq olar: Fermanın son teoremini ziddiyyətlə sübut etmək olmaz.
Fermatın Son Teoremi adi riyazi üsulla sübut edilmiş birbaşa teoremi olan tərs teorem olsaydı, çox fərqli məsələ olardı. Bu halda bunu ziddiyyətlə sübut etmək olardı. Və birbaşa teorem olduğundan onun isbatı ziddiyyətlə sübutun məntiqi üsuluna deyil, adi riyazi üsula əsaslanmalıdır.
D.Abrova görə, ən məşhur müasir rus riyaziyyatçısı, akademik V. İ.Arnold Uilsin sübutuna “aktiv skeptik” reaksiya verdi. Akademik dedi: “Bu, əsl riyaziyyat deyil – əsl riyaziyyat həndəsi xarakter daşıyır və fizika ilə sıx əlaqəyə malikdir”.
Ziddiyyətlə nə Fermanın Son Teoreminin tənliyinin həlli olmadığını, ya da həlli olduğunu sübut etmək mümkün deyil. Wiles'in səhvi riyazi deyil, məntiqlidir - istifadəsinin mənası olmadığı və Fermatın Son Teoremini sübut etməyən ziddiyyətli sübutdan istifadə.
Fermatın Son Teoremi də adi riyazi üsulla sübut olunmur, əgər o verilmişdirsə: tənlik x n + y n = z n , harada n > 2 , müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdur və onda sübut etmək tələb olunarsa: tənlik x n + y n = z n , harada n > 2 , müsbət tam ədədlərdə həlli yoxdur. Bu formada teorem yox, mənasız tavtologiya var.
Qeyd. Mənim BTF sübutum forumların birində müzakirə olundu. Trotilin töhfəçilərindən biri, ədədlər nəzəriyyəsi üzrə mütəxəssis, aşağıdakı mötəbər bəyanatla çıxış etdi: Qısa təkrarlama Mirqorodski nə etdi. Sözsüz sitat gətirirəm:
« AMMA. O, sübut etdi ki, əgər z 2 \u003d x 2 + y , sonra z n > x n + y n . Bu, hamıya məlum olan və kifayət qədər aşkar faktdır.
IN. O, iki üçlük götürdü - Pifaqorlu və Pifaqorlu olmayan və sadə sadalama ilə göstərdi ki, konkret, xüsusi üçlü ailə üçün (78 və 210 ədəd) BTF həyata keçirilir (və yalnız bunun üçün).
FROM. Və sonra müəllif bu faktı buraxdı < sonrakı dərəcədə ola bilər = , təkcə > . Sadə əks nümunə keçiddir n=1 in n=2 Pifaqor üçlüyündə.
D. Bu nöqtə BTF sübutuna vacib heç nə vermir. Nəticə: BTF sübut olunmayıb”.
Mən onun gəldiyi qənaəti nöqtə-bənd nəzərdən keçirəcəyəm.
AMMA. Bu, BTF Pifaqor ədədlərinin bütün sonsuz üçlü dəsti üçün sübut edilmişdir. Həndəsi üsulla sübut edilmişdir, inandığım kimi, mənim tərəfimdən kəşf edilməmiş, lakin yenidən kəşf edilmişdir. Və onu, məncə, P.Fermat özü açıb. Fermat yazarkən bunu düşünə bilərdi:
"Mən bunun həqiqətən ecazkar sübutunu kəşf etdim, lakin bu sərhədlər bunun üçün çox dardır." Mənim bu fərziyyəm, kitabın kənarlarında Fermatın yazdığı Diofant problemində Pifaqor ədədlərinin üçqatları olan Diofant tənliyinin həlli yollarından bəhs etdiyimizə əsaslanır.
Pifaqor ədədlərinin sonsuz üçlü çoxluğu Diofat tənliyinin həllidir və Fermat teoremində isə əksinə, həllərin heç biri Fermat teoreminin tənliyinin həlli ola bilməz. Və Fermatın həqiqətən möcüzəvi sübutunun bu faktla birbaşa əlaqəsi var. Daha sonra Fermat öz teoremini bütün natural ədədlər çoxluğuna qədər genişləndirə bildi. Bütün natural ədədlər çoxluğunda BTF "fövqəladə gözəl teoremlər toplusuna" aid deyil. Bu mənim fərziyyəmdir, onu nə sübut etmək, nə də təkzib etmək mümkün deyil. Həm qəbul oluna, həm də rədd edilə bilər.
IN. Bu hissədə bir ailə olaraq özbaşına alındığını sübut edirəm Pifaqor üçlüyüədədlər, buna görə də özbaşına alınan qeyri-Pifaqor üçlüyü ailəsi BTF-nin əlindədir.Bu BTF-nin sübutumda zəruri, lakin qeyri-kafi və ara keçiddir. Pifaqor rəqəmlərinin üçlü ailəsi və üçqat qeyri-Pifaqor ədədi ailəsi ilə bağlı götürdüyüm misallar digər oxşar nümunələrin mövcudluğunu nəzərdə tutan və istisna etməyən konkret misalların mənasını daşıyır.
Trotilin mən "sadə sadalama ilə göstərdim ki, konkret, konkret üçlü ailə üçün (78 və 210 ədəd) BTF yerinə yetirilir (və yalnız bunun üçün) əsassızdır. O, təkzib edə bilməz ki, mən bir və digər üçlü konkret ailə əldə etmək üçün Pifaqor və qeyri-Pifaqor üçlüyünün başqa nümunələrini də götürə bilərəm.
Hansı cütü götürsəm də, onların problemin həllinə uyğunluğunu yoxlamaq, məncə, yalnız “sadə sadalama” üsulu ilə həyata keçirilə bilər. Başqa bir üsul mənə məlum deyil və tələb olunmur. Trotilin xoşuna gəlmirdisə, o zaman başqa üsul təklif etməli idi, bunu da etmir. Əvəzində heç nə təklif etmədən, bu halda əvəzolunmaz olan “sadə sadalamağı” qınamaq düzgün deyil.
FROM. Mən = arasında buraxdım< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), hansı dərəcə n > 2 — bütöv müsbət rəqəm. Bərabərsizliklər arasındakı bərabərlikdən belə çıxır məcburidir tənliyin nəzərə alınması (1) dərəcənin tam olmayan dəyəri ilə n > 2 . Trotil sayma məcburi bərabərsizliklər arasında bərabərliyi nəzərə alaraq, əslində nəzərdən keçirir zəruri BTF sübutunda, (1) ilə tənliyin nəzərə alınması tam olmayan dərəcə dəyəri n > 2 . Mən bunu özüm üçün etdim və həmin tənliyi (1) ilə tapdım tam olmayan dərəcə dəyəri n > 2 üç ədədin həlli var: z, (z-1), (z-1) tam olmayan göstərici ilə.
FERMATIN BÖYÜK TEOREMİNİN TARİXİBöyük bir iş
Bir dəfə tostların necə hazırlanacağına dair poçt siyahısının Yeni il sayında təsadüfən qeyd etdim ki, 20-ci əsrin sonunda çoxlarının fərq etmədiyi bir möhtəşəm hadisə baş verdi - Fermatın Son Teoremi deyilən nəhayət sübut edildi. Bu münasibətlə aldığım məktublar arasında bu faktdan təəccüblənən qızlardan iki cavab tapdım (onlardan biri, xatırladığım qədəri ilə Zelenoqraddan olan 9-cu sinif şagirdi Vikadır).
Qızların müasir riyaziyyat problemlərinə nə qədər həvəslə maraq göstərməsi məni təəccübləndirdi. Ona görə də düşünürəm ki, təkcə qızlar deyil, həm də hər yaşda olan oğlanlar - orta məktəb şagirdlərindən tutmuş təqaüdçülərə qədər Böyük Teorem tarixini öyrənməkdə maraqlı olacaqlar.
Fermat teoreminin sübutu böyük hadisədir. Və o vaxtdan “böyük” sözü ilə zarafat etmək adət deyil, onda mənə elə gəlir ki, hər bir özünə hörmət edən natiq (və biz natiq deyəndə hamımız) sadəcə olaraq teoremin tarixini bilməyə borcluyuq.
Əgər riyaziyyatı mənim sevdiyim qədər sevmədiyiniz baş veribsə, onda bəzi dərinləşmələrə üzdəniraq nəzər salaraq ətraflı baxın. E-poçt siyahımızın bütün oxucularının riyaziyyatın vəhşiliyində dolaşmaqda maraqlı olmadığını başa düşərək, heç bir düstur verməməyə (Fermat teoreminin tənliyi və bir neçə fərziyyə istisna olmaqla) və bəzi konkret məsələlərin işıqlandırılmasını sadələşdirməyə çalışdım. mümkün qədər.
Fermat sıyığı necə dəmləyirdi
Fransız hüquqşünası və 17-ci əsrin yarım-ştat böyük riyaziyyatçısı Pyer Fermat (1601-1665) ədədlər nəzəriyyəsi sahəsindən maraqlı bir müddəa irəli sürdü və sonralar Fermatın Böyük (və ya Böyük) Teoremi kimi tanındı. Bu, ən məşhur və fenomenal riyazi teoremlərdən biridir. Fermatın tez-tez öyrəndiyi, geniş haşiyələrində qeydlər aparan və oğlu Samuelin nəsillər üçün nəzakətlə qoruyub saxladığı İsgəndəriyyəli Diofantın (eramızın III əsri) “Arifmetika” kitabında, yəqin ki, onun ətrafında həyəcan bu qədər güclü olmazdı. , təxminən böyük riyaziyyatçının aşağıdakı girişi tapılmadı:
"Məndə çox təəccüblü bir dəlil var, lakin o, kənarlara sığdırmaq üçün çox böyükdür."
Məhz bu giriş teorem ətrafında sonrakı möhtəşəm qarışıqlığa səbəb oldu.
Belə ki, məşhur alim öz teoremini sübut etdiyini bildirib. Gəlin özümüzə sual verək: o, həqiqətən bunu sübut etdi, yoxsa yalan danışdı? Yoxsa sonrakı nəsillərin bir çox riyaziyyatçılarına dinc yatmağa imkan verməyən marjinal girişin görünüşünü izah edən başqa versiyalar varmı?
Böyük Teorem tarixi zamanın macərası qədər maraqlıdır. Fermat 1636-cı ildə bir tənlik şəklində ifadə etdi x n + y n =z n göstəricisi n>2 olan tam ədədlərdə həlli yoxdur. Bu əslində Fermatın Son Teoremidir. Bu sadə görünən riyazi düsturda kainat inanılmaz mürəkkəbliyi gizlədir. Şotlandiya əsilli Amerika riyaziyyatçısı Erik Templ Bell özünün “Son problem” (1961) kitabında hətta Fermatın Son Teoremini sübut etmədən bəşəriyyətin mövcudluğunu dayandıracağını belə irəli sürdü.
Bir qədər qəribədir ki, teorem nədənsə onun doğulması ilə gecikdi, çünki vəziyyət çoxdan gecikmişdi, çünki onun n = 2 üçün xüsusi halı - başqa bir məşhur riyazi düstur - Pifaqor teoremi iyirmi iki əsr əvvəl yaranmışdır. Fermat teoremindən fərqli olaraq, Pifaqor teoreminin sonsuz sayda tam həlli var, məsələn, belə Pifaqor üçbucaqları: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Böyük Teorem Sindromu
Kim yalnız Fermat teoremini sübut etməyə çalışmadı. Hər hansı bir gənc tələbə Böyük Teoremə müraciət etməyi özünə borc bilirdi, lakin heç kim bunu sübut edə bilmədi. Əvvəlcə yüz il işləmədi. Sonra daha yüz. Və daha da. Riyaziyyatçılar arasında kütləvi sindrom inkişaf etməyə başladı: "Necə oldu? Fermat bunu sübut etdi, amma bacarmasam, ya nə?" - bəziləri isə bu əsasda sözün tam mənasında dəli olublar.
Teorem nə qədər sınaqdan keçirilsə də, həmişə doğru olduğu ortaya çıxdı. Sürətli bir kompüterdən (o vaxtlar daha çox kompüter adlanırdı) istifadə edərək tam ədədlər üzərində təkrarlamaqla ən azı bir həll (əks misal) tapmağa çalışaraq Böyük Teoremi təkzib etmək ideyası ilə məşğul olan bir enerjili proqramçı tanıyırdım. O, müəssisəsinin uğuruna inanırdı və deməyi xoşlayırdı: "Bir az daha - və sensasiya başlayacaq!" Düşünürəm ki, planetimizin müxtəlif yerlərində bu cür cəsarətli axtaranların xeyli hissəsi var idi. Təbii ki, heç bir həll yolu tapmadı. Heç bir kompüter, hətta inanılmaz sürətlə də teoremi sınaqdan keçirə bilməz, çünki bu tənliyin bütün dəyişənləri (o cümlədən eksponentlər) sonsuza qədər arta bilər.
Teorem sübut tələb edir
Riyaziyyatçılar bilirlər ki, əgər teorem sübut olunmazsa, bəzi digər fərziyyələrdə olduğu kimi ondan hər hansı bir şey (istər doğru, istərsə də yalan) nəticə çıxara bilər. Məsələn, Pierre Fermat məktublarının birində 2 n +1 (Fermat ədədləri adlanan) formalı ədədlərin mütləq sadə olduğunu (yəni onların tam bölənləri yoxdur və yalnız özlərinə və onlara bölünür) təklif edirdi. biri qalıqsız), əgər n ikinin qüvvəsidirsə (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 və s.). Fermatın fərziyyəsi yüz ildən çox yaşadı - 1732-ci ildə Leonhard Euler göstərdi ki,
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641
Sonra, demək olar ki, 150 il sonra (1880), Fortune Landry aşağıdakı Fermat nömrəsini hesabladı:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721
Bunların bölücülərini necə tapa bildilər böyük rəqəmlər- Bir Allah bilir. Öz növbəsində Eyler belə bir fərziyyə irəli sürdü ki, x 4 + y 4 + z 4 =u 4 tənliyinin tam ədədlərdə həlli yoxdur. Ancaq təxminən 250 ildən sonra, 1988-ci ildə Harvarddan Naum Elkis (artıq onun köməyi ilə) kəşf edə bildi. kompüter proqramı), nə
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
Buna görə də, Fermanın Son Teoremi sübut tələb edirdi, əks halda bu, sadəcə bir fərziyyə idi və ola bilərdi ki, sonsuz ədədi sahələrdə haradasa Böyük Teorem tənliyinin həlli itirdi.
18-ci əsrin ən virtuoz və məhsuldar riyaziyyatçısı, bəşəriyyətin qeydlər arxivini təxminən bir əsrdir çeşidlədiyi Leonard Euler 3 və 4-cü güclər üçün Fermatın teoremini sübut etdi (daha doğrusu, Pierre Fermatın özünün itirilmiş sübutlarını təkrarladı). ; onun say nəzəriyyəsi üzrə davamçısı Legendre (və müstəqil olaraq Dirixlet) - 5-ci dərəcə üçün; Lame - dərəcə 7 üçün. Amma ümumi olaraq, teorem sübut olunmamış qaldı.
1847-ci il martın 1-də Paris Elmlər Akademiyasının iclasında eyni vaxtda iki görkəmli riyaziyyatçı - Qabriel Lame və Avqustin Koşi Böyük Teoremin sübutunun sonuna gəldiklərini elan etdilər və yarış təşkil etdilər. hissələrdə sübutlar. Lakin alman riyaziyyatçısı Ernst Kummerin işarə etdiyi sübutlarda eyni səhv aşkar edildiyi üçün aralarındakı duel yarımçıq qaldı.
20-ci əsrin əvvəllərində (1908) varlı alman sahibkarı, xeyriyyəçi və alimi Pol Volfskel Fermat teoreminin tam sübutunu təqdim edən hər kəsə yüz min marka vəsiyyət etdi. Artıq Göttingen Elmlər Akademiyası tərəfindən Wolfskell vəsiyyətnaməsinin dərcindən sonra ilk ildə riyaziyyat həvəskarlarının minlərlə sübutu ilə dolu idi və bu axın onilliklər ərzində dayanmadı, lakin təsəvvür etdiyiniz kimi, hamısında səhvlər var idi. . Akademiyanın aşağıdakı məzmunda formalar hazırladığını deyirlər:
Əziz __________________________!
Fermat teoreminin ____ səhifəsindəki sübutunuzda yuxarıdan ____ sətir
Düsturda aşağıdakı səhv tapıldı:_____________________________________:,
Hansı ki, mükafat üçün şanssız namizədlərə göndərilib.
O dövrdə riyaziyyatçılar dairəsində yarı nifrətli bir ləqəb meydana çıxdı - fermist. Bu, biliyi olmayan, lakin Böyük Teoremi sübut etməkdə tələsik əlini sınamaq ambisiyasından daha çox özünə güvənən, sonra öz səhvlərini görmədən, qürurla sinəsinə çırparaq, ucadan bəyan edən hər hansı bir gəncə verilən ad idi: "Mən ilk Fermat teoremini sübut etdi! Hər bir fermer, sayca on mininci olsa belə, özünü birinci hesab edirdi - bu, gülünc idi. Böyük Teoremin sadə görünüşü Fermistlərə asan ovları o qədər xatırlatdı ki, hətta Eyler və Qaussun da öhdəsindən gələ bilməyəcəkləri üçün heç utanmadılar.
(Fermistlər, qəribə də olsa, bu gün də mövcuddur. Onlardan biri teoremi klassik fermist kimi sübut etdiyinə inanmasa da, son vaxtlara qədər cəhdlər etdi - ona Fermat teoreminin artıq olduğunu deyəndə mənə inanmaqdan imtina etdi. sübut etdi).
Ən qüdrətli riyaziyyatçılar, bəlkə də kabinetlərinin sakitliyində bu ağır ştanqaya ehtiyatla yaxınlaşmağa çalışsalar da, Fermist damğası almamaq və beləliklə, onların yüksək nüfuzuna xələl gətirməmək üçün bu barədə ucadan danışmadılar.
Bu zaman n eksponenti üçün teoremin sübutu ortaya çıxdı<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Qəribə fərziyyə
XX əsrin ortalarına qədər Böyük Teorem tarixində heç bir böyük irəliləyiş müşahidə edilməmişdir. Lakin tezliklə riyazi həyatda maraqlı bir hadisə baş verdi. 1955-ci ildə 28 yaşlı yapon riyaziyyatçısı Yutaka Taniyama, Fermatın gecikmiş teoremindən fərqli olaraq, riyaziyyatın tamamilə fərqli bir sahəsi olan Taniyama Hipotezi (aka Taniyama-Şimura-Veyl hipotezi) adlı bir bəyanat irəli sürdü. vaxtdır.
