WikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 98 человек(а).

Если математика не ваш конек, и дается она вам не без труда, прочтите эту статью до конца, и вы узнаете, как улучшить свои математические навыки и добиться успехов в изучении этого непростого предмета.

Шаги

Просите о помощи.

• Во время урока просите объяснить вам значение того или иного понятия. Если ответ все-таки не проливает свет на все темные пятна, останьтесь после урока и поговорите с учителем еще раз. Может быть, в беседе один на один он объяснит вам материал поподробнее и больше того, что уместилось в урочное время.

1. Удостоверьтесь, что понимаете значение всех слов. Математика, если говорить о задачах более высокого уровня, представляет собой, как правило, набор простых операций. Например, при умножении используется сложение, а при делении не обойтись без вычитания. До того, как вы усвоите какое-либо понятие, вам необходимо разобраться в том, какие математические операции оно в себя включает. С каждым математическим термином (например, «переменная») поступайте так:

   • Выучите определение в учебнике: «Символ для неизвестного нам числа, как правило, обозначается буквами, например, x или y.»
   • Упражняйтесь в решении примеров по теме. Например, "4x - 7 = 5," где x – неизвестная переменная, а 4, 7 и 5 – «константы» (определение для этого понятия тоже нужно посмотреть в учебнике).

2. Уделяйте особое внимание изучению математических правил. Свойства, формулы, уравнения и методы решения задач – все это основные инструменты математической науки. Научитесь полагаться на них так же, как хороший плотник полагается на свои пилу, рулетку, молоток и т. д.

   Принимайте активное участие в классной работе. Если не знаете ответа на вопрос, попросите объяснения. Расскажите учителю, что именно вы уже поняли, чтобы он смог уделить больше внимания тем моментам, которые вызвали у вас затруднение.

   • Рассмотрим ситуацию на примере упомянутой выше задачи с переменной. Скажите учителю так: «Я понимаю, что если умножить на 4 неизвестную переменную (x), отнять 7, то получится 5. С чего мне начать решение?» Теперь учитель будет знать, что именно вызывает у вас трудность и как вовлечь вас в решение задания. А вот если бы вы сказали просто: «Я не понимаю», - учитель мог бы подумать, что ему нужно прежде всего объяснить вам, что такое переменная и константа.
   • Никогда не бойтесь задавать вопросы. Даже Эйнштейн задавал вопросы (а потом сам же и отвечал на них)! Решение не придет к вам само собой, если вы будете бездействовать. Не хотите спрашивать учителя, тогда попросите помощи у соседа по парте или приятеля.

3. Ищите помощь извне. Если все-таки вам еще нужна помощь, а учитель не может объяснить вам материал так, чтобы вы поняли, попросите порекомендовать вам кого-нибудь для более обстоятельных занятий. Узнайте, может быть, есть какие-нибудь специальные курсы или репетиторские программы, или попросите учителя позаниматься с вами до или после школьных занятий.

   • Наряду с различными способами изучения материала (аудио-, визуальное восприятие и т.д.) существуют и различные подходы в преподавании. Если вы лучше всего воспринимаете информацию визуально, а ваш учитель, пусть и самый лучший в мире, ориентируется в процессе обучения на тех, кто хорошо воспринимает информацию на слух, то вам будет тяжело заниматься с таким педагогом. Поэтому было бы полезно получить дополнительную помощь от тех, кто обучает таким методом, какой удобнее именно для вас.

4. Записывайте каждое действие в решении. Например, при решении уравнений разделите свое решение на отдельные действия и запишите все, что вы сделали прежде, чем перейти к следующему действию.

   • Подробная запись поможет проследить путь решения и найти ошибки.
   • Пошаговое письменное решение покажет вам, где именно вы ошиблись.
   • Записывая каждое действие в математическом решении, вы еще раз повторите и лучше запомните то, что уже знали.

5. Старайтесь решать все задания, которые вам были заданы. После нескольких примеров вы набьете руку. Если задания все еще даются с трудом, то вы поймете, где именно у вас возникают сложности.

6. Просмотрите свои уже проверенные учителем задания. Изучите его пометки и исправления и разберите свои ошибки. Если не все понятно, попросите учителя разобраться вместе.

   • Не стесняйтесь просить о помощи, учитесь на своих ошибках!
   • Даже если математика для вас трудновата, не бойтесь ее. Волнение только все усложняет. Вместо этого наберитесь терпения и постепенно, шаг за шагом изучайте ее.
   • Не забывайте делать домашнее задание! Можете даже составлять свои собственные примеры и задачи, чтобы потренироваться.
   • Не сидите сложа руки из-за страха ошибиться. Пытайтесь что-нибудь решить, даже если не до конца уверены в правильности вашего решения.
   • Спрашивайте, если не понимаете. Попросите учителя объяснить то, что вам непонятно, во время урока или после. Не позволяйте страху бежать впереди паровоза. Не теряйте веры в себя и не обращайте внимания на других.
   • Когда арифметика останется позади, и вы будешь изучать алгебру и геометрию, знайте, что все то новое, что вы будете проходить в этих разделах математики, будет основано на уже изученном ранее материале. Так что убедитесь, что хорошо усвоили каждый свой урок прежде, чем двигаться дальше.
   • Вам будет гораздо проще, если вы будете показывать учителю свою работу.
   • Всегда обращайтесь за помощью к учителю, если что-то не понимаете.
   • Старайтесь понимать все, что вы делаете, а не просто бездумно решайте схожие задания одинаковым способом. Скажем, если вы учитесь складывать большие числа, то подумайте, почему число, обозначающее десятки, нужно прибавлять к сумме в следующем столбце. А если все-таки еще не понимаете, то спросите.
   • Нравится нам это или нет, но умение быстро и правильно считать играет важную роль и в нашей деловой, и в личной жизни.
   • Получайте удовольствие. Ведь даже если пока вам это и не очень-то интересно, тем не менее, математика может быть воистину прекрасна в своей элегантной упорядоченности.
   • Занимайтесь математикой не менее получаса в день.

"Нет ни одного ребенка не способного, бездарного. Важно, чтобы этот ум, эта талантливость стали основой успехов в учении, чтобы ни один ученик не учился ниже своих возможностей" (Сухомлинский В.А.)

В чём же заключаются математические способности? Или они есть не что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой .

Большое значение в психологии придается проблеме способностей вообще и проблеме способностей школьников в частности. Целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности.

В науке, в частности, в психологической, продолжается дискуссия о самой сущности способностей, их структуре, происхождении и развитии. Не вдаваясь в детали традиционных и новых подходов к проблеме способностей, укажем на некоторые основные спорные пункты различных точек зрения психологов на способности. Однако среди них нет единого подхода к данной проблеме .

Различие в понимании сущности способностей обнаруживается, прежде всего, в том, рассматриваются ли они как социально приобретенные свойства или же признаются как природные. Одни авторы под способностями понимают комплекс индивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющихся условием успешного ее выполнения, которые не сводятся к подготовленности, к имеющимся знаниям, умениям и навыкам. Здесь следует обратить внимание на несколько фактов. Во-первых, способности - это индивидуальные особенности, то есть то, что отличает одного человека от другого. Во-вторых, это не просто особенности, а психологические особенности. И, наконец, способности это не всякие индивидуально-психологические особенности, а лишь те, которые соответствуют требованиям определенной деятельности .

При другом подходе, наиболее ярко выраженном у К.К. Платонова, способностью считается любое качество "динамической функциональной структуры личности", если оно обеспечивает успешное освоение и выполнение деятельности. Однако, как отмечал В.Д. Шадриков, "при таком подходе к способностям онтологический аспект проблемы переносится на задатки , под которыми понимаются анатомо-физиологические особенности человека, составляющие основу развития способностей. Решение психофизиологической проблемы заводилось в тупик в контексте способностей как таковых, поскольку способности, как психологическая категория не рассматривались как свойство мозга. Не более продуктивен и признак успешности, ибо успешность деятельности определяется и целью, и мотивацией, и многими другими факторами". Согласно его теории способностей, продуктивно определить способности как особенности можно только по отношению к их единичному и всеобщему .

Всеобщим (общим) для каждой способности В.Д. Шадриков называет свойство, на основе которого реализуется конкретная психическая функция. Каждое свойство представляет собой сущностную характеристику функциональной системы. Именно для того чтобы реализовать это свойство, формировалась конкретная функциональная система в процессе эволюционного развития человека, например свойство адекватно отражать объективный мир (восприятие) или свойство запечатлевать внешние воздействия (память) и так далее. Свойство проявляется в процессе деятельности. Таким образом, теперь можно определить способности с позиции всеобщего как свойство функциональной системы, реализующее отдельные психические функции .

