Qeyri-xətti tənliklərin həlli

Tənliyi həll etmək tələb olunsun

Harada
qeyri-xətti davamlı funksiyadır.

Tənliklərin həlli üsulları birbaşa və iterativ olaraq bölünür. Birbaşa üsullar düsturdan istifadə edərək həlli hesablamağa imkan verən üsullardır (məsələn, kvadrat tənliyin köklərini tapmaq). İterativ üsullar bəzi ilkin yaxınlaşmanın verildiyi və dəqiq həllə yaxınlaşan yaxınlaşma ardıcıllığının qurulduğu, hər bir sonrakı yaxınlaşmanın əvvəlkilərdən istifadə olunmaqla hesablandığı üsullardır.

Problemin tam həllini 3 mərhələyə bölmək olar:

(1) tənliyinin köklərinin sayını, xarakterini və yerini təyin edin.

Köklərin təxmini dəyərlərini tapın, yəni. köklərin tapılacağı boşluqları göstərin (kökləri ayırın).

Tələb olunan dəqiqliklə köklərin dəyərini tapın (kökləri göstərin).

İlk iki məsələnin həlli üçün müxtəlif qrafik və analitik üsullar mövcuddur.

(1) tənliyinin köklərini ayırmaq üçün ən illüstrativ üsul funksiya qrafikinin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin etməkdir.
absis oxu ilə. Absis qrafik kəsişmə nöqtələri
ox ilə
(1) tənliyinin kökləridir

(1) tənliyinin köklərinin təcrid intervalları seqmentdə kəsilməz olan funksiyaların xassələrinə dair teoremlərə əsaslanaraq analitik yolla əldə edilə bilər.

Əgər, məsələn, funksiya
seqmentdə davamlıdır
və
, onda Bolzano-Koşi teoreminə görə, interval üzrə
(1) tənliyinin ən azı bir kökü var (tək sayda kök).

Əgər funksiyası
Bolzano-Koşi teoreminin şərtlərini ödəyir və bu seqmentdə monotondur, sonra
(1) tənliyinin yalnız bir kökü var
şərtlər yerinə yetirildikdə yeganə kök:

Əgər funksiya verilmiş intervalda davamlı olaraq diferensiallana bilirsə, o zaman Rol teoreminin nəticəsini istifadə etmək olar, ona görə bir cüt kök arasında həmişə ən azı bir stasionar nöqtə var. Bu vəziyyətdə problemin həlli alqoritmi aşağıdakı kimi olacaq:

Kökləri ayırmaq üçün faydalı bir vasitə də Şturm teoremindən istifadə etməkdir.

Üçüncü məsələnin həlli müxtəlif iterativ (ədədi) üsullarla həyata keçirilir: dixotomiya üsulu, sadə təkrarlama üsulu, Nyuton üsulu, akkord üsulu və s.

Misal Gəlin tənliyi həll edək
üsul sadə iterasiya. Gəlin təyin edək
. Funksiyanın qrafikini quraq.

Qrafik tənliyimizin kökünün seqmentə aid olduğunu göstərir
, yəni.
tənliyimizin kökünün izolyasiya seqmentidir. Gəlin bunu analitik olaraq yoxlayaq, yəni. şərtlərin yerinə yetirilməsi (2):

Xatırladaq ki, sadə iterasiya metodunda ilkin tənlik (1) formaya çevrilir
və təkrarlamalar düsturla aparılır:

(3)

Formula (3) uyğun olaraq hesablamaların aparılması bir təkrarlama adlanır. Şərt yerinə yetirildikdə təkrarlamalar dayanır
, harada kökü tapmaqda mütləq xətadır və ya
, harada -nisbi səhv.

Sadə təkrarlama metodu şərt olarsa birləşir
üçün
. Funksiya seçimi
(3) düsturunda təkrarlamalar üçün metodun yaxınlaşmasına təsir göstərmək olar. Ən sadə halda
artı və ya mənfi işarəsi ilə.

Praktikada tez-tez ifadə olunur
birbaşa tənlikdən (1). Konvergensiya şərti yerinə yetirilmədikdə, (3) formasına çevrilir və seçilir. Tənliyimizi formada təqdim edirik
(tənlikdən x-i ifadə edirik). Metodun yaxınlaşma şərtini yoxlayaq:

üçün
. Qeyd edək ki, konvergensiya şərti yerinə yetirilmir
, beləliklə, biz kök izolyasiya seqmentini götürürük
. Keçiddə qeyd edirik ki, tənliyimizi formada təqdim edərkən
, metodun yaxınlaşma şərti təmin edilmir:
seqmentdə
. Qrafik bunu göstərir
funksiyasından daha sürətli artır
(|tg| -ə toxunan meyl bucağı
seqmentdə
)

Gəlin seçək
. İterasiyaları düstura görə təşkil edirik:

Verilmiş dəqiqliklə təkrarlama prosesini proqramlı şəkildə təşkil edirik:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

isə abs(x1-x)> eps edir

x1:=f1(x):

çap (evalf(x1,8)):

çap (abs(x1-x)):

:printf("İterasiyaların sayı=%d ",k):

son:

19-cu iterasiyada tənliyimizin kökünü aldıq

mütləq səhv ilə

Gəlin tənliyimizi həll edək Nyuton üsulu. Nyuton metodunda təkrarlamalar düsturla aparılır:

Nyuton metodunu funksiya ilə sadə təkrarlama metodu hesab etmək olar, onda Nyuton metodunun yaxınlaşma şərtini belə yazmaq olar:

.

Bizim təyinatımızda
seqmentdə yaxınlaşma şərti ödənilir
qrafikdə görünə bilən:

Yada salaq ki, Nyuton metodu kvadratik sürətlə yaxınlaşır və ilkin yaxınlaşma kifayət qədər kökə yaxın seçilməlidir. Gəlin hesablamaları aparaq:
, ilkin yaxınlaşma, . İterasiyaları düstura görə təşkil edirik:

Verilmiş dəqiqliklə təkrarlama prosesini proqramlı şəkildə təşkil edirik. 4 təkrarlamada tənliyin kökünü alırıq

ilə
Nümunə olaraq kub tənliklərindən istifadə edərək qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarını nəzərdən keçirdik, təbii ki, bu üsullarla müxtəlif növ qeyri-xətti tənliklər həll edilir. Məsələn, tənliyin həlli

Nyuton üsulu ilə
, tənliyin kökünü [-1.5;-1] üzərində tapırıq:

Məşq edin: Qeyri-xətti tənlikləri dəqiqliklə həll edin

0.

seqmenti ikiyə bölmək (dixotomiya)

sadə iterasiya.

Nyuton (tangens)

sekant - akkord.

Tapşırıq seçimləri aşağıdakı kimi hesablanır: siyahı nömrəsi 5-ə bölünür (
), tam hissəsi tənlik nömrəsinə, qalan hissəsi metod nömrəsinə uyğundur.

Qeyri-xətti tənliyin ümumi görünüşü

f(x)=0, (6.1)

funksiyası haradadır f(x) – müəyyən və hansısa sonlu və ya sonsuz intervalda davamlıdır.

Funksiya növünə görə f(x) qeyri-xətti tənlikləri iki sinfə bölmək olar:

cəbr;

Transsendent.

cəbri yalnız cəbri funksiyaları (bütün, rasional, irrasional) ehtiva edən tənliklər adlanır. Xüsusilə, çoxhədli bütöv bir cəbr funksiyasıdır.

transsendent digər funksiyaları (triqonometrik, eksponensial, loqarifmik və s.) ehtiva edən tənliklər adlanır.

Qeyri-xətti tənliyi həll edin kökünü və ya kökünü tapmaq deməkdir.

İstənilən arqument dəyəri X, funksiyanı tərsinə çevirmək f(x) sıfıra qədər deyilir tənliyin kökü(6.1) və ya funksiyası sıfırdır f(x).

6.2. Həll üsulları

Qeyri-xətti tənliklərin həlli üsulları aşağıdakılara bölünür:

İterativ.

Birbaşa üsullar kökləri hansısa sonlu əlaqə (düstur) şəklində yazmağa imkan verir. Məktəb cəbri kursundan belə üsullar kvadrat tənliyi, bikvadrat tənliyi (ən sadə cəbr tənlikləri adlanır), həmçinin triqonometrik, loqarifmik və eksponensial tənlikləri həll etmək üçün məlumdur.

Lakin praktikada rast gəlinən tənlikləri belə həll etmək mümkün deyil. sadə üsullar, çünki

Funksiya növü f(x) olduqca mürəkkəb ola bilər;

Funksiya əmsalları f(x) bəzi hallarda onlar yalnız təqribən məlumdur, ona görə də köklərin dəqiq təyini problemi öz mənasını itirir.

Bu hallarda qeyri-xətti tənlikləri həll etmək üçün istifadə edirik iterativ üsullar yəni ardıcıl yaxınlaşma üsulları. Tənliyin kökünü tapmaq üçün alqoritmi qeyd etmək lazımdır təcrid olunmuş, yəni bu tənliyin digər köklərini ehtiva etməyən bir qonşuluq olan biri iki mərhələdən ibarətdir:

kök ayrılması, yəni bir və yalnız bir kök ehtiva edən kök və ya seqmentin təxmini dəyərinin müəyyən edilməsi.

təxmini dəyərin dəqiqləşdirilməsi kök, yəni onun dəyərini verilmiş dəqiqlik dərəcəsinə çatdırmaq.

Birinci mərhələdə kökün təxmini dəyəri ( ilkin yaxınlaşma) müxtəlif yollarla tapıla bilər:

Fiziki səbəblərə görə;

Bənzər bir problemin həllindən;

Digər mənbə məlumatlarından;

Qrafik üsul.

Son üsula daha yaxından nəzər salaq. Həqiqi tənliyin kökü

f(x)=0

təqribən funksiyanın qrafikinin kəsişmə nöqtəsinin absisi kimi təyin oluna bilər y=f(x) ox ilə 0x.Əgər tənliyin bir-birinə yaxın kökləri yoxdursa, bu yolla onlar asanlıqla müəyyən edilir. Təcrübədə (6.1) tənliyini ekvivalentlə əvəz etmək çox vaxt sərfəlidir

f 1 (x)=f 2 (x)

harada f 1 (x) və f 2 (x) -dən daha sadə f(x) . Sonra funksiyaların qrafiklərini tərtib edin f 1 (x) və f 2 (x), bu qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin absisi kimi istənilən kök (köklər) alınacaq.

Qeyd edək ki, qrafik metod, bütün sadəliyinə baxmayaraq, adətən yalnız köklərin kobud müəyyən edilməsi üçün tətbiq olunur. Xüsusilə əlverişsiz, dəqiqliyin itirilməsi baxımından, xətlərin çox kəskin bir açı ilə kəsişdiyi və müəyyən bir qövs boyunca praktiki olaraq birləşdiyi vəziyyətdir.

Əgər ilkin yaxınlaşmanın belə aprior təxminlərini etmək mümkün deyilsə, onda bir-birindən sıx məsafədə yerləşən iki nöqtə tapılır. a, b onların arasında funksiyanın bir və yalnız bir kökü var. Bu hərəkət üçün iki teoremi yadda saxlamaq faydalıdır.

Teorem 1. Davamlı funksiya varsa f(x) seqmentin sonunda müxtəlif işarələrin dəyərlərini alır [ a, b], yəni

f(a) f(b)<0, (6.2)

onda bu seqmentin daxilində tənliyin ən azı bir kökü var.

Teorem 2.[ intervalı üzrə tənliyin kökü a, b] funksiyanın birinci törəməsi olarsa unikal olacaqdır f’(x), mövcuddur və seqment daxilində sabit işarə saxlayır, yəni

(6.3)

Seqment seçimi [ a, b] həyata keçirdi

Qrafik olaraq;

Analitik olaraq (funksiyanı araşdıraraq f(x) və ya seçim).

İkinci mərhələdə təxmini kök dəyərlərinin ardıcıllığı tapılır X 1 , X 2 , … , X n. Hər bir hesablama addımı x içağırdı iterasiya. Əgər a x i artması ilə n kökün həqiqi dəyərinə yaxınlaşdıqda, iterativ prosesin yaxınlaşdığı deyilir.

Birdən böyük gücə yüksəldilmiş naməlum funksiyaları ehtiva edən tənliklər qeyri-xətti adlanır.
Məsələn, y=ax+b xətti tənlikdir, x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 qeyri-xəttidir (ümumiyyətlə F(x)=0 kimi yazılır).

Qeyri-xətti tənliklər sistemi bir və ya bir neçə dəyişəni olan bir neçə qeyri-xətti tənliyin eyni vaxtda həllidir.

Bir çox üsul var qeyri-xətti tənliklərin həlli və adətən 3 qrupa bölünən qeyri-xətti tənliklər sistemləri: ədədi, qrafik və analitik. Analitik üsullar tənliklərin həllinin dəqiq qiymətlərini təyin etməyə imkan verir. Qrafik üsullar ən az dəqiqdir, lakin mürəkkəb tənliklərdə gələcəkdə tənliklərin daha dəqiq həllərini tapmağa başlaya biləcəyiniz ən təxmini dəyərləri müəyyən etməyə imkan verir. Qeyri-xətti tənliklərin ədədi həlli iki mərhələdən keçməyi nəzərdə tutur: kökün ayrılması və müəyyən edilmiş dəqiqliyə qədər dəqiqləşdirilməsi.
Köklərin ayrılması müxtəlif yollarla həyata keçirilir: qrafik olaraq, müxtəlif ixtisaslaşdırılmış kompüter proqramlarından istifadə etməklə və s.

Kökləri müəyyən bir dəqiqliklə təmizləmək üçün bir neçə üsulu nəzərdən keçirək.

Qeyri-xətti tənliklərin ədədi həlli üsulları

yarım bölmə üsulu.

Yarımbölmə metodunun mahiyyəti intervalı yarıya bölmək (с=(a+b)/2) və intervalın kök olmayan hissəsini atmaqdır, yəni. şərt F(a)xF(b)

Şəkil 1. Qeyri-xətti tənliklərin həllində yarımbölmə üsulundan istifadə.

Məsələni nəzərdən keçirək.

Seqmenti 2 hissəyə bölək: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Əgər F(a)*F(x)>0 hasil olarsa, onda a seqmentinin başlanğıcı x (a=x), əks halda b seqmentinin sonu x (b=x) nöqtəsinə köçürülür. ). Yaranan seqmenti yenidən yarıya bölürük və s. Bütün hesablamalar aşağıdakı cədvəldə göstərilmişdir.

Şəkil 2. Hesablama nəticələri cədvəli

Hesablamalar nəticəsində tələb olunan dəqiqliyi nəzərə alaraq x=-0,946-a bərabər olan qiyməti alırıq.

akkord üsulu.

Akkord metodundan istifadə edərkən, müəyyən dəqiqliyə malik yalnız bir kökün olduğu bir seqment göstərilir. (x(F(a); y(F(b)))) koordinatları olan a və b seqmentindəki nöqtələrdən xətt (akkord) çəkilir. Sonra bu xəttin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri. (z nöqtəsi) müəyyən edilir.
Əgər F(a)xF(z)

şək.3. Qeyri-xətti tənliklərin həllində akkordlar metodundan istifadə.

Məsələni nəzərdən keçirək. e daxilində x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 tənliyini həll etmək lazımdır.

Ümumiyyətlə, tənlik belə görünür: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Seqmentin sonunda F(x) qiymətlərini tapın:

F(-1) = - 0,2>0;

İkinci törəməni təyin edək F''(x) = 6x-0.4.

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0,4

Seqmentin sonunda F(-1)F’’(-1)>0 şərti müşahidə olunur, ona görə də tənliyin kökünü müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

Bütün hesablamalar aşağıdakı cədvəldə göstərilmişdir.

Şəkil 4. Hesablama nəticələri cədvəli

Hesablamalar nəticəsində tələb olunan dəqiqliyi nəzərə alaraq x=-0,946-a bərabər olan qiyməti alırıq.

Tangens metodu (Nyuton)

Bu üsul intervalın uclarından birində çəkilmiş qrafikə toxunanların qurulmasına əsaslanır. X oxu ilə kəsişmə nöqtəsində (z1) yeni bir tangens qurulur. Bu prosedur, alınan dəyər istənilən dəqiqlik parametri e (F(zi) ilə müqayisə edilə bilənə qədər davam edir.

Şəkil 5. Qeyri-xətti tənliklərin həllində tangens metodundan (Nyuton) istifadə.

Məsələni nəzərdən keçirək. e daxilində x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 tənliyini həll etmək lazımdır.

Ümumiyyətlə, tənlik belə görünür: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Birinci və ikinci törəmələri təyin edək: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0,4=-6,4
F''(0)=-0,4
F(-1)F''(-1)>0 şərti yerinə yetirildiyi üçün hesablamalar aşağıdakı düsturla aparılır:

Burada x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

Bütün hesablamalar aşağıdakı cədvəldə göstərilmişdir.

Şəkil 6. Hesablama nəticələri cədvəli

Hesablamalar nəticəsində tələb olunan dəqiqliyi nəzərə alaraq x=-0,946-a bərabər olan qiyməti alırıq.

Riyaziyyat bir elm kimi praktiki məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar yaranmışdır: yerdə ölçmələr, naviqasiya və s. Nəticədə, riyaziyyat ədədi riyaziyyat idi və onun məqsədi ədəd şəklində bir həll əldə etmək idi. Tətbiqi məsələlərin ədədi həlli riyaziyyatçıları həmişə maraqlandırmışdır. Keçmişin ən böyük nümayəndələri öz tədqiqatlarında təbiət hadisələrinin öyrənilməsini, onların riyazi təsvirini əldə etməyi birləşdirdilər, yəni. onun riyazi modeli və tədqiqatı. Mürəkkəb modellərin təhlili məsələlərin həlli üçün xüsusi, adətən ədədi üsulların yaradılmasını tələb edirdi. Bu üsullardan bəzilərinin adları onların dövrünün ən böyük alimləri tərəfindən işlənib hazırlandığını göstərir. Bunlar Nyutonun, Eylerin, Lobaçevskinin, Qaussun, Çebişevin, Hermitin üsullarıdır.

Müasir dövr, əsasən kompüter texnologiyasının yaradılması və inkişafı ilə əlaqəli riyaziyyatın tətbiqlərinin kəskin genişlənməsi ilə xarakterizə olunur. 40 ildən az müddətdə kompüterlərin meydana çıxması nəticəsində əməliyyatların sürəti əllə hesablama ilə saniyədə 0,1 əməliyyatdan müasir kompüterlərdə saniyədə 10 əməliyyata qədər yüksəlmişdir.

Müasir kompüterlərin hər şeyə qadir olması haqqında geniş yayılmış fikir belə bir təəssürat yaradır ki, riyaziyyatçılar məsələlərin ədədi həlli ilə bağlı bütün çətinliklərdən xilas olublar və onların həlli üçün yeni üsulların işlənməsi artıq o qədər də əhəmiyyətli deyil. Reallıqda isə vəziyyət fərqlidir, çünki təkamülün ehtiyacları, bir qayda olaraq, elmin qarşısına onun imkanları astanasında olan vəzifələr qoyur. Riyaziyyatın tətbiqinin genişlənməsi elmin müxtəlif sahələrinin: kimya, iqtisadiyyat, biologiya, geologiya, coğrafiya, psixologiya, tibb, texnologiya və s.-nin riyaziləşdirilməsinə səbəb oldu.

İlkin olaraq elmlərin riyaziləşdirilməsi istəyinə səbəb olan iki hal var:

birincisi, yalnız riyazi metodlardan istifadə maddi dünyanın bu və ya digər hadisəsinin öyrənilməsinə kəmiyyət xarakteri verməyə imkan verir;

ikincisi, əsas da budur, yalnız riyazi təfəkkür tərzi obyekt edir. Bu tədqiqat metodu hesablama eksperimenti adlanır - tədqiqat tam obyektivdir.

AT son vaxtlar biliyin riyaziləşdirilməsi proseslərinə güclü təsir göstərən başqa bir amil də var. o sürətli inkişaf kompüter vasitələri. Ümumilikdə elmi, mühəndislik və tətbiqi məsələlərin həlli üçün kompüterlərdən istifadə tamamilə onların riyaziləşdirilməsinə əsaslanır.

Riyazi modellər.

Mürəkkəb məsələlərin öyrənilməsinin müasir texnologiyası tədqiq olunan məsələnin riyazi modellərinin adətən kompüterin köməyi ilə qurulmasına və təhlilinə əsaslanır. Adətən, hesablama təcrübəsi, artıq gördüyümüz kimi, bir neçə mərhələdən ibarətdir: məsələnin qoyulması, riyazi modelin qurulması (məsələnin riyazi tərtibi), ədədi metodun işlənib hazırlanması, ədədi metodun həyata keçirilməsi alqoritminin işlənib hazırlanması, proqram, proqramın sazlanması, hesablamaların aparılması, nəticələrin təhlili.

Beləliklə, hər hansı bir elmi və ya mühəndis probleminin həlli üçün kompüterlərdən istifadə qaçılmaz olaraq real prosesdən və ya hadisədən onun riyazi modelinə keçidlə əlaqələndirilir. Beləliklə, modellərin istifadəsi elmi araşdırma mühəndislik təcrübəsi isə riyazi modelləşdirmə sənətidir.

Model adətən müəyyən bir hadisənin əsas ən əhəmiyyətli xüsusiyyətlərini əks etdirən təmsil olunan və ya maddi cəhətdən reallaşdırılmış sistem adlanır.

Riyazi model üçün əsas tələblər nəzərdən keçirilən hadisənin adekvatlığıdır, yəni. adekvat şəkildə əks etdirməlidir xarakter xüsusiyyətləri hadisələr. Eyni zamanda, tədqiqatın müqayisəli sadəliyi və əlçatanlığı olmalıdır.

Riyazi model tədqiq olunan hadisənin baş vermə şərtləri ilə müəyyən riyazi konstruksiyalarda onun nəticələri arasında asılılığı əks etdirir. Ən çox istifadə edilən strukturlar: riyazi anlayışlar Açar sözlər: funksiya, funksional, operator, ədədi tənlik, adi diferensial tənlik, qismən diferensial tənlik.

Riyazi modelləri müxtəlif meyarlara görə təsnif etmək olar: statik və dinamik, cəmlənmiş və paylanmış; deterministik və ehtimal.

Kökləri tapmaq problemini nəzərdən keçirin qeyri-xətti tənlik

(1) tənliyinin kökləri x-in o qiymətləridir ki, əvəz etdikdə onu eyniliyə çevirir. Yalnız ən sadə tənliklər üçün düsturlar şəklində həll tapmaq mümkündür, yəni. analitik forma. Daha tez-tez tənlikləri təxmini üsullarla həll etmək lazımdır, bunlardan ən çox yayılmışı kompüterlərin yaranması ilə əlaqədar olaraq ədədi üsullardır.

Köklərin təxmini üsullarla tapılması alqoritmini iki mərhələyə bölmək olar. Birincisi, köklərin yeri öyrənilir və onların ayrılması aparılır. Tənliyin kökünün və ya x 0 kökünə ilkin yaxınlaşmanın olduğu sahə var. Ən sadə yol Bu məsələnin həlli f(x) funksiyasının qrafikini öyrənməkdir. Ümumi halda onu həll etmək üçün bütün riyazi analiz vasitələrini cəlb etmək lazımdır.

(1) tənliyinin ən azı bir kökünün tapılmış intervalında mövcudluğu Bolzano şərtindən irəli gəlir:

f(a)*f(b)<0 (2)

Həmçinin f(x) funksiyasının verilmiş seqmentdə kəsilməz olduğu qəbul edilir. Lakin bu şərt verilmiş intervalda tənliyin köklərinin sayı ilə bağlı suala cavab vermir. Əgər funksiyanın fasiləsizliyi tələbi onun monotonluğu tələbi ilə tamamlanırsa və bu, birinci törəmənin işarə sabitliyindən irəli gəlirsə, onda verilmiş seqmentdə unikal kökün mövcudluğunu təsdiq edə bilərik.

Kökləri lokallaşdırarkən bu tip tənliyin əsas xüsusiyyətlərini bilmək də vacibdir. Məsələn, cəbri tənliklərin bəzi xassələrini xatırlayın:

real əmsallar haradadır.

• a) n dərəcəli tənliyin n kökü var, onların arasında həm həqiqi, həm də mürəkkəb olanlar ola bilər. Mürəkkəb köklər mürəkkəb birləşmiş cütlər əmələ gətirir və buna görə də tənlikdə belə köklərin sayı cüt olur. N-nin tək dəyəri üçün ən azı bir həqiqi kök var.
• b) Müsbət həqiqi köklərin sayı əmsallar ardıcıllığında dəyişən işarələrin sayından az və ya ona bərabərdir. (3) tənliyində x-in -x ilə əvəz edilməsi mənfi köklərin sayını eyni şəkildə təxmin etməyə imkan verir.

(1) tənliyinin həllinin ikinci mərhələsində, əldə edilmiş ilkin yaxınlaşmadan istifadə edərək, kökün dəyərini əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə dəqiqləşdirməyə imkan verən iterativ bir proses qurulur. İterativ proses ilkin yaxınlaşmanın ardıcıl dəqiqləşdirilməsindən ibarətdir. Hər bir belə addım iterasiya adlanır. İterasiya prosesi nəticəsində tənliyin köklərinin təxmini dəyərlərinin ardıcıllığı tapılır. Əgər bu ardıcıllıq n böyüdükcə x kökünün həqiqi qiymətinə yaxınlaşırsa, iterativ proses yaxınlaşır. Aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə, iterativ prosesin ən azı m sırasına yaxınlaşması deyilir:

burada С>0 müəyyən sabitdir. Əgər m=1 olarsa, onda birinci dərəcəli yaxınlaşmadan danışılır; m=2 - kvadrat haqqında, m=3 - kub yaxınlaşma haqqında.

Verilən icazə verilən xəta üçün mütləq və ya nisbi kənarlaşmalar üçün meyarlar yerinə yetirildikdə iterativ dövrlər başa çatır:

və ya qalığın kiçikliyi:

Bu iş Nyuton metodundan istifadə etməklə qeyri-xətti tənliklərin həlli alqoritminin öyrənilməsinə həsr edilmişdir.

Qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün bir çox müxtəlif üsullar var, onlardan bəziləri aşağıda təqdim olunur:

• 1)İterasiya üsulu. Qeyri-xətti tənliyi təkrarlama yolu ilə həll edərkən tənlikdən x=f(x) şəklində istifadə edirik. Arqumentin ilkin qiyməti x 0 və dəqiqliyi e verilir.X 1 həllinin ilk təxmini x 1 \u003d f (x 0), ikincisi - x 2 \u003d f (x 1) ifadəsindən tapılır. və s. Ümumi halda i+1 yaxınlaşması xi+1 =f(xi) düsturu ilə tapılır. Bu proseduru |f(xi)|>e qədər təkrar edirik. İterasiya metodunun yaxınlaşması şərti |f"(x)|
• 2)Nyuton üsulu. Nyuton üsulu ilə qeyri-xətti tənliyi həll edərkən arqumentin ilkin qiyməti x 0 və dəqiqliyi e təyin edilir.Sonra (x 0, F (x 0)) nöqtəsində F (x) qrafikinə tangens çəkirik. ) və x 1 absis oxu ilə tangensin kəsişmə nöqtəsini təyin edin. (x 1, F (x 1)) nöqtəsində yenidən bir tangens qururuq, istədiyiniz həllin növbəti yaxınlaşmasını tapırıq x 2 və s. Bu proseduru |F(xi)|-ə qədər təkrar edirik > e) Teğetin absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsini (i + 1) təyin etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edirik.

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

Tangens metodu üçün yaxınlaşma şərti F(x 0) F""(x)>0 və s.

3). dixotomiya üsulu. Həll texnikası düstura görə ilkin qeyri-müəyyənlik intervalının tədricən yarıya bölünməsinə qədər azaldılır.

C-dən \u003d a-dan +-ə qədər / 2.

Yaranan iki seqmentdən lazım olanı seçmək üçün yaranan seqmentlərin sonunda funksiyanın qiymətini tapmaq və funksiyanın işarəsini dəyişəcəyi, yəni f ( şərti) nəzərə alınmalıdır. a k) * f (k ilə)<0.

Seqmentin bölünməsi prosesi cari qeyri-müəyyənlik intervalının uzunluğu göstərilən dəqiqlikdən az olana qədər aparılır, yəni k - a k ilə.< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). akkord üsulu. Metodun ideyası ondan ibarətdir ki, y=f(x) funksiyasının qrafikinin qövsünün uclarını və c nöqtəsini, akkordun absis oxu ilə kəsişməsini kəsən seqment üzərində akkord qurulur. , kökün təxmini qiyməti hesab olunur

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

Növbəti yaxınlaşma intervalda və ya a,b,c nöqtələrində funksiya qiymətlərinin işarələrindən asılı olaraq axtarılır.

x* O əgər f(c) H f(a) > 0 ;

x* O əgər f(c) x f(b)< 0 .

Əgər f "(x) işarəsini -ə dəyişməzsə, c \u003d x 1 işarəsi ilə və ilkin yaxınlaşma kimi a və ya b nəzərə alınarsa, sabit sağ və ya sol nöqtə ilə akkord metodunun iterativ düsturlarını alırıq.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), f "(x) H f "(x)\u003e 0 ilə;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), f "(x) H f "(x) ilə< 0 .

Akkord metodunun yaxınlaşması xəttidir

Cəbr və transsendental tənliklər. Kök lokalizasiya üsulları.

Qeyri-xətti tənliyin ən ümumi forması:

f(x)=0 (2.1)

funksiyası haradadır f(x) sonlu və ya sonsuz [a, b] intervalında müəyyən edilmiş və davamlıdır.

Tərif 2.1. Funksiyanı tərsinə çevirən istənilən ədəd f(x) sıfıra (2.1) tənliyinin kökü deyilir.

Tərif 2.2. Ədəd funksiya ilə birlikdə olarsa, k-ci çoxluğun kökü adlanır f(x) onun (k-1)-ci dərəcə daxil olmaqla törəmələri sıfıra bərabərdir:

Tərif 2.3. Tək kökə sadə kök deyilir.

Bir dəyişənli qeyri-xətti tənliklər cəbri və transsendental tənliklərə bölünür.

Tərif 2.4 . F(x) funksiyası cəbrdirsə (2.1) tənliyi cəbri adlanır.

Cəbri çevrilmələrlə istənilən cəbri tənlikdən kanonik formada tənlik əldə etmək olar:

tənliyin həqiqi əmsalları haradadır, x naməlumdur.

Cəbrdən məlumdur ki, hər bir cəbri tənliyin ən azı bir həqiqi və ya iki mürəkkəb qoşma kökü vardır.

Tərif 2.5. F(x) funksiyası cəbri deyilsə (2.1) tənliyi transsendental adlanır.

(2.1) tənliyinin həlli deməkdir:

• 1. Tənliyin köklərinin olub olmadığını müəyyən edin.
• 2. Tənliyin köklərinin sayını təyin edin.
• 3. Verilmiş dəqiqliklə tənliyin köklərinin qiymətlərini tapın.

Təcrübədə rast gəlinən tənlikləri çox vaxt həll etmək olmur analitik üsullar. Belə tənliklərin həlli üçün ədədi üsullardan istifadə olunur.

Ədədi metoddan istifadə edərək tənliyin kökünü tapmaq alqoritmi iki mərhələdən ibarətdir:

• 1) şöbəsi və ya lokalizasiya kök, yəni. bir kök ehtiva edən interval təyin etmək:
• 2) aydınlaşdırılması kök dəyərləri ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu ilə.

Kök lokalizasiya üsulları. Nəzəri əsas kök ayırma alqoritmi fasiləsiz funksiyanın aralıq dəyərlərinə dair Koşi teoremidir.

Teorem 2.1. Əgər y \u003d f (x) funksiyası [a, b] və f (a) \u003d A, f (b) \u003d B seqmentində davamlıdırsa, A və B arasında yerləşən hər hansı bir C nöqtəsi üçün var. bir məqam ki.

Nəticə. Əgər y \u003d f (x) funksiyası [a, b] seqmentində davamlıdırsa və onun uclarında müxtəlif işarələrin dəyərlərini alırsa, bu seqmentdə f (x) \ tənliyinin ən azı bir kökü var. u003d 0.

Funksiyanın təyini və fasiləsizliyi sahəsi sonlu seqment olsun [a,b]. Seqmenti bölün n hissələri: ,

Nöqtələrdə funksiyanın dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaraq, şərtin ödənildiyi seqmentləri tapırıq:

olanlar. , və ya, . Bu seqmentlərdə ən azı bir kök var.

Teorem 2.2. y \u003d f (x) funksiyası [a; b) seqmentində davamlıdırsa, f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Kökləri ayırmaq üçün funksiyanın qrafikindən də istifadə edə bilərsiniz saat= f (X).(2.1) tənliyinin kökləri həmin qiymətlərdir X, burada y=f(x) funksiyasının qrafiki x oxunu kəsir. Bir funksiyanın qrafikinin qurulması, hətta aşağı dəqiqliklə belə, adətən (2.1) tənliyinin köklərinin yeri haqqında fikir verir. Əgər y \u003d f (x) funksiyasının qrafikini çəkmək çətinlik yaradırsa, ilkin tənlik (2.1) formaya çevrilməlidir. c1(x)= c2(x) belə ki, funksiyaların qrafikləri saat= c1(x) və saat= c2(x) olduqca sadə idi. Bu qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin absisləri (2.1) tənliyinin kökləri olacaqdır.

Misal 1 x 2 -2cosx=0 tənliyinin köklərini ayırın.

Həll. Kökləri ayırmağın iki yolunu nəzərdən keçirək.

• a) Qrafik üsul. Tənliyi x 2 =2cosx şəklində yenidən yazaq və eyni koordinat sistemində y=x 2 və y=2cosx funksiyalarının qrafikini quraq (şəkil 5). bu qrafiklər iki nöqtədə kəsişdiyinə görə tənliyin (-/2; 0) və (0; /2) intervallarında mənşəyə görə simmetrik olaraq yerləşən iki kökü var.
• b) Analitik metod. Qoy f(x)= x 2 -2cosx. Çünki f(x) cüt funksiyadır, yalnız x-in mənfi olmayan qiymətlərini nəzərə almaq kifayətdir. 2cosx2 bərabərsizliyinə görə

törəmə f"(x)=2(x+sinx). İntervalda (0; /2) f"(x)>0, buna görə də, f(x) burada monoton şəkildə artır və onun qrafiki oxu keçə bilər X bir nöqtədən çox deyil. qeyd et ki f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Bu o deməkdir ki, tənliyin (0; /2) intervalında yerləşən bir müsbət kökü var. Funksiya cüt olduğundan, tənliyin də müsbətə simmetrik olan bir mənfi kökü var. İndi kökün dəqiqləşdirilməsinə keçək. Birləşdirilmiş kök zərifləşdirmə üsulunu tətbiq etmək üçün əmin olmalısınız f ""(x) on (0; /2) işarəni saxlayır və tangens metodunu tətbiq etmək üçün kökün ilkin yaxınlaşmasını seçin. O, şərti təmin etməlidir: f(x)f ""(x)>0. Çünki f ""(x)=2(1+cosx) üzərində müsbətdir, onda /2 tangens metodunda kökün ilkin yaxınlaşması kimi qəbul edilə bilər. Buna görə də qoymaq olar x=/21,570796, x 1 =0 (alqoritm diaqramına baxın). Bizim vəziyyətimizdə akkord metodu bir dezavantajla kökün təxmini dəyərini, tangens üsulu isə artıqlığı ilə verəcəkdir.

Kök zərifliyinin bir iterativ addımını nəzərdən keçirin. Dəyərləri hesablayın f(0), f(/2), f"(/2). Yeni dəyərlər x 1 və x müvafiq olaraq düsturlarla tapın:

|x-x 1 |=0,387680,4>10 -4 =.

Göstərilən dəqiqliyə nail olunmayıb və hesablamalar davam etdirilməlidir.

İterasiya nömrəsi	x 1		f(x 1 )			|x-x 1 |

Buna görə də kökün tələb olunan dəqiqliklə təxmini qiyməti üç təkrarlama nəticəsində tapılmışdır və təxminən 1,0217-ə bərabərdir.

Funksiya qrafikinin simmetriyasına görə f(x) ikinci kökün qiyməti təxminən -1,0217-ə bərabərdir.

Kökün aydınlaşdırılması.

Problemin formalaşdırılması . Fərz edək ki, (2.1) tənliyinin istənilən kökü ayrılıb, yəni. seqment [a; b], tənliyin bir və yalnız bir kökü olan. Bu seqmentin istənilən nöqtəsi kökün təxmini qiyməti kimi qəbul edilə bilər. Bu yaxınlaşmanın xətası uzunluğu keçmir [a; b]. Nəticə etibarilə, verilmiş dəqiqliklə kökün təqribi qiymətinin tapılması məsələsi [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей kök dəqiqləşdirmələri.

Rəqəmsal metodların təsviri. Ədədi üsullar, əldə edilən nəticələrin müəyyən bir səhvlə hesablanacağını əvvəlcədən bilməklə müəyyən problemlərin həlli yollarını tapmağa imkan verir, buna görə də bir çox ədədi üsullar üçün nəticədə ortaya çıxan "dəqiqlik səviyyəsini" əvvəlcədən bilmək lazımdır. həll uyğun olacaq.

Bu baxımdan (3.1) formalı çoxhədlinin köklərinin tapılması məsələsi.

xüsusi maraq doğurur, çünki hətta kub tənliyinin köklərini tapmaq üçün düsturlar olduqca mürəkkəbdir. Dərəcəsi, məsələn, 5 olan bir çoxhədlinin köklərini tapmaq lazımdırsa, ədədi üsulların köməyi olmadan edə bilməzsiniz, xüsusən belə bir çoxhədlinin təbii (və ya tam və ya dəqiq köklərə malik olma ehtimalı) "qısa" kəsr hissəsi) olduqca kiçikdir və 4-dən böyük dərəcədə olan tənliyin köklərini tapmaq üçün heç bir düstur yoxdur. De-fakto, bütün sonrakı əməliyyatlar azalacaq köklərin aydınlaşdırılması, onların intervalları təxminən əvvəlcədən məlumdur. Bu "təxmini" kökləri tapmağın ən asan yolu qrafik üsullardan istifadə etməkdir.