Taniyamanın fərziyyəsində deyilir: “Hər bir elliptik əyriyə müəyyən modul forma uyğun gəlir”. O dövrün riyaziyyatçıları üçün bu ifadə bizim üçün nə qədər absurd səsləndisə, o qədər absurd səsləndi: “Hər ağaca müəyyən metal uyğun gəlir”. Normal bir insanın belə bir ifadə ilə necə əlaqə qura biləcəyini təxmin etmək asandır - o, sadəcə olaraq bunu ciddi qəbul etməyəcək, bu baş verdi: riyaziyyatçılar yekdilliklə fərziyyəyə məhəl qoymadılar.
Bir az izahat. Uzun müddətdir bilinən elliptik əyrilər iki ölçülü formaya malikdir (müstəvidə yerləşir). 19-cu əsrdə kəşf edilən modul funksiyaların dördölçülü forması var, buna görə də onları üç ölçülü beynimizlə təsəvvür belə edə bilmərik, ancaq riyazi olaraq təsvir edə bilərik; Bundan əlavə, modul formalar heyrətamizdir ki, onlar maksimum mümkün simmetriyaya malikdirlər - onlar istənilən istiqamətə tərcümə oluna (köçürülə bilər), güzgülərə çevrilə bilər, fraqmentlər dəyişdirilə bilər, sonsuz sayda fırlana bilər - və onların görünüşü dəyişmir. Gördüyünüz kimi, elliptik əyrilər və modul formaların ümumi cəhətləri azdır. Taniyamanın fərziyyəsi bildirir ki, bir-birinə uyğun gələn bu iki tamamilə fərqli riyazi obyektin təsviri tənlikləri eyni riyazi sıraya genişləndirilə bilər.
Taniyamanın fərziyyəsi çox paradoksal idi: o, tamamilə fərqli anlayışları - kifayət qədər sadə düz əyriləri və ağlasığmaz dördölçülü formaları birləşdirdi. Bu heç kimin ağlına gəlməyib. 1955-ci ilin sentyabrında Tokioda keçirilən beynəlxalq riyaziyyat simpoziumunda Taniyama elliptik əyrilər və modul formalar arasında bir neçə uyğunluq nümayiş etdirəndə hamı bunu gülməli bir təsadüfdən başqa bir şey kimi gördü. Taniyamanın təvazökar sualına: hər bir elliptik əyri üçün uyğun modul funksiyanı tapmaq mümkündürmü, o dövrdə ədədlər nəzəriyyəsi üzrə dünyanın ən yaxşı mütəxəssislərindən biri olan möhtərəm fransız Andre Weil kifayət qədər diplomatik cavab verdi, nə deyirlər? , əgər maraqlanan Taniyama həvəsdən ayrılmasa, o zaman bəlkə şanslı olacaq və onun inanılmaz fərziyyəsi təsdiqlənəcək, lakin bu, tezliklə baş verməməlidir. Ümumiyyətlə, bir çox digər görkəmli kəşflər kimi, əvvəlcə Taniyamanın fərziyyəsinə məhəl qoyulmadı, çünki onlar hələ buna yetişməmişdilər - demək olar ki, heç kim bunu başa düşmürdü. Taniyamanın yalnız bir həmkarı, Qoro Şimura yüksək istedadlı dostunu yaxşı tanıyaraq, intuitiv olaraq onun fərziyyəsinin doğru olduğunu hiss etdi.
Üç il sonra (1958) Yutaka Taniyama intihar etdi (lakin Yaponiyada samuray ənənələri güclüdür). Sağlam düşüncə nöqteyi-nəzərindən - anlaşılmaz bir hərəkətdir, xüsusən də onun tezliklə evlənəcəyini düşünəndə. Gənc yapon riyaziyyatçılarının lideri intihar qeydinə belə başladı: “Dünən intihar haqqında düşünmürdüm.Son vaxtlar başqalarından tez-tez eşidirdim ki, zehni və fiziki cəhətdən yorğunam.Əslində niyə etdiyimi hələ də anlamıram. bu ...” və s. üç vərəqdə. Təəssüf ki, təbii ki, bu, maraqlı bir insanın taleyi idi, lakin bütün dahilər bir az qəribədir - buna görə də dahidirlər (nədənsə, Artur Şopenhauerin sözləri ağlıma gəldi: “adi həyatda bir Dahilik teatrda teleskop kimi istifadə olunur”). Hipotezdən imtina edildi. Heç kim bunu necə sübut edəcəyini bilmirdi.
On il ərzində Taniyamanın fərziyyəsindən demək olar ki, bəhs edilmədi. Ancaq 70-ci illərin əvvəllərində o, populyarlaşdı - onu başa düşə bilən hər kəs tərəfindən müntəzəm olaraq yoxlanıldı - və həmişə təsdiqləndi (əslində, Fermat teoremi kimi), lakin əvvəlki kimi, heç kim bunu sübut edə bilmədi.
İki fərziyyə arasındakı heyrətamiz əlaqə
Daha 15 il keçdi. 1984-cü ildə riyaziyyatın həyatında ekstravaqant Yapon zənnini Fermatın Son Teoremi ilə birləşdirən bir mühüm hadisə baş verdi. Alman Gerhard Frey bir teoremə bənzər maraqlı bir ifadə irəli sürdü: "Əgər Taniyamanın fərziyyəsi sübut olunarsa, deməli, Fermatın Son Teoremi isbatlanacaq". Başqa sözlə, Fermat teoremi Taniyamanın zənninin nəticəsidir. (Frey dahiyanə riyazi çevrilmələrdən istifadə edərək, Fermatın tənliyini elliptik əyri tənlik formasına endirdi (Taniyamanın fərziyyəsində görünən eyni), öz fərziyyəsini az-çox əsaslandırdı, lakin sübut edə bilmədi). Və cəmi bir il yarım sonra (1986) Kaliforniya Universitetinin professoru Kennet Ribet Frey teoremini aydın şəkildə sübut etdi.
İndi nə oldu? İndi məlum oldu ki, Fermat teoremi artıq Taniyamanın zənninin nəticəsi olduğundan, əfsanəvi Fermat teoreminin qalibinin uğurlarını qırmaq üçün sonuncunu sübut etmək kifayətdir. Lakin fərziyyənin çətin olduğu ortaya çıxdı. Bundan əlavə, əsrlər boyu riyaziyyatçıların Fermat teoreminə qarşı allergiyası yarandı və onların çoxu belə qərara gəldilər ki, Taniyamanın zənninin öhdəsindən gəlmək də demək olar ki, mümkün olmayacaq.
Fermatın fərziyyəsinin ölümü. Bir teoremin doğulması
Daha 8 il keçdi. Prinston Universitetindən (Nyu Cersi, ABŞ) mütərəqqi ingilis riyaziyyat professoru Andrew Wiles, Taniyamanın fərziyyəsinin sübutunu tapdığını düşünürdü. Dahi keçəl deyilsə, bir qayda olaraq, dağınıqdır. Wiles dağınıqdır, buna görə də dahi kimi görünür. Tarixə girmək, əlbəttə ki, cazibədar və çox arzuolunandır, lakin Uayls, əsl alim kimi, özündən əvvəlki minlərlə Fermistin də kabus kimi dəlillər gördüyünü başa düşərək, yaltaqlanmadı. Buna görə də sübutunu dünyaya təqdim etməzdən əvvəl özü diqqətlə yoxlayır, lakin subyektiv qərəzinin ola biləcəyini anlayaraq, başqalarını da yoxlamalara cəlb edir, məsələn, adi riyazi tapşırıqlar adı altında bəzən müxtəlif fraqmentlər atırdı. ağıllı aspirantlara sübutu. Daha sonra Wiles etiraf etdi ki, həyat yoldaşından başqa heç kim onun Böyük Teoremin sübutu üzərində işlədiyini bilmirdi.
Beləliklə, uzun yoxlamalardan və ağrılı düşüncələrdən sonra, Wiles nəhayət, cəsarət və ya özünün düşündüyü kimi, həyasızlıq topladı və 23 iyun 1993-cü ildə Kembricdə ədədlər nəzəriyyəsi üzrə riyazi konfransda böyük uğurunu elan etdi.
Bu, təbii ki, sensasiya idi. Heç kim az tanınan riyaziyyatçıdan belə çeviklik gözləmirdi. Sonra mətbuat gəldi. Alovlu bir maraq hər kəsə əzab verdi. Gözəl bir şəklin ştrixləri kimi incə düsturlar tamaşaçıların maraqlı gözləri qarşısında göründü. Əsl riyaziyyatçılar, axı onlar belədirlər - onlar hər cür tənliklərə baxır və onlarda rəqəmləri, sabitləri və dəyişənləri deyil, musiqini eşidirlər, Motsartın musiqi heyətinə baxması kimi. Necə ki, kitab oxuyanda hərflərə baxırıq, amma sanki onlara fikir vermirik, mətnin mənasını dərhal dərk edirik.
Sübutun təqdimatı uğurlu görünürdü - onda heç bir səhv tapılmadı - heç kim bir dənə də olsun yalan qeyd eşitmədi (baxmayaraq ki, əksər riyaziyyatçılar birinci sinif şagirdləri kimi ona inteqrala baxırdılar və heç nə başa düşmürdülər). Hamı belə qərara gəldi ki, genişmiqyaslı bir hadisə baş verdi: Taniyamanın fərziyyəsi və nəticədə Fermatın Son Teoremi sübut olundu. Lakin təxminən iki ay sonra, Wiles-in sübutunun əlyazmasının dövriyyəyə buraxılmasından bir neçə gün əvvəl, onun uyğunsuz olduğu aşkar edildi (Wils-in həmkarı Katz qeyd etdi ki, bir mülahizə parçası "Euler sisteminə" əsaslanır, lakin nə? Wiles tərəfindən qurulmuş, belə bir sistem deyildi), baxmayaraq ki, ümumiyyətlə, Wiles-in texnikaları maraqlı, zərif və yenilikçi hesab olunurdu.
Wiles vəziyyəti təhlil etdi və uduzduğuna qərar verdi. Onun bütün varlığı ilə necə hiss etdiyini təsəvvür etmək olar ki, “böyükdən gülünc bir addıma” nə deməkdi. “Mən Tarixə daxil olmaq istəyirdim, əvəzində təlxəklər və komediyaçılar komandasına – təkəbbürlü fermerlərə qoşuldum” – təxminən belə fikirlər ömrünün o ağrılı dövründə onu yormuşdu. Ciddi bir riyaziyyatçı olan onun üçün bu faciə idi və sübutunu arxa plana atdı.
Lakin bir ildən bir qədər çox keçəndən sonra, 1994-cü ilin sentyabrında, Oksforddan olan həmkarı Taylor ilə birlikdə sübutun bu darboğazı haqqında düşünərkən, sonuncu birdən “Euler sistemi”nin İvasava nəzəriyyəsinə dəyişdirilə biləcəyi fikrini aldı (bölmə). ədədlər nəzəriyyəsi). Sonra "Euler sistemi" olmadan İvasava nəzəriyyəsindən istifadə etməyə çalışdılar və hamısı bir araya gəldi. Sübutun düzəldilmiş variantı yoxlamaya təqdim edildi və bir il sonra orada hər şeyin bir səhv olmadan tamamilə aydın olduğu elan edildi. 1995-ci ilin yayında aparıcı riyaziyyat jurnallarından birində - "Riyaziyyat Salnamələri"ndə Taniyamanın fərziyyəsinin tam sübutu (buna görə də Fermatın Böyük (Böyük) Teoremi) nəşr olundu, bu, yüzdən çox vərəqdən ibarətdir. Sübut o qədər mürəkkəbdir ki, dünyada yalnız bir neçə onlarla insan onu tam şəkildə başa düşə bilər.
Beləliklə, 20-ci əsrin sonunda bütün dünya etiraf etdi ki, ömrünün 360-cı ilində əslində bütün bu müddət ərzində fərziyyə olan Fermatın Son Teoremi sübut edilmiş teoremə çevrilib. Andrew Wiles Fermatın Böyük (Böyük) Teoremini sübut etdi və Tarixə daxil oldu.
Bir teoremi sübut etdiyinizi düşünün...
Kəşf edənin xoşbəxtliyi həmişə tək kiməsə gedir - o, çəkicin son zərbəsi ilə biliyin sərt qozunu sındırır. Lakin əsrlər boyu Böyük Teoremdə çat yaradan bir çox əvvəlki zərbələri görməzlikdən gəlmək olmaz: Eyler və Qauss (öz dövrlərinin riyaziyyatının kralları), Evariste Qalua (qısa 21-də qruplar və sahələr nəzəriyyəsini qurmağı bacaran). -əsərləri yalnız ölümündən sonra parlaq kimi tanınan illik həyat), Henri Puancaré (təkcə qəribə modul formaların deyil, həm də konvensionalizmin - fəlsəfi cərəyanın banisi), David Gilbert (XX əsrin ən güclü riyaziyyatçılarından biri) , Yutaku Taniyama, Qoro Şimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor və s. əsl alimlər(Mən bu sözlərdən qorxmuram).
Fermatın Son Teoreminin sübutunu XX əsrin kompüter ixtirası, nüvə bombası və kosmosa uçuş kimi nailiyyətləri ilə eyniləşdirmək olar. Bu barədə o qədər də geniş məlumat verilməsə də, televizor və ya elektrik lampası kimi ani maraqlarımız zonasını zəbt etmədiyinə görə, bu, bütün dəyişməz həqiqətlər kimi, həmişə işıq saçacaq fövqəlnovanın parıltısı idi. insanlıq.
Deyə bilərsiniz: "Düşün, bir növ teoremi sübut etdin, kimə lazımdır?". Ədalətli sual. David Gilbertin cavabı tam olaraq bura uyğun olacaq. Nə vaxt: "İndi elm üçün ən vacib vəzifə nədir?" sualına o, belə cavab verdi: "Ayın uzaq tərəfində milçək tutmaq", ondan əsaslı şəkildə soruşdular: “amma kimə lazımdır?", belə cavab verdi:" Heç kimə lazım deyil. Ancaq düşünün ki, bunu həyata keçirmək üçün nə qədər mühüm və çətin problemləri həll etmək lazımdır: "Fikir verin, bəşəriyyət Fermat teoremini sübut etməzdən əvvəl 360 il ərzində nə qədər problemi həll edə bildi. Onun sübutu axtarışında müasir riyaziyyatın az qala yarısı aşkar edilmişdir. Onu da nəzərə almalıyıq ki, riyaziyyat elmin avanqardıdır (yeri gəlmişkən, elmlər arasında tək səhvsiz qurulan yeganə elmdir) və hər hansı elmi nailiyyətlər və ixtiralar buradan başlayır”. .
* * *
İndi isə gəlin hekayəmizin əvvəlinə qayıdaq, Pyer Fermanın Diofantın dərsliyinin haşiyəsinə yazmasını xatırlayaq və bir daha özümüzə sual verək: Fermat həqiqətən öz teoremini sübut etdimi? Təbii ki, biz bunu dəqiq bilə bilmərik və hər halda olduğu kimi burada da müxtəlif versiyalar ortaya çıxır:
Versiya 1: Fermat öz teoremini sübut etdi. ("Fermat öz teoreminin tam olaraq eyni sübuta malik idimi?" Sualına Endryu Uayls qeyd etdi: "Fermat ola bilməzdi. belə ki sübut. Bu, 20-ci əsrin sübutudur.“Biz başa düşürük ki, 17-ci əsrdə riyaziyyat, təbii ki, 20-ci əsrin sonundakı kimi deyildi - o dövrdə elmlər kraliçası Artagnan d, hələ də o kəşflərə (modul formalar, Taniyama teoremləri, Frey və s.) sahibdirlər ki, bu da yalnız Fermatın Son Teoremini sübut etməyə imkan verdi.Əlbəttə, güman etmək olar: nə cəhənnəm zarafat etmir - Fermat başqa cür təxmin etsəydi nə olardı • Bu versiya ehtimal olsa da, əksər riyaziyyatçıların fikrincə praktiki olaraq qeyri-mümkündür);
Versiya 2: Pierre de Ferma'ya elə gəldi ki, o, teoremini sübut edib, lakin onun sübutunda səhvlər var idi. (Yəni Fermatın özü də ilk Fermatist idi);
Versiya 3: Fermat teoremini sübut etmədi, sadəcə olaraq kənarlarda yalan danışdı.
Əgər son iki versiyadan biri düzgündürsə, bu, çox güman ki, onda sadə bir nəticə çıxarmaq olar: böyük insanlar, böyük olsalar da, səhvlər də edə bilərlər və ya bəzən yalana fikir vermirlər(əsasən, bu nəticə öz bütlərinə və digər düşüncə hökmdarlarına tam etibar etməyə meylli olanlar üçün faydalı olacaqdır). Odur ki, bəşəriyyətin mötəbər övladlarının əsərlərini oxuyanda və ya pafoslu çıxışlarını dinləyəndə onların dediklərinə şübhə etməyə haqqın var. (Qeyd edək ki şübhə etmək rədd etmək deyil).
Məqalə materiallarının təkrar çapı yalnız sayta məcburi keçidlərlə mümkündür (İnternetdə - hiperlink) və müəllifə
Böyük Teorem Farm Singh Simon
"Fermatın son teoremi sübut olunubmu?"
Bu, Taniyama-Şimura zənnini sübuta yetirmək üçün yalnız ilk addım idi, lakin Uilsin seçdiyi strategiya parlaq riyazi sıçrayış idi və dərc olunmağa layiq bir nəticə idi. Lakin Wiles-in özünə verdiyi susqunluq andına görə, o, nəticə haqqında bütün dünyaya danışa bilmədi və başqa kimin belə əhəmiyyətli bir irəliləyiş edə biləcəyini bilmirdi.
Wiles istənilən potensial rəqibə qarşı fəlsəfi münasibətini xatırlayır: “Heç kim nəyisə sübut etmək üçün illər sərf etmək və başqa birinin sübutu bir neçə həftə əvvəl tapa bildiyini tapmaq istəmir. Amma qəribə də olsa, mən mahiyyətcə həll olunmayan problemi həll etməyə çalışdığım üçün rəqiblərimdən o qədər də qorxmurdum. Sadəcə mən gözləmirdim ki, nə özüm, nə də başqası sübuta gətirib çıxaracaq bir fikir irəli sürəcək”.
1988-ci il martın 8-də Wiles birinci səhifədə iri çaplı başlıqları görəndə şoka düşdü: “Fermatın Son Teoremi sübut edilmişdir”. The Washington Post və New York Times Tokio Metropolitan Universitetindən 38 yaşlı Yoichi Miyaokanın dünyanın ən çətin riyazi problemini həll etdiyini yazıb. Hələlik Miyaoka öz sübutunu dərc etməyib, lakin Bonndakı Maks Plank Riyaziyyat İnstitutunda keçirilən seminarda irəliləyişini qeyd edib. Miyaokanın məruzəsində iştirak edən Don Zagier riyaziyyat ictimaiyyətinin nikbinliyini bu sözlərlə ifadə edib: “Miyaokanın təqdim etdiyi sübut son dərəcə maraqlıdır və bəzi riyaziyyatçılar bunun yüksək ehtimalla doğru çıxacağına inanırlar. Hələlik dəqiqlik yoxdur, amma indiyə qədər sübutlar çox ümidverici görünür”.
Bonnda keçirilən seminarda çıxış edən Miyaoka problemin həllinə tamamilə fərqli, cəbr-həndəsi nöqteyi-nəzərdən baxdığı yanaşmadan danışıb. Son onilliklər ərzində həndəsələr riyazi obyektlərin, xüsusən də səthlərin xassələrinin dərin və incə bir anlayışına nail olublar. 1970-ci illərdə rus riyaziyyatçısı S.Arakelov cəbri həndəsədəki məsələlərlə ədədlər nəzəriyyəsindəki problemlər arasında paralellər qurmağa çalışmışdır. Bu, Lenqlendlərin proqramının xətlərindən biri idi və riyaziyyatçılar ümid edirdilər ki, ədədlər nəzəriyyəsində həll olunmamış məsələləri həndəsənin müvafiq məsələlərini öyrənməklə həll etmək olar, bu da həll olunmamış qalır. Belə bir proqram paralellik fəlsəfəsi kimi tanınırdı. Ədədlər nəzəriyyəsində problemləri həll etməyə çalışan cəbr həndəsələrinə “arifmetik cəbr həndəsələri” deyilirdi. 1983-cü ildə Prinston Qabaqcıl Tədqiqatlar İnstitutundan Gerd Faltinq Fermat teoreminin başa düşülməsinə mühüm töhfələr verdikdə, onlar ilk mühüm qələbələrini müjdələdilər. Xatırladaq ki, Fermata görə tənliyi
saat n 2-dən böyük olanın tam ədədlərdə həlli yoxdur. Faltings, fərqli qiymətlərlə əlaqəli həndəsi səthləri öyrənərək Fermatın Son Teoremini sübut etməkdə irəliləyiş əldə etdiyini düşünürdü. n. Müxtəlif qiymətlər üçün Fermat tənlikləri ilə əlaqəli səthlər n, bir-birindən fərqlənir, lakin bir ümumi xüsusiyyətə malikdir - hamısının deşikləri və ya sadə desək, deşikləri var. Bu səthlər modul formaların qrafikləri kimi dördölçülüdür. İki səthin iki ölçülü bölmələri Şek. 23. Fermat tənliyi ilə əlaqəli səthlər oxşar görünür. Dəyər nə qədər böyükdür n tənlikdə, müvafiq səthdə daha çox deşik.
düyü. 23. Bu iki səth Mathematica kompüter proqramı vasitəsilə əldə edilmişdir. Onların hər biri tənliyi təmin edən nöqtələrin yerini təmsil edir x n + y n = z n(soldakı səth üçün n=3, sağdakı səth üçün n=5). Dəyişənlər x Və y mürəkkəb hesab olunur.
Faltinq sübut edə bildi ki, belə səthlərdə həmişə bir neçə deşik olduğundan, əlaqəli Fermat tənliyində yalnız tam ədədlərdə sonlu həllər dəsti ola bilər. Həlllərin sayı Fermatın təklif etdiyi kimi sıfırdan milyona və ya milyarda qədər ola bilər. Beləliklə, Faltings Fermatın Son Teoremini sübut etmədi, lakin heç olmasa Fermat tənliyinin sonsuz sayda həlli ola biləcəyi ehtimalını rədd etməyi bacardı.
Beş il sonra Miyaoka bir addım irəli getdiyini bildirdi. O zaman iyirmi yaşının əvvəllərində idi. Miyaoka bəzi bərabərsizliklər haqqında bir fərziyyə irəli sürdü. Aydın oldu ki, onun həndəsi fərziyyəsini sübut etmək Fermat tənliyinin həlli sayının təkcə sonlu deyil, sıfır olduğunu sübut etmək demək olacaq. Miyaoka'nın yanaşması Wiles'ə bənzəyirdi ki, hər ikisi Fermatın Son Teoremini riyaziyyatın başqa bir sahəsindəki fundamental fərziyyə ilə əlaqələndirərək sübut etməyə çalışdılar. Miyaoka üçün bu, cəbri həndəsə idi, Wiles üçün sübuta gedən yol elliptik əyrilər və modul formalardan keçirdi. Miyaoka öz zənninin, dolayısıyla Fermatın Son Teoreminin tam sübuta malik olduğunu iddia edərkən, Wiles'i çox çaşdırdı, o, hələ də Taniyama-Şimura zənninin sübutu ilə mübarizə aparırdı.
Bonndakı çıxışından iki həftə sonra Miyaoka onun sübutunun mahiyyətini təşkil edən beş səhifəlik hesablamaları dərc etdi və hərtərəfli yoxlama başladı. Bütün dünyada say nəzəriyyəçiləri və cəbri həndəsələri sətir-sətir öyrəndilər, hesablamalar dərc etdilər. Bir neçə gün sonra riyaziyyatçılar sübutda bir ziddiyyət aşkar etdilər ki, bu da narahatlığa səbəb ola bilməzdi. Miyaoka işinin bir hissəsi ədədlər nəzəriyyəsindən bir bəyanata səbəb oldu, ondan cəbr həndəsəsinin dilinə tərcümə edildikdə, bir neçə il əvvəl əldə edilən nəticə ilə ziddiyyət təşkil edən bir ifadə əldə edildi. Bu, Miyaokanın bütün sübutunu mütləq etibarsız etməsə də, aşkar edilən uyğunsuzluq ədədlər nəzəriyyəsi ilə həndəsə arasındakı paralellik fəlsəfəsinə uyğun gəlmirdi.
İki həftə sonra, Miyaoke üçün yol açan Gerd Faltings, paralelliyin açıq şəkildə pozulmasının dəqiq səbəbini - əsaslandırmada boşluq olduğunu aşkar etdiyini bildirdi. Yapon riyaziyyatçısı həndəsə idi və öz fikirlərini ədədlər nəzəriyyəsinin daha az tanış olan ərazisinə çevirməkdə qətiyyən ciddi deyildi. Nömrə nəzəriyyəçiləri ordusu Miyaokinin dəlilindəki dəliyi düzəltmək üçün ümidsiz səylər göstərdi, lakin nəticəsiz qaldı. Miyaoka Fermatın Son Teoreminin tam sübutuna sahib olduğunu iddia etdikdən iki ay sonra riyaziyyat ictimaiyyəti yekdil nəticəyə gəldi ki, Miyaoka sübutu uğursuzluğa məhkumdur.
Əvvəlki uğursuz sübutlarda olduğu kimi, Miyaoka çox maraqlı nəticələr əldə etməyi bacardı. Onun sübutunun hissələri həndəsənin ədədlər nəzəriyyəsinə çox dahiyanə tətbiqləri kimi diqqətə layiqdir və sonrakı illərdə digər riyaziyyatçılar müəyyən teoremləri sübut etmək üçün onlardan istifadə etdilər, lakin heç kim Fermatın Son Teoremini bu şəkildə sübuta yetirə bilmədi.
Fermatın Son Teoremi ilə bağlı şırınga tezliklə sona çatdı və qəzetlər üç yüz illik tapmacanın hələ də həll olunmadığını söyləyən qısa qeydlər etdi. Səkkizinci küçədəki Nyu York metro stansiyasının divarında Fermatın Son Teoremi ilə bağlı mətbuat nəşrlərindən ilhamlanaraq, şübhəsiz ki, aşağıdakı yazı peyda oldu: "Tənlik xn + yn = zn həll yolları yoxdur. Mən bu faktın həqiqətən heyrətamiz sübutunu tapdım, amma qatarım gəldiyi üçün onu buraya yaza bilmirəm”.
10-cu fəsil timsah ferması Onlar arxa oturacaqlarda əyləşərək köhnə Conun maşını ilə mənzərəli yolda gedirdilər. Sükan arxasında parlaq rəngli köynəkdə, qəribə şəkildə kəsilmiş başı olan qara sürücü oturmuşdu. Tel kimi bərk qara saç kolları qırxılmış kəllədə yüksəldi, məntiq
Yarışa hazırlıq. Alyaska, Linda Pletnerin İditarod Farm Alyaskada illik it sürmə yarışıdır. Marşrutun uzunluğu 1150 mil (1800 km) təşkil edir. Bu, dünyanın ən uzun it sürmə yarışıdır. Başlanğıc (təntənəli) - 4 mart 2000-ci il Ankoricdən. Başlamaq
Keçi ferması Yayda kənddə iş çox olur. Biz Xomutets kəndində olanda orada ot biçilirdi və təzə biçilmiş otların ətirli dalğaları ətrafı sanki hopdurmuşdu.Otları vaxtında biçmək lazımdır ki, yetişməsin, onda qiymətli və qidalı hər şey onlarda qorunub saxlanılacaq. Bu
Yay ferması Saman, ildırım əli kimi, şüşə otun içinə Digəri hasara imza ataraq atın çənəsində yaşıl su stəkanının odunu yandırdı. Mavi alacakaranlığın içinə Gedin, yırğalanaraq, paralel xətlərin ruhunun izi boyunca doqquz ördək. Budur, heç nəyə baxmayan bir toyuq
Dağılmış ferma Sakit günəş, tünd qırmızı çiçək kimi, Yerə endi, qüruba doğru böyüdü, Amma boş gücdə gecə pərdəsi dünyanı büzdü, görünüşü pozdu. Sükut hökm sürdü damı olmayan fermada, Elə bil saçını kimsə qoparmışdı, Kaktus üstündə dava etdilər.
Ferma yoxsa həyət? 1958-ci il fevralın 13-də bütün mərkəzi Moskva, sonra isə regional qəzetlər Ukrayna Kommunist Partiyası Mərkəzi Komitəsinin “Zaporojye vilayətində kolxozçulardan inək alınmasında yol verilmiş səhv haqqında” qərarını dərc etdilər. Söhbət bütün bölgə haqqında deyil, onun iki rayonu haqqında idi: Primorski
Fermatın problemi 1963-cü ildə, onun cəmi on yaşı olanda, Endryu Uaylz artıq riyaziyyata heyran idi. “Məktəbdə problemləri həll etməyi sevirdim, onları evə aparırdım və hər problemdən yenisini çıxarırdım. Ancaq indiyə qədər rastlaşdığım ən yaxşı problemi yerli bir yerdə tapdım
Pifaqor teoremindən Fermatın sonuncu teoreminə qədər Pifaqor teoremi və sonsuz sayda Pifaqor üçlüyü E.T. Bellin "Böyük Problem" - Andrew Wiles-in diqqətini çəkən eyni kitabxana kitabı. Baxmayaraq ki, Pifaqorlular demək olar ki, tamamlandı
Fermatın Son Teoreminin sübutundan sonra riyaziyyat Qəribədir ki, Uaylzın özü məruzəsi ilə bağlı qarışıq hisslər keçirdi: “Çıxış üçün fürsət çox yaxşı seçilmişdi, lakin mühazirə özü məndə qarışıq hisslər oyatdı. Sübut üzərində işləyin
FƏSİL 63 Qoca Maklennon ferması "Noyabr axşamlarının" birində Nyu Yorka qayıtdıqdan təxminən ay yarım sonra telefon Lennonların mənzilində zəng çaldı.Telefonu Yoko götürdü.Puerto-Rikolu kişi səsi Yoko Ondan soruşdu.
Pontryagin teoremi Konservatoriya ilə eyni vaxtda atam Moskva Dövlət Universitetində, Mexanika və Riyaziyyat fakültəsində oxuyub. Onu müvəffəqiyyətlə bitirdi və hətta bir müddət peşə seçimində tərəddüd etdi. Musiqişünaslıq qalib oldu, nəticədə riyazi təfəkküründən bəhrələnib.Atamın tələbə yoldaşlarından biri
Teorem Dini birliyin keşiş seçmək hüququ ilə bağlı teorem isbat edilməlidir. Bu, belə oxunur: "Pravoslav icması yaradılır... icma tərəfindən seçilmiş və yeparxiya yepiskopunun xeyir-duasını almış bir keşişin ruhani rəhbərliyi altında."
I. Ferma (“Burada, toyuq peyinindən...”) Budur, toyuq peyinindən Bir qurtuluş süpürgədir. Sevgi - hansı sayılır? - Məni toyuq hininə apardılar. Taxıl dəyir, toyuqlar qışqırır, xoruzlar mühüm əhəmiyyət kəsb edir. Və ölçüsüz və senzurasız Şeirlər ağılda qurulur. Provans günortası haqqında