Различают два вида свойств: те, которые не обладают интенсивностью и поэтому не могут ее менять, и те, которые обладают интенсивностью, то есть могут быть больше или меньше. Гуманитарные науки имеют дело главным образом со свойствами первого вида, естественные со свойствами второго вида. Психические функции характеризуются свойствами, которые обладают интенсивностью, мерой выраженности. Это позволяет определить способности с позиции единичного (отдельного, индивидуального). Единичное будет представлено мерой выраженности свойства;

Таким образом, согласно представленной выше теории, способности можно определить как свойства функциональных систем, реализующих отдельные психические функции, которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности и качественном своеобразии освоения и реализации деятельности. При оценке индивидуальной меры выраженности способностей целесообразно использовать те же параметры, что и при характеристике любой деятельности: производительность, качество и надежность (в плане рассматриваемой психической функции).

Одним из инициаторов изучения математических способностей школьников был выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Он констатировал специфичность творческих математических способностей и выделил их важнейший компонент - математическую интуицию. С этого времени началось изучение этой проблемы. Впоследствии психологи выделили три вида математических способностей - арифметические, алгебраические и геометрические. При этом оставался неразрешимым вопрос о наличии математических способностей .

В свою очередь, исследователи В. Хаекер и Т. Циген выделили четыре основных сложных компонента: пространственный, логический, числовой, символический, являющихся "ядром" математических способностей. В этих компонентах они различали понимание, запоминание, оперирование .

Наряду с основным компонентом математического мышления - способностью к избирательному мышлению, к дедуктивному рассуждению в числовой и символической сферах, способностью к абстрактному мышлению, А. Блекуэлл выделяет еще и способность к манипулированию пространственными объектами. Также он отмечает вербальную способность и способность сохранять в памяти данные в их точном и строгом порядке и значении .

Значительная часть их представляет интерес и сегодня. В книге, которая в оригинале названа "Психология алгебры", Э. Торндайк формулирует сначала общие математические способности : умение обращаться с символами, выбирать и устанавливать соотношения, обобщать и систематизировать, определенным образом выбирать существенные элементы и данные, приводить в систему идеи и навыки. Он выделяет также специальные алгебраические способности : возможность понимать и составлять формулы, выражать в виде формулы количественные соотношения, преобразовывать формулы, составлять уравнения, выражающие данные количественные отношения, решать уравнения, выполнять тождественные алгебраические преобразования, графически выражать функциональную зависимость двух величин и т.д.

Одно из самых значительных со времени выхода работ Э. Торндайка исследований математических способностей принадлежит шведскому психологу И. Верделину. Он дает весьма широкое определение математических способностей, в котором отражает репродуктивный и продуктивный аспекты, понимание и применение, но основное внимание он уделяет важнейшему из этих аспектов - продуктивному, который исследует в процессе решения задач. Ученый полагает, что на характере математических способностей может сказываться метод обучения .

Крупнейший швейцарский психолог Ж. Пиаже придавал большое значение мыслительным операциям, выделяя в онтогенетическом развитии интеллекта стадию малоформализированных конкретных операций, связанных с конкретными данными, и стадию обобщенных формализированных операций, когда организуются операторные структуры. Он соотносил последние с тремя фундаментальными математическими структурами, которые выделены Н. Бурбаки: алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Ж. Пиаже обнаруживает все типы этих структур в развитии арифметических и геометрических операций в сознании ребенка и в особенностях логических операций. Отсюда делается вывод о необходимости синтеза математических структур и операторных структур мышления в процессе преподавания математики .

В психологии исследованием проблемы математических способностей занимался В.А. Крутецкий. В своей книге "Психология математических способностей школьников" он приводит следующую общую схему структуры математических способностей школьников. Во-первых, получение математической информации - способность к формализированному восприятию математического материала, схватыванию структуры задачи. Во-вторых, переработка математической информации - способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики, способность мыслить математическими символами, способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий, способность к свертыванию процесса математических рассуждений и системы соответствующих действий, способность мыслить свернутыми структурами. Также необходима гибкость мыслительных процессов в математической деятельности, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений. Существенную роль играет тут способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении). В-третьих, хранение математической информации - математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). И, наконец, общий синтетический компонент - математическая направленность ума. Все приведенные выше исследования позволяют утверждать, что фактор общих математических рассуждений лежит в основе общих умственных способностей, и математические способности имеют общеинтеллектуальную основу .

Из различного понимания сущности способностей вытекает различный подход к раскрытию их структуры, которая у разных авторов предстает в виде набора разных качеств, классифицируемых по разным основаниям и находящихся в разном соотношении.

