Как определять ранг матрицы. Ранг матрицы. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность

Главная » История » Как определять ранг матрицы. Ранг матрицы. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений" . В первую очередь это касается термина "минор матрицы" , так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы - матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, - однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k - максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы .

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров , вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, - для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент - и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0. $$

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ : $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

$$ \left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10. $$

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

$$ \left | \begin{array} {cccc} -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0. $$

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28. $$

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка - это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы "Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)" , поэтому просто возьмём готовый результат:

$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86. $$

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ : $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88. $$

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ : $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению - в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований .

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям , а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r +1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r -го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы . Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r -го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r .

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

Если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

Возьмём минор

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1 ).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2 ).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2 ).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2 ).

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .

§3. Ранг матрицы

Определение ранга матрицы

Линейно зависимые строки

Элементарные преобразования матриц

Эквивалентные матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

§4. Определители первого, второго и третьего порядка

Определитель первого порядка

Определитель второго порядка

Определитель третьего порядка

Правило Саррюса

§5. Вычисление определителей больших порядков

Алгебраическое дополнение

Теорема Лапласа

Определитель треугольной матрицы

Приложение. Понятие определителя п -го порядка в общем виде.

§ 3. Ранг матрицы

Каждую матрицу характеризует некоторое число, имеющее важное значение при решении систем линейных уравнений. Это число называется рангом матрицы .

Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк (столбцов), чрез которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми , если их соответствующие элементы пропорциональны.

Иначе говоря, элементы одной из линейно зависимых строк равны элементам другой, умноженным на одно и то же число. Например, строки 1 и 2 матрицы А линейно зависимы, если , где (λ – некоторое число).

Пример . Найти ранг матрицы

Решение .

Вторая строка получается из первой, если ее элементы умножить на –3, третья получается из первой, если ее элементы умножить на 0, а четвертая строка не может быть выражена через первую. Получается, матрица имеет две линейно независимые строки, т.к. первая и четвертая строки не пропорциональны, следовательно, ранг матрицы равен 2.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r (A ).

Из определения ранга матрицы следует:

1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров, т.е. для матрицы А m × n .

2. Ранг матрицы равен нулю, только если это нулевая матрица.

В общем случае определение ранга матрицы достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы, которые называются элементарными преобразованиями :

1) отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) изменение порядка строк (столбцов);

4) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5) транспонирование матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна получается из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Эквивалентность матриц обозначается знаком « ~ » (эквивалентно).

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к треугольному виду, тогда вычисление ее ранга не представляет труда.

Процесс вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований рассмотрим на примере.

Пример . Найти ранг матрицы

А =

Решение .

Наша задача – привести матрицу к треугольному виду, т.е. с помощью элементарных преобразований добиться того, чтобы ниже главной диагонали в матрице были только нули.

1. Рассмотрим первую строку. Если элемент а 11 = 0, то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, чтобы а 11 ¹ 0. В нашем примере поменяем местами, например, первую и вторую строки матрицы:

А =

Теперь элемент а 11 ¹ 0. Умножая первую строку на подходящие числа и складывая с другими строками, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца (кроме а 11) равнялись нулю.

2. Рассмотрим теперь вторую строку. Если элемент а 22 = 0, то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, чтобы а 22 ¹ 0. Если элемент а 22 ¹ 0 (а у нас а 22 = –1 ¹ 0), то, умножая вторую строку на подходящие числа и складывая с другими строками, добьемся того, чтобы все элементы второго столбца (кроме а 22) равнялись нулю.

3. Если в процессе преобразований получаются строки (столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их. В нашем примере отбросим строки 3-ю и 4-ю:

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит две строки. Они линейно независимы, следовательно, ранг матрицы равен 2.

§ 4. Определители первого, второго и третьего порядка

Среди всего многообразия матриц отдельно выделяют квадратные. Этот тип матриц хорош тем, что:

1. Единичные матрицы – квадратные.

2. Можно умножать и складывать любые квадратные матрицы одного порядка, при этом получается матрица того же порядка.

3. Квадратные матрицы можно возводить в степень.

Кроме того, только для квадратных матриц может быть вычислен определитель.

Определитель матрицы – это особое число, вычисляемое по некоторому правилу. Определитель матрицы А обозначается:

Или прямыми скобками: ,

Или заглавной греческой буквой «дельта»: Δ(A ),

Или символом «детерминант»: det (A ).

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) или определителем первого порядка , называется число, равное элементу матрицы:

Δ 1 = = а 11

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка

Пример :

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка , называется число, которое вычисляется по формуле:

Определитель третьего порядка можно вычислить, пользуясь правилом Саррюса .

Правило Саррюса . К определителю третьего порядка справа подписывают два первых столбца и со знаком плюс (+) берут сумму произведений трех элементов, расположенных на главной диагонали определителя и на «прямых», параллельных главной диагонали, со знаком минус (–) берут сумму произведений элементов, расположенных на второй диагонали и на «прямых», параллельных ей.

Пример :

Легко заметить, что число слагаемых в определителе увеличивается с увеличением его порядка. Вообще в определителе п -го порядка число слагаемых равно 1·2·3·…·п = п !.

Проверим: для Δ 1 число слагаемых равно 1! = 1,

для Δ 2 число слагаемых равно 2! = 1·2 = 2,

для Δ 3 число слагаемых равно 3! = 1·2·3 = 6.

Отсюда следует, что для определителя 4-го порядка число слагаемых равно 4! = 1·2·3·4 = 24, а значит вычисление такого определителя достаточно трудоемко, не говоря уже об определителях более высокого порядка. Учитывая это, вычисление определителей больших порядков стараются свести к вычислению определителей второго или третьего порядков.

§ 5. Вычисление определителей больших порядков

Введем ряд понятий.

Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка:

А=

Минором M ij элемента a ij называется определитель (п – 1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i -oй строки и j -го столбца.

Например, минором элемента а 12 матрицы третьего порядка будет:

Алгебраическим дополнением А ij элемента a ij называется его минор, взятый со знаком (−1) i + j :

А ij = (−1) i + j M ij

Иначе говоря, А ij = M ij , если i +j четное число,

А ij = −M ij , если i +j нечетное число.

Пример . Найти алгебраические дополнения элементов второй строки матрицы

Решение .

С помощью алгебраических дополнений можно высчитывать определители больших порядков, на основании теоремы Лапласа.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

– разложение по i-ой строке;

( – разложение по j-му столбцу).

Пример . Вычислить определитель матрицы разложением по первой строке.

Решение .

Таким образом, определитель любого порядка можно свести к вычислению нескольких определителей меньшего порядка. Очевидно, что для разложения удобно выбирать строку или столбец, содержащую как можно больше нулей.

Рассмотрим еще один пример.

Пример . Вычислить определитель треугольной матрицы

Решение .

Получили, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали .

Этот важный вывод позволяет легко вычислить определитель любой треугольной матрицы. Это тем более полезно, что при необходимости всякий определитель можно свести к треугольному виду. При этом используются некоторые свойства определителей.

Приложение

Понятие определителя п -го порядка в общем виде.

Вообще можно дать строгое определение для определителя матрицы п -го порядка, но для этого необходимо ввести ряд понятий.

Перестановкой чисел 1, 2, ..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n !. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3! = 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i > j , но i стоит в этой перестановке раньше j , то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной ), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий.

Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n -ой степени .

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ

обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 – в 2, 2 – в 1, 4 – в 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n -ой степени может быть записана в виде

т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

где индексы q 1 , q 2 ,..., q n составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n . Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n !. Знак произведения , равен (–1)q , где q –число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка называется алгебраическая сумма всех возможных произведений по n элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: . При этом знак произведения равен (–1) q , где q – число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Линейная алгебра

Любая матрица A порядка m×n можно рассматривать как совокупность m векторов строк или n векторов столбцов .