Çoxhədlinin köklərini tapmaq üçün bir neçə ədədi üsul var: iterasiya üsulu, akkordlar və tangenslər üsulu, yarımbölmə üsulu, sekant üsulu.

Biseksiya üsulu(həmçinin "seqmentin yarıya bölünmə üsulu" kimi tanınır) həm də rekursivdir, yəni. alınan nəticələri nəzərə alaraq təkrarı nəzərdə tutur.

Yarım bölmə metodunun mahiyyəti belədir:

• - F(x) funksiyası verilmişdir;
• - icazə verilən səhv Q müəyyən edilir;
• - tənliyin həllini dəqiq ehtiva edən bəzi interval [ a , b ] müəyyən edilmişdir.

1) Seqmentin ortasını götürərək E koordinatının dəyərini hesablayırıq, yəni.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) F(a), F(b), F(E) qiymətlərini hesablayın və aşağıdakı yoxlamanı aparın: Əgər F(E)>Q olarsa, kök müəyyən olunmuş dəqiqliklə tapılır. Əgər F(E)
• 3) 1-ci nöqtəyə keçin.

Sadə təkrarlamalar üsulu (ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu). (2.1) tənliyini ekvivalent tənliklə əvəz edirik

x=(x) (3.3)

məsələn, müxtəlif yollarla edilə bilər

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Fərz edək ki, (3.3) tənliyinin kökünün hansısa ilkin yaxınlaşması seçilib. Düsturlarla ədədi ardıcıllığı təyin edirik

X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)

Belə bir ardıcıllığa iterativ deyilir.

Əgər x 0 və bütün sonrakı təxminlər x n , nN olan seqmentdə (x) funksiyasının davamlı törəməsi "(x) və |"(x)|q olur.<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

Bu bərabərsizlikdən, xüsusən də belə nəticə çıxır ki, sadə təkrarlama metodunun yaxınlaşma sürəti q qiymətindən asılıdır: q nə qədər kiçik olarsa, yaxınlaşma da bir o qədər tez olar.

Buna görə də praktikada sadə təkrarlama üsulu ilə kökləri taparkən (2.1) tənliyini (3.3) formasında elə təqdim etmək məqsədəuyğundur ki, kökün qonşuluğunda olan “(x) törəməsi mümkün olsun. mütləq qiymətində kiçikdir.Bunun üçün bəzən düsturdan c parametrindən istifadə olunur (3.4).

Nyuton üsulu (tangens üsulu). Aşağıdakı bərabərsizliyin mövcud olduğu kifayət qədər yaxşı ilkin yaxınlaşma məlumdursa:

onda Nyuton düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablaya bilərsiniz

İlkin təxmin olaraq, intervalın sərhədlərindən istifadə edə bilərsiniz və:

Əgər varsa.

Bu metodun hər iterasiyası zamanı hesablamaların miqdarı bisection və iterasiya üsullarından daha çox olur, çünki təkcə funksiyanın qiymətini deyil, həm də onun törəməsini tapmaq lazımdır. Lakin Nyuton metodunun yaxınlaşma dərəcəsi daha yüksəkdir.

Teorem. Tənliyin kökü olsun, yəni. , və davamlıdır. Sonra kökün elə bir qonşuluğu var ki, ilkin yaxınlaşma bu məhəlləyə aiddirsə, Nyuton metodu üçün dəyərlər ardıcıllığı at-a yaxınlaşır. Kökün yaxınlaşdırılmasının səhvini düsturla qiymətləndirmək olar:

burada seqment üzrə ikinci törəmənin modulunun ən böyük qiyməti, seqment üzrə birinci törəmənin modulunun ən kiçik qiymətidir.

Dayanma qaydası:

Akkordlar və tangenslər üsulu (birləşdirilmiş). Bu üsul funksiyanın sxematik qrafikinin qurulmasına, onun absis oxu ilə kəsişmə intervallarının təyin edilməsinə və sonra bu funksiyanın qrafikinə qurulmuş akkordlar və tangenslərdən istifadə edərək bu intervalın “sıxılmasına” əsaslanır.

Qeyd etmək lazımdır ki, ayrı-ayrılıqda akkordlar (çatışmazlıqla kökün qiymətini verir) və tangenslər (artı ilə) üsulu da mövcuddur. Bununla birlikdə, birləşdirilmiş metodun üstünlüyü nəzərdən keçirilən seqmentin "ikitərəfli sıxılmasında"dır.

Aşağıdakı halı nəzərdən keçirin:

• - F(x) funksiyası verilmiş və onun qrafiki qurulmuşdur;
• - icazə verilən xəta Q müəyyən edilir
• - qrafik əsasında funksiyanın qrafikinin absis oxunu kəsdiyi seqment müəyyən edilir, buna görə də bu seqmentdə nəzərdən keçirilən polinomun kökü var (onu A ilə işarə edirik)

Növbəti alqoritm aşağıdakı hərəkətlərə endirilir:

• 1) F(b) nöqtəsində funksiyanın qrafikinə tangens qururuq.
• 2) (3.9) düsturuna uyğun olaraq tangensin absis oxu ilə kəsişməsinin x koordinatını hesablayırıq və onu b " ilə işarə edirik.
• 3) F(a) və F(b) nöqtələrindən keçən funksiyanın qrafikinə akkord qururuq.
• 4) Akkordun absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsini (2) düsturuna əsasən hesablayırıq və a" ilə işarə edirik.

Beləliklə, (akkord və tangensin təriflərinə görə) hələ də A tənliyinin həllini ehtiva edən yeni bir seqment alırıq.

İndi biz seqmenti yeni seqment kimi götürürük və F (b) - F (a) fərqi ilkin daxil edilmiş səhv Q-dan az olana qədər 1-4-cü addımları təkrarlayırıq. Həmçinin qeyd edirik ki, bundan sonra arifmetik ortanı götürmək tövsiyə olunur. İstənilən həll (a) və F(b) kimi F.

Beləliklə, akkord (tangens) kökün qiymətini artıqlığı ilə verirsə, bu kök yeni sağ sərhəd kimi, çatışmazlıq varsa, sol sərhəd alınır. Hər iki halda, dəqiq kök akkordun kəsişmə nöqtələri ilə absis oxu ilə tangens arasında yerləşir.

Akkordlar və tangenslər üsuluna dair qeydlər. Məsələnin həlli F(x) funksiyasının törəməsinin tapılmasını tələb etdiyindən akkordlar və tangenslər metodunu proqram səviyyəsində həyata keçirmək kifayət qədər çətindir, çünki törəmələrin ümumi formada hesablanması qaydaları kompüterin "anlanması" üçün kifayət qədər çətin olur; polinomun hər dərəcəsi üçün törəmə birbaşa göstərildikdə kompüter yaddaşı ciddi şəkildə yüklənir, bu da işi xeyli ləngidir və funksiyanın və müvafiq olaraq onun törəməsinin birbaşa proqram kodunda qurulması qəbuledilməzdir. Bununla belə, bu üsuldan istifadə edərək, intervalın kökə yaxınlaşması ən tez baş verir, xüsusən də akkordlar və tangenslər üsulu biseksiya üsulu ilə birləşdirildikdə, çünki yeni seqmentin ortası tez-tez tamamilə qənaətbəxş bir həll verir.