Нет однозначного ответа и на вопрос о генезисе и развитии способностей, их связи с деятельностью. Наряду с утверждением, что способности в своей родовой форме существуют у человека до деятельности как предпосылка ее реализации. Высказывалась и другая, противоречивая точка зрения: способности не существуют до деятельности Б.М. Тепловым. Последнее положение заводит в тупик, так как непонятно, каким образом начинает совершаться деятельность без способностей к ней. В действительности способности на определенном уровне их развития существуют до деятельности, а с началом ее проявляются и затем развиваются в деятельности, если она предъявляет все более высокие требования к человеку .

Однако это не раскрывает соотношения навыков и способностей. Решение этой проблемы предложил В.Д. Шадриков. Он считает, что суть онтологических различий способностей и навыков заключается в следующем: способность описывается функциональной системой, одним из ее обязательных элементов является природный компонент, в качестве которого выступают функциональные механизмы способностей, а навыки описываются изоморфной системой, одним из ее главных компонентов являются способности, выполняющие в этой системе те функции, которые в системе способностей реализуют функциональные механизмы. Таким образом, функциональная система навыков как бы произрастает из системы способностей. Это система вторичного уровня интеграции (если принять систему способностей за первичную) .

Говоря о способностях вообще, следует указать, что способности бывают разного уровня учебные и творческие. Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнения деятельности, приобретением знаний, умений и навыков. Творческие способности связаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новых способов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, например, способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности. Но, как писал Ж. Адамар, "между работой ученика, решающего задачу …, и творческой работой разница лишь в уровне, так как обе работы аналогичного характера" .

Природные предпосылки имеют значение, однако, они не являются собственно способностями, а являются задатками. Сами по себе задатки не означают, что у человека разовьются соответствующие способности. Развитие способностей зависит от многих социальных условий (воспитание, потребность в общении, система образования).

Виды способностей:

1. Природные (естественные) способности.

Являются общими для человека и животных: восприятие, память, способность к элементарной коммуникации. Данные способности непосредственно связаны с врожденными задатками. На базе этих задатков у человека, при наличии элементарного жизненного опыта, через механизмы учения, формируются специфические способности.

2. Специфические способности.

Общие: определяют успехи человека в различных видах деятельности (мыслительные способности, речь, точность ручных движений).

Специальные: определяют успехи человека в специфических видах деятельности, для осуществления которых необходимы задатки особого рода и их развитие (музыкальные, математические, лингвистические, технические, художественные способности).

Кроме того, способности делят на теоретические и практические. Теоретические предопределяют склонность человека к абстрактно-теоретическим размышлениям, а практические - к конкретным практическим действиям. Чаще всего теоретические и практические способности не сочетаются друг с другом. Большинство людей обладают или одним, или другим типом способностей. Вместе они встречаются крайне редко.

Существует также деление на учебные и творческие способности. Первые определяют успешность обучения, усвоения знаний, умений и навыков, а вторые определяют возможность открытий и изобретений, создания новых предметов материальной и духовной культуры.

3. Творческие способности.

Это в первую очередь умение человека находить особый взгляд на привычные и повседневные вещи или задачи. Это умение напрямую зависит от кругозора человека. Чем больше он знает, тем легче ему взглянуть на исследуемый вопрос с разных ракурсов. Творческая личность постоянно стремится больше узнать об окружающем мире не только в области своей основной деятельности, но и в смежных отраслях. В большинстве случаев творческий человек - это в первую очередь оригинально мыслящий человек, способный на нестандартные решения.

Уровни развития способностей:

• 1) Задатки - природные предпосылки способностей;
• 2) Способности - сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств и компонентов;
• 3) Одаренность - своеобразное сочетание способностей, которое обеспечивает человеку возможность успешного выполнения какой-либо деятельности;
• 4) Мастерство - совершенство в конкретном виде деятельности;
• 5) Талант - высокий уровень развития специальных способностей (это определенное сочетание высокоразвитых способностей, т.к. изолированная способность, даже очень высокоразвитая, не может быть названа талантом);
• 6) Гениальность - высший уровень развития способностей (за всю историю цивилизации было не более 400 гениев).

Общие умственные способности - это способности, которые необходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. К общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как умственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание. Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваивается на фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности .

Как отмечает В.Д. Шадриков, "специальные способности" есть общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности". Специальные способности это способности, которые необходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определенной деятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных способностей. Например, в составе математических способностей большую роль играет математическая память; способность к логическому мышлению в области количественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщение математического материала; легкое и свободное переключение от одной умственной операции к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональности рассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневой способностью математической направленностью ума (под которой понимают тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости), связанной с потребностью в математической деятельности.

А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода есть основной элемент математического творчества .

Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить "свернутыми”, крупными единицами и "экономно", без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли .

Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Выделение наиболее важных компонентов математических способностей представлено на рисунке 1:

Рисунок 1

Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики".

В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными.

Итак, В.А. Крутецкий различает девять компонентов математических способностей:

• 1. Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
• 2. Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;
• 3. Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
• 4. Способность к "последовательному, правильно расчлененному логическому, рассуждению", связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
• 5. Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
• 6. Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);
• 7. Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
• 8. Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;
• 9. Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия .

Кроме перечисленных, есть и такие компоненты, наличие которых в структуре математических способностей, хотя и полезно, не обязательно. Учителю, прежде чем относить ученика к числу способных или неспособных к математике, необходимо это учитывать. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

• 1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.
• 2. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Ученик может размышлять неторопливо, медленно, но обстоятельно и глубоко.
• 3. Способности к быстрым и точным вычислениям (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей.
• 4. Память на цифры, числа, формулы. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко. Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе "обобщение математических понятий" и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и "сужению" математических понятий. В указанном компоненте, можно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным .

Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств: активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность. Также можно выделить ряд характеристических черт, таких как: трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.

Наличие во времени осуществления деятельности благоприятных для выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего "психического" самочувствия и т.д. Определенный фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области. Определенные индивидуально-психологические особенности в сенсорной и умственной сферах, отвечающие требованиям данной деятельности .

Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников .

Исследование математических способностей учащихся // Мониторинг образовательной системы современной школы: Учебное пособие / В. А. Антипова, Г. С. Лаптева, Д. М. Земницкий, С. Ф. Хлебунова, А. А. Кряжевских. – Ростов н/Д.: Изд – во РО ИПК и ПРО, 1999. – С. 84 – 90.

В качестве основы изучения математических способностей учащихся можно использовать специальное исследование структуры математических способностей (МС) школьников, проведённое В.А Крутецким. Под спо­собностями к изучению математики он понимает индивидуально-психологические способности, отвечающие требованиям учебной матема­тической деятельности, обуславливающие при прочих равных условиях ус­пешность творческого овладения математикой как учебном предмете. В структуре математических способностей (в дальнейшем по тексту обозна­чается - структура МС) выделяются следующие основные компоненты:

1. Способность к формализованному восприятию математического материала, осмыслению формальной структуры задачи.

2. Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

3. Способность к свёртыванию математического рассуждения или со­ответствующих действий. Способность осмыслить свёрнутые структуры.

4. Гибкость мыслительных процессов при выполнении заданий по ма­тематике.

5. Способность к быстрому и свободному переконструированию мыс­лительных процессов, их переключению в противоположном направлении.

6. Стремления к ясности, простоте, экономности и рациональности решения.

7. Математическая память (обобщённая память, проявляющаяся в структурировании математических схем, рассуждений, доказательства способов решения задач и их анализа).

Методика исследования. Основным методом исследования является анализ процесса решения учащимися экспериментальных задач констати­рующего и обучающего характера, направленный на выявление их индиви­дуально-психологических способностей, проявляющихся в математической деятельности. Составляется 3 комплекта заданий, в каждый из которых входит до 10 задач различной степени сложности и направленной диагно­стики.

Задания первого компонента направлены на определение, так назы­ваемого, уровня остаточных знаний школьников по математике; выполнение заданий учащимися позволяет сделать первые предположения об их математическом развитии (п. п. 6, 7 структуры МС).

Второй компонент содержит диагностику гибкости мышления, спо­собностей к обобщению материала, своеобразия математической памяти учащегося, позволяющих одновременно выяснить особенности восприятия учащимися условий задач с излишними и недостающими знаниями, либо с не сформулированным условием. Учёт возрастных особенностей школьни­ков производится на содержательном уровне (задачи комплекта п.п. 1 - 4 структуры МС).

Третий компонент содержит задания, позволяющие выяснить спо­собности учащегося к анализу предложенного материала, выявлению зако­номерностей, формулированию правил на основе математического анали­за, в том числе и индивидуального; здесь же дублируются задания на ис­следование гибкости мышления и контроль математической памяти уча­щихся. Замечания по содержанию те же, что и для заданий второго компо­нента (п.п. 3-7 структуры МС).

Организация исследования. Для решения вопросов, связанных с фор­мированием классов с углубленным изучением математики на основе изу­чения математических способностей школьников, в течение учебного года проводятся экспериментальные занятия с учащимися 3-х и 7-х классов. Эти занятия позволяют познакомиться с самими учащимися, получить предварительные субъективные данные о характере их способностей к обучению математике. Так, например, проводятся целенаправленные на­блюдения за поведением ученика на уроках, анализируется качество и стиль письменных работ, учитывается характеристика ученика преподава­телями начальных классов и других учебных дисциплин в основной школе, проводятся беседы со школьниками, используются специальные диагно­стические шкалы с целью выявления его индивидуальных интересов. Вы­полнение комплектов заданий осуществляется в виде экспериментальных занятий, но во время учебных часов, в обычном рабочем режиме урока. На выполнение таких диагностических заданий учителем планируется от 25 до 40 минут. Обычно учителя готовят с данной целью специальный комплект карточек с заданиями (Е.А. Задорожная).

Приведем примеры комплектов заданий для учащихся 3-х классов.

Комплект №1. Вариант I.

1. Решение уравнения:

а) Х + 467 = 1500; б) 510 - Х= 143; в) 31 Х = 341; г) у: 14 = 35.

2. Выполните действия:

а) 60 – 3 8 + 5 9; б) (35 - 6) (21-19); в) 64 - 64:(32 - 24);

г) 1000 - 57 11.

Вариант 2.

1. Решите уравнение:

а) у + 384 = 1200; б) Х - 214 = 515; в) 26 А=546; г) X: 13 = 37.

2. Выполните действия:

а) 40 + 6 8 - 4 7; б) (25-13) (32 + 7); в) 75 - 74: (41 - 4);

г) 1200 – 56 12.

Комплект № 2 . Вариант 1.

1. Решите задачу и выпишите “лишние” данные:

Когда я зашёл в магазин, у меня было 1000 руб. Я купил 5 тетрадей по 30 руб. за штуку, 1 линейку за 100 руб., 2 резинки по 40 руб., ручку и кни­гу. У меня осталось 100 руб. Сколько денег я потратил?

2. Сформулируйте и напишите вопрос, который следует поставить к предлагаемому условию задачи:

Теплоход прошёл расстояние между городами за 2 часа, а обратный путь за 3 часа? _____________________________________________________

3. Дополните условия задачи так, чтобы данных было достаточно для её решения:

4. Придумайте задачу, которую можно решить с помощью уравнения и запишите её условие: X + 17 + (17 - 6) = 34.

Вариант 2.

1. Решите задачу и выпишите “лишние” данные: На заводе работает 5647 человек, из них 2537 женщины. В сварочном цехе работает 1312 человек, а в красильном 911, в отделочном - 2499, а ос­тальные - администрация завода. Сколько на заводе работает мужчин?___________________________________________________________

1.2 Математические способности и их структура

Так в чем же заключаются математические способности? Или они есть ни что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой.

Пытаясь разобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовской выделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указывает свойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Для успешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческое воображение: “При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение” (65, с.495). Второй составляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательные мыслительные процессы.”Мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину” (65, с.496). Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно из характерных свойств математической способности ¾ “способность обнимать умом зараз два совершенно разнородных предмета” (65, с.496) (то есть остроумие ¾ это способность объединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) ¾ и, наконец, быстроту математического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализе математической способности следует резко отличать склонность к известному роду занятий от способностей (65, 66).

А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода ¾ есть основной элемент математического творчества (74).

Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли (13).

Б.А. Кордемский не говорит о математических способностях, а выделяет элементы математического мышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему, стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи), гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности) (42, 43). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которыми понимает “упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач”(42, с.34).

Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности ¾ это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: ”Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности(прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики” 948, с.41). В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными. Итак, В.А. Крутецкий различает девять способностей (компонентов математических способностей):

Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

Способность к “последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”, связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;

Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;

Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия.

Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко (20). Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе “обобщение математических понятий” и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и “сужению” математических понятий. В указанном компоненте возможно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным. Мышление увлеченных математикой школьников отличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, не связанными с предыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающими из них, а иногда и вступающими в противоречие с ними. Указанная особенность математического поведения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у них элементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом, побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет их великий интерес к математике. Он так же отметил и особое увлечение способных учеников сложными математическими проблемами. З.П. Горельченко отмечает, что “подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие математики и решение которых до сих пор не найдено“ (20, с.11). Таким образом, естественное влечение отдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам свидетельствует о склонности их к серьезной математической работе, о наличии у них способностей к успешным занятиям математикой. Отмечается и такая характерная особенность способных к математике учащихся, как переувлечение математической работой с невозможностью быстро выключиться из процесса математических размышлений. Как правило, для переключения на новую, не математическую работу увлеченным математикой учащимся требуется времени гораздо больше, чем ученикам, не отличающимся особой склонностью к такого рода занятиям. Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников. Следует отметить и сравнительно большую скорость продвижения способных учащихся в овладении математическими знаниями и повышенную быстроту решения математических задач. Как правило, у наиболее способных к математической работе учащихся скорость восприятия и усвоения новых знаний повышенная. Считая это качество с большой вероятностью одним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием наличия математических способностей, следует рассматривать это условие, как компонент их структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальная ориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников. И, наконец, выделяется такой компонент структуры математических способностей, как характерные особенности памяти учащихся способных к математике. Наиболее способные к математике в процессе математической работы ориентируют свое мышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем на запоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять не только отдельные математические факты, но и основные идеи, связывающие их друг с другом и остальным усвоенным ранее математическим материалом, четко определить логическое место новых познаваемых фактов в общей системе определенных математических знаний.

Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств:

Активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность.

Ряда характерологических черт; прежде всего трудолюбия, организованности, самостоятельности, целеустремленности, настойчивости, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.

Наличия во времени осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего “психического” самочувствия и так далее.

Но все они сходятся в одном, что игра является способом развития личности, обогащения ее жизненного опыта. - Из всего многообразия игр можно выделить математическую игру, как средство развития познавательного интереса учащихся к математике. Использование математической игры во внеклассной работе по математике наиболее эффективно способствует возникновению интереса у учащихся к математике. - ...

Говоря о том, что некоторые виды технических средств обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения. Олимпиада одна из основных форм организации внеклассной работы по математике. Термин «олимпиада» проявился давно, хотелось бы вспомнить об истории отечественной математической олимпиады. Сначала о ней говорили в единственном числе, поскольку она организовывалась...

Монету второй раз не бросают), в четвертом - второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при...

«Очень большой и сложный вопрос: имеются ли у данного ученика математические способности или нет?

Прежде всего, что понимать под наличием способностей: творческие способности или же способность успешно преодолеть школьную программу по математике, программу втуза?

Слишком большой разброс начальных данных в исходном материале: одни не научились учиться и считают, что если они запомнили без понимания правила, методы решения, то это всё, что от них требуется; других же с раннего детства приучили прежде понимать, а потом запоминать, и к самостоятельному поиску решений; третьих - пользоваться правилами решения, придуманных для разных типов задач, но не самостоятельно мыслить.

Третий тип хорошо известен преподавателям, они знают этих натасканных на правилах мальчиков и девочек, у которых моментально слетают с языка заученные формулировки, но нет привычки искать самостоятельное решение.

Мне приходилось встречаться со школьниками всех трёх указанных типов первоначальной математической подготовки. Конечно, те, кто привык понимать и самостоятельно мыслить, резко выделялись на фоне остальной серенькой массы. Но затем, когда после двух-трёх лет переподготовки и остальные подходили к необходимости понимания материала и отказывались от привычки зазубривания без понимания, появлялись и в их среде яркие личности, способные вносить нечто новое , предлагать неожиданные решения, проявлять свои истинные способности.

Моё убеждение, что способности к хорошему познанию математики, по крайней мере школьной и вузовской, имеют все нормальные дети. Их только нужно научить учиться. Научить пользоваться тем даром, которым наделила человека природа - способностью мыслить. Некоторые школьники буквально менялись коренным образом, когда в их первоначальном математическом образовании удавалось ликвидировать пропуски в знаниях и умениях. Поэтому я резко осуждаю тех, кто слишком рано приклеивает к тому или иному учащемуся ярлык неспособного к математике. Я позволю себе в качестве примера привести самого себя: включительно до шестого класса мне тяжело давалась математика, я испытывал постоянный страх перед задачами.

Я помню, как говорил родителям: «как бы было хорошо учиться, если бы не было математики». В 1925 г. семья переехала в Саратов. Обнаружилось, что в саратовской школе прошли по математике больше, и мне пришлось догонять класс. Я самостоятельно изучил нужные разделы и обратился к прежнему материалу, в котором у меня также оказались пробелы.

Затем мне на глаза попался сборник конкурсных задач, предлагавшихся при поступлении в Петербургский институт путей сообщения. Я перерешал значительное число задач самостоятельно. Через полгода я прослыл лучшим учеником класса по математике. Всё дело в том, что при самостоятельной работе над учебником я доводил дело до понимания и только затем шёл дальше, предварительно закрепляя пройденный материал самостоятельным решением задач. Затем в университете я также занял положение математического лидера, хотя речь шла только об учебном процессе, а не о собственном творчестве. Потребовалось много лет, чтобы я выдвинул проблемы для исследования и начал влиять на творческие интересы других.

Будучи студентом университета, я придерживался такого правила: внимательно слушал лекции, в тот же день просматривал сделанные краткие записи и расширял полученные сведения, прочитывая соответствующие места учебника. Изученное немедленно закреплял несколькими самостоятельно решенными задачами. Такой способ повторения помогал мне избегать горячки перед экзаменами. Мне достаточно было освежить в памяти ранее изученное.

Я никогда не позволял себе идти дальше, не поняв предыдущего. Пожалуй, имеет смысл сказать, что сразу же после лекций, после обдумывания, я вкратце записывал содержание лекции, уделяя внимание четкости формулировок определений и теорем. Дополнительные сведения, почерпнутые из книг, я также помещал после записи содержания лекции. Мои записки пользовались успехом на курсе, их брали, переписывали, просили на время каникул для пересдачи. В результате мне не удалось сохранить ни одной такой тетради, все они разошлись по рукам.

Я считаю, что составление записок мне принесло двойную пользу. Во-первых, я с самого начала изучал как следует всё новое, что нам излагалось и, во-вторых, я приучался кратко излагать то основное, что следовало знать и уметь применять. Эта привычка к кратким и чётким формулировкам сохранилась у меня на всю дальнейшую жизнь.

Если говорить о способностях воспринимать курс школьной и вузовской математики, то я убеждён в том, что в большинстве случаев отсутствие способностей приписывают тем, кто не хочет учиться или же имеет серьёзные пробелы в предшествующих частях курса и не считает нужным восстановить своевременно непознанное. Многолетний опыт общения со студентами, школьниками и их родителями убедил меня в том, что, как правило, неудачи усвоением курса математики связаны не с отсутствием математических способностей, а с отсутствием прочных знаний фундаментальных понятий, с ленью ума, которая мешает систематической работе над материалом, и со стремлением се познание свести к запоминанию без понимания. Мы же должны помнить, что только в самостоятельном преодолении трудностей - ключ к познанию и уверенности в своих гениях и знаниях.

В подавляющем большинстве случаев, когда говорят об отсутствии у учащегося математических способностей для познания обязательного курса, речь должна идти о другом - либо о неумении, либо о нежелании учиться.

Заключение же об отсутствии способностей обычно педагогически необосновано и вредно. Такое заключение способно угнетающе подействовать на психику учащегося. Это во-первых. А во-вторых, оно как бы выдает индульгенцию лентяю или же не научившемуся учиться.

Умение учиться не приходит само собой, а нуждается в систематическом воспитании, постоянном внимании учителей и серьёзных усилиях учащихся. Цель школьного обучения состоит не в том, чтобы перегрузить память учащихся сведениями, которые не превращаются в орудие труда, а в том, чтобы сделать ум пытливым, подвижным, способным анализировать новые ситуации, находить подходы к решению возникающих проблем. Тот, кто делает ставку только на память, на зубрёжку, отключает мысль, разум от работы по познанию. Память обязана играть роль активного помощника разума, и не следует навязывать ей несвойственную роль единственного средства познания. В памяти должны храниться основные сведения и идеи, которые по мере надобности превращаются в активные методы.

Точно так же невозможно научить говорить на чужом языке, если только снабдить память словами и правилами. Этого мало. Необходимо ещё приучить человека активно пользоваться полученным запасом знаний. А для этого нужно говорить, т. е. заставлять знания не лежать мертвым грузом в недрах памяти, а активно действовать. Для математики упражнения на решение задач, на проведение логических заключений так же обязательны, как разговор на чужом языке при его изучении».

Гнеденко Б.В., Математика и жизнь, М., «Комкнига», 2006 г., с.118-121.