Дифференциальное исчисление является разделом математического анализа, который изучает производную, дифференциалы и их использование при исследовании функции.

История появления

Дифференциальное исчисление выделилось в самостоятельную дисциплину во второй половине 17 века, благодаря трудам Ньютона и Лейбница, которые сформулировали основные положения в исчислении дифференциалов и заметили связи между интегрированием и дифференцированием. С того момента дисциплина развивалась вместе с исчислением интегралов, составляя тем самым основу математического анализа. Появление данных исчислений открыло новый современный период в математическом мире и вызвало возникновение новых дисциплин в науке. Также расширило возможность применения математической науки в естествознании и технике.

Основные понятия

Дифференциальное исчисление базируется на фундаментальных понятиях математики. Ими являются: непрерывности, функция и предел. Спустя время они приняли современный вид, благодаря интегральным и дифференциальным исчислениям.

Процесс создания

Формирование дифференциального исчисления в виде прикладного, а затем и научного метода произошло перед возникновением философской теории, которую создал Николай Кузанский. Его работы считаются эволюционным развитием из суждений античной науки. Несмотря на то что сам философ математиком не был, его вклад в развитие математической науки неоспорим. Кузанский один из первых ушел от рассмотрения арифметики как максимально точной области науки, поставив математику того времени под сомнения.

У античных математиков универсальным критерием была единица, в то время как философ предложить в качестве новой меры бесконечность взамен точного числа. В связи с этим инвертируется представление точности в математической науке. Научное знание, по его представлению, делится на рассудочное и интеллектуальное. Второе является более точным, по мнению ученого, поскольку первое дает лишь приблизительный результат.

Идея

Основная идея и понятие в дифференциальном исчислении связаны с функцией в малых окрестностях определенных точек. Для этого необходимо создать математический аппарат для исследований функции, поведение которой в малой окрестности установленных точек близко к поведению многочлена или линейной функции. Основано это на определении производной и дифференциала.

Появление было вызвано большим число задач из естественных наук и математики, которые приводили к нахождению значений пределов одного типа.

Одной из основных задач, которые даются как пример, начиная со старших классов школы, является определение скорости движения точки по прямой линии и построение касательной линии к этой кривой. Дифференциал связан с этим, поскольку есть возможность приблизить функцию в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функции.

По сравнению с понятием производной функции действительной переменной, определение дифференциалов просто переходит на функцию общей природы, в частности на изображение одного евклидова пространства на другое.

Производная

Пусть точка движется по направлению оси Оу, за время возьмем х, которое отсчитывается от некоего начала момента. Описать такое перемещение можно по функции у=f(x), которая ставится в соответствие каждому временному моменту х координаты перемещаемой точки. Данную функцию в механике принять звать законом движения. Основной характеристикой движения, в особенности неравномерного, является Когда точка перемещается по оси Оу согласно закону механики, то в случайный временной момент х она приобретает координату f(x). Во временной момент х + Δх, где Δх обозначает приращение времени, ее кордината будет f(х + Δх). Так формируется формула Δy = f(х + Δх) - f(х), которую называют приращением функции. Она представляет собой пройденный точкой путь за время от х до х + Δх.

В связи с возникновением этой скорости в момент времени вводится производная. В произвольной функции производную в фиксированной точке называют пределом (при условии его существования). Обозначаться она может определенными символами:

f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Процесс вычисления производной именуют дифференцированием.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Данный метод исчисления применятся при исследовании функции с несколькими переменными. При наличии двух переменных х и у, частная производная по х в точке А зовется производной этой функции по х с фиксированным у.

Может обозначаться следующими символами:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x.

Необходимые навыки

Чтобы успешно изучить и уметь решать диффуры, требуются навыки в интегрировании и дифференцировании. Чтобы было легче разобраться в дифференциальных уравнениях, следует хорошо понимать тему производной и Также не помешает научиться искать производную от неявно заданной функции. Связано это с тем, что в процессе изучения придется часто использовать интегралы и дифференцирование.

Типы дифференциальных уравнений

Практически во всех контрольных работах, связанных с существует 3 вида уравнений: однородные, с разделяющимися переменными, линейные неоднородные.

Имеются и более редкие разновидности уравнений: с полными дифференциалами, уравнения Бернулли и прочие.

Основы решения

Для начала следует вспомнить алгебраичные уравнения из школьного курса. В них содержатся переменные и числа. Для решения обычного уравнения следует найти множество чисел, удовлетворяющих заданному условию. Как правило, такие уравнения имели одни корень, и для проверки правильности следовало лишь подставить это значение на место неизвестной.

Дифференциальное уравнение схоже с этим. В общем случае такое уравнение первого порядка включает:

• Независимую переменную.
• Производную первой функции.
• Функцию или зависимую переменную.

В отдельных случаях может отсутствовать одна из неизвестных, х или у, однако это не столь важно, так как необходимо наличие первой производной, без производных высших порядков, чтобы решение и дифференциальное исчисление были верны.

Решить дифференциальное уравнение - это значит отыскать множество всех функций, подходящих заданному выражению. Подобное множеств функций часто называется общим решением ДУ.

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление является одним из разделов математического анализа, который изучает понятие интеграла, свойства и методы его вычисления.

Зачастую вычисление интеграла встречается при вычислении площади криволинейной фигуры. Под этой площадью подразумевается предел, к которому стремится площадь вписанного в заданную фигуру многоугольника с постепенным возрастанием его стороны, при этом данные стороны могут быть выполнены менее всякого ранее указанного произвольного малого значения.

Главная идея в вычислении площади произвольной геометрической фигуры состоит в подсчёте площади прямоугольника, то есть доказательстве, что его площадь равняется произведению длины на ширину. Когда речь идет о геометрии, то все построения производятся при помощи линейки и циркуля, и тогда отношение длины к ширине является рациональным значением. При подсчете площади прямоугольного треугольника можно определить, что если отложить такой же треугольник рядом, то образуется прямоугольник. В параллелограмме площадь подсчитывается подобным, но чуть более усложненным методом, через прямоугольник и треугольник. В многоугольниках площадь считают через входящие в него треугольники.

При определении пощади произвольной кривой данный метод не подойдет. Если разбить её на единичные квадраты, то останутся незаполненные места. В этом случае пытаются использовать два покрытия, с прямоугольниками сверху и снизу, в результате те включают график функции и не включают. Важным здесь остается способ разбивания на эти прямоугольники. Также если брать разбивания все более уменьшающиеся, то площадь сверху и снизу должна сойтись на определенном значении.

Следует вернуться к способу разделения на прямоугольники. Имеется два популярных метода.

Риманом было формализовано определение интеграла, созданное Лейбницем и Ньютоном, как площади подграфика. В этом случае были рассмотрены фигуры, состоящие из некоторого числа вертикальных прямоугольников и полученные при разделении отрезка. Когда при уменьшении разбивания имеется предел, к которому сводится площадь подобной фигуры, этот предел называют интегралом Римана функции на заданном отрезке.

Вторым методом является построение интеграла Лебега, состоящее в том, что за место разделения определяемой области на части подынтегральной функции и составления затем интегральной суммы из полученных значений в этих частях, на интервалы делится её область значений, а после суммируется с соответствующими мерами прообразов этих интегралов.

Современные пособия

Одно из основных пособий по изучению дифференциального и интегрального исчисления написал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Его учебник является фундаментальным пособием по изучению математического анализа, который выдержал много изданий и переводов на другие языки. Создан для студентов вузов и долгое время применяется во множестве учебных заведений как одно из основных пособий по изучению. Дает теоретические данные и практические умения. Впервые издан в 1948 году.

Алгоритм исследования функции

Чтобы исследовать методами дифференциального исчисления функцию, необходимо следовать уже заданному алгоритму:

1. Найти область определения функции.
2. Найти корни заданного уравнения.
3. Подсчитать экстремумы. Для этого следует вычислить производную и точки, где она равняется нулю.
4. Подставляем полученное значение в уравнение.

Разновидности дифференциальных уравнений

ДУ первого порядка (иначе, дифференциальное исчисление одной переменной) и их виды:

• Уравнение с разделяющимися переменными: f(y)dy=g(x)dx.
• Простейшие уравнения, или дифференциальное исчисление функции одной переменной, имеющие формулу: y"=f(x).
• Линейное неоднородное ДУ первого порядка: y"+P(x)y=Q(x).
• Дифференциальное уравнение Бернулли: y"+P(x)y=Q(x)y a .
• Уравнение с полными дифференциалами: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Дифференциальные уравнения второго порядка и их виды:

• Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными значениями коэффициента: y n +py"+qy=0 p, q принадлежит R.
• Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным значением коэффициентов: y n +py"+qy=f(x).
• Линейное однородное дифференциальное уравнение: y n +p(x)y"+q(x)y=0, и неоднородное уравнение второго порядка: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Дифференциальные уравнения высших порядков и их виды:

• Дифференциальное уравнение, допускающие понижение порядка: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Линейное уравнение высшего порядка однородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0 , и неоднородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x) .

Этапы решения задачи с дифференциальным уравнением

С помощью ДУ решаются не только математические или физические вопросы, но и различные проблемы из биологии, экономики, социологии и прочего. Несмотря на большое разнообразие тем, следует придерживаться единой логической последовательности при решении подобных проблем:

1. Составление ДУ. Один из наиболее сложных этапов, который требует максимальный точности, поскольку любая ошибка приведет к полностью неверным итогам. Следует учитывать все факторы, влияющие на процесс, и определить начальные условия. Также следует основываться на фактах и логических выводах.
2. Решение составленного уравнения. Этот процесс проще первого пункта, поскольку требует лишь строгого выполнения математических подсчетов.
3. Анализ и оценка полученных итогов. Выведенное решение следует оценить для установки практической и теоретической ценности результата.

Пример использования дифференциальных уравнений в медицине

Использование ДУ в области медицины встречается при построении эпидемиологической математической модели. При этом не стоит забывать, что данные уравнения также встречаются в биологии и химии, которые близки к медицине, потому что в ней немаловажную роль играет исследование разных биологических популяций и химических процессов в теле человека.

В приведённом примере с эпидемией можно рассматривать распространение инфекции в изолированном обществе. Обитатели подразделяются на три вида:

• Инфицированные, численность x(t), состоявшие из особей, носителей инфекции, каждый из которых заразен (инкубационный период короткий).
• Второй вид включает восприимчивых особей y(t), способных заразиться при контактировании с инфицированными.
• Третий вид включает в себя невосприимчивых особей z(t), которые имеют иммунитет или погибли из-за болезни.

Количество особей постоянно, учет рождения, естественных смертей и миграции не учитывается. В основе будет иметься две гипотезы.

Процент заболеваемости в определённый временной момент равняется x(t)y(t) (основывается предположение на теории, что число заболевших пропорционально количеству пересечений между больными и восприимчивыми представителями, которое в первом приближении будет пропорционально x(t)y(t)), в связи с этим количество заболевших возрастает, а число восприимчивых уменьшается со скоростью, которая вычисляется по формуле ax(t)y(t) (a > 0).

Число невосприимчивых особей, которые приобрели иммунитет или погибли, возрастает со скоростью, которая пропорциональна количеству заболевших, bx(t) (b > 0).

В итоге можно составить систему уравнений с учетом всех трех показателей и на её основе сделать выводы.

Пример использования в экономике

Дифференциальное исчисление часто применяется при экономическом анализе. Основной задачей в экономическом анализе считается изучение величин из экономики, которые записаны в форму функции. Это используется при решении задач вроде изменения дохода сразу после увеличения налогов, ввода пошлин, изменения выручки компании при изменении стоимости продукции, в какой пропорции можно заменить выбывших работников новым оборудованием. Чтобы решить такие вопросы, требуется построить функцию связи из входящих переменных, которые после изучаются с помощью дифференциального исчисления.

В экономической сфере часто необходимо отыскать наиболее оптимальные показатели: максимальную производительность труда, наивысший доход, наименьшие издержки и прочее. Каждый такой показатель является функцией из одного или нескольких аргументов. К примеру, производство можно рассмотреть как функцию из затраты труда и капитала. В связи с этим нахождение подходящего значения можно свести к отысканию максимума или минимума функции из одной или нескольких переменных.

Такого рода задачи создают класс экстремальных задач в экономической области, для решения которых необходимо дифференциальное исчисление. Когда экономический показатель требуется минимизировать или максимизировать как функцию от другого показателя, то в точке максимума отношение приращения функции к аргументам будет стремиться к нулю, если приращение аргумента стремится к нулевому значению. Иначе же, когда подобное отношение стремится к некому положительному или отрицательному значению, указанная точка не является подходящей, потому что при увеличении или уменьшении аргумента можно поменять зависимую величину в необходимом направлении. В терминологии дифференциального исчисления это будет значить, что требуемым условием для максимума функции является нулевое значение её производной.

В экономике нередко встречаются задачи на нахождение экстремума функции с несколькими переменными, потому что экономические показатели складываются из многих факторов. Подобные вопросы хорошо изучены в теории функций нескольких переменных, применяющей методы дифференциального вычисления. Подобные задачи включают в себя не только максимизируемые и минимизируемые функции, но и ограничения. Подобные вопросы относятся к математическому программированию, и решаются они с помощью специально разработанных методов, также опирающихся на этот раздел науки.

Среди методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, важным разделом является предельный анализ. В экономической сфере этот термин обозначает совокупность приемов исследования изменяемых показателей и результатов при смене объемов создания, потребления, основываясь на анализе их предельных показателей. Предельным показателем считается производная или частные производные при нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление нескольких переменных - немаловажная тема из области математического анализа. Для подробного изучения можно использовать различные учебные пособия для высших учебных заведений. Одно из наиболее известных создал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Как заметно из названия, для решения дифференциальных уравнений немалое значение имеют навыки в работе с интегралами. Когда имеет место дифференциальное исчисление функции одной переменной, решение становится проще. Хотя, надо заметить, оно подчиняется тем же основным правилам. Чтобы на практике исследовать функцию дифференциальным исчислением, достаточно следовать уже имеющемуся алгоритму, который дается в старших классах школы и лишь немногим осложняется при вводе новых переменных.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные определение и понятия.

1. Образ функции двух переменных, область определения и изменения функции.

2. Частные производные, их геометрический смысл.

3. Производные высших порядков.

4. Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления с помощью дифференциала .

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Переменная zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G по закону (правилу) f : (x , y ) → z (z = f (x , y ) ) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f (x , y ) и обозначается

Множество Z называется областью изменения функции z = f (x , y ) и обозначается Е(z ).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f (x , y ); z = φ (x , y ); z = z (x , y );

b ) в неявном виде F (x , y , z (x , y ))=0.

Если (х0,у0) https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; Е(z ) ≥ 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; изобразить на плоскости хоу

множество точек области определения этих функций.

1) Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f (x , y ) – логарифмический, поэтому (х – у)>0, то есть х > у. Область определения – множество точек плоскости хоу , лежащих под прямой у = х , не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Область изменения по закону функциональной зависимости z .

2) Закон (правило) соответствия z = f (x , y ) ,

поэтому (у – х2) ≥ 0, то есть у ≥ х2. Область определения –

множество точек плоскости хоу , лежащих внутри

параболы у ≥ х2 , включая точки, принадлежащих

параболе (границе области). Область изменения по

закону функциональной зависимости z ≥ 0.

Определение частных производных функции двух переменных и их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f (x, у) называются пределы отношения приращений функции z = z (х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δ х → 0 и Δ у → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают x = const.

Геометрически

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

Где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных.

Для функции двух переменных z = f (x, y) существуют две

частные производные первого порядка : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у. Найдем четыре частные производные второго порядка :

Отметим, что смешанные производные высших порядков равны (теорема Шварца): , то есть различных производных

второго порядка – три: , .

Третьих производных для функции двух переменных (z = f (x, y)) – восемь: , но из них различных – четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

Найдем первые производные:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Найдем вторые смешанные производные:

видим, что, то есть проверили теорему Шварца и показали, что.

Дифференциал и его геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полным дифференциалом функции z = f (x, у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х0;у0) ):

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

Например , нужно вычислить значение функции в, где

= 1.02 = 1 + 0.02 , а у0 = 2.97 = 3 - 0.03 : примем за х = 1 , а за у = 3 ;

за Δ х и Δ у следует выбрать Δ х =0.02 и Δ у = – 0.03 , чтобы погрешность вычисления была наименьшей (не следует в данном примере за Δ у выбирать значение Δ у = 0.97 , а за у = 2, представив точку у0 = 2.97 =2 + 0,97).

Пример 2. Вычислить значение https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> и заметим, что вычислить ее необходимо в точке х0 = 0,98; у0 = 1,05.

Воспользуемся возможностью провести вычисления с помощью дифференциала. Представим точку х0 = 0,98 = 1 – 0,02; у0 = 1,05 = 1 + 0,05 и обозначим х = 1; у = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

Вычислим частные производные функции = ; . Тогда .

При и вычислим

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Вычислив это значение на калькуляторе, получим https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003.

Из определения дифференциала можно еще выделить его геометрический смысл.

Если А(х, у)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">плоскости Z (x , y ) = z (A ) + a (x - xA ) + b (y - yA ), а поверхность графика функции сливается с плоскостью в окрестности точки А(х, у) , то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.
Или уравнение касательной плоскости а(х-хА)+ b (у-уА)+(-1)(z - zA )=0 и нормальный вектор к ней , который считают нормальным вектором к поверхности в точке А(х, у).

Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика»

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Методические указания и задания контрольной работы №2

для студентов-заочников

всех специальностей

комиссией методического совета

Белорусско-Российского университета

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «_____»____________2004 г.,

протокол №

Составители: Червякова Т. И., Ромская О. И., Плешкова С.Ф.

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Методические указания и задания контрольной работы №2 для студентов-заочников. В работе изложены методические рекомендации, контрольные задания, образцы решения задач по разделу «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных». Задания предназначены для студентов всех специальностей заочной формы обучения.

Учебное издание

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Технический редактор А.А. Подошевко

Компьютерная верстка Н.П. Полевничая

Рецензенты Л.А. Новик

Ответственный за выпуск Л.В. Плетнев

Подписано в печать. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ №_________

Издатель и полиграфическое исполнение:

Государственное учреждение профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

Лицензия ЛВ №243 от 11.03.2003 г., лицензия ЛП №165 от 08.01.2003 г.

212005, г. Могилев, пр. Мира,43

© ГУВПО «Белорусско-Российский

университет», 2004

Введение

Настоящие методические указания содержат материал по изучению раздела «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных».

Контрольную работу выполняют в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать номер, название дисциплины, указать свою группу, фамилию, инициалы и номер зачетной книжки.

Номер варианта соответствует последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра зачетной книжки – 0, номер варианта равен 10.

Решение задач необходимо проводить в последовательности, указанной в контрольной работе. При этом условие каждой задачи полностью переписывают перед ее решением. В тетради обязательно оставляют поля.

Решение каждой задачи следует излагать подробно, давать необходимые пояснения по ходу решения со ссылкой на используемые формулы, вычисления проводить в строгом порядке. Решение каждой задачи доводить до ответа, требуемого условием. В конце контрольной работы указать использованную при выполнении контрольной работы литературу.

Во просы для самостоятельного изучения

Производная функции: определение, обозначение, геометрический и механический смыслы. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Непрерывность дифференцируемой функции.

Правила дифференцирования функции одной переменной.

Производные сложной и обратной функции.

Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференциал функции: определение, обозначение, связь с производной, свойства, инвариантность формы, геометрический смысл, применение в приближенных вычислениях значений функции.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Бернулли-Лопиталя, его применение к вычислению пределов.

Монотонность и экстремумы функции одной переменной.

Выпуклость и перегибы графика функции одной переменной.

Асимптоты графика функции.

Полное исследование и построение графика функции одной переменной.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Понятие функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность ФНП.

Частные производные ФНП.

Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП.

Дифференцирование сложных и неявно заданных ФНП.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков ФНП.

Экстремумы (локальный, условный, глобальный) ФНП.

Производная по направлению и градиент.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Решение типового варианта

Задача 1. Найти производные от функций:

	б) ;	в) ;
г)		е)

Решение. При решении заданий а)-в) применим следующие правила дифференцирования:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) если , т.е.
- сложная функция, то
.

На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных основных элементарных функций.

1 ,	8 ,
2 ,	9 ,
3 ,	10 ,
4 ,	11 ,
5 ,	12 ,
6 ,	13 .
7 ,

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию:

.

Применим свойство логарифмов:
. Тогда
.

Дифференцируем обе части равенства по :

;

;

;

.

Функция задана неявно в виде
. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от :

Выразим из уравнения :

.

Функция задана параметрически
Производная такой функции находится по формуле:
.

Ответ:

Задача 2. Найти дифференциал четвертого порядка от функции
.

Решение. Дифференциал
называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал
называется дифференциалом второго порядка.

Дифференциал n-го порядка определяется по формуле:
, где n=1,2,…

Найдем последовательно производные.

Задача 3. В каких точках графика функции
касательная к нему параллельна прямой
? Сделать рисунок.

Решение. По условию касательные к графику и заданная прямая параллельны, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны между собой.

Угловой коэффициент прямой
.

Угловой коэффициент касательной к кривой в некоторой точке находим из геометрического смысла производной:

, где - угол наклона касательной к графику функции
в точке .

.

Для нахождения угловых коэффициентов искомых прямых составим уравнение

.

Решив его, найдем абсциссы двух точек касания:
и
.

Из уравнения кривой определяем ординаты точек касания:
и
.

Сделаем рисунок.

Ответ: (-1;-6) и
.

Замечание : уравнение касательной к кривой в точке
имеет вид:

уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

.

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

.

Решение. Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

найти область определения функции;

исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;

исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

найти точки пересечения графика функции с осями координат;

исследовать функцию на монотонность и экстремум;

найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

найти асимптоты графика функции;

для уточнения графика иногда целесообразно найти дополнительные точки;

по полученным данным построить график функции.

Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

Точка
- точка пересечения с осью Ох.

С осью Оу:
.

Точка (0;-1) – точка пересечения графика с осью Оу.

Находим производную.

при
и не существует при
.

Критические точки:
и
.

Исследуем знак производной функции на промежутках .

Функция убывает на интервалах
; возрастает – на интервале
.

Находим вторую производную.

при
и не существует при .

Критические точки второго рода: и
.

Функция выпукла на интервале
, функция вогнута на интервалах
.

Точка перегиба ,
.

Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки .

Найдем наклонные асимптоты

Тогда
- горизонтальная асимптота

Найдем дополнительные точки:

По полученным данным строим график функции.

Задача 5. Правило Бернулли-Лопиталя сформулируем в виде теоремы.

Теорема : если две функции
и
:

.

Найти пределы, применяя правило Бернулли-Лопиталя:

а)
; б)
; в)
.

Решение. а) ;

в)
.

Применим тождество
. Тогда

Задача 6. Дана функция
. Найти , ,
.

Решение. Найдем частные производные.

Полный дифференциал функции
вычисляется по формуле:

.

Ответ:
,
,
.

Задача 7 Продифференцировать:

Решение. а) Производная сложной функции находится по формуле:

;
;

Ответ:

б) Если функция задана неявно уравнением
, то ее частные производные находятся по формулам:

,
.

,
,
.

;
.

Ответ:
,
.

Задача 8 Найти локальные, условные или глобальные экстремумы функции:

Решение. а) Найдем критические точки функции, решив систему уравнений:

- критическая точка.

Применим достаточные условия экстремума.

Найдем вторые частные производные:

;
;
.

Составляем определитель (дискриминант):

Т.к.
, то в точке М 0 (4; -2) функция имеет максимум.

Ответ: Z max =13.

б)
, при условии, что
.

Для составления функции Лагранжа применим формулу

- данная функция,

Уравнение связи. можно сократить. Тогда. Левосторонний и правосторонний пределы. Теоремы... Документ

... ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6 § 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ , ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 6 1.Определение функции одной переменной 6 2.Способы задания функции 6 3.Сложная и обратная функции 7 4.Элементарные функции 8 § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ...

Математика часть 4 дифференциальное исчисление функций нескольких переменных дифференциальные уравнения ряды

Учебное пособие

Математика. Часть 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных . Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное... матанализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Интегральное исчисление функции одной переменной» . ЦЕЛИ И...

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) Z - z = p(X - x) + q(Y - y) , где X, Y, Z - текущие координаты; x, y, z - координаты точки касания;
Нормаль к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M(x, y, z)

X - x F " x

Функция n переменных Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x, y, z, …, t, если каждой системе значений x, y, z, …, t, из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения. Для функции двух переменных z=f(x, y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u=f(x, y, z) – некоторую совокупность точек пространства.

Функция двух переменных Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x, y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x, y) либо z= f(x, y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Частные производные первого порядка Частной производной от функции z =f(x, y) по независимой переменной х называется конечный предел вычисленный при постоянной у Частной производной по у называется конечный предел вычисленный при постоянной х Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Полный дифференциал функции z =f(x, y) вычисляется по формуле Полный дифференциал функции трех аргументов u =f(x, y, z) вычисляется по формуле

Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка от функции z =f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.

Дифференциалы высших порядков Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x, y) называется дифференциал от ее пологого Дифференциалы высших порядков вычисляются по формуле Имеет место символическая формула

Дифференцирование сложных функций Пусть z=f(x, y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x, y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная сложной функции z=f[φ(t), ψ(t)] вычисляется по формуле

Дифференцирование неявных функций Производные неявной функции двух переменных z=f(x, y), заданной с помощью уравнения F(x, y, z)=0, могут быть вычислены по формулам

Экстремум функции Функции z=f(x, y) имеет максимум (минимум) в точке M 0(x 0; y 0) если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x; y) некоторой окрестности точки M 0. Если дифференцируемая функция z=f(x, y) достигает экстремума в точке M 0(x 0; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. (необходимые условия экстремума).

Пусть M 0(x 0; y 0) стационарная точка функции z=f(x, y). Обозначим И составим дискриминант Δ=AC B 2. Тогда: Если Δ>0, то функция имеет в точке М 0 экстремум, а именно максимум при А 0 (или С>0); Если Δ

Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a, b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т. е. Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Неопределённый интеграл Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом. Таким образом, по определению где C произвольная постоянная; f(x) подынтегральная функция; f(x) dx подынтегральное выражение; x переменная интегрирования; знак неопределенного интеграла.

Свойства неопределённого интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывной функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 5. Если, то и где u=φ(x) произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приво дится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть требуется вычислить интеграл. Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ"(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям Формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида: где А, В, p, q, a действительные числа.

Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t, а второй преобразуем так: Полагая х+р/2=t, dx=dt получим и обозначая q-p 2/4=a 2,

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1)Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде где М(х) многочлен, а P 1(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь; 2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где р2/4 q

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: 4) Вычислить неопределенные коэффициенты А 1, А 2, …, Аm, …, В 1, В 2, …, Вm, …, С 1, С 2, …, Сm, …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида где R – рациональная функция; m 1, n 1, m 2, n 2, … целые числа. С помощью подстановки ах+b=ts, где s наименьшее общее кратное чисел n 1, n 2, …, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. 2. Интеграл вида Такие интегралы путем выделения квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 15 или 16

3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму интегралов:

4. Интегралы вида С помощью подстановки х α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п. 2 5. Интеграл вида где Рn(х) – многочлен n й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества где Qn 1(x) – многочлен (n 1) й степени с неопределенными коэффициентами, λ число. Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn 1(x) и число λ.

6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях: 1) р – целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рационнальной функции с помощью подстановки х=ts, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. 2) (m+1)/n – целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р – целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановка ax n+b=ts , где s – знаменатель дроби р.

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида где R – рациональная функция. Под знаком интеграла находится рациональная функция от синуса и косинуса. В данном случае применима универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t, которая сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента t (таблица п. 1). Существуют и другие подстановки, представленные в следующей таблице:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δхi стремится к нуль. Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0

Правила вычисления определенных интегралов 1. Формула Ньютона Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x), т. е. F(x)‘= f(x). 2. Интегрирование по частям: где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной где х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ (t) на отрезке α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ(t)] – функция непрерывна на [α; β] 4. Если f(x) – нечетная функция, т. е. f(x)= f(x), то Если f(x) –четная функция, т. е. f(x)=f(x), то.

Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +бесконечности определяется равенством Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, расходящимися Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка и непрерывна при а≤х

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f(x) и φ(x) определены для всех х≥а и интегрируемы на отрезке , где А≥а, и если 0≤f(x)≤φ(x) для всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла, причем 2. 1 Если при х→+∞ функция f(x)≤ 0 является бесконечно малой порядка р>0 по сравнению с 1/х, то интеграл сходится при р>1 и расходится при р≤ 1. 2. 2 Если функция f(x)≥ 0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х

Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) , прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле Площадь фигуры, ограниченной кривой у=f 1(x) и у=f 2(x) и прямыми x=a и x=b находится по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле где t 1 и t 2 определяются из уравнения а=х(t 1), b=х(t 2) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α

Вычисление длины дуги плоской кривой Если кривая у=f(x) на отрезке – гладкая (т. е. производная у’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле При параметрическом задании кривой х=х(t), у=у(t) [х(t) и у(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая, монотонному изменению параметра t от t 1 до t 2, вычисляется по формуле Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна.

Вычисление объема тела 1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскость, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена как функция от х, т. е. в виде S=S(х) (a≤x≤b), объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле 2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле Если фигура, ограниченная кривыми у1=f 1(x) и у2=f 2(x) и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тема вращения равен.

Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t) (t 1≤t≤t 2), то.

Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x, y, y) = 0 или y = f(x, y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка. Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.

Общее решение дифференциального уравнения 1 го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x, C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x, y, C)=0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1 го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при, называется задачей Коши для уравнения 1 го порядка. Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через данную точку.

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1 го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют.

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.

Линейные уравнения 1 го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит у и у‘ в первой степени, т. е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1 го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Дифференциальные уравнения 2 го порядка Уравнение 2 го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Задача Коши для уравнения 2 го порядка Если уравнение 2 го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2 гопорядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения 2 го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

Уравнения 2 го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2 го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой, .

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С константа, также является решением этого уравнения.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и решения уравнения, то функция также решение этого уравнения.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2 го порядка Если линейно независимые частные решения ЛОУ 2 го порядка, то их линейная комбинация где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Линейное однородное уравнение 2 го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.