» » Геометрический смысл производной производная равна. Определение производной, её геометрический смысл. Задачи на физический смысл производной

Геометрический смысл производной производная равна. Определение производной, её геометрический смысл. Задачи на физический смысл производной

Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной


Понятие о производной функции

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х 0 , а также величину функции в данной точке.


Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х 0 , а также точку (х 0 + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.


Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.

Разница значений функции в точке х 0 и (х 0 + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х 0 + ∆х) - f(х 0).


Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.


Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.


А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.


В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.


Геометрический смысл производной


Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.


То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f " (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf " (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y " =f " (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f "(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f "(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x"(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x"(t) - скорость,

a(f) = "(t) - ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ"(t) - угловая скорость,

ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x  , l - длина стержня,

р = m"(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ 0 - начальная фаза.

Для выяснения геометрического значения производной рассмотрим график функции y = f(x). Возьмем произвольную точку М с координатами (x, y) и близкую к ней точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведем ординаты $\overline{M_{1} M}$ и $\overline{N_{1} N}$, а из точки М -- параллельную оси ОХ прямую.

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ является тангенсом угла $\alpha $1, образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При стремлении $\Delta $х к нулю точка N будет приближаться к M, а предельным положением секущей MN станет касательная MT к кривой в точке M. Таким образом, производная f`(x) равна тангенсу угла $\alpha $, образованного касательной к кривой в точке M (х, y) с положительным направлением к оси ОХ -- угловому коэффициенту касательной (рис.1).

Рисунок 1. График функции

Вычисляя значения по формулам (1), важно не ошибиться в знаках, т.к. приращение может быть и отрицательным.

Точка N, лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. Так, если на рисунке 1, касательной придать противоположное направление, угол $\alpha $ изменится на величину $\pi $, что существенно повлияет на тангенс угла и соответственно угловой коэффициент.

Вывод

Следует вывод, что существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f(x), а угловой коэффициент -- tg $\alpha $ = f`(x) конечный. Поэтому касательная не должна быть параллельной оси OY, иначе $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс угла будет бесконечным.

В некоторых точках непрерывная кривая может не иметь касательной или иметь касательную параллельную оси OY (рис.2). Тогда в этих значениях функция не может иметь производную. Подобных точек может быть сколько угодно много на кривой функции.

Рисунок 2. Исключительные точки кривой

Рассмотрим рисунок 2. Пусть $\Delta $x стремится к нулю со стороны отрицательных или положительных значений:

\[\Delta x\to -0\begin{array}{cc} {} & {\Delta x\to +0} \end{array}\]

Если в данном случае отношения (1) имеют конечный придел, он обозначается как:

В первом случае -- производная слева, во втором -- производная справа.

Существование предела говорит о равносильности и равенстве левой и правой производной:

Если же левая и правая производные неравны, то в данной точке существуют касательные не параллельные OY (точка М1, рис.2). В точках М2, М3 отношения (1) стремятся к бесконечности.

Для точек N лежащих слева от M2, $\Delta $x $

Справа от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но выражение также f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Для точки $M_3$ слева $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. выражения (1) и слева, и справа положительны и стремятся к +$\infty $ как при приближении $\Delta $x к -0, так и к +0.

Случай отсутствия производной в конкретных точках прямой (x = c) представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. Отсутствие производных

Пример 1

На рисунке 4 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Найти значение производной функции в абсциссе.

Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-3,2) и C (-2.4).

Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга»

Мартусевич Татьяны Олеговны

Дата: 29.12.2014.

Тема: Геометрический смысл производной.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.

Образовательные задачи:

    Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи;

    обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»;

    создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

    способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

    продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

    содействовать воспитанию интереса к математике;

    воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ.

Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point .

Этап урока

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность учащегося

1. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока.

Тема: Геометрический смысл производной.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.

Подготовка студентов к работе на занятии.

Подготовка к работе на занятии.

Осознание темы и цели урока.

Конспектирование.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла.

Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний.

Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций.

Нахождение производной данных функций по формулам.


Повторение свойств линейной функции.

Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя

3. Работа с новым материалом: объяснение.

Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента

Объяснение геометрического смысла производной.

Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией.

Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя.

Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.

Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление.

Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения.

Создание конспекта.

Формулирование геометрического смысла производной.

Рассмотрение трех случаев.

Конспектирование, выполнение рисунков.

4. Работа с новым материалом.

Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

В каких точках производная положительна?

Отрицательна?

Равна нулю?

Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику.

Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

Сообщение условия задачи.

Запись условия задачи.

Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения

6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.

Решите задачу самостоятельно:

Применение полученных знаний.

Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.

7. Работа с новым материалом: объяснение.

Вывод уравнения касательной к графику функции в точке.


Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся.

Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя.

Конспектирование, создание рисунка.

8. Работа с новым материалом: объяснение.

В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

Конспектирование.

Сообщение условия задачи.

Обучение применению полученных знаний.

Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением.

Запись условия задачи.

Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем.

Запись решения задачи и ответа.

9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.

Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости.

Проверка и объяснение решения с использованием презентации.

Применение полученных знаний.

Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения

10. Домашнее задание.

§48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками.

№ 860 (2,4,6,8),

Сообщение домашнего задания с комментариями.

Запись домашнего задания.

11. Подведение итогов.

Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции.

Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной.

Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке.

Корректировка и уточнение итогов урока.

Перечисление итогов урока.

12. Рефлексия.

1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно.

а) усвоил(а) полностью, могу применить;

б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении;

в) не усвоил(а).

3. Мультимедийная презентация на уроке:

а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала;

в) мешала усвоению материала.

Проведение рефлексии.

Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле

Также смотрите пример вычисления производной в точке

Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом.

Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 и учебниках обозначают символом f"(x0). Следовательно, по определению

Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а - угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) принимает вид

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

Физический смысл производной

Если x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) - скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной .

Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными .

Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой.

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется .