» Təsadüfi dəyər. Təsadüfi dəyişən anlayışı. Təsadüfi kəmənin paylanma qanunu Təsadüfi kəmiyyətə nə deyilir

Təsadüfi dəyər. Təsadüfi dəyişən anlayışı. Təsadüfi kəmənin paylanma qanunu Təsadüfi kəmiyyətə nə deyilir

Təsadüfi dəyişən adlanır diskret, onun bütün mümkün dəyərlərinin çoxluğu sonlu və ya sonsuz, lakin mütləq hesablana bilən dəyərlər toplusudursa, yəni. bütün elementləri (ən azı nəzəri olaraq) müvafiq ardıcıllıqla nömrələnə və yazıla bilən belə bir çoxluq.

Yuxarıda sadalanan belə təsadüfi dəyişənlər, məsələn, zar atarkən düşən xalların sayı, gün ərzində aptekə gələnlərin sayı, ağacdakı almaların sayı diskret təsadüfi dəyişənlərdir.

Diskret təsadüfi dəyişən haqqında ən dolğun məlumat tərəfindən verilir paylama qanunu bu dəyər - bu təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri ilə onların uyğun ehtimalları arasında uyğunluqdur.

Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu çox vaxt iki sətirli cədvəl şəklində qurulur, onun birinci sətirində bu dəyişənin bütün mümkün dəyərləri (artan sıra ilə), ikinci sətirdə isə bu dəyərlərə uyğun gələn ehtimallar:

X x 1 x 2 … x n
P səh 1 səh 2 … p n

Diskret təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərləri tam sistemi təmsil etdiyi üçün ehtimalların cəmi birə bərabərdir ( normallaşma vəziyyəti):

Misal 4 Müvafiq olaraq 12, 10, 8, 10, 9, 12, 8, 11,10 və 9 şagirddən ibarət on tələbə qrupu var. Təsadüfi seçilmiş qrupdakı tələbələrin sayı kimi təyin olunan X təsadüfi dəyişəni üçün paylanma qanununu yazın.

Həll. Nəzərə alınan təsadüfi dəyişən X-in mümkün dəyərləri (artan qaydada) 8, 9, 10, 11, 12-dir. Təsadüfi seçilmiş qrupda 8 tələbənin olma ehtimalı bərabərdir.

Eynilə, X təsadüfi dəyişənin qalan dəyərlərinin ehtimallarını tapa bilərsiniz:

Beləliklə, istədiyiniz paylama qanunu:

X
P 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu bu dəyişənin hər bir mümkün dəyəri üçün müvafiq ehtimalı müəyyən etməyə imkan verən düsturdan istifadə etməklə də müəyyən edilə bilər (məsələn, Bernulli paylanması, Puasson paylanması). Diskret təsadüfi dəyişənin müəyyən xüsusiyyətlərini təsvir etmək üçün ondan istifadə edin əsas rəqəmsal xüsusiyyətlər: riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşma (standart).

riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişənin M (X) ("μ" işarəsi də istifadə olunur) x onun bütün mümkün qiymətlərinin və müvafiq ehtimallarının hər birinin məhsullarının cəmidir:

Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisinin əsas mənası onun təmsil etməsidir demək verilmiş dəyər. Başqa sözlə, nəticələri diskret X təsadüfi dəyişənin bütün müşahidə edilən dəyərlərinin arifmetik ortasını tapmış müəyyən sayda testlər aparılıbsa, bu arifmetik orta təxminən bərabərdir (nə qədər dəqiq olsa, rəqəm bir o qədər çox olar). testlərin) bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinə.

Riyazi gözləmənin bəzi xüsusiyyətlərini təqdim edək.

1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi bu sabit qiymətə bərabərdir:

M(S)=S

2. Sabit əmsalın diskret təsadüfi kəmiyyətlə hasilinin riyazi gözləntisi bu sabit əmsalın verilmiş təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi ilə hasilinə bərabərdir:

М(kX)=kM(X)

3. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntisi bu dəyişənlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

M(X+Y)=M(X)+M(Y)

4. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:

M(XY)=M(X)M(Y)

Diskret təsadüfi dəyişənin ayrı-ayrı dəyərləri mərkəz kimi riyazi gözlənti ətrafında qruplaşdırılır. Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin onun riyazi gözləntisinə nisbətən yayılma dərəcəsini xarakterizə etmək üçün konsepsiya təqdim olunur. diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası.

dispersiyaX diskret təsadüfi kəmiyyətin D(X) (“σ 2” işarəsi də istifadə olunur) bu kəmiyyətin onun riyazi gözləntisindən kənarlaşma kvadratının riyazi gözləntisidir:

D(X)=σ 2 =M((X - μ) 2),(11)

Praktikada dispersiyanı düsturla hesablamaq daha rahatdır

D (X) \u003d σ 2 \u003d M (X 2) - μ 2, (12)

Dispersiyanın əsas xüsusiyyətlərini sadalayaq.

  1. Sabit bir dəyərin dispersiyası sıfırdır:
  1. Hər hansı bir təsadüfi dəyişənin dispersiyası mənfi olmayan bir ədəddir:

D(X)≥0

  1. Sabit k əmsalının hasilinin diskret təsadüfi kəmiyyətlə olan dispersiyası bu sabit əmsalın kvadratının hasilinə və verilmiş təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasına bərabərdir:

D(kX)=k 2 D(X).

Hesablama baxımından daha əlverişli olan dispersiya deyil, təsadüfi dəyişənin dispersiyasının başqa bir ölçüsüdür. X, ən çox istifadə olunur standart sapma(standart sapma və ya sadəcə standart).

Standart sapma diskret təsadüfi kəmənə onun dispersiyasının kvadrat kökü deyilir:

Standart kənarlaşmanın rahatlığı ondadır ki, təsadüfi dəyişənin özünün ölçüsünə malikdir X, variasiya isə ölçüsün kvadratını təmsil edən ölçüyə malikdir x.

İşin sonu -

Bu mövzu aşağıdakılara aiddir:

Ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Mövzunun elmi-metodiki əsaslandırılması .. ehtimal nəzəriyyəsi belələrin öyrənilməsində özünü göstərən qanunauyğunluqları öyrənir.. bir çox təsadüfi hadisələri ..-də qiymət alan təsadüfi dəyişənlərlə kəmiyyətlə müəyyən etmək olar.

Bu mövzuda əlavə materiala ehtiyacınız varsa və ya axtardığınızı tapmadınızsa, iş bazamızda axtarışdan istifadə etməyi tövsiyə edirik:

Alınan materialla nə edəcəyik:

Bu material sizin üçün faydalı olarsa, onu sosial şəbəkələrdə səhifənizdə saxlaya bilərsiniz:

Tərif. Təsadüfi dəyişən ədədi qiymətdir, dəyəri təsadüfi nəticə ilə təcrübə nəticəsində hansı elementar nəticənin baş verməsindən asılıdır. Bütün dəyərlər toplusu təsadüfi dəyər ala bilən bu təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlər toplusu adlanır.

Təsadüfi dəyişənlər aşağıdakıları ifadə edir: X, Y 1, Zi; ξ , η 1, μ i, və onların mümkün dəyərləri x 3, y 1k, zij.

Misal. Zərlərin bir dəfə atılması ilə edilən təcrübədə təsadüfi dəyişən ədəddir X xal itirdi. Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri toplusu X formasına malikdir

{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.

Elementar nəticələr arasında aşağıdakı uyğunluğumuz var ω və təsadüfi dəyişənin dəyərləri X:

Yəni hər bir elementar nəticə üçün ω i, i=1, …, 6, nömrə verilir i.

Misal. Sikkə "gerb" ilk dəfə görünənə qədər atılır. Bu təcrübədə, məsələn, aşağıdakı təsadüfi dəyişənləri daxil edə bilərsiniz: X- bir çox mümkün dəyərləri olan "gerb" nin ilk görünüşündən əvvəl atışların sayı ( 1, 2, 3, … ) Və Y- bir çox mümkün dəyərləri olan "gerb" ilk dəfə görünməzdən əvvəl düşmüş "rəqəmlərin" sayı {0, 1, 2, …} (aydındır ki X=Y+1). Bu təcrübədə elementar nəticələrin məkanı Ω çoxları ilə eyniləşdirmək olar

{G, CG, CG, …, C…CG, …},

və elementar nəticə ( Ts … TsG) nömrəyə təyin edilir m+1 və ya m, harada m- "C" hərfinin təkrar sayı.

Tərif. skalyar funksiya X(ω) elementar nəticələr fəzasında verilmiş , əgər varsa təsadüfi dəyişən adlanır x ∈ R (ω:X(ω)< x} hadisədir.

Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası

Təsadüfi dəyişənin ehtimal xassələrini öyrənmək üçün təsadüfi dəyişənin onun qiymətlərinin alt çoxluğundan qiymət alması ehtimalını tapmağa imkan verən qaydanı bilmək lazımdır. İstənilən belə qayda ehtimal paylanması qanunu və ya təsadüfi dəyişənin paylanması adlanır.

Bütün təsadüfi dəyişənlərə xas olan ümumi paylanma qanunu paylanma funksiyasıdır.

Tərif. Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası (ehtimalları). X funksiyasını çağırın F(x), dəyəri nöqtədə olan x hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir (X< x} , yəni həmin və yalnız elementar nəticələrdən ibarət hadisə ω , hansı üçün X(ω)< x :

F(x) = P(X< x} .

Adətən deyilir ki, bir nöqtədə paylanma funksiyasının dəyəri x təsadüfi dəyişənin olması ehtimalına bərabərdir X-dən aşağı qiymət alır x.

teorem. Paylanma funksiyası aşağıdakı xüsusiyyətlərə cavab verir:

Paylanma funksiyasının tipik forması.

Diskret təsadüfi dəyişənlər

Tərif. Təsadüfi dəyişən X onun mümkün dəyərlərinin çoxluğu sonlu və ya hesablana biləndirsə diskret adlanır.

Tərif. Diskret təsadüfi dəyişənin yaxın paylanması (ehtimalları). X iki sətirdən ibarət cədvəl çağırın: yuxarı sətir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini, alt sətir isə ehtimalları sadalayır. p i =P\(X=x i \) təsadüfi dəyişən bu dəyərləri qəbul edir.

Cədvəlin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün ehtimalları toplamaq tövsiyə olunur pi. Normallaşma aksiomuna görə:

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma sırasına əsaslanaraq onun paylanma funksiyasını qurmaq olar F(x). Qoy olsun X- , onun paylanma sıraları ilə verilir və x 1< x 2 < … < x n . Sonra hamı üçün x ≤ x 1 hadisə (X< x} ona görə də tərifinə görə mümkün deyil F(x)=0. Əgər x 1< x≤ x 2 , sonra hadisə (X< x} olanlardan və yalnız hansı elementar nəticələrdən ibarətdir X(ω)=x 1. Nəticədə, F(x)=p 1. Eynilə, nə vaxt x2< x ≤ x 3 hadisə (X< x} elementar nəticələrdən ibarətdir ω , bunun üçün də X(ω)=x 1, və ya X(ω)=x2, yəni (X< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Nəticədə, F(x)=p1 +p2 və s. At x > xn hadisə (X< x} əmin, onda F(x)=1.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu analitik şəkildə hansısa düstur şəklində və ya qrafik şəkildə də göstərilə bilər. Məsələn, zərin paylanması düsturla təsvir edilir

P(X=i) = 1/6, i=1, 2, …, 6.

Bəzi Diskret Təsadüfi Dəyişənlər

Binom paylanması. Diskret təsadüfi dəyişən X 0, 1, 2, ... dəyərlərini qəbul edərsə binom qanununa görə paylanır, n Bernoulli düsturu ilə verilən paylanmaya uyğun olaraq:

Bu bölgü uğur sayının paylanmasından başqa bir şey deyil X in n müvəffəqiyyət ehtimalı ilə Bernoulli sxeminə uyğun sınaqlar səh və uğursuzluq q=1-p.

Poisson paylanması. Diskret təsadüfi dəyişən X Poisson qanununa uyğun olaraq, ehtimallarla mənfi olmayan tam dəyərlər qəbul edərsə paylanır.

harada λ > 0 Poisson paylanma parametridir.

Puasson paylanmasına nadir hadisələrin qanunu da deyilir, çünki həmişə çoxlu sınaqların aparıldığı yerdə görünür, hər birində kiçik bir ehtimalla "nadir" hadisə baş verir.

Puasson qanununa uyğun olaraq, paylanmış, məsələn, telefon stansiyasında gün ərzində qəbul edilən zənglərin sayı; müəyyən bir əraziyə düşən meteoritlərin sayı; maddənin radioaktiv parçalanmasında parçalanmış hissəciklərin sayı.

Həndəsi paylanma. Bernoulli sxemini yenidən nəzərdən keçirək. Qoy olsun X ilk müvəffəqiyyət əldə edilməzdən əvvəl ediləcək sınaqların sayıdır. Sonra X- 0, 1, 2, … dəyərlərini alan diskret təsadüfi dəyişən, n, … Hadisənin baş vermə ehtimalını müəyyən edin (X=n).

  • X=0, ilk sınaq uğurlu olarsa, buna görə də, P(X=0)=s.
  • X=1 Birinci sınaq uğursuzluğa düçar olub, ikincisi isə uğur qazansa, o zaman P(X=1)=qp.
  • X=2, əgər ilk iki sınaqda - uğursuzluq və üçüncüdə - müvəffəqiyyət, onda P(X=2)=q 2 p.
  • Proseduru davam etdirərək alırıq P(X=i)=q i p, i=0, 1, 2, …

      Belə bir paylanma silsiləsi olan təsadüfi kəmiyyət həndəsi qanuna görə paylanmış adlanır.

BİR ÖLÇÜLÜ TƏSADÜFİ DƏYƏNƏNLƏR

Təsadüfi dəyişən anlayışı. Diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlər. Ehtimalların paylanması funksiyası və onun xassələri. Ehtimalın paylanması sıxlığı və onun xassələri. Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikası: riyazi gözlənti, dispersiya və onların xassələri, standart kənarlaşma, rejim və median; ilkin və mərkəzi anlar, asimmetriya və kurtoz.

1. Təsadüfi dəyişən anlayışı.

Təsadüfi sınaqlar nəticəsində bu və ya digər (lakin yalnız bir) mümkün dəyəri qəbul edən, əvvəlcədən məlum olan, sınaqdan testə dəyişən və təsadüfi hallardan asılı olaraq kəmiyyət adlanır. Təsadüfi test nəticəsinin keyfiyyət xarakteristikası olan təsadüfi hadisədən fərqli olaraq, təsadüfi dəyişən test nəticəsini kəmiyyətcə xarakterizə edir. Təsadüfi dəyişənlərə misal olaraq iş parçasının ölçüsü, məhsulun və ya mühitin hər hansı parametrinin ölçülməsi nəticəsində yaranan xəta ola bilər. Təcrübədə rast gəlinən təsadüfi dəyişənlər arasında iki əsas növü ayırd etmək olar: diskret dəyişənlər və davamlı dəyişənlər.

Diskret sonlu və ya sonsuz hesablana bilən dəyərlər toplusunu qəbul edən təsadüfi dəyişəndir. Məsələn, üç atışla vuruşların tezliyi; parça partiyasında qüsurlu məhsulların sayı; gün ərzində telefon stansiyasına gələn zənglərin sayı; etibarlılıq üçün sınaqdan keçirilərkən müəyyən bir müddət ərzində cihazın elementlərinin uğursuzluqlarının sayı; hədəfə ilk zərbədən əvvəl atışların sayı və s.

Davamlı bəzi sonlu və ya sonsuz intervaldan istənilən qiymət ala bilən təsadüfi dəyişəndir. Aydındır ki, davamlı təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdur. Məsələn, radarın diapazonunun ölçülməsində səhv; çip işləmə müddəti; hissələrin istehsal xətası; dəniz suyunda duz konsentrasiyası və s.

Təsadüfi dəyişənlər adətən hərflərlə işarələnir və s., və onların mümkün dəyərlər -, və Təsadüfi dəyişəni təyin etmək üçün onun bütün mümkün qiymətlərini sadalamaq kifayət deyil. Eyni şəraitdə aparılan sınaqlar nəticəsində onun bu və ya digər dəyərlərinin nə qədər tez-tez görünə biləcəyini də bilmək lazımdır, yəni onların baş vermə ehtimalını təyin etmək lazımdır. Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin çoxluğu və onlara uyğun gələn ehtimallar təsadüfi dəyişənin paylanmasını təşkil edir.

2. Təsadüfi kəmənin paylanma qanunları.

paylama qanunu Təsadüfi dəyişən təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri ilə onların müvafiq ehtimalları arasında hər hansı uyğunluqdur. Təsadüfi dəyişənin verilmiş paylama qanununa tabe olduğu deyilir. İki təsadüfi dəyişən çağırılır müstəqil, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər dəyərin qəbul etdiyi mümkün dəyərlərdən asılı deyilsə. Əks halda, təsadüfi dəyişənlər çağırılır asılı. Bir neçə təsadüfi dəyişən çağırılır qarşılıqlı müstəqil, əgər onların hər hansı bir sayının paylanma qanunları digər kəmiyyətlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə.

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu cədvəl şəklində, paylanma funksiyası şəklində, paylanma sıxlığı şəklində verilə bilər. Təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini və uyğun ehtimalları ehtiva edən bir cədvəldir ən sadə formasıdır təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu təyin etmək:

Paylanma qanununun cədvəl təyini yalnız sonlu sayda mümkün qiymətlərə malik diskret təsadüfi dəyişən üçün istifadə edilə bilər. Təsadüfi dəyişən qanununu təyin edən cədvəl formasına paylama seriyası da deyilir.

Aydınlıq üçün paylama seriyası qrafik olaraq təqdim olunur. Düzbucaqlı koordinat sistemində qrafik təsvirdə təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri absis oxu boyunca, uyğun ehtimallar isə ordinat oxu boyunca çəkilir. Sonra nöqtələr qurun və onları düz xətt seqmentləri ilə birləşdirin. Nəticədə alınan rəqəm deyilir paylama poliqonu(şək. 5). Yadda saxlamaq lazımdır ki, ordinatların təpələrinin əlaqəsi yalnız aydınlıq üçün edilir, çünki və, və və s. arasındakı intervallarda təsadüfi bir dəyişən qiymət ala bilməz, buna görə də onun bu intervallarda baş vermə ehtimalları bərabərdir. sıfır.

Paylanma poliqonu, paylama sıraları kimi, diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanununu təyin edən formalardan biridir. Onların çox fərqli formaları ola bilər, lakin hamısının bir ümumi xüsusiyyəti var: təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin ehtimallarının cəmi olan paylama poliqonunun təpələrinin ordinatlarının cəmi həmişə bərabərdir. bir. Bu xassə ondan irəli gəlir ki, təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri, ehtimallarının cəmi birə bərabər olan tam uyğun olmayan hadisələr qrupunu təşkil edir.

Bu qanunun qurulmasının ən sadə forması təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini və onlara uyğun ehtimalları sadalayan cədvəldir.

Belə cədvəl X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma seriyası adlanır.


0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

paylama funksiyası

Paylanma qanunu diskret təsadüfi dəyişənin tam və hərtərəfli xarakteristikasıdır. Lakin o, universal deyil, çünki davamlı təsadüfi dəyişənlərə tətbiq edilə bilməz. Davamlı təsadüfi dəyişən müəyyən bir boşluğu dolduran sonsuz sayda dəyər alır. Davamlı təsadüfi dəyişənin bütün dəyərlərini özündə cəmləşdirən cədvəli tərtib etmək praktiki olaraq mümkün deyil. Buna görə də, fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün, diskret təsadüfi dəyişən üçün mövcud olması mənasında heç bir paylanma qanunu yoxdur.

Davamlı təsadüfi dəyişəni necə təsvir etmək olar?

Bunun üçün X = x hadisəsinin ehtimalından deyil, X hadisəsinin baş vermə ehtimalından istifadə edilir<х, где х - некоторая переменная. Вероятность этого события зависит от х и является функцией х.

Bu funksiya adlanır paylama funksiyası təsadüfi dəyişən X və işarə olunur F(x):

F(x)=P(X

Paylanma funksiyası təsadüfi dəyişənin universal xarakteristikasıdır. İstənilən təsadüfi dəyişənlər üçün mövcuddur: diskret və davamlı.

Dağıtım funksiyasının xüsusiyyətləri:

1. x 1 > x 2 olduqda F(x 1)> F(x 2)

2. F(-∞)=0

3. F(+∞)=1

Diskret təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası fasiləsiz addım funksiyasıdır, təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinə uyğun nöqtələrdə sıçrayışlar baş verir və bu dəyərlərin ehtimalları bərabərdir. Bu atlamaların cəmi birə bərabərdir.

1 F(x)

Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikası.

Diskret təsadüfi dəyişənlərin əsas xüsusiyyətləri bunlardır:

paylama funksiyası;

paylama diapazonu;

davamlı təsadüfi dəyişən üçün:

paylama funksiyası;

paylanma sıxlığı.

İstənilən qanun hansısa funksiyanı təmsil edir və bu funksiyanın spesifikasiyası təsadüfi dəyişəni tamamilə təsvir edir.

Lakin bir sıra praktiki məsələlərin həlli zamanı təsadüfi dəyişəni tam şəkildə xarakterizə etmək həmişə lazım deyil. Yalnız təsadüfi dəyişəni xarakterizə edən bəzi ədədi parametrləri göstərmək kifayətdir.

Məqsədi paylanmanın ən əhəmiyyətli xüsusiyyətlərini cəmlənmiş formada təmsil etmək olan bu cür xüsusiyyətlər adlanır təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri.

Vəzifə Xüsusiyyətləri

(MOV, rejim, median)

İstifadə olunan təsadüfi dəyişənlərin bütün ədədi xüsusiyyətlərindən, təsadüfi dəyişənin ədədi oxdakı mövqeyini təsvir edən xüsusiyyətlər daha çox istifadə olunur, yəni təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin qruplaşdırıldığı bəzi orta dəyəri göstərir.

Bunun üçün aşağıdakı xüsusiyyətlərdən istifadə olunur:

· gözlənilən dəyər;

median.

Riyazi gözlənti (orta dəyər) aşağıdakı kimi hesablanır:

X 1 R 1 +x 2 R 2 +….+x n R n ∑ х i р i

р 1 + р 2 + …..+р n n

Bunu nəzərə alaraq ∑ p i , CAN bərabərdir M[X] = ∑ x i p i

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.

Yuxarıdakı formula yalnız diskret təsadüfi dəyişənlər üçün etibarlıdır.

Davamlı miqdarlar üçün

M[X] = ∫ x f(x)dx, harada f(x) - paylanma sıxlığı X.

Orta hesablamağın müxtəlif yolları var. Ortaları təmsil etməyin ən çox yayılmış formalarıdır arifmetik orta, median və rejim.

Arifmetik orta ümumi dəyəri bölməklə əldə edilir bu işarə bütün homojen statistik əhali üçün bu əhalinin vahidlərinin sayına görə. Arifmetik orta hesablamaq üçün düsturdan istifadə olunur:

Хср = (Х1+Х2+... +Хn):n,

burada Xi əhalinin i-ci vahidinin atributunun qiyməti, n əhalinin vahidlərinin sayıdır.

Moda təsadüfi dəyişən onun ən ehtimal dəyəri adlanır.


M


Median sıralanmış cərgənin ortasında yerləşən qiymət adlanır. Sıradakı tək sayda vahidlər üçün median unikaldır və tam olaraq seriyanın ortasında yerləşir; cüt ədəd üçün orta mövqe tutan əhalinin iki bitişik vahidinin ortalaması kimi müəyyən edilir.

Statistika ayrı-ayrı elementlərdən, vahidlərdən ibarət ictimai həyatın kütləvi hadisələrinin kəmiyyət tərəfini öyrənən elm sahəsidir. Elementlərin birləşməsi statistik populyasiyanı təşkil edir. Tədqiqatın məqsədi bu fenomenin inkişafının kəmiyyət qanunauyğunluqlarını yaratmaqdır. O, ehtimal nəzəriyyəsi və qanunun tətbiqinə əsaslanır böyük rəqəmlər. Bu qanunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əhalinin ayrı-ayrı elementlərinin fərdi təsadüfi dalğalanmalarına baxmayaraq, bütövlükdə bu populyasiyaya xas olan ümumi kütlədə müəyyən qanunauyğunluq təzahür edir. Tədqiq olunan hadisəni xarakterizə edən vahid elementlərin sayı nə qədər çox nəzərə alınarsa, bu fenomenə xas olan qanunauyğunluq bir o qədər aydın şəkildə aşkar edilir.

Cinayət sosial, kütləvi bir hadisədir, tək cinayət təzahürlərinin çoxsaylı faktlarının statistik məcmusudur. Bu, onun öyrənilməsi üçün statistika nəzəriyyəsinin metodlarını tətbiq etməyə əsas verir.

Sosial hadisələrin statistik tədqiqatlarında üç mərhələni ayırmaq olar:

1) statistik müşahidə, yəni. ilkin statistik materialın toplanması;

2) toplanmış məlumatların ümumi işlənməsi, bu müddət ərzində nəticələr hesablanır, icmal (ümumi) göstəricilər hesablanır və nəticələr cədvəllər və qrafiklər şəklində təqdim olunur;

3) təhlil, onun zamanı öyrənilən statistik əhalinin qanunauyğunluqları, onun müxtəlif komponentləri arasındakı əlaqə aşkar edilir, ümumiləşdirici göstəricilərin mənalı şərhi aparılır.

İlk addım statistik tədqiqat statistik müşahidədir. Bu, xüsusi rol oynayır, çünki məlumatların toplanması prosesində buraxılan səhvləri işin sonrakı mərhələlərində düzəltmək demək olar ki, mümkün deyil, bu da son nəticədə tədqiq olunan fenomenin xüsusiyyətləri haqqında yanlış nəticələrə, onların yanlış şərhinə səbəb olur.

Faktların qeydə alınması üsuluna görə statistik müşahidə davamlı və fasiləsiz bölünür. Davamlı və ya cərəyan dedikdə, faktların ortaya çıxması və müəyyənləşdirilməsinin həyata keçirildiyi belə bir müşahidə başa düşülür. Fasiləsiz müşahidədə faktlar ya müntəzəm olaraq müəyyən fasilələrlə, ya da lazım gəldikdə qeydə alınır.

Sorğu edilən əhalinin vahidlərinin əhatə dairəsinə görə davamlı və fasiləsiz müşahidə fərqləndirilir. Davamlı müşahidə öyrənilən əhalinin bütün vahidlərinin uçota alındığı müşahidədir. Beləliklə, məsələn, cinayətlərin qeydiyyatı nəzəri olaraq davamlı bir müşahidədir. Lakin praktikada latent adlanan cinayətlərin müəyyən hissəsi tədqiq olunan statistik əhalidən kənarda qalır və ona görə də faktiki olaraq belə müşahidə davamlı deyil. Fasiləsiz müşahidə öyrənilən əhalinin bütün vahidlərinin qeydiyyata alınmadığı müşahidədir. O, bir neçə növə bölünür: əsas massivin müşahidəsi, seçmə müşahidə və digərləri.

Əsas massivin müşahidəsi (bəzən qeyri-kamil davamlı metod adlanır) bir növ qeyri-daimi müşahidədir ki, burada obyektin vahidlərinin bütün dəstindən onların böyük, üstünlük təşkil edən hissəsi müşahidə olunur. bütün dəstin payı. Bu üsulla müşahidə, əhalinin bütün vahidlərinin davamlı əhatə olunmasının xüsusi çətinliklərlə əlaqəli olduğu və eyni zamanda müəyyən sayda vahidin müşahidədən kənarlaşdırılması xassələr haqqında nəticələrə əhəmiyyətli dərəcədə təsir göstərmədiyi hallarda tətbiq olunur. bütün əhalinin. Ona görə də cinayətlərin qeydə alınmasını daha çox bu tip müşahidəyə aid etmək olar.

Fasiləsiz müşahidənin ən mükəmməl növü seçmədir ki, burada bütün populyasiyanı xarakterizə etmək üçün onun yalnız müəyyən hissəsi müayinəyə məruz qalır, lakin müəyyən qaydalara uyğun olaraq nümunə götürülür. Nümunə götürmə müşahidəsinin düzgünlüyünün əsas şərti belə bir seçimdir ki, bunun nəticəsində vahidlərin seçilmiş hissəsi öyrəniləcək bütün xüsusiyyətlərə görə bütövlükdə bütün əhalini dəqiq səciyyələndirəcək. Çox vaxt sosioloji tədqiqatlar zamanı seçmə müşahidədən istifadə olunur. Gələcəkdə biz seçmə müşahidə zamanı vahidlərin seçilməsi qaydalarını və üsullarını nəzərdən keçirəcəyik.

İlkin material toplandıqdan və yoxlanıldıqdan sonra statistik tədqiqatın ikinci mərhələsi - xülasə aparılır. Statistik müşahidə tədqiqat obyektinin ayrı-ayrı vahidlərini xarakterizə edən material verir. Xülasənin vəzifəsi müşahidənin nəticələrini ümumiləşdirmək, sistemləşdirmək və ümumiləşdirməkdir ki, müəyyən etmək mümkün olsun. xarakter xüsusiyyətləri və əsas xassələri öyrənmək, öyrənilən hadisə və proseslərin qanunauyğunluqlarını aşkar etmək.

Xülasə ən sadə nümunəsi bütün bildirilmiş cinayətlərin ümumiləşdirilməsidir. Lakin belə bir ümumiləşdirmə kriminogen vəziyyətin bütün xassələri haqqında tam təsəvvür yaratmır. Cinayəti dərindən və hərtərəfli səciyyələndirmək üçün cinayətlərin ümumi sayının növü, vaxtı, törədilmə yeri və üsulu ilə necə bölüşdürüldüyünü və s.

Tədqiq olunan obyektin vahidlərinin mühüm əlamətlərinə görə bircins qruplara bölünməsinə statistik qruplaşma deyilir. Statistikanın öyrəndiyi obyektlər adətən bir çox xassələrlə və müxtəlif əlamətlərlə ifadə olunan əlaqələrlə xarakterizə olunur. Odur ki, yoxlanılan obyektlərin qruplaşdırılması bu əlamətlərdən birinə və ya bir neçəsinə görə statistik tədqiqatın məqsədlərindən asılı olaraq həyata keçirilə bilər. Belə ki, orqanın şəxsi heyəti vəzifələrə, xüsusi rütbələrə, yaşa, iş stajına, ailə vəziyyətinə və s.

İlkin statistik materialların emalı və sistemləşdirilməsi nəticəsində tədqiq olunan hadisələrin və ya proseslərin müəyyən tərəflərini və ya onların dəyişməsini xarakterizə edən rəqəmsal göstəricilər seriyası alınır. Bu sıralar deyilir statistik. Məzmununa görə statistik silsilələr iki növə bölünür: paylama seriyaları və dinamika seriyaları. Bölüşmə sıraları ilkin populyasiya vahidlərinin hər hansı bir atribut üzrə paylanmasını xarakterizə edən, çeşidləri müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş seriyalardır. Məsələn, paylamalar ümumi cinayətlərin ayrı-ayrı növlərə ayrılması, vəzifələrə görə bütün personalın sayının paylanma sırasını təmsil edir.

Dinamik sıralar sosial hadisələrin zamanla ölçülərinin dəyişməsini xarakterizə edən silsilələrdir. Bu cür silsilələrin ətraflı nəzərdən keçirilməsi və onlardan kriminal vəziyyətin təhlili və proqnozlaşdırılmasında istifadəsi ayrıca mühazirənin mövzusudur.

Statistik müşahidənin nəticələri və onun materiallarının xülasəsi ilk növbədə mütləq qiymətlərlə (göstəricilərlə) ifadə edilir. Mütləq dəyərlər müəyyən edilmiş məkan və zaman şəraitində ictimai hadisənin ölçülərini, məsələn, törədilmiş cinayətlərin sayı və ya onları törədən şəxslərin sayı, şəxsi heyətin faktiki sayı və ya nəqliyyat vasitələrinin sayını göstərir. Mütləq dəyərlər fərdi və ümumi (yəni ümumi) bölünür. Mütləq dəyərlər, müəyyən bir obyekt toplusunun ayrı-ayrı vahidlərinin kəmiyyət xüsusiyyətlərinin ölçüsünü ifadə edən fərdi adlanır (məsələn, müəyyən bir cinayət işi üzrə qurbanların və ya maddi zərərin sayı, müəyyən bir işçinin yaşı və ya iş stajı). , maaşı və s.). Onlar bilavasitə statistik müşahidə prosesində əldə edilir və ilkin uçot sənədlərində qeyd olunur. Fərdi mütləq dəyərlər istənilən statistik tədqiqatın əsasını təşkil edir.

Fərdi ümumi mütləq qiymətlərdən fərqli olaraq, onlar statistik müşahidə ilə əhatə olunan müəyyən obyektlər toplusu üçün əlamətin yekun qiymətini xarakterizə edirlər. Onlar ya müşahidə vahidlərinin sayını birbaşa hesablamaqla (məsələn, müəyyən bir növ cinayətlərin sayı) və ya əhalinin ayrı-ayrı vahidləri üçün atributun dəyərlərinin cəmlənməsi nəticəsində əldə edilir (məsələn, bütün cinayətlərin vurduğu zərər).

Bununla belə, öz-özünə qəbul edilən mütləq dəyərlər həmişə tədqiq olunan hadisələr və proseslər haqqında düzgün təsəvvür yaratmır. Buna görə də mütləq dəyərlərlə birlikdə böyük əhəmiyyət kəsb edir statistikada nisbi dəyərlər var.

Müqayisə statistik məlumatların qiymətləndirilməsinin əsas texnikası və onların təhlilinin bütün üsullarının tərkib hissəsidir. Lakin iki kəmiyyətin sadə müqayisəsi onların əlaqəsini dəqiq qiymətləndirmək üçün kifayət deyil. Bu nisbət də ölçülməlidir. Belə nisbətin ölçüsü rolunu nisbi dəyərlər yerinə yetirir.

Mütləqdən fərqli olaraq, nisbi qiymətlər əldə edilmiş göstəricilərdir. Onlar sadə cəmləmə nəticəsində deyil, mütləq qiymətlərin nisbi (çoxlu) müqayisəsi nəticəsində əldə edilir.

Tədqiq olunan hadisənin xarakterindən və tədqiqatın konkret məqsədlərindən asılı olaraq nisbi kəmiyyətlər fərqli ifadə formasına (görünüşünə) malik ola bilər. Nisbi dəyəri ifadə etməyin ən sadə forması bir dəyərin digərindən neçə dəfə böyük olduğunu, müqayisə üçün əsas götürüldüyünü və ya onun hansı hissəsinin olduğunu göstərən ədəddir (bütün və ya kəsr).

Çox vaxt daxili işlər orqanlarının analitik fəaliyyətində nisbi rəqəmlərin fərqli təmsil formasından, faizdən istifadə olunur, burada əsas qiymət 100 kimi götürülür. bir mütləq dəyərin digərinə (əsas) 100-ə bölünməsi.

Statistik məlumatların xülasə emalında mühüm rol orta qiymətə aiddir. Statistik əhalinin hər bir fərdi vahidi bütövlükdə bütün statistik əhalinin xüsusiyyətlərini xarakterizə etmək üçün hər hansı digər kəmiyyət dəyərindən fərqlənən fərdi xüsusiyyətlərə malik olduğundan, orta dəyər . Statistikada orta qiymət homojen populyasiya vahidinə görə ölçüdə dəyişən işarənin səviyyəsini əks etdirən göstərici kimi başa düşülür.

Statistik əhalinin homojenliyini xarakterizə etmək

müvafiq atributuna uyğun olaraq müxtəlif göstəricilər istifadə olunur: variasiya, variasiya, standart kənarlaşma. Bu göstəricilər müvafiq orta dəyərin bütövlükdə bütün əhalinin xassələrini nə dərəcədə əks etdirdiyini, ümumiyyətlə bu statistik əhalinin ümumiləşdirici xarakteristikası kimi istifadə oluna biləcəyini qiymətləndirməyə imkan verir. Bu göstəricilərin ətraflı nəzərdən keçirilməsi müstəqil məsələdir.

Bilik bazasında yaxşı işinizi göndərin sadədir. Aşağıdakı formadan istifadə edin

Tədris və işlərində bilik bazasından istifadə edən tələbələr, aspirantlar, gənc alimlər Sizə çox minnətdar olacaqlar.

haqqında yerləşdirilib http://www.allbest.ru/

Diskret təsadüfi dəyişənlər

Nəticəsi uyğun gəlməyən təsadüfi hadisələrdən biri olan bəzi testlər aparılsın (hadisələrin sayı ya sonlu, ya da sayıla bilər, yəni hadisələr nömrələnə bilər). Hər bir nəticəyə müəyyən bir real nömrə verilir, yəni təsadüfi hadisələr toplusunda dəyərləri olan həqiqi X funksiyası verilir. Bu X funksiyası adlanır diskret təsadüfi böyüklük("Diskret" termini istifadə olunur, çünki təsadüfi dəyişənin dəyərləri davamlı funksiyalardan fərqli olaraq tək ədədlərdir). Təsadüfi dəyişənin dəyərləri təsadüfi hadisələrdən asılı olaraq dəyişdiyindən, təsadüfi dəyişənin müxtəlif ədədi dəyərləri qəbul etmə ehtimalları əsas maraq doğurur. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri ilə onların müvafiq ehtimalları arasında əlaqə quran hər hansı bir əlaqədir. Paylanma qanunu müxtəlif formalarda ola bilər. Diskret təsadüfi dəyişən üçün paylanma qanunu cüt ədədlər toplusudur (), burada təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri və onun bu dəyərləri qəbul etmə ehtimallarıdır: . Harada.

Cütlərə bəzi koordinat sistemlərində nöqtələr kimi baxmaq olar. Bu nöqtələri xətt seqmentləri ilə birləşdirərək paylanma qanununun qrafik təsvirini - paylama poliqonunu alırıq. Çox vaxt diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu cütlərin daxil edildiyi cədvəl şəklində yazılır.

Misal. Sikkə iki dəfə çevrilir. Bu sınaqda düşən “gerblərin” sayının paylanması qanununu tərtib edin.

Həll. Təsadüfi dəyişən X - bu testdə "gerb" sayı. Aydındır ki, X üç qiymətdən birini götürə bilər: 0, 1, 2. Bir sikkənin atılması zamanı “gerb”in görünmə ehtimalı p=0,5, “quyruq” isə q = 1 - p = 0,5-dir. . Təsadüfi dəyişənin sadalanan dəyərləri qəbul etdiyi ehtimalları Bernoulli düsturu ilə tapmaq olar:

X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu paylanma cədvəli şəklində yazırıq

Nəzarət:

Müxtəlif məsələlərin həllində tez-tez rast gəlinən diskret təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının bəzi qanunları xüsusi adlar almışdır: həndəsi paylanma, hiperhəndəsi paylanma, binom paylanması, Puasson paylanması və s.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu, X təsadüfi dəyişənin ????x?: F(x) intervalında qiymətlər alması ehtimalına bərabər olan F(x) paylanma funksiyasından istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. = P(X

F(x) funksiyası bütün real oxda müəyyən edilir və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

bir)? ? F(x)? bir;

2) F(x) - azalmayan funksiya;

3) F(??) = 0, F(+?) = 1;

4) F(b) - F(a) = P(a ? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kvadrat sapmanın paylanma qanununu yazaq:

Həlli: M(x) riyazi gözləntisini tapın:

M(x)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5

X 2 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu yazaq

M(x 2) riyazi gözləntisini tapaq:

M(x 2)=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,5

İstədiyiniz dispersiya D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Dispersiya xassələri

1. C sabitinin dispersiyası sıfırdır: D(C)=0

2. Sabit əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. D(Cx)=C 2 D(x)

3. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)

4. Binom paylanmasının dispersiyası sınaqların sayı ilə bir sınaqda hadisənin baş verməsi və baş verməməsi ehtimalının hasilinə bərabərdir D(X)=npq.

Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin onun orta dəyəri ətrafında yayılmasını qiymətləndirmək üçün dispersiyaya əlavə olaraq bəzi digər xüsusiyyətlər də xidmət edir. Onların arasında standart sapma da var.

TƏrif. X təsadüfi dəyişənin standart sapması dispersiyanın kvadrat köküdür:

Misal 8. Təsadüfi dəyişən X paylanma qanunu ilə verilmişdir

y(x) standart kənarlaşmasını tapın

Həlli: X riyazi gözləntisini tapın:

M(x)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4

X 2 riyazi gözləntisini tapın:

M(x 2)=2 2 *0,1+3 2 *0,4+10 2 *0,5=54

Gəlin fərqi tapaq:

D (x) \u003d M (x 2) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 54-6,4 2 \u003d 13,04

Tələb olunan standart sapma

y(X)=vD(X)=v13.04?3.61

teorem. Sonlu sayda qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin standart sapması bu dəyişənlərin kvadrat standart sapmalarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir:

təsadüfi dəyişənlər

Təsadüfi dəyişən anlayışı ehtimal nəzəriyyəsində və onun tətbiqlərində əsasdır. Təsadüfi dəyişənlər, məsələn, zərin bir dəfə atılması ilə atılan xalların sayı, müəyyən bir müddət ərzində çürümüş radium atomlarının sayı, müəyyən bir müddət ərzində telefon stansiyasına edilən zənglərin sayı, sapmadır. düzgün qurulmuş texnoloji proseslə müəyyən ölçüdə hissənin nominal dəyərindən və s.

Bu cür, təsadüfi böyüklük Təcrübə nəticəsində bu və ya digər ədədi qiymət ala bilən dəyişən dəyişən adlanır.

Bundan sonra biz iki növ təsadüfi dəyişənləri nəzərdən keçirəcəyik - diskret və davamlı.

1. Diskret təsadüfi dəyişənlər

Mümkün dəyərləri sonlu və ya sonsuz ədədlər ardıcıllığını təşkil edən * təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin. x1 , x2 , . .., xn, . .. . Qoy funksiya olsun p(x), hər nöqtədə kimin dəyəri x=xi(i=1,2,. ..) dəyərin dəyərini alması ehtimalına bərabərdir xi.

Bu təsadüfi dəyişən adlanır diskret (aralıq). Funksiya p(x)çağırdı qanun paylanması ehtimallar təsadüfi miqdarlar və ya qısaca, qanun paylanması. Bu funksiya ardıcıllığın nöqtələrində müəyyən edilir x1 , x2 , . .., xn, . .. . Testlərin hər birində təsadüfi dəyişən həmişə dəyişmə sahəsindən müəyyən dəyər götürdüyü üçün

Misal1. Təsadüfi dəyişən - bir zarı atdıqda xaric olan xalların sayı. Mümkün dəyərlər 1, 2, 3, 4, 5 və 6 rəqəmləridir. Üstəlik, bu dəyərlərdən hər hansı birinin qəbul edilməsi ehtimalı eyni və 1/6-ya bərabərdir. Paylanma qanunu necə olacaq? ( Həll)

Misal2. Təsadüfi dəyişən hadisənin baş vermə sayı olsun A bir testdə və P(A)=s. Mümkün dəyərlər dəsti 2 ədəd 0 və 1-dən ibarətdir: =0 hadisə olsa A olmadı və =1 hadisə olsa A baş verdi. Bu cür,

Tutaq ki, istehsal olunub n müstəqil testlər, hər biri bir hadisə ilə nəticələnə bilər və ya olmaya bilər A. Bir hadisənin baş vermə ehtimalı olsun A hər test üçün səh A saat n müstəqil testlər. Aralıq bütün tam ədədlərdən ibarətdir 0 əvvəl n daxil olmaqla. Ehtimalların paylanması qanunu p(m) Bernoulli düsturu (13") ilə müəyyən edilir:

Bernulli düsturuna görə ehtimal paylanması qanunu tez-tez adlanır binom, çünki Pn(m) təmsil edir m binomial genişlənmənin üçüncü müddəti.

Təsadüfi dəyişən istənilən qeyri-mənfi tam qiymət alsın və

harada müsbət sabitdir. Bu halda təsadüfi dəyişənin paylandığı deyilir qanun Puasson, Qeyd edək ki, nə vaxt k=0 qoyulmalıdır 0!=1 .

Bildiyimiz kimi, çoxlu sayda n müstəqil test ehtimalı Pn(m) hücumçu m hadisə vaxtları A Bernulli düsturu ilə deyil, Laplas düsturu ilə tapmaq daha rahatdır [bax. düstur (15)]. Bununla belə, sonuncu aşağı ehtimalla böyük səhvlər verir R hadisənin baş verməsi AMMA bir testdə. Bu halda, ehtimalı hesablamaq üçün Pn(m) olan Puasson düsturundan istifadə etmək rahatdır

Puasson düsturu sınaqların sayında qeyri-məhdud artımla Bernoulli düsturunun məhdudlaşdırıcı halı kimi əldə edilə bilər. n və ehtimal sıfıra meyl etdiyi üçün.

Misal3. Zavoda 1000 ədəd həcmində hissələrin partiyası gəldi. Bir hissənin qüsurlu olma ehtimalı 0,001-dir. Gələn hissələr arasında 5 qüsurlu hissənin olma ehtimalı nədir? ( Həll)

Puasson paylanmasına başqa problemlərdə də tez-tez rast gəlinir. Beləliklə, məsələn, bir telefon operatoru orta hesabla qəbul edərsə Nçağırır, sonra, göründüyü kimi, ehtimal P(k) o, bir dəqiqə ərzində alacaq kçağırışlar, qoysaq, Puasson düsturu ilə ifadə edilir.

Təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri sonlu bir ardıcıllıq təşkil edərsə x1 , x2 , . .., xn, onda təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanması qanunu aşağıdakı cədvəl şəklində verilir, burada

Dəyərlər

Ehtimallar p(xi)

Bu cədvəl adlanır yaxınlıqda paylanması təsadüfi dəyişən. Vizual olaraq fəaliyyət göstərir p(x) qrafik kimi göstərilə bilər. Bunun üçün müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi götürürük.

Təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini üfüqi ox boyunca, funksiyanın dəyərlərini isə şaquli ox boyunca çəkəcəyik. Funksiya Qrafiki p(x)Şəkildə göstərilmişdir. 2. Bu qrafikin nöqtələrini düz xətt seqmentləri ilə birləşdirsəniz, adlı bir fiqur alırsınız çoxbucaqlı paylanması.

Misal4. Hadisə olsun AMMA- zər atarkən bir xalın görünməsi; P(A)=1/6. Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək - hadisənin baş vermə sayı AMMA zərin on atışı ilə. Funksiya dəyərləri p(x)(paylanma qanunu) aşağıdakı cədvəldə verilmişdir:

Dəyərlər

Ehtimallar p(xi)

Ehtimallar p(xi) üçün Bernoulli düsturu ilə hesablanır n=10. üçün x>6 onlar demək olar ki, sıfırdır. p(x) funksiyasının qrafiki şək.-də göstərilmişdir. 3.

Təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama funksiyası və onun xassələri

Funksiyanı nəzərdən keçirin F(x), bütün ədədi oxda aşağıdakı kimi müəyyən edilir: hər biri üçün X məna F(x) diskret təsadüfi dəyişənin kiçik qiymət alması ehtimalına bərabərdir X, yəni.

Bu funksiya adlanır funksiyası paylanması ehtimallar və ya qısaca, funksiyası paylanması.

Misal1. Nümunə 1, bənd 1-də verilmiş təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın. ( Həll)

Misal2. Nümunə 2, bənd 1-də verilmiş təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın. ( Həll)

Paylanma funksiyasını bilmək F(x), təsadüfi dəyişənin bərabərsizlikləri ödəməsi ehtimalını tapmaq asandır.

Təsadüfi dəyişənin ondan kiçik qiymət alması hadisəsini nəzərdən keçirək. Bu hadisə iki uyğunsuz hadisənin cəminə bölünür: 1) təsadüfi dəyişən daha kiçik olan dəyərləri qəbul edir, yəni. ; 2) təsadüfi dəyişən bərabərsizlikləri təmin edən dəyərləri qəbul edir. Əlavə aksiomundan istifadə edərək əldə edirik

Lakin paylama funksiyasının tərifinə görə F(x)[santimetr. düstur (18)], bizdə var

buna görə də,

Bu cür, ehtimal hitlər diskret təsadüfi miqdarlar in interval bərabərdir artım funksiyaları paylanması üstündə bu interval.

düşününəsasxassələrifunksiyalarıpaylanması.

1°. Funksiya paylanması bir azalmayan.

Doğrudan da, qoy< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2°. Dəyərlər funksiyaları paylanması qane etmək bərabərsizliklər .

Bu əmlak ondan irəli gəlir F(x) ehtimal kimi müəyyən edilir [müq. düstur (18)]. Aydındır ki, * və.

3°. Ehtimal Getmək, nə diskret təsadüfi böyüklük qəbul edəcək bir -dan mümkündür dəyərlər xi, bərabərdir çapmaq funksiyaları paylanması in nöqtə xi.

Doğrudan da, qoy xi- diskret təsadüfi dəyişən tərəfindən qəbul edilən dəyər və. (19) düsturunu fərz etsək, əldə edirik

Limitdə, təsadüfi dəyişənin intervala düşmə ehtimalı əvəzinə, dəyərin verilmiş dəyəri alması ehtimalını alırıq. xi:

Digər tərəfdən, biz əldə edirik, yəni. funksiya həddi F(x) düz, çünki. Buna görə də limit düsturu (20) formasını alır

olanlar. məna p(xi) funksiya atlamasına bərabərdir ** xi. Bu xüsusiyyət Şəkildə aydın şəkildə təsvir edilmişdir. 4 və şək. beş.

Davamlı təsadüfi dəyişənlər

Mümkün dəyərləri heç bir intervalı tam doldurmayan sonlu və ya sonsuz ədədlər ardıcıllığını təşkil edən diskret təsadüfi dəyişənlərə əlavə olaraq, çox vaxt mümkün dəyərləri müəyyən bir interval təşkil edən təsadüfi dəyişənlər var. Düzgün qurulmuş texnoloji prosesə malik olan hissənin müəyyən ölçüsünün nominal dəyərindən kənara çıxması belə təsadüfi dəyişənə misal ola bilər. Bu cür təsadüfi dəyişənləri ehtimal paylama qanunundan istifadə etməklə təyin etmək olmaz p(x). Bununla belə, onlar ehtimal paylanması funksiyasından istifadə etməklə müəyyən edilə bilər F(x). Bu funksiya diskret təsadüfi dəyişən halında olduğu kimi eyni şəkildə müəyyən edilir:

Beləliklə, burada da funksiya F(x) tam ədəd oxunda müəyyən edilir və onun nöqtədəki qiyməti X təsadüfi dəyişənin -dən kiçik qiymət alması ehtimalına bərabərdir X.

Formula (19) və 1° və 2° xassələri istənilən təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası üçün etibarlıdır. Sübut diskret kəmiyyət halında olduğu kimi həyata keçirilir.

Təsadüfi dəyişən adlanır davamlı, əgər bunun üçün hər hansı bir qiymətə cavab verən mənfi olmayan parça-davamlı funksiya* varsa x bərabərlik

Funksiya çağırılır sıxlıq paylanması ehtimallar və ya qısaca, sıxlıq paylanması. Əgər x 1 2 , onda (20) və (22) düsturları əsasında əldə edirik

İnteqralın sahə kimi həndəsi mənasına əsaslanaraq deyə bilərik ki, bərabərsizliklərin yerinə yetirilməsi ehtimalı əsası olan əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir. yuxarıda əyri ilə məhdudlaşır (şək. 6).

O vaxtdan və (22) düsturu əsasında

(22) düsturundan istifadə edərək, paylanma sıxlığının davamlı olmasını fərz edərək, dəyişənin yuxarı sərhədinə nisbətən inteqralın törəməsi kimi tapırıq**:

Qeyd edək ki, fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün paylanma funksiyası F(x) istənilən nöqtədə davamlıdır X, burada funksiya davamlıdır. Bu, ondan irəli gəlir F(x) bu nöqtələrdə fərqlənir.

(23) düsturu əsasında, fərz etməklə x 1 =x, bizdə var

Funksiyanın davamlılığına görə F(x) bunu alırıq

Nəticədə

Bu cür, ehtimal Getmək, nə davamlı təsadüfi böyüklük ola bilər qəbul et hər hansı ayrı məna X, bərabərdir sıfır.

Buradan belə nəticə çıxır ki, bərabərsizliklərin hər birinin yerinə yetirilməsindən ibarət hadisələr

Onların eyni ehtimalı var, yəni.

Həqiqətən, məsələn,

Şərh. Bildiyimiz kimi, əgər bir hadisə mümkün deyilsə, onun baş vermə ehtimalı sıfıra bərabərdir. Ehtimalın klassik tərifində test nəticələrinin sayı sonlu olduqda, əks müddəa da yer alır: əgər hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdırsa, o zaman hadisə qeyri-mümkündür, çünki bu halda test nəticələrinin heç biri ona üstünlük vermir. Davamlı təsadüfi dəyişən vəziyyətində onun mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdur. Bu dəyərin hər hansı xüsusi dəyəri alması ehtimalı x 1 gördüyümüz kimi, sıfıra bərabərdir. Bununla belə, buradan belə nəticə çıxmır ki, bu hadisə qeyri-mümkündür, çünki test nəticəsində təsadüfi dəyişən, xüsusən də qiymət ala bilər. x 1 . Odur ki, fasiləsiz təsadüfi kəmiyyət halında onun müəyyən bir qiymət alması ehtimalından yox, onun intervala düşmə ehtimalından danışmaq məna kəsb edir.

Beləliklə, məsələn, bir rulon istehsalında onun diametrinin nominal dəyərə bərabər olması ehtimalı bizi maraqlandırmır. Bizim üçün rulonun diametrinin dözümlülükdən kənara çıxmaması ehtimalı vacibdir.

Misal. Davamlı təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı aşağıdakı kimi verilir:

Funksiyanın qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 7. Təsadüfi kəmənin bərabərsizlikləri ödəyən qiymət alması ehtimalını müəyyən edin.Verilmiş təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını tapın. ( Həll)

Növbəti iki paraqraf praktikada tez-tez rast gəlinən fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin - vahid və normal paylanmaların paylanmasına həsr edilmişdir.

* Əgər funksiya hər hansı seqmentdə davamlıdırsa və ya birinci növ sonlu sayda kəsilmə nöqtəsinə malikdirsə, funksiya bütün ədədi oxda hissə-hissə davamlı adlanır.

** Sonlu aşağı həddi olan inteqralın dəyişən yuxarı həddi olan differensiallaşdırılması qaydası sonsuz aşağı həddi olan inteqrallar üçün qüvvədə qalır. Doğrudan da,

İnteqraldan bəri

sabit dəyərdir.

təsadüfi dəyişənlər

Təsadüfi dəyişənlər altında təsadüfi hadisələrin ədədi xüsusiyyətlərini anlayın. Başqa sözlə, təsadüfi dəyişənlər sınaqların ədədi nəticələridir, onların dəyərləri (müəyyən bir zamanda) əvvəlcədən proqnozlaşdırıla bilməz.

Məsələn, aşağıdakı kəmiyyətlər təsadüfi hesab edilə bilər:

2. Müəyyən bir gündə müəyyən bir doğum evində doğulan uşaqlar arasında oğlanların faizi.

3. Müəyyən bir gün ərzində bəzi rəsədxanada görünən günəş ləkələrinin sayı və sahəsi.

4. Bu mühazirəyə gecikən tələbələrin sayı.

5. Dolların birjadakı məzənnəsi (məsələn, MİKS-də), baxmayaraq ki, sakinlərə göründüyü kimi o qədər də “təsadüfi” olmaya bilər.

6. Müəyyən bir müəssisədə müəyyən bir gündə avadanlığın sıradan çıxma sayı.

Təsadüfi dəyişənlər, müvafiq xarakteristikanın bütün mümkün dəyərlərinin toplusunun diskret və ya davamlı olmasından asılı olaraq diskret və davamlı bölünür.

Bu bölgü kifayət qədər şərtlidir, lakin adekvat tədqiqat metodlarının seçilməsində faydalıdır. Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonludursa və ya bütün natural ədədlər dəsti ilə müqayisə edilə bilərsə (yəni, yenidən nömrələnə bilər), onda FinePrint pdfFactory sınaq versiyası http://www.fineprint ilə yaradılmış təsadüfi dəyişən PDF. com diskret adlanır. Əks halda, o, davamlı adlanır, baxmayaraq ki, əslində, sanki gizli olaraq, əslində davamlı təsadüfi dəyişənlərin bəzi sadə ədədi intervalda (seqment, interval) dəyərlərini qəbul etdiyi güman edilir. Məsələn, təsadüfi dəyişənlər diskret olacaq, yuxarıda 4 və 6 nömrələri altında verilmiş və davamlı - 1 və 3 nömrələri altında verilmişdir (nöqtə sahələri). Bəzən təsadüfi dəyişən qarışıq xarakter daşıyır. Məsələn, dolların (və ya başqa valyutanın) məzənnəsidir ki, əslində yalnız diskret dəyərlər dəstini götürür, lakin onun dəyərlər dəstinin “davamlı” olduğunu nəzərə almaq rahatdır. ”.

Təsadüfi dəyişənlər müxtəlif yollarla müəyyən edilə bilər.

Diskret təsadüfi dəyişənlər adətən öz paylanma qanunu ilə verilir. Burada X təsadüfi kəmiyyətinin hər bir mümkün qiyməti x1, x2,... bu qiymətin p1,p2,... ehtimalı ilə əlaqələndirilir. Nəticə iki cərgədən ibarət bir cədvəldir:

Bu təsadüfi dəyişənin paylanması qanunudur.

Fasiləsiz təsadüfi dəyişənləri paylama qanunları ilə müəyyən etmək qeyri-mümkündür, çünki onların tərifinə görə onların dəyərləri yenidən nömrələnə bilməz və buna görə də burada cədvəl şəklində təyinat istisna olunur. Bununla birlikdə, davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün başqa bir təyinetmə üsulu var (yeri gəlmişkən, diskret dəyişənlər üçün tətbiq olunur) - bu paylama funksiyasıdır:

hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir ki, bu da X təsadüfi kəmiyyətinin verilmiş x ədədindən kiçik qiymət almasından ibarətdir.

Çox vaxt paylama funksiyası əvəzinə başqa funksiyadan - X təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının f(x) paylanma sıxlığından istifadə etmək rahatdır. Onu bəzən diferensial paylanma funksiyası və bu terminologiyada F(x) də adlandırırlar. inteqral paylanma funksiyası adlanır. Bu iki funksiya bir-birini aşağıdakı düsturlarla müəyyən edir:

Təsadüfi dəyişən diskretdirsə, onda paylama funksiyası anlayışı da onun üçün məna kəsb edir, bu halda paylama funksiyasının qrafiki hər biri əvvəlkindən pi-yə bərabər olan üfüqi hissələrdən ibarətdir.

Diskret kəmiyyətlərin mühüm nümunələri, məsələn, PDF-in FinePrint pdfFactory sınaq versiyası ilə yaradılmışdır (Bernoulli paylanması) binomially paylanmış kəmiyyətlərdir http://www.fineprint.com

pk(1-p)n-k= !()!

burada p bir hadisənin baş vermə ehtimalıdır (bəzən şərti olaraq “uğur ehtimalı” adlanır). Bir sıra ardıcıl homojen testlərin nəticələri belə paylanır (Bernulli sxemi). Binom paylanmasının məhdudlaşdırıcı halı (sınaqların sayı artdıqca) Puasson paylanmasıdır, bunun üçün

pk=?k/k! exp(-?),

harada?>0 bəzi müsbət parametrdir.

Davamlı paylanmanın ən sadə nümunəsi vahid paylanmadır. Seqmentdə sabit paylanma sıxlığına malikdir, 1 / (b-a) bərabərdir və bu seqmentdən kənarda sıxlıq 0-dır.

Davamlı paylanmanın son dərəcə mühüm nümunəsi normal paylanmadır. İki parametrlə verilir m və? (gözlənilmə və standart sapma - aşağıya baxın), onun paylanma sıxlığı formaya malikdir:

1 təcrübə(-(x-m)2/2?2)

Ehtimal nəzəriyyəsində normal paylanmanın əsas rolu onunla izah olunur ki, Mərkəzi Limit Teoreminə (CLT) əsasən, cüt-cüt müstəqil olan çoxlu sayda təsadüfi dəyişənlərin cəmi (aşağıya bax: təsadüfi dəyişənlər) və ya zəif asılılıq normal qanuna uyğun olaraq təxminən paylanmış olur. Buradan belə nəticə çıxır ki, təsadüfiliyi bir-birindən zəif asılı olan çoxlu sayda təsadüfi amillərin üst-üstə düşməsi nəticəsində yaranan təsadüfi dəyişəni təxminən normal paylanmış hesab etmək olar (onu təşkil edən amillərin necə paylanmasından asılı olmayaraq) . Başqa sözlə, normal paylanma qanunu çox universaldır.

Təsadüfi dəyişənləri öyrənərkən istifadə etmək üçün əlverişli olan bir neçə ədədi xüsusiyyət var. Onların arasında biz riyazi gözləntiləri ayırırıq

təsadüfi kəmiyyətin orta qiymətinə bərabər, dispersiya

D(X)=M(X-M(X))2,

təsadüfi dəyişənin orta dəyərdən kənarlaşma kvadratının riyazi gözləntisinə bərabər və praktikada əlverişli olan daha bir əlavə dəyər (əsl təsadüfi dəyişən ilə eyni ölçüdə):

standart kənarlaşma adlanır. Biz (bunu əlavə etmədən) bütün yazılı inteqralların mövcud olduğunu (yəni, bütün real oxda birləşdiyini) fərz edəcəyik. Məlum olduğu kimi, dispersiya və standart kənarlaşma təsadüfi kəmiyyətin orta dəyəri ətrafında dispersiya dərəcəsini xarakterizə edir. Dispersiya nə qədər kiçik olsa, təsadüfi dəyişən klasterinin dəyərləri onun orta dəyəri ətrafında bir o qədər yaxındır.

Məsələn, Puasson paylanması üçün orta dəyər ?, vahid paylanma üçün (a+b)/2, normal paylanma üçün isə m-dir. Puasson paylanması üçün dispersiya ?, vahid paylanma üçün (b-a)2/12, normal paylanma üçün isə ?2-dir. Aşağıda riyazi gözləntilərin və dispersiyaların aşağıdakı xüsusiyyətlərindən istifadə olunacaq:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), burada c ixtiyari sabit ədəddir.

4. D(X+A)=D(A) ixtiyari sabit (təsadüfi olmayan) qiymət A üçün.

Təsadüfi dəyişən?=U-MU mərkəzləşdirilmiş adlanır. 1-ci xassədən belə çıxır ki, M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, yəni onun orta qiyməti 0-dır (burada onun adıdır). Üstəlik, 4-cü xüsusiyyətə görə bizdə D(?)=D(U) olur.

Dispersiyanı və əlaqəli kəmiyyətləri hesablamaq üçün praktikada istifadə etmək üçün əlverişli olan faydalı bir əlaqə də var:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

X və Y təsadüfi dəyişənlər müstəqil adlanırlar, əgər onların ixtiyari dəyərləri üçün müvafiq olaraq x və y hadisələri müstəqildirsə. Məsələn, elektrik şəbəkəsində gərginliyin ölçülməsi nəticələri və müəssisənin əsas energetikinin artımı müstəqil olacaq (görünür ...). Amma bu elektrik şəbəkəsinin gücü və müəssisələrdə baş energetikin maaşı artıq həmişə müstəqil sayıla bilməz.

X və Y təsadüfi dəyişənlər müstəqildirsə, o zaman aşağıdakı xüsusiyyətlər də qorunur (ixtiyari təsadüfi dəyişənlər üçün uyğun olmaya bilər):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Fərdi təsadüfi dəyişənlər X,Y,... ilə yanaşı, təsadüfi dəyişənlər sistemləri də öyrənilir. Məsələn, (X,Y) təsadüfi dəyişənlər cütü, dəyərləri iki ölçülü vektor olan yeni təsadüfi dəyişən kimi qəbul edilə bilər. Eynilə, çoxölçülü təsadüfi dəyişənlər adlanan daha çox sayda təsadüfi dəyişənlərin sistemləri nəzərdən keçirilə bilər. Belə kəmiyyətlər sistemləri onların paylanma funksiyası ilə də verilir. Məsələn, iki təsadüfi dəyişənli sistem üçün bu funksiya formaya malikdir

F(x,y)=P,

yəni X təsadüfi kəmiyyətinin verilmiş x ədədindən, Y təsadüfi kəmiyyətinin isə verilmiş y ədədindən kiçik qiymət alması hadisəsinin ehtimalına bərabərdir. Bu funksiya həm də X və Y təsadüfi dəyişənlərin birgə paylama funksiyası adlanır. Siz həmçinin orta vektoru - riyazi gözləntinin təbii analoqunu nəzərdən keçirə bilərsiniz, lakin dispersiya əvəzinə ikinci dərəcəli adlanan bir neçə ədədi xarakteristikaları öyrənməlisiniz. anlar. Bunlar, birincisi, FinePrint pdfFactory sınaq versiyası ilə http://www.fineprint.com X və Y təsadüfi dəyişənləri ilə yaradılmış iki qismən DX və DY PDF dispersiyaları və ikincisi, aşağıda daha ətraflı müzakirə edilən kovariasiya anıdır. .

X və Y təsadüfi dəyişənlər müstəqildirsə, onda

F(x,y)=FX(x)FY(y)

X və Y təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma funksiyalarının məhsulu və buna görə də müstəqil təsadüfi dəyişənlər cütünün tədqiqi bir çox cəhətdən sadəcə olaraq X və Y-nin ayrıca öyrənilməsinə qədər azaldılır.

təsadüfi dəyişənlər

Təcrübələr yuxarıda nəzərdən keçirildi, nəticələri təsadüfi hadisələrdir. Bununla belə, çox vaxt təcrübənin nəticələrini təsadüfi dəyişən adlanan müəyyən kəmiyyət şəklində kəmiyyətcə təqdim etmək zərurəti yaranır. Təsadüfi dəyişən ehtimal nəzəriyyəsinin ikinci (təsadüfi hadisədən sonra) əsas tədqiqat obyektidir və təsadüfi hadisələr toplusundan fərqli olaraq təsadüfi nəticə ilə təcrübəni təsvir etmək üçün daha ümumi bir üsul təqdim edir.

Təsadüfi nəticə ilə təcrübələri nəzərə alaraq, biz artıq təsadüfi dəyişənlərlə məşğul olmuşuq. Beləliklə, bir sıra sınaqlarda müvəffəqiyyətlərin sayı təsadüfi dəyişənə bir nümunədir. Təsadüfi dəyişənlərə digər misallar aşağıdakılardır: telefon stansiyasında vaxt vahidinə edilən zənglərin sayı; növbəti zəng üçün gözləmə vaxtı; statistik fizikada nəzərdə tutulan hissəciklər sistemlərində verilmiş enerjiyə malik hissəciklərin sayını; müəyyən ərazidə orta sutkalıq temperatur və s.

Təsadüfi dəyişən, onun alacağı dəyərini dəqiq proqnozlaşdırmaq mümkün olmaması ilə xarakterizə olunur, lakin digər tərəfdən, onun mümkün dəyərlərinin çoxluğu adətən məlumdur. Beləliklə, bir sıra sınaqlardakı uğurların sayı üçün bu dəst sonludur, çünki uğurların sayı dəyər qazana bilər. Təsadüfi dəyişənin dəyərlər dəsti, gözləmə vaxtı vəziyyətində olduğu kimi real yarım ox ilə üst-üstə düşə bilər.

Adətən təsadüfi hadisələrlə təsvir edilən təsadüfi nəticəsi olan təcrübələrin nümunələrini nəzərdən keçirək və təsadüfi dəyişəni təyin etməklə ekvivalent təsviri təqdim edək.

bir). Təcrübənin nəticəsi hadisə və ya hadisə olsun. Sonra bu təcrübə, məsələn, iki dəyər alan təsadüfi dəyişən ilə əlaqələndirilə bilər və ehtimallar və üstəlik bərabərliklər baş verir: və. Beləliklə, bir təcrübə ehtimalları olan iki nəticə ilə xarakterizə olunur və ya eyni təcrübə iki qiymət alan və ehtimalları olan təsadüfi dəyişən ilə xarakterizə olunur.

2). Zər atma təcrübəsini nəzərdən keçirək. Burada eksperimentin nəticəsi hadisələrdən biri ola bilər, burada nömrə ilə üzün itməsidir. ehtimallar. Ehtimallarla dəyərlər qəbul edə bilən təsadüfi dəyişəndən istifadə edərək bu təcrübənin ekvivalent təsvirini təqdim edək.

3). Müstəqil sınaqların ardıcıllığı uyğun olmayan hadisələrin tam qrupu ilə xarakterizə olunur, burada bir sıra təcrübələrdə uğurun görünüşündən ibarət hadisə; üstəlik, bir hadisənin ehtimalı Bernoulli düsturu ilə müəyyən edilir, yəni. Burada təsadüfi bir dəyişən daxil edə bilərsiniz - ehtimallarla dəyərləri qəbul edən uğurların sayını. Beləliklə, müstəqil sınaqlar ardıcıllığı öz ehtimalları ilə təsadüfi hadisələr və ya dəyər qəbul etmə ehtimalı olan təsadüfi dəyişən ilə xarakterizə olunur.

4). Bununla belə, təsadüfi nəticə ilə heç bir təcrübə üçün təsadüfi dəyişən və təsadüfi hadisələr toplusu arasında belə sadə uyğunluq yoxdur. Məsələn, bir nöqtənin təsadüfi olaraq xəttin üzərinə atıldığı təcrübəni nəzərdən keçirək. Burada təsadüfi bir dəyişən - nöqtənin düşdüyü seqmentdəki koordinatı təqdim etmək təbiidir. Beləliklə, sayının harada olduğu təsadüfi bir hadisədən danışa bilərik. Ancaq bu hadisənin ehtimalı. Başqa cür edə bilərsiniz - seqmenti sonlu sayda kəsişməyən seqmentlərə bölün və təsadüfi dəyişənin intervaldan dəyərlər almasından ibarət təsadüfi hadisələri nəzərdən keçirin. O zaman ehtimallar sonlu olur. Bununla belə, bu metodun da əhəmiyyətli bir çatışmazlığı var, çünki seqmentlər özbaşına seçilir. Bu çatışmazlığı aradan qaldırmaq üçün dəyişənin nəzərə alındığı formanın seqmentləri. Onda müvafiq ehtimal arqumentin funksiyasıdır. Bu, təsadüfi dəyişənin riyazi təsvirini çətinləşdirir, lakin eyni zamanda təsvir (29.1) yeganə olur və seqmentlərin seçimində qeyri-müəyyənlik aradan qaldırılır.

Baxılan nümunələrin hər biri üçün ehtimal fəzasını müəyyən etmək asandır, burada elementar hadisələrin fəzası, hadisələrin cəbri (alt çoxluqlar), hər hansı bir ehtimal üçün müəyyən edilmiş ehtimaldır. Məsələn, sonuncu misalda - tərkibində olan bütün seqmentlərin cəbridir.

Baxılan nümunələr təsadüfi dəyişənin aşağıdakı tərifinə gətirib çıxarır.

Ehtimal fəzası olsun. Təsadüfi dəyişən, hər bir real ədəd üçün formanın elementar hadisələr toplusunun hadisə olduğu (yəni aid olduğu) müəyyən edilmiş birqiymətli real funksiyadır.

Beləliklə, tərif hər bir real çoxluq üçün bunu tələb edir və bu şərt hər biri üçün hadisənin baş vermə ehtimalının müəyyən edilməsini təmin edir. Bu hadisə adətən daha qısa qeydlə qeyd olunur.

Ehtimalların paylanması funksiyası

Funksiya təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama funksiyası adlanır.

Funksiya bəzən qısaca - paylanma funksiyası və həmçinin - təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasının inteqral qanunu adlanır. Funksiya təsadüfi kəmənin tam xarakteristikasıdır, yəni təsadüfi kəmənin bütün xassələrinin riyazi təsviridir və bu xassələri təsvir etmək üçün daha müfəssəl üsul yoxdur.

Tərifin aşağıdakı mühüm xüsusiyyətini qeyd edirik (30.1). Çox vaxt funksiya fərqli şəkildə müəyyən edilir:

(30.1)-ə əsasən funksiya sağdan davamlıdır. Bu məsələ aşağıda daha ətraflı nəzərdən keçiriləcək. Bununla belə, (30.2) tərifindən istifadə edilirsə, onda - solda davamlıdır, bu (30.2) münasibətdə ciddi bərabərsizliyin tətbiqinin nəticəsidir. (30.1) və (30.2) funksiyalar təsadüfi dəyişənin ekvivalent təsvirləridir, çünki həm nəzəri məsələləri öyrənərkən, həm də problemləri həll edərkən hansı tərifdən istifadə etməyin əhəmiyyəti yoxdur. Müəyyənlik üçün, bundan sonra biz yalnız tərifdən (30.1) istifadə edəcəyik.

Funksiya qrafikinin çəkilməsi nümunəsini nəzərdən keçirək. Üstəlik, təsadüfi dəyişən ehtimallarla qiymət alsın. Beləliklə, bu təsadüfi dəyişən sıfır ehtimalla göstərilənlərdən başqa digər dəyərləri qəbul edir: hər hansı bir, üçün. Yaxud, necə deyərlər, təsadüfi dəyişən başqa qiymətlər ala bilməz. Qoy dəqiqlik üçün. 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7) intervallarından funksiyanın qiymətlərini tapın. Birinci intervalda, belə ki, paylama funksiyası. 2). Əgər, onda. Aydındır ki, təsadüfi hadisələr və uyğunsuzdur, buna görə də ehtimalların əlavə edilməsi düsturuna görə. Şərtə görə, hadisə mümkün deyil və a. Buna görə də. 3). Qoy o zaman. Burada birinci dövr və ikinci, çünki hadisə mümkün deyil. Beləliklə, şərti təmin edən hər kəs üçün. 4). Qoy o zaman. beş). Əgər, onda. 6) Bizdə olanda. 7) Əgər, onda. Hesablama nəticələri Şek. 30.1 funksiya qrafiki. Kəsilməzlik nöqtələrində sağda funksiyanın davamlılığı göstərilir.

Ehtimalların paylanması funksiyasının əsas xassələri

Birbaşa tərifdən irəli gələn paylama funksiyasının əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:

1. Qeydi təqdim edək:. Sonra tərifdən irəli gəlir. Burada ifadə sıfır ehtimalla qeyri-mümkün hadisə kimi qəbul edilir.

2. Qoy. Sonra funksiyanın tərifindən irəli gəlir. Təsadüfi hadisə müəyyəndir və onun ehtimalı birə bərabərdir.

3. Təsadüfi dəyişənin at intervalından qiymət almasından ibarət təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı funksiya vasitəsilə aşağıdakı bərabərliklə müəyyən edilir.

Bu bərabərliyi sübut etmək üçün əlaqəni nəzərdən keçirin.

Hadisələr və uyğunsuzdur, buna görə də ehtimalların toplanması düsturuna əsasən (31.3)-dən belə çıxır və (31.2) düsturla üst-üstə düşür, çünki və.

4. Funksiya azalan deyil. Gəlin sübuta baxaq. Bu halda (31.2) bərabərliyi etibarlıdır. Onun sol tərəfi, çünki ehtimal intervaldan dəyərlər alır. Buna görə də bərabərliyin (31.2) sağ tərəfi də mənfi deyil:, və ya. Bu bərabərlik şərtlə əldə edilir, ona görə də azalmayan funksiyadır.

5. Funksiya hər nöqtədə düz fasiləsizdir, yəni.

sağa meyl edən hər hansı ardıcıllıq haradadır, yəni. Və.

Bunu sübut etmək üçün funksiyanı aşağıdakı formada təqdim edirik:

İndi ehtimalın hesablana bilən əlavəliliyi aksiomuna əsaslanaraq, qıvrımlı mötərizədə ifadə bərabərdir, bu da funksiyanın düzgün davamlılığını sübut edir.

Beləliklə, hər bir ehtimal paylama funksiyası 1-5 xassələrə malikdir. Əks müddəa da doğrudur: əgər 1-5-ci şərtləri ödəyirsə, onda onu hansısa təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası kimi qəbul etmək olar.

Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama funksiyası

Təsadüfi dəyişən, onun dəyərlər dəsti sonlu və ya hesablana biləndirsə, diskret deyilir.

Dəyərlər qəbul edən diskret təsadüfi dəyişənin tam ehtimal təsviri üçün təsadüfi dəyişənin qiymət alması ehtimallarını müəyyən etmək kifayətdir. Əgər və verilmişdirsə, onda diskret təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylama funksiyası aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Burada toplama şərti ödəyən bütün indekslər üzərində aparılır.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylama funksiyası bəzən vahid atlama funksiyası ilə təmsil olunur.

Bu halda, təsadüfi dəyişən sonlu qiymətlər toplusunu qəbul edərsə, o formanı alır və (32.4)-də yuxarı cəmləmə həddi, təsadüfi dəyişən hesablana bilən qiymətlər toplusunu qəbul edərsə bərabər qəbul edilir.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylama funksiyalarının qrafikinin qurulması nümunəsi 30-cu bölmədə nəzərdən keçirilmişdir.

Ehtimal sıxlığı

Təsadüfi kəmənin diferensiallana bilən ehtimal paylama funksiyası olsun, onda funksiya təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanma sıxlığı (və ya ehtimal sıxlığı), təsadüfi dəyişən isə davamlı təsadüfi dəyişən adlanır.

Ehtimal sıxlığının əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.

Törəmə tərifi bərabərliyi nəzərdə tutur:

Funksiyanın xassələrinə görə bərabərlik baş verir. Beləliklə (33.2) aşağıdakı formanı alır:

Bu əlaqə funksiyanın adını izah edir. Həqiqətən də, (33.3)-ə əsasən, funksiya nöqtədə vahid interval üzrə ehtimaldır, çünki. Beləliklə, (33.3) əlaqəsi ilə müəyyən edilən ehtimal sıxlığı fizikada məlum olan digər kəmiyyətlərin, məsələn, cərəyan sıxlığı, maddə sıxlığı, yük sıxlığı və s.

2. Azalmayan funksiya olduğundan onun törəməsi mənfi olmayan funksiyadır:

3. (33.1)-dən belə çıxır, çünki. Beləliklə, bərabərlik

4. Çünki (33.5) münasibətindən irəli gəlir.

Normallaşma şərti adlanan bərabərlik. Onun sol tərəfi müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalıdır.

5. (33.1) dən belə gəlsin

Bu əlaqə tətbiqlər üçün vacibdir, çünki o, ehtimal sıxlığı və ya ehtimalın paylanması funksiyası baxımından ehtimalı hesablamağa imkan verir. Əgər təyin etsək, onda (33.6) əlaqə (33.7) əmələ gəlir.

Əncirdə. 33.1-də paylanma funksiyası və ehtimal sıxlığının qrafiklərinin nümunələri göstərilir.

Qeyd edək ki, ehtimalın paylanması sıxlığı bir neçə maksimuma malik ola bilər. Sıxlığın maksimuma malik olduğu arqumentin qiyməti təsadüfi dəyişənin paylanma rejimi adlanır. Sıxlığın birdən çox rejimi varsa, o zaman multimodal adlanır.

Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı

paylanma diskret ehtimal sıxlığı

Təsadüfi dəyişən ehtimallarla dəyərlər alsın. Onda onun ehtimal paylama funksiyası vahid atlama funksiyası olduğu yerdədir. Təsadüfi kəmiyyətin ehtimal sıxlığını onun paylanma funksiyası ilə bərabərliyi nəzərə almaqla müəyyən etmək mümkündür. Bununla belə, bu halda riyazi çətinliklər yaranır, çünki (34.1)-də vahid atlama funksiyası at birinci növ fasiləsizliyə malikdir. Deməli, funksiyanın törəməsi nöqtədə mövcud deyil.

Bu mürəkkəbliyi aradan qaldırmaq üçün - funksiyası təqdim olunur. Vahid atlama funksiyası -funksiyası baxımından aşağıdakı bərabərliklə təmsil oluna bilər:

Sonra formal olaraq diskret təsadüfi kəmiyyətin törəməsi və ehtimal sıxlığı funksiyanın törəməsi kimi (34.1) əlaqəsindən müəyyən edilir:

(34.4) funksiyası ehtimal sıxlığının bütün xassələrinə malikdir. Məsələni nəzərdən keçirək. Diskret təsadüfi dəyişən ehtimalları olan qiymətləri alsın və icazə verin. Sonra ehtimal - təsadüfi dəyişənin seqmentdən qiymət alması sıxlığın ümumi xüsusiyyətlərinə əsasən aşağıdakı düstura görə hesablana bilər:

Burada şərtlə təyin olunan funksiyanın tək nöqtəsi inteqrasiya regionunun daxilində, tək nöqtəsi isə inteqrasiya regionundan kənarda olduğundan. Bu cür.

(34.4) funksiyası da normallaşma şərtini ödəyir:

Qeyd edək ki, riyaziyyatda (34.4) formanın qeydi səhv (yanlış), qeydi (34.2) isə düzgün hesab olunur. Bu, sıfır arqumentli -funksiyasının mövcud olmadığını söyləməsi ilə əlaqədardır. Digər tərəfdən, (34.2) - funksiyası inteqralın altındadır. Bu halda (34.2)-nin sağ tərəfi istənilən üçün sonlu qiymətdir, yəni. -funksiyasının inteqralı mövcuddur. Buna baxmayaraq, fizikada, mühəndislikdə və ehtimal nəzəriyyəsinin digər tətbiqlərində sıxlığın (34.4) şəklində təqdim edilməsi tez-tez istifadə olunur, bu, birincisi, xassələri - funksiyaları tətbiq etməklə düzgün nəticələr əldə etməyə imkan verir, ikincisi, açıq fiziki şərhə malikdir. .

Sıxlıqların və Ehtimalların Paylanmasının Nümunələri

35.1. Təsadüfi dəyişən seqmentdə bərabər paylanmış adlanır, əgər onun paylanma ehtimalı sıxlığıdır

burada normallaşma şərtindən müəyyən edilən ədəddir:

(35.2) bəndində (35.1) əvəzlənməsi bərabərliyə gətirib çıxarır ki, onun həlli nisbi formadadır:.

Vahid paylanmış təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylama funksiyasını sıxlıq vasitəsilə təyin edən (33.5) düsturu ilə tapmaq olar:

Əncirdə. 35.1 funksiyaların qrafikləri və vahid paylanmış təsadüfi kəmiyyət təqdim olunur.

35.2. Təsadüfi dəyişən, ehtimal paylama sıxlığı olduqda normal (və ya Qauss) adlanır:

burada, ədədlər funksiya parametrləri adlanır. Funksiya maksimum dəyərini aldıqda:. Parametr effektiv genişlik mənasına malikdir. Bu həndəsi şərhə əlavə olaraq, parametrlər daha sonra müzakirə ediləcək ehtimal şərhinə malikdir.

(35.4)-dən ehtimalın paylanması funksiyasının ifadəsi gəlir

Laplas funksiyası haradadır. Əncirdə. 35.2 funksiyaların qrafiki və normal təsadüfi kəmiyyət təqdim olunur. Təsadüfi dəyişənin parametrlərlə normal paylandığını və tez-tez qeydlərdən istifadə etdiyini göstərmək üçün.

35.3. Təsadüfi dəyişən, əgər varsa, Cauchy ehtimal sıxlığına malikdir

Bu sıxlıq paylanma funksiyasına uyğundur

35.4. Təsadüfi dəyişən, ehtimal paylama sıxlığı formaya malikdirsə, eksponensial paylanmış adlanır:

Onun ehtimal paylama funksiyasını təyin edək. Çünki (35.8)-dən belə çıxır. Əgər onda

35.5. Təsadüfi dəyişənin Rayleigh ehtimal paylanması formanın sıxlığı ilə müəyyən edilir

Bu sıxlıq at və bərabər ehtimal paylama funksiyasına uyğundur.

35.6. Diskret təsadüfi kəmənin paylanma funksiyasının və sıxlığının qurulmasına dair nümunələri nəzərdən keçirin. Təsadüfi dəyişən müstəqil sınaqlar ardıcıllığında uğurların sayı olsun. Sonra təsadüfi dəyişən Bernoulli düsturu ilə müəyyən edilən ehtimalla dəyərlər alır:

burada, bir təcrübədə uğur və uğursuzluq ehtimallarıdır. Beləliklə, təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama funksiyası formaya malikdir

vahid atlama funksiyası haradadır. Beləliklə, paylama sıxlığı:

delta funksiyası haradadır.

Tək təsadüfi dəyişənlər

Diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlərlə yanaşı, tək təsadüfi dəyişənlər də var. Bu təsadüfi dəyişənlər ehtimal paylama funksiyasının davamlı olması ilə xarakterizə olunur, lakin artım nöqtələri sıfır ölçülər toplusunu təşkil edir. Funksiyanın böyümə nöqtəsi onun arqumentinin törəmə olduğu qədər dəyəridir.

Beləliklə, funksiyanın domenində demək olar ki, hər yerdə. Bu şərti ödəyən funksiyaya sinqulyar da deyilir. Sinqulyar paylanma funksiyasına misal olaraq aşağıdakı kimi qurulan Cantor əyrisini göstərmək olar (şək. 36.1). Və arxalanır. Sonra interval üç bərabər hissəyə (seqmentlərə) bölünür və daxili seqment üçün dəyər müəyyən edilir - sağda və solda ən yaxın seqmentlərdə artıq müəyyən edilmiş dəyərlərin yarısı cəmi kimi. Hazırda funksiya üçün, onun dəyəri və dəyəri ilə for müəyyən edilir. Bu dəyərlərin yarısı cəmi daxili seqmentdəki dəyərə bərabərdir və müəyyən edir. Sonra seqmentlər nəzərdən keçirilir və onların hər biri üç bərabər seqmentə bölünür və funksiya daxili seqmentlərdə funksiyanın sağa və sola ən yaxın olan qiymətlərinin yarım cəmi kimi müəyyən edilir. Beləliklə, bir funksiya üçün - ədədlərin yarım cəmi kimi və. Eynilə interval funksiyasında. Sonra funksiya interval üzrə müəyyən edilir, hansı və s.

...

Oxşar Sənədlər

    təsadüfi dəyişənlər. Diskret təsadüfi kəmiyyətin funksiyası və ehtimal paylanması sıxlığı. Tək təsadüfi dəyişənlər. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri. Çebışev bərabərsizliyi. Momentlər, kümülyantlar və xarakterik funksiya.

    avtoreferat, 03.12.2007-ci il tarixində əlavə edilmişdir

    Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika anlayışları, onların praktikada tətbiqi. Təsadüfi dəyişənin tərifi. Təsadüfi dəyişənlərin növləri və nümunələri. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu. Davamlı təsadüfi kəmənin paylanma qanunları.

    mücərrəd, 25/10/2015 əlavə edildi

    Verilmiş intervalda təsadüfi dəyişən X-ə dəymə ehtimalı. Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasının qrafikinin çəkilməsi. Təsadüfi seçilmiş məhsulun standarta cavab vermə ehtimalının müəyyən edilməsi. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu.

    test, 24/01/2013 əlavə edildi

    Diskret təsadüfi dəyişənlər və onların paylanması. Ümumi ehtimal düsturu və Bayes düsturu. Riyazi gözləmənin ümumi xassələri. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası. Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası. Ehtimalların klassik tərifi.

    nəzarət işi, 12/13/2010 əlavə edildi

    Davamlı təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntiləri, sistemin ehtimal paylanma sıxlığı. kovariasiya. Korrelyasiya əmsalı.

    laboratoriya işi, 08/19/2002 əlavə edildi

    Paylanma xüsusiyyətləri təsadüfi dəyişənin ən universal xarakteristikası kimi fəaliyyət göstərir. Onun xassələrinin təsviri, həndəsi şərhin köməyi ilə təsviri. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma ehtimalının hesablanması nümunələri.

    təqdimat, 11/01/2013 əlavə edildi

    Bernulli düsturundan istifadə etməklə müxtəlif hadisələrin baş vermə ehtimalının müəyyən edilməsi. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununun tərtibi, riyazi gözləntilərin, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasının və standart kənarlaşmasının, ehtimal sıxlıqlarının hesablanması.

    nəzarət işi, 31/10/2013 əlavə edildi

    Bir hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq üçün Bernoulli düsturundan istifadə edin. Diskret təsadüfi dəyişənin qrafikinin çəkilməsi. İnteqral paylanma funksiyasının riyazi gözləntiləri və xassələri. Davamlı təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası.

    test, 29/01/2014 əlavə edildi

    Kütləvi təsadüfi hadisələrin ehtimal və qanunauyğunluqları nəzəriyyəsi. Bərabərsizlik və Çebışev teoremi. Təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri. Paylanma sıxlığı və Furye çevrilməsi. Qauss təsadüfi kəmiyyətinin xarakterik funksiyası.

    mücərrəd, 24/01/2011 əlavə edildi

    Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin, dispersiyasının, paylanma funksiyasının və standart kənarlaşmanın hesablanması. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu. Hadisənin baş vermə ehtimalının klassik tərifi. Paylanma sıxlığının tapılması.

 


Bölmələr



Reklam