Sekant üsulu. Sekant metodu Nyuton metodundan törəməni təxmini ifadə ilə - fərq düsturu ilə əvəz etməklə əldə edilə bilər:

Formula (3.8) əvvəlki iki təxmini u istifadə edir. Buna görə də, verilmiş ilkin dəyər üçün, məsələn, düsturla törəmənin təxmini əvəzi ilə Nyuton metodu ilə növbəti yaxınlaşmanı hesablamaq lazımdır.

Sekant metodunun alqoritmi:

1) ilkin qiymət və xəta verilir. Hesablayın

2) üçün n= 1,2, ….. şərt ödənilərkən (3.8) düsturu ilə hesablayırıq.

Məqsəd

MathCAD paketində qeyri-xətti tənliklərin həllinin əsas üsulları və onların həyata keçirilməsi ilə tanış olmaq.

Təlimatlar

Mühəndis tez-tez qeyri-xətti tənlikləri yazmalı və həll etməlidir ki, bu da müstəqil tapşırıq və ya daha mürəkkəb tapşırıqların bir hissəsi ola bilər. Hər iki halda həll metodunun praktiki dəyəri alınan həllin sürəti və səmərəliliyi ilə müəyyən edilir və müvafiq metodun seçimi baxılan problemin xarakterindən asılıdır. Qeyd etmək vacibdir ki, kompüter hesablamalarının nəticələrinə həmişə tənqidi yanaşmaq, inandırıcılıq üçün təhlil etmək lazımdır. Rəqəmsal metodları tətbiq edən hər hansı bir standart paketdən istifadə edərkən "tələlərin" qarşısını almaq üçün müəyyən bir problemi həll etmək üçün hansı ədədi metodun tətbiq olunduğu barədə ən azı minimal təsəvvürə sahib olmalısınız.

Qeyri-xətti tənlikləri 2 sinfə bölmək olar - cəbri və transsendental. Cəbri tənliklər yalnız cəbri funksiyaları (bütün - xüsusilə, bir çoxhədli, rasional, irrasional) ehtiva edən tənliklər adlanır. Digər funksiyaları (triqonometrik, eksponensial, loqarifmik və s.) ehtiva edən tənliklər adlanır. transsendent. Qeyri-xətti tənliklər həll edilə bilər dəqiq və ya təxminiüsulları. Dəqiq üsullar kökləri hansısa sonlu əlaqə (düstur) şəklində yazmağa imkan verir. Təəssüf ki, əksər transsendental tənliklərin, eləcə də dörddən yuxarı dərəcəyə malik ixtiyari cəbr tənliklərinin analitik həlləri yoxdur. Bundan əlavə, tənliyin əmsalları yalnız təqribən bilinə bilər və buna görə də köklərin dəqiq təyini probleminin özü mənasını itirir. Buna görə də həll yolu üçün iterativ üsullar ardıcıl yaxınlaşma. Əvvəlcə birinci izləyir kökləri ayırın(yəni onların təxmini dəyərini və ya onları ehtiva edən seqmenti tapın) və sonra ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu ilə onları dəqiqləşdirin. Funksiyanın işarələrini təyin etməklə kökləri ayıra bilərsiniz f(x) və onun mövcud olduğu bölgənin sərhəd nöqtələrində törəməsi, problemin fiziki mənasından və ya oxşar problemin digər ilkin məlumatlarla həllindən təxmini dəyərləri qiymətləndirir.

Geniş yayılmış qrafik üsul həqiqi köklərin təxmini dəyərlərini təyin etmək - funksiyanın qrafikini qurmaq f(x) və ox ilə kəsişmə nöqtələrini qeyd edin OH. Tez-tez tənliyi əvəz etməklə qrafiki sadələşdirmək olar f(x)= 0 ekvivalent tənliklə , burada funksiyalar f 1 (x) və f 2 (x) - funksiyadan daha sadədir f(x). Bu vəziyyətdə, bu qrafiklərin kəsişmə nöqtəsini axtarmaq lazımdır.

Misal 1 Tənliyin köklərini qrafik olaraq ayırın x lg x= 1. Onu lg bərabərliyi kimi yenidən yazın x= 1/x və loqarifmik əyrinin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapın y= log x və hiperbola y= 1/x (Şəkil 5). Tənliyin tək kökü olduğu görülə bilər.

MathCAD paketində klassik təxmini həll üsullarının tətbiqi.

Yarım bölmə üsulu

Sonlarında funksiyanın müxtəlif işarələrin dəyərlərini qəbul etdiyi seqment yarıya bölünür və kök mərkəzi nöqtənin sağında yerləşirsə, sol kənar mərkəzə çəkilir və əgər sol, sonra sağ kənar. Yeni daralmış seqment yenidən yarıya bölünür və prosedur təkrarlanır. Bu üsul sadə və etibarlıdır, həmişə birləşir (baxmayaraq ki, tez-tez yavaş-yavaş - sadəliyin dəyəri!). Onun proqram təminatının MathCAD paketində tətbiqi bu təlimatın 7 saylı laboratoriya işində nəzərdən keçirilir.

akkord üsulu

Tənliyin kökünə ardıcıl yaxınlaşmalar olaraq, dəyərlər alınır X 1 , X 2 , ..., x n akkordun kəsişmə nöqtələri AB absis oxu ilə (şək. 6).

Akkord tənliyi AB formasına malikdir: . Onun absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsi üçün ( x=x 1 ,y= 0) bizdə:

Qoy, dəqiqlik üçün əyri olsun saat = f(x) aşağıya doğru qabarıq olacaq və buna görə də akkordunun altında yerləşir AB, yəni. seqmentdə f²( x)>0. İki hal mümkündür: f(a)>0 (Şəkil 6, a) və f(a)<0 (рис. 6, b).

Birinci halda, bitir a hərəkətsiz. Ardıcıl təkrarlamalar məhdud monoton azalan ardıcıllıq əmələ gətirir və tənliklərə əsasən müəyyən edilir:

x 0 = b; . (4.1)

İkinci halda, son sabitlənir b, ardıcıl təkrarlamalar məhdud monoton artan ardıcıllıq əmələ gətirir: və tənliklərə əsasən müəyyən edilir:

x 0 = a; . (4.2)

Beləliklə, funksiyanın işarəsi olan sabit son seçilməlidir f(X) və onun ikinci törəməsi f²( X) üst-üstə düşür və ardıcıl yaxınlaşmalar x n bu işarələrin əks olduğu x kökünün o biri tərəfində yatır. İterativ proses iki ardıcıl yaxınlaşmanın fərqinin modulu həllin verilmiş dəqiqliyindən az olana qədər davam edir.

Misal 2 Tənliyin müsbət kökünü tapın f(x) º x 3 –0,2x 2 –0,2X e= 0,01 dəqiqliyi ilə –1,2 = 0. (Tənliyin dəqiq kökü x = 1.2-dir).

MathCAD sənədində iterativ hesablamaları təşkil etmək üçün funksiyadan istifadə olunur qədər( a, z), kəmiyyətin dəyərini qaytarır z ifadə edərkən a mənfiyə çevrilmir.

Nyuton üsulu

Bu metodun əvvəlkindən fərqi ondan ibarətdir ki, hər addımda akkord əvəzinə əyriyə bir tangens çəkilir. y=f(x)at x=x i və onun absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsi axtarılır (şək. 7):

Bu halda, tənliyin kökünü ehtiva edən [a, b] seqmentini təyin etmək lazım deyil), ancaq eyni olması lazım olan x \u003d x 0 kökünün ilkin yaxınlaşmasını təyin etmək kifayətdir. [a, b] intervalının sonu, burada funksiyanın işarələri və onun ikinci törəməsi uyğun gəlir.

Əyriyə çəkilmiş tangensin tənliyi y=f(x) nöqtəsi vasitəsilə AT 0 koordinatları ilə X 0 və f(X 0) formaya malikdir:

Buradan kökün aşağıdakı yaxınlaşmasını tapırıq X 1 ox ilə tangensin kəsişmə nöqtəsinin absisi kimi Oh(y= 0):

Eynilə, sonrakı təxminləri nöqtələrdə çəkilmiş tangenslərin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri kimi tapmaq olar. 1-də, AT 2 və sair. üçün düstur ( i + 1) yaxınlaşma aşağıdakı formada olur:

İterativ prosesin dayandırılmasının şərti ï bərabərsizliyidir f(x i)ï

Misal 3. Nyutonun iterativ metodunun həyata keçirilməsi.

Sadə təkrarlama üsulu ( ardıcıl təkrarlamalar)

Orijinal qeyri-xətti tənliyi əvəz edək f(X)=0 formasının ekvivalent tənliyi ilə x=j( x). Kökün ilkin yaxınlaşması məlumdursa x = x 0 , onda düsturla yeni bir yaxınlaşma əldə edilə bilər: X 1 =j( X 0). Bundan əlavə, hər dəfə kökün yeni dəyərini orijinal tənliyə əvəz edərək, dəyərlər ardıcıllığını əldə edirik:

Metodun həndəsi təfsiri ondan ibarətdir ki, tənliyin hər bir həqiqi kökü kəsişmə nöqtəsinin absisidir. Məyri y= j( X) düz xətt ilə y=x(şək. 8). İxtiyari t-dən ayrılaraq. AMMA 0 [x 0 ,j( x 0)] ilkin yaxınlaşma , qırıq bir xətt çəkirik AMMA 0 AT 1 AMMA 1 AT 2 AMMA 2 .., "nərdivan" şəklində olan (şək. 8, a) j’(x) törəməsi müsbətdirsə və “spiral” forması (şək. 8, b) əks halda.

	in)
düyü. 8. Sadə təkrarlama üsulu: a, b konvergent iterasiyadır, in divergent iterasiyadır.

Qeyd edək ki, j( əyrisinin düzlüyünü əvvəlcədən yoxlamaq lazımdır. X), çünki kifayət qədər düz deyilsə (>1), onda iterasiya prosesi divergent ola bilər (şək. 8, in).

Misal 4 . Tənliyi həll edin x 3 – x– 1 = 0 sadə təkrarlama üsulu ilə e = 10 -3 dəqiqliyi ilə. Bu tapşırığın yerinə yetirilməsi aşağıdakı MathCAD sənədində təqdim olunur.

Daxili MathCAD funksiyaları ilə təxmini həll üsullarının həyata keçirilməsi

Funksiyadan istifadəkök

Formanın tənlikləri üçün f(x) = 0 funksiyadan istifadə edərək həll tapılır: kök ( f(X ),x,a,b) , bir dəyər qaytarır X , seqmentinə aiddir [a, b] ifadəsi və ya funksiyası olan f(X) 0 olur. Bu funksiyanın həm x, həm də f(x) arqumentləri skalyar olmalıdır və arqumentlər a, b – isteğe bağlıdır və istifadə olunarsa, həqiqi ədədlər olmalıdır, ilə a< b. Funksiya tənliyin təkcə real deyil, həm də mürəkkəb köklərini tapmağa imkan verir (mürəkkəb formada ilkin yaxınlaşmanı seçərkən).

Tənliyin kökləri yoxdursa, onlar ilkin yaxınlaşmadan çox uzaqda yerləşirlər, ilkin yaxınlaşma real idi və köklər mürəkkəbdirsə, funksiya f(X) kəsilmələrə malikdir (kökün ilkin təxminləri arasında yerli ekstremal), sonra bir mesaj görünəcək (konvergensiya yoxdur). Xətanın səbəbini qrafiki araşdıraraq tapmaq olar f(x). Bu, tənliyin köklərinin mövcudluğunu tapmağa kömək edəcəkdir f(x) = 0 və əgər varsa, onların təxmini dəyərlərini təyin edin. Kökün ilkin yaxınlaşması nə qədər dəqiq seçilsə, funksiya bir o qədər tez birləşəcək. kök.

İfadə üçün f(x) kökü məlumdur aəlavə köklərin tapılması f(x) tənliyin köklərinin tapılmasına bərabərdir h(x)=f(x)/(x-a). İfadənin kökünü tapmaq daha asandır h(x) tənliyin başqa kökünü tapmağa çalışmaqdansa f(x müxtəlif ilkin təxminləri seçməklə )=0. Bənzər bir hiylə bir-birinə yaxın olan kökləri tapmaq üçün faydalıdır və aşağıdakı sənəddə həyata keçirilir.

Misal 5. Kök funksiyasından istifadə edərək cəbri tənliyi həll edin:

Qeyd. TOL (tolerantlıq) sistem dəyişəninin dəyərini artırsanız, funksiya kök daha sürətli yaxınlaşacaq, lakin cavab daha az dəqiq olacaq və TOL azaldıqca daha yavaş yaxınlaşma müvafiq olaraq daha yüksək dəqiqliyi təmin edir. Sonuncu, bir-birinə yaxın olan iki kökü ayırd etmək tələb olunarsa və ya funksiya f(x) istədiyiniz kökün yaxınlığında kiçik bir yamac var, çünki bu halda iterativ proses kökdən kifayət qədər uzaq bir nəticəyə yaxınlaşa bilər. Sonuncu halda, dəqiqliyi artırmaq üçün alternativ tənliyi əvəz etməkdir f(x) = 0 açıqdır g(x) = 0, burada.

Funksiyadan istifadəpoliköklülər

Əgər f(x) funksiyası n dərəcə çoxhədlidirsə, f(x)=0 tənliyini həll etmək üçün funksiyadan istifadə etmək daha yaxşıdır. poliköklülər(a) daha kök, çünki o, ilkin yaxınlaşma tələb etmir və həm real, həm də mürəkkəb bütün kökləri bir anda qaytarır. Onun arqumenti ilkin çoxhədlinin əmsallarından ibarət a vektorudur. Əl ilə və ya əmrdən istifadə etməklə yaradıla bilər Simvollar Þ Polinom əmsalları(x çoxhədli dəyişəni kursor tərəfindən vurğulanır). Funksiya tətbiqi nümunəsi polyroots:

Funksiyadan istifadəhəll etməkvə qərar bloku

Açar söz qərar bloku ( Verilmiş - Tap və ya Verilmiş – Minerr) və ya funksiya həll etmək ilkin yaxınlaşma ilkin verildiyi halda ixtiyari qeyri-xətti tənliyin həllini tapmağı mümkün etmək.

Qeyd edək ki, funksiyalar arasında tapmaq və kök bir növ rəqabət var. Bir tərəf, tapmaq həm tənliklərin, həm də sistemlərin köklərini axtarmağa imkan verir. Bu mövqelərdən funksiya kök lazım deyilmiş kimi. Ancaq digər tərəfdən, dizayn Verilmiş Tap MathCAD proqramlarına yapışdırıla bilməz. Buna görə də proqramlarda əvəzetmələrlə sistemi bir tənliyə endirmək və funksiyadan istifadə etmək lazımdır kök.

MathCAD paketində tənliklərin simvolik həlli

Bir çox hallarda MathCAD sizə tənliyin analitik həllini tapmağa imkan verir. Tənliyin həllini analitik formada tapmaq üçün ifadəni yazmaq və orada dəyişəni seçmək lazımdır. Bundan sonra, menyu elementindən seçin simvolik yarımbənd Dəyişən üçün həll edin .

Simvolik formada həll tapmaq üçün digər variantlar (eyni tənliyin həlli nümunələri verilmişdir) - funksiyadan istifadə etməklə həll etmək riyazi əməliyyatlar palitrasından Simvollar (simvolik).

həll blokundan istifadə etməklə (açar sözlərlə verilmiş - tapmaq)