Fransua Vieta (1540-1603) - riyaziyyatçı, məşhur Vyeta düsturlarının yaradıcısı
Vyeta teoremi kvadrat tənlikləri tez həll etmək üçün lazım olan (sadə dildə).
Daha ətraflı, t Vyeta teoremi - bu kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan ikinci əmsala bərabərdir və məhsul sərbəst müddətə bərabərdir. Bu xassə kökləri olan hər hansı verilmiş kvadrat tənliyə malikdir.
Vyeta teoremindən istifadə edərək, seçmə yolu ilə kvadrat tənlikləri asanlıqla həll edə bilərsiniz, ona görə də xoşbəxt 7-ci sinfimiz üçün əlində qılınc olan bu riyaziyyatçıya “sağ ol” deyək.
Vyeta teoreminin sübutu
Teoremi sübut etmək üçün tanınmış kök düsturlarından istifadə edə bilərsiniz, bunun sayəsində kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və məhsulunu tərtib edəcəyik. Yalnız bundan sonra onların bərabər olmasına və müvafiq olaraq .
Tutaq ki, bizdə bir tənlik var: . Bu tənliyin aşağıdakı kökləri var: və . Gəlin bunu sübut edək.
Kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarına görə:
1. Köklərin cəmini tapın:
Gəlin bu tənliyi təhlil edək, belə ki, əldə etdik:
= .
Addım 1. Kəsrləri ortaq məxrəcə endiririk, belə çıxır:
= = .
Addım 2. Mötərizələri açmağınız lazım olan bir hissə əldə etdik:
Kəsiri 2 azaldırıq və alırıq:
Kvadrat tənliyin köklərinin cəmi üçün əlaqəni Vyeta teoremindən istifadə edərək sübut etdik.
2. Köklərin hasilini tapın:
= = = = = .
Bu tənliyi sübut edək:
Addım 1. Fraksiyaları çoxaltmaq üçün bir qayda var, ona uyğun olaraq bu tənliyi çoxaldırıq:
İndi kvadrat kökün tərifini xatırlayırıq və hesab edirik:
= .
Addım 3. Kvadrat tənliyin diskriminantını xatırlayırıq: . Buna görə də, D (diskriminant) əvəzinə sonuncu fraksiyada əvəz edirik, sonra alırıq:
= .
Addım 4. Mötərizələri açın və kəsrlərə oxşar terminlər əlavə edin:
Addım 5. Biz "4a" nı azaldırıq və alırıq.
Beləliklə, biz Vyeta teoreminə uyğun olaraq köklərin hasilinin əlaqəsini sübut etdik.
ƏHƏMİYYƏTLİ!Əgər diskriminant sıfırdırsa, onda kvadrat tənliyin yalnız bir kökü var.
Vyeta teoreminə tərs teorem
Vyeta teoreminin tərsi olan teoremə görə tənliyimizin düzgün həll olunub-olunmadığını yoxlaya bilərik. Teoremin özünü başa düşmək üçün onu daha ətraflı nəzərdən keçirməliyik.
Əgər rəqəmlər:
Və sonra onlar kvadrat tənliyin kökləridir.
Vyetanın əks teoreminin sübutu
Addım 1.Onun əmsallarının ifadələrini tənlikdə əvəz edək:
Addım 2Tənliyin sol tərəfini çevirək:
Addım 3. Tənliyin köklərini tapaq və bunun üçün hasilin sıfıra bərabər olması xassəsindən istifadə edirik:
Və ya . Haradan gəlir: və ya.
Vyeta teoremi ilə həlləri olan nümunələr
Misal 1
Məşq edin
Kvadrat tənliyin köklərini tapmadan onun köklərinin cəmini, hasilini və kvadratlarının cəmini tapın.
Həll
Addım 1. Diskriminant formulunu xatırlayın. Rəqəmlərimizi hərflərin altına qoyuruq. Yəni, , və -nin əvəzidir. Bu nəzərdə tutur:
Çıxır:
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}
Köklərin kvadratlarının cəmini onların cəmi və hasili ilə ifadə edirik:
Cavab verin
7; 12; 25.
Misal 2
Məşq edin
Tənliyi həll edin. Bu halda kvadrat tənliyin düsturlarından istifadə etməyin.
Həll
Bu tənliyin diskriminant (D) baxımından sıfırdan böyük olan kökləri var. Müvafiq olaraq Vyeta teoreminə görə bu tənliyin köklərinin cəmi 4, hasil isə 5-dir. Əvvəlcə cəmi 4 olan ədədin bölənlərini müəyyən edirik. Bunlar “5” və rəqəmlərdir. "-1". Onların hasili - 5-ə, cəmi isə - 4-ə bərabərdir. Deməli, Vyeta teoreminin əksi olan teoremə görə onlar bu tənliyin kökləridir.
Cavab verin
Və Misal 4
Məşq edin
Hər bir kök tənliyin müvafiq kökündən iki dəfə çox olduğu bir tənlik yazın:
Həll
Vyeta teoreminə görə, bu tənliyin köklərinin cəmi 12, hasil isə = 7-dir. Deməli, iki kök müsbətdir.
Yeni tənliyin köklərinin cəmi bərabər olacaq:
Və iş.
Vyeta teoreminin əksinə olan bir teoremlə yeni tənlik aşağıdakı formaya malikdir:
Cavab verin
Nəticə, hər bir kökün iki dəfə böyük olan bir tənlik oldu:
Beləliklə, biz Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliyi necə həll edəcəyimizə baxdıq. Kvadrat tənliklərin köklərinin işarələri ilə əlaqəli tapşırıqlar həll edilərsə, bu teoremdən istifadə etmək çox rahatdır. Yəni, düsturdakı sərbəst şərt müsbət ədəddirsə və kvadrat tənlikdə həqiqi köklər varsa, onların hər ikisi ya mənfi, ya da müsbət ola bilər.
Sərbəst termin mənfi ədəddirsə və kvadrat tənlikdə həqiqi köklər varsa, hər iki işarə fərqli olacaq. Yəni bir kök müsbətdirsə, digər kök yalnız mənfi olacaq.
Faydalı mənbələr:
- Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimoviç E. A. Cəbr 8-ci sinif: Moskva "Maarifləndirmə", 2016 - 318 s.
- Rubin A. G., Chulkov P. V. - dərslik Cəbr 8-ci sinif: Moskva "Balass", 2015 - 237 s.
- Nikolski S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Şevkin A. V. – Cəbr 8-ci sinif: Moskva “Maarifçilik”, 2014 – 300
Vyeta teoremi, tərs Vyeta düsturu və dummilər üçün həll nümunələri yenilənib: 22 noyabr 2019-cu il: Elmi məqalələr.Ru
Məktəb cəbri kursunda ikinci dərəcəli tənliklərin həlli yollarını öyrənərkən, alınan köklərin xassələrini nəzərə alın. Onlar indi Vyeta teoremləri kimi tanınırlar. Onun istifadəsinə dair nümunələr bu məqalədə verilmişdir.
Kvadrat tənlik
İkinci dərəcəli tənlik aşağıdakı fotoşəkildə göstərilən bərabərlikdir.
Burada a, b, c simvolları nəzərdən keçirilən tənliyin əmsalları adlanan bəzi ədədlərdir. Bərabərliyi həll etmək üçün onu doğru edən x dəyərlərini tapmaq lazımdır.
Qeyd edək ki, x-in qaldırıldığı gücün maksimum qiyməti iki olduğu üçün ümumi halda köklərin sayı da ikidir.
Bu tip bərabərliyi həll etməyin bir neçə yolu var. Bu yazıda Vyeta teoreminin istifadəsini nəzərdə tutan onlardan birini nəzərdən keçirəcəyik.
Vyeta teoreminin ifadəsi
16-cı əsrin sonlarında məşhur riyaziyyatçı Fransua Viet (Fransız) müxtəlif kvadratik tənliklərin köklərinin xassələrini təhlil edərək, onların müəyyən birləşmələrinin xüsusi əlaqələri təmin etdiyini qeyd etdi. Xüsusilə, bu birləşmələr onların məhsulu və cəmidir.
Vyeta teoremi aşağıdakıları təsbit edir: kvadrat tənliyin kökləri cəmləndikdə əks işarə ilə alınan xətti və kvadrat əmsalların nisbətini verir və onlar vurulduqda sərbəst müddətin kvadrat əmsala nisbətini verir. .
Əgər tənliyin ümumi forması məqalənin əvvəlki bölməsindəki fotoşəkildə göstərildiyi kimi yazılıbsa, riyazi olaraq bu teorem iki bərabərlik kimi yazıla bilər:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Burada r 1 , r 2 nəzərdən keçirilən tənliyin köklərinin qiymətidir.
Bu iki bərabərlik bir sıra çox fərqli riyazi problemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Vyeta teoreminin həlli olan nümunələrdə istifadəsi məqalənin sonrakı bölmələrində verilmişdir.
Kvadrat tənliklərdə bir sıra əlaqələr mövcuddur. Əsas olanlar köklər və əmsallar arasındakı əlaqələrdir. Həmçinin, bir sıra əlaqələr Vyeta teoremi ilə verilən kvadratik tənliklərdə işləyir.
Bu mövzuda biz Vyeta teoreminin özünü və onun kvadrat tənlik üçün isbatını, Vyeta teoreminin əksi olan teoremi təqdim edirik və bir sıra məsələlərin həllinə dair nümunələri təhlil edirik. Materialda dərəcənin cəbri tənliyinin həqiqi kökləri arasındakı əlaqəni təyin edən Vyeta düsturlarının nəzərdən keçirilməsinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. n və onun əmsalları.
Vyeta teoreminin ifadəsi və sübutu
Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur a x 2 + b x + c = 0 x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a şəklində, burada D = b 2 − 4 a c, nisbətini təyin edir x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Bu, Vyeta teoremi ilə təsdiqlənir.
Teorem 1
Kvadrat tənlikdə a x 2 + b x + c = 0, harada x 1 və x2- köklər, köklərin cəmi əmsalların nisbətinə bərabər olacaqdır b və a, əks işarə ilə qəbul edilmiş və köklərin məhsulu əmsalların nisbətinə bərabər olacaqdır c və a, yəni. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.
Sübut 1
Sübutun aparılması üçün sizə aşağıdakı sxemi təklif edirik: biz köklərin düsturunu götürürük, kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini tərtib edirik və sonra alınan ifadələrin bərabər olduğuna əmin olmaq üçün onları çeviririk. -b a və c a müvafiq olaraq.
Köklərin cəmini tərtib edin x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Kəsrləri ortaq məxrəcə gətirək - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Yaranan kəsrin payında mötərizələri açıb oxşar şərtləri verək: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Kəsiri azaldın: 2 - b a \u003d - b a.
Beləliklə, biz kvadrat tənliyin köklərinin cəminə aid olan Vyeta teoreminin birinci əlaqəsini sübut etdik.
İndi keçək ikinci əlaqəyə.
Bunu etmək üçün kvadrat tənliyin köklərinin məhsulunu tərtib etməliyik: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.
Kəsrlərin vurulması qaydasını xatırlayın və son hasilatı aşağıdakı kimi yazın: - b + D · - b - D 4 · a 2 .
Mötərizədə mötərizəni kəsrin payındakı mötərizə ilə vuracağıq və ya bu məhsulu daha sürətli çevirmək üçün kvadratlar fərqinin düsturundan istifadə edəcəyik: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Aşağıdakı keçidi həyata keçirmək üçün kvadrat kökün tərifindən istifadə edək: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Düstur D = b 2 − 4 a c kvadrat tənliyin diskriminantına uyğun gəlir, buna görə də əvəzinə kəsrə çevrilir Dəvəz edilə bilər b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Mötərizələri açaq, bəyənmə şərtlərini verək və alaq: 4 · a · c 4 · a 2 . Qısaldsaq 4 a, sonra c a qalır. Beləliklə, biz köklərin hasili üçün Vyeta teoreminin ikinci əlaqəsini sübut etdik.
Vyeta teoreminin sübutunun qeydi, şərhləri buraxsaq, çox qısa bir formaya sahib ola bilər:
x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .
Kvadrat tənliyin diskriminantı sıfır olduqda, tənliyin yalnız bir kökü olacaq. Vyeta teoremini belə bir tənliyə tətbiq etmək üçün diskriminantı sıfıra bərabər olan tənliyin iki eyni kökə malik olduğunu düşünə bilərik. Həqiqətən, at D=0 kvadrat tənliyin kökü: - b 2 a, sonra x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a və x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2 və D \u003d 0 olduğundan, yəni b 2 - 4 a c = 0, buradan b 2 = 4 a c, onda b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .
Çox vaxt praktikada Vyeta teoremi formanın azaldılmış kvadrat tənliyinə münasibətdə tətbiq olunur. x 2 + p x + q = 0, burada aparıcı əmsalı a 1-ə bərabərdir. Bununla əlaqədar olaraq, Vyeta teoremi bu tip tənliklər üçün dəqiq şəkildə tərtib edilmişdir. Bu, hər hansı kvadrat tənliyi ekvivalent tənliklə əvəz edə bildiyinə görə ümumiliyi məhdudlaşdırmır. Bunun üçün onun hər iki hissəsini sıfırdan fərqli olan a sayına bölmək lazımdır.
Vyeta teoreminin daha bir mülahizəsini verək.
Teorem 2
Verilmiş kvadrat tənlikdəki köklərin cəmi x 2 + p x + q = 0əks işarə ilə alınan x-də əmsala bərabər olacaq, köklərin məhsulu sərbəst müddətə bərabər olacaq, yəni. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.
Vyeta teoreminə tərs teorem
Vyeta teoreminin ikinci düsturuna diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, köklər üçün x 1 və x2 azaldılmış kvadrat tənlik x 2 + p x + q = 0 x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q münasibətləri etibarlı olacaqdır. Bu münasibətlərdən x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, belə çıxır ki, x 1 və x2 kvadrat tənliyin kökləridir x 2 + p x + q = 0. Beləliklə, Vyeta teoreminin əksi olan bir ifadəyə çatırıq.
İndi biz bu müddəanı bir teorem kimi rəsmiləşdirməyi və onun isbatını həyata keçirməyi təklif edirik.
Teorem 3
Əgər nömrələr x 1 və x2 belədirlər x 1 + x 2 = − s və x 1 x 2 = q, sonra x 1 və x2 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridir x 2 + p x + q = 0.
Sübut 2
Əmsalların dəyişdirilməsi səh və q vasitəsilə ifadə etmək x 1 və x2 tənliyi çevirməyə imkan verir x 2 + p x + q = 0 ekvivalentində .
Nəticə tənliyində ədədi əvəz etsək x 1əvəzinə x, onda bərabərliyi əldə edirik x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu bərabərlik hər kəs üçün x 1 və x2 həqiqi ədədi bərabərliyə çevrilir 0 = 0 , çünki x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu o deməkdir ki x 1- tənliyin kökü x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, və nə x 1 həm də ekvivalent tənliyin köküdür x 2 + p x + q = 0.
Tənliyin dəyişdirilməsi x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 nömrələri x2 x əvəzinə bərabərliyi əldə etməyə imkan verir x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Bu bərabərliyi doğru hesab etmək olar, çünki x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Belə çıxır ki x2 tənliyin köküdür x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, və deməli, tənliklər x 2 + p x + q = 0.
Vyeta teoreminin əksi olan teorem sübut edilmişdir.
Vyeta teoremindən istifadə nümunələri
İndi mövzu ilə bağlı ən tipik nümunələrin təhlilinə davam edək. Vyeta teoreminin əksi olan teoremin tətbiqini tələb edən məsələlərin təhlilindən başlayaq. Hesablamalar zamanı alınan ədədlərin verilmiş kvadrat tənliyin kökləri olub-olmamasını yoxlamaq üçün istifadə edilə bilər. Bunun üçün onların cəmini və fərqini hesablamaq, sonra x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c nisbətlərinin etibarlılığını yoxlamaq lazımdır.
Hər iki münasibətin yerinə yetirilməsi hesablamalar zamanı alınan ədədlərin tənliyin kökləri olduğunu göstərir. Şərtlərdən ən azı birinin yerinə yetirilmədiyini görsək, onda bu ədədlər məsələnin şərtində verilmiş kvadrat tənliyin kökləri ola bilməz.
Misal 1
Rəqəm cütlərindən hansı 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 və ya 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 və ya 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 kvadrat tənliyin cüt kökləridir 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Həll
Kvadrat tənliyin əmsallarını tapın 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Bu a = 4, b = - 16, c = 9-dur. Vyeta teoreminə uyğun olaraq, kvadrat tənliyin köklərinin cəminə bərabər olmalıdır. -b a, yəni, 16 4 = 4 , və köklərin məhsulu bərabər olmalıdır c a, yəni, 9 4 .
Verilmiş üç cütdən ədədlərin cəmini və hasilini hesablayaraq və onları alınan qiymətlərlə müqayisə edərək alınan ədədləri yoxlayaq.
Birinci halda x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Bu dəyər 4-dən fərqlidir, ona görə də yoxlamağa davam etmək lazım deyil. Vyeta teoreminin tərsi olan teoremə görə dərhal belə nəticəyə gələ bilərik ki, ilk cüt ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri deyil.
İkinci halda x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Birinci şərtin yerinə yetirildiyini görürük. Ancaq ikinci şərt deyil: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Aldığımız dəyər fərqlidir 9 4 . Bu o deməkdir ki, ikinci ədəd cütü kvadrat tənliyin kökləri deyil.
Üçüncü cütə keçək. Burada x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 və x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Hər iki şərt yerinə yetirilir, yəni x 1 və x2 verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir.
Cavab: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2
Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün Vyeta teoreminin tərsinə də istifadə edə bilərik. Ən asan yol, tam əmsallı verilmiş kvadrat tənliklərin tam köklərini seçməkdir. Digər variantlar da nəzərdən keçirilə bilər. Ancaq bu, hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə çətinləşdirə bilər.
Kökləri seçmək üçün ondan istifadə edirik ki, əgər iki ədədin cəmi mənfi işarə ilə götürülmüş kvadrat tənliyin ikinci əmsalına bərabərdirsə və bu ədədlərin hasili sərbəst müddətə bərabərdirsə, onda bu ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri.
Misal 2
Nümunə olaraq kvadrat tənlikdən istifadə edirik x 2 − 5 x + 6 = 0. Nömrələri x 1 və x2 iki bərabərlik təmin olunarsa, bu tənliyin kökləri ola bilər x1 + x2 = 5 və x 1 x 2 = 6. Gəlin həmin nömrələri seçək. Bunlar 2 və 3 rəqəmləridir, çünki 2 + 3 = 5 və 2 3 = 6. Belə çıxır ki, 2 və 3 bu kvadrat tənliyin kökləridir.
Vyeta teoreminin tərsi birinci kök məlum və ya aşkar olduqda ikinci kökü tapmaq üçün istifadə edilə bilər. Bunun üçün x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a nisbətlərindən istifadə edə bilərik.
Misal 3
Kvadrat tənliyi nəzərdən keçirək 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Bu tənliyin köklərini tapmaq lazımdır.
Həll
Bu kvadrat tənliyin əmsallarının cəmi sıfır olduğu üçün tənliyin birinci kökü 1-dir. Belə çıxır ki x 1 = 1.
İndi ikinci kökü tapaq. Bunu etmək üçün nisbətdən istifadə edə bilərsiniz x 1 x 2 = c a. Belə çıxır ki 1 x 2 = − 3 512, harada x 2 \u003d - 3 512.
Cavab: məsələnin şərtində göstərilən kvadrat tənliyin kökləri 1 və - 3 512 .
Yalnız sadə hallarda Vyeta teoreminin əksinə olan teoremdən istifadə edərək kökləri seçmək mümkündür. Digər hallarda, diskriminant vasitəsilə kvadrat tənliyin köklərinin düsturundan istifadə edərək axtarış etmək daha yaxşıdır.
Vietanın əks teoremi sayəsində biz də kökləri verilmiş kvadrat tənliklər yarada bilərik. x 1 və x2. Bunun üçün köklərin cəmini hesablamalıyıq ki, bu da at əmsalı verir x azaldılmış kvadrat tənliyin əks işarəsi və sərbəst termini verən köklərin hasili ilə.
Misal 4
Kökləri ədədlər olan kvadrat tənliyi yazın − 11 və 23 .
Həll
Bunu qəbul edək x 1 = − 11 və x2 = 23. Bu ədədlərin cəmi və məhsulu bərabər olacaq: x1 + x2 = 12 və x 1 x 2 = − 253. Bu o deməkdir ki, ikinci əmsal 12, sərbəst müddətdir − 253.
Bir tənlik edirik: x 2 - 12 x - 253 = 0.
Cavab verin: x 2 - 12 x - 253 = 0 .
Kvadrat tənliklərin köklərinin işarələri ilə əlaqəli məsələləri həll etmək üçün Vyeta teoremindən istifadə edə bilərik. Vyeta teoremi arasındakı əlaqə azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin işarələri ilə bağlıdır. x 2 + p x + q = 0 aşağıdakı şəkildə:
- kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa və sərbəst həddi varsa q müsbət ədəddir, onda bu köklər eyni işarəli "+" və ya "-" olacaq;
- kvadrat tənliyin kökləri varsa və sərbəst həddi varsa q mənfi ədəddir, onda bir kök "+" və ikinci "-" olacaqdır.
Bu ifadələrin hər ikisi formulun nəticəsidir x 1 x 2 = q müsbət və mənfi ədədlər, eləcə də müxtəlif işarəli ədədlər üçün vurma qaydaları.
Misal 5
Kvadrat tənliyin kökləridir x 2 - 64 x - 21 = 0 müsbət?
Həll
Vyeta teoreminə görə, bu tənliyin kökləri hər ikisi müsbət ola bilməz, çünki onlar bərabərliyi təmin etməlidirlər. x 1 x 2 = − 21. Bu, müsbət ilə mümkün deyil x 1 və x2.
Cavab: yox
Misal 6
Parametrin hansı dəyərlərində r kvadrat tənlik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 müxtəlif işarələrə malik iki həqiqi kökə malik olacaq.
Həll
Nəyin dəyərlərini tapmaqla başlayaq r, bunun üçün tənliyin iki kökü var. Gəlin diskriminant tapaq və görək nə üçün r müsbət dəyərlər alacaq. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. İfadə dəyəri r2 + 8 hər hansı bir real üçün müsbət r, buna görə də diskriminant istənilən real üçün sıfırdan böyük olacaq r. Bu o deməkdir ki, ilkin kvadrat tənliyin parametrin istənilən real dəyəri üçün iki kökü olacaq r.
İndi köklərin nə vaxt fərqli əlamətlərə sahib olacağını görək. Bu, onların məhsulu mənfi olduqda mümkündür. Vyeta teoreminə görə, azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst müddətə bərabərdir. Beləliklə, düzgün həll bu dəyərlərdir r, bunun üçün r − 1 sərbəst termini mənfidir. r − 1 xətti bərabərsizliyini həll edirik< 0 , получаем r < 1 .
Cavab: r< 1 .
Vieta düsturları
Yalnız kvadrat deyil, kub və digər növ tənliklərin kökləri və əmsalları ilə əməliyyatları yerinə yetirmək üçün tətbiq olunan bir sıra düsturlar var. Onlara Vieta düsturları deyilir.
Dərəcənin cəbri tənliyi üçün n a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + şəklindədir. . . + a n - 1 x + a n = 0 tənliyin malik olduğu hesab edilir nəsl köklər x 1 , x 2 , … , x n, bunlara aşağıdakılar daxil ola bilər:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3. . . x n = (- 1) n a n a 0
Tərif 1
Vieta düsturlarını əldə edin bizə kömək edin:
- çoxhədlinin xətti amillərə parçalanması haqqında teorem;
- bərabər çoxhədlilərin bütün uyğun əmsallarının bərabərliyi vasitəsilə müəyyən edilməsi.
Deməli, a 0 x n + a 1 x n polinomu - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n və onun a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · formasının xətti amillərinə genişlənməsi. . . · (x - x n) bərabərdir.
Sonuncu məhsulda mötərizələri açıb müvafiq əmsalları bərabərləşdirsək, onda Vieta düsturlarını alırıq. N \u003d 2 götürərək, kvadrat tənlik üçün Vyeta düsturunu əldə edə bilərik: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.
Tərif 2
Kub tənliyi üçün Vyeta düsturu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Vyeta düsturlarının sol tərəfində elementar simmetrik polinomlar var.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Riyaziyyatda bir çox kvadrat tənliklərin çox tez və heç bir ayrı-seçkilik olmadan həll olunduğu xüsusi fəndlər var. Üstəlik, düzgün təlimlə çoxları kvadrat tənlikləri şifahi olaraq, sözün əsl mənasında "bir baxışda" həll etməyə başlayır.
Təəssüf ki, məktəb riyaziyyatının müasir kursunda belə texnologiyalar demək olar ki, öyrənilmir. Və bilməlisən! Və bu gün biz bu üsullardan birini - Vyeta teoremini nəzərdən keçirəcəyik. Əvvəlcə yeni bir tərif təqdim edək.
x 2 + bx + c = 0 şəklində olan kvadratik tənliyə endirilmiş deyilir. Nəzərə alın ki, x 2-də əmsalı 1-ə bərabərdir. Əmsallarda başqa heç bir məhdudiyyət yoxdur.
- x 2 + 7x + 12 = 0 azaldılmış kvadrat tənlikdir;
- x 2 − 5x + 6 = 0 da azaldılır;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - lakin bu heç bir azalma deyil, çünki x 2-də əmsalı 2-dir.
Əlbəttə ki, ax 2 + bx + c = 0 formasının istənilən kvadratik tənliyi kiçildilmiş edilə bilər - bütün əmsalları a sayına bölmək kifayətdir. Biz bunu həmişə edə bilərik, çünki kvadrat tənliyin tərifindən belə nəticə çıxır ki, a ≠ 0.
Düzdür, bu çevrilmələr həmişə kök tapmaq üçün faydalı olmayacaq. Bir az aşağı, bunun yalnız son kvadrat tənlikdə bütün əmsallar tam olduqda ediləcəyinə əmin olacağıq. Hələlik bir neçə sadə nümunəyə baxaq:
Bir tapşırıq. Kvadrat tənliyi azaldılmış tənliyə çevirin:
- 3x2 − 12x + 18 = 0;
- −4x2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x2 + 7x − 11 = 0.
Hər bir tənliyi x 2 dəyişəninin əmsalına bölək. Biz əldə edirik:
- 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - hər şeyi 3-ə böldü;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4-ə bölünür;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1,5-ə bölündükdə bütün əmsallar tam ədəd oldu;
- 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - 2-yə bölünür. Bu vəziyyətdə fraksiya əmsalları yarandı.
Göründüyü kimi, verilmiş kvadrat tənliklər hətta ilkin tənlikdə kəsrlər olsa belə tam əmsallara malik ola bilər.
İndi biz əsas teoremi tərtib edirik, bunun üçün əslində azaldılmış kvadrat tənlik anlayışı təqdim olunur:
Vyeta teoremi. x 2 + bx + c \u003d 0 formasının azaldılmış kvadrat tənliyini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, bu tənliyin x 1 və x 2 həqiqi kökləri var. Bu halda, aşağıdakı ifadələr doğrudur:
- x1 + x2 = −b. Başqa sözlə, verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan x dəyişəninin əmsalına bərabərdir;
- x 1 x 2 = c. Kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst əmsala bərabərdir.
Nümunələr. Sadəlik üçün yalnız əlavə çevrilmə tələb etməyən verilmiş kvadrat tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; köklər: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; köklər: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; köklər: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.
Vyeta teoremi bizə kvadrat tənliyin kökləri haqqında əlavə məlumat verir. İlk baxışdan bu, mürəkkəb görünə bilər, lakin minimal məşqlə belə, bir neçə saniyə ərzində kökləri "görməyi" və sözün əsl mənasında təxmin etməyi öyrənəcəksiniz.
Bir tapşırıq. Kvadrat tənliyi həll edin:
- x2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 - 12x + 27 = 0;
- 3x2 + 33x + 30 = 0;
- −7x2 + 77x − 210 = 0.
Gəlin Vyeta teoreminə görə əmsalları yazmağa və kökləri "təxmin etməyə" çalışaq:
- x 2 − 9x + 14 = 0 azaldılmış kvadrat tənlikdir.
Vyeta teoremi ilə bizdə: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Köklərin 2 və 7 rəqəmləri olduğunu görmək asandır; - x 2 − 12x + 27 = 0 da azaldılır.
Vyeta teoremi ilə: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Beləliklə, köklər: 3 və 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - Bu tənlik azalmır. Ancaq indi tənliyin hər iki tərəfini a \u003d 3 əmsalına bölməklə bunu düzəldəcəyik. Alırıq: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Vyeta teoreminə əsasən həll edirik: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ köklər: −10 və −1; - −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - yenə x 2-də əmsal 1-ə bərabər deyil, yəni. tənlik verilməyib. Hər şeyi a = −7 ədədinə bölürük. Alırıq: x 2 - 11x + 30 = 0.
Vyeta teoremi ilə: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; bu tənliklərdən kökləri tapmaq asandır: 5 və 6.
Yuxarıdakı əsaslandırmadan Vyeta teoreminin kvadrat tənliklərin həllini necə sadələşdirdiyini görmək olar. Mürəkkəb hesablamalar, arifmetik köklər və kəsrlər yoxdur. Hətta diskriminant (" Kvadrat tənliklərin həlli" dərsinə baxın) bizə lazım deyildi.
Əlbəttə ki, bütün düşüncələrimizdə biz iki vacib fərziyyədən çıxış etdik, ümumiyyətlə, real problemlərdə həmişə yerinə yetirilməyən:
- Kvadrat tənlik azaldılır, yəni. x 2-də əmsal 1-dir;
- Tənliyin iki fərqli kökü var. Cəbr nöqteyi-nəzərindən bu halda diskriminant D > 0 - əslində biz ilkin olaraq bu bərabərsizliyin doğru olduğunu fərz edirik.
Lakin tipik riyazi məsələlərdə bu şərtlər yerinə yetirilir. Hesablamaların nəticəsi "pis" kvadrat tənlikdirsə (x 2-də əmsal 1-dən fərqlidir), bunu düzəltmək asandır - dərsin əvvəlində nümunələrə nəzər salın. Mən ümumiyyətlə köklər haqqında susuram: cavabı olmayan bu hansı vəzifədir? Təbii ki, köklər olacaq.
Beləliklə, Vyeta teoreminə uyğun olaraq kvadrat tənliklərin həllinin ümumi sxemi aşağıdakı kimidir:
- Kvadrat tənliyi verilmiş tənliyə endirin, əgər bu, məsələnin şərtində artıq edilməmişdirsə;
- Yuxarıdakı kvadrat tənlikdəki əmsallar fraksiyalı olarsa, diskriminant vasitəsilə həll edirik. Daha "rahat" nömrələrlə işləmək üçün hətta orijinal tənliyə qayıda bilərsiniz;
- Tam əmsallar vəziyyətində tənliyi Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edirik;
- Bir neçə saniyə ərzində kökləri təxmin etmək mümkün olmadıqda, Vyeta teoremi ilə nəticə çıxarırıq və diskriminant vasitəsilə həll edirik.
Bir tapşırıq. Tənliyi həll edin: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Deməli, bizdə azaldılmayan bir tənlik var, çünki əmsalı a \u003d 5. Hər şeyi 5-ə bölün, alırıq: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.
Kvadrat tənliyin bütün əmsalları tam ədəddir - gəlin onu Vyeta teoremindən istifadə edərək həll etməyə çalışaq. Bizdə: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Bu halda, kökləri təxmin etmək asandır - bunlar 2 və 5-dir. Diskriminant vasitəsilə saymaq lazım deyil.
Bir tapşırıq. Tənliyi həll edin: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.
Baxırıq: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - bu tənlik azalmayıb, hər iki tərəfi a = −5 əmsalı ilə bölürük. Alırıq: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - fraksiya əmsalları olan bir tənlik.
Orijinal tənliyə qayıtmaq və diskriminant vasitəsilə saymaq daha yaxşıdır: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4.
Bir tapşırıq. Tənliyi həll edin: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Başlamaq üçün hər şeyi a \u003d 2 əmsalı ilə bölürük. X 2 + 5x - 300 \u003d 0 tənliyini alırıq.
Bu, Vyeta teoreminə görə, bizdə olan azaldılmış tənlikdir: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Bu vəziyyətdə kvadrat tənliyin köklərini təxmin etmək çətindir - şəxsən mən bu məsələni həll edəndə ciddi şəkildə "dondum".
Kökləri diskriminant vasitəsilə axtarmalı olacağıq: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Diskriminantın kökünü xatırlamırsınızsa, qeyd edim ki, 1225: 25 = 49. Buna görə də, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .
İndi diskriminantın kökü məlum olduğu üçün tənliyi həll etmək çətin deyil. Alırıq: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.
Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında, kök düsturlarından başqa, aşağıdakılarla verilən digər faydalı əlaqələr də mövcuddur. Vyeta teoremi. Bu yazıda kvadrat tənlik üçün Vyeta teoreminin tərtibini və sübutunu verəcəyik. Sonra Vyeta teoreminə əks olan bir teoremi nəzərdən keçirək. Bundan sonra ən xarakterik nümunələrin həllərini təhlil edəcəyik. Nəhayət, həqiqi köklər arasındakı əlaqəni təyin edən Vyeta düsturlarını yazırıq cəbri tənlik n dərəcəsi və onun əmsalları.
Səhifə naviqasiyası.
Vyeta teoremi, tərtibi, sübutu
Kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarından a x 2 +b x+c=0 formasının , burada D=b 2 −4 a c , münasibətləri x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu nəticələr təsdiqlənir Vyeta teoremi:
teorem.
Əgər a x 1 və x 2 a x 2 +b x+c=0 kvadrat tənliyinin kökləridir, onda köklərin cəmi əks işarə ilə alınan b və a əmsallarının nisbətinə və hasilinə bərabərdir. köklər c və a əmsallarının nisbətinə bərabərdir, yəni .
Sübut.
Vyeta teoremini aşağıdakı sxem üzrə sübut edəcəyik: məlum kök düsturlarından istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini tərtib edəcəyik, sonra yaranan ifadələri çevirib onların −b-yə bərabər olduğuna əmin olacağıq. /a və c/a.
Köklərin cəmi ilə başlayaq, onu tərtib edək. İndi kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk, bizdə var. Əldə edilən kəsrin payında , ondan sonra : . Nəhayət, 2-dən sonra alırıq. Bu, kvadrat tənliyin köklərinin cəmi üçün Vyeta teoreminin birinci əlaqəsini sübut edir. Gəlin ikinciyə keçək.
Kvadrat tənliyin köklərinin hasilini düzəldirik:. Kəsrlərin vurulması qaydasına görə, sonuncu hasil belə yazıla bilər. İndi biz mötərizəni paylayıcıdakı mötərizə ilə çoxalırıq, lakin bu məhsulu yıxmaq daha tezdir. kvadratlar fərqi düsturu, Belə ki . Sonra xatırlayaraq, növbəti keçidi həyata keçiririk. Və D=b 2 −4 a·c düsturu kvadrat tənliyin diskriminantına uyğun gəldiyindən, son kəsrdə D əvəzinə b 2 −4·a·c əvəz edilə bilər, alarıq. Mötərizələri açıb oxşar şərtləri azaltdıqdan sonra kəsrə gəlirik və onun 4·a azaldılması . Bu, köklərin hasili üçün Vyeta teoreminin ikinci əlaqəsini sübut edir.
İzahları buraxsaq, Vyeta teoreminin sübutu qısa bir forma alacaq:
,
.
Yalnız qeyd etmək qalır ki, diskriminant sıfıra bərabər olduqda, kvadrat tənliyin bir kökü olur. Bununla belə, bu halda tənliyin iki eyni kökə malik olduğunu fərz etsək, Vyeta teoremindən bərabərliklər də yerinə yetirilir. Həqiqətən də, D=0 üçün kvadrat tənliyin kökü , onda və , D=0 olduğundan, yəni b 2 −4·a·c=0 , buradan b 2 =4·a·c , onda .
Praktikada Vyeta teoremi ən çox x 2 +p·x+q=0 formasının azaldılmış kvadrat tənliyinə (ən yüksək əmsalı a 1-ə bərabərdir) münasibətdə istifadə olunur. Bəzən yalnız bu tip kvadrat tənliklər üçün tərtib edilir, bu da ümumiliyi məhdudlaşdırmır, çünki hər hansı kvadrat tənlik onun hər iki hissəsini sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək yolu ilə ekvivalent tənliklə əvəz edilə bilər. Budur, Vyeta teoreminin müvafiq tənzimləməsi:
teorem.
Azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin cəmi x 2 + p x + q \u003d 0 əks işarə ilə alınan x-dəki əmsala bərabərdir və köklərin məhsulu sərbəst müddətdir, yəni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Vyeta teoreminə tərs teorem
Əvvəlki paraqrafda verilmiş Vyeta teoreminin ikinci tərtibi göstərir ki, əgər x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridirsə, onda x 1 +x 2 = − münasibətləri p , x 1 x 2=q. Digər tərəfdən, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yazılı münasibətlərdən belə nəticə çıxır ki, x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 kvadrat tənliyinin kökləridir. Başqa sözlə, Vyeta teoreminin əksinə olan iddia doğrudur. Biz onu teorem şəklində tərtib edirik və sübut edirik.
teorem.
Əgər x 1 və x 2 ədədləri x 1 +x 2 =−p və x 1 x 2 =q olarsa, x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridir. .
Sübut.
Onların ifadəsinin x 2 +p x+q=0 tənliyində p və q əmsallarını x 1 və x 2 vasitəsilə əvəz etdikdən sonra ekvivalent tənliyə çevrilir.
Əldə edilən tənliyə x əvəzinə x 1 ədədini qoyuruq, bərabərliyə sahibik x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, hər hansı x 1 və x 2 üçün düzgün ədədi bərabərlik 0=0, çünki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Beləliklə, x 1 tənliyin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu o deməkdir ki, x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tənliyinin köküdür.
Tənlikdə olarsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x əvəzinə x 2 ədədini əvəz etsək, bərabərliyi əldə edirik x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu düzgün tənlikdir, çünki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Deməli, x 2 də tənliyin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, və deməli, x 2 +p x+q=0 tənlikləri.
Bu, Vyeta teoreminin əksinə olan teoremin sübutunu tamamlayır.
Vyeta teoremindən istifadə nümunələri
Vyeta teoreminin praktik tətbiqi və onun tərs teoremindən danışmağın vaxtı gəldi. Bu alt bölmədə bir neçə ən tipik nümunənin həllini təhlil edəcəyik.
Biz Vyeta teoreminin əksinə bir teoremi tətbiq etməklə başlayırıq. Verilmiş iki ədədin verilmiş kvadrat tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlamaq üçün ondan istifadə etmək rahatdır. Bu zaman onların cəmi və fərqi hesablanır, bundan sonra münasibətlərin etibarlılığı yoxlanılır. Əgər bu münasibətlərin hər ikisi təmin olunarsa, onda Vyeta teoreminin əksinə olan teorem sayəsində bu ədədlərin tənliyin kökləri olduğu qənaətinə gəlinir. Əgər münasibətlərdən ən azı biri təmin edilmirsə, bu ədədlər kvadrat tənliyin kökləri deyil. Tapılan kökləri yoxlamaq üçün kvadrat tənliklərin həlli zamanı bu yanaşmadan istifadə etmək olar.
Misal.
1) x 1 =−5, x 2 =3 və ya 2), və ya 3) ədəd cütlərindən hansı 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tənliyinin kök cütüdür?
Həll.
Verilmiş 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tənliyinin əmsalları a=4 , b=−16 , c=9 . Vyeta teoreminə görə, kvadrat tənliyin köklərinin cəmi −b/a, yəni 16/4=4, köklərin hasili isə c/a, yəni 9-a bərabər olmalıdır. /4.
İndi gəlin verilmiş üç cütün hər birindəki ədədlərin cəmini və hasilini hesablayaq və onları indicə alınan qiymətlərlə müqayisə edək.
Birinci halda bizdə x 1 +x 2 =−5+3=−2 var. Nəticə dəyər 4-dən fərqlidir, buna görə də əlavə yoxlama aparıla bilməz, lakin teorem, Vyeta teoreminin tərsi ilə dərhal belə nəticəyə gələ bilərik ki, ilk cüt ədəd verilmiş kvadrat tənliyin kökləri deyil. .
İkinci işə keçək. Burada, yəni birinci şərt ödənilir. İkinci şərti yoxlayırıq: , nəticədə alınan dəyər fərqlidir 9/4 . Deməli, ikinci ədəd cütü kvadrat tənliyin kök cütü deyil.
Son hal qalır. Burada və. Hər iki şərt yerinə yetirilir, ona görə də bu x 1 və x 2 ədədləri verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir.
Cavab:
Vyeta teoreminin əksi olan teoremdən kvadrat tənliyin köklərini seçmək üçün praktikada istifadə oluna bilər. Adətən, tam əmsallı verilmiş kvadrat tənliklərin tam kökləri seçilir, çünki digər hallarda bunu etmək olduqca çətindir. Eyni zamanda ondan istifadə edirlər ki, əgər iki ədədin cəmi mənfi işarəsi ilə götürülmüş kvadrat tənliyin ikinci əmsalına bərabərdirsə və bu ədədlərin hasili sərbəst müddətə bərabərdirsə, onda bu ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri. Bununla bir nümunə ilə məşğul olaq.
X 2 −5 x+6=0 kvadrat tənliyini götürək. x 1 və x 2 ədədlərinin bu tənliyin kökləri olması üçün iki x 1 +x 2 \u003d 5 və x 1 x 2 \u003d 6 bərabərliyi təmin edilməlidir. Bu cür nömrələri seçmək qalır. Bu halda bunu etmək olduqca sadədir: 2 və 3 belə ədədlərdir, çünki 2+3=5 və 2 3=6 . Beləliklə, 2 və 3 bu kvadrat tənliyin kökləridir.
Vyeta teoreminin əksinə olan teorem, köklərdən biri artıq məlum və ya aydın olduqda, azaldılmış kvadrat tənliyin ikinci kökünü tapmaq üçün xüsusilə əlverişlidir. Bu halda ikinci kök münasibətlərin hər hansı birindən tapılır.
Məsələn, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tənliyini götürək. Burada asanlıqla görmək olar ki, vahid tənliyin köküdür, çünki bu kvadrat tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır. Beləliklə, x 1 = 1. İkinci kök x 2, məsələn, x 1 x 2 =c/a münasibətindən tapıla bilər. Bizdə 1 x 2 =−3/512 , buradan x 2 =−3/512 . Beləliklə, biz kvadrat tənliyin hər iki kökünü təyin etdik: 1 və −3/512.
Aydındır ki, köklərin seçilməsi yalnız ən sadə hallarda məqsədəuyğundur. Digər hallarda, kökləri tapmaq üçün kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarını diskriminant vasitəsilə tətbiq etmək olar.
Teoremin digər praktik tətbiqi, Vyeta teoreminin tərsi verilmiş x 1 və x 2 kökləri üçün kvadrat tənliklərin tərtibidir. Bunun üçün verilmiş kvadrat tənliyin əks işarəli x əmsalını verən köklərin cəmini və sərbəst termini verən köklərin hasilini hesablamaq kifayətdir.
Misal.
Kökləri −11 və 23 ədədləri olan kvadrat tənliyi yazın.
Həll.
x 1 =−11 və x 2 =23 işarələyin. Bu ədədlərin cəmini və məhsulunu hesablayırıq: x 1 + x 2 \u003d 12 və x 1 x 2 \u003d −253. Deməli, bu ədədlər ikinci əmsalı -12 və sərbəst həddi -253 olan verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir. Yəni x 2 −12·x−253=0 istənilən tənlikdir.
Cavab:
x 2 −12 x−253=0 .
Vyeta teoremi kvadrat tənliklərin köklərinin işarələri ilə bağlı tapşırıqların həllində çox istifadə olunur. Vyeta teoremi x 2 +p x+q=0 endirilmiş kvadrat tənliyin köklərinin işarələri ilə necə əlaqələndirilir? Budur iki müvafiq bəyanat:
- Sərbəst q termini müsbət ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, ya onların hər ikisi müsbətdir, ya da hər ikisi mənfidir.
- Sərbəst q termini mənfi ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, onda onların işarələri fərqlidir, başqa sözlə desək, bir kök müsbət, digəri isə mənfidir.
Bu ifadələr x 1 x 2 =q düsturundan, həmçinin müsbət, mənfi ədədlərin və müxtəlif işarəli ədədlərin vurulması qaydalarından irəli gəlir. Onların tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirin.
Misal.
R müsbətdir. Diskriminant düsturuna əsasən D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 ifadəsinin qiymətini tapırıq. +8 istənilən real r üçün müsbətdir, buna görə də istənilən real r üçün D>0. Buna görə də, orijinal kvadrat tənliyin r parametrinin istənilən həqiqi dəyəri üçün iki kökü var.
İndi köklərin nə vaxt fərqli əlamətləri olduğunu öyrənək. Köklərin işarələri müxtəlifdirsə, onda onların hasili mənfi olur və Vyeta teoremi ilə verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst müddətə bərabərdir. Buna görə də, r-1 sərbəst termininin mənfi olduğu r dəyərləri ilə maraqlanırıq. Beləliklə, bizim üçün maraqlı olan r dəyərlərini tapmaq üçün bizə lazımdır xətti bərabərsizliyi həll edin r−1<0 , откуда находим r<1 .
Cavab:
r<1 .
Vieta düsturları
Yuxarıda, kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi haqqında danışdıq və onun təsdiq etdiyi əlaqələri təhlil etdik. Amma elə düsturlar var ki, təkcə kvadrat tənliklərin deyil, həm də kub tənliklərin, dördlü tənliklərin və ümumiyyətlə, həqiqi kökləri və əmsallarını birləşdirən cəbri tənliklər dərəcə n. Onlar çağırılır Vieta düsturları.
Formanın n dərəcəli cəbri tənliyi üçün Vyeta düsturlarını yazırıq, halbuki onun n həqiqi kökünün x 1, x 2, ..., x n olduğunu güman edirik (onların arasında eyni ola bilər): 
Vieta düsturları əldə etməyə imkan verir çoxhədli faktorlara ayırma teoremi, həmçinin bərabər çoxhədlilərin bütün uyğun əmsallarının bərabərliyi vasitəsilə müəyyən edilməsi. Beləliklə, çoxhədli və onun formanın xətti amillərinə genişlənməsi bərabərdir. Sonuncu məhsulda mötərizələri açaraq və müvafiq əmsalları bərabərləşdirərək, Vieta düsturlarını əldə edirik.
Xüsusilə, n=2 üçün kvadrat tənlik üçün artıq tanış Vyeta düsturlarımız var.
Bir kub tənliyi üçün Vyeta düsturları formaya malikdir 
Yalnız Vyeta düsturlarının sol tərəfində elementar deyilənlərin olduğunu qeyd etmək qalır simmetrik polinomlar.
Biblioqrafiya.
- cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. Saat 14:00-da 1-ci hissə. Təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; red. A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - M.: Maarifçilik, 2010.- 368 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-022771-1.