Рангом матрицы A порядка m×n называется максимальное количество линейно независимых векторов столбцов или векторов строк.

Если ранг матрицы A равен r , то пишется:

Нахождение ранга матрицы

Пусть A произвольная матрица порядка m ×n . Для нахождения ранга матрицы A применим к ней метод исключения Гаусса.

Отметим, что если на каком-то этапе исключения ведущий элемент окажется равным нулю, то меняем местами данную строку со строкой, в котором ведущий элемент отличен от нуля. Если окажется, что нет такой строки, то переходим к следующему столбцу и т.д.

После прямого хода исключения Гаусса получим матрицу, элементы которой под главной диагональю равны нулю. Кроме этого могут оказаться нулевые векторы строки.

Количество ненулевых векторов строк и будет рангом матрицы A .

Рассмотрим все это на простых примерах.

Пример 1.

Умножив первую строку на 4 и прибавив ко второй строке и умножив первую строку на 2 и прибавив к третьей строке имеем:

Вторую строку умножим на -1 и прибавим к третьей строке:

Получили две ненулевые строки и, следовательно ранг матрицы равен 2.

Пример 2.

Найдем ранг следующей матрицы:

Умножим первую строку на -2 и прибавим ко второй строке. Аналогично обнулим элементы третьей и четвертой строки первого столбца:

Обнулим элементы третьей и четвертой строк второго столбца прибавляя соответствующие строки ко второй строке умноженной на число -1.

Рассмотрим матрицу А размера .

А=
Выделим в нейkстрок иkстолбцов (
).

Определение 26: Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из данной выделением в ней.

kстрок иkстолбцов.

Определение 27: Рангом матрицы называется наибольший из порядков, отличных от нуля, ее миноров,r(A).

Определение 28: Минор, порядок которого совпадает с рангом называетсябазисным минором .

Утверждение:

1. Ранг выражается целым числом.(
)

2. r=0,
, когда А – нулевая.

Элементарные преобразования матриц.

К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число.

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число;

3) перестановка местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание нулевой строки (столбца);

5) замена строк матрицы соответствующими столбцами.

Определение 29: Матрицы, получающиеся одна из другой, при элементарных преобразованиях называется эквивалентными матрицами, обозначаются “ ~“

Основное свойство эквивалентных матриц: Ранги эквивалентных матриц равны.

Пример 18: Вычислитьr(A),

Решение: Первую строку умножим поэтапно на (-4)(-2)

(-7) и затем прибавим соответственно к второй, третьей и четвертой строкам.

поменяем местами вторую и четвертую строки
вторую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой строке; сложим вторую и третью строки.

сложим третью и четвертую строки.

~
откинем нулевую строку

~
r(A)=3
ранг исходной матрицы

равен трем.

Определение 30: Назовем матрицу А ступенчатой, если все элементы главной диагонали0, а элементы под главной диагональю равны нулю.

Предложение :

1) ранг ступенчатой матрицы равен числу ее строк;

2) всякая матрица может быть приведена к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Пример 19: При каких значениях  матрица
имеет ранг, равный единице?

Решение: Ранг равен единице, если определитель второго порядка равен нулю, т.е.

§6. Системы линейных уравнений общего вида.

Система вида
---(9) называется системой общего вида.

Определение 31: Две системы называются равносильными (эквивалентными), если каждое решение первой системы являются решением второй и наоборот.

В системе (1) матрицу А=
назовем основной матрицей системы, а=
расширенной матрицей системы

Теорема. Кронекера-Капелли

Для совместности системы (9) необходим и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы, т. е. r(A)=r()

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений:

1)найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если
, то система не совместна.

2) Если
=r, то система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядкаr. Базисным будем называть минор, на основании которого определялся ранг матрицы.

Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными (базисными) и оставляют слева, а остальные неизвестные называют свободными и переносят в правую часть уравнения.

3)Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

Пример 20: Исследовать систему и в случае ее совместности найти или единственное или общее решение