При дифференцировании показательно степенной функции или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями.

Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных , правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции .

Вывод формулы логарифмической производной.

Сначала производим логарифмирование по основанию e , упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:

Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x .

Логарифмирование дает . По свойствам логарифма . Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:

Ответ: .

Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере функция представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной . Почему? Вы сейчас поймете.

Найдем сначала . В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом):

Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится:

Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ:

Для закрепления материала приведем еще пару примеров без подробных объяснений.

Пример.

Найдите производную показательно степенной функции

Алгебра и начала математического анализа

Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Составитель:

учитель математики МОУ СОШ №203 ХЭЦ

г. Новосибирск

Видутова Т. В.

Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование

1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 вариант) (1 вариант) " width="640"

Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.

Построим для различных оснований а графики:

1. y = 2 x

3. y = 10 x

2. y = 3 x

(2 вариант)

(1 вариант)

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);

2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0

при х  ∞;

3) Все они обращены выпуклостью вниз;

4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол, который образует касательная с осью х

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.

Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.

В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.

Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:

е = 2, 7182818284590… ;

На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

График и свойства функции y = е x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значения;

6) непрерывна;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) выпукла вниз;

9) дифференцируема.

Функцию y = е x называют экспонентой .

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :

(e x ) = e x

(е 5х )" = 5е 5х

(е х-3 )" = е х-3

(е -4х+1 )" = -4е -4х-1

Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ:

Пример 2 .

x = 3.

Пример 3 .

Исследовать на экстремум функцию

х=0 и х=-2

х = -2 – точка максимума

х = 0 – точка минимума

Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).

График и свойства функции y = ln x

Свойства функции y = ln x:

1) D (f) = (0; + ∞);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + ∞);

4) не ограничена;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Е (f) = (- ∞; + ∞);

8) выпукла верх;

9) дифференцируема.

0 справедлива формула дифференцирования " width="640"

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х0 справедлива формула дифференцирования

Пример 4:

Вычислить значение производной функции в точке x = -1.

Например:

Интернет-ресурсы:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Тема урока: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Первообразная показательной функции» в заданиях ЕНТ

Цель : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Первообразная показательной функции» для решения задач ЕНТ.

Задачи

Образовательные: систематизировать теоретические знания учащихся, закрепить навыки решения задач по данной теме.

Развивающие: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, внимания, навыков самооценки и самоконтроля.

Воспитательные: способствовать:

формированию у учащихся ответственного отношения к учению;

развитию устойчивого интереса к математике;

созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Методы обучения : словесный, наглядный, практический.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.

Ход урока

Эпиграф: « Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике» Аристотель (слайд 2)

I. Организационный момент.

II. Разгадывание кроссворда. (слайд 3-21)

Французский математик XVII века Пьер Ферма определил эту линию так «Прямая, наиболее тесно прилегающая к кривой в малой окрестности точки».

Касательная

Функция, которая задается формулой у = log a x.

Логарифмическая

Функция, которая задается формулой у = а х.

Показательная

В математике это понятие используется при нахождении скорости движения материальной точки и углового коэффициента касательной к графику функции в заданной точке.

Производная

Как называется функция F(x) для функции f(x), если выполняется условие F"(x) =f(x) для любой точки из интервала I.

Первообразная

Как называется зависимость между X и У, при которой каждому элементу Х ставится в соответствие единственный элемент У.

Производная от перемещения

Скорость

Функция, которая задается формулой у = е x .

Экспонента

Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(t(x)), то эту функцию называют…

III. Математический диктант.(слайд 22)

1. Записать формулу производной показательной функции. (а х)" = а х ·ln a

2. Записать формулу производной экспоненты. (e х)" = e х

3. Записать формулу производной натурального логарифма. (ln x)"=

4. Записать формулу производной логарифмической функции. (log a x)"=

5. Записать общий вид первообразных для функции f(x) = а х. F(x)=

6. Записать общий вид первообразных для функции f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Проверить работу (ответы на слайде 23).

IV. Решение задач ЕНТ (тренажер)

А) №1,2,3,6,10,36 на доске и в тетради (слайд 24)

Б) Работа в парах №19,28 (тренажер) (слайд 25-26)

V. 1. Найти ошибки: (слайд 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2х, f "(x)= 17 2х ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Презентация учащихся.

Эпиграф: «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» Фома Аквинский (слайд 28)

VII. Дом.задание №19,20 стр.116

VIII. Тест (резервное задание) (слайд 29-32)

IX. Итог урока.

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей жизни» М.Калинин (слайд 33)

Дифференцирование показательной и логарифмической функций

1. Число е. Функция у = е х, ее свойства, график, дифференцирование

Рассмотрим показательную функцию у=а х, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232-234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при , все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к графику функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).

Теперь проведем касательную к графику функции у=3 x тоже в точке х = 0 (рис. 233). Здесь угол между касательной и осью х будет больше - 48°. А для показательной функции у = 10 x в аналогичной
ситуации получаем угол 66,5° (рис. 234).

Итак, если основание а показательной функции у=ах постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично считать, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции у- 2х интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции у=3 x он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Интересующее нас основание принято обозначать буквой е. Установлено, что число е - иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь :

e = 2,7182818284590...;

на практике обычно полагают, что e=2,7.

Замечание (не очень серьезное). Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к числу e не имеет, тем не менее в записи числа е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 - год рождения Л.Н. Толстого.

График функции у=е х изображен на рис. 235. Это - экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.

Свойства функции у = е х:

1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.

Вернитесь к § 45, взгляните на имеющийся там перечень свойств показательной функции у=а х при а > 1. Вы обнаружите те же свойства 1-8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с
дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим его теперь.

Выведем формулу для отыскания производной у-ех. При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который выработали в § 32 и который не раз с успехом применяли. В этом алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знания по теории пределов у нас с вами пока весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт существования касательной к графику показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девятое свойство - дифференцируемость функции у=е х).

1. Отметим, что для функции y = f(х), где f(х) =ех, значение производной в точке х =0 нам уже известно: f / = tg45°=1.

2. Введем в рассмотрение функцию у=g(x), где g(х) -f(х-а), т.е. g(х)-ех" а. На рис. 236 изображен график функции у = g(х): он получен из графика функции у - fх) сдвигом по оси х на |а| единиц масштаба. Касательная к графику функции у=g(х) в точке х-а параллельна касательной к графику функции у = f(х) в точке х -0 (см. рис. 236), значит, она образует с осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что g(а) =tg45°;=1.

3. Вернемся к функции у = f(х). Имеем:

4. Мы установили, что для любого значения а справедливо соотношение . Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим

Из этой формулы получается соответствующая формула интегрирования